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    Ejercicios Algebra Lineal

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    El documento presenta varios ejercicios de álgebra lineal. Calcula la ecuación de un plano a partir de tres puntos dados, halla la matriz de cambio de base entre dos bases, y determina el núcleo de una transformación lineal dada por una matriz.

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    Ejercicios Algebra Lineal Resueltos

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    EJERCICIOS ALGEBRA LINEAL

    1. Tenemos los siguientes puntos:


    𝑃(1; 2; 1)
    𝑄(−3; 1; −2)
    𝑅(−1; 0; 3)
    Para determinar la ecuación del plano, primero determinar las rectas ̅̅̅̅
    𝑃𝑄 𝑦 ̅̅̅̅
    𝑃𝑅 :
    ̅̅̅̅
    𝑃𝑄 = 𝑄(−3; 1; −2) − 𝑃(1; 2; 1)
    ̅̅̅̅
    𝑃𝑄 = 〈−4; −1; −3〉
    ̅̅̅̅ = 𝑅(−1; 0; 3) − 𝑃(1; 2; 1)
    𝑃𝑅
    ̅̅̅̅ = 〈−2; −2; 2〉
    𝑃𝑄
    ̅̅̅̅ 𝑥𝑃𝑄
    Hallamos 𝑛̅ = 𝑃𝑄 ̅̅̅̅:

    𝑛̅ = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 〈−4; −1; −3〉𝑥〈−2; −2; 2〉


    𝑃𝑄 𝑥𝑃𝑄
    𝑛̅ = 〈−8; 14; 6〉
    ̅̅̅̅, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧):
    Definimos ahora 𝑃𝑇
    ̅̅̅̅ = 〈𝑥 − 1; 𝑦 − 2; 𝑧 − 1〉
    𝑃𝑇
    Finalmente, se debe cumplir en un plano que:
    ̅̅̅̅. 𝑛̅ = 0
    𝑃𝑇
    〈𝑥 − 1; 𝑦 − 2; 𝑧 − 1〉. 〈−8; 14; 6〉 = 0
    8 − 8𝑥 + 14𝑦 − 28 + 6𝑧 − 6 = 0
    −8𝑥 + 14𝑦 + 6𝑧 − 26 = 0
    −8𝑥 + 14𝑦 + 6𝑧 = 26

    2. Sean:
    𝐵 = {(2; 0), (1; 3)}
    𝐶 = {(1; −1), (2; 1)}
    1 3
    a. Calculamos el vector 𝑣 = (2 , 2) con respecto a la base C:

    Tenemos lo siguiente:
    1 3
    ( , ) = 𝛼(1; −1) + 𝛽(2; 1)
    2 2
    1 3
    ( , ) = (𝛼; −𝛼) + (2𝛽; 𝛽)
    2 2
    1 3
    ( , ) = (𝛼 + 2𝛽; −𝛼 + 𝛽)
    2 2
    Entonces:
    1
    𝛼 + 2𝛽 =
    2
    3
    −𝛼 + 𝛽 =
    2
    Operando:
    2
    𝛽=
    3
    5
    𝛼=−
    6
    Finalmente, el vector de coordenadas es:
    5 2
    (𝛼; 𝛽) = (− ; )
    6 3
    b. Hallamos la matriz de cambio de base de C a B:
    Tenemos:
    𝐵 = {(2; 0), (1; 3)}
    𝐶 = {(1; −1), (2; 1)}
    Definimos la matriz de cambio como:
    𝑃 = 𝑀𝐵𝐶 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑣̅𝐵 = 𝑣̅𝐶

    Entonces:
    𝑃 = 𝑀𝐵𝐶 = 𝑀𝐸−1
    𝐶
    𝑀𝐸𝐵

    Ordenamos que:
    1 2
    𝑀𝐸𝐶 = ( )
    −1 1
    2 1
    𝑀𝐸𝐵 = ( )
    0 3
    1 2 −1 2 1
    𝑃 = 𝑀𝐸−1 𝑀𝐸𝐵 = ( ) .( )
    𝐶 −1 1 0 3
    1/3 −2/3 2 1 2/3 −5/3
    𝑃=( ).( )=( )
    1/3 1/3 0 3 2/3 4/3
    Finalmente:
    2/3 −5/3
    𝑃=( )
    2/3 4/3
    c. Encontrar el w en ℝ2 cuyo vector de coordenadas con respecto a la base de C es
    [w]c = (-5;2):
    Definimos:
    (𝛼; 𝛽) = (−5; 2)
    Además, tenemos que:
    𝐶 = {(1; −1), (2; 1)}
    Tenemos que hallar:
    𝑢 = (𝑎, 𝑏)
    Por teoría:
    (𝑎, 𝑏) = 𝛼. (1; −1) + 𝛽(2; 1)
    (𝑎, 𝑏) = (𝛼; −𝛼) + (2𝛽; 𝛽)
    (𝑎, 𝑏) = (𝛼 + 2𝛽; −𝛼 + 𝛽)
    Finalmente:
    (𝑎, 𝑏) = (−5 + 2(2); 5 + 2)
    (𝑎, 𝑏) = (−1; 7)

