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Medidas de Dispersión Arvelo
Medidas de Dispersión Arvelo
Medidas de Dispersión Arvelo
Estudios realizados:
Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968
Máster en Estadística Matemática CIENES , Universidad de Chile 1972
Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan
1982
Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al
Presente
MEDIDAS DE DISPERSION
Las medidas que hasta ahora conocemos, medias, moda, percentiles, etc., tienen
todas ellas la propiedad de ubicarse siempre entre los dos valores extremos de los
datos, mínimo y máximo, pues indican posición, bien sea central, o bien sea
extrema como por ejemplo el percentil 5 , o el percentil 95.
Las medidas que van a ser estudiadas en este capítulo no gozan de esta
propiedad, y persiguen como objetivo describir la homogeneidad o heterogeneidad
de los datos.
Las medidas de tendencia central son insuficientes para describir el
comportamiento de los datos, pues no proporcionan información acerca de cuan
cerca o cuan lejos se encuentran estos datos, con relación a ese valor central.
Así por ejemplo el trío de datos {8 , 9 , 10 } y { 1 , 10 , 16 } tienen ambos media 9;
pero resulta obvio, que en el primero de ellos existe una menor desviación con
respecto a este valor central, que en el segundo.
Medir la variabilidad resulta muy importante en diversas situaciones prácticas,
pues a través de su medición se podrán comparar conjuntos de datos, y
establecer cuando existe una mayor concentración de ellos en la región central.
Así por ejemplo, en estudios sociales las medidas de dispersión proporcionan la
información requerida para analizar como es la distribución de los ingresos dentro
de la sociedad; en los estudios de calidad industrial, estas mismas medidas de
dispersión se utilizan para medir la precisión de las máquinas utilizadas en el
proceso de producción.
Antes de comenzar a analizar las medidas de dispersión, se recomienda revisar
las propiedades de la media aritmética. (Véase Medidas de Tendencia Central.
Arvelo)
La varianza de un conjunto de datos cuantitativos { x1, x2 ,x3 , ......, xn} sin agrupar,
se define como la media aritmética del cuadrado de sus desvíos.
i=n
(xi X) 2
S2 = i=1
n
La expresión anterior es una definición, y por lo tanto debe ser aceptada como tal,
sin demostración.
Sin embargo, debido a que la varianza es la más importante de las medidas de
dispersión, es importante hacer las siguientes aclaratorias:
1°) La varianza es una medida de dispersión que representa exclusivamente lo
que establece la definición: Media aritmética del cuadrado de los desvíos.
Cuanto más desviado esté un dato de X , mayor será su cuadrado , y en
consecuencia mayor será varianza.
La varianza no puede ser interpretada como algo diferente a lo que la definición
misma establece.
2°) La varianza viene expresada en unidades de los datos al cuadrado, y así por
ejemplo, si los datos están en centímetros, la varianza está en centímetros
cuadrados.
Esto ocasiona que el orden de magnitud de la varianza sea completamente
diferente al de los datos originales, y que además no sean comparables con ellos
pues vienen expresados en unidades diferentes.
Por estos dos motivos, en muchas oportunidades interesa regresar a las unidades
originales, y allí es cuando aparece el concepto de “Desviación Típica”, que se
define simplemente como la raíz cuadrada de la varianza.
i n
( xi X) 2
i 1
S
n
La desviación típica o “estándar” , viene en las mismas unidades de los datos, y
constituye junto con la varianza las más importantes medidas de dispersión.
3°) Otro comentario importante con relación a la varianza, es el que se refiere a su
denominador, si es “n” o “n-1”, pues a lo largo de toda la bibliografía estadística,
existe una gran confusión con relación a este punto.
Cuando una medida se calcula tomando en consideración a toda una población
recibe el nombre de “Parámetro Poblacional” ; mientras que cuando de calcula
sobre una muestra se llama “Estadígrafo” , “Estadístico Muestral” , o simplemente
“estadístico”.
La nomenclatura más utilizada en “Inferencia Estadística” consiste en designar a
los parámetros poblacionales con letras griegas, y a los estadísticos con letras
latinas.
