Funciones Logarítmicas Aplicadas Al Crecimiento Poblacional

FUNCIONES LOGARÍTMICAS APLICADAS AL
CRECIMIENTO POBLACIONAL
INDICE
INTRODUCCIÓN: ---------------------------------------------------------------- 2
I. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA. ---------------------------------- 3
II. HIPOTESIS. ---------------------------------------------------------------- 3
V. OBJETIVOS. --------------------------------------------------------------- 3
III. MARCO TEORICO. ------------------------------------------------------- 4
1. funciones logarítmicas. -----------------------------------------------------4
2. tipos de funciones logarítmicas. ------------------------------------------ 4
3. características de las funciones logarítmicas. --------------------------- 6
IV. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS EN LA
REALIDAD-EJERCICIO. -------------------------------------------------------- 9
VI. CONCLUSIONES. --------------------------------------------------------10
~1~
INTRODUCCIÓN:
Este presente informe trataremos acerca de las aplicaciones de las funciones logarítmicas
y como podemos emplear funciones logarítmicas para resolver problemas reales. El tema
de “funciones” quizá sea uno de los más interesantes a tratar en el curso, debido a la
infinita variedad de aplicaciones tanto teóricas como prácticas que el estudiante podrá
encontrar relacionadas con éste. Si bien nosotros restringiremos nuestro estudio de
funciones a las más elementales, eso nos bastará tanto para introducir los conceptos
fundamentales como así también, para ver interesantes ejemplos de aplicación práctica
como resolver problemas de la vida cotidiana, es importante conocer las causas de las
cosas, y como se relacionan con los resultados obtenidos.
~2~
I. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA:
La sobre población es un problema que generara consecuencias en el trascurso de los años
acarreando principalmente problemas laborales como también urbanos. Debido esto
muchas personas se preguntan cómo se calcula el crecimiento demográfico poblacional y
como poder estimar el nivel de población en años futuros y es porque desconocen los
métodos matemáticos que pueden ser aplicados para este tipo de cálculos como son las
funciones logarítmicas. Nos centraremos es la ciudad de amazonas con una población
estimada en el año 2007 de 49 700 persona con una tasa de crecimiento anual de 0,7 y
desde 1993 hasta 2017 con una tasa de 1,5. Tomando en cuenta el empleo de funciones
logarítmicas calcular su crecimiento demográfico durante los 10 últimos años y luego dar
un estimado de población en un futuro.
II. HIPOTESIS:
Se puede Aplicando funciones logarítmicas calcular el nivel de población pasado o fututo
de una población de personas de un lugar o localidad y así determinar la cantidad
aproximada en números.
III. OBJETIVOS:
 OBJETIVOS GENERALES:
Identificar las funciones logarítmicas.
Identificar las características de las funciones logarítmicas.
 OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Representar el crecimiento de una población aplicando funciones logarítmicas.
Utilizar adecuadamente una función logarítmica al momento de calcular en nivel
de población de un lugar específico
~3~
IV. MARCO TEORICO:
1. FUNCIONES LOGARITMICAS:
La función inversa de la exponencial Dada una
función inyectiva, y=f(x), se llama función inversa
de f a otra función, g, tal que g(y)=x. En la figura
adjunta se puede ver la inversa de la función
exponencial. Para cada x se obtiene ax . Al valor
obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa
de la exponencial es la que cumple que g(y)=x.
Esta función se llama función logarítmica y, como
puedes observar, es simétrica de la función
exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Es la función inversa de la función exponencial y

se denota de la siguiente manera: y = logax, con a>0
y distinto de 1. En la figura se representa la gráfica
de y=log2x de forma similar a como se hizo con la
exponencial. Sus propiedades son "simétricas".
x 0,12 0,25 0,5 1 2 4 8

f(x) 5-3 -2 -1 0 1 2 3
2. TIPOS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA "BÁSICA"
es la función, y = log b x, donde b > 0 y b ≠ 1.
La gráfica de la función logarítmica y = log 10 x se muestra a continuación.
~4~
Observe que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y = b x y tiene
las siguientes propiedades.
1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos.
2. El rango es el conjunto de todos los números reales.