    3. Definimos T como:
    𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 2𝑦)
    Para determinar el núcleo planteamos:
    (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 ↔ 𝑇((𝑥, 𝑦, 𝑧)) = (0,0,0)
    𝑥+𝑦 =0
    (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 2𝑦) = (0,0,0) → { 𝑥 − 𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑦; 𝑥 = −𝑦; 𝑥 = −2𝑦
    𝑥 + 2𝑦 = 0
    𝑦 = −𝑦 = −2𝑦 → 𝑦 = 0 → 𝑥 = 0
    Esto implica que la primera componente debe ser igual a la segunda y que la tercera
    componente no tiene restricciones. Podemos decir que T es un monoformismo.
    (0,0, 𝑧)
    Podemos escribirlo:
    𝑧. (0,0,1)
    Entonces determinamos:
    dim(𝑁𝑢) = 1

    4. Hallaremos la ecuación de una recta que pasa por:


    𝐴(8; 10; −2)
    𝑢̂ = (−1; 3; 5)𝑥(1; −3; 2)
    Calculamos 𝑢̂:
    𝑢̂ = 〈21; 7; 0〉
    Ahora, planteamos:
    〈𝑥; 𝑦; 𝑧〉 = 〈8; 10; −2〉 + 𝜆〈21; 7; 0〉
    Entonces:
    𝑥 = 8 + 21𝜆
    𝑦 = 10 + 7𝜆
    𝑧 = −2
    Finalmente, por ecuaciones paramétricas:
    𝑥 = 8 + 21𝜆
    𝑥 8
    𝜆= −
    21 21
    𝑥−8
    𝑦 = 10 + 7( )
    21
    𝑥−8
    𝑦 = 10 + ( )
    3
    Las ecuaciones paramétricas son:
    𝑥 − 3𝑦 = −22
    𝑧 = −2

    5. Ordenamos lo siguiente:
    𝑇[𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 ] = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 2 + 2𝑎3 𝑥 3
    Entonces, tenemos que:
    𝑥1 = 𝑥
    𝑥2 = 𝑥 2
    𝑥3 = 𝑥 3
    𝑇[𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 ] = 𝑇[𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 ]
    𝑇[𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 ] = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥2 + 2𝑎3 𝑥3
    𝑎1
    𝑎1
    𝑎
    𝑇 [ 2 ] = (2𝑎 )
    2
    𝑎3
    Finalmente:
    𝑎1
    1 0
    𝑇 [𝑎2 ] = 𝑎1 ( ) + 𝑎2 ( )
    𝑎3 0 2

    6. Determinar una base para:


    𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 𝑥 − 𝑦 = 𝑧, 𝑥 + 𝑧 = 𝑤}
    Hacemos lo siguiente:
    𝑥=𝛼
    𝑧=𝛽
    Entonces:
    𝑥−𝑦 =𝑧
    𝑥+𝑧 =𝑤
    𝑦=𝛼−𝛽
    𝑤 =𝛼+𝛽
    Ahora, si (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜖 𝑆 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝛼, 𝛼 − 𝛽, 𝛽, 𝛼 + 𝛽)
    Finalmente:
    (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝛼, 𝛼 − 𝛽, 𝛽, 𝛼 + 𝛽)
    (𝛼, 𝛼 − 𝛽, 𝛽, 𝛼 + 𝛽) = (𝛼, 𝛼, 0, 𝛼) + (0, −𝛽, 𝛽, 𝛽)
    (𝛼, 𝛼, 0, 𝛼) + (0, −𝛽, 𝛽, 𝛽) = 𝛼. (1,1,0,1) + 𝛽. (0, −1,1,1)
    La base hallada es:
    𝑆 = 〈(1,1,0,1), (0, −1,1,1)〉

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