Met Num
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MÉTODOS
NUMÉRICOS
CONTENIDO
I. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
1.1. Algunas Reflexiones sobre Métodos numéricos
1.2. Introducción
1.3. Existencia y Unicidad
1.4. Métodos directos de solución: Gauss - Jordán, descomposición LU,
Cholesky.
1.5. Métodos Iterativos.
1.6. Convergencia
1.7. Método del descenso más rápido y del Método de gradiente
conjugado
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LINEALES
En un inicio podemos decir que las personas interesadas con esta área del
conocimiento solo contaban con:
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x y 4
x y 2
; Entonces x 3 , y 1 es solución única
Forma gráfica
. x y 4
x y 2
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Minimo
Interpolacion
4. Aproximar curvas
Minimo
Regresion
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Dada.
ti ti+1
En este item debemos destacar que estos modelos son apropiados para
caracterizar modelos en ingeniería como: distribución de temperatura en
estado estacionario en una placa, la temperatura en una barra.
Dado ,
Determinar u como función de x, y.
1.2. INTRODUCCIÓN
Ejemplo:
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x y 4
1. x y 2
; es un sistema de dos ecuaciones y 2 incógnitas que se
2x y z 4
2. x yz 6 ; es un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas que se
3x y 4
Ejemplos:
x y 4
1. x y 2
; entonces x 3 , y 1 es solución única
Forma gráfica.
x y 4
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x y 2
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x y 4
2. Sea 4 x 4 y 16
; estas dos ecuaciones son equivalentes pues una
Forma gráfica.
Infinitas
soluciones
x y 4
4 x 4 y 16
x y 4
3. Sea el sistema: 4 x 4 y 20 ; el sistema no tiene solución pues la
Forma gráfica.
4 x 4 y 20
x y 4
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Donde:
aij IR mn ; bi IR m i 1,2,..., m j 1,2,..., n ; el sistema (1) se puede
escribir:
m n n
aij x j bi ó aij x j bi ; i 1,2,..., m
i 1 j 1 j 1
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Es decir: Ax b
Donde:
mn IR mn ; es llamada matriz de coeficientes.
A aij
x x1 j
1 n
IR1 n ; es llamado vector de variables, entidades, incógnitas.
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AX=B
Si k< n;
Si K = n la infinitas
solución es única soluciones
Ejemplificación:
1.
4 x 8 y 12
a) Dado el sistema: 5 x 10 y 20
4 8 1 2
A r ( A) 1
5 10 0 0
4 8 12 1 2 3
A r ( Aa) 2
5 10 20 0 0 5
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4x 8 y 0
5 x 10 y 0
infinito de soluciones.
3 x 5 y 14
2. Dado el sistema de ecuaciones: 2 x y 5
3 5 1 5/3
A r ( A) 2
2 1 0 13 / 3
3 5 14 1 5 / 3 14 / 3 1 5 / 3 14 / 3
Aa r ( Aa ) 2
2 1 5 0 13 / 3 13 / 3 0 1 1
Observaciones:
1. La matriz de coeficientes es una matriz diagonal.
2. El conjunto solución es obtenido dividiendo cada elemento del vector
independiente (insumos, condiciones) por cada respectivo elemento de la
matriz diagonal.
3. Una matriz diagonal en general se representa de la siguiente forma:
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a11 0 0 ... 0
0 a 22 0 ... 0
aij si i j
A aij
n n 0 si i j
; es decir A 0 0 a33 ... 0
0 0 0 0 a nn
bi
En general comprobamos que xi ; i 1,.2,..., n son las soluciones del
aii
sistema.
Seudocódigo
Seudocódigo
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Ejemplo:
2 x1 6 2 0 0 x1 6
x1 x2 4 1 1 0 x2 4
3x1 2 x2 4 x3 15 3 2 4 x 15
3
Solución:
6
x1 x1 3
2
6
x2 4 x2 1 C.S {3,1,2}
2
6 6
x3 15 3 2 4 x3 2
2 8
Observación:
