¿Qué es un vector?

En física, se llama vector a un segmento de recta en el espacio que parte de un

punto hacia otro, es decir, que tiene dirección y sentido. Los vectores en física
tienen por función expresar las llamadas magnitudes vectoriales.

En matemática y física, un vectora es un ente matemático como la recta o el plano. Un

vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio
euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido.1 Los
vectores nos permiten representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas
líneas abajo.
En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción
es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus
vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita
sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio
euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta , en el
plano  (bidimensional), o en el espacio  (tridimensional).
En física se define como el segmento de una recta, el cual se encuentra situado en el
espacio de un plano ya sea bidimensional o tridimensional.
Un ejemplo de un fenómeno físico que se puede describir con vectores es la velocidad de
un automóvil, no sería suficiente describirla con tan solo un número, que es lo que marca
el velocímetro, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige). Otro
ejemplo es la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su
magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un
objeto, pues es necesario definir la distancia que recorre, y la dirección del movimiento, o
bien la posición inicial y final del objeto.

El producto escalar es el producto de dos magnitudes vectoriales

multiplicado por el coseno del ángulo θ que forman entre sí.
Cuando se calcula el producto escalar de dos vectores el
resultado que se obtiene es una magnitud escalar.

El producto escalar de dos magnitudes vectoriales a y b  es:

a.b= ǀaǀǀbǀ.cosθ =ab.cos θ

a= es el valor absoluto del vector a

b=valor absoluto del vector b

 Una magnitud vectorial en un espacio tridimensional se
representa en un sistema de tres ejes perpendiculares entre sí
(x,y,z) llamado triedro ortogonal.

Componentes vectoriales de una magnitud vectorial. [By Dnu72

(https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vector_08.svg)] from Wikimedia Commons
En la imagen los vectores Vx, Vy, Vz son las componentes
vectoriales del vector V cuyos vectores unitarios son x,y,z. La
magnitud vectorial V se representa por la  suma de sus
componentes vectoriales.

V =Vx  + Vy + Vz
La resultante de varias magnitudes vectoriales es la suma
vectorial de todos los vectores y reemplaza a dichos vectores en
un sistema.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

A un vector lo representa una flecha, cuya longitud es proporcional

a su valor numérico, llamado módulo del vector.
Otras características del vector son:

 La dirección, o recta sobre la que está.

 Sentido, que lo marca la flecha del vector (su segmento o
dirección tendría dos posibles sentidos opuestos).
 Punto de aplicación, que coincidiría, en su caso, con el punto
origen del vector.

Vector

¿Qué es un vector?
En física, se llama vector a un segmento de recta en el espacio que parte de un
punto hacia otro, es decir, que tiene dirección y sentido. Los vectores en física
tienen por función expresar las llamadas magnitudes vectoriales.
 El término vector proviene del latín vector, vectoris, cuyo significado es ‘el que
conduce’, o ‘el que transporta’.

Los vectores se representan gráficamente con una flecha. Asimismo, cuando

deben ser expresados en una fórmula, se representan con una letra coronada
por una flecha.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Magnitudes vectoriales
Las magnitudes vectoriales son aquellas magnitudes que, además de
representarse con un número y una unidad, requieren también ser expresadas
en el espacio con una dirección y un sentido, es decir, con un vector. Esto las
distingue de las magnitudes escalares, las cuales solo requieren un número y
una unidad. Son ejemplos de magnitudes vectoriales los siguientes:
 velocidad;
 desplazamiento;
 aceleración;
 impulso;
 fuerza;
 peso;
 potencia;
 campo eléctrico;
 campo magnético;
 campo gravitatorio;
 energía térmica;
 torque;
 momentum.

Características de los vect

ores
Los componentes de los vectores que definen sus características son los
siguientes:

 Módulo o magnitud: se refiere a la longitud o amplitud del vector o segmento

de recta.
 Dirección: se refiere a la inclinación que posee el vector con respecto a un eje
horizontal imaginario, con el cual forma un ángulo.
 Sentido: se refiere a la orientación del vector, indicado por la cabeza de la
flecha del vector.
 Tipos de vectores
Según la ubicación de su punto de aplicación, los vectores se clasifican en:

 Vectores libres. Aquellos que no poseen un punto de aplicación particular.