(Ya que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, el dominio de la
función logarítmica es el rango de la función exponencial y el rango de la función
logarítmica es el dominio de la función exponencial)
3. La función es continua y uno-uno-uno.
4. El eje de las y la asíntota de la gráfica.
5. La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1.
La función logarítmica, y = log b x , puede ser cambiada en k unidades verticalmente

y h unidades horizontalmente con la ecuación y = log b ( x + h ) + k .
Cambio Vertical
Si k > 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia arriba.
Si k <0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia abajo.
Cambio Horizontal
Si h > 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la Izquierda.
Si h <0, la gráfica se desplazaría h unidades a la Derecha.
Ejemplo:
Grafique la función y = log 10 ( x - 1) + 2.
~5~
Comience con la gráfica logarítmica básica y = log b x . Luego cambie la gráfica 1 unidad
a la derecha y 2 unidades hacia arriba.
A. Función logarítmica natural

El logaritmo con base y es el logaritmo natural. Se denota por ln x . La función
logarítmica natural, y = ln x es la inversa de la función exponencial natural de
base, y = e x .
La gráfica de la función logarítmica natural y = ln x se muestra a continuación.
3. Características de las funciones logarítmicas:
Las características generales de las funciones logarítmicas son:
1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos
Dom(f) = (0. + ∞) .
~6~
2) Su recorrido es R: Im(f) = R .
3) Son funciones continuas.
4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1, 0) .
La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.
5) Como logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto (a, 1) .
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son convexas si a > 1 .
Son concavas si 0 < a < 1 .
8) El eje Y es una asíntota vertical.
 Si a > 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞

 Si 0 < a < 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞
~7~
4. Ejemplo de funciones logarítmicas:
~8~
V. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS EN
LA REALIDAD-EJERCICIO
En la ciudad de Chachapoyas-Amazonas el crecimiento demográfico ha ido aumentando
con los años siendo actualmente una población aproximada de 49 700 habitantes en el
año 2007 teniendo una taza de crecimiento anal de 0,7 calcular cuánto ha crecido
demográficamente la provincia de Chachapoyas en los últimos 10 años y la cantidad de
población en el año 1993.
Formula: f(t) = f (0) *ek*t

F(t): es la población futura , se toma F(t) en el eje y
F(0): es igual a la población inicial
K: es la constante de crecimiento
T: es igual al tiempo , se toma al tiempo con respecto al eje x
E: 2,71828- logaritmo neperiano
Desarrollo:
I). F (10) = 49 700* 2,72 0.7%*10

 F(10)= 53 306 habitantes aprox.
II) . 49 700 = F(0)* 2.27 0.7%*14

 F(0) = 45 058 habitantes aprox.
~9~
Grafica:
6000
58000
55000
53000
50000
48000
45000 x
1993 1998 2002 2007 2010 2012 2017 2019
VI. CONCLUSIONES
 Con este trabajo de investigación podemos concluir que la aplicación de las funciones
logarítmicas para el uso estadístico es muy importante, pues permite facilitar el
cálculo de una población de manera más precisa
 En conclusión, las funciones logarítmicas se pueden utilizar para cálculos de la vida

diaria y así también permite conocer su aplicación en esta.
VII. REFERENCIAS
 Aquino, L. C. (2008). Matemáticas B. En L. C. Aquino, Matemáticas B (3,171-172).

Madrid: cidead.
 Jarne, G. (2014). Calculo operacional. proyecto de investigación Aragón tres, (1-2).
~ 10 ~

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FUNCIONES LOGARÍTMICAS APLICADAS AL

Es la función inversa de la función exponencial y

x 0,12 0,25 0,5 1 2 4 8

2. TIPOS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

es la función, y = log b x, donde b > 0 y b ≠ 1.

La gráfica de la función logarítmica y = log 10 x se muestra a continuación.

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos.

2. El rango es el conjunto de todos los números reales.

3. La función es continua y uno-uno-uno.

4. El eje de las y la asíntota de la gráfica.

5. La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1.

La función logarítmica, y = log b x , puede ser cambiada en k unidades verticalmente

Si k > 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia arriba.

Si k <0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia abajo.

Si h > 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la Izquierda.

Si h <0, la gráfica se desplazaría h unidades a la Derecha.

A. Función logarítmica natural

La gráfica de la función logarítmica natural y = ln x se muestra a continuación.

3. Características de las funciones logarítmicas:

Las características generales de las funciones logarítmicas son:

1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos

3) Son funciones continuas.

4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1, 0) .

La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.

5) Como logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto (a, 1) .

6) Si a > 1 la función es creciente.

Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

7) Son convexas si a > 1 .

Son concavas si 0 < a < 1 .

8) El eje Y es una asíntota vertical.

Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞

Formula: f(t) = f (0) *ek*t

I). F (10) = 49 700* 2,72 0.7%*10

II) . 49 700 = F(0)* 2.27 0.7%*14

 En conclusión, las funciones logarítmicas se pueden utilizar para cálculos de la vida

 Aquino, L. C. (2008). Matemáticas B. En L. C. Aquino, Matemáticas B (3,171-172).

 Jarne, G. (2014). Calculo operacional. proyecto de investigación Aragón tres, (1-2).

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