Manual Fluidos I 2016 PDF
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FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE INGENIERIA CIVIL Y SISTEMAS
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
MANUAL DE MECANICA DE
FLUIDOS I
Derechos Reservados®
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Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
A MI FAMILIA
Echa tu pan sobre las aguas corrientes, que al cabo de mucho tiempo lo hallarás.
Eclesiastés XI-I
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Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
PROLOGO
La tercera unidad del curso, se trata el estudio del flujo a través de orificios,
métodos de solución de este tipo de flujo; los vertederos como estructuras de
medición del caudal son vistos con aplicaciones prácticas a la inge niería civil. Una
introducción al análisis dimensional y la semejanza hidráulica , también es tratado
en el último capítulo,
Escribir un libro es un arduo trabajo, que difícilmente puede ser hecho realidad por
una sola persona, debemos partir del hecho primigenio que no hemos nacido
sabiendo lo que hacemos, sino que hemos aprendido, directa o indirectamente de
otros a los que llaman pioneros. Evidentemente aparecerán algunas deficiencias en
el texto y queda a consideraci ón del lector su opinión y ayuda para mejorarlo.
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Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
ELENA G. de WHITE
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CONTENIDO
Prologo
Introducción 7
Primera Unidad
HIDROSTATICA
1.1. Propiedades de los Fluidos 10
1.2. Tensión Superficial 24
2.1. Presión 27
3.1. Viscometría 31
4.1. Propiedades de los Gases 35
5.1. Estática de Fluidos 54
6.1. Presión sobre áreas planas y curvas 66
Segunda Unidad
CINEMATICA DE FLUIDOS
7.1. Estabilidad de Flotación 80
8.1. Cinemática de Fluidos 91
9.1. Estudio de Campo de velocidades 112
10.1. Ecuación General del Movimiento 134
Tercera Unidad
CANTIDAD DE MOVIMIENTO, ORIFICIOS Y SIMILITUD HIDRÁULICA
11.1. Cantidad de Movimiento Similitud Hidráulica 174
12.1. Estudio de Orificios y Boquillas 222
13.1. Análisis Dimensional 242
14.1. Similitud Hidráulica 276
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1. INTRODUCCIÓN
Hasta principios del presente siglo el estudio de los fluidos fue desarrollado
esencialmente por dos grupos: los ingenieros hidráulicos y los matemáticos.
Los ingenieros hidráulicos trabajaron desde un punto de vista empírico,
mientras que los matemáticos se centraron en enfoques analíticos. La
ingeniosa experimentación del primer grupo, produjo mucha información con
valor incalculable para los ingenieros practicantes de entonces; sin embargo
estos resultados eran restringidos y de valor limitado en situaciones nuevas.
Para muchos investigadores el estudio de los fluidos debe ser una mezcla de
teoría y experimentación, con ellos nace la ciencia de Mecánica de Fluidos, tal
como se conoce actualmente.
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PROGRAMA INSTRUCCIONAL
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PRIMERA UNIDAD
HIDROSTÁTICA
Introducción:
Hasta principios del presente siglo el estudio de los fluidos fue desarrollado esencialmente por
dos grupos: los ingenieros hidráulicos y los matemáticos. Los ingenieros hidráulicos trabajaron
desde un punto de vista empírico, mientras que los matemáticos se centraron en enfoques
analíticos. La ingeniosa experimentación del primer grupo, produjo mucha información con
valor incalculable para los ingenieros practicantes de entonces; sin embargo estos resultados
eran restringidos y de valor limitado en situaciones nuevas.
Para muchos investigadores el estudio de los fluidos debe ser una mezcla de teoría y
experimentación, con ellos nace la ciencia de Mecánica de Fluidos, tal como se conoce
actualmente.
Así tenemos que la rama de la mecánica aplicada que estudia el comportamiento de los fluidos
ya sea en reposo o en movimiento lo constituye la Mecánica de Fluidos y la Hidráulica.
Fundamento teórico:
1. Definición de fluido:
Los fluidos son sustancias capaces de “fluir” y que adoptan la forma del recipiente que
los contienen. Cuando están en equilibrio no pueden soportar fuerzas tangenciales o cortantes,
todos los fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de
forma.
Un fluido es una sustancia que cambia su forma siempre que esté sometida a un esfuerzo
cortante, sin importar que tan pequeño sea. Una fuerza cortante es el componente de fuerza
tangente a una superficie, y esta fuerza dividida por el área de la superficie es el esfuerzo
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En la figura podemos apreciar que se coloca una sustancia entre dos placas paralelas
separadas una distancia pequeña siendo ellas lo suficientemente grandes para que las
condiciones en sus orillas se puedan despreciar. La placa inferior esta quieta aplicándose una
fuerza F no nula, en la placa superior, ejerciéndose entonces un esfuerzo cortante F/A sobre
cualquier sustancia entre placas. Cuando la fuerza F causa que la placa superior se mueva con
una velocidad uniforme sin que importe lo pequeña que esta sea, se puede concluir que la
sustancia entre las dos placas es un fluido.
El fluido en contacto inmediato con una frontera sólida tiene la misma velocidad que la
frontera, es decir, no hay deslizamiento en la frontera.
