14 Desigualdades e Inecuaciones
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TRILCE
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
ÁLGEBRA
Semana 14
Quinto Católica
DESIGUALDADES E INECUACIONES
DESIGUALDAD
x
Es la comparación que se establece entre dos números –∞ 10 +∞
reales, mediante los símbolos de desigualdad:
Luego: x ∈ 〈– ∞; 10〉 ó x < 10
>: “mayor que” ≥: “mayor o igual que”
<: “menor que” ≤: “menor o igual que” Operaciones con intervalos
Si los extremos son números reales (finitos) que a su Teoremas de las desigualdades
vez serán:
Sean “a”, “b”, “c”, “d” números reales, luego:
A. Intervalo Abierto. Es un intervalo en el cual no se con-
sidera a sus extremos.
1. a<b∧b<c⇔a<c
Ejemplo:
2. ∀ c ∈ lR: a < b ⇔ a + c < b + c
x 3. ∀ c > 0: a < b ⇔ ac < bc
–∞ –3 7 +∞
4. ∀ c < 0: a < b ⇔ ac > bc
Luego: x ∈ 〈– 3; 7〉 ó – 3 < x < 7
5. a<b⇔–a>–b
B. Intervalo Cerrado. Es un intervalo acotado en el cual se
consideran a los extremos. 6. ∀ a ∈ lR: a2 ≥ 0
Ejemplo:
7. Suma:
x a < b (+)
–∞ – 10 3 +∞ c<d
a+c<b+d
Luego: x ∈ [ – 10; 3] ó – 10 ≤ x ≤ 3
8. Producto:
C. Intervalo Semiabierto o Semicerrado. Teniendo a uno
de los extremos abiertos y al otro cerrado. 0 ≤ a < b (x)
0 ≤ c < d
Ejemplo: 0 ≤ ac < bd
x Nota:
–∞ 2 7 +∞
Si se cumple que: 0 < a < b ∧ 0 < c < d, no siempre es
Luego: x ∈ 〈2; 7] ó 2 < x ≤ 7 a b
cierto que: 0 < < . Es decir, no se puede dividir miembro a
c d
INTERVALO NO ACOTADO miembro cuando se tienen desigualdades del mismo sentido.
Trilce Católica 75
Ciclo
Católica
1 Son verdaderas:
12. b < 0 ⇔ <0
b
A. Solo I C. I y II
13. Si “a” y “b” tienen el mismo signo, entonces: B. Solo II D. Todas
1 1 ab
a<b⇔ > , es decir: 6. Si: – 10 < a < – 5; – 2 < b < – 1; 2 < c < 5, entonces “ ”
a b c
1 1
0<a<b⇔ > >0 está comprendido entre:
a b
1 1
a<b<0⇔0> > A. – 10 y – 1 C. – 10 y 1
a b
B. 2 y 30 D. 1 y 10
14. Sean: a < 0 ∧ b > 0, luego:
3(x + 4) + x
7. Resolver: > 2 (x + 1)
a<x<b⇒0≤ x2 < máx (a2, b2) 4
1 1 12. Resolver: 2x + 4 ≤ 3x + 6 ≤ 5x – 10
I. Si: x < y ⇒ >
x y
II. Si: x < 0 ⇒ x > x3
2
A. [– 2; ∞[ C. [8; ∞[
III. Si: x ∈ lR– ⇒ x > x – 1
B. [– 8; ∞[ D. φ
A. V V V C. V F V
13. Resolver: 3x + 4 ≤ 2x + 8 ≤ 2x + 6
B. F V V D. V F F
76 Trilce Católica
Álgebra
15. La suma de todos los enteros “x” que satisfacen el sis- 22. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 70
tema: y le quedan por vender más de la mitad. Hace después
6 mesas y vende 36, quedándose menos de 42 mesas
4x – 5 por vender. ¿Cuántas mesas hizo?
