Calculo 1 LIMITES - 2
Calculo 1 LIMITES - 2
Calculo 1 LIMITES - 2
TEMA: LIMITES
MATERIA: CALCULO Ⅰ
DOCENTE: ING. MSC. MIGUEL CUELLAR
INTEGRANTES
2-. JUSTIFICACIÓN.............................................................................................2
3. OBJETIVOS.....................................................................................................2
5-. DESARROLLO...............................................................................................7
6-. CONCLUSIONES..........................................................................................12
7-. BIBLIOGRAFIA.............................................................................................13
7.1-. Libros...................................................................................................13
7.2-. Weblografía.........................................................................................13
1. INTRODUCCIÓN
Antiguamente los griegos empezaron a utilizar una técnica basada en los límites
que consiste en calcular el área de un círculo utilizando un método llamado
método de agotamiento, la cual consiste en cubrir toda el área de la manera más
completa posible utilizando triángulos y luego calculando el área de estos, y así
era como estimaban el fin de un área o región.
3. OBJETIVOS
3.1 Objetivo general
Explicar de qué manera se aplican los límites en los problemas de la vida
cotidiana.
Se dice que la función f (x) tiene un límite finito” L”; para que “x” tienda a un punto
“a”, si para todo error Épsilon “n” tan pequeño como se quiera, existe otro error
Deltha “∆” en “x” tal que se verifique la siguiente desigualdad |f(x) -L, cuando: |x-a|
<∆
Notación de Limite
2
lim f ( x )=L Donde L es el valor dellimite
x→ a
Limites Laterales
Se lee: limite cuando x tienda al punto a por la derecha de la función f(x) o limite
lateral derecho
Se lee: limite cuando x tiende al punto a por la izquierda de la función f(x) o limite
lateral izquierdo
Limites Especiales
Son aquellos límites que por sus características similares a otros límites nos
ayudan a resolver los problemas de otros límites de su misma especie.
sen(u) u
1.- lim =1 2.- lim =1 3.- lim 1−cos(u) =0
u→0 u u → 0 sen(u) u→0 u
1 1 n a u−1
4.- lim (1+u)
u→0 u=e
5.- lim
u→∞
1+( )
n
=e 6.- lim
u→0 u
=ln a
e u−1
7.- lim =ln e=¿1 ¿
u→0 u
lim mx=ma
x→ a
lim mx+b=ma+b
x→ a
k k
lim =¿ ¿
x→ a f (X) lim f ( x)
x →a
4
lim [ f ( x )∗g( x ) ]=lim f ( x )∗lim g( x)
x→ a x→ a x→ a
k k
lim [f (x )]k = lim f (x ) =[ L ]
x→ a [ x →a ]
Indeterminaciones
Las indeterminaciones en los límites son las expresiones que no quedan al
sustituir la x por el número al que tiende y que no tienen solución.
En todas ellas, están involucradas de alguna forma el cero o el infinito:
0
0
; ∞
∞
; ∞−∞ ; ; ;
0 × ∞ 00 ∞0 ; 1∞
Tipos de limites
Limites algebraicos
Indeterminación 0/0:
5
en una expresión racional, se factoriza el numerador, el denominador o
Indeterminación 0/0
Indeterminación ∞/∞
expresión.
Indeterminación ∞ - ∞
Indeterminación 0. ∞
Limites Trigonométricos
Para resolver este tipo de limites se aplican algunos de los siguientes limites
especiales:
sen(u) u 1−cos(u)
1.- lim
u→0 u
=1 2.- lim
u → 0 sen(u)
=1 3.- lim
u→0 u
=0
6
Limites exponenciales
Limites logarítmicos
❑
e n−1
lim
n→ 0
( )
n
= ln e=1∞
5. DESARROLLO
Algunos ejemplos que pueden mostrar los limites en la vida cotidiana son:
Ejemplo 1
Solución:
9.5 x +210,000 ∞
lim =
x→ ∞ x ∞
9,5 x 210,000
+
x x
lim
x→ ∞ x
x
= 9.5
7
Conclusión: El costo total de producción es 9.50 Bs, cuando aumenta el número
de unidades producidas la contribución de costos fijos al promedio de costos
disminuye a 0.
