Tercera Trabajo Metodos Numericos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANCRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD : INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL ESCUELA : INGENIERIA CIVIL

ASIGNATURA : METODOS NUMERICOS (IC-343)
tercera PRÁCTICA DOMICILIARIA
SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES
I. OBJETIVO:
 Encontrar la mayor cantidad de algoritmos para la solución de ecuaciones
lineales.
 Realizar y ejecutar el respectivo programa en MATLAB para luego

mostrar las diferentes soluciones de los sistemas lineales con los
métodos numéricos directos e iterativos.
 Volverse más expertos en la solución de matrices en el programa

MATLAB.
II. INTRODUCCIÓN:
El presente trabajo trata sobre la recopilación de los diferentes tipos de

algoritmos que solucionen ecuaciones lineales. Importancia en la ingeniería y en
los diferentes campos, de manera sencilla ver también la complejidad del
algoritmo la cantidad de iteraciones que se deben efectuar para resolver el
problema. Según esto se calcula la complejidad y su error.
La obtención y el estudio de la complejidad de un algoritmo requiere ciertamente

de unas cuantas destrezas matemáticas que no todos tenemos y la aplicación
de una serie de técnicas bastante particulares. Sin embargo, no es un concepto
difícil de entender.
Ante un problema, pueden existir diferentes algoritmos que lo resuelvan.

Saber si un algoritmo es mejor que otro puede estudiarse desde dos puntos de
vista: un algoritmo es mejor cuanto menos tarde en resolver un problema, o bien
es tanto mejor cuanta menos memoria necesite.
De manera intuitiva la complejidad de un algoritmo es un "valor", por así decirlo,

que nos da una idea de cuánto va a tardar un algoritmo en resolver el problema
para el que fue diseñado.
ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE MÉTODOS NUMÉRICOS
El análisis numérico y su diversidad de métodos en realidad es la dialítica del

análisis matemático cualitativo y cuantitativo. El análisis matemático nos afirma
que bajo ciertas condiciones algo existe y que es único etc. Sin embargo el otro
complementa calculando aproximadamente el valor de aquello que existe. En
resumen podemos decir que el análisis numérico es una reflexión sobre el
análisis matemático es decir sobre el algebra lineal, ecuaciones diferenciales,
etc. Desde el punto de vista numérico teniendo como sinergia una serie de
métodos o algoritmos cuyo estudio y uso en diferentes áreas de ingeniería es
de importancia.
ING. CIVIL 1
Como se observa los métodos numéricos son técnicas para formular problemas
y solucionarlo usando operaciones lógicas aritméticas contando como
herramienta determinante la computadora y los lenguajes de alto nivel (fortran,
Basic, Pascal, entre otros).
En un inicio podemos decir que las personas interesadas con esta área del
conocimiento solo contaban con:
1. determinaban la solución usando métodos exactos o analíticos, pero en

realidad estas soluciones solo es para un número limitado de problemas en
consecuencia las soluciones analíticas tienen valores prácticos limitados por
que la gran mayoría de los problemas implican formas y procesos complejos.
2. Cuando se requería analizar el comportamiento de sistemas se usaban

soluciones graficas cuyos resultados no son muy precisos a demás que sus
representaciones son muy tediosos sin el uso de computadoras, estas
técnicas graficas son limitadas a problemas que pueden describirse usando
tres dimensiones o menos.
3. Para implementar métodos numéricos se usaban calculadoras y reglas de

cálculo, estos instrumentos presentan una diversidad de dificultades como
consecuencia de su lentitud al realizar los cálculos, además que sus
resultados no son muy consistentes por que surgen equivocaciones al
realizar su proceso de cálculo.
Pero en la actualidad los métodos numéricos contando con una herramienta

como la computadora ofrecen alternativas para el cálculo de problemas complejo
que en oportunidades el análisis matematicé tendría mucha dificultad. Sin
embargo debemos resaltar que el análisis numérico es de gran importancia tanto
para solucionar problemas como para dar mayor comprensión.
Podemos decir que después de la aparecían de la computadora los métodos

numéricos a explosionado, están inicialmente directamente relacionado con el
tiempo de maquina en consecuencia limitado por el costo de procesamiento de
las grandes computadoras (mainframes) lo que induce que aun algunos
continúen usando métodos analíticos en sus trabajos, pero en la actualidad con
el avance de la tecnología como la aparición de las computadoras personales a
bajo costo permiten cumplir con capacidades complejas.
1) Entre otras razones del uso de los métodos numéricos podemos citar:
1. Su capacidad para solucionar sistemas de ecuaciones lineales de grande

porte, el manejo de no linealidades y la solución de geometrías complejas
retos muy usuales en la sociedad ingenieril del presente siglo, que se tornan
dificultosos o imposibles de ser manipulados por el análisis matemático.
ING. CIVIL 2
2. Los métodos numéricos permite reforzar la comprensión matemática por ser

experimental yo diría permite la creatividad principalmente en temas
oscuros ocasionando un aumento de la capacidad de comprensión y
entendimiento de las matemáticas.
3. Los métodos numéricos dan la oportunidad de construir sus propios

programas para resolver los problemas sin tener que comprar software
costosos y de una complejidad para su comprensión y aplicación.
4. Los MN es un medio para aprender usar las computadoras, como para

estructurar programas y demostrar las limitaciones de las computadoras.
Finalmente podemos afirmar que los métodos numéricos permiten
reconocer y controlar los errores de aproximación.
En resumen los métodos numéricos nos permitirán:
1. Solucionar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
x y 4
; Entonces x  3 , y  1 es solución única
x y 2
Forma gráfica
x y 4
.
x y 2
2. Determinar raíces de ecuaciones: resolver f(x) para x.
ING. CIVIL 3
SISTEMAS DE ECUACIONES
Comentarios: en este ítem aplicaremos la teoría de matrices y

