MOISES VILLENA Geometría Analítica en R3

2.4 SUPERFICIES

2.4.1 SUPERFICIES CILINDRICAS.

Sea C una curva de un plano π y sea l una recta no

paralela a π . Se define Superficie Cilíndrica al conjunto de
puntos que perteneces a rectas paralelas a l y que
intersecan a C.

A C se la denomina Curva Generatriz (o Directriz) y a l se la

denomina Recta Generatriz.
Las superficies Cilíndricas que trataremos aquí serán aquellas que
tienen la Curva Generatriz perteneciente a los planos coordenados y Rectas
Generatrices Paralelas a los ejes coordenados. Es decir, si tienen una de la
forma siguiente:

f ( x, y ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano xy ,

Rectas Generatrices paralelas al eje z.

f ( x, z ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano xz ,

Rectas Generatrices paralelas al eje y.

f ( y, z ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano yz ,

Rectas Generatrices paralelas al eje x.

Ejemplo 1
Graficar y − x 2 = 0
SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva y = x 2 en el plano xy y luego se trazan rectas paralelas al
eje z siguiendo esta curva.

y
y = x2

44
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Ejemplo 2
Graficar z − ln y = 0
SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva z = ln y en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas al
eje x siguiendo esta curva.

z = ln y

Ejemplo 3
Graficar z − seny = 0
SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva z = seny en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas al
eje x siguiendo esta curva.

45
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Ejemplo 4
Graficar z 2 + x 2 = 4
SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva z 2 + x 2 = 4 en el plano zx y luego se trazan rectas
paralelas al eje y siguiendo esta curva.
z

z 2 + x2 = 4

Ejercicios Propuestos 2.4

1. Bosqueje la superficie cilíndrica cuya ecuación se indica.
a) 4z 2 − y 2 = 4 d) x 2 = y 3 f) z − e y = 0
b) z = sen y e) y = z g) y 2 + z 2 = 9
c) y2 + z = 4

2.4.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Las Superficies de Revolución que trataremos aquí son aquellas que se
generan al girar 360º una curva perteneciente a uno de los planos coordenados
alrededor de uno de los ejes coordenados.

Por ejemplo suponga que se tiene la curva z = f ( y ) (contenida en el

plano ZY) y la hacemos girar 360º alrededor del eje y, entonces se forma una
superficie de revolución, observe la figura:

46
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r
r

La ecuación de la superficie de revolución se la deduce de la siguiente

manera

La sección transversal es circular, por tanto:

r= (0 − 0)2
+ ( y − y ) + ( f ( y) − 0) = f ( y)
2 2

Como también se observa que:

r= (x − 0) 2
+ ( y − y ) + (z − 0) = x 2 + z 2
2 2

Entonces, igualando resulta:

x 2 + z 2 = [ f ( y )]
2 ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
CON CURVA GENERATRIZ x = f ( y ) (EN EL PLANO
xy ) O TAMBIÉN z = f ( y ) (EN EL PLANO zy ),
GIRADA ALREDEDOR DEL EJE “ y ”.

A, x + z se le llama Binomio de Circularidad.

2 2

En cambio, si la curva generatriz anterior la hacemos girar alrededor del

eje z, obtendríamos otra superficie de revolución, observe la figura:

47
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(0,0, z ) r (0, f ( z ), z )
r
( x, y , z )
y = f (z )

Aquí en cambio:
r= (0 − 0) 2
+ ( f ( z ) − 0) + (z − z ) = f ( z )
2 2

Y también
r= (x − 0) 2
+ ( y − 0) + (z − z ) = x 2 + y 2
2 2

Entonces, igualando resulta:

ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE
REVOLUCIÓN CON CURVA GENERATRIZ
x 2 + y 2 = [ f ( z )]
2
x = f (z ) (EN EL PLANO xz ) O TAMBIÉN
y = f (z ) (EN EL PLANO zy ), GIRADA
ALREDEDOR DEL EJE “ z ”.

El Binomio de Circularidad seria x + y .

2 2

La curva anterior no puede ser girada alrededor del eje “ x ”. ¿POR

QUÉ?

La ecuación de una superficie de revolución con curva generatriz

y = f ( x) (en el plano xy ) o z = f ( x) (en el plano zx ) girada alrededor del
eje “ x ”, sería:
y 2 + z 2 = [ f (x)]
2
¡DEDUZCALA!

48
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Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se generar al girar y = x
alrededor del eje y .
SOLUCIÓN.
Primero grafiquemos la curva generatriz en el plano xy y formemos la superficie de
revolución.

y=x y

Curva
Generatriz
x

Como el eje de rotación es el eje y , el binomio de circularidad será: x 2 + z 2 .

