Integración Por Partes

Integración por partes
En esta página explicamos el método de integración por

partes paso a paso. Calcularemos 11 integrales mediante este
método para ver el procedimiento. Este método se basa en la
aplicación de la siguiente fórmula:
∫u dv=u⋅v−∫v du∫u dv=u⋅v−∫v du

donde
 uu es una función y dudu es su derivada

 vv es una función y dvdv es su derivada
El método se aplica, sobre todo, cuando el integrando es un

producto de funciones.
Notación: escribiremos la función logaritmo natural (logaritmo

en base ee como ln(x)ln⁡(x).
Ejemplo
Calculamos la integral
El integrando es un producto de dos funciones.
1. Identificamos uu y dvdv
Es importante pensar la elección de uu y dvdv porque luego

tenemos que derivar uu e integrar dvdv. Además, tenemos que
calcular la integral de la fórmula.
Si escogemos u=xu=x, entonces su derivada es du=dxdu=dx.
Pero, entonces, tenemos que escoger dv=ln(x)dxdv=ln(x)dx y
para calcular vv tenemos que integrar el logaritmo.
Por tanto, escogemos la otra opción:
2. Calculamos dudu y vv
Para calcular dudu tenemos que derivar uu:
Para calcular vv tenemos que integrar dvdv:
3. Aplicamos la fórmula
Sólo tenemos que sustituir las variables de la fórmula:
4. Calculamos la integral que queda
La integral que queda es inmediata:

Por tanto,
No olvidéis la constante de integración KK.
Más integrales resueltas

No es necesario tener un producto en el integrando para aplicar
integración por partes. La siguiente integral es un ejemplo de ello.
Integral 1
Solución
Antes que nada, aprovechamos las propiedades de

los logaritmos para simplificar el integrando:
Vamos a calcular la integral del logaritmo natural (luego ya
multilicaremos por 2).
Podemos escribir el integrando como un producto para ver

claramente la aplicación de la fórmula:
Obviamente, no debemos escoger dv=ln(x)dxdv=ln(x)dx ya que

entonces, tendríamos que calcular la integral del logaritmo, que
es precisamente lo que estamos haciendo. Por tanto,
Derivamos e integramos:
Sustituimos en la fórmula:
Por tanto, la integral del problema es
En algunas integrales tendremos que aplicar el método varias

veces. En estos casos, es importante mantener la elección de
los factores uu y dvdv. La siguiente integral es un ejemplo de
ello.
Integral 2
Solución
El integrando es un producto de dos funciones.

No importa si exex es uu ó dvdv porque tanto su derivada como su

integral es exex.
Si escogemos dv=x2dv=x2, tendremos que calcular la integral
Así que es mejor escoger u=x2u=x2 para bajar el grado del

monomio.
Aplicamos de nuevo integración por partes para calcular la

integral que nos queda. Para no deshacer los cálculos anteriores,
mantenemos la elección de uu y dvdv:
Por tanto,
Volviendo al comienzo,
Integral 3
Solución
No importa si cos(x)cos⁡(x) es dvdv ó uu porque tanto su integral

como su derivada son ±sin(x)±sin⁡(x).
Escogemos u=x2u=x2 para rebajar su grado.

Aplicamos de nuevo integración por partes para calcular la

integral que nos falta. Como dijimos en el problema anterior,
debemos mantener la elección de los factores uu y dvdv:
Aplicamos la fórmula:
Por tanto,
Elegimos un método de integración u otro según nuestra
intuición. La siguiente integral la resolvemos por el método de
integración por partes, pero la podemos resolver también
fácilmente por el método de sustitución (con el
cambio s2=x+1s2=x+1).
Integral 4
Solución
Como en los problemas anteriores, escogemos u=xu=x para

rebajar su grado.
Vamos a escribir la raíz como una potencia:
La derivada de uu es inmediata:
Calculamos vv integrando dvdv:
Por si lo necesitáis, vamos a escribir el cálculo de vv:
Si operamos un poco, el resultado final queda como