1. La matriz de coeficientes es una matriz triangular inferior.
2. El sistema se puede escribir de la siguiente manera
a11 0 0 ... x1 b1
0
a21 a22 0 ... 0
x2 b2
a a32 a33 ... x b
0
31 3 3
ai1 ai 2 aii xi bi
a an 2 an3 ann xn bn
n1
b1
sistema; es decir: x1
a11
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b1
b2 a21
b
a22 x2 b2 a21 1 x2
a11
x2 b2 a21 x1 / a22
a11 a22
Seudocódigo
Seudocódigo
Ejemplo:
5 x1 2 x2 3x3 5 5 2 3 x1 5
0 2 x2 4 x3 24 0 2 4 x2 24
0 0 3 x3 6 0 0 3 x 6
3
Solución:
6
x3 x3 2
3
x 2 24 4(2) / 2 x2 8 C.S {27 / 5,8,1}
x1 5 2 x 2 3x3 / 5 x1 27 / 5
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Observación:
b
x n a partir de la última fila. xn nn
ann
xn 1 bn 1 an 1n xn / an 1n 1
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a 21
a la primera ecuación por y restándolo del primer término de la
a11
segunda ecuación para eliminar el primer término de la segunda
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a31
ecuación; luego se multiplica a la primera ecuación por y se resta del
a11
primer término de la tercera ecuación y así sucesivamente para las
restantes ecuaciones i 3 se elimina restando la primera ecuación
ai1
multiplicada por , quedando el sistema así:
a11
(3)
a 'i 2 x2 a 'i3 x3 a 'ii xi a 'in xn b 'i
' ' '
a m 2 x2 a m3 x3 a mi xi a mn xn b ' m
'
En donde:
a
a 'ij aij i1 a1 j
a11
2º. Eliminamos del segundo término de las ecuaciones del sistema (1)
donde la tercera ecuación hasta la última i 2 se realiza análogamente
que en la primera parte es decir: restamos la segunda ecuación del
a 'i 2
sistema multiplicada por y así continuamos eliminando los terceros
a ' 22
términos de las ecuaciones restantes, finalmente se llega a una
triangulación total; así:
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Seudocódigo
Seudocódigo
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Ejemplos:
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3 1 -3
>> b=[-1 12 0] b = -1 12 0
>> A=[A b']
A= 2 1 -3 -1
-1 3 2 12
3 1 -3 0
>> format rat
>> A(2,:)=A(2,:)+A(1,:)/2
A=
2 1 -3 -1
0 7/2 1/2 23/2
3 1 -3 0
>> A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)/2
A=
2 1 -3 -1
0 7/2 1/2 23/2
0 -1/2 3/2 3/2
>> A(3,:)=A(3,:)+A(2,:)/7
A= 2 1 -3 -1
0 7/2 1/2 23/2
0 0 11/7 22/7
Solucionando este sistema triangular superior con el método de
sustitución regresiva obtenemos:
>> sts(A,b,3)
x=
1.000000000000
3.000000000000
2.000000000000
2. Resolver el siguiente sistema usando eliminación Gaussiana.
3 x1 2 x 2 3 x3 2
x1 3 x 2 2 x3 1
5 x1 2 x 2 4 x3 13
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3 2 3 2
1 3 2 1
5 2 4 13
b) Realizando operaciones elementales de matrices según el método.
3 2 3 2 3 2 3 2
0 7/3 1 5 / 3 0 7/3 1 5 / 3
0 16 / 3 9 49 / 3 0 0 47 / 7 141 / 7
2 x1 3 x 2 4 x3 9
4 x1 5 x 2 x3 7
x1 2 x 2 3 x3 3
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2 3 4 9
4 5 1 7
1 2 3 3
DESCOMPOSICIÓN LU APLICACIONES
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O simplemente: Ax b
l11 0 0 0
...
l 21 l 22 0 ...
0
l l32 l33 ... 0 lij lij , i j
31
Es decir: L
lij nxn tal que
li1 li 2 lii lij 0 , i j
l ln 2 ln3 l nn
n1
u11 u12 u13 ... u1 j ... u1n
0 u 22 u 23 ... u 2 j .. u 2n
0 0 u33 .... u3 j .. u 3n
U
uij nxn tal que uuij u0ij, , ii jj
0 0 uij uin ij
0 0 0 u nn
Cuando es posible factorizar A LU se dice que A tiene una
descomposición LU , pero esto no ocurre de una única forma.
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a41 l 41. u11 , a42 l 41 u12 l 42u 22 , a43 l41u13 l42u23 l 43u33 , a44 l41u14 l 42u 24 l43u32 u 44
n min(i , j )
aij lis . u sj lis . u sj
s 1 s 1
Es decir:
2
a 24 lis u sj a24 l21u12 l22u 24 l21u14 u 24
s 1
4
a 44 lis u sj a44 l41u14 l42u 24 l43u34 u 44
s 1
Observación:
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b) u sj 0 Para s j
a 21 a a
l21 ; l31 31 ; l 41 41
u11 u11 u11
Determinamos: u 22 ; u 23 ; u 24
u 22 a22 l 21u12 ; u 23 a23 l21u13 ; u 24 a24 l 21u14
for
forj j==k+1,k+2,…n
k+1,k+2,…n
end
end
for
fori=i=k+1,k+2,…n
k+1,k+2,…n
end
end Página 25 de 98
end
end
Output
Output(l(lij),),(u(uij) )
ij ij
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a
a 32 31 a12
a 31 a11
L31 L32
a11 a
a 22 21 a12
a11
Seudocódigo a
Seudocódigo a 32 31 a12
Input an,(a
ij) ) a a 21
11
33 aInput
31n,(a
a
a 13 ij a 23 a13
For
33
k=1,2,…,
Fork=1,2,…,
21 a a 21 a a11
22 a 12
11
for
forj j=k+1,k+2,…n
=k+1,k+2,…n
end
end
for
for i=k+1,k+2,…n
i= k+1,k+2,…n
end
end Página 26 de 98
end
end
output
output(l(lij),),(u(u )
ij )
ij ij
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Ejemplo:
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
4 9 2 x1 5
2 4 6 x2 3
1 1 3 x 4
3
Solución
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Luego:
1 0 0 4 9 2
L 0.5 1 0 ; U 0 0.5 5
0.25 2.5 1 0 0 10
Primero: Resolvemos Lc = b
Vector independiente original
Un vector cualquiera
I.e.