Ejemplo 2
t
t−1
inyectada intramuscularmente está dada por el modelo: f ( t )= ( )
t+1
t−1 t 1 t
t−1 t t−t
1−
∞ ( ) ( )
lim
t→∞ t+ 1( )
=lim
t → ∞ t +1
t =
lim
t→∞ 1 t = 1
∞
t+t
1+
∞ ( ) ( )
Solución:
t
t−1 t −1
❑
t−1−t−1
❑
❑
−2 t
❑ lim ❑
−2 t →∞ t −2
lim lim
t →∞ 1 t t t →∞ 1
1+ − 1+
∞ t t t
e =e =e
❑
lim
−2
1
t→ ∞
1+
1
=
¿e t
=e −2
e2
Conclusión:
1
La cantidad límite de droga en la sangre después de “t” horas inyectada es .
e2
8
Ejemplo 3
2−√ t−3
Una piscina se vacía según el modelo v = t 2−49 , donde v es volumen
expresado en m3 y t el tiempo en minutos ¿En qué valor se aproxima el volumen
cuando el tiempo se aproxima a 7 minutos?
Solución:
Conclusión:
Ejemplo 4
9
5 h−h2 +3 h3
La presión en un fondo marino se expresa según el modelo P= 2 h+h3 −h4 ,
donde h es la densidad ¿A qué valor se aproxima la presión cuando la densidad
se aproxima a “0”?
Solución:
5 h−h 2+3 h 2 0
¿ lim
h→0
( h+ h−h )
=¿❑ ¿
0
❑
h ( 3 h−h+5 )
¿ lim
h→0 ( 2 h ( −h3 +h2 +1 ) )
3(0)– 0+5
¿
2(−03 +02 +1)
5
¿
2
Conclusión:
5
es = 2,5.
2
Ejemplo 5
x 2 +9
Si aplicamos el límite directamente en el modelo lim , nos daría la forma
x→−3 x +3
indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar.
Solución:
x 2 +9 −32 +9 −9+9 0
lim = = =
x→−3 x +3 −3+3 0 0
10
2
x 2 +9 ( x +3)(x −3 x +9)
lim = = lim ( x ¿¿ 2−3 x+ 9)=¿ ¿
x→−3 x +3 (x +3) x →−3
¿ 9+ 9+9
¿ 27
Conclusión:
Ejercicio No.6
Se cree que dentro de “t” meses los ingresos económicos de una empresa será
2
√ 2001+√ t -t. Determine cuanto serán los ingresos a largo plazo.
Solución:
2 2
lim √ 2001+t 2−t=√ 2001+t 2−∞=∞−∞
t→∞
2
2 t∗√ 2001+t 2 +t
¿ lim √2001+t 2−
t→∞ √2 2001+t 2 +t
2 2
( √ 2001+t 2) −(t)2
¿ lim
t→∞ √2 2001+t 2+t
2001+t 2−t 2
¿ lim
t→∞ √2 2001+t2 +t
2001
¿ lim 2
t→∞ √ 2001+t2 +t
2001 2001
¿ 2 2
= 2 2 ¿ 2001 ¿ 0
√2001+ ∞ +∞ √∞ ∞
Conclusión:
La empresa no generara ingresos a largo plazo (0)
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6-. CONCLUSIONES
Finalizando con este proyecto pudimos darnos cuenta cual importante es aplicar
los limites en nuestra vida, aumentando más nuestros conocimientos acerca de los
métodos de factorización.
Tomar en cuenta la ley de los signos, ya que un signo puede cambiar el rumbo del
resultado.
A partir de este trabajo podemos resolver muchos problemas relacionados con los
limites ya que hemos visto varios puntos referentes al tema que serán de gran
ayuda para los alumnos de cálculo I.
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Serrate Salas Valeria
7-. BIBLIOGRAFIA
7.1-. Libros
VICTOR CHUNGARA CASTRO “Apuntes y problemas de CalculoⅠ”2018
7.2-. Weblografía
- https://definicion.de/limites-matematicos/
- http://matemáticajessi.blogspot.com/2015/02/limites-matematicos-y-su-
historia_65.html?m=1
- https://ekuatio.com/limites-de-funciones-que-sony-como-se-resuelven-limites-
laterales/
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