Por tanto, la ecuación de esta superficie será de la forma: x 2 + z 2 = [ f ( y )]2 , donde
f ( y ) es la ecuación de la curva generatriz; que en este caso seria: f ( y ) = y
Por tanto, la ecuación de la superficie sería: x 2 + z 2 = y 2

Ejemplo 2
Identificar y graficar la superficie que tiene por ecuación 9 x 2 − z 2 + 9 y 2 = 0 .
SOLUCIÓN.
Primero identifiquemos el binomio de circularidad y la ecuación de la curva generatriz
9x 2 − z 2 + 9 y 2 = 0
( )
9 x2 + y2 = z2
2
⎡z⎤
x2 + y2 = ⎢ ⎥
⎣3⎦
Por tanto de acuerdo a la forma de la última ecuación se concluye que se trata de una
z z
superficie de revolución con curva generatriz x = o también y = , girada
3 3
alrededor del eje z ( la variable que no aparece en el binomio de circularidad).

49
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z
y=
3

Ejercicios Propuestos 2.5

1. Halle una ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la curva plana dada,
alrededor del eje dado. Grafique.
a) x + 4 z = 16, alrededor del eje x .
2 2

b) y = sen x, alrededor del eje x.

c) x = 4 y , alrededor del eje
2
y.
d) xy = 1, alrededor del eje x.
e) z 2 = 6 x, alrededor del eje x .
f) z = e x , alrededor del eje x .

2. Encuentre el eje y la curva generatriz de cada una de dichas superficies de revolución.

Realice el gráfico correspondiente.
2 2
a) x + z − 2 y = 0
2 2
b) x + z = y
c) y 2 + z 2 = e 2 x
d) x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 36

50
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2.4.3 SUPERFICIES CUADRICAS.

Las Superficies Cuádricas o simplemente Cuádricas con eje central

paralelo a los ejes coordenados, tienen por ecuación:

Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0
Si la llevamos a la forma canónica, completando cuadrado, tendremos
los siguientes lugares geométricos.

2.4.3.1 ESFERA.

La ecuación canónica de la esfera es de la forma:

( x − h) + ( y − k ) + ( z − l ) = r con r
2 2 2 2
2
>0
Donde, su centro es C (h, k , l ) y su radio es r

Ejemplo
La ecuación (x − 3)2 + ( y − 2)2 + (z − 1)2 = 9 , tiene como lugar geométrico una
esfera de centro C (3,2,1) y radio r = 3
z

r =3

C (3,2,1)

Analice el lugar geométrico, si r 2 < 0 y si r 2 = 0

51
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2.4.3.2 ELIPSOIDE

La ecuación canónica de un elipsoide es de la forma:

(x − h) 2

+
(y − k ) 2

+
(z − l ) 2

=1
a2 b2 c2
Donde, su centro es C (h, k , l )

Ejemplo
x2 y2 z2
La ecuación + + = 1 representa un elipsoide con centro el origen.
4 9 1
Su traza (intersección) con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0 ,
x2 y2
Entonces, resulta + = 1 , la ecuación de una elipse.
4 9
Además todas las secciones transversales son elipses. ¿Por qué?

x2 y2 z 2
+ + =1
4 9 1

3 y
x2 y2
+ =1
4 9
2

2.4.3.3 HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

Un hiperboloide de una hoja con eje de simetría paralelo al eje z, tiene

por ecuación:
(x − h) 2
(y − k ) 2
(z − l ) 2

+ − =1
a2 b2 c2
x2 y2 z2
Suponga que h = 0 , k = 0 , l = 0 , se tiene + − = 1.
a2 b2 c2

52
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x2 y2
Si z = 0 (Traza xy ) 2 + 2 = 1(Elipses)
a b
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano xy serán elipses.
¿Por qué?
x2 z2
Si y = 0 ( Traza zx ) 2 − 2 = 1 (hipérbolas)
a c
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zx serán
hipérbolas. ¿Por qué?
y2 z2
Si x = 0 (Traza zy ) 2 − 2 = 1 (hipérbolas)
b c
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zy serán
hipérbolas. ¿Por qué?
z

x2 y2 z 2
+ − =1
a 2 b2 c2

b y

PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:

x2 z2 y2
+ − =1
a2 c2 b2
z2 y2 x2
+ − =1
c2 b2 a2

53
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2.4.3.4 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Un hiperboloide de dos hojas con eje de simetría paralelo al eje z, tiene

por ecuación:
(x − h) 2

+
(y − k )2

−
(z − l ) 2

= −1
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
Suponga que h = 0 , k = 0 , l = 0 , se tiene + − = −1 .
a2 b2 c2
x2 y2
Si z = 0 (Traza xy ) 2 + 2 = −1 (No tenemos lugar Geométrico)
a b
x2 y2
Si z = c , tenemos + =0 (punto)
a2 b2
Si z>c 0 z < −c tenemos elipses. ¿Por qué?