1 0 0 C1 5
0.5 1 0 C2 3
0.25 2.5 1 C 4
3
C1 = 5; C2 = 3 - 0.5 (5) → C2 = 0.5
C3 = 4 – 0.25 (5) – (2.5) (0.5) = 4 -1.25 – 1.25 → C 3 = 1.5
Segundo: Resolver Ux = c
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4 9 2 x1 5
0 0.5 5 x2 0.5
0 0 10 x 1.5
3
1.5
x3 x3 = -0.15
10
0.5 5 (0.15)
x2 2.5 x2 = 2.5
0.5
(5 9 ( 2.5) 2 (0.15))
x1 x1 = 6.95
4
Generalización
i 1
u ij a ij Lik u kj ; j i, i 1,.....n
k 1
1 j 1
Lij a ij Lik u kj , i j 1,....n
u jj k 1
Lii 1, i 1,2,...n
Matriz Positiva:
Diremos que una matriz simétrica A, es positiva si solo si los
determinantes de las sub matrices de A son positivos.
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Observación:
Los cálculos se reducen pues estimaremos n (n+1)/2 elementos, los L ij ≠ 0
en lugar de de n2 elementos de una factorización nominal:
4 1 2 x1 1
1 2 0 x 2
2
2 0 5 x3 4
La matriz de coeficiente es simétrica y positiva, luego aplicamos Cholesky.
Supongamos su descomposición sea:
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2
L11 a11 4 L11 2 se toma el valor positivo de todas las raices
1
L11 L21 0 L 21
2
L11 L31 2 L31 1
L221 L222 2 L22 2 0.25 1.32287
1
L21 L31 L22 L32 0 L32 1.32287 0.37796
2
L231 L232 L233 5 L31 5 1 0.14286 L33 1.963396
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L11 a11
a i1
Li1 , i 2,3,...., n
L11
1
i 1
2
Lii a11 l in2 ; i2
k 1
1 i 1
i j 1, j 2,...., n 1
Lij a ij l ik l jk
L11 k 1 j 2,3,....., n
Lij 0 i j
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Usando:
x ( R 1) Bx ( R ) C , R 0,1,2,.....
Donde:
x ( R ) x1R , x 2R ,......, x nR T
Observación:
Para que la sucesión de soluciones converja a x vector solución
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b2 a 21 a
x2 x1 23 x 3
a 22 a 22 a 22
. . . . . . . . . . . . . (5)
b a a
x 3 3 31 x1 32 x 2
a 33 a 33 a 33
a12 a13 b1
0
x1 a11 a11 x1 a11
a 21 a b2
x2 0 23 x2
x a 22 a 22 x a 22 . . . . . . . . . . . . . . . . (6)
3 a 31 a 32 3 b3
a
a 33
0 a
33 33
x Bx C
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x1 R
R
Si x
(R)
x 2 es el vector de aproximación a la solución x después de R
R
x3
iteraciones, entonces, tendremos la siguiente aproximación
1
(b1 a12 x 2R a13 x 3R )
x1 R 1 a11
R 1 1
x R 1 x2 (b2 a 21 x1R a 23 x 3R )
R 1 a 22
x3 1 R
a (b3 a 31 x1 a 32 x 2 )
R
33
Este método se diferencia del anterior en que los valores que se van
calculando en la (R + 1) – ésima iteración se usan para calcular los
valores restantes de esa misma interacción ie
1
(b1 a12 x 2R a12 x 3R )
x1R 1 a11
1
x R 1 x 2R 1 (b2 a 21 x1R 1 a 23 x 3R )
R 1 a 22
x3 1 (b a x R 1 a
3 31 1 32 x 2
R 1
)
a 33
1 n i 1
x iR 1 bi a i j x a i j x R 1 , 1 i n
R
aii j i 1 j 1
iI ji
Ejemplo:
4 x1 x2 0 x3 0x4 1
x1 4x2 x3 0x4 1
0 x1 x2 4 x3 x4 1
0 x1 0x2 x3 4x4 1
Solución:
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x2 1
x1
4 4
1 x1 x 3 x1 0 1 / 4 0 0 x1 1 / 4
x2
4 4 4 x 2 1 / 4 0 1 / 4 0 x 2 1 / 4
1 x x x 0 1 / 4 0 1 / 4 x 3 1 / 4
x3 2 4 3
4 4 4 x 4 0 0 1 / 4 0 x 4 1 / 4
1 x
x4 3
4 4
x B x C
Valor Inicial
Método de Jacobi
Determinando x(2)
x12
1
4
1 x 22 0 1 1 5
x13 1
4 4 16
1 1 1 1 6 6
x 22 1 4 1 x 23 T
4 4 4 44 16 5 5 5 5
6
x , , ,
( 2)
1 1 1 1 6 16 16 16 16
x 3 1 1
2
x3
3
4 4 4 44 16
1 1 1 5 5
x 42 1 x 43
4 4 46 16
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R x1R x 2R x 3R x 4R
0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500
2 0.3125 0.3750 0.3750 0.3125
3 0.3438 0.4219
4 0.3555 0.4414
5 0.3604 0.4492
6 0.3223 0.4524
7 0.3631 0.4537
8 0.3634 0.4542
9 0.3635 0.4544
10 0.3636 0.4545 0.4545 0.3636
1 R
x1R 1 a b1 a12 x a13 x 3 a14 x 4
R R
R 1 11
x2 1
x R 1 R 1 b2 a 21 x1R 1 a 23 x 312 x 4R
x 3 a 22
x R 1 1
4 b3 a 31 x1 a 32 x 3
R 1 R 1
a 33
Determinación del x a b4 a 41 x1 a 42 x 2 a 43 x 3
(1) R 11 R 1 R 1
44
1 1
x11 (1 (0) 0) x11
4 4
1 5
x 12 (1 1(1 / 4) 1(0)) x 12
4 16 1 5 25 89
25
x1 , , ,
1 4 12 64 256
x 31 (1 1(1 / 4) 1(5 / 16)) x 31
4 64
1 89
x 4 (1 0 0 25 / 14) x 14
1
4 256
Observación:
1. La sucesión de vectores x (1) , x ( 2 ) , x ( 3) ,...., x ( R ) ,.... converge o se
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Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema con el método de Gauss Seidel con E =
10-2 aplicando a |xK+1 – xK|
x1 3x2 5 x3 2 x4 10
x1 9 x2 8 x3 4 x4 15
x2 x4 2
2 x1 x2 x3 x4 3
K x1K x 2K x 3K x 4K | x K 1 x K |
0 0 0 0 0 0
1 10.0000 2.7778 14.222 0.7778 17.62
2 67.9889 18.172 121.2 20.17 159.0
3 631.1 170.2 1108.0 168.71 1439.05
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x 2 x3 x4 3
x1
2 2 2 2 x1K x1
x 8x 4x 15
x2 1 3 4 x 2K x 2
9 9 9 9 Caso contrario se alejan
x1 3 x 2 2 x 4 10
x3 x nK x n
5 5 5 5
x4 x2 2
Rpta 2
K 1 K 1 K 1
Los valores absolutos | x1 x1 |, | x 2 x 2 |, ...... , | x n x n |
K K K
1.
