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    Método de Integración Por Partes

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    Tatiana Tecco Almeyra
    El documento explica el método de integración por partes, que consiste en aplicar la fórmula UDV - UVDU, donde U y DV son funciones que se derivan e integran respectivamente. Explica que es importante elegir adecuadamente U y DV, normalmente escogiendo U como potencias y logaritmos, y DV como exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas. También señala que al aplicar el método varias veces hay que mantener las mismas elecciones de U y DV para poder avanzar en la solución.

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    Método de Integración Por Partes

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    Tatiana Tecco Almeyra
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    El documento explica el método de integración por partes, que consiste en aplicar la fórmula UDV - UVDU, donde U y DV son funciones que se derivan e integran respectivamente. Explica que es importante elegir adecuadamente U y DV, normalmente escogiendo U como potencias y logaritmos, y DV como exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas. También señala que al aplicar el método varias veces hay que mantener las mismas elecciones de U y DV para poder avanzar en la solución.

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    MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

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    El documento explica el método de integración por partes, que consiste en aplicar la fórmula UDV - UVDU, donde U y DV son funciones que se derivan e integran respectivamente. Explica que es importante elegir adecuadamente U y DV, normalmente escogiendo U como potencias y logaritmos, y DV como exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas. También señala que al aplicar el método varias veces hay que mantener las mismas elecciones de U y DV para poder avanzar en la solución.

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    MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

    Cuando el integrando está formado por un producto (o una división,


    que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el
    método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente
    fórmula:

    Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida


    De Uniforme (UDV = UV - FVDU).

    Aunque se trata de un método simple, hay que aplicarlo


    correctamente.

    MÉTODO:

    1. El integrando debe ser un producto de dos factores.


    2. Uno de los factores será u y el otro será dv.
    3. Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.
    4. Se aplica la fórmula.

    PROCEDIMIENTO

    • Escoger adecuadamente u y dv:

    Una mala elección puede complicar más el integrando.

    Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus


    factores es un monomio (por ejemplo x3).

    Si consideramos dv = x3.

    Entonces, integrando tendremos que v = x4/4,

    con lo que hemos aumentado el grado del exponente y esto


    suele suponer un paso atrás.

    Normalmente, se escogen los monomios como u para reducir


    su exponente al derivarlos. Cuando el exponente es 0, el
    monomio es igual a 1 y el integrando es más fácil.
    Algo parecido ocurre con las fracciones (como 1/x).

    Si consideramos dv = 1/x,

    tendremos v = log|x|

    y, probablemente, obtendremos una integral más difícil.

    Como norma general, llamaremos u a las potencias y


    logaritmos y dv a las exponenciales, fracciones y funciones
    trigonométricas.

    • No cambiar la elección:

    A veces tenemos que aplicar el método más de una vez para


    calcular una misma integral.

    En estas integrales, al aplicar el método por n-ésima vez,


    tenemos que llamar u al resultado du del paso anterior y dv al
    resultado v. Si no lo hacemos así, como escoger una opción u
    otra supone integrar o derivar, estaremos deshaciendo el paso
    anterior y no avanzaremos.

    • Integrales cíclicas:

    En ocasiones, tras aplicar dos veces integración por partes,


    tenemos que despejar la propia integral de la igualdad obtenida
    para poder calcularla. Un ejemplo de esto es la Integral 10.
    Ejercicio 1

    Solución

    Integramos por partes:

    Ejercicio 2

    Solución

    Integramos por partes:


    Ejercicio 3

    Solución

    En esta integral no tenemos un producto explícito de funciones, pero


    como no sabemos cuál es la primitiva del logaritmo, lo que hacemos es
    derivarlo, es decir, u = ln (x)

    Ejercicio 4

    Solución

    Nos interesa escoger u = x2 (para reducir su exponente) pero entonces


    nos vemos obligados a que dv = ln(x) y obtener v no es inmediato. Así
    que escogemos lo contrario:

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