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    Angulo en Posición Normal++

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    Miguel Inti Moreno
    1. El documento habla sobre ángulos en posición normal, definidos como aquellos cuyo vértice está en el origen y cuyo lado inicial coincide con el eje X positivo. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de ángulos en cada cuadrante y proporciona ejemplos numéricos. 2. Incluye problemas para calcular razones trigonométricas dados puntos o relaciones entre las funciones. 3. Finaliza con una práctica domécilia sobre calcular la función secante dado un esquema.

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    1. El documento habla sobre ángulos en posición normal, definidos como aquellos cuyo vértice está en el origen y cuyo lado inicial coincide con el eje X positivo. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de ángulos en cada cuadrante y proporciona ejemplos numéricos. 2. Incluye problemas para calcular razones trigonométricas dados puntos o relaciones entre las funciones. 3. Finaliza con una práctica domécilia sobre calcular la función secante dado un esquema.

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    1. El documento habla sobre ángulos en posición normal, definidos como aquellos cuyo vértice está en el origen y cuyo lado inicial coincide con el eje X positivo. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de ángulos en cada cuadrante y proporciona ejemplos numéricos. 2. Incluye problemas para calcular razones trigonométricas dados puntos o relaciones entre las funciones. 3. Finaliza con una práctica domécilia sobre calcular la función secante dado un esquema.

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    1. El documento habla sobre ángulos en posición normal, definidos como aquellos cuyo vértice está en el origen y cuyo lado inicial coincide con el eje X positivo. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de ángulos en cada cuadrante y proporciona ejemplos numéricos. 2. Incluye problemas para calcular razones trigonométricas dados puntos o relaciones entre las funciones. 3. Finaliza con una práctica domécilia sobre calcular la función secante dado un esquema.

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    INSTITUCIÓN EDUCATIVA “SAN FRANCISCO” - MANGAS

    PROFESOR : MIGUEL INTI MORENO


    ÁREA : MATEMÁTICA GRADO:
    QUINTO
    TEMA : ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

    α
    +70 º
    Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN 2. Si   II ¿A qué cuadrante pertenece 2 ?
    NORMAL, si su vértice está en el origen de RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN
    coordenadas y su lado inicial coincide con el lado POSICIÓN NORMAL
    positivo del eje X. Si  es un ángulo cualquiera en posición normal,
    Si el lado final está en el segundo cuadrante, el sus razones trigonométricas se definen como sigue:
    ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO
    CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes. r= √ x 2 + y 2
    Si el lado final coincide con un eje se dice que el x= Abcsisa
    ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE. Y = ordenada
    Ejemplos: r=radio
    ¿
    { ¿ { ¿ ¿¿
    ¿

    y ORDENADA r RADIO VECTOR


    sen = = sec = =
    r RADIO VECTOR x ABSCISA

    ÁNGULO CUADRANTAL
    x ABCSISA y ORDENADA
    Un ángulo en posición normal se llamará cos  = = tg = =
    r RADIO VECTOR x ABSCISA
    CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje.
    En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.
    x ABSCISA r RADIO VECTOR
    Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, ctg = = csc = =
    y ORDENADA y ORDENADA
    270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán
    en los extremos de los ejes.
    SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
    EN CADA CUADRANTE

    1. Propiedad
    Si  es un ángulo en posición normal positivo y
    menor que una vuelta entonces se cumple:
    Si   I  0 <  < 90º R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES
    Si   II  90º <  < 180º Como ejemplo modelo vamos a calcular las razones
    Si   III  180º <  < 270º trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular
    Si   IV  270º <  < 360º las otras razones trigonométricas de 0º, 180º, 270º y
    Ejemplos: 360º.
    1. Si   III ¿En qué cuadrante está 2/3?
    Del gráfico 3. Si sen>0  cos<0, hallar el signo de la
    observamos que x = 0 expresión: (tg+ctg) sen
     r = y, por tanto:
    4. Si sen √ cosα < 0, halla el signo de la
    cosα
    expresión: senα +tg α

    5. Si:   IIIC además tg = 1,5;


    calcular √ 13 (sen – cos)
    6. Si   IIC, además: sec = tg245º – sec260º,
    calcular: 3 sen + tg