y
| a ii | a
i 1
ij 1 j n
i j
1.6. CONVERGENCIA
1.6.1. LONGITUD DE UN VECTOR
Supongamos x un vector en R 2, su longitud denotado por |x| es definido
como un número positivo o cero.
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Solución
;,
Observe que:
1. ,
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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
2. ,
3. .
4. ,
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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
1. ,
2. ,
3. ,
Propiedades
1. ,
Página 43 de 98
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2. ,
3. ,
, (x ),
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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
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Tenemos que,
,
Es así que para cualquier posemos encontrar un numero entero
a la norma .
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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
alguna norma.
las normas.
alguna norma.
variable real que verifica las siguientes condiciones para todas las
matrices A y B de dimensión nxn y todos los números reales.
1. ,
2.
3. ,
4. ,
5. .
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1 A
x
1
x
-1 1 -1
x1 -2 1 2
x1
-1
-1
-3
Norma de una matriz
,
2
AX
1
x
1
-2 -1 1 2 x1
x
-1
-1 1
x1
-2
-1
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Determinar ,
Solución
Ventajas Desventajas
1. Probablemente los métodos 1. Si se tienen varios sistemas que
iterativos son mas eficientes que comparten la matriz de coeficientes,
los directos para sistemas de esto no representara ahorro de calculo
orden muy alto. ni tiempo de maquina, ya que por cada
vector a la derecha de A tendrá que
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Propiedades
1. ,
2. ,
1
Ver [2] Kincaid, D y Cheney, W. (1994) “Análisis Numérico. Las matemáticas del calculo
científico” Addison – Wesley Iberoamericacna, wilmngton Delaware.pag. 209
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3. ,
4. ,
Veamos por que esta afirmación es cierta; primero veamos como se comporta q(x)
a lo largo de un rayo unidimensional. Para lo cual consideremos x+tv en donde x
y v son vectores y t un escalar gráficamente tenemos
tv
x+ tv
.............................................................
....(*)
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.......................................................................................
......(**)
Lo que quiere decir esto que al pasar q(x) de x a , siempre hay una
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En donde
Debemos decir que una diversidad de métodos iterativos tienen la forma general:
Para valores particulares del escalar tK, y los valores de vK, si , entonces
tk, mide la distancia que nos movemos de x K, para hasta la obtención de xk+1, ver
la siguiente figura.
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Este método se le considera dentro del grupo de métodos iterativos que usan el algoritmo
anterior, considera que vK, debería ser el gradiente negativo de q(x) en x(k),
Es decir tenemos:
input x(0), A, b, M
output 0, x(0)
for k=0,1,2,…, M-1 do
input x, A, b, M
output 0, x)
for k=0,1,2,…, M-1 do
output k, x)
end
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Otro método considerado dentro del algoritmo analizado anterior es el método del
gradiente conjugado de Hestenes y Stiefel, el cual es aplicado a sistemas de la
forma Ax=b, en donde A es considerada simétrica y definida positiva.