determinantes para determinar la solución de un sistema de ecuaciones
lineales. Identificaremos las condiciones para que un sistema tenga solución
y extenderemos estos criterios a determinar la solución de “m” ecuaciones
con “n” incógnitas.
Definición: Llamaremos sistema de ecuaciones lineales al conjunto de

ecuaciones con dos o más incógnitas (variables) de tal manera que se
verifiquen simultáneamente para ciertos criterios asignados a sus incógnitas.
Ejemplo:
x y 4
1. ; es un sistema de dos ecuaciones y 2 incógnitas que se verifican
x y 2
simultáneamente para x  3 ; y  1 .
2x  y  z  4
2. x  y  z  6 ; es un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas que se
3x  y  4
verifican simultáneamente para x  2 ; y  2 ; z  2
a x  a12 y  b1
3. En general podemos considerar: 11 ; un sistema de 2
a 21 x  a 22 y  b2
ecuaciones y 2 incógnitas que se verifican simultáneamente para un número
real determinado de x , y .
4. En general se pueden considerar “m” ecuaciones y “n” incógnitas.
ING. CIVIL 4
2) SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Si existe la solución de un sistema de ecuaciones esto depende del número

de incógnitas o variables; esto es:
a) Si el sistema tiene dos ecuaciones, la solución si existe tendrá dos
incógnitas; es decir ( x, y ) y se llamará par ordenado.
b) Si el sistema tiene 3 ecuaciones la solución tendrá tres incógnitas; es
decir ( x, y, z ) y se llamará triada o terna.
c) Si el sistema tiene “n” ecuaciones la solución tendrá “n” incógnitas; es
decir ( x1 , x2 , ... , xn ) y se llamará n-ada.
Definición: Llamaremos conjunto solución C.S  al conjunto de valores

formado por todas las soluciones del sistema.
C.S  {x1 , x2 , x3 , ... , xn }
Ejemplos:
x y 4
1. ; entonces x  3 , y  1 es solución única
x y 2
Forma gráfica.
x y 4
x y 2
x y 4
2. Sea ; estas dos ecuaciones son equivalentes pues una
4 x  4 y  16
ecuación depende de la otra.
ING. CIVIL 5
La solución es x  4  y ; es decir ( 4  y , y ) es una solución del sistema para
cualquier valor de y real. En otras palabras el sistema tiene infinitas
soluciones por decir: (4,0) (3,1) (2,2) (1,3) (0,4) ....
Forma gráfica.
Infinitas
soluciones
x y 4
4 x  4 y  16
x y 4
3. Sea el sistema: ; el sistema no tiene solución pues la primera
4 x  4 y  20
fila contradice a la segunda; es decir es un sistema inconsistente o
incompatible.
Forma gráfica.
4 x  4 y  20
x y 4
ING. CIVIL 6
3) SISTEMA DE “m” ECUACIONES LINEALES CON “n” INCOGNITAS
Debemos resaltar que muchos problemas prácticos y reales se reducen a un

sistema de ecuaciones de este tipo, para ver esto se puede recurrir a
cualquier documento de investigación de operaciones. Por decir: Problema
de Dietas, Problemas de mano de obra, Problema de inversión, problema de
fabricar productos, problema de transporte, etc.
En general este sistema será representado por:
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1 j x j    a1n xn  b1

a21 x1  a 22 x2  a23 x3    a2 j x j    a2n xn  b2
              
(1)
ai1 x1  ai 2 x 2  ai3 x3    aij x j    ain xn  bi
              
am1 x1  am 2 x2  am3 x3    amj x j    amn xn  bm
Donde:
aij  IR mn ; bi  IR m i  1,2,..., m j  1,2,..., n ; el sistema (1) se puede
escribir:
m n n
  aij x j  bi ó  aij x j  bi ; i  1,2,..., m
i 1 j 1 j 1
FORMA MATRICIAL
El sistema (1) se puede escribir:
 a11 a12 a13 ... a1 j ... a1n   x1   b1 

a a2n   x2   b2 
 21 a22 a23 ... a2 j ...
   
             
      (2)
 ai1 ai 2 ai 3 ... aij ... ain   xi   bi 
             
    
am1 am 2 am3 ... amj ... amn   xm  bm 
ING. CIVIL 7
Es decir: Ax  b
Donde:
 mn  IR mn ; es llamada matriz de coeficientes.

A  aij
 
x  x1 j
1 n
 IR1 n ; es llamado vector de variables, entidades, incógnitas.
b  bi1 m1  IR m1 ; es llamado vector independiente, bienes y
requerimientos.
III. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN.
1. Planteamiento del problema: Desarrollar programas de “ECUACIONES

LINEALES”; que calcule los diferentes tipos de solución, elaborado en el
Interfaz Gráfico de Usuario (GUIDE).
2. Resolución del problema: Para la ejcución de este programa,

necesitamos tener conocimiento del tema del programa a ejecutarse. Para
lo cual tenemos que saber lo que son las ecuaciones y lineales y sus
respectivos metodos para solucionarlos como son los metodos directos e
iterativos.
IV. METODOS A USARSE PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES
1. METODOS DIRECTOS
Los métodos directos producen una solucion exacta en un numero finito de

pasos. Para sistemas Ax = b, en los que A es de alta densidad, los metodos
ditrectos son en general los mas eficientes (para las computadoras
actualmente utilizadas). Sin embargo, cuando un numero de elementos de A
son cero, y en especial cuando es definida positiva (xT Ax > 0 para cualquier
𝒙 ≠ 𝟎), puede ser mas conveniente utilizar los metodos iterativos en que se
obtiene una secuencia de soluciones aproximadas que convergen a la
solucion exacta.
ING. CIVIL 8
A. METODO DE GAUSS
Kart Gauss(1777-1855) fue uno de los más destacados matemáticos del

