I.E.P.

ANTONIO RAIMONDI

NIVEL: SECUNDARIA CUARTOAÑO

RAZONES
RAZONESTRIGONOMÉTRICAS
TRIGONOMÉTRICASDE
DE
ÁNGULOS
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMALII
EN POSICIÓN NORMAL II

Ángulos cuadrantales .

Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier

π
semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma “ n ”; n  Z ó “n. 90º”.
2

Ejemplo:
Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….

n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos R. T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES .

Cuadrantales y su medida.

y 0º, 360º 90º 180º 270º

m∢
0; 2 /2  3/2
90º R.T.
180º
sen 0 1 0 -1
cos 1 0 -1 0
x
tg 0 N 0 N
-90º cot N 0 N 0 0 = Cero
1 = Uno
sec 1 N -1 N
N = No definido
csc N 1 N -1

COMPROBACIÓN .

y y r La división de un número
1. sen90º    1 entre 0 (cero) es una
r r operación no definida.
(0; r)
x 0
2. cos 90º    0
r r r
90º y r
3. tg90º    /

r 0
x

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r. t. de ángulos coterminales .

Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo
valor numérico por ende diremos que son iguales.

COMPROBACIÓN .
R.T.  = R.T. 
y
(a; b)
b
1. Por definición: tg 
a
=
 b
Son ∢s coterminales los 2. Por definición: tg 
a
que tienen el mismo lado
x inicial y final. 3. Concluimos que: tg  tg


EJERCICIOS
EJERCICIOS DE
DE APLICACIÓN
APLICACIÓN

1. Simplificar: 
Calcular: “ f( )”
( a  b)sen90º  ( a  b) cos 0º 4
E
2ab cos 360º
a) 0 b) 1 c) 2
-1
a) a b) b c) a d) -1 e) -2
-1
d) b e) ab
5. Indicar el cuadrante al que pertenece “”
2. Simplificar: Si: |tg| = -tg  sec < 0
( a  b)2 sec 0º  ( a  b)2 sen270º
E
2ab csc 90º a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IC  IIC
a) a b) b c) 1
d) 2 e) 4
6. Indicar el cuadrante al que pertenece “”

3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x Si: |sen| = -sen  cot > 0


Calcular: “ f( )”
2 a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IC  IIIC
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2 7. Si:    son medidas de ángulos coterminales
4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x y se cumple que:

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tg < 0  |cos| = -cos; indicar el cuadrante 2

Calcular: E = tg  + sec
al que pertenece “”.
a) 1 b) 3 c) 5
a) IC b) IIC c) IIIC
d) 7 e) 9
d) IVC e) IC  IIC

15. Del gráfico calcular:

8. Si:    son medidas de ángulos coter-

minales y se cumple: 3 cos    sen(  )
 6 
|sec| = sec  |cot| = -cot E

Indicar el cuadrante al que pertenece “” 3sen 
 2 
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IC  IVC



9. Calcular: E  senx  cos x  1

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4/3 e) 3/2
d) 2 e) 2 2

10. Calcular: E  1  3senx  senx  1

a) 0 b) 1 c) 2 TAREA DOMICILIARIA Nº 2
d) 2 e) 2 2

11. Si:   IVC, determinar el signo de:

tg(1  cos ) 1. Calcular:
E
sen  cos  ( a  b)2 sec 360º  ( a  b) cos 180º
E
a) + b) - c) + ó - 2ab csc 270º
d) +  - e) Todas son correctas
a) 1 b) 2 c) 3
12. Si:   IIIC, determinar el signo de: d) -3 e) -2
cos (3  sen)
E
tg  csc  2. Calcular:

( a  b)3 sen90º ( a  b)3 cos 360º

E
a) + b) - c) + ó - a2 sec 0º 3b2 csc 90º
d) +  - e) Todas con correctas
a) a b) b c) 2a

13.
2
Una raíz de la ecuación: x – 2x – 3 = 0 es un d) 2b e) ab

valor de “tg”; si   IIIC.

x x x
Calcular: E  10 (sen  cos ) 3. Si: f( x)  sen  cos  tg
2 3 4
Calcular: “f()”
a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
1
14. Si: sen  – cos  
3

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4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x 29 sen  tg

Calcular: E 
 sec  . cos 
Calcular: “ f( )”
2

a) 0 b) 1 c) 2 4 8
a)  b)  c)
d) -1 e) -2 5 5
4
5. Si: |cot| = cot  |sec| = - sec 5
Indicar el signo de la expresión: 8 12
d) e) 
E = sen - tg 5 5

a) + b) - c) + ó - 
10. Si: x  IVC  |cscx| - 4 sen 0
d) +  - e) Todas son correctas 6
Calcular: E  senx  3 cos x
3
6. Si: |cos| =    IIC
2 a) 1 b) 1/2 c) 1/3
Calcular: E  cot   3sen d) 2/3 e) 3/2

11. Si:   IIC,   IIIC    IVC

a) 3 b)  3 c)
Indicar el signo de la expresión:
3 csc   cos 
E
2 tg  sec 
3 3
d)  e) 
2 3 a) + b) - c) + ó -
d) +  - e) Todas son positivas
7. Si: x e y son medidas de ángulos coterminales
tal que: cos x   10  cosy < 0 además 12. Calcular: E = cosk; k  Z

a5
cot y  ; calcular “a”. a) 0 b) 1 c) -1
a 1 k -1
d) (-1) e) (k)

a) 2 b) 3 c) 4
13. Calcular: E = senk; k  Z
d) 5 e) 6

a) 0 b) 1 c) -1
8. Si: 270º < x < 360º indicar el signo de la
k -1
d) (-1) e) (k)
expresión:
x 3x
cot . sec 1
3 4 14. Si: tg  a  ;  a  R
E a
x
cos Calcular: E  5 csc 
5
Sabiendo que   IIIC y que tg toma su
menor valor.
a) + b) - c) + ó -
d) +  - e) Todas con correctas
a) -1 b) -1,5 c) -2
d) -2,5 e) -3
9. Si:    son medidas de ángulos coterminales

2 15. Del gráfico calcular: E = tg + cot

y tg  ; cos < 0. (a-b; b)
5

180


(a; a-b)
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a) 1
b) 2
c) 3
d) 2/3
e) 3/2

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