 Vectores deslizantes. Aquellos cuyo punto de aplicación puede ser uno cualquiera a lo
largo de la recta de aplicación.
 Vectores fijos o ligados. Aquellos que poseen un único y determinado punto de
aplicación.

Si n embargo, también es posible clasificar los vectores según otros elementos, de

la siguiente manera:

 Vectores angulares o concurrentes. Aquellos que forman ángulos respecto de sus

líneas de acción o direcciones.
 Vectores opuestos. Aquellos que poseen igual magnitud pero sentido contrario.
 Vectores colineales. Aquellos que comparten recta de acción.
 Vectores paralelos. Aquellos cuyas líneas de acción sean, justamente, paralelas.
 Vectores coplanarios. Aquellos cuyas rectas de acción estén situadas en un mismo
plano.

Clases de vectores
 

1 Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

2 Vectores libres

 
 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre.

Cada vector fijo es un representante del vector libre.

3 Vectores fijos:

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos
tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

4 Vectores ligados

 
Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta.
Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se
encuentran en la misma recta.

5 Vectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

6 Vectores unitarios

Los vectores unitarios tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector

dado se divide éste por su módulo.

 
7 Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

8 Vectores de posición

El vector   que une el origen de coordenadas   con un punto   se llama

vector de posición del punto  .

9 Vectores linealmente dependientes:

 
 

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una
combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero
todos los coeficientes de la combinación lineal.

10 Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se

puede expresar como combinación lineal de los otros.

11 Vectores ortogonales
 

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

                    

12 Vectores ortonormales

Dos vectores son ortonormales si:

a Su producto escalar es cero.

b Los dos vectores son unitarios.

ººXC 000
Vectores en R2
Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y.

Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina
su sentido en el plano.

Un vector fijo   es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

Módulo del vector 

Es la longitud del segmento AB, se representa por  .

Dirección del vector 

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido del vector 

El que va del origen A al extremo B.
Puntos en  R3R3
Para ubicar un punto en R3R3 usaremos como sistema de referencia una terna
de ejes perpendiculares entre sí:

 eje xx (eje de abscisas, en rojo)

 eje yy (eje de ordenadas, en verde)
 eje zz (eje de cotas, en azul)

los cuales se cortan en el punto O (origen de coordenadas).

En el siguiente esquema se ven los tres planos que quedan determinados:

 el plano xyxy (en azul)
 el plano xzxz ( en verde)
 el plano yzyz (en rojo)
Estos planos se conocen como planos coordenados. El nombre del
plano xyxy viene de que este plano contiene al eje xx y al eje yy. En forma
análoga se derivan los nombres de los otros dos planos.
Se puede demostrar que hay dos formas diferentes de armar un sistema de
referencia con tres ejes perpendiculares. Una de esas formas se conoce con el
nombre de terna derecha (que es la que usaremos en esta materia y la que
hemos presentado recién) y la otra como terna izquierda:
Vectores en  R3R3
Queda establecido un sistema de coordenadas donde todo punto de R3R3 se
define mediante una terna ordenada de números reales: P(x,y,z)P(x,y,z), y
tiene asociado un vector posición ⃗p=−−→OP=(x,y,z)p→=OP→=(x,y,z).
Para dar un ejemplo en el siguiente esquema graficamos al
punto P(2,4,3)P(2,4,3), y su vector posición ⃗p=−−→OPp→=OP→:

Hemos tomado la misma escala sobre cada uno de los ejes. Pero, como
en R2R2, es posible tomar una escala diferente para cada eje.
En el siguiente GIF les mostramos cómo podría hacerse la gráfica del punto
paso a paso:
Ejemplo 1