siglo XIX fue de origen alemán naciendo en Brunswick, en una familia de
una economía precaria dedicada a las actividades urbanas
desempeñándose generalmente como obrero.
Gauss mostró desde muy temprana edad sus condiciones de matemático y

justamente uno de sus tantos aportes al área de la ciencia fue su
metodología para solucionar sistemas de ecuaciones por los años de 1811.
Gauss a los 30 años fue catedrático en matemáticas en Gottingen hasta su

muerte a los 77 años. Debemos destacar que a Gauss se le llamaba el
príncipe de las matemáticas y fue condecorado por Geroge V. rey de
Hannover.
El método de Gauss para solucionar un sistema de ecuaciones llamado

también eliminación Gaussiana.
Supongamos que se tiene un sistema de ecuaciones con una única

solución y que no, se tiene ninguna dificultad para encontrar dicha solución
luego se procede así:
a) Un proceso de eliminación hacia delante.
1º. Eliminamos el primer término de la segunda ecuación; multiplicando a
a 21
la primera ecuación por y restándolo del primer término de la segunda
a11
ecuación para eliminar el primer término de la segunda ecuación; luego se
a31
multiplica a la primera ecuación por y se resta del primer término de la
a11
tercera ecuación y así sucesivamente para las restantes ecuaciones i  3
ai1
se elimina restando la primera ecuación multiplicada por , quedando el
a11
sistema así:
ING. CIVIL 9
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1i xi    a1n xn  b1

' ' ' '
a 22 x2  a 23 x3    a 2i xi    a 2n xn  b'2
            
' ' ' ' (3)
a i 2 x2  a i3 x3    a ii xi    a in xn  b 'i
            
' ' ' ' '
a m 2 x2  a m3 x3    a mi xi    a mn xn  bm
En donde:
a 
a 'ij  aij   i1 a1 j
 a11 
2º. Eliminamos del segundo término de las ecuaciones del sistema (1)
donde la tercera ecuación hasta la última i  2 se realiza análogamente
que en la primera parte es decir: restamos la segunda ecuación del
a 'i 2
sistema multiplicada por y así continuamos eliminando los terceros
a ' 22
términos de las ecuaciones restantes, finalmente se llega a una
triangulación total; así:
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1i xi    a1n xn  b1

a ' 22 x2  a ' 23 x3    a ' 2i xi    a ' 2n xn  b '2
      
i 1 i 1 i 1
a ii xi    a in xn  b i
     
n 1 n 1
a mn xn  b m
Observación:
1. A los términos principales de cada ecuación se le llama pivote.
2. Se puede normalizar cada ecuación, y para ello sólo se divide por
el coeficiente principal, fenómeno que no se usa en la eliminación
Gaussiana la razón es por el aumento del tiempo computacional.
ING. CIVIL 10
b) Un proceso de sustitución hacia atrás.
Este proceso consiste en usar la solución de un sistema triangular superior

explicado anteriormente.
Debemos destacar que esta metodología de eliminación Gaussiana se

puede trabajar sólo con los elementos de la matriz aumentada es decir:
 a11 a12 a13 ... a1i ... a1nb1 

 
 a21 a22 a23 ... a2i .. a2n b2 
a a32 a33 .... a3i .. a3nb3 
 31 
      
 ai1 ai 2  aii ainbi 
 
      
a an 2 a n3  ann bn 
 n1
Seudocódigo
input n, (a ij ), (bi )
for k  1,2,3,4,...n  1 do
for i  k  1, k  2,..., n do
t  a ik / a kk
a ik  0
for j  k  1, k  2,..., n do
a ij  a ij  t  a kj
bi  bi  t  bk
end
end
end
output (a ij , b j )
Una vez realizada la eliminación Gaussiana, utilizamos el algoritmo del

sistema triangular superior para solucionar completamente el sistema de
ecuaciones.
ING. CIVIL 11
Ejemplos:
1. Resolver el siguiente sistema usando eliminación Gaussiana.
2 x1  x2  3x3  1
 x1  3x2  2 x3  12
3x1  x2  3x3  0
Primera fase: Triangulación de la matriz aumentada.
a) Determinando la matriz aumentada Aa  A b
 2 1 3  1
 
 1 3 2 12 
 3 1 3 0 

b) Realizando operaciones elementales de matrices según el método.
2 1  3 1  2 1  3 1 
   
 0 7 / 2 1 / 2 23 / 2    0 7 / 2 1 / 2 23 / 2 
 0  1 / 2 3 / 2 3 / 2   0 0 11 / 7 22 / 7 
   
Segunda fase: Determinación de los valores de las variables
 23 7 
  2 
22
x2  
2 2 
x3  7  2  x3  2 ,  x2  3
11 7
7 2
x1   1  (2)(3)  3 / 2  x1  1
ING. CIVIL 12
B. METODO DE GAUSS-JORDAN
Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en

una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso
de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria
𝑎𝑖𝑗 = 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑖 ≠ 𝑗
𝑎𝑖𝑗 ≠ 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑖 = 𝑗
Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el

apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la
siguiente ecuación:
Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss.

Tomaremos como pivote el elemento 𝑎44 = −3; multiplicamos la cuarta ecuación
3
por − 4 y la restamos a la primera:
Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:
Ahora tomamos como pivote el elemento 𝑎33 = 2, multiplicamos la tercera

2
ecuación por = 1 y la restamos a la primera:
2
ING. CIVIL 13
Repetimos la operación con la segunda fila:
Finalmente, tomamos como pivote 𝑎22 = −4, multiplicamos la segunda ecuación

−2
por y la sumamos a la primera:
−4
El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver.