El fluido en el área abcd fluye a la nueva posición a b c d, con cada partícula del fluido en
movimiento paralelo a la placa y variando la velocidad de de forma uniforme desde cero en
la placa estacionaria hasta U en la placa superior. Siendo constantes otras cantidades se tiene
que:
F = AU
t
Dónde:
: factor de proporcionalidad que incluye el efecto del fluido del que se trate, llamándose
viscosidad absoluta o dinámica.
A: es el área de la capa superior
U: velocidad del fluido
t : espesor entre capas
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= U
t
La razón U/t es la velocidad angular de deformación del fluido, es decir, la rapidez del
decremento del ángulo bad, la velocidad angular también se puede escribir du/dy , sin
embargo esta es más general, ya que es válida en situaciones donde la velocidad angular y el
esfuerzo cortante cambian con y .
La ecuación en forma diferencial es:
A veces resulta difícil distinguir entre sólidos y fluidos, porque los sólidos pueden fluir
muy lentamente cuando están sometidos a presión, como ocurre por ejemplo en los
glaciares.
2. El medio continúo:
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normales. Sin embargo, dicha hipótesis deja de ser válida cuando la trayectoria media libre de
las moléculas (aproximadamente 6.3 x 10-5 mm o bien 2.5 x 10-6pulg. para aire en
condiciones normales de presión y temperatura) resulta del mismo orden de magnitud que la
longitud significativa más pequeña, característica del problema en cuestión.
Una de las consecuencias de la hipótesis del continuo es que cada una de las propiedades de
un fluido se supone que tenga un valor definido en cada punto del espacio. De esta manera,
propiedades como la densidad, temperatura, velocidad, etc., pueden considerarse como
funciones continuas de la posición y del tiempo.
Es necesario al tratar con relaciones flujo de fluidos sobre base analítica, considerar que la
estructura original es reemplazada por un medio hipotético llamado medio continuo. Sin
embargo debe usarse la teoría molecular para calcular las propiedades del fluido (ej. La
viscosidad) que estén asociadas con movimientos moleculares, pero se puede emplear
ecuaciones de medio continuo con los resultados de los cálculos moleculares.
Para ilustrar esto, se examinó la acción de un gas sobre un elemento de área circular dentro de
un tanque cerrado. Aun con la presencia de una cantidad relativamente pequeña de fluido
dentro de ese volumen, las innumerables colisiones de moléculas sobre la superficie
producirán una manifestación de fuerza global independiente del tiempo. Una sustancia
realmente continua simulara esta acción bastante bien. Si existe solo una pequeña cantidad de
gas dentro del tanque, de tal manera que la trayectoria libre media es del mismo orden de
magnitud que el diámetro del elemento considerado, se observa una actividad errática a
medida que las moléculas individuales bombardean la superficie. No puede seguir hablándose
de una fuerza constante sino de una variación errática de la fuerza, esta acción no es lo que se
espera en una distribución continua de masa. Luego se ve que el enfoque del continuo puede
aplicarse a la primera situación pero que en el segundo caso, al ignorar los efectos de
moléculas individuales, seria cuestionable.
Puede alcanzarse la misma situación para cualquier cantidad de gas dentro de un tanque
disminuyendo el tamaño del elemento de área hasta que los efectos moleculares irregulares se
vuelvan significativos. Debido a que el enfoque del continuo no toma en consideración a la
acción en “lo pequeño”, no puede conducir a resultados acertados “en lo pequeño”.
3. Viscosidad:
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Viscosidad, propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una
fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de
baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento
arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un
recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad
con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad.
La viscosidad es una medida de la fricción interna del fluido, esto es, la resistencia a la
deformación. El mecanismo de la viscosidad en gases se entiende razonablemente bien, pero
la teoría se ha desarrollado muy poco para los líquidos. Podemos obtener mayor información
acerca de la naturaleza física del flujo viscoso analizando este mecanismo brevemente.
La viscosidad de un fluido newtoniano está determinada por el estado del material. De tal
modo m = m (T, p). La temperatura es la variable más importante por lo que la
consideraremos primero.
a) Gases:
Todas las moléculas de un gas están en un continuo movimiento aleatorio. Cuando hay un
movimiento en bloque debido a un flujo, dicho movimiento se superpone a los movimientos
aleatorios y luego se distribuye por todos el fluido mediante colisiones moleculares.
b) Líquidos:
No es posible estimar teóricamente las viscosidades para líquidos con exactitud. El fenómeno
de la transferencia de momento por medio de colisiones moleculares parece oscurecerse en
líquidos por efecto de los campos de fuerza que interactúan entre las moléculas líquidas
apiñadas y muy cercanas unas a otras.
Las viscosidades de líquidos son afectadas drásticamente por la temperatura.
a) Gases:
La viscosidad de los gases es esencialmente independiente de la presión entre unos cuantos
centésimos de una atmósfera y unas cuantas atmósferas. Sin embargo, la viscosidad a altas
presiones aumenta con la presión (o densidad).
b) Líquidos:
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Las viscosidades de la mayoría de los líquidos no son afectadas por presiones moderadas pero
se han encontrado grandes incrementos a presiones sumamente elevadas. Por ejemplo la
viscosidad del agua a 10.000 atm. Es el doble que a 1 atm. Compuestos de mayor complejidad
muestran un aumento en la viscosidad de varios órdenes de magnitud sobre el mismo
intervalo de temperatura.