Dados ⃗u=(1,–1,1),⃗v=(2,0,2)y→w=(–1,3,–1)u→=(1,–
1,1),v→=(2,0,2)yw→=(–1,3,–1) , ¿Existen α,β∈Rα,β∈R tales que
⃗w=α.⃗u+β.⃗vw→=α.u→+β.v→?
Para responderlo escribiremos la igualdad y trataremos de calcular αα, y ββ:
(–1,3,–1)=α.(1,–1,1)+β.(2,0,2)(–1,3,–1)=α.(1,–1,1)+β.(2,0,2)
(–1,3,–1)=(α+2β,–α,α+2β)(–1,3,–1)=(α+2β,–α,α+2β)
⎧⎪⎨⎪⎩–1=α+2β3=–α–1=α+2β⇒α=–3∧β=1{–1=α+2β3=–α–1=α+2β⇒α=–
3∧β=1
(–1,3,–1)=–3.(1,–1,1)+1.(2,0,2)(–1,3,–1)=–3.(1,–1,1)+1.(2,0,2)
Como existen α,β∈Rα,β∈R tales que ⃗w=α.⃗u+β.⃗vw→=α.u→+β.v→ , diremos
que ⃗ww→ es combinación lineal de ⃗uu→ y ⃗vv→. Más adelante
desarrollaremos el concepto de combinación lineal.
Podemos visualizar esto en un gráfico:

Pero esto puede llevarnos a la pregunta:

Dados tres vectores ⃗u,→v,→wu→,v→,w→ de R3R3, ¿es siempre posible

encontrar los números reales αyβαyβ tales
que ⃗w=α.⃗u+β.⃗vw→=α.u→+β.v→ ?
Veamos otro ejemplo para responderla.

Ejemplo

Si los vectores fueran:

u⃗ =(2,–3,4)u→=(2,–3,4)
⃗v=(–5,1,0)v→=(–5,1,0)
⃗w=(4,2,1)w→=(4,2,1)
Veamos si existen α,β∈Rα,β∈R tal que ⃗w=α.⃗u+β.⃗vw→=α.u→+β.v→:
(4,2,1)=α(2,–3,4)+β.(–5,1,0)(4,2,1)=α(2,–3,4)+β.(–5,1,0)
(4,2,1)=(2α,–3α,4α)+(–5β,1β,0)(4,2,1)=(2α,–3α,4α)+(–5β,1β,0)
(4,2,1)=(2α–5β,–3α+1β,4α)(4,2,1)=(2α–5β,–3α+1β,4α)
⎧⎪⎨⎪⎩2α–5β=4–3α+β=24α=1{2α–5β=4–3α+β=24α=1
Es un sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas. Podemos
despejar αyβαyβ a partir de dos de las ecuaciones (por ejemplo las dos
últimas):
α=14α=14
β=114β=114
Pero luego debemos verificar si estos valores satisfacen primera ecuación.

Reemplazamos en: 2α–5β=42α–5β=4:
24–554≠424–554≠4
No se verifica la ecuación, por lo tanto no existen los escalares αyβαyβ que
satisfagan la igualdad. En otras palabras, diremos que ⃗ww→ no es una
combinación lineal de ⃗uu→ y de ⃗vv→.
Como puede observarse en la imagen, los tres vectores no están contenidos en
un mismo plano (no son coplanares), entonces ninguno de ellos puede
obtenerse como combinación lineal de los otros dos:
Suma de vectores
 

Si tenemos dos vectores   y  , entonces la suma

de   y   es

En otras palabras, el vector suma de   y   es el vector que resulta de sumar
las componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de   
se suma con la primera componente de  , y la segunda componente de   se
suma con la segunda componente de  .

 Interpretación gráfica de la suma

Observemos la siguiente gráfica que muestra la suma de los vectores   y  :

Si   y   son dos vectores libres, entonces para sumarlos gráficamente

primero se elige el representante de   cuyo origen es el extremo de  .
Luego,   es el vector cuyo origen es el origen de   y cuyo extremo es el
extremo de  .

Notemos que también se puede elegir un representante de   tal que

su origen sea el extremo de  . La suma   tendrá el mismo valor, pero
ahora la obtendremos uniendo el origen de   con el extremo de  .
Resta de vectores
La resta de vectores se realiza de forma análoga a la suma de vectores.

