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    Práctica Semana 9

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    Walter Alvarado
    Este documento presenta varios ejercicios sobre derivación implícita, ecuaciones de la recta tangente, puntos donde la tangente es horizontal o vertical, y la aplicación del teorema del valor medio. Incluye problemas de maximización de producción bajo restricciones, cambios en la oferta y demanda con respecto al precio, y verificar si el teorema del valor medio es aplicable a diferentes funciones en determinados intervalos.

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    Descripción original:

    practica de analisis matematico semana 9

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    PRÁCTICA SEMANA 9: DERIVACIÓN IMPLÍCITA Y TVM

    𝑑𝑦
    En los ejercicios 1 – 6, determinar 𝑑𝑥 por derivación implícita

    1. 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 2 − 3𝑥 + 1 = 0 4. √2𝑥 + 𝑦 2 = 4
    1 1 5. (𝑥 2 + 3𝑦 2 )5 = 2𝑥𝑦
    2. +𝑦 =1
    𝑥 6. (3𝑥𝑦 2 + 1)4 = 2𝑥 − 3𝑦
    3. √𝑥 + √𝑦 = 1
    En los ejercicios 7-10, halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado

    7. 𝑥𝑦 = 2; (2, 1) 9. (1 − 𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 + 7; (1, 2)


    8. 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 = 6𝑥 + 𝑦 + 1; ( 0, 1) 10. (𝑥 2 + 2𝑦)3 = 2𝑥𝑦 2 + 64; (0, 2)

    En los ejercicios 11-14, encuentre todos los puntos (ambas coordenadas) de la curva dada donde la recta
    tangente es a) horizontal y b) vertical.

    11. 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 3 13. 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 3
    𝑦 𝑥 14. 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 3
    12. − =5
    𝑥 𝑦

    15. FABRICACIÓN. La producción en cierta planta es 𝑄 = 0.08𝑥 2 + 0.12𝑥𝑦 + 0.03𝑦 2 unidades por día,
    donde 𝒙 es el número de horas-trabajador calificado utilizado y 𝒚, el número de horas-trabajador no
    calificado utilizado. Actualmente, se emplean 80 horas-trabajador calificado y 200 horas-trabajador
    no calificado cada día. Use el cálculo para determinar el cambio que debe hacerse en el número de
    horas de trabajo no calificado para compensar un incremento de 1 hora en el trabajo calificado, de
    tal manera que la producción se mantenga en su nivel actual.

    16. RAZON DE LA OFERTA. Cando el precio de cierto articulo 𝒑 dólares por unidad, el fabricante esta
    dispuesto a ofertar 𝒙 cientos de unidades, donde:
    3𝑝2 − 𝑥 2 = 12

    ¿Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 4 por unidad y se incrementa a una razón
    de 87 centavos de dólar por mes?

    17. RAZON DE LA OFERTA. Cando el precio de cierto articulo 𝒑 dólares por unidad, los clientes demandan
    𝒙 cientos de unidades de dicho producto, donde:
    𝑥 2 + 3𝑝𝑥 + 𝑝2 = 79

    ¿Con que rapidez cambia la demanda 𝒙 con respecto al tiempo cuando el precio es $ 5 por unidad y
    disminuye a una razón de 30 centavos de dólar por mes?

    Verificar si es aplicable el teorema del valor medio para cada una de las funciones dadas en el intervalo
    indicado. En caso afirmativo, encontrar un valor que satisfaga la conclusión del TVM.

    18. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥; 𝑥 ∈ [−2, 0]

    19. 𝑓(𝑥) = √100 − 𝑥 2 ; 𝑥 ∈ [−5, 8]

    𝑥 2 −3𝑥−4
    20. 𝑓(𝑥) = 𝑥−5
    ; 𝑥 ∈ [−1, 4]

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