x2 z 2
Si y = 0 (Traza zx ) 2 − 2 = −1 (hipérbolas)
a c
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zx serán
hipérbolas. ¿Por qué?
y2 z2
Si x = 0 (Traza zy ) 2 − 2 = −1 (hipérbolas)
b c
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zy serán
hipérbolas. ¿Por qué?
z

x2 y2 z2
+ − = −1
a2 b2 c2

54
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x2 z 2 y2
PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de: + − = −1
a2 c2 b2
z 2 y2 x2
+ − = −1
c2 b2 a2
2.4.3.5 DOBLE CONO

Un Doble Cono con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación:

(x − h) 2

+
(y − k )2

−
(z − l ) 2

=0
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
Suponga que h = 0 , k = 0 , l = 0 , se tiene + − = 0.
a2 b2 c2
x2 y2
Si z = 0 (Traza xy ) 2 + 2 = 0 (un punto)
a b
Si z≠0 tenemos elipses.
x2 z 2
Si y = 0 ( Traza zx ) 2 − 2 = 0 (dos rectas)
a c
Si y≠0 tenemos hipérbolas
y2 z2
Si x = 0 (Traza zy ) 2 − 2 = 0 (dos rectas)
b c
Si x≠0 tenemos hipérbolas

55
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x2 z 2 y2
PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de: + − =0
a2 c2 b2
z 2 y2 x2
+ − =0
c2 b2 a2

2.4.3.6 PARABOLOIDE ELIPTICO

Un Paraboloide Elíptico con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por

ecuación:
(x − h) 2

+
(y − k )2

± (z − l ) = 0
a2 b2
x2 y2
Suponga que h = 0, k = 0 , l = 0, grafiquemos: z= 2 + 2
a b
x2 y2
Si z = 0 (Traza xy ) 2 + 2 = 0 (un punto)
a b
Si z > 0 , tenemos elipses. (Con a = b tenemos circunferencias, en
cuyo caso se lo denomina Paraboloide Circular).

Si z < 0 , no tenemos lugar geométrico.

x2
Si y = 0 (Traza zx ) tenemos z = 2 (parábolas)
a
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zx serán
parábolas. ¿Por qué?
y2
Si x = 0 (Traza zy ) tenemos z= 2 (parábolas)
b
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zy serán
parábolas. ¿Por qué? z

x
56
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x2 y2
PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de: −z= 2 + 2
a b
x2 y2
z −l = 2 + 2
a b
z2 y2
x= 2 + 2
a b
x2 z 2
y= 2 + 2
a b
2.4.3.7 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Un Paraboloide Hiperbólico con eje de simetría paralelo al eje z, tiene

por ecuación:
(x − h) 2

−
(y − k ) 2

± (z − l ) = 0
a2 b2
y2 x2
Grafiquemos z= 2 − 2 .
b a
y2 x2
Si z = 0 (Traza xy ) tenemos 2 − 2 = 0 (2 rectas)
b a
Si z > 0 o z < 0 tenemos hipérbolas.
x2
Si y = 0 (Traza zx ) tenemos z = − 2 (parábolas)
a
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zx serán
parábolas. ¿Por qué?
y2
Si x = 0 (Traza zy ) tenemos z= 2 (parábolas)
b
Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zy serán
parábolas. ¿Por qué?

57
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x2 y2
PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de: z= 2 − 2
a b
x2 y2
z −l = 2 + 2
a b
z2 y2
x= 2 − 2
a b
x2 z 2
y= 2 − 2
a b
Ejemplo
Grafica el lugar geométrico cuya ecuación es: 4 x 2 − 3 y 2 + 12 z 2 + 12 = 0
SOLUCIÓN:
Transformemos la ecuación dada a una de las formas descritas anteriormente:
Despejando las variables:
4 x 2 − 3 y 2 + 12 z 2 = −12
Dividendo para 12 y simplificando:
4 x 2 3 y 2 12 z 2 12
− + =−
12 12 12 12
2 2 2
x y z
− + = −1
3 4 1

58
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De acuerdo a la forma de la última ecuación, se concluye que representa un