*Índice de viscosidad:
Una medida del cambio de la viscosidad de un fluido con la temperatura está dada por su
índice de viscosidad.
Un fluido con un alto índice de viscosidad muestra un cambio pequeño de viscosidad con
respecto a la temperatura. Un fluido con un bajo índice de viscosidad exhibe un cambio
grande en su viscosidad con respecto a la temperatura.
Según la teoría molecular, cuando un fluido empieza a fluir bajo la influencia de la gravedad,
las moléculas de las capas estacionarias del fluido deben cruzar una frontera o límite para
entrar en la región de flujo. Una vez cruzado el límite, estas moléculas reciben energía de las
que están en movimiento y comienzan a fluir. Debido a la energía transferida, las moléculas
que ya estaban en movimiento reducen su velocidad. Al mismo tiempo, las moléculas de la
capa de fluido en movimiento cruzan el límite en sentido opuesto y entran en las capas
estacionarias, con lo que transmiten un impulso a las moléculas estacionarias. El resultado
global de este movimiento bidireccional de un lado al otro del límite es que el fluido en
movimiento reduce su velocidad, el fluido estacionario se pone en movimiento, y las capas en
movimiento adquieren una velocidad media.
Para hacer que una capa de fluido se mantenga moviéndose a mayor velocidad que otra capa
es necesario aplicar una fuerza continua. La viscosidad en poises se define como la magnitud
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de la fuerza (medida en dinas por centímetro cuadrado de superficie) necesaria para mantener
—en situación de equilibrio— una diferencia de velocidad de 1 cm. por segundo entre capas
separadas por 1 cm. La viscosidad del agua a temperatura ambiente (20 °C) es de 0,0100
poises; en el punto de ebullición (100 °C) disminuye hasta 0,0028 poises.
=
du/dy
La viscosidad es una manifestación del movimiento molecular dentro del fluido. Las
moléculas de regiones con alta velocidad global chocan con las moléculas que se mueven
con una velocidad global menor, y viceversa. Estos choques permiten transportar cantidad
de movimiento de una región de fluido a otra. Ya que los movimientos moleculares
aleatorios se ven afectados por la temperatura del medio, la viscosidad resulta ser una
función de la temperatura.
*Fluidos Newtonianos:
Hemos definido un fluido como una sustancia que se deforma continuamente bajo la acción
de un esfuerzo cortante. En ausencia de éste, no existe deformación. Los fluidos se pueden
clasificar en forma general, según la relación que existe entre el esfuerzo cortante aplicado y
la rapidez de deformación resultante. Aquellos fluidos donde el esfuerzo cortante es
directamente proporcional a la rapidez de deformación se denominan fluidos newtonianos. La
mayor parte de los fluidos comunes como el agua, el aire, y la gasolina son prácticamente
newtonianos bajo condiciones normales. El término no newtoniano se utiliza para clasificar
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M = V/c
Los cambios en densidad son solamente del orden del 2% de valor medio, para valores de M <
0.3. Así, los gases que fluyen con M < 0.3 se pueden considerar como incompresibles; un
valor de M = 0.3 en el aire bajo condiciones normales corresponde a una velocidad de
aproximadamente 100 m/s.
Los flujos compresibles se presentan con frecuencia en las aplicaciones de ingeniería. Entre
los ejemplos más comunes se pueden contar los sistemas de aire comprimido utilizados en la
operación de herramienta de taller y de equipos dentales, las tuberías de alta presión para
transportar gases, y los sistemas censores y de control neumático o fluídico. Los efectos de la
compresibilidad son muy importantes en el diseño de los cohetes y aviones modernos de alta
velocidad, en las plantas generadoras, los ventiladores y compresores.
Bajo ciertas condiciones se pueden presentar ondas de choque y flujos supersónicos, mediante
las cuales las propiedades del fluido como la presión y la densidad cambian bruscamente.
4. Densidad: ()
Los cuerpos difieren por lo general en su masa y en su volumen. Estos dos atributos físicos
varían de un cuerpo a otro, de modo que si consideramos cuerpos de la misma naturaleza,
cuanto mayor es el volumen, mayor es la masa del cuerpo considerado. No obstante, existe
algo característico del tipo de materia que compone al cuerpo en cuestión y que explica el
porqué dos cuerpos de sustancias diferentes que ocupan el mismo volumen no tienen la misma
masa o viceversa.
Aun cuando para cualquier sustancia la masa y el volumen son directamente proporcionales,
la relación de proporcionalidad es diferente para cada sustancia. Es precisamente la constante
de proporcionalidad de esa relación la que se conoce por densidad y se representa por la letra
griega .
La densidad de una sustancia es la masa que corresponde a un volumen unidad de dicha
sustancia. Su unidad en el SI es el cociente entre la unidad de masa y la del volumen, es decir
kg/m3.
A diferencia de la masa o el volumen, que dependen de cada objeto, su cociente depende
solamente del tipo de material de que está constituido y no de la forma ni del tamaño de aquél.
Se dice por ello que la densidad es una propiedad o atributo característico de cada sustancia.
En los sólidos la densidad es aproximadamente constante, pero en los líquidos, y
particularmente en los gases, varía con las condiciones de medida. Así en el caso de los
líquidos se suele especificar la temperatura a la que se refiere el valor dado para la densidad y
en el caso de los gases se ha de indicar, junto con dicho valor, la presión.