Así por ejemplo , si se tienen “N” datos cuantitativos que constituyen una
población y sobre ellos se quiere calcular su media, la misma vendría
i N
xi
representada por : i 1
, y se llamaría “Media Poblacional”
N
Medidas de Dispersión 4
Angel Francisco Arvelo L.
Propiedades de la Varianza
Propiedad N°1°: S2 0.
Resulta obvio que por ser la varianza la media de cuadrados de los desvíos, sea
siempre una cantidad positiva, pues los cuadrados siempre lo son.
Es importante destacar que el caso S2 = 0 implica que todos los datos son iguales,
es decir que no existe variabilidad, y recíprocamente cuando todos los datos son
iguales entonces S2 = 0.
Esta propiedad es común para todas las medidas de dispersión, es decir:
Medida de Dispersión = 0 x1= x2 = x3 = ...... = xn
Propiedad N°2: Cuando los datos son sometidos a una transformación lineal
Y = a + b X , entonces S2Y = b2 S2X .
1
Es un estimador “Insesgado”. Véanse textos de “Inferencia Estadística” .
Medidas de Dispersión 5
Angel Francisco Arvelo L.
Demostración : Supongamos que se tiene un conjunto de datos { x1, x2 ,x3 , ......, xn}
y se le somete a la transformación Y = a + b X , dando lugar a unos nuevos datos
{ y1, y2 ,y3 , ......, yn} .
i n
Por definición : S 2Y i 1
(yi Y) 2
;
RSy i a bxi ; por la transformación
i n
n TY a bX ; por propiedad N 5 de la media
i n
2
(a bxi a bX) b 2 ( x X) 2
Por lo tanto: S2Y i 1
= i1 = b2 S2X .
n n
Como corolario de esta propiedad N° 2 se deducen las siguientes:
2.a) Si se le suma a cada dato una constante, la varianza no se altera.
Es el caso : b = 1.
2.b) Si cada dato es multiplicado por una constante, la varianza queda multiplicada
por el cuadrado de dicha constante. Es el caso a = 0.
2.c) Si se somete a los datos a una transformación lineal, la desviación típica que
multiplicada por la pendiente de la transformación: Sy = b Sx .
Esta propiedad es general, y una vez demostrada veremos que es mucha utilidad
práctica, especialmente cuando se aplica en ciertos casos particulares como por
ejemplo, en la curva normal.
Medidas de Dispersión 7
Angel Francisco Arvelo L.
i n
La suma ( xi X ) 2 puede ser descompuesta en dos partes, sobre los datos que
i 1
pertenecen al conjunto “C” , y sobre los que no pertenecen a él.
i n
Por tanto : ( xi X)2 = ( xi X) 2 ( xi X) 2
i 1 xi C xi C
i n
Como: ( xi X) 2
0 n S 2
= ( xi X)2 ( xi X) 2
xi C i 1 xi C
Existen (n - m) datos { xi } no pertenecientes al conjunto “C” , y para ellos se
2 2 2
verifica: xi C xi - X (xi - X ) ( xi X) 2 (n - m)
xi C
2 2 2 S2 n m
Por lo tanto : n S ( xi X) (n - m) 2
=1–p
xi C n
S2
y en conclusión: p 1- 2
tal como se quería demostrar.
i k F i k I 2
(L*i ) 2 fi GG L*i fi JJ
S2 = i 1 i 1
i k
GG i k
JJ
i 1
fi
H i 1
fi
K
Ejemplo 3 Calcular la varianza y la desviación típica de la siguiente distribución
de frecuencias.
Intervalo 0 a 10 10 a 20 20 a 30 30 a 40 40 a 50 50 a 60 60 a 70
frecuencia 8 34 76 60 31 28 13
Solución : Hay que organizar los cálculos en la siguiente tabla :
H K
2
S = = 214,78 S = 214,78 = 14,66
250 250
Método abreviado para el cálculo de la varianza en tablas de frecuencia para
datos agrupados de igual amplitud
Los cálculos requeridos en el Ejemplo 7.3 pueden resultar complicados si no se
tiene una buena calculadora.
Un procedimiento abreviado para efectuar los cálculos consiste en definir unas
marcas de clase artificiales designadas por Ui* .