Hasta ahora, hemos hablado siempre de productos. Sin
embargo, el método podemos utilizarlo para cocientes. Un
ejemplo de ello es la siguiente integral.
Integral 5
Solución
Para aplicar el método cuando el integrando es un cociente, sólo

hay que escribir el cociente como un producto:
Como en las integrales anteriores, el logaritmo debe ser el

factor uu.
Muchas veces, tenemos que despejar la integral de la fórmula

de integración por partes como hacemos en la siguiente integral.
Integral 6
Solución
En esta integral no importa cuáles sean uu y dvdv porque es
irrelevante derivar o integrar la exponencial o el seno.
Escogemos, por ejemplo,
Aplicamos de nuevo integración por partes:
Volviendo al comienzo, tenemos

Pasamos la integral del lado derecho sumando al lado izquierdo:
De donde podemos aislar la integral que buscamos:
Integral 7
Solución
Escogemos u=x3u=x3 para rebajar su grado.

Repetimos el proceso dos veces más:
Observad que, por ejemplo, para resolver la integral

de x100⋅exx100⋅ex tendríamos que aplicar integración por partes 100
veces.
Integral 8
Solución
Escogemos u=xu=x para eliminar este factor de la integral.
Recordad que la derivada de axax es ax⋅ln(a)ax⋅ln⁡(a).

Integral 9
Solución
Escogemos el logaritmo como uu.

Integral 10
Solución
Elegimos u=arccos(x)u=arccos⁡(x) y dv=dxdv=dx.

Integrales por partes

 INTREGRALES POR PARTES I
 INTEGRALES POR PARTES II
 INTEGRALES POR PARTES III

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Integración por partes

En esta página explicamos el método de integración por

∫u dv=u⋅v−∫v du∫u dv=u⋅v−∫v du

 uu es una función y dudu es su derivada

El método se aplica, sobre todo, cuando el integrando es un

Notación: escribiremos la función logaritmo natural (logaritmo

El integrando es un producto de dos funciones.

Es importante pensar la elección de uu y dvdv porque luego

Por tanto, escogemos la otra opción:

Para calcular dudu tenemos que derivar uu:

Para calcular vv tenemos que integrar dvdv:

Sólo tenemos que sustituir las variables de la fórmula:

4. Calculamos la integral que queda

La integral que queda es inmediata:

No olvidéis la constante de integración KK.

Más integrales resueltas

Antes que nada, aprovechamos las propiedades de

Podemos escribir el integrando como un producto para ver

Obviamente, no debemos escoger dv=ln(x)dxdv=ln(x)dx ya que

En algunas integrales tendremos que aplicar el método varias

El integrando es un producto de dos funciones.

No importa si exex es uu ó dvdv porque tanto su derivada como su

Así que es mejor escoger u=x2u=x2 para bajar el grado del

Aplicamos de nuevo integración por partes para calcular la

No importa si cos(x)cos⁡(x) es dvdv ó uu porque tanto su integral

Escogemos u=x2u=x2 para rebajar su grado.

Aplicamos de nuevo integración por partes para calcular la

Como en los problemas anteriores, escogemos u=xu=x para

Vamos a escribir la raíz como una potencia:

Por si lo necesitáis, vamos a escribir el cálculo de vv:

Si operamos un poco, el resultado final queda como

Para aplicar el método cuando el integrando es un cociente, sólo

Como en las integrales anteriores, el logaritmo debe ser el

Muchas veces, tenemos que despejar la integral de la fórmula

Aplicamos de nuevo integración por partes:

Volviendo al comienzo, tenemos

De donde podemos aislar la integral que buscamos:

Escogemos u=x3u=x3 para rebajar su grado.

Repetimos el proceso dos veces más:

Observad que, por ejemplo, para resolver la integral

Escogemos u=xu=x para eliminar este factor de la integral.

Recordad que la derivada de axax es ax⋅ln(a)ax⋅ln⁡(a).

Escogemos el logaritmo como uu.

Elegimos u=arccos(x)u=arccos⁡(x) y dv=dxdv=dx.

Integrales por partes

 INTEGRALES POR PARTES III

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