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La densidad de un fluido se define como su masa por unidad de volumen. Para definirla en un
punto, la masa m de fluido en un pequeño volumen v rodeando el punto se divide entre v y se
toma el límite cuando v tiende e donde e es aun grande comparada con la distancia media
entre moléculas.
*Densidad relativa:
La densidad relativa de un cuerpo es un número adimensional que viene dado por la relación
del peso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como
referencia, por ejemplo:
5. Volumen específico:(Vs)
La densidad está relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es,
por lo general, más denso que otro más disperso), pero también lo está con el peso. Así, un
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cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también mucho más denso.
Esto es debido a la relación P = m · g existente entre masa y peso. No obstante, para referirse
al peso por unidad de volumen la física ha introducido el concepto de peso específico que se
define como el cociente entre el peso P de un cuerpo y su volumen
El peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen unidad de la
misma sustancia considerada.
La relación entre peso específico y densidad es la misma que la existente entre peso y masa.
El peso específico de una sustancia es el peso de la unidad de volumen de dicha sustancia. En
los líquidos, el peso específico puede considerarse constante para las variaciones ordinarias de
presión. El peso específico del agua para las temperaturas más comunes es de 1000kg/m3. Los
pesos específicos de los gases pueden calcularse mediante la ecuación de estado de los gases:
w= p
RT
Es una propiedad conveniente al tratar con estática de fluidos o con líquidos con una
superficie libre.
Para describir los fenómenos físicos no alcanza solo con la descripción cualitativa si no que es
menester recurrir a un concepto cuantitativo, esto es expresarlos como una magnitud.
Recordemos que se denomina magnitud a todo fenómeno capaz de ser medido, es decir
expresarlo como una cantidad numérica. Lord Kelvin, un científico inglés, decía con mucha
convicción refiriéndose a los fenómenos físicos: "solo se puede hablar con propiedad, de
aquello que se mide. Medir es comparar cantidades de la misma magnitud. Por ejemplo
cuando medimos una longitud comparamos la distancia desconocida con otra que ya
conocemos, y que ha surgido de una cantidad convenida de longitud denominada patrón.
Un patrón se adopta por convención, esto significa que un grupo de personas con
conocimientos y experiencia resuelve acordar que: una cierta cantidad a la que llamamos
patrón y cuyo nombre (por ejemplo el "metro") origina la unidad de referencia, será con quien
deberá ser comparada cualquier otra porción de magnitud que queramos cuantificar.
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En el caso de la longitud, el patrón es una cantidad que todos conocemos denominada metro.
Aquí podemos apreciar algunos valores de la gravedad (go) para sistemas de unidades
comunes.
Ahora conocemos la necesidad de adoptar unidades para realizar una medición pero ¿cuál es el
sentido de emplear submúltiplos y múltiplos de dichas unidades? Supongamos que queremos
indicar el espesor de un alambre cuyo diámetro es de 0,002 m, es decir "cero coma, cero, cero,
dos metros" ¿no es mas sencillo decir 2 mm o sea "dos milímetros"? En general todos
conocemos la distancia aproximada de Bs. As. a Mar del Plata la cual es de 400 km y no es
común escuchar esa distancia expresada en metros. Ahora ¿no han escuchado expresar
cantidades de magnitud en unidades diferentes a las cuales estamos correctamente
acostumbrados como por ejemplo: 100 millas; 5 yardas; 120 Fahrenheit; 3 pulgadas; 8 onzas; 20
nudos, etc.? Si bien nosotros utilizamos el sistema internacional de unidades todavía hay
naciones que aún emplean, obcecadamente, sistemas basados en otros patrones de medida, en
consecuencia tenemos que encontrar el modo de traducir esas unidades a las nuestras para poder
saber de qué medida estamos hablando.
TENSIÓN SUPERFICIAL
La tensión superficial de un líquido es la cantidad de energía necesaria para aumentar su
superficie por unidad de área. Esta definición implica que el líquido presenta una resistencia
para aumentar la superficie. Cabe suponer que los líquidos cuyas moléculas tengan fuerzas de
atracción intermoleculares fuertes, tendrán tensión superficial elevada.
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Asimismo se puede probar que cuando un líquido presenta al aire una superficie curva se genera
en ese menisco curvo un desnivel de presión de modo que la presión en el lado convexo es
siempre menor que la existente en el lado cóncavo
Donde:
En el dispositivo de la figura se
P inyecta aire a través de un tubo
de pequeño diámetro 1mm
Pa
aprox. a través de la boquilla a la
P
presión P
Pa
El líquido enrasado en el extremo del tubo cede por la presión formando un menisco, el cual
provoca un aumento en la superficie que encierra el tubo. Se demuestra que inmediatamente
antes de que el menisco se rompa al crecer P adopta la forma de una semiesfera.