Empleando la ecuación anterior obtenemos las soluciones:
C. METODO DE CHOLESKI
Matriz Positiva:
Diremos que una matriz simétrica A, es positiva si solo si los determinantes

de las sub matrices de A son positivos.
a11 a12  a1 j  a1n

a 21 a 21  a 2 j  a 2n
a11 a12 a13
a11 a12 
a11  0 ,  , a 21 a 22 a 21  0 , ..... , 0
a 21 a 22 a i1 ai 2  a ij  a in
a 31 a 32 a 33

a n1 a n 2  a nj  a nn
Supongamos que tenemos el sistema en la forma LU toma la forma de LL T,

en donde L es una matriz triangular inferior i.e.
ING. CIVIL 14
 L11 0 0  0  0 
 
 L21 L22 0  0  0 
L L32 L33  0  0 
 31 
L   
L Li 2 Li 3  Lii  0 
 i1
  
 
 Ln1 Ln 2 Ln3  Lni  Lnn 
Observación:
Los cálculos se reducen pues estimaremos n (n+1)/2 elementos, los L ij ≠ 0

en lugar de de n2 elementos de una factorización nominal:
Ejemplo: Resolver el sistema siguiente
4 1 2  x1  1 
1 2 0  x   2
   2  
2 0 5  x3  4
La matriz de coeficiente es simétrica y positiva, luego aplicamos Cholesky.

Supongamos su descomposición sea:
 L11 0 0   L11 L21 L31   4 1 2 

L  
 21 L22 0  0
 L22 L32    1 2 0 
 L31 L32 L33   0 0 L33   2 0 5 
2
L11  a11  4  L11  2 se toma el valor positivo de todas las raices
1
L11 L21  0  L21 
2
L11 L31  2  L31  1
L221  L222  2  L22  2  0.25  1.32287
1
L21 L31  L22 L32  0  L32   1.32287  0.37796
2
L231  L232  L233  5  L31  5  1  0.14286  L33  1.963396
ING. CIVIL 15
i) Resolver el sistema LC=b
2 0 0   c1  1 
0 1.32287 0  c    2 
  2  
0  0.37796 1.96396 c 3  4
 1
 2 
c
c1  1 / 2 , 1  1.32289 c 2  2  c 2   4  c 2  1.32287
2 1.32289
c 2  1.32287
c 3  2.0367
ii) Resolver el sistema LTx = C

2 12 1   x1   1 2 
     
 0 1.32287  0.37796   x 2   1.32287 
0 1.96396   x   2.0367 
 0  3  
2.0367
x3   x 3  1.037
1.96396   0.59259 
1.32287  0.37796 (1.037)  
x2   1.29629  x   1.29629 
1.32287  1.037 
0.5  0.5 (1.29629)  2.0367  
x1   0.5959
2
Generalización para un sistema de n ecuaciones
L11  a11
a i1
Li1  , i  2,3,...., n
L11
1
 i 1
 2
Lii   a11   l in2  ; i  2
 k 1 
1  i 1
 i  j  1, j  2,...., n  1
Lij   a ij   l ik l jk 
L11  k 1  j  2,3,....., n
Lij  0 i j
D. METODO MONTANTE
El método de Montante, resuelve un sistema de ecuaciones simultáneas

haciendo operaciones que mantienen el número de decimales que tiene los
datos originales hasta el último paso, donde se realiza la división entre el
determinante.
Ejemplo del método Montante:
ING. CIVIL 16
15 5 0   20 
 5 15 5 * x   0 
   
 0 5 20   0 
SOLUCION
15 5 0 20  15 5 0 20 
 5 15 5 0  ~  5 200 75 100  ~
   
 0 5 20 0   0 75 300 0 
 200 0 25 300  3625 0 0 5500 
 0 200 75 100  ~  0 3625 0 2000  ~
  
 0 0 3625 500   0 0 3625 500 
1 0 0 1.5172 
0 1 0 0.5517 
 
0 0 1 0.1379 
 x1  1.5172 
 x   0.5517 
 2  
 x3   0.1379 
2. METODOS ITERATIVOS
Los metodos iterativos son procesos donde pueden ser muy eficientes
cuando la matriz de coeficientes A, es de baja densidad, mas aún si la
evalución de productos de la forma Av no requiere la previa determinate y el
almacenamiento de A en forma explícita.
En esta oportunidad estudiaremos métodos más efectivos que ha permitido

solucionar sistemas de hasta 1000 ecuaciones y variables a un más,
sistemas que se presentan en la solución numérica de ecuaciones
diferenciales parciales (EDP).
Supongamos que tenemos el sistema
Ax = b (1)
Luego podemos escribir como:
Ax – b = 0 (2)
Que es una ecuación vectorial que se puede escribir así:
f (x) = 0 (3)
ING. CIVIL 17
El propósito es buscar una matriz B y su vector C de tal forma que la
ecuación vectorial es la siguiente:
x=Bx+C (4)
Sea un arreglo de la ecuación (1) ie que la solución de una ecuación sea

también solución de la otra ecuación, luego se propone lo siguiente:
Primero: Proponer un vector inicial x(0) como la primera aproximación al

vector solución x
Segundo: calcular la sucesión de vectores que son soluciones

aproximadas
x (1) , x ( 2) , x (3) , x ( 4) ,.....,  x vector solución
Usando:
x ( R 1)  Bx ( R )  C , R  0,1,2,.....
Donde:

x ( R )  x1R , x 2R ,......, x nR  T
Observación:
Para que la sucesión de soluciones converja a x vector solución es

necesario que x mj , 1  j  n se aproxime al vector x j , 1  j  n ie decir
x mj  x j , 1  j  n sean menores que un valor pequeño fijado
previamente y que se mantengan menores para todos los vectores

siguientes de la iteración. Es decir:
lim x mj  x j , 1  j  n
m 
La forma como llegar a la ecuación x = Bx + C se define al