    7. Calcular:
    2sen90º + 3cos180º + 4tg360º + 5ctg270º
    y y
    r y 8. Reducir:
    sen 90º= = = .1.
    x 0 ( a+ b )2 cos 360 º + ( a−b )2 sen 270 º
    cos 90º= r = r = .0. asen 180º + absen 270 º+ bsen 360 º
    y y
    x 0 9. Del la figura
    tg 90º= = = . (N.D.) .
    hallar:
    x 0
    ctg 90º= y = y = .0.
    r y
    sec 90º= x = 0 = .(N.D.) .
    x y
    csc 90º= y = y = .1. sen α cosα tg α
    + +
    Aplicando las razones trigonométricas de ángulos en sen β cos β tg β
    posición normal, tenemos:
    ∢
    0º 90º 180º 270º 360º 10. De la figura,
    R.T.
    si: tg + tg = –6
    Sen 0 1 0 –1 0 Hallar “sen”,
    Cos 1 0 –1 0 1
    Tg 0 ND 0 ND 0
    Ctg ND 0 ND 0 ND
    Sec 1 ND –1 ND 1
    Csc ND 1 ND –1 ND 11. Del gráfico,
    calcular: 2tg + 3tg
    PROBLEMAS
    1. Si el punto (6; – 8) pertenece al lado final del
    ángulo  en posición normal, calcular: 5cos + 6tg

    2. Calcular: csc +
    cos 12. De la figura hallar: a – 8ctg

    13. Si: tg>0  sen = tg230 – tg245º


    Calcular: cos
    A) -3
    B) -1
    14. Si: 8tg+1 = 4, además: cos>0, C) -5
    calcular sen D) 9
    E) -6
    1
    tg θ−2=
    1
    4+
    1
    4+
    15. Si: √ 5+2 , calcular: 4. Siendo “” un ángulo en posición normal del
    √ 5 cscθ , sabiendo que   IIIC segundo cuadrante, donde tg = –3/2; calcule el
    valor del
    16. Si: sen(5+10º)=cos(2 + 10º),
    Calcular: cos . cos2......,cos10.
    E=3+ √13 ( senθ+cosθ )
    17. Reducir: A) B) C)
    ( a+b )2 sen 90 º + 4 ab cos 180 º 1 2 3
    D) E)
    asen 90 º−b cos 180 º
    4 5
    5. Si se tiene que cos > 0 y además: 8tg+1 = 4;
    18. Si: 2tg+2 = 3ctg+3
    calcule el valor de “sen ”
    Además:   IIQ    IVQ
    A) B) C)
    Calcular: √ 2 . cos . cos 1 −3 2
    − −
    √ 10 √10 √ 10
    PRÁCTICA DOMICILIARIA D) E)
    1. En el esquema mostrado, calcular “sec” 1 3
    √10 √10
    6. Siendo “” un ángulo en posición estándar del
    tercer cuadrante, para lo cual se tiene que ctg =
    2,4, calcule el valor de:
    E = tg – sec
    A) B) C)
    0 1 1,5
    D) E)
    - 5 - 5 2,5 1,25
    −√ 5 2 3
    A) B)
    C)
    −√
    6
    - 3 - 6 7. Del gráfico mostrado calcule el valor de:
    2 2 2
    M = csc + cos
    D) E)
    A) 1
    2. El punto (3; –4) pertenece al lado final del B) 2
    ángulo en posición normal; calcule: C) 3
    M = 5 cos + 6 tg D) 4
    A) B) C) E) 5
    –3 –4 –5
    D) E)
    –10 –11 8. A partir del gráfico, hallar:
    cos – cos
    3. Del gráfico mostrado, calcule el valor de:
    E = 4tg  + 3 A) 1
    B) 0
    C) -1
    D) 2
    E) 1/2
    9. Indicar el signo de la expresión:
    sen220 º .cos 370º . tg275 º
    ( sec 45 º . cos120 º .sec 240º )
    A) B) C)
    + – +ó–
    D) E)
    –y+ F.D.

    10. Si el punto (–1; 3) pertenece al lado final de un


    ángulo en posición canónica ””, calcular:
    R = sen . ctg
    −1 /√ 10 −1 /√ 10 −1 /√ 10
    A) B) C)
    −4 / √ 10 √ 10
    D) E)

    1. B 6. C

    2. C 7. B

    3. E 8. B

    4. D 9. A

    5. A 10. A

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