( 3 ) reemplazando en ( 1 ):
dw 4TsRdR ... ( 4 )
Sabiendo que:
Pa: Presión atmosférica
Considerando el, área del menisco S:
F P Pa .S
y cuando el área del menisco se incrementa dA, la fuerza realiza un trabajo:
FdR P Pa s.dR
dw P Pa s.dR ... ( 5 )
dR: es la distancia radial recorrida por el menisco
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Dónde:
dA 4RdR Dónde: S = A
A 2R 2 ... ( 6 )
Reemplazando ( 6 ) en ( 5 ):
dw P Pa 2R 2 dR ... ( 7 )
Igualando ( 3 ) y ( 7 ):
P Pa 2R dR 4TsRdR
2
P Pa R 2Ts
2Ts
P Pa ... ( 8 )
R
Esto demuestra:
Que la presión Pa en el lado convexo del menisco siempre es menor que la presión P en el lado
cóncavo
Capilaridad:
Es la subida espontánea de un líquido en un tubo estrecho (capilar). Se debe a dos tipos de
fuerzas diferentes: cohesión que son las fuerzas entre las moléculas del líquido y fuerzas
adhesivas que son las fuerzas que operan entre las moléculas del líquido y el capilar (tubo)
Tal es el caso de los meniscos pues cualquier superficie encorvada dentro del tubo tiene mayor
área que la superficie plana original. Luego al formar el menisco la superficie liquida almacena
energía potencial.
(*1) Por lo tanto si se asimila el trabajo realizado al generado por una fuerza ficticia F en el
desplazamiento dx la energía potencial almacenada será:
dE Fdx
dE
F
dx
(*2) La superficie del menisco debe estar en equilibrio luego a la condición del menisco debe
tenerse F = 0, entonces:
dE
0
dx
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r
R
Pa Pa = P1
Pa
h
P1
(a) (b)
De la figura (b):
r
R ... ( 9 )
cos
según ( 8 )
2Ts
P2 P1 Pero: P1 Pa
R
2Ts
P Pa ... ( 10 )
R
Reemplazando ( 9 ) en ( 10 ) :
2Ts cos
P2 Pa ... ( 11 )
Una vez que el agua ha subido la presión en M será:
PM P2 w h ... ( 12 )
Reemplazando ( 11 ) en ( 12 ):
2Ts cos
PM Pa w .h
Pero cuando alcanza el equilibrio la presión PM debe ser la atmosférica que tiene el líquido que
rodea al tubo en su superficie:
P Pa :
M
2Ts cos
Pa Pa w .h
r
2Ts cos
h
r w
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Por otra parte el agua tiene la propiedad de ascender por las paredes de un tubo de vidrio capilar
cuando la superficie del agua toca el vidrio, porque las fuerzas de adhesión agua-vidrio son
mayores que las de cohesión agua-agua por lo que el agua contenida en el capilar sube hasta que
las fuerzas de atracción se hacen iguales al peso de la columna de agua que se forma en su
ascenso. El hecho que las fuerzas adhesivas en el agua sea mayores que las cohesivas, se
manifiesta también en la formación de un menisco cóncavo ( redondeado hacia abajo ) en el
extremo de la columna cuando las fuerzas cohesivas son mayores que las adhesivas, como en el
caso del líquido mercurio, se forma un menisco convexo ( redondeado hacia arriba )
convexo
F coh F adh ; cóncavo F coh F adh
Hg H2O
PRESIÓN
1. DEFINICIÓN
- Es una magnitud física escalar, que resulta del cociente de dos
escalares, infinitesimales llevados al límite:
F
P lim
A 0 A
P1
. .. . . . . .. . . .
P2 P3
. . . . .. . . . . .. P4 P5
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . P6
. .. . . . .. . . .. . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . Distribución de presiones
sobre un muro de
. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . .
contención
.. . . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .
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Dónde:
P .h P = presión debido al peso del fluido
pesoespecifico del fluido
h = profundidad a la que se encuentra el fluido
2. TIPOS:
A) Presión Relativa:
También llamada presión manométrica, porque se obtiene
al ser medidos por estos dispositivos llamados
manómetros.
B) Presión absoluta:
Siempre es positiva.
Se mide a partir del cero absoluto, que viene a ser el vacío
total
Es la suma de la presión manométrica más la atmosférica.
Pabs Po Pman
3. Unidades:
Las unidades de la presión son las mismas del esfuerzo y
dimensionalmente hablando tenemos:
P F.L
2
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dp
E
dV
V
Esto tiene que ver con la capacidad de compresibilidad que presenta toda
materia en cualquier estado, siendo en los fluidos el modulo E muy alto,
porque a grandes in crementos de presión ocurren pequeñísimas variaciones
de su volumen.
1 dV
E V
dp
Unidades:
F 1
.L2
PRESIÓN DE VAPOR:
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Pv Po = Pv
Po
Ebullición
Es por eso que el agua al nivel del mar hierve a 100 °C, porque Po =
1.033 Kg/ cm2 y a los 100 °C Pv = 1.033 Kg/cm2. A mayor altura Po
disminuye y el agua hierve a menor temperatura
Un fenómeno que tiene relación con la presión de vapor ( Pv ), es el
fenómeno de CAVITACION, es cuando el agua está sometida a Po muy
pequeñas y siendo estos valores muy bajos, se acercan a la Pv,
entrando por consiguiente parte del agua a ebullición, con
desplazamiento de burbujas de vapor.