Al intervalo de mayor frecuencia o clase modal se le da una marca de clase
*
artificial Um = 0 , a los anteriores marcas de clases artificiales -1 , -2 , etc., y a los
posteriores +1 , +2 , +3 , etc.
Con este artificio , la tabla queda :
i 1
fi
H i 1
fi
K 2
Finalmente : S2 c 2 SU2 , donde c = Amplitud = 10 S 2 = (10) 2,1478 =214,78
que coincide con el resultado anterior.
Justificación del método abreviado : Se ha definido una función lineal de los datos,
que los transforma en unos datos artificiales más sencillos de trabajar.
X L*m
Esta transformación es de la forma : U ; donde teóricamente L*m pudiera
c
ser cualquier origen , pero que por conveniencia se toma la marca de clase del
intervalo de mayor frecuencia, pues así la mayor frecuencia queda multiplicada por
cero simplificando aún más los cálculos.
Por efecto de la transformación, las marcas de clase anteriores se convierten en
-1, -2 , (siempre que la amplitud “c” sea igual para todos los intervalos) , y las
marcas de clase posteriores se convierten en +1 , +2 , etc.
La expresión para calcular SU2 es la correspondiente al cálculo de la varianza por
momentos para los datos artificiales “U”.
La relación entre los datos originales “X” y los artificiales “U” es lineal pues :
X L*m c U Por la propiedad N° 2 de la varianza : S2X c 2 SU2 , lo que
constituye la justificación del método abreviado de cálculo.
La suma algebraica de los desvíos resulta ser cero, tal como debe ocurrir siempre,
y para calcular la desviación media se promedian los desvíos absolutos:
2 10 6 8 10
D.M 7,20
5
Este resultado significa que en promedio, la duración de las cuñas se alejan en
forma absoluta de su media 36 segundos, en 7,20 segundos .
La desviación media absoluta tiene las siguientes propiedades:
3°) Para datos agrupados, la marca de clase sustituye al verdadero valor de cada
de cada dato, y la desviación media absoluta se calcula mediante la expresión:
i k
L*i X fi
i 1
D.M i=k
fi
i=1
Ejemplo 5 Calcular la D.M para los datos del Ejemplo 3 , y verificar que se
cumple la propiedad N° 2 .
8.330
Solución: La media es X = = 33,32, y se organizan los cálculos
250
Límites reales fi = frecuencia L*i L*i X L*i X fi
0 a 10 8 5 28,32 226,56
10 a 20 34 15 18,31 622,54
20 a 30 76 25 8,32 632,32
30 a 40 60 35 1,68 100,80
40 a 50 31 45 11,68 362,08
50 a 60 28 55 21,68 607,04
60 a 70 13 65 31,68 411,84
Sumatorias 250 208 2.963,18
2
Para una demostración de esta propiedad, véase la obra de este mismo autor: “ Capacidad de los
Procesos Industriales” , U.C.A.B 1998 .
Medidas de Dispersión 12
Angel Francisco Arvelo L.
2.963,18
D.M= = 11,85
250
4
S = 14,66 Por la propiedad N°3: D.M ( 14,86 ) = 11,89
5
3 La media de las desviaciones absolutas respecto de la
mediana: La media de las desviaciones absolutas puede ser calculada también
respecto de la mediana , dando lugar así a otra medida de dispersión, conocida
también “Desviación Media respecto de la Mediana”, y que se define de la
siguiente manera:
I n
xi Mediana
i 1
D.MMed
n
Como una de las propiedades de la Mediana, estable que la suma de las
desviaciones absolutas es mínima, cuando estas se calculan respecto de la ella,
entonces se puede garantizar que : D.MMed D.M
I k
L*i Mediana fi
i 1
Para datos agrupados : D.MMed i k
fi
I=1
3
Para una mayor información sobre estas gráficas, véase la misma referencia citada en la nota 2.
Medidas de Dispersión 13
Angel Francisco Arvelo L.
Todas estas medidas de dispersión al igual que las anteriores son absolutas, pues
no toman en cuenta el orden de magnitud de los datos, y vienen en sus mismas
unidades, a excepción de la varianza que viene en unidades al cuadrado.
del orden de millones. Resulta obvio que en el primer caso existe una variabilidad
mucho mayor que en el segundo, a pesar de que el valor absoluto de la desviación
típica sea el mismo.