< x + 3................... (I)
7
3x + 8 A. 145 C. 147
> 2x – 5.................. (II)
4 B. 157 D. 141
A. 3 m C. 1 3x – 5
N= ; si: x ∈ 〈 – 2; 1]
B. 4 D. 2 x–2
Trilce Católica 77
Ciclo
Católica
1 1 1 2. Sabiendo que: x ∈ [2; 5], determinar el intervalo en que
31. Si: ∈ ; entonces: x ∈ [m; n]; halle: mn x–1
2x + 8 12 6 se encuentra: y =
x+3
A. – 8 C. – 15
B. – 2 D. – 6 1 1 1 1
A. ; C. ;
6 5 5 2
32. La tercera parte de cierto número entero disminuido en 3 1 1 1 1
B. ; D. ;
7 5 5 3
es mayor que 25; pero la cuarta parte del mismo número
disminuida en 2 es menor que 24. Dar como respuesta el
producto de cifras del número si este número es múltiplo 3. Si: a ∈ IR+ y – b ∈ IR+ entonces:
de 12.
1 1
I. <
b a
A. 8 C. 54
II. b(b – a) > 0
B. 40 D. 45 b3
III. – b2 < 0
a
33. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de
IV. a2 < b2
invertir sus cifras se obtiene otro mayor que 71. Si la suma
de cifras es mayor que 9, ¿cuántos divisores positivos
¿cuántas se cumplen?
admite dicho número?
A. Ninguna C. 2
A. 1 C. 3 B. 1 D. 3
B. 2 D. 4
4. Si: – 3 < x < 2; entonces: a ≤ x2 – 2x – 4 < b
34. Una persona dispone de cierta cantidad para premiar a
sus sobrinos. Pensó darles 500 pesos a cada uno, pero hallar la ecuación de segundo grado que tenga raíces
le faltaban más de 200 pesos. Después pensó darles 450 “a” y “b”.
pesos a cada uno y le sobraban más de 300 pesos. Por
último decide darles 400 pesos a cada uno y le sobraban A. x2 – 6x = 55 C. x2 – 6x = – 55
menos de 875 pesos. Hallar el número de pesos que tenía B. x2 + 6x = 55 D. x2 + 6x = – 55
sabiendo que es múltiplo de 20.
5. Si se cumple: – 3 ≤ a < 6; hallar el máximo valor entero
A. 5280 C. 5250 de: – 4a + 8
B. 5300 D. 5260
A. 20 C. – 16
35. Un padre dispone de S/. 320 para ir a un evento deportivo B. 16 D. – 20
con sus hijos. Si toma entradas de S/. 50 le falta dinero
y si las toma de S/. 40 le sobra dinero. ¿Cuántos hijos 6. Si se sabe: – 2 < a ≤ 1; indicar el valor que no puede
tiene el padre? 2a + 4
tomar:
2a – 3
A. 5 C. 6
B. 7 D. 4
A. –5 C. –7
36. A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad 1
B. – D. –4
de pollitos de los que vendió 35 y le quedaron más de 4
la mitad, luego le devuelven 3 y vende después 18 con
lo que le restan menos de 22 politos. ¿Cuántos pollitos 7. Si: – 1 < x ≤ 4; hallar el mínimo valor de: x2 – 4x + 2
le dieron?
A. 2 C. 3
A. 69 C. 71 B. – 2 D. – 3
B. 70 D. 72
8. Si: – 3 ≤ x < 5; determinar el mayor valor de: x2 – 4x + 7
37. Los lados de un rectángulo se diferencian en tres unida-
des, indicar el intervalo de valores para el menor de los A. 26 C. 28
lados de modo que el área sea numéricamente menor B. 12 D. 36
que el perímetro.
9. Si: 0 < x < 5; ¿qué valor no puede adoptar: (x – 5)(x – 1) + 2?
A. 〈– 2; 3〉 C. 〈0; 3〉
B. 〈– 1; 3〉 D. 〈0; 2〉 A. 6 C. – 2
B. 3 D. – 3
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Álgebra
3x – 4 5x – 6 7x – 8 a b b a
11. Resolver: + ≥ 16. Si: a > 0 ∧ b > 0 ∧ a > b resolver: x+ ≥ x+
2 4 –2 b a a b
A. 1 C. 7 A. 121 C. 144
B. 8 D. 9 B. 131 D. 172
Trilce Católica 79