Teorema de Castigliano - Introduccion de

INTRODUCCIÓN
La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las

cargas hasta las cimentaciones, donde serán absorbidas por el terreno para
ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras
enlazadas entre sí. Las vigas son los principales elementos estructurales, la
cual ofrece resistencia a la deformación; con exactitud a la flexión.
El primer teorema de Castigliano está dirigido básicamente a estructuras
ISOSTATICAS, el cual nos permite calcular deflexiones, desplazamientos y
pendientes basado en la relación de una carga adicional que viene a ser la
variable de la cual se va a tener que revisar toda la derivación parcial.
El primer teorema es conocido como el más exacto para estas operaciones, ya
que primero calcula el trabajo realizado por la fuerza cortante que aplica las
cargas en dicha viga, y por último calculo que se desea en realidad, que tan
deformable es el material que se va a seleccionar para utilizar en la fabricación
de esta. Los teoremas y procedimientos relacionados con la energía de
deformación ocupan una posición central en todo cálculo de estructuras. Para
calcular el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de
temperatura constante, de material con comportamiento elástico lineal; es decir
nos ayuda a calcularlas deflexiones producidas en una viga a causa de una
determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor
material para la construcción de estás según su resistencia y con qué finalidad
la requerimos.
OBJETIVOS GENERAL
- Estudiar y analizar el Método del primer teorema para determinar la deflexión
desplazamiento o la pendiente en un punto determinado de una estructura.
-Investigar los primeros teoremas propuestos en el Método de Castigliano para
el cálculo de deflexión y pendiente en una armadura.
-Identificar cuando podemos utilizar los teoremas de Castigliano para el cálculo
la pendiente y la deflexión de una estructura
-Aplicar estos conocimientos atraves de ejercicios que relacionen este tipo de
cálculo en la deformación de una estructura.
1
DEFINICIONES DEL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO
El teorema de Castigliano proporciona una técnica para determinar pendientes

y deflexiones en vigas y marcos utilizando derivadas parciales de la energía
interna de la deformación, así como un método poderoso para resolver
problemas que involucran estructuras estáticamente indeterminadas;
particularmente estructuras articuladas con un número grande de
indeterminación.
Este teorema cómo los otros incorporan los principios de la energía de la

deformación y son notablemente semejantes al método de la carga virtual o de
la carga unitaria.
El primer teorema de Castigliano define que en un sistema elástico lineal, la

derivada parcial de la energía de deformación respecto de una de las cargas es
igual al desplazamiento correspondiente a dicha carga.
FORMULA
Vamos a demostrar el Primer Teorema de Castigliano considerando la viga de la

siguiente figura, las fuerzas P1 y P2 se han aplicado a la viga gradual y
simultaneamente.
1
Fig. a
Fig. b
Por el principio del trabajo real
TRABAJO EXTERNO = ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION
Supóngase ahora que P1 se incrementa en dP 1 mientras que P2 se mantiene

constante cómo se indica en la Fig. b. la deflexión en el punto de aplicación de
P1 se incrementa en d∆1 con respecto a P1 es:
Por analogia si queremos el cambio de deflexion en el punto de aplicación de P 2 que

se produjo por el cambio dP1 encontramos:
1
La variacion de la energia en la ecuacion a) por la adición de dP1 es:
El término (d∆1, dP1/2) se desprecia debido a que es un termino de orden

superior la ecuación d) puede entonces simplificarse usando las
ecuaciones b) y c)
Pero según la ecuación a)
Tomando la derivada parcial respecto a P1 se obtiene:
Restando la ecuación f) de la ecuacion e) obtenemos:
1
Esta ecuación es la expresion matematica del primer teorema de castigliano que
puede enunciarse de la siguiente manera:
“La deflexion de una estructura en el punto de aplicación de la misma dirección

de una fuerza aplicada se obtiene calculando la primera derivada parcial de la
energia de deformacion total interna con respecto a la carga aplicada”
El teorema de Castigliano nos permite resolver estructuras isostáticas e

hiperestáticas; para las armaduras, vigas o pórticos se tienen a continuación las
siguientes formulas del calculo de los desplazamientos (di) en la dirección de la
carga (Pi) requerida
Armaduras
Vigas y Pórticos

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La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las

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Por analogia si queremos el cambio de deflexion en el punto de aplicación de P 2 que

El término (d∆1, dP1/2) se desprecia debido a que es un termino de orden

Pero según la ecuación a)

Tomando la derivada parcial respecto a P1 se obtiene:

Restando la ecuación f) de la ecuacion e) obtenemos:

“La deflexion de una estructura en el punto de aplicación de la misma dirección

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