Este fenómeno suele ocurrir en las bombas y turbinas hidráulicas,
donde las bolsas de vapor producidas en una zona ( A ) son arrastradas
a otra zona ( B ), donde la presión Po del líquido es mayor y se produce
una “ IMPLOSIÓN ” de las burbujas o bolsas de vapor, produciendo el
siguiente efecto:
Aparición de ruidos molestos
Daños en las paredes en forma de picadura
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VISCOMETRÍA
VISCOCIMETRÍA
Para la obtención da masa molar por viscometría, se necesita una muestra de polímero (p. ex.
polietileno) disuelta en un solvente adecuado (p. ex.: tolueno) una concentración conocida a una
temperatura controlada (p. ex.: 25 °C). Utilizándose un viscosímetro capilar de dilución, se
efectúan las medidas en dos tiempos de desagüe de solvente puro y de algunas soluciones de
concentraciones diferentes de polímero.
Partiendo dos tiempos de desagüe obtenidos es posible obtener varias grandes relaciones con la
viscosidad:
t
r
Viscosidad relativa: 0 t0
( t t0 )
esp r 1
Viscosidad especifica: t0
esp
red
Viscosidad reducida: C
ln r
iner
Viscosidad inherente: C
[ ] ( esp C ) c0 [(ln r ) C ]c 0
Viscosidad intrínseca:
Tabla 1: Tempos de desagüe y sus respectivos desvíos pares para soluciones de polietileno,
obtenidas a partir da disoluciones do polímero en tolueno.
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VISCOCÍMETRO
Es un equipo que permite calcular la viscosidad del fluido que está contenido en sus paredes por
el efecto de rotación del elemento exterior móvil y con la medida de la fuerza que se necesita
para contrarrestar dichos movimientos.
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EXPERIMENTO DE COVETTE
- Consiste en la fabricación de 2 cilindros concéntricos con una
holgura interior “e” mediante el cual el cilindro exterior gira a
una velocidad angula accionado por un motor.
- El movimiento de aquel cilindro cuando en la holgura se agrega
un fluido de viscosidad “u” después de algún momento hace
girar al cilindro interior a consecuencia de la viscosidad y
movimiento relativo de las partículas del fluido.
- El coeficiente de viscosidad dinámica será determinado por la
cupla o momento que se requiere para detener el movimiento
del cilindro interior
- HIPOTESIS: los fluidos adquieren la velocidad del recipiente o
forma que los contiene.
ECUACION DE ESTADO
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GAS PERFECTO
GASES:
Un gas en equilibrio con su líquido es llamado un vapor saturado. Si un gas a una presión dada
tiene una temperatura superior al valor de la misma en estado de equilibrio con la fase líquida,
se denomina vapor sobrecalentado. Los gases comunes como los que forman el aire, están
altamente sobrecalentados. En la misma forma que para los líquidos, las ecuaciones de estado
para vapores en o cerca de las condiciones de saturación son complejas. Por otra parte, la
ecuación teórica de estado para el gas perfecto es una aproximación útil para gases que están
muy sobrecalentados. Esta ley del gas perfecto está dada por la relación.
p
RT..................(4.1)
Donde:
T= Temperatura absoluta, en °K
R= Constante del gas, en Kgm/(g-mol) (°K)
p = Presión absoluta, Kg/m2
= densidad, en masa / m3
La constante del gas R es proporcional a la constante universal 0.848 dividida entre el peso
molecular. Su valor numérico depende de las unidades usadas para la densidad, así, para una
densidad en geok/m3 y presión en Kg/m2.
0.84 gc
R Re ok .......................(4.2a)
pesomolecular
expresado en unidades de Kgm/geok - °K. Para la densidad en Kg/m3 y la presión en Kg/m2
LEYES DE LO GASES
Los gases debido a su gran compresibilidad y dilatación térmica respecto de los líquidos y
sólidos ocupan un volumen que depende muy sensiblemente de las condiciones exteriores tales
como la presión y la temperaturas a presiones suficientemente bajas y a temperaturas muy altas
todos los gases conocidos obedecen a leyes muy sencillas que relacionan el volumen con la
presión y la temperatura. Los gases que obedecen a estas leyes se denominan gases ideales o
gases perfectos razón por la cual se les conocen con el nombre de leyes de los gases perfectos.
Ley de Boyle:
T = cte. T = temperatura
Pv = cte. P = presión
Ley de Charles:
33
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P1 V1 P2 V2
T1 T2 Para una masa de gas dada.
Presión Normal:
Es la presión ejercida sobre la base de una columna de mercurio de 76cm de altura por efecto
exclusivo de su peso.
Peso = aproximadamente a la presión atmosférica media a nivel del mar y se denomina una
atmósfera física de presión.
Condiciones Normales:
Son las correspondientes a una T° de 273 Kelvin y una atmósfera de presión.
Un Mol = (mol gramo o masa molecular gramo), es numéricamente igual a la masa molecular
de la sustancia expresada en gramos.
Ejemplo:
Un mol de oxígeno: 32 gramos de oxígeno ya que la masa molecular del oxigeno es 32.
4 gr de oxígeno = 1/8 mol de oxígeno.
Un mol de cualquier gas (perfecto) ocupa aproximadamente un volumen de 22.4 litros en
condiciones normales.
P= 1 atms. = 273°K
Constante Universal de los gases
p RT
R= Constante universal de los gases que es igual para todos ellos si existen n moles.
