ANÁLISIS ESTRUCTURAL

METODOS DE ENERGÍA – CÁLCULO DE DEFLEXIONES

 Cálculo de desplazamientos

Es esencial para definir si la rigidez de una estructura es adecuada

de acuerdo a requisitos de funcionalidad, protección de elementos
no estructurales y estética.
 Principio de la conservación de la energía - trabajo

TRABAJO:

• Producto de una fuerza y su desplazamiento en la dirección en la que la

fuerza está actuando.
• Si la fuerza es constante y actúa solamente en la dirección del
desplazamiento, el trabajo será igual a la fuerza multiplicada por el
desplazamiento total, es decir:

𝑊 = 𝐹∆
En caso en que la fuerza y la deformación cambian de magnitud es necesario
acumular todos los pequeños incrementos de trabajo
𝑊 = න 𝐹∆
Trabajo externo We
 Trabajo externo

La energía aplicada por 𝑓0 para generar el desplazamiento

𝑢0 se denomina trabajo externo. Si el material es elástico
lineal el trabajo se calcula:
 Trabajo externo

Consideremos la misma barra sometida a un momento en el

extremo. Si la barra es de un material elástico-lineal, el trabajo
externo ejercido por el momento será:

•
 Energía de deformación o trabajo interno (wi)

Conforme tiene lugar la deformación de una estructura el trabajo

interno o energía de deformación queda almacenado dentro de la
estructura como energía potencial. Si el limite elástico del material
no se excede, la energía de deformación elástica será suficiente para
que la estructura recupere su estado original no deformado cuando
las cargas se retiren.
 Principio de la conservación de la energía

Cuando un conjunto de cargas externas se aplica a una estructura

deformable, los puntos de aplicación de las cargas se mueven y los
miembros de la estructura se deforman.
De acuerdo al principio de conservación de la energía el trabajo
externo, We, realizado por las cargas externas es igual al trabajo
interno Wi realizado por las fuerzas internas que actúan sobre los
elementos de la estructura:
𝑊𝑒 = 𝑊𝑖
TRABAJO VIRTUAL
METODO DE ENERGIA
 Trabajo virtual

• Relaciona un sistema de fuerzas en equilibrio con un sistema

compatible de desplazamientos de la estructura.
• Las cantidades virtuales que se consideran en el método en
realidad no existen. Cuando se habla de un desplazamiento virtual
se refiere a un desplazamiento ficticio impuesto sobre una
estructura.
• El trabajo efectuado por un conjunto de fuerzas reales durante un
desplazamiento virtual se llama trabajo virtual.
• Este método también se llama método del trabajo virtual
complementario o método de la carga unitaria ficticia o simulada.
 Trabajo virtual

El método se basa en la ley de la conservación de la energía. Para

emplear este teorema se siguen las siguientes suposiciones:
1. Las fuerzas internas y externas están en equilibrio.
2. El límite elástico del material no se excede.
3. Los apoyos no tienen movimiento.
 Trabajo virtual - armaduras

Para determinar las deflexiones de la armadura, se consideran dos sistemas de cargas:

a) Una estructura sometida a la fuerza o fuerzas para las cuales deben calcularse las
deflexiones.
b) El segundo sistema consiste en la estructura sometida solo a la fuerza virtual
actuando en el punto y en la dirección en que se desea el desplazamiento.
La estructura ficticia con la carga unitaria en su lugar se sujeta ahora a las
deformaciones de la armadura real cuando esté sujeta a las fuerzas reales. Por lo tanto,
se igualan el trabajo interno y el trabajo externo resultantes.

𝑊𝑒 = 𝑊𝑖
 Trabajo virtual - armaduras

𝑊𝑒 = 𝑊𝑖
Para este cálculo, la única carga externa que realiza el trabajo es la
carga unitaria y el trabajo externo es igual a 1 x ∆ en la posición y en
la dirección de la carga unitaria.

Para escribir una expresión para el trabajo interno realizado por un

miembro de la armadura, es necesario desarrollar una expresión
para la deformación del miembro
 Trabajo virtual - armaduras

El alargamiento de la barra es igual a

𝐹𝐿
∆𝐿 =
𝐴𝐸
 Trabajo virtual - armaduras

La expresión para la deflexión en un nudo de una armadura:

𝑊𝑒 = 1 𝑥 ∆

𝐹𝐿
𝑊𝑖 = ෍ 𝜇
𝐴𝐸

𝑊𝑒 = 𝑊𝑖

𝐹𝐿
∆= ෍ 𝜇
𝐴𝐸
 Trabajo virtual - armaduras

𝐹𝐿
∆= ෍ 𝜇
𝐴𝐸

𝑁𝐿
∆= ෍ 𝑛
𝐴𝐸

𝜇, 𝑛 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎.