algoritmo y su convergencia.
Sea dada el sistema
ING. CIVIL 18
 a11 a12 a13   x1   b1  1

     
 a 21 a 22 a 23   x 2    b2  2
a a 33   x  b  3
 31 a 32  3  3
Con a11 ≠ 0, a22 ≠ 0, a33 ≠ 0
b1 a12 a
De 1 tenemos que: x1   x 2  13 x3
a11 a11 a11
b2 a 21 a
x2   x1  23 x 3
a 22 a 22 a 22
. . . . . . . . . . . . . (5)
b a a
x 3  3  31 x1  32 x 2
a 33 a 33 a 33
 a12 a13   b1 
 0     
 x1   a11 a11   x1   a11 
   a 21 a     b2 
 x2     0  23   x2    
 x   a 22 a 22   x   a 22  . . . . . …… (6)
 3   a 31 a 32   3   b3 
 a  0  a 
 33 a 33   33 
x  Bx  C
A. METODO DE JACOBI
 x1 R 
 R
Si x ( R )   x 2  es el vector de aproximación a la solución x
 R 
 x3 
después de R iteraciones, entonces, tendremos la siguiente
aproximación
 1 
 (b1  a12 x 2R  a13 x 3R ) 
 x1 R 1   a11 
 R 1   1 
x R 1   x2    (b2  a 21 x1R  a 23 x 3R ) 
 R 1   a 22 
 x3   1 R 
 a (b3  a 31 x1  a 32 x 2 ) 
R
 33 
Fenómeno que se puede generalizar para n ecuaciones
ING. CIVIL 19
 
1  n
R 
  bi   a i j x j  , i  1,2,....., n
R 1
x i 
a ii  j 1 
 j i 
B. METODO DE GAUSS-SEIDEL
Este método se diferencia del anterior en que los valores que se van
calculando en la (R + 1) – ésima iteración se usan para calcular los
valores restantes de esa misma interacción ie
 1 
 (b1  a12 x 2R  a12 x 3R ) 
 x1R 1   a11 
 R 1   1 
x R 1   x2    (b2  a 21 x1R 1  a 23 x 3R ) 
 x R 1   a 22 
 3   1 R 1 R 1 
 a (b3  a 31 x1  a 32 x 2 ) 
 33 
 
1  n i 1
R 1 
  bi   a i j x   a i j x  , 1  i  n
R 1
x i  R
a ii  j  i 1 j 1 
 iI j i 
C. METODO DE RELAJACION DE SOR
Este método es muy similar al método de Jacobi y Gauss Seidel se

diferencia por usar una escala para reducir el error de aproximación, es una
metodología mas reciente, para determinar X(k) lo realiza con el modelo:
(𝒌) (𝒌−𝟏) 𝒘 (𝒌) (𝒌−𝟏)

𝒙𝒊 = (𝟏 − 𝒘)𝒙𝒊 + 𝒂 [𝒃𝒊 − ∑𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋 − ∑𝒏𝒋=𝒊+𝟏 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋 ],
𝒊𝒊
0bsevemos que cuanto w=1, tenemos de Gauss-Seidel, cuanto 0<w<1 el

procedimiento se llama método de subrelajación y se usa para obtener
convergencia cuando el método de Gauss-Seidel no converge.
Cuando 1<w se le llama método de sobrerrelajación, generalmente se le

conoce como el método de SOR acrónimo del ingles Successive Sver
Relaxation Sobre relajación sucesiva se utilizan para resolver sistemas
lineales que aparecen en la resolución de ciertas ecuaciones en derivadas
parciales.
ING. CIVIL 20
Para determinar la forma matricial del método de SOR rescribimos la
relación anterior de la siguiente manera:
(𝒌) (𝒌) (𝒌−𝟏) (𝒌−𝟏)

𝒂𝒊𝒊 𝒙𝒊 + 𝒘 ∑𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋 = (𝟏 − 𝒘)𝒂𝒊𝒊 𝒙𝒊 − 𝒘 ∑𝒏𝒋=𝒊+𝟏 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋 + 𝒘𝒃𝒊 ,
Notación vectorial
(𝑫 − 𝒘𝑳)𝒙(𝒌) = [(𝟏 − 𝒘)𝑫 + 𝒘𝑼]𝒙(𝒌−𝟏) + 𝒘𝒃,
S i (D-wL)-1, existe entonces
𝒙(𝒌) = 𝑻𝒘 𝒙(𝒌−𝟏) + 𝒄𝒘 ,
En donde:
D: diagonal principal cuyos elementos coinciden con A
-L: Es la parte triangular estricta de A
-U: es la parte triangular estrictamente superior de A.
𝑻𝒘 = (𝑫 − 𝒘𝑳)−𝟏 [(𝟏 − 𝒘)𝑫 + 𝒘𝑼] y 𝒄𝒘 = 𝒘(𝑫 − 𝒘𝑳)−𝟏 𝒃
D. METODO DE GRADIENTE CONJUGADA
En esta oportunidad reflexionaremos sobre algunos métodos especiales

para resolver sistemas de ecuaciones lineales
𝑨𝒙 = 𝒃,
En donde la matriz A es de orden nxn simétrica y definida positiva, en
otras palabras 𝑨𝑻 = 𝑨 y 𝒙𝑻 𝑨𝒙 > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 0 , debemos recordar
que el producto escalar de dos vectores X ,Y de componentes reales es:
〈𝒙, 𝒚〉 = 𝒙𝑻 𝒚 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 ,
Propiedades
1. 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝒚, 𝒙〉,
2. 〈∝ 𝒙, 𝒚〉 =∝ 〈𝒙, 𝒚〉, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 ∝ ,
3. 〈𝒙 + 𝒚, 𝒛〉 = 〈𝒙, 𝒛〉 + 〈𝒚, 𝒛〉,
4. 〈𝒙, 𝑨𝒚〉 = 〈𝑨𝑻 𝒙, 𝒚〉,
ING. CIVIL 21
Observemos que la propiedad 1 se refiere al orden de los elementos, 2, y
3 indican que se pueden invertir.
Recordemos que si A es simétrica y definida positiva, entonces el