En este método las direcciones vK , son elegidas de una en una en el proceso
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Notación vectorial
En donde:
D: diagonal principal cuyos elementos coinciden con A
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Ejemplo
k 0 1 2 3 4 5 6 7
1 6.312500 2.622314 3.133027 2.957051 3.003721 2.996327 3.0000
5 2 1 6 4
1 3.519531 3.958526 4.010264 4.007483 4.002925 4.000926 4.0002
3 6 6 8 0 2 6
1 - - - - - - -5.0004
6.650146 4.600423 5.096686 4.973489 5.005713 4.998282
5 8 3 7 5
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2 x1 3 x2 4 x3 5
1. x1 2 x2 3 x3 5 Rpta: x1 1 / 14 , x 2 30 / 7 , x3 9 / 2
5 x1 4 x2 x3 13
x1 x 2 x3 6
2. 2 x1 x 2 3 x3 4 Rpta: x1 4 , x 2 3 , x3 5
3x1 2 x 2 x3 1
2 x1 3 x 2 x3 8
3. x1 x 2 x3 7 Rpta: x1 1 , x 2 4 , x3 2
3 x1 2 x 2 x3 9
x1 x 2 x3 15
4. 3 x1 2 x 2 2 x3 4 Rpta: inconsistente
2 x1 3 x 2 x3 19
x1 x2 x3 x4 10
2 x1 x2 3 x3 2 x4 1
5. 3 x1 x2 2 x3 x4 11 Rpta: x1 1 , x 2 2 , x3 3 , x 4 4
4 x1 2 x2 3 x3 3x4 11
x1 x2 x3 x4 x5 9
2 x1 x2 2 x3 2 x4 x5 7
6. 3 x1 2 x2 3 x3 3x4 2 x5 2 Rpta:
x1 3x2 2 x3 x4 4 x5 0
2 x1 2 x2 3 x3 x4 2 x5 2
x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5
x1 2 x2 3 x3 x4 x5 8
x1 3x2 x3 3x4 2 x5 0
7. 2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 3 x5 13 Rpta:
3 x1 4 x2 3 x3 2 x4 4 x5 21
4 x1 3x2 4 x3 3x4 5 x5 10
x1 1 , x 2 1 , x3 2 , x 4 2
, x5 3
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2 x1 x2 x3 x4 x5 6
x1 3x 2 2 x3 2 x4 x5 7
x1 , x 2 , x3 , x 4
8. 3 x1 2 x2 3 x3 4 x4 2 x5 5 Rpta:
, x5
4 x1 2 x2 4 x3 4 x4 3 x5 1
5 x1 8x2 5 x3 x4 x5 16
x1 x2 x3 x4 x5 4
2 x1 x2 3 x3 x4 x5 9
9. 3 x1 3x2 3 x3 2 x4 6 x5 17 Rpta:
2 x1 6 x2 2 x3 4 x4 8 x5 14
x1 x2 x3 x4 2 x5 6
x1 0 , x 2 0 , x3 1 , x 4 1
, x5 2
4 x1 2 x2 3 x3 x5 8
x1 x2 x3 x4 x5 3
10. x2 4 x3 2 x4 6 x5 8 Rpta:
3 x1 4 x2 3 x3 2 x4 12
2 x1 2 x2 3 x3 2 x4 0
x1 , x 2 , x3 , x 4
, x5
x1 3x2 x3 5x4 9
2 x1 3x2 4 x3 x4 6
11. x1 x2 x3 x4 5 Rpta:
x1 2 x2 2 x3 x4 4
x1 1 , x 2 1 , x3 2 , x 4 3
2 x1 x2 5 x3 2 x4 7
x1 x2 x3 x4 3
12. 3 x1 2 x2 x3 x4 6 Rpta:
x1 x2 x3 2 x4 7
x1 0 , x 2 1 , x3 2 , x4 2
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x1 x2 x3 x4 1
x1 x2 2 x3 2 x4 2
13. 4 x1 5x2 x3 x4 8 Rpta:
x1 3x2 x3 x4 3
x1 1 , x 2 1 , x3 1 , x 4 0
2 x1 x2 x3 x4 0
x1 x2 3 x3 4 x4 19
14. x1 x2 x3 2 x4 1 Rpta:
3 x1 x2 x3 4 x4 3
x1 2 , x 2 1 , x3 6 , x 4 1
15. Un carpintero fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se
necesitan 15 minutos para lijar una silla, 10 para pintarla, y 20 para barnizarla. Se
necesitan 12 minutos para lijar una mesa para café, se necesitan 25 minutos para
lijar una mesa de comedor, 20 para pintar y 30 para barnizar. La mesa de lijado esta
disponible 40 horas a la semana la mesa de pintura 22 horas a la semana y la
mesa de barnizado 50 horas ¿ Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse
por semana de modo que las mesas de trabajo se ocupen el tiempo disponible ?
16. 16. Supongamos que una fabrica de bebidas, produce seis tipos de
gaseosas usando cuatro máquinas y cuatro tipos de mano de obra.
El departamento de producción presenta el siguiente cuadro de
disponibilidad de máquinas y de la mano de obra
Tiempo disponible. Tiempo disponible
Tipo de Maquina Maq.-hora/mes Tipo de mano de obra hombres-hora/mes
M1 80 MO1 100
M2 40 MO2 140
M3 60 MO3 160
M4 90 MO4 180
Así mismo sabemos que la administración tiene lo siguientes datos de
productividad. Esto es el número de horas - máquina y hombres - hora
que se requieren para producir una unidad de cada producto.
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Tipo
de
Tipo mano
de de
máq. I II III IV V VI Ob. I II III IV V VI
M1 2 3 4 1 6 1 MO1 1 3 6 0 7 8
M2 1 3 0 2 3 0 MO2 2 2 1 4 5 6
M3 4 4 5 0 2 0 MO3 3 1 2 3 2 0
M4 3 4 5 6 7 8 MO4 4 4 6 0 3 5
El cuadro último quiere decir, que para producir una unidad del producto cuatro se utilizan
1 hora de la máquina M1, 2 horas de M2, 0 horas de M3, y 6 horas de M4. Para producir el
mismo producto se requieren, 0 hombres - hora de mano de obra tipo1, 4 hombres - hora
de MO2, 3 hombres - hora del tipo MO3, y cero hombres - hora de MO4.
El departamento de comercialización proporciona la siguiente información,
Tipo de productos Potencial de ventas Unid./mes Ganancia por Unid./mes
I 800 10
II 400 6
III 300 5
IV 200 8
V 600 9
VI 500 7
¿Cómo gerente de producción cuál sería su plan para maximizar su lucro total?
