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Problemas Metodos Numericos - Valores y Vectores Caracteristicos
Problemas Metodos Numericos - Valores y Vectores Caracteristicos
Problemas Metodos Numericos - Valores y Vectores Caracteristicos
Prepare hojas de cálculo para resolver el problema de valores y vectores característicos A'φ = λBφ, por iteración directa y por iteración inversa
con traslación. Suponga que las matrices son de orden 3 y que B es diagonal. Verifique las hojas de cálculo, obteniéndose los tres valores
característicos y los correspondientes vectores considerando un problema de la forma:
a b 0 0
3
Matriz A
-1 0 1
Matriz B [ ]
c
0
0
a
c
0
b
a
⋱
0
⋱
⋱
-2 3 -1 1
0 -2 3 1
ITERACIÓN DIRECTA
k xk A xk x̄ k+1 r k+1 ρ x(k+1)
3
0 0 0 0
0 -1 -1
1 3 3 3.9
0.499927
El procedimiento converge al vector característico: Φ3 = -0.999927
1.000000
Traslación
m = 0.9999
A-mB Factores L U
2.0001 -1 0 2.0001 -1 0
-2 2.0001 -1 -1 1.00015 -1
0 -2 2.0001 0 -1.9997 0.00039995
ITERACIÓN INVERSA
k xk B xk A xk x̄ k+1 r k+1 ρ x(k+1)
0 0 0 -1 0 4999.75 10000.5
1 1 1 1 10000
2 2 4 3.9997 10000 0.00013333
0.5
El procedimiento converge al vector característico : Φ1 = 1
1
OBERVACIÓN
para m muy cercano a la unidad converge más rápido
PREGUNTA 03
Empleando el método de la iteración inversa, con traslación, para Ø2
Matriz A Matriz B
3 -1 0 1
-2 3 -1 1
0 -2 3 1
A-mB Factores L U
1E-06 -1 0 1E-06 -1 0
-2 1E-06 -1 -2000000 -2000000 -1
0 -2 1E-06 0 1E-06 2E-06
ITERACIÓN INVERSA
k xk B xk A xk x̄ k+1 r k+1 ρ x(k+1)
-0.5
El procedimiento converge al vector característico : Φ2 = 2.082E-19
1.000E+00
que corresponde al valor característico de módulo intermedio: λ2 = 3
comprobando con la fórmula dada
datos:
a b c n αs
s
3 -1 -2 3 (rad) (º)
1 0.7853982 45
2 1.5707963 90 COMPROBACIÓN : MATLAB
3 2.3561945 135 >> [V D ] = eigs(a,b)
V=
0.5000 -0.5000 -0.5000
Valor Caracteristico Vector característico (Φs) -1.0000 -0.0000 -1.0000
1.0000 1.0000 -1.0000
(λs) Φ1 Φ2 Φ3 D=
5.0000 0 0
1 1 1.41421 1 0 3.0000 0
3 2 0 -2 0 0 1.0000
>>
5 2 -2.82843 2 Donde:
V = Matriz de eigenvectores
D = Matriz de eigenvalores
0.5000 -0.5000 -0.5000
-1.0000 -0.0000 -1.0000
1.0000 1.0000 -1.0000
D=
5.0000 0 0
0 3.0000 0
0 0 1.0000
>>
Donde:
V = Matriz de eigenvectores
D = Matriz de eigenvalores
Ordenando (λs) Φ1 Φ2 Φ3
1.000 1.000 -0.500 0.500
3.000 1.000 0.000 -1.000
5.000 0.500 1.000 1.000
PREGUNTA 04
Proponga una matriz A cuadrada y simétrica, de orden 3. Determine otra matriz, de la forma Hessemberg, que tenga los mismos valores
característicos.
Sea la matriz A cuadrara y de orden 3:
4 3 2
3 4 3
2 3 4