 Ejercicio

Determine el desplazamiento vertical de la junta C de la armadura

en acero. El área de la sección transversal de cada elemento es 𝐴 =
0,5 𝑖𝑛2 y modulo de elasticidad de E=29000 ksi.
 Trabajo virtual - vigas

Se desea determinar la deflexión vertical ∆ en el punto A de la viga

producida por las cargas P1 a P3.
𝑊𝑒 = 𝑊𝑖

El trabajo interno realizado por las fibras internas de la viga al

someterse a las deformaciones es igual al trabajo externo realizado
por las cargas que producen la deflexión ∆.
 Trabajo virtual - vigas

La fuerza en un área diferencial de la sección diferencial de la viga, causado por una

carga unitaria, es igual a:

𝑚𝑦
𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴
𝐼
𝑚 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎

El área dA esta en una longitud dx que se deforma 𝜖 ∗ 𝑑𝑥 cuando las cargas externas
actúan en la viga.
 Trabajo virtual - vigas

La deformación debido a las cargas externas es:

𝑀𝑦
𝜎=
𝐼

𝑀 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠

𝜎 𝑀𝑦
𝑑𝑥 = ϵ ∗ 𝑑𝑥 = ∗ 𝑑𝑥 = ∗ 𝑑𝑥
𝐸 𝐸𝐼
 Trabajo virtual - vigas

El trabajo interno realizado en la sección transversal se obtiene relacionando:

𝑚𝑦 𝑀𝑦 𝑀𝑚𝑦 2
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑑𝑥 = 2
𝑑𝐴𝑑𝑥
𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼

El trabajo en toda la sección transversal es:

𝐶𝑡 𝐶𝑡
𝑀𝑚𝑦 2 𝑀𝑚 2 𝑑𝐴 𝑑𝑥
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑥 = න 2
𝑑𝐴𝑑𝑥 = න 𝑦
𝐶𝑏 𝐸𝐼 𝐸𝐼 2 𝐶𝑏
 Trabajo virtual - vigas

La expresión ‫ 𝑦 ׬‬2 𝑑𝐴 es el momento inercia I de la sección. El trabajo

en la sección dx se transforma en

𝑀𝑚
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑑𝑥
𝐸𝐼
 Trabajo virtual - vigas

El trabajo interno realizado en la viga completa es igual a

𝐿
𝑀𝑚
𝑊𝑖 = න 𝑑𝑥
0 𝐸𝐼

El trabajo externo We realizado por la carga unitaria a medida

que recorre la distancia ∆ es 1x∆. Igualando

𝑊𝑒 = 𝑊𝑖
 Trabajo virtual – vigas o pórticos

𝑊𝑒 = 𝑊𝑖

Se obtiene una expresión para obtener la deflexión en cualquier

punto de la viga. De manera similar, se obtiene una expresión para la
rotación en cualquier punto de la viga
𝐿
𝑀𝑚
1𝑥∆= න 𝑑𝑥
0 𝐸𝐼

𝐿
𝑀𝑚𝜃
1𝑥𝜃 = න 𝑑𝑥
0 𝐸𝐼
 Ejemplo

Determine el desplazamiento del punto B de la viga de acero.

Considere 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝐼 = 500𝑥106 𝑚𝑚4
 Ejemplo

Determine la pendiente 𝜃 en el punto B la viga de acero que se

muestra. Considere
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, e 𝐼 = 60𝑥106 𝑚𝑚4
 Ejemplo

Determine el desplazamiento horizontal del punto C en el siguiente

pórtico. Considere que 𝐸 = 29000 𝑘𝑠𝑖 e 𝐼 = 600 𝑖𝑛4
Wi para otras cargas
TEOREMA DE CASTIGLIANO
METODO DE ENERGIA
 Teorema de Castigliano

“En 1879, Alberto Castigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles,

enunció un teorema que permite encontrar cualquier componente
de deflexión de una estructura a partir de la energía de deformación
de la misma. Este método, conocido como el segundo teorema de
Castigliano, solo aplica a estructuras:
• Que tengan temperatura constante
• Soportes que no ceden
• Respuesta material elástica lineal.”
 Teorema de Castigliano

Se considera a una estructura sometida a una serie de fuerzas

P1,P2,…Pn.
El trabajo externo realizado por estas fuerzas es igual a la energía de
deformación interna almacenada en el cuerpo

𝑈𝑖 = 𝑈𝑒
El trabajo externo es función de las cargas externas

𝑈𝑒 = ෍ න 𝑃 𝑑𝑥 = 𝑈𝑖
 Teorema de Castigliano

Si cualquiera de las fuerzas 𝑃𝑖 se incrementa una cantidad diferencial

𝑑𝑃𝑖 el trabajo interno también aumenta de modo que la nueva energía de
deformación se convierte en:
𝜕𝑈𝑖
𝑈𝑖 + 𝑑𝑈𝑖 = 𝑈𝑖 + 𝑑𝑃𝑖 (1)
𝜕𝑃𝑖

Ahora, si primero se aplica un 𝑑𝑃𝑖 a la estructura, esto hará que el cuerpo

se desplace una cantidad diferencial 𝑑∆𝑖 en la dirección 𝑑𝑃𝑖 . Una
aplicación posterior de las cargas 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 que desplazará al cuerpo
∆1 , ∆2 , … , ∆𝑛 , producirá la siguiente energía de deformación.