problema de resolver Ax=b es equivalente al problema 𝒒(𝒙) = 〈𝒙, 𝑨𝒙〉 −
𝟐〈𝒙, 𝒃〉.
Veamos por que esta afirmación es cierta; primero veamos como se
comporta q(x) a lo largo de un rayo unidimensional. Para lo cual
consideremos x+tv en donde x y v son vectores y t un escalar
gráficamente tenemos
tv
x
x+ tv
Mediante un calculo directo tenemos que para todo escalar t :
𝒒(𝒙 + 𝒕𝒗) = 〈𝒙 + 𝒕𝒗, 𝑨(𝒙 + 𝒕𝒗)〉 − 𝟐〈𝒙 + 𝒕𝒗, 𝒃〉.
𝒒(𝒙 + 𝒕𝒗) = 〈𝒙, 𝑨𝒙〉 + 𝒕〈𝒙, 𝑨𝒗〉 + 𝒕〈𝒗, 𝑨𝒙〉 + 𝒕𝟐 〈𝒗, 𝑨𝒗〉 − 𝟐〈𝒙, 𝒃〉 − 𝟐〈𝒗, 𝒃〉.
𝒒(𝒙 + 𝒕𝒗) = 𝒒(𝒙) + 𝟐𝒕〈𝒗, 𝑨𝒙〉 − 𝟐𝒕〈𝒗, 𝒃〉 + 𝒕𝟐 〈𝒗, 𝑨𝒗〉.
𝒒(𝒙 + 𝒕𝒗) = 𝒒(𝒙) + 𝟐𝒕〈𝒗, 𝑨𝒙 − 𝒃〉 +

𝒕𝟐 〈𝒗, 𝑨𝒗〉.................................................................(*)
Como A es simétrica es decir AT =A, entonces en la ecuación (*) el

coeficiente de t2, es positivo, de esta manera la función cuadrática sobre
el rayo unidimensional tiene un mínimo y no un máximo.
Calculando la derivada de la ecuación (*) con respecto a t.
𝒅
𝒒(𝒙 + 𝒕𝒗) = 𝟐〈𝒗, 𝑨𝒙 − 𝒃〉 + 𝟐𝒕〈𝒗, 𝑨𝒗〉,
𝒅𝒕
Cuando la derivada es cero, existe un mínimo de q a lo largo del rayo

〈𝒗,𝒃−𝑨𝒙〉
unidimensional en este caso el valor de t es: 𝒕̂ = 〈𝒗,𝑨𝒗〉 , en
consecuencia usando este valor podemos determinar el mínimo de q
sobre el rayo unidimensional.
𝒒(𝒙 + 𝒕̂𝒗) = 𝒒(𝒙) + 𝒕̂ [𝟐〈𝒗, 𝑨𝒙 − 𝒃〉 + 𝒕̂ 〈𝒗, 𝑨𝒗〉].

𝒒(𝒙 + 𝒕̂𝒗) = 𝒒(𝒙) + 𝒕̂ [𝟐〈𝒗, 𝒃 − 𝑨𝒙〉 + 〈𝒗, 𝒃 − 𝑨𝒙〉].
ING. CIVIL 22
𝒒(𝒙 + 𝒕̂𝒗) = 𝒒(𝒙) − 𝒕̂ 〈𝒗, 𝒃 − 𝑨𝒙〉.

𝒒(𝒙 + 𝒕̂𝒗) = 𝒒(𝒙) −
〈𝒗,𝒃−𝑨𝒙〉𝟐
〈𝒗,𝑨𝒗〉
.............................................................................................(**)
Lo que quiere decir esto que al pasar q(x) de x a 𝒙 + 𝒕̂ 𝒗 , siempre hay

una reducción en el valor de q(x), a menos que v sea ortogonal al residuo
es decir 〈𝒗, 𝒃 − 𝑨𝒙〉 = 𝟎.
Si x no es una solución del sistema Ax=b entonces existen una

diversidad de vectores que satisfacen 〈𝒗, 𝒃 − 𝑨𝒙〉 ≠ 𝟎.
Por lo tanto s 𝑨𝒙 ≠ 𝒃 entonces x no minimiza q(x) y por lo contrario si

Ax=b no existe ningún rayo unidimensional que salga de x sobre el cual
q(x) tome un valor menor a q(x), en consecuencia una x con las
características es un mínimo para q(x).
Debemos manifestar que la reflexión anterior sugiere la existencia de los

métodos iterativos para resolver Ax=b, luego entonces procedemos de
manera natural por minimizar q(x) a lo largo de una sucesión de rayos.
Es decir el algoritmo dispondrá de un proceso de:
𝑿(𝟎) , 𝑿(𝟏) , 𝒙(𝟐) , … , 𝑿(𝒌) ,
En seguida nos preocupa determinar la dirección de búsqueda adecuada