Otro problema que tienen las medidas absolutas de dispersión es el de las
unidades, pues esto impide hacer comparaciones entre conjuntos de datos que
tengan diferente naturaleza.
Así por ejemplo, si se quisiera saber cual variable tiene un comportamiento más
homogéneo, el peso o la estatura de un conjunto de personas, no es posible
comparar las desviaciones típicas entre esas ellas, por venir expresadas en
diferentes unidades.
Para solucionar este par de inconvenientes que presentan las medidas absolutas
de dispersión, se utiliza al coeficiente de variación o dispersión relativa, definido
S
por : C. V = 100%
X
2°) El C.V es un número abstracto, es decir sin unidades, pues tanto S como X
vienen en las mismas unidades de los datos, y al hacer la división se simplifican.
Esta propiedad permite utilizar al C.V para hacer comparaciones entre varios
conjuntos de datos, y concluir que cuanto más pequeño sea su valor, más
homogéneo es el comportamiento.
3°) El C.V no se altera cuando los datos son multiplicados por una constante, pues
en virtud de las propiedades de X y de “S” ambos quedan multiplicados por esa
constante, sin alterar al cociente.
Esta propiedad trae como consecuencia que el C.V sea invariante frente a
cambios de unidades, como por ejemplo, pasar de libras a kilogramos o de pies a
centímetros, etc.
kgs.; y para la estatura una media de 165 cms., con una desviación típica de 11,30
cms. ¿Cuál de las dos variables tiene un comportamiento más homogéneo?.
9,20
Solución: Para el peso: C.V = 100% = 13,43 %
68,50
1130
,
Para la estatura : C.V = 100% = 6,85 %
165
Se concluye que la estatura tiene un comportamiento más homogéneo.
…………………………….
Una de las limitaciones que tiene el coeficiente de variación, es que sólo puede
ser utilizado cuando los datos corresponden a mediciones sobre una escala de
razón, y por lo tanto existe el cero absoluto.
Cuando existen datos positivos y negativos, la media puede resultar igual a cero ,
negativa o muy próxima a cero, en cuyo caso este coeficiente de variación carece
de sentido como medida de dispersión.
EJERCICIOS RESUELTOS
2 41 82 164
3 12 36 108
Sumatorias 300 119 477
477 FG 119 IJ 2
SU2
300
2 2
H 300 K = 1,4327
2
c= Amplitud Real = 0,50 S = c SU2 = (0,50) 0,1,4327 = 0,3582
1033
Para calcular el coeficiente de variación, se necesita: X = = 3,4433
300
119
Por el método abreviado: U = 0,3967
300
X = L*m + c U X = 3,245 + (0,50) 0,3967 = 3,4433
S 0,5985
y por lo tanto : C.V = 100% = 100% = 17,38 %.
X 3,4433
148,8626
Por lo tanto D.M = = 0,4962
300
Si se quisiera obtener un cálculo rápido pero aproximado, se pudiera aplicar la
propiedad para distribuciones acampanadas como esta, según la cual:
4 4
D.M S= (0,5985) = 0,4788
5 5
Para las restantes medidas de dispersión se necesitan los cuartiles, y los
percentiles 10 y 90, a partir de las frecuencias acumuladas:
Diámetro < 2,495 < 2,995 < 3,495 < 3,995 4,495 4,995
Frecuencia 17 68 161 247 288 300
300
68
3
300 161 b g
Q1 = 2,995 + 4 0,50 = 3,0326 ; Q3 = 3,495 + 4 0,50 = 3,8671
93 86
1
2
300 68 b g
Q2 =Med= 2,995 + 0,50 =3,4359
93
Medidas de Dispersión 17
Angel Francisco Arvelo L.
10
100
b g
300 17
P10 =2,495 + 0,50 = 2,6225
51
90
b g
300 247
P90 =3,995 + 100 0,50 = 4,2755
41
Para calcular la desviación media absoluta, respecto de la mediana, hay que
organizar los cálculos en una tabla similar a la de la D.M , pero calculando los
desvíos absolutos respecto de la mediana.
