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Tema 8 Sistemas de Ecuaciones
Tema 8 Sistemas de Ecuaciones
Tema 8 Sistemas de Ecuaciones
TEMA 8:
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
𝑎1 α1 + 𝑎2 𝛼2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝛼𝑛 = 𝑏
Ejemplo:
La terna 2,1,2 es solución de la ecuación:
1
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 2.
2
Verifique que la terna 1, −1, −6 también es
solución de la ecuación
1
23/5/2017
2
23/5/2017
Dado el sistema:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Definición: Se llama matriz del sistema a la matriz 𝑚 × 𝑛:
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , formada por los coeficientes de las incógnitas
Definición: Se llama matriz ampliada, u orlada, del
sistema a la matriz 𝑚 × 𝑛 + 1 :
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2
𝐴′ =
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
3
23/5/2017
Consecuencias:
1. Un sistema es incompatible si y sólo si 𝑅 𝐴 ≠ 𝑅 𝐴′
2. Si un sistema es homogéneo, siempre 𝑅 𝐴 = 𝑅 𝐴′ .
3. Si en un sistema compatible el 𝑅 𝐴 es igual al número
de incógnitas n, el sistema es determinado.
4. Un sistema homogéneo con 𝑅 𝐴 igual al número de
incógnitas, sólo admite la solución trivial.
5. Si en un sistema compatible el 𝑅 𝐴 es menor al número
de incógnitas n, el sistema es indeterminado.
Teorema de Cramer:
Si 𝐴 ∈ 𝕂𝑛×𝑛 es no singular y 𝐵 ∈ 𝕂𝑛×1 , entonces el
sistema lineal 𝐴. 𝑋 = 𝐵 admite solución única.
Ejemplo:
𝑥−𝑧 = −1
ቐ𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3