Ejercicios Programación Lineal y No Lineal
Ejercicios Programación Lineal y No Lineal
Ejercicios Programación Lineal y No Lineal
Nombre y descripción del proceso en donde han identificado el problema de programación Lineal:
RECUPERACIÓN DE LA SALUD, AUTORIZACIONES MÉDICAS, PLAN DE CONTRATACIÓN: es la forma como se
administran los servicios de salud, donde se tienen en cuenta la población y la forma de acceso que tiene el usuario para
acudir al servicio que requiere, sin embargo existen servicios que se derivan directamente de la consulta médica (I nivel
de salud) que no deben ser autorizados en la EPS sino que son prestados directamente en las instituciones prestadoras
de servicios, a diferencias de los servicios de mayor complejidad (II, III, IV nivel de salud), que deben ser autorizados por
la EPS.
Narración del problema: Como toda EPS, Coosalud recibe de manera mensual el pago por UPC de afiliados el cual
tiene un límite para la prestación de servicio, por lo tanto, la EPS está en la obligación de administrar dicho dinero para
así brindarle el mejor servicio a los afiliados.
Existen servicios que son comunes y que a pesar de la cantidad de veces que se presta el impacto sobre los costos es
mínimo, a diferencia de otros servicios que impacta de manera considerable en los costos asumidos por el ingreso de la
UPC.
Aquellos servicios son materiales de osteosíntesis y su cirugía, tratamientos en casa o home-care, servicios para
pacientes con cáncer, servicios para pacientes con VIH y tratamientos de rehabilitación integral. Realizando un análisis a
estos servicios se encuentran que en promedio cada cirugía y material de osteosíntesis vale $20.000.000, y luego de
estas cirugías vienen los tratamientos en casa, que valen en promedio $5.000.000. Los tratamientos para pacientes con
cáncer alcanzan un promedio de $15.000.000 para cada paciente de manera mensual y los de VIH $22.000.000 en
promedio por paciente mensual; mientras que la rehabilitación integral tiene un costo de $13.000.000 de pesos en
promedio por pacientes en el mes. Generalmente las cirugías de osteosíntesis se presentan 88 veces al mes, pero solo
al 12% de estas cirugías no le remiten tratamientos en casa; sin embargo, unos 15 pacientes en promedio mensual son
mandados a home-care por otras cirugías.
La IPS X que presta ambos servicios de osteosíntesis y home-care, realiza un descuento del 8% por cada paquete
brindado; la IPS Y que presta servicio de home-care solamente, brinda tarifas del 15% de descuento por cada 10
pacientes; los tratamientos para VIH y cáncer algunos son prestados por la misma IPS, como es el caso de la IPS A quien
realiza tarifas diferenciales dando un 15% de descuento por cada paquete de 10 pacientes con cáncer y 5 con VIH, y la
IPS B quien ofrece un 10% de descuento por cada 6 pacientes de cáncer y 6 de VIH.
La cantidad de pacientes con cáncer que se tienen captados en la EPS es de 121 personas, y la cantidad de pacientes
con VIH es de 74 personas. Por último se tienen 3 IPS que prestan el servicio de rehabilitación integral a pacientes: la
IPS M ofrece una promoción en la que por cada 10 pacientes que se envíen, solo se le cancelan 9, pero tiene un tope de
atención de 40 pacientes; la IPS N que presta este servicio realiza un descuento del 16% del valor total facturado, por
cada 40 pacientes que se les asigne, y no tiene tope de atención debido a su planta física y de personal; mientras que la
IPS P genera un descuento del 2% por cada 12 pacientes facturados. En la actualidad se tienen captados 185 pacientes
para rehabilitación integral.
Se desea saber cuál es el modelo de Programación Lineal que permite generar un plan de contratación para minimizar
los costos de la EPS, brindando autorización a los pacientes de manera puntual sin que quede paciente alguno faltándole
su tratamiento (Tenga en cuenta que, por políticas de las IPS, los descuentos se otorgan por paquetes completos
contratados, y no por fracciones de estos). ¿Cuál sería el mínimo valor de los ingresos totales por pacientes que necesita
la EPS para continuar en funcionamiento cumpliendo a cabalidad con sus afiliados? Proponga un escenario mediante el
cual se pueda mejorar el estado actual del problema.
EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL
Donde X representa el número de llamadas que se hace por producto. Formule el problema como
una PNL que ayude al vendedor a optimizar su rendimiento.
3. Una empresa produce frigoríficos y ha firmado un contrato para suministrar al menos 150
unidades en tres meses, 50 unidades al final del primer mes, 50 al final del segundo y 50 al final
del tercero. El coste de producir una cantidad de frigoríficos en cualquier mes es su cuadrado. La
empresa puede producir si lo desea más frigoríficos de los que necesita en cualquier mes y
guardarlos para el siguiente, siendo el coste de almacenaje de 12 euros por unidad al mes.
Suponiendo que no hay inventario inicial, formular el programa adecuado para determinar el
número de frigoríficos que deben producirse cada mes, para minimizar el coste total.
EJERCICIO TALLER
Variables de decisión.
Función Objetivo.