17.-Supongamos que una empresa tiene tres plantas de ensamblaje de carros en Trujillo,
Chimbote, y Lima. Si la planta de Trujillo tiene una capacidad de producción de 300
unidades y las otras tiene una capacidad de producción de 400 unidades cada una.
Los carros son vendidos a cuatro tiendas que se encuentra ubicadas en Arequipa, Cuzco,
Piura, y San Martín, los pedidos que éstas tienen son: 300, 200, 250, y 150 carros
respectivamente.
Sabemos que el costo de transporte de cada unidad producida es:
Planta Piura San Martín Arequipa Cusco
Trujillo 50 60 70 80
Chimbote 60 70 70 100
Lima 100 90 80 90
18.-El gerente del Club Libertad de Trujillo, tiene 1´000,000 soles para invertir en seis
tipos de fondos que tienen diferentes estrategias de inversión y con diferentes rendimientos
potenciales y riesgos respectivamente como se expresa en el cuadro siguiente:
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1 2 3 4 5 6
Precio por 50 70 100 20 40 30
acción
Devolución 40 30 20 25 15 10
esperada
Categoría de Alto Alto Alto Medio Medio Bajo
riesgo
Pero el gerente sabe que una forma de controlar el riesgo es limitando el dinero invertido
en los diferentes fondos, consecuentemente:
*La cantidad total invertida en los fondos de alto riesgo debe de estar entre los 60 y 80 %
del capital.
La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo debe ser de 30 y 40 % del
capital.
La cantidad invertida en el fondo de bajo riesgo debe ser al menos 10% del capital.
Otra forma de controlar el riesgo es diversificando la inversión, esto es:
La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo uno, dos y tres deben estar en la
razón de 1:2:3 respectivamente.
* La cantidad invertida en los fondos 4 y 5 deben estar en la razón de, 1:2,
Se desea estructurar un modelo para maximizar
DESCOMPOSICIÓN LU
6 10 0
5. 12 26 4
0 9 12
1 1 0 3
1 1 4 1 6 0
1 0 3 1
6. 2 2 0 ; 7. 2 1 0; 8. 0 1 1 1
; 9.
3 3 22 0 2 1
3 0 1 2
6 2 2 4 1 0 2 1
12 8 4 10 4 9 2 1
3 13 3 3
; 10. 8 16 6 5
6 4 2 18 2 3 2 1
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7 x1 2 x 2 3 x3 12 4 x1 9 x 2 2 x 3 5
1. 2 x1 5 x 2 3x 3 20 2. 2 x1 4 x 2 6 x3 3 3.
x1 x 2 6 x3 26 x1 x 2 36 x 3 4
6 x1 2 x 2 2 x 3 4 x 4 12
12 x1 8 x 2 6 x 3 10 x 4 34
3 x1 3 x 2 9 x3 3 x 4 27
6 x1 4 x 2 x 3 18 x 4 38
x1 x 2 4 x3 0 x1 6 x 2 0 x3 3
4. 2 x1 2 x 2 0 x 3 1 5. 2 x1 x 2 0 x 3 1 6.
3 x1 3 x 2 2 x3 1 / 2 0 x1 2 x 2 x 3 1
x1 x 2 0 x 3 3 x 4 4
x1 0 x 2 3 x3 1x 4 0
0 x1 1x 2 x´ x 4 3
3 x1 0 x 2 x3 2 x 4 1
6 x1 2 x 2 2 x 3 4 x 4 0 x1 0 x 2 2 x 3 x 4 2
12 x1 8 x 2 6 x 3 10 x 4 10 4 x1 9 x 2 2 x 3 x 4 14
7. 8. 9.
3 x1 3 x 2 9 x 3 3 x 4 39 8 x1 16 x 2 6 x 3 5 x 4 3
6 x1 4 x 2 x 3 18 x 4 16 2 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 0
2 x1 x 2 x 3 4
3 x1 4 x 2 2 x 3 11
3 x1 2 x 2 4 x 3 11
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x1 0 x 2 2 x 3 3 x 4 1
3x1 2 x 2 1x 3 5
3 x1 x 2 x 3 2 x 4 4
10. 2 x1 3x 2 x3 1 , 11. , 12.
2 x1 3 x 2 x 3 x 4 6
2 x1 1x 2 3 x 3 11
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 4
x1 2 x 2 3 x 3 2 x 4 6
2 x1 x 2 2 x3 3 x 4 8
3 x1 2 x 2 x 3 2 x 4 4
2 x1 3 x 2 2 x3 x 4 8
x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 0 x1 x 2 3 x 3 4 x 4 5
2 x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1 x1 0 x 2 2 x 3 3x 4 4
13. 14. 15.
3 x1 2 x 2 x 3 2 x 4 1 3 x1 2 x 2 0 x 3 5 x 4 12
4 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 5 4 x1 3 x 2 5 x 3 0 x 4 5
x1 3 x 2 5 x 3 7 x 4 12
3 x1 5 x 2 7 x 3 x 4 0
5 x1 7 x 2 x 3 3 x 4 4
7 x1 x 2 3 x 3 5 x 4 16
3x1 x 2 x3 2 x 4 0 x5 18
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1
2 x1 5 x 2 0 x3 x 4 x5 7
3 x1 x 2 x 3 2 x 4 4
16. x1 x 2 0 x3 0 x 4 2 x 5 8 17. 18.