Entonces:
p nRT
Para hallar R a C.N
34
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Ejemplo:
p 1atmx 22 .4lt 0.0821 atmxLt 8.31J
R
nT 1molx 273 K Kmol Kxmol
Ejercicios:
P11 P2 2
T1 T2
760mmx20m 3 2 x800mm
(5 273 K ) (30 273) K
2 20.7m 3
1 lt 1/2 lt
p 1 p X atm
T -20C T 40 C
1Lt 1atmx1 / 2 Lt
(20 273) K (40 273) K
X 2.47
3. La densidad del Nitrógeno es 1.25 gramos / litro a una presión de 760 mm y 0°C. Hallar
su densidad a 42 °C y 730 mm Hg.
P1 P2
1T1 2T2 N=1.25 gr/Lt
1.25 2 PN=760mmHg………………730
760(0 273) K 730(40 273) K
760 730 TN=0°C……………………………42
(1.25 x 273) K 2(40 273)
1.04057 gr / Lt
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atm x lt
R 0.0821
Kmol
a) a 18°C y 765 mmHg, 1.29 Lt de un gas perfecto son: 71 gr. Hallar la masa molecular
del gas.
masade lg as m
masamolecularde lg as ñ
En :
P nRT
m
P RT
m
atmxLt
2.71 grx0.082 x(18 273) K
m
mRT
mol k
P 765 mmHgx1.29 Ltx
1atm
760 mmHg
m 49 .80
c) Hallar la densidad del metano a 20°C y 5 atmósferas. Masa molecular del metano = 16.
m 16
P 5atm
T 20 C
?
P nRT
m
5V xR(20 273)
m
m m
5
mxR(293)
5m
3.3256
R(293)
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PRESION EN UN PUNTO
Presión: Cociente entre la componente normal (perpendicular) de la fuerza ejercida sobre una
superficie y el área de dicha superficie.
P=Fn/S
Ejemplo:
Una persona de 60 Kg tiene unos pies que cubren una superficie de 250 cm2cada uno
¿Qué presión ejerce sobre el suelo? ¿Y si solo se apoya en un pie?
-Dos pies: P=F/S=(60·9.8 N)/(2·250·10-4m2)=12 103Pa
-Un pie: P=F/S=(60·9.8 N)/(250·10-4m2)=24 103Pa
LEY DE PASCAL:
La presión en un punto dentro de un fluido en reposo es la misma en todas direcciones. Esto
significa que es independiente de la orientación del área alrededor del punto.
Consideramos un pequeño prisma triangular de ancho unitario rodeando el punto en un fluido en
reposo.
Figura 3.3
Como el cuerpo está en equilibrio estático,
podemos considerar que la suma de las fuerzas
tanto en el eje X como en el eje Y, son iguales a
cero.
åFx = 0 åFy = 0
37
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AB AC
Cos Sen
Como BC entonces p1 = p3 y como BC y W = 0 al reducirse el prisma a un
punto.
Entonces: p2 = p3 p1 = p2 = p3
Las fuerzas que mantienen en equilibrio a dicha porción de fluido son las siguientes:
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-El peso, que es igual al producto de la densidad del fluido, por su volumen y por la intensidad
de la gravedad, (ρSdy)g
-La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara inferior, pS
-La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara superior, (p+dp)S
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Presión absoluta.
Se denomina presión absoluta a la presión que soporta un sistema respecto al
cero absoluto. La presión absoluta es cero únicamente cuando no existe choque entre
las moléculas lo que indica que la proporción de moléculas en estado gaseoso o la
velocidad molecular es muy pequeña.
Para poder decir que existe sobrepresión la presión absoluta debe ser superior
a la presión atmosférica.
Sin embargo, cuando la presión absoluta es inferior a la presión atmosférica
decimos que existe una depresión.
Para complicar un poco el asunto, diremos que la sobrepresión y la depresión
son la presión relativa.
Hay que tener en cuenta, que tanto la presión absoluta (Pab) como la presión
relativa (Pr) están en función de la presión atmosférica (P0).
Presión Manométrica
Son normalmente las presiones superiores a la atmosférica, que se mide por medio de
un elemento que se define la diferencia entre la presión que es desconocida y la presión
atmosférica que existe, si el valor absoluto de la presión es constante y la presión
atmosférica aumenta, la presión manométrica disminuye; esta diferencia generalmente
es pequeña mientras que en las mediciones de presiones superiores, dicha diferencia es
insignificante, es evidente que el valor absoluto de la presión puede abstenerse
adicionando el valor real de la presión atmosférica a la lectura del manómetro.
La presión puede obtenerse adicionando el valor real de la presión atmosférica a la
lectura del manómetro.
Vacío
Se refiere a presiones manométricas menores que la atmosférica, que normalmente se
miden, mediante los mismos tipos de elementos con que se miden las presiones
superiores a la atmosférica, es decir, por diferencia entre el valor desconocido y la
presión atmosférica existente. Los valores que corresponden al vacío aumentan al
acercarse al cero absoluto y por lo general se expresa a modo de centímetros de
mercurio (cmHg), metros de agua, etc.
De la misma manera que para las presiones manométricas, las variaciones de la presión
atmosférica tienen solo un efecto pequeño en las lecturas del indicador de vacío.
40
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Sin embargo, las variaciones pueden llegar a ser de importancia, que todo el intervalo
hasta llegar al cero absoluto solo comprende 760 mmHg.