El objetivo de este problema es realizar un plan de contratación que minimice los costos por lo cual
definimos la función objetivo como:
𝑐𝑜𝑛 𝑋1 ; 𝑋2 ; 𝑋3 ; 𝑋4 ; 𝑋5 ; 𝑋6 ; 𝑋7 ≥ 0
EJERCICIOS PNL.
EJERCICIO 1. SOLUCION.
Variables de decisión.
Función Objetivo
Para este ejercicio nuestro objetivo es incrementar el rendimiento del operador a través de la
maximización de la ganancia, por lo cual nuestra función objetivo estaría condicionada por la
siguiente función:
1 1
𝑀𝑎𝑥 𝑍(𝑋1 , 𝑋2 ) = 0,1(3000 (𝑋 2 + 2X + 4) 𝑋1 + 1400 (𝑋 4 − 4) 𝑋2 ) − 30(3𝑋1 + 𝑋2 )
Restricciones
𝑟1 = 𝑆𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 20 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑟2 = 𝑆𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 78 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵
𝑟3 = 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 48 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵
𝑟4 = 𝑆𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 160 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠
1
𝑟1 → (𝑋 2 + 2X + 4) 𝑋1 ≤ 20
1
𝑟2 → (𝑋 4 − 4) 𝑋2 ≤ 78
1
𝑟3 → (𝑋 4 − 4) 𝑋2 ≥ 48
𝑟4 → 3𝑋1 + 𝑋2 ≤ 160
𝑐𝑜𝑛 𝑋1 ; 𝑋2 ≥ 0
EJERCICIO 2. SOLUCION.
Partiendo del hecho de que las ciudades están representadas como los vértices de un triángulo equilátero,
tenemos:
Ciudad B
(c,d)
Aeropuerto
(x,y)
Ciudad A Ciudad C
(a,b) (f,g)
Dicho esto, nuestra función objetivo buscaría minimizar la distancia total del aeropuerto a las tres ciudades,
condicionada por la fórmula de distancia entre dos puntos, definida como:
𝑀𝑖𝑛 𝑍(𝑥, 𝑦) = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑑)2 + √(𝑥 − 𝑓)2 + (𝑦 − 𝑔)2
Donde:
Variables de decisión.
Función Objetivo.
En este caso nuestro objetivo es minimizar el costo total, entendiéndose en este ejercicio como:
Donde:
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 → 𝑋12 + 𝑋22 + 𝑋32
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑠 → 12(𝑋1 − 50)
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑠 → 12(𝑋1 + 𝑋2 − 100)
𝑀𝑖𝑛 𝑍(𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ) = 𝑋12 + 𝑋22 + 𝑋32 + 12(𝑋1 − 50) + 12(𝑋1 +𝑋2 − 50)
𝑐𝑜𝑛 𝑋1 ; 𝑋2 ; 𝑋3 ≥ 0
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
EJERCICIO DEL TALLER
Para realizar un eficiente análisis de sensibilidad se definirá a medida que sea necesario cada uno de los
términos a utilizar, esto con la finalidad de que el informe la lectura sea más eficiente y se logre un mayor
entendimiento.
Dicho esto, iniciamos con el costo reducido, que hace referencia a cuánto debe mejorar el coeficiente
objetivo para que el valor de la variable sea diferente de 0. En este caso puntual nos indica el monto en el
que debe reducirse el precio de las IPS (B, M y P) para que sea rentable el uso de sus servicios a la hora
de minimizar los gastos, mientras que el coeficiente objetivo nos indica los precios actuales que se están
manejando a la hora de realizar el modelo para el plan de contratación.
Añadiendo a esto, las secciones de Permisible (Aumentar/Reducir) nos indican los rangos de variación
que pueden tener los diferentes coeficientes objetivos sin que lleguen a modificar los valores finales, es
decir la cantidad seleccionada de cada paquete de las diferentes IPS. Como ejemplo particular para el
presente ejercicio podemos decir que mientras el precio del paquete de la IPS X no disminuya a un valor
inferior a $22,575,000 el modelo seguirá sugiriendo la compra de 88 paquetes.
Respecto a la segunda sección del informe, podemos encontrar en primer lugar al precio sombra, que
permite identificar en cuanto mejora el valor de la función objetivo al “relajar” la restricción una unidad.
En este caso puntual, tomando como ejemplo la primera restricción, se puede decir que la función objetivo
mejora en un valor de $22,575,000 (es decir, se reducen los costos en ese valor) al disminuir en una unidad
el valor de la restricción.
Por otro lado, encontramos las columnas de (Restricción del lado derecho y Permisible
(Aumentar/Reducir), las cuales en este caso nos indican los intervalos (en unidades) en los que puede
variar los recursos disponibles sin que se afecten los respectivos precios sombras. Para contextualizar, en
este caso en particular, teniendo como ejemplo nuevamente la primera restricción, se puede identificar
que la cantidad de paquetes a adquirir de la IPS X puede aumentar en 5 o reducirse en 88 sin que el precio
sombra (en este caso $22,575,000) presente una variación.
Para concluir, se sugiere realizar una reevaluación de las condiciones iniciales y de las restricciones del
modelo, esto con la finalidad de diversificar la participación de las diferentes entidades para finalmente
permitir una reducción significativa de los costos.