2 x1 3 x 2 x 3 x 4 6
0 x1 2 x 2 x3 x 4 x5 10
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 4
x1 x 2 3x3 0 x x x5 1
x1 x 2 x 3 x 4 4
2 x1 x 2 3 x 3 2 x 4 1
x1 x 2 0 x 3 2 x 4 6
3 x1 x 2 x 3 x 4 0
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Filas
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1 2 3 4 5 6
MATRIZ COLUMNA: Llamaremos matriz columna o vector columna a
aquella matriz que posee sólo una columna y m filas.
a11
a
La representamos del siguiente modo: A 21
a m1 mx1
Para generar un vector columna en MATLAB escribimos los elementos
del vector separados por puntos y coma.
» x=[1;2;3;4]
x=
1
2
3
4
2.1.4. IGUALDAD DE MATRICES: Las matrices A aij ; B bij son
iguales si tienen el mismo orden; es decir el número de filas y columnas
de cada una deben de ser iguales y además cada elemento de una de
ellas tiene que ser igual al correspondiente de la otra.
Su representación matricial es:
A B aij bij ; i 1,2,...,m j 1, 2,3,..., n
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2 3
4 5
» C=[3 6; 4 7]
C=
3 6
4 7
» A= =B
ans =
1 1
1 1
Como todos sus elementos son unos, entonces decimos que las
matrices son iguales
» A= =C
ans =
0 0
1 0
El resultado quiere decir que los elementos de las matrices A y C son
diferentes excepto el elemento que está en la segunda fila y primera
columna
Ejemplo:
2 4 10 20
1. 5A 5
1 2 5 10
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2 ( ) A A A
Ejemplo:
8 5 5 6 3 1
1. A ; B C A B
6 1 0 2 6 1
2. En una empresa
PLANTA1 PLANTA 2 PLANTA 3 PLANTA 4
PRODUCTO 1 50 20 50 40
M1= PRODUCTO 2 20 40 40 50
PRODUCTO 3 50 50 60 90
PRODUCTO 4 40 25 90 60
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Esta matriz nos proporciona el costo para producir parte de cada uno de
los cuatro productos en cuatro plantas ubicadas en ciudades diferentes
se requiere saber el costo total de cada uno de los productos.
Matriz de costo total =
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» A= [2 1 3; 7 6 -9]
A=
2 1 3
7 6 -9
» B= [-1 0 -2; 3 6 5]
B=
-1 0 -2
3 6 5
» C=A+B
C=
1 1 1
10 12 -4
Propiedades:
1. A B B A
2. A ( B C ) ( A B) C
3. ( A B ) A B
4. A; 0 tal que A 0 A
Ejemplo:
1 2 2 1
1. A ; B ; Entonces:
1 3 0 2
1 2 2 1 1(2) 2(0) 1(1) 2(2)
C AB .
1 3 0 2 1( 2) 3(0) 1(1) 3(2)
2 3
C
2 5
Usando MATLAB
Propiedades:
1. A.B B. A
2. A.( BC ) ( AB )C
3. A.( B C ) AB AC
4. ( B C ) A BA CA
5. kA.B AkB ; k IR
Ejemplo:
1 2 3
1. A3 7 5 0
0 8 6
0 9 8 7 6 5 4
3 2 78 5 8 6 9
5 7 0 0 0 78 0
2. A7 2 1 1 1 1 1 1
0 0 0 5 6 74 9
8 0' 2 5 5 6 0
1 1 2 2 2 0 1
4. AB t B t . At
5. A B t At B t
Ejemplo:
0 2 4 0 2 4 0 2 4
t t
1. A 2 0 6 A 2 0 6 A 2 0 6
4 6 6 4 6 0 4 6 0
A At
0 4 0 4 0 4
2. A At At
4 0 4 0 4 0
A At
Ejemplo:
, en donde
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
A 0 1 2 1 0
0 0 1 2 1
0 0 0 1 1
Obs.
1. Las líneas paralelas a la diagonal principal se le llama codiagonales.
2. El número total de diagonal y codiagonales con elementos significativos
es el ancho de banda (3 en este ejemplo).
3. Para matrices simétricas puede también hablarse de un ancho de semi –
banda; que incluye a la diagonal principal (2 en el ejemplo precedente).
4. Una matriz banda tiene baja densidad. Considerando densidad como la
razón entre el número de elementos con valor significativo y el número total de
elementos.
» B=[-5 9;-6 3]
B=
-5 9
-6 3
» det(B)
ans =
39
a 22 a 23
a11 es M 11
a32 a33
a12 a13
a 21 es M 21
a32 a33
como: Aij 1 i j M ij
A11 111 M 11 M 11
A12 1 1 2 M 12 M 12
A13 1 1 3 M 13 M 13
1 0 0
2.3
1. A 1 2 3 det(A) 1 10
0 0 5 0,5
» A=[1 0 0;1 2 3;0 0 5]
A=
1 0 0
1 2 3
0 0 5
» det(A)
ans =
10
2.
2 5 3
B 2 3 4 det( B ) 2 3(1) (4)(2) 5 (2)(1) 4(0) 3 ( 2)(2) 3(0)
0 2 1
6. Si todos los elementos de una fila o columna son expresados como la suma
de dos o más números, el determinante puede expresarse como la suma de
dos o más determinantes.
a1 x a2 a3 a1 a2 a3 x a2 a3
Es decir: b1 y b2 b3 b1 b2 b3 y b2 b3
c1 z c2 c3 c1 c2 c3 z c2 c3
2.1.8.4. Observaciones
La determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos
de su diagonal principal.