Para restar dos vectores se restan las coordenadas x por un lado y las
coordenaadas «y» por otro.

Si tenemos los vectores:

La resta de los vectores v-u será:

Vamos a verlo con un ejemplo: Restar la resta v-u, siendo v y u los

siguientes vectores:

Para hallar la resta de los vectores v-u restamos por un lado, a la

coordenada x de v la coordenada x de u y por otro lado, a la coordenada
«y» de v le restamos la coordenada «y» de u:

Operamos dentro de cada coordenada, teniendo mucho cuidado con los

signos y el vector resultante v-u queda:
La resta de vectores también se puede realizar gráficamente. Te lo explico
en el siguiente apartado.

Resta gráfica de vectores

Al igual que pasaba con la suma gráfica de vectores, la resta gráfica de

vectores puede realizarse de dos maneras. Verás que es muy similar a la
suma pero teniendo en cuenta un detalle muy importante.

Primera forma:

Sean los vectores v y u siguientes:

Como queremos realizar la resta v-u, el primer paso es cambiar el sentido

del vector u:

Ahora seguimos el mismo procedimiento que en la suma gráfica de

vectores, con la diferencia de que el sentido del vector u es contrario a su
sentido original. Es lo mismo que sumar (-u).

Colocamos el origen del vector u con el sentido contrario en el extremo

del vector v:
Unimos el origen del vector v con el extremo del vector u con el sentido
contrario y obtenemos el vector resultante v-u:

Seguimos con la segunda forma.

Tenemos los vectores v y u:

Igual que antes, como queremos realizar la resta v menos u (v-u), al

vector u le cambiamos el sentido:

Ahora colocamos el vector v y el vector u con el sentido contrario en el

mismo origen:

Formamos un paralelogramo, con estos dos vectores y trazando una línea

paralela al nuevo vector u, en el extremo del vector v y una línea paralela
al vector v en el extremo de este vector u, quedando de la siguiente
forma:
La unión del origen de ambos vectores con la intersección de las
líneas dibujadas, será el vector resultante de restar u-v:

Tanto con una forma como con la otra, ten en cuenta que debes cambiar
el sentido del vector que quieres restar (no olvides nunca esto) y luego el
procedimiento es el mismo que con la suma.

Multiplicación de vectores

La  multiplicación de dos vectores A y B   se realiza de dos formas:

 Como producto escalar, cuyo resultado es un número:

A · B  = C   ; Donde C ∈ R.

 Como producto vectorial, cuyo resultado es otro vector.

A × B  = C
PRODUCTO ESCALAR

Sea A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz), el producto

escalar (denominado también producto punto o producto interno) de
dos vectores se define como:

A · B  = AxBx + AyBy + AzBz

Ahora, otra forma de expresar el producto escalar es:

A ∙ B  = |A| |B| cosθ

Donde |A| y |B| son los módulos de A y B, y θ  es el ángulo entre

ambos vectores.

El  producto escalar  de dos vectores da como resultado un  número  real.

Ejemplo 1: Determine el producto escalar de A = (2, 4, 6) y B = (-2, 3,

8).
Vemos que para el vector A , 2 es la componente  “x”, 4 es  “y” y 6 es
“z”. Para el vector B, -2 es la componente  “x”, 3 “y” y 8 es “z”. El
producto escalar será:

A · B  = AxBx + AyBy + AzBz = (2)(-2) + (4)(3) + (6)(8) = – 4 + 12 + 48 = 56

Ejemplo 2: Determine el producto escalar de A = (5, 7) y B = (- 1, -3),

considerando que el ángulo entre ambos es θ = 60 ⁰.

