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    Metodo Gauss-Jordan

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    Jefer Aponte
    El documento trata sobre el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método es similar al método de Gauss y que su objetivo es conseguir que los coeficientes de la diagonal principal sean unos y el resto ceros. A continuación, presenta dos ejemplos resueltos paso a paso utilizando este método.

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    El documento trata sobre el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método es similar al método de Gauss y que su objetivo es conseguir que los coeficientes de la diagonal principal sean unos y el resto ceros. A continuación, presenta dos ejemplos resueltos paso a paso utilizando este método.

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    El documento trata sobre el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método es similar al método de Gauss y que su objetivo es conseguir que los coeficientes de la diagonal principal sean unos y el resto ceros. A continuación, presenta dos ejemplos resueltos paso a paso utilizando este método.

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    El documento trata sobre el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método es similar al método de Gauss y que su objetivo es conseguir que los coeficientes de la diagonal principal sean unos y el resto ceros. A continuación, presenta dos ejemplos resueltos paso a paso utilizando este método.

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    de 11

    ALGEBRA LINEAL

    TEMA 1
    Sistemas de ecuaciones lineales
    MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
    MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
    Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas
    ecuaciones como incógnitas.

    Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss.

    OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y
    el resto de los coeficientes valgan cero.

    Sea: a.x + b.y + c.z = d


    a´.x + b’.y + c’.z = d’
    a”.x + b”.y + c”.z = d”

    Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo:


    a.x + b.y + c.z = d
    + e.y + f.z = g
    h.z = j
    MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
    Aplico el método de Jordan:

    Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / h


    Resto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h

    Queda:
    a.x + b.y =k
    + e.y = p
    h.z = j

    Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e

    Queda:
    a.x =q  x=q/a
    e.y =p  y=p/e
    h.z = j  z=j/h
    Aplicación de Gauss-Jordan
    1.- Una empresa fabricó tres tipos de estanterías: A, B y C. Para ello se utilizaron
    unidades de madera, plástico y aluminio, tal como figura en la siguiente tabla:

    TIPOS MADERA PLÁSTICO ALUMINIO

    A 1 unidad 1 unidad 2 unidades


    B 1 unidad 1 unidad 3 unidades
    C 1 unidad 2 unidades 5 unidades

    La empresa tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500


    de aluminio. Sabiendo que utilizó todas sus existencias, calcular cuántas
    estanterías de cada tipo fabricó.
    RESOLUCIÓN:

    Llamemos x, y, z al número de estanterías de tipo A, B y C respectivamente.

    El sistema de ecuaciones quedará así:

    x + y + z = 400
    x + y +2z = 600
    2x + 3y + 5z = 1500

    Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y


    los términos independientes:

    1 1 1 400
    1 1 2 600
    2 3 5 1500
    Aplicando el método de Gauss:

    A la tercera fila o ecuación la resto dos veces la primera fila o ecuación.


    F3 = F3 – 2F1
    A la segunda fila o ecuación la resto la primera fila o ecuación.
    F2 = F2 - F1

    1 1 1 400
    0 0 1 200
    0 1 3 700

    Permutamos las dos últimas filas:

    1 1 1 400
    0 1 3 700
    0 0 1 200

    Vemos que el sistema ha quedado escalonado.


    Aplicando el método de Jordan:

    A la primera fila o ecuación la resto la tercera fila o ecuación.


    F1 = F1 – F3
    A la segunda fila o ecuación la resto tres veces la tercera fila o ecuación.
    F2 = F2 – 3.F3

    1 1 0 200
    0 1 0 100
    0 0 1 200

    Por último a la primera fila la resto la segunda.


    F1 = F1 – F2

    1 0 0 100 x = 100
    0 1 0 100 y = 100
    0 0 1 200 z = 200

    Vemos que x = 100, y = 100 , z = 200


    Aplicación de Gauss-Jordan
    2.- La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas
    suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396
    unidades. ¿De qué número se trata?.

    Resolución:

    Sea N = zyx el número pedido


    Sea x = la cifra de las unidades.
    Sea y = la cifra de las decenas.
    Sea z = la cifra de las centenas.

    Tenemos:
    x + y + z = 14  x + y + z = 14
    z+y=x  x– y – z = 0
    xyz=zyx+396  100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396
    El sistema de ecuaciones quedará así:

    x+y+z = 14
    x–y–z =0
    99.x – 99.z = 396

    Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos
    independientes:

    1 1 1 14
    1 -1 -1 0
    99 0 -99 396

    Aplicando el método de Gauss:

    F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1

    1 1 1 14
    0 – 2 – 2 – 14
    0 – 99 – 198 – 990
    Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda:

    1 1 1 14
    0 1 1 7
    0 1 2 10

    A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación.


    F3 = F3 – F2

    1 1 1 14
    0 1 1 7
    0 0 1 3

    Aplicando el método de Jordan:


    A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera:

    1 0 0 7  x=7
    0 1 0 4  y=4
    0 0 1 3  z=3

    Solución: N = 347

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