𝒗𝒌
Nuestro algoritmo será:
𝑿(𝑲+𝟏) = 𝑿(𝑲) + 𝒕𝑲 𝒗(𝑲) ,
En donde
〈𝑽(𝑲) ,𝒃−𝑨𝒙(𝑲) 〉
𝒕𝑲 = 〈𝑽(𝑲) ,𝑨𝑽(𝑲) 〉
,
Debemos decir que una diversidad de métodos iterativos tienen la forma

general:
𝑿(𝑲+𝟏) = 𝑿(𝑲) + 𝒕𝑲 𝒗(𝑲) .
Para valores particulares del escalar tK, y los valores de vK, si ‖𝒗𝑲 ‖ = 𝟏,
entonces tk, mide la distancia que nos movemos de xK, para hasta la
obtención de xk+1, ver la siguiente figura.
ING. CIVIL 23
𝑡𝑘 𝑣 𝐾
𝑣𝐾
𝑋𝑘
𝑋 𝑘+1
Figura No. Representación del movimiento a lo largo del vector de

dirección vK
V. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS.
Fig. 1 INTERFAZ PRINCIPAL DEL PROGRAMA.
ING. CIVIL 24
1. OPERACIONES CON MATRICES
2. METODOS DIRECTOS
A. METODO DE GAUSS
ALGORITMO
n1=str2double(get(handles.edit1,'string'));
A=get(handles.uitable2,'Data');
if isnumeric(A)
A=A;
else
ING. CIVIL 25
A=str2double(A) ;
end
B=get(handles.uitable3,'Data');
if isnumeric(B)
B=B;
else
B=str2double(B);
end
n=size(A);
disp('=====================GAUSS=============0')
for i=1:n-1
for k=i+1:n
l=A(k,i)/A(i,i);
A(k,i+1:n)=A(k,i+1:n)-l*A(i,i+1:n);
B(k)=B(k)-l*B(i);
end
A(i+1:n,i)=0;
end
% resolucion del sistema triangular

x=zeros(n,1); % tambien vale x=b*0;
for i=n:-1:1
x(i)=(B(i)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);
end
x;
set(handles.uitable1,'Data',x);
ING. CIVIL 26
B. METODO CHOLESKI
ALGORITMO
if isnumeric(A)
A=A
else
A=str2double(A)
end
if isnumeric(B)
B=B
else
B=str2double(B)
end
NN=rank(A);
disp('=====================CHOLESKI=================')
%==============CLOLESKI
n = size(A,1);
y = zeros(n,1);
x = zeros(n,1);
u=chol(A);
y(1) = B(1)/u(1,1);
for i=2:n
y(i) = ( B(i) - u(1:i-1,i)'*y(1:i-1) )/u(i,i);
end
x(n) = y(n)/u(n,n);
for i=n-1:-1:1;
x(i) = ( y(i) - u(i,i+1:n)*x(i+1:n) )/u(i,i)
end
x;
ING. CIVIL 27
C. METODO DE GAUSS-JORDAN
ALGORITMO
disp('=================gauss-jordan====================')
if isnumeric(A)
A=A
else
A=str2double(A)
end
if isnumeric(B)
B=B
else
B=str2double(B)
end
Aa = [A B];
n = size(Aa,1);
for i=1:n
% Dividir renglon entre el pivote
Aa(i ,:) = Aa(i,:)/Aa(i, i );
% Hacer ceros en la columna i
for j=1:n
if i~=j
Aa(j ,:) = Aa(j,:) - Aa(i,:)*Aa(j, i );
ING. CIVIL 28
end
end
end
x = Aa(:,n+1)
D. METODO MONTANTE
ALGORITMO
disp('======================METODO MONTANTE===============')
if isnumeric(A)
A=A;
else
A=str2double(A);
end
if isnumeric(B)
B=B;
else
B=str2double(B);
end
%NN1=rank(A);
n=size(A);
ING. CIVIL 29
[n,n]=size(A);
NTOL=50;
flag=1;
k=0;
A= [A B];
n = size(A,1);
pivAnt = 1; % pivote inicial
for i=1:n
% pivote actual
piv = A(i,i );
% Hacer ceros en la columna i
for j=1:n
if j~=i
A(j ,:) = (A(j,:)*piv - A(i,:)*A(j, i ))/pivAnt;
end
end
% Guardar el pivote anterior
pivAnt = piv;
end
% Dividir entre el ultimo pivote (determinante)
A = A/piv;
x = A(:,n+1);
ING. CIVIL 30
3. METODOS ITERATIVOS
A. METODO DE JACIBI
ALGORITMO
disp('====METODO DE JACOBI=====')
if isnumeric(A)
A=A;
else
A=str2double(A);
end
if isnumeric(B)
B=B;
else
B=str2double(B);
end
n=size(A);
NN1=rank(A);
[n,n]=size(A);
x=zeros(n,1);
y=zeros(n,1);
error=0.0005;
NTOL=50;
flag=1;
k=0;
fprintf('%5d',k);
for m=1:n
fprintf('%10.5f',x(m));
end
i=1;
while (i<=n)&(flag==1)
suma=0;
for j=1:n
if i~=j
suma=suma+abs(A(i,j));
end
end
if abs(A(i,i))<=suma
fprintf('\nerror de diagoalizacion');
flag=0;
end
i=i+1;
if flag==0
break
end
end
while 1
flag=1;
for i=1:n
suma=0;
ING. CIVIL 31
for j=1:n
if i~=j
suma=suma+A(i,j)*x(j)/A(i,i);
end
end
y(i)=B(i)/A(i,i)-suma;
end
k=k+1;
fprintf('\n%5d',k);
for i=1:n
if abs(y(i)-x(i))>error
flag=0;
end
x(i)=y(i);
fprintf('%10.5f',x(i));
end
if (NTOL==k)|(flag==1)
break
end
end
B. METODO DE GAUSS-SEIDEL
ALGORITMO
disp('==========METODO DE GAUSS-SEIDEL============')
if isnumeric(A)
A=A;
ING. CIVIL 32
else
A=str2double(A);
end
if isnumeric(B)
B=B;
else
B=str2double(B);
end
%NN1=rank(A);
n=size(A);
error=0.0005;
w=1
NTOL=150;
flag=1;
k=0;
NN=rank(A)
n=size(A);
for k=1:NN
B(k,1)=B(k,1)/A(k,k);
A(k,:)=A(k,:)/A(k,k);
end
D=eye(NN);
L=zeros(NN);
U=zeros(NN);
A=A-D;
for k=1:NN-1
L(k:NN,k)=A(k:NN,k);
U(k,k:NN)=A(k,k:NN);
end
F=-inv(D+L)*U;
Rs=max(abs(eig(F)));
P=6;
Ni=(P*log(10))/(-log(Rs));
Nm=fix(Ni)+1;
X=zeros(NN,Nm);
X(:,1)=ones;
suma=0;
for k=2:Nm
X(:,k)=F*X(:,k-1)+inv(D+L)*B;
end
X(:,k)=F*X(:,k-1)+inv(D+L)*B
X;
xx=X'
set(handles.uitable1,'Data',xx);
ING. CIVIL 33
4. EIGEN PROBLEMAS
ING. CIVIL 34
III. CONCLUSIONES.
 Se ha resuelto las ecuaciones lineales; se observo la diferencia me un metodo Directos e
Iterativos.
 El método de Gauss-Seidel es usualmente más eficiente que el de Jacobi
 En la actualidad los métodos iterativos estudiados en esta asignatura están
obsoletos. Los métodos más utilizados son los basados en los subespacios de
Krylov.
IV. OBSERVACIONES:
 El programa tiene un pequeño defecto, cierta incovenencia: para hacer calcular en una
seccion escogida, se tiene que hacer doble eleccion la misma seccion, y luego ejecutarla.
 En las secciones agregadas, “seccion compuesta” solo funciona con valores pequeños, y
ademas la velocidad sale negativa.
 En la seccion “herradura” no calcula, lo unico que aparece en los cuadros de resultado
es “NaN”.
V. BIBLIOGRAFÍA
 METODOS NUMERICOS PARA CIENCIAS E INGENIERIA CON MATLAB