L*i =Marca de clase fi= Frecuencia L*i Med L*i Med fi
2,245 17 1,1909 20,2453
2,745 51 0,6909 35,2359
3,245 93 0,1909 17,7537
3,745 86 0,3091 26,5826
4,245 41 0,8091 33,1731
4,745 12 1,3091 15,7092
Sumatorias 300 148,6998
148,6998
D.M Med = = 0,4957
300
El rango intercuartílico: Rq = Q3 - Q1 = 3,8671 - 3,0326 = 0,8345
El rango percentílico: Rp = P90 - P10 = 4,2755 - 2,6225 = 1,6530
Estos rangos representan la amplitud de los intervalos 50% central, y 80% central
respectivamente.
100 F IJ
El % por debajo de 2,8448 : p =1 G17
300 H
2,8448 2,495
0,5 K
51 = 17,56%
175
,
C.V = 100% = 59,75 % ; R=7–0=7
2,93
Xi= Valor del dato fi= Frecuencia Xi X Xi X fi
0 8 2,93 23,44
1 14 1,93 27,02
2 25 0,93 23,25
3 13 0,07 0,91
4 20 1,07 21,40
5 12 2,07 24,84
6 6 3,07 18,42
7 2 4,07 8,14
Sumatorias 100 147,42
147,42
D.M =
= 1,4742
100
Para hallar la mediana, y demás cuartiles hay que proceder según lo explicado en
el Ejemplo 6.13 donde se obtuvo Q1 = 2 , y siguiendo la misma metodología
Q2 = Med = 3 , Q3 = 4
Xi= Valor del dato fi= Frecuencia X i Med X i Med fi
0 8 3 24
1 14 2 28
2 25 1 25
3 13 0 0
4 20 1 20
5 12 2 24
6 6 3 18
7 2 4 8
Sumatorias 100 147
Medidas de Dispersión 19
Angel Francisco Arvelo L.
147
D.M Med = = 1,47 ; Rq = Q3 –Q1 = 4 - 2 = 2
100
En cuanto al porcentaje de datos comprendidos en el intervalo X ± S, tenemos que
éste es : 2,93 ± 1,75 = [ 1,18 ; 4,68 ] , y en él caen todos los valores
comprendidos entre 2 y 4 ambos inclusive, que representan el 58 % de los datos.
Preguntas de Revisión
1°) Si se tienen dos conjuntos de datos expresados en las mismas unidades,
¿puede decirse que el que tenga mayor varianza presenta una mayor dispersión?.
2°) Si en un conjunto de datos todos los valores son negativos, ¿puede alguna de
las medidas absolutas de dispersión ser negativa? .
3°) ¿Cuál es la diferencia entre las medidas absolutas y las medidas relativas de
dispersión?. ¿Cuál de las dos mide mejor la variabilidad?.
4°) Analice las modificaciones que sería necesario realizar, si se quisiera aplicar
el método abreviado de cálculo para la varianza, en una tabla de frecuencias con
intervalos de diferente amplitud.
6°) El valor más bajo de un conjunto de datos es 75, y el más alto 110. ¿Puede ser
la desviación típica 39,50?.
13°) Suponga que sobre un conjunto de datos { x1, x2 ,x3 , ......, xn} con media” X ” , y
x X
desviación típica “S”, se define la transformación: zi = i dando lugar a otro
S
conjunto de datos { z1, z2 ,z3 , ......, zn} llamados “datos tipificados”.
¿Cuál es la media y la varianza de los datos tipificados?.
15°) Si { x1, x2 ,x3 , ......, xn} es una muestra que tiene media muestral X , y proviene
de una población con media poblacional “ ”. ¿ Cual de las siguientes dos
i n i n
2
expresiones es menor: ( xi ) ó ( xi X) 2 ? . Justifique su respuesta.
i 1 i 1
3°) Investigue sobre las aplicaciones del rango muestral en el “Control Estadístico
de Procesos”.
Problemas Propuestos
I. Nivel Elemental
7.12) Una empresa tiene dos agencias , una en Caracas y otra en el interior .
El sueldo de los empleados de esa empresa en cada una de esas dos agencias es
como sigue:
Caracas : Media = Bs. 150.000 Desviación Típica = Bs. 25.000
Interior : Media = Bs. 120.000 Desviación Típica = Bs. 16.000
¿ En cual de las dos agencias, los sueldos son más homogéneos? .