PARABOLOIDE DE DOS HOJAS, con el eje y como eje de simetría (el término negativo lo
indica )

x2 y2
+ z2 − = −1
3 4

−2 2 y

Ejercicios Propuestos 2.6

Diga el nombre de las superficies cuádricas cuyas ecuaciones se dan a continuación. Haga la
gráfica en cada caso.
a) 4 x 2 + 36 y 2 + 9 z 2 − 1 = 0 2 2
g) 100 x + 225 y − 36 z = 0
2

b) 4x 2 − y 2 + 4z 2 − 4 = 0 h) 16 x 2 − 25 y 2 + 400 z = 0
c) 144 x 2 + 16 y 2 − 9 z 2 − 144 = 0 2 2
i) x − z + y = 0
d) 36 x 2 + 4 y 2 + 9 z = 0 2 2 2
j) 400 x + 25 y + 16 z − 400 = 0
e) 9 x 2 + 36 y 2 − 4 z 2 + 36 = 0 k) x 2 + 4 z 2 − 8 y = 0
f) x 2 − 4 y 2 + 4z 2 − 4 = 0 l) 225 x 2 − 100 y 2 + 144 z 2 = 0

59
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2.5 COORDENADAS CILÍNDRICA.

Un punto P en Coordenadas Cilíndricas está denotado como ( r ,θ , z )

donde ryθ son las Coordenadas Polares.

P(r ,θ , z )
•

y
x θ r
y

Entonces las transformaciones serían:

⎧ x = r cos θ ⎧r = x 2 + y 2
⎪ ⎪
⎨ y = rsenθ ⎨θ = arctan ( x )
y

⎪z = z ⎪z = z
⎩ ⎩

Ejemplo 1.
El cilindro que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares x 2 + y 2 = 9 , su
ecuación en coordenadas cilíndricas será r = 3

x2 + y2 = 9

r =3

60
MOISES VILLENA Geometría Analítica en R3

Ejemplo 2
El plano que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares y = x , su ecuación en
π
coordenadas cilíndricas será θ =
4

π
θ=
4

y
y=x

Ejemplo 3
El Doble Cono Circular que tiene por ecuación en coordenadas
rectangulares z 2 = x 2 + y 2 , su ecuación en coordenadas cilíndricas será z = r

z=r

z 2 = x2 + y2
x

61
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Ejemplo 4
El Paraboloide Circular que tiene por ecuación en coordenadas
rectangulares z = x 2 + y 2 , su ecuación en coordenadas cilíndricas será z = r 2

z = r2

z = x2 + y2

2.6 COORDENADAS ESFÉRICAS.

Un punto de R , puede ser denotado también como un vector que inicia
3

en el origen con:
• Magnitud ρ ,
• Angulo θ , que forma su proyección r en el plano xy con
respecto a la dirección positiva del eje x ,
y
• Angulo φ con respecto a la dirección positiva del eje z

r
P (ρ ,θ , φ )
z φ •

ρ
z
0≤ρ <∞
x θ r= x2 + y 2
y
0 ≤ θ ≤ 2π
y 0 ≤φ ≤π
x

62
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Observe que:

⎧
⎪
⎪ρ = x2 + y 2 + z 2
⎪ ⎧ x = ρ senφ cosθ
⎪ y ⎪
⎨θ = arctg ⎨ y = ρ senφ cosθ
⎪ x ⎪ z = ρ cos φ
⎪ ⎛ ⎞ ⎩
z
⎪φ = arc cos ⎜ ⎟
⎪⎩ ⎜ x2 + y 2 + z 2 ⎟
⎝ ⎠

Ejemplo 1
La Esfera que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares x 2 + y 2 + z 2 = 9 , su
ecuación en coordenadas esféricas será ρ = 3
z

ρ =3

Ejemplo 2
El Cono que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares z = x 2 + y 2 , su
π
ecuación en coordenadas esféricas será φ =
4
z

π
φ=
4

63
MOISES VILLENA Geometría Analítica en R3

Ejemplo 3
Identificar y graficar la superficie que tiene por ecuación ρ = 3cos φ .
SOLUCIÓN:
Utilizando las ecuaciones de trasformación:
ρ = 3cos φ
z
ρ =3
ρ
ρ 2 = 3z
x 2 + y 2 + z 2 = 3z
x 2 + y 2 + ( z − 32 ) =
2 9
4

De la última ecuación se concluye que es una esfera de centro ( 0, 0, 32 ) y radio 3

2

ρ = 3cos φ
3
r=
2
( 0, 0, 32•)