, det(A) = (1)(5)(12)= 60
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
A 0 1 10 0 0
; det(A)= (1)(2)(10)(2)(20)=800
0 0 1 2 0
0 0 0 1 20
1 3 5 14 4 22
Ejemplo: A 3 5 1 CA 4 22 14
5 1 3 22 14 4
1 2 3 3 6 3 3 6 3
Ejemplo: A 4 5 6 CA 6 12 6 adj ( A) 6 12 6
7 8 9 3 6 3 3 6 3
2.1.8.7. MATRIZ INVERSA.
Supongamos la matriz cuadrada A tiene det( A) 0 , entonces la inversa de la
1 CAt
matriz A denotada por A 1 es: A 1 adj ( A)
A A
1 2 3
Ejemplo: A 4 5 6 A ( 13) 2(4 12) 3(12 10) 9
2 3 1
13 8 2 13 7 3
CA 7 5 1 adj( A) 8 5 6
3 6 3 2 1 3
13 7 3
1 1
A 8 5 6
9
2 1 3
1 2 3 13 7 3 1 0 0
1 1
Verificando tenemos: AA 4 5 6 . 8 5 6 0 1 0
9
2 3 1 2 1 3 0 0 1
Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si es una matriz no singular en este
caso se dice que es una matriz invertible.
Usando MATLAB
» A=[1 2 3;4 5 6;2 3 1]
A=
1 2 3
4 5 6
2 3 1
» format rat % expresa los valores en fracciones
» inv(A)
ans =
-13/9 7/9 -1/3
8/9 -5/9 2/3
2/9 1/9 -1/3
Propiedades:
1. AB 1 B 1 A 1
2. A 1 1 A
3. A 1 1 A 1 IR
4. adj ( A) A
n 1
Donde n es el orden de la matriz A
5. La inversión de matrices permite efectuar la operación equivalente a la
división del álgebra común.
1 2 4 1 2 4 0 5 6 1 2 4
0 5 6 ; 0 5 6 ;6 7 8 ; 6 7 8
6 7 8 0 8 9 0 8 9 0 8 9
Aclaraciones:
- Toda matriz nula tiene como rango cero,
- Si una matriz A es de orden mxn no nula entonces su rango es mayor que
cero y menor igual que min (m,n)
- Si la matriz es de orden nxn su rango es mayor que cero y menor o igual a n;
- Si la matriz es no nula de orden nxn , entonces existe su inversa si solo si
su determinante es diferente cero , en este caso se dice que la matriz es no
singular.
- De la afirmación anterior también se dice que una matriz cuadrada de orden
nxn tiene inversa si y solo si r(A) =n.
- Supongamos dos matrices A y B y que exista AB, entonces r(AB)≤ min{r(A),
r(B)};
- También es necesario resaltar que existe otra manera de calcular el rango de
una matriz y es usando operaciones elementales o transformaciones
elementales.
Solución
=7.0711
;,
Observe que:
1. ,
Ejemplo
Sean los vectores y , entonces el ángulo entre
ellos es:
PERPENDICULARIDAD DE VECTORES
Dos vectores son ortogonales s el coseno entre ellos es cero es decir si solo si
,
Ejemplo
Sean los vectores x=(2,3,3,4), y =(4,-3,7,-5) son ortogonales pues:
X*y=2*4+3(-3)+3*7+4(-5)=0
4. ,
5. ,
6. ,
Propiedades
4. ,
5. ,
6. ,
, (x ),
At.A. También
Estas normas definidas satisfacen ,
,,.....................................................................................................(1)
Esta ecuación nos afirma que -2 es un valor propio de matriz 3x3 y que (1,3,-
4)T, es un vector propio correspondiente.
3. ),.............................................................................(4)
,
, , ,
Ax x
x x
x
Ax
Ax Ax
Ejemplo
Ejemplo
en donde es un autovalor de A
, entonces
,
, para cualquier norma subordinada.
Diremos que dos matrices A y B son semejantes entre si cuando existe una
matriz no singular P tal que este concepto es importante como
consecuencia del teorema que establece que dos matrices que representan
una misma transformación lineal con respecto a dos bases distintas, son
semejantes entre si.
Teorema 1. Todas las matrices semejantes tienen los mismos valores propios
Obsérvese:
Que se a considerado que el determinante del producto de dos matrices
es el producto de sus determinantes, y el determinante de la inversa de
una matriz es el reciproco de su determinante.
Teorema de Schur.
Toda matriz cuadrada es unitariamente semejante a una matriz triangular.
Teorema de Gershgorin
Sea A una matriz nxn y denotemos por R i, el círculo del plano complejo con
Ejemplo
Sea la matriz
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 Eje Real
Ejemplo
Dados los vectores: , son linealmente
Ejemplo:
,
Entonces
, de esta manera
tenemos que,
, Si, demás
, forman un
conjunto ortogonal, pues para estos vectores tenemos que:
, ,
ortogonalidad de ,
y además
, , ,
* = ,
Teorema de Schur.
Una matriz A de orden nxn cualquiera, entonces existe una matriz U
ortogonal tal que T=U-1AU, donde T es triangular superior cuyos
elementos diagonales son los autovalores de la matriz A.
Debemos manifestar que el teorema de Schur que la matriz triangular
existe,