Vemos que para el vector A, 5 es la componente  “x” y 7 es  “y”. Para el

vector B, -1 es la componente  “x” y – 3 es “y”. El producto escalar será:

A ∙ B  = |A| |B| cosθ

 Cálculo del módulo de A:

|A|= √ [ (Ax)2 +(Ay)2  ]= √ [ (5)2 +(7)2 ]  = √ (25 + 49 ) = √74

 Cálculo del módulo de  B:

|B|= √ [ (Bx)2 +(By)2  ]= √ [ (-1)2 +(-3)2 ]  = √ (1 + 9 ) = √10

Por lo tanto:

A ∙ B  = √74 √10 cos60 ⁰ = (√74 √10)/2= √740 / 2 = 13,60

PRODUCTO VECTORIAL
 Sea A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz), , el producto
vectorial (denominado también producto cruz) de dos vectores se
define como:

A × B = (AyBz – AzBy) î + (AxBz – AzBx) ĵ + (AxBy –  AyBx) k

Ahora, si multiplicamos las magnitudes de A y B  y las multiplicamos

por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 ⁰),
la magnitud del producto vectorial es:

A × B  = |A| |B| sinθ

Donde |A| y |B| son los módulos de A y B, y θ  es el ángulo entre

ambos vectores.

La dirección del vector del producto vectorial se determina por la

regla de la mano derecha.

Vectores unitarios:
características, cómo sacarlo,
ejemplos
Por

 Fanny Zapata
Los vectores unitarios son aquellos cuyo módulo, magnitud o
tamaño es igual al valor numérico uno. Los vectores unitarios
son de utilidad para indicar la dirección de otros vectores no
unitarios.

 un vector unitario o versor es un vector de módulo uno. En ocasiones se le llama

también vector normalizado.

Los vectores unitarios más conocidos son los tres vectores que van en las direcciones de
los ejes cartesianos. Fuente: F. Zapata.
Independientemente de la magnitud física a la que se asocien,
los vectores unitarios son entes carentes de unidades de medida
y su tamaño siempre es 1, un número puro.

Vector unitario

Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un

vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este
último por su módulo.
 AB mide 3, por lo que:

Y su módulo:

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo

de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los
vectores i, j y k:

Vectores unitarios para los ejes

cartesianos:

La orientación de estos tres ejes cartesianos puede cambiarse, siempre y cuando

su orientación relativa sea la misma.

Del mismo modo pueden definirse un vector tangente y un vector

perpendicular a una curva en cada punto, o un vector unitario en
las direcciones radial y angular:
 Con ayuda de estos vectores unitarios puede expresarse un vector
cualquiera en función de sus vectores constituyentes.
Vectores constituyentes
En los campos de la física y la ingeniería es habitual expresar los vectores
en términos de los vectores unitarios  i, j, k.

En la siguiente figura está representado un vector cualquiera en dos

dimensiones sobre unos ejes cartesianos.

Como vimos en la página donde tratamos las magnitudes escalares y

vectoriales, sus componentes vienen dadas por:

El vector a puede escribirse también como la suma de los

vectores ax y ay representados respectivamente en azul y en verde en la
figura:

Y cada uno de ellos es el producto de la proyección del vector a sobre el

eje correspondiente multiplicado por el vector unitario que define el
sentido positivo de ese eje:
Por lo que el vector a queda finalmente:

Y se dice que está expresado en función de sus vectores constituyentes. En

tres dimensiones a la expresión anterior se añadiría la componente z del
vector a multiplicada por k.

Suma de veectires y diferencias

Dos o más vectores pueden ser sumados para obtener otro vector que
produzca el mismo efecto final que los vectores a sumar juntos. Cuando
los vectores están expresados en sus componentes, sumarlos es tan
simple como sumar dichos componentes respetando la regla de signos.
El resultado de sumar vectores es conocido como vector resultante.
En el gráfico a continuación se muestra dos vectores A y B en el plano
cartesiano, el vector R es el vector resultante después de sumar A Y B.

Podemos notar gráficamente como se suman los vectores, de manera

similar ocurre cuando se trata de sumar varios vectores. En el espacio
tridimensional sucede de igual manera, con la única diferencia de que los
vectores tienen tres componentes. Veamos.
Ejemplo: hallar el vector resultante de los vectores A, B y C.