 http://noosfera.indivia.net/metodos/secante.html
 http://www.euiti.upm.es/index/departamentos/matematicas/webpersonal/webolga/M
atematicas_Especialidad/Ecuaciones__lineales/Tema_2/Biseccion.htm
 http://www.scribd.com/doc/35818547/Newton-Rapson
 http://noosfera.indivia.net/metodos/newtonRaphson.html
ING. CIVIL 35

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANCRISTOBAL DE HUAMANGA

FACULTAD : INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL ESCUELA : INGENIERIA CIVIL

 Realizar y ejecutar el respectivo programa en MATLAB para luego

 Volverse más expertos en la solución de matrices en el programa

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La obtención y el estudio de la complejidad de un algoritmo requiere ciertamente

Ante un problema, pueden existir diferentes algoritmos que lo resuelvan.

De manera intuitiva la complejidad de un algoritmo es un "valor", por así decirlo,

ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE MÉTODOS NUMÉRICOS

El análisis numérico y su diversidad de métodos en realidad es la dialítica del

1. determinaban la solución usando métodos exactos o analíticos, pero en

2. Cuando se requería analizar el comportamiento de sistemas se usaban

3. Para implementar métodos numéricos se usaban calculadoras y reglas de

Pero en la actualidad los métodos numéricos contando con una herramienta

Podemos decir que después de la aparecían de la computadora los métodos

1. Su capacidad para solucionar sistemas de ecuaciones lineales de grande

2. Los métodos numéricos permite reforzar la comprensión matemática por ser

3. Los métodos numéricos dan la oportunidad de construir sus propios

4. Los MN es un medio para aprender usar las computadoras, como para

En resumen los métodos numéricos nos permitirán:

1. Solucionar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

2. Determinar raíces de ecuaciones: resolver f(x) para x.

Comentarios: en este ítem aplicaremos la teoría de matrices y

Definición: Llamaremos sistema de ecuaciones lineales al conjunto de

2) SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Si existe la solución de un sistema de ecuaciones esto depende del número

Definición: Llamaremos conjunto solución C.S  al conjunto de valores

C.S  {x1 , x2 , x3 , ... , xn }

Debemos resaltar que muchos problemas prácticos y reales se reducen a un

En general este sistema será representado por:

a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1 j x j    a1n xn  b1

aij  IR mn ; bi  IR m i  1,2,..., m j  1,2,..., n ; el sistema (1) se puede

El sistema (1) se puede escribir:

 a11 a12 a13 ... a1 j ... a1n   x1   b1 

 mn  IR mn ; es llamada matriz de coeficientes.

b  bi1 m1  IR m1 ; es llamado vector independiente, bienes y

III. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN.

1. Planteamiento del problema: Desarrollar programas de “ECUACIONES

2. Resolución del problema: Para la ejcución de este programa,

IV. METODOS A USARSE PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES

Los métodos directos producen una solucion exacta en un numero finito de

Kart Gauss(1777-1855) fue uno de los más destacados matemáticos del

Gauss mostró desde muy temprana edad sus condiciones de matemático y

Gauss a los 30 años fue catedrático en matemáticas en Gottingen hasta su

El método de Gauss para solucionar un sistema de ecuaciones llamado

Supongamos que se tiene un sistema de ecuaciones con una única

a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1i xi    a1n xn  b1

a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1i xi    a1n xn  b1

Este proceso consiste en usar la solución de un sistema triangular superior

Debemos destacar que esta metodología de eliminación Gaussiana se

 a11 a12 a13 ... a1i ... a1nb1 

Una vez realizada la eliminación Gaussiana, utilizamos el algoritmo del

Primera fase: Triangulación de la matriz aumentada.

a) Determinando la matriz aumentada Aa  A b

Segunda fase: Determinación de los valores de las variables

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en

𝑎𝑖𝑗 = 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑖 ≠ 𝑗

𝑎𝑖𝑗 ≠ 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑖 = 𝑗

Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el