Ejercicios propuestos 2.7

Halle una ecuación en coordenadas rectangulares y dibuje las siguientes superficies.
a) r = 2 f) ρ = 4 sec φ k) r = z
2
2 2
b) r = z g) r = 5 − x l) r = 2 cos θ
c) θ = π h) r = 2 senθ m) ρ2 + x = 2
4
d) φ = π i) z = r 2 sen 2 θ n) r 2 + z 2 = 4
4
e) ρ = 5 j) ρ = 4 cos φ o) ρ = 4 csc φ sec θ
( )
p) r 2 cos 2 θ − sen 2 θ + z 2 = 1
q) ρ = csc φ

64
MOISES VILLENA Geometría Analítica en R3

Misceláneos
1. Identifique Y GRAFIQUE las siguientes superficies.
a) z 2 = x 2 + 4 y 2 − 2x + 8 y + 4z 2
k) x + 4 y − z = 0
2 2

b) 9 z 2 − 2 x 2 − 3 y − 3x + 5 = 0 l) z y
2 2
+ z2x2 = 4
c) 5x2 − y 2 − z 2 − 2 x + 2 z + 3 y = 0 m) x = y
2 2
− z2
d) − 3x 2 + 2 y 2 − 3x + 2 y + z 2 = 0 2
n) 5 x − 3 y + z = 4
2 2

e) x 2 + 5 y 2 − 2 x + 10 y = z 2 o) y 2 = ln z
f) 2x 2 + 3 y 2 − y − 2 = 0 2
p) x + y − z = 0
2 2

g) − 3x 2 + 2 y 2 + 2 y − 3x + z = 0 q) z 2 = sen y + 5

h) 3x 2 + 2 y 2 + z 2 − 6 x − 8 y + 2 z + 17 = 0 (
r) 2 x = ln z 2 + y 2 )
2 2 2 2
i) 9 y − 4 z + 18 x = 0 s) x + y − 2 z = 0
2 2 2
j) 16 x − 9 y − z = 146
2. Encuentre la ecuación general de la esfera que es tangente al plano x − 8 y + 4 z + 4 = 0 y
que tiene el mismo centro que
x 2 + y 2 + z 2 − 12 x − 4 y − 6 z + 33 = 0 .
Resp. (x − 6)2 + ( y − 2 )2 + (z − 3)2 = 4
9

3. Hallar la menor distancia que hay entre el plano x + 2 y + 2 z = 20 , y la esfera que tiene por
2 2 2
ecuación x + y + z − 2 x − 4 y − 6 z + 13 = 0
Resp. d = 2

4. Dibújese la región limitada por las gráficas de las ecuaciones.

a) z = 2 x2 + y2 , z = 2

b) z = 4 − x 2 , y = 4 − x 2 , x = 0, y = 0, z = 0
2 2
c) x + y = 1, x + z = 2, z = 0

d) x 2 + y 2 + z 2 = 4, z = x 2 + y 2 , z = 0

e) z = 4 − x2 − y2 , y = 2 z, z = 0

f) z = x2 + y2 , z = 4 − x2 − y2
5. Encuentre las coordenadas de los focos de la elipse que resulta de la intersección de
x2 y2
z= + con z = 4 .
4 9
(
Resp. 0, 2 5 ,4 y 0,−2 5 ,4 ) ( )
6. Encuentre las coordenadas del foco de la parábola que resulta de la intersección de
x2 y2
z= + con x = 4 .
4 9
(
Resp. 4,0, 25
4
)
7. Pruebe que la proyección en el plano xz de la curva que es la intersección de las superficies
2 2 2
y = 4 − x , y y = x + z es una elipse y encuentre sus diámetros mayor y menor.
y
8. Dibuje el triángulo en el plano y = x que está arriba del plano z = , debajo del plano
2
z = 2 y , y dentro del cilindro x 2 + y 2 = 8 . Después encuentre el área de este triángulo.
Resp. A = 3 2

65
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9. Encontrar los valores de k para los cuales la intersección del plano x + ky = 1 y el

hiperboloide elíptico de dos hojas y 2 − x 2 − z 2 = 1 es:
a) Una elipse
b) Una hipérbola
( ) ( )
Resp. a) k ∈ − 2 ,−1 ∪ 1, 2 b) k ∈ (−1,1)
2
y x2 z
10. Demostrar que la intersección del paraboloide hiperbólico
2
− 2
= y el plano
b a c
z = bx + ay consiste de dos líneas rectas que se interceptan.

11. Sean P, Q los puntos de intersección del paraboloide hiperbólico y 2 − x 2 = z con la

x − 2 y −1 z − 3
recta = = , hallar la proyección del vector PQ sobre el vector
1 2 3
V = −î + ˆj + kˆ
⎯⎯→
Resp. Pr oy→ PQ = (− 4,4,4)
V

66