 A= (2,-4,3)
 B= (-1,0,-5)
 C= (7,4,2)
 El vector resultante será: R= (2-1+7, -4+0+4, 3-5+2) ⇒ R= (8,0,0)
Un vector tiene componentes en “x” y componente en “y” y se puede escribir de
la siguiente manera: F= <35, 43>. Para hacer una suma de vectores por
componentes necesitamos saber las componentes en “x” y en “y” de cada
vector.
Veamos con un ejemplo ¿Cómo obtener las componentes de un vector?

a = 85 N

b = 30 N

Primero sacamos los ángulos de cada vector al eje “x” positivo.

θ a =30°

θ b = 180 + 90 – 70 = 200°

Ahora sacamos las componentes en “x” multiplicando la magnitud por el

coseno del ángulo al eje “x” positivo.

ax = 85N (cos 30°) = 73.62 N

bx = 30N (cos 200°) = -28.19 N

Ahora sacamos las componentes en “y” multiplicando la magnitud por el

seno del ángulo al eje “x” positivo.

ay = 85N (sen 30°) = 42.5 N

by = 30N (sen 200°) = -10.26 N

**Este método tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez.
Ahora sumamos las componentes en “x” y en “y”

a+b = <45.43, 32.24>

El vector resultante tiene una magnitud de 55.70 N.

Diferencia de vectores
La diferencia entre vectores es básicamente similar a la suma de
vectores, solo que en este caso los vectores se restan, el vector que
sustrae tiene signo negativo que es repartido a cada componente de
dicho vector, luego las operaciones se realizan como respetando los
signos.

Por ejemplo, si tenemos el vector A y B, el vector diferencia será D= A-B,

veamos:

 A=(3,5,1)
 B=(-1,7,-12)
D=A-B ⇒ D=(3,5,1) – (-1,7,-12) ⇒ D=(3-(-7), 5-7, 1-(-12)) ⇒ D=(10,-2,13)
Gráficamente podemos observar a continuación, además cuando el
ángulo formado es agudo se cumple la ley de cosenos y es posible
aplicar la fórmula que aparece.
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector

Esta página se editó por última vez el 6 oct 2021

https://matematicasmodernas.com/suma-de-vectores/

 Monica Casillas Brizuela  7 Años Ago

https://enfisica.com/vectores/suma-de-vectores/

septiembre 10, 2019 por Enfisica.com

https://www.centroestudioscervantinos.es/vector-unitario/

https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/magnitudes/magnitudes2.htm#:~:text=Un
%20vector%20unitario%20es%20aqu%C3%A9l,este%20%C3%BAltimo%20por%20su%20m
%C3%B3dulo.

https://www.universoformulas.com/fisica/vectores/operaciones-vectores/

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2017
http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematica
s_V/Applets_Geogebra//opervectores.html#:~:text=Para%20restar%20dos%20vectores
%20libres,opuesto%20a%20%2C%20es%20decir%2C%20.&text=La%20multiplicaci%C3%B3n
%20de%20un%20n%C3%BAmero,igual%20direcci%C3%B3n%20que%20el%20vector%20.

Dr. José Manuel Becerra Espinosa

http://pierocondor26.blogspot.com/p/vcetores-en-r2.html

Piero Sandro Cóndor Costilla.

http://fisica201301.blogspot.com/2013/10/la-expresion-analitica-del-vector.html

JUEVES, 17 DE OCTUBRE DE 2013

https://concepto.de/vector/

Editorial Etecé

Última edición: 31 agosto, 2020

https://www.significados.com/vector/

https://www.universoformulas.com/fisica/vectores/caracteristicas-vector/#:~:text=A%20un
%20vector%20lo%20representa,tendr%C3%ADa%20dos%20posibles%20sentidos
%20opuestos).

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2017
https://www.lifeder.com/magnitud-vectorial/

 Alberto Cajal

https://www.lifeder.com/magnitud-escalar/

Alberto Cajal. (28 de mayo de 2020)

https://www.fisicapractica.com/magnitudes.php

https://www.fisicas.info/2017/06/ejemplos-de-magnitudes-escalares.html