𝑈𝑖 + 𝑑𝑈𝑖 = 𝑈𝑖 + Δ𝑖 𝑑𝑃𝑖 (2)

 Teorema de castigliano

Como las ecuaciones (1) y (2) deben ser iguales, se requiere:

𝜕𝑈𝑖
Δ𝑖 = (𝑎)
𝜕𝑃𝑖

Entonces, el desplazamiento Δ𝑖 en la dirección de Pi es igual a la

primera derivada parcial de la energía de deformación con respecto
a Pi.
 Teorema de Castigliano - armaduras

Para armaduras:
𝑈𝑒 = 𝑈𝑖

1
𝑁∆= 𝑈𝑖
2

1 𝑁𝐿
𝑁 = 𝑈𝑖
2 𝐴𝐸

1 𝑁 2𝐿
𝑈𝑖 = (𝑏)
2 𝐴𝐸
𝑁 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
 Teorema de Castigliano - armaduras

Al reemplazar (a) en (b) se tiene que

𝑁2𝐿
𝜕 σ 2𝐴𝐸
∆=
𝜕𝑃

𝜕𝑁 𝐿
∆= ෍ 𝑁
𝜕𝑃 𝐴𝐸

𝐹𝐿 𝜕𝐹
∆= ෍
𝐴𝐸 𝜕𝑃
 Teorema de Castigliano - armaduras

𝜕𝑁 𝐿
∆= ෍ 𝑁
𝜕𝑃 𝐴𝐸
Donde:

• Δ=desplazamiento de la junta externa de la armadura

• P=fuerza externa aplicada a la junta de la armadura en la dirección de ∆.
• N=fuerza interna de un elemento causada tanto por la fuerza P como por las cargas
sobre la armadura.
• L=longitud de un elemento
• A= área de la sección transversal del elemento
• E=módulo de elasticidad del elemento
 Ejemplo

Determine el desplazamiento horizontal en la junta D de la

armadura. Considere E=29000 ksi. El área de la sección transversal
de cada elemento se indica en la figura.
 Ejemplo

Determine el desplazamiento vertical de la junta C de la armadura.

Suponga que los elementos tienen un A=0,5 𝑖𝑛2 y 𝐸 = 29000 𝑘𝑠𝑖
 Teorema de Castigliano – vigas o pórticos

Para el caso de vigas y pórticos las deformaciones debidas a la flexión son la causa principal de
las deflexiones

La energía de deformación por flexión esta dado por la ecuación

𝐿
𝑀2
𝑈𝑖 = න 𝑑𝑥
0 2𝐸𝐼
Al sustituir esta ecuación en la ecuación

𝜕𝑈𝑖
Δ𝑖 =
𝜕𝑃𝑖
Obteniendo la expresión
𝐿
𝜕𝑀 𝑑𝑥
∆= න 𝑀
0 𝜕𝑃 𝐸𝐼
 Teorema de Castigliano – vigas y pórticos
𝐿
𝜕𝑀 𝑑𝑥
∆= න 𝑀
0 𝜕𝑃 𝐸𝐼

Donde
• Δ =desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales que
actúan sobre la viga o marco.
• P=fuerza externa aplicada a la viga o marco en la dirección Δ
• M=momento interno en la viga o marco, expresado en función de x y
causado tanto como por la fuerza P como por las cargas reales sobre la
viga.
• E=modulo de elasticidad del material de la viga.
• I=momento de inercia de la viga respecto a su eje neutro.
 Teorema de castigliano – vigas y pórticos

De manera análoga para determinar el giro o la pendiente

𝐿
𝜕𝑀 𝑑𝑥
𝜃=න 𝑀
0 𝜕𝑀′ 𝐸𝐼
 Ejemplo

Determine el desplazamiento en el punto B de la viga. Considere que

𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐼 = 500𝑥106 𝑚𝑚4
 Ejemplo

Determine la pendiente del punto B de la viga que se muestra.

Considere que 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝐼 = 60𝑥106 𝑚𝑚4
 Ejemplo

Determine el desplazamiento vertical del punto C de la viga que se

muestra. Considere que 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝐼 = 150𝑥106 𝑚𝑚4
 Ejemplo

Determine la pendiente en el punto C del marco de dos elementos

que se muestra. El soporte A es fijo. Considere 𝐸 = 29000 𝑘𝑠𝑖, 𝐼 =
600 𝑖𝑛4
 Ejercicios recomendados

• Capitulo 9 Libro Análisis Estructural 8va Edición R.C. HIBBELER

• Capitulo 13 Libro Análisis de Estructuras Métodos Clásico y
Matricial 4ta Edición Jack C. McCormac