Solución : En la del interior.
7.18) Durante un periodo de 150 horas, se observó el número de clientes por hora
que acuden a un comercio, encontrando:
Clientes 0 1 2 3 4 5 6 7 8
frecuencia 5 19 29 30 22 16 14 9 6
a) Determine la desviación típica y la media de las desviaciones absolutas.
b) El porcentaje de veces en que la observación cae en el intervalo X ± 2S .
Solucíón: a) 2,02 y 1,68. b) 96 % .
7.23) El sueldo promedio del personal de una empresa es de $1.200 con una
desviación típica de $250.
El personal va a ser beneficiado con un bono fijo y un aumento porcentual , y según
el orden en que se apliquen estos beneficios, el futuro sueldo promedio puede ser
de $ 1.810 si aplica primero el incremento porcentual y luego el bono, o de $ 1.885
si se aplica primero el bono y luego el incremento porcentual.
a) Determine el monto del bono fijo y del aumento porcentual.
b) Analice cual de estas modalidades proporciona una mayor homogeneidad en los
sueldos del personal.
Solución : $ 250 de bono con 30% de incremento porcentual , o $ 360 de bono con
20,8333 % de incremento porcentual .
7.26) Los salarios en una empresa tienen una desviación típica de 1.200.
Si todos los salarios son incrementados en 2.000, el coeficiente de variación
disminuye en 2%. Calcule el salario medio después del aumento. Solución: 12.000
7.27) En el almacén de una empresa existen diversas cajas, que pueden ser
clasificadas así: pequeñas cuyo peso es menos de 150 kilos, regulares con un peso
desde 150 hasta 250 kilos, grandes con un peso desde 250 kilos hasta 500 kilos, y
extra grandes desde 500 kilos en adelante.
Si el peso medio de las cajas es de 200 kilos, con una desviación típica de 20 kilos.
¿Cuál es el porcentaje mínimo de las cajas de tamaño regular dentro del almacén? .
Solución : 84 % por lo menos.
Medidas de Dispersión 23
Angel Francisco Arvelo L.
7.32) Suponga que se tienen dos conjuntos de datos disjuntos , con igual media X ,
pero de diferentes tamaños n1 y n2 , y con diferentes coeficientes de variación CV1
y CV2 respectivamente .
Al unir estos dos conjuntos, ¿qué tipo de media entre sus coeficientes de variación
debe utilizarse, para obtener el coeficiente de variación de la unión?.
n1 C. V12 n 2 C. V22
Solución: C.V = = Media cuadrática ponderada entre sus
n1 n 2
coeficientes de variación.
i n1
1° Conjunto: n1= 75 ; X 12i = 67688,75 ; C.V1 = 5%
i 1
i n2
2° Conjunto: n2 = 80 ; X 22i = 46540,80 ; C.V2 = 10%
i 1
Calcule el coeficiente de variación de su unión.
Solución: 13,43%
7.35) En una plantel se administró un examen sobre 100 puntos, y los alumnos
concurrieron en dos turnos: mañana y tarde.
Para el turno de la mañana se obtuvo una media de 52,00 puntos ,y para el turno
de la tarde donde presentaron 330 alumnos, se obtuvo una media de 46,00 puntos.
La media de todo el grupo resultó ser de 48,04 puntos.
Tanto para el turno de la mañana como para el de la tarde, se obtuvo la misma
desviación típica; pero la desviación típica de todo el grupo resultó ser 30% mayor
que la de la mañana (o de la tarde) .
En base a esta información, obtenga el coeficiente de variación para cada uno de
los turnos, y el de todo el grupo.
Solución: Mañana : 6,58 % . Tarde: 7,43 % . General : 9,25 % .
7.36) Determine la varianza de “n” datos que sean iguales a los primeros “n”
n2 1
números naturales: 1, 2, 3 , ….. , n. Solución : .
12
7.37) Aproveche el resultado del ejercicio anterior para encontrar la varianza de “n”
datos que se encuentren en progresión aritmética: a , a + r , a + 2r , …., a+ (n -1) r .
r 2 (n 2 1)
Solución :
12