INSTRUMENTOS DE MEDICION
Barómetro
Un barómetro es un instrumento que mide la presión atmosférica. La presión
atmosférica es el peso por unidad de superficie ejercida por la atmósfera.
Los primeros barómetros estaban formados por una columna de líquido encerrada en un
tubo cuya parte superior está cerrada. El peso de la columna de líquido compensa
exactamente el peso de la atmósfera. Los primeros barómetros fueron realizados por el
físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII. La presión
atmosférica equivale a la altura de una columna de agua de unos 10,13 m de altura. En
los barómetros de mercurio, cuya densidad es 13.6 veces mayor que la del agua, la
columna de mercurio sostenida por la presión atmosférica al nivel del mar en un día
despejado es de aproximadamente unos 760 mm.
Los barómetros son instrumentos fundamentales para medir el estado de la atmósfera y
realizar predicciones meteorológicas. Las altas presiones se corresponden con regiones
sin precipitaciones, mientras que las bajas presiones son indicadores de regiones de
tormentas y borrascas.
La unidad de medida de la presión atmosférica que suelen marcar los barómetros se
llama hectopascal, de abreviación (hPa).
Tipos de barómetros
Barómetro aneroide.
El barómetro aneroide es un barómetro que no utiliza mercurio. Indica las variaciones
de presión atmosférica por las deformaciones más o menos grandes que aquélla hace
experimentar a una caja metálica de paredes muy elásticas en cuyo interior se ha hecho
el vacío más absoluto. Se gradúa por comparación con un barómetro de mercurio pero
sus indicaciones son cada vez más inexactas por causa de la variación de la elasticidad
del resorte metálico. Fue inventado por Lucien Vidie en 1844.1
41
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Manómetro
Muchos de los aparatos empleados para la medida de presiones utilizan la presión atmosférica
como nivel de referencia y miden la diferencia entre la presión real o absoluta y la presión
atmosférica, llamándose a este valor presión manométrica.
Los aparatos que miden la presión manométrica reciben el nombre de manómetros y funcionan
según los mismos principios en que se fundamentan los barómetros de mercurio y los aneroides.
La presión manométrica se expresa bien sea por encima o por debajo de la presión atmosférica.
Los manómetros que sirven para medir presiones inferiores a la atmosférica se llaman
manómetros de vacío o vacuómetros.
Explicaciones
Cuando la presión se mide en relación a un vacío perfecto, se llama presión absoluta; cuando
se la mide con respecto a la presión atmosférica, se llama presión manométrica.
El concepto de presión manométrica fue desarrollado porque casi todos los manómetros marcan
cero cuando están abiertos a la atmósfera. Cuando se les conecta al recinto cuya presión se
desea medir, miden el exceso de presión respecto a la presión atmosférica. Si la presión en dicho
recinto es inferior a la atmosférica, señalan cero.
Un vacío perfecto correspondería a la presión absoluta cero. Todos los valores de la presión
absoluta son positivos, porque un valor negativo indicaría una tensión de tracción, fenómeno
que se considera imposible en cualquier fluido. Las presiones por debajo de la atmosférica
reciben el nombre de presiones de vacío y se miden con medidores de vacío (o vacuómetros)
que indican la diferencia entre la presión atmosférica y la presión absoluta. Las presiones
42
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
absoluta, manométrica y de vacío son cantidades positivas y se relacionan entre si por medio
de:
, (para presiones superiores a la patm)
, (para presiones inferiores a la patm)
donde
= Presión manométrica
= Presión de vacío
= Presión absoluta
= Presión atmosférica
Tipos de manómetros
Manómetro de dos ramas abiertas
donde ρm y ρ son las densidades del líquido manométrico y del fluido contenido en el depósito,
respectivamente. Si la densidad de dicho fluido es muy inferior a la del líquido manométrico, en
la mayoría de los casos podemos despreciar el término ρgd, y tenemos
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Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Manómetro truncado
El llamado manómetro truncado (Figura 2) sirve para medir pequeñas presiones gaseosas, desde
varios torrs hasta 1 Torr. No es más que un barómetro de sifón con sus dos ramas cortas. Si la
rama abierta se comunica con un depósito cuya presión supere la altura máxima de la columna
barométrica, el líquido barométrico llena la rama cerrada. En el caso contrario, se forma un
vacío barométrico en la rama cerrada y la presión absoluta en el depósito vendrá dada por:
Obsérvese que este dispositivo mide presiones absolutas, por lo que no es un verdadero
manómetro.
En la industria se emplean casi exclusivamente los manómetros metálicos o aneroides, que son
barómetros aneroides modificados de tal forma que dentro de la caja actúa la presión
desconocida que se desea medir y fuera actúa la presión atmosférica. El más corriente es el
manómetro de Bourdon, consistente en un tubo metálico, aplastado, hermético, cerrado por un
extremo y arrollado en espiral (Figura 3). El extremo abierto se comunica con el depósito que
contiene el fluido cuya presión se desea medir; entonces, al aumentar la presión en el interior
del tubo, éste tiende a desenrollarse, y pone en movimiento una aguja indicadora frente a una
escala calibrada en unidades de presión.
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RESUMEN
Presión:
Se define como la fuerza que ejerce un líquido o un gas perpendicularmente a dicha
superficie por unidad de área.
Generalmente la presión se mide en atmósfera (atm); en el sistema internacional (S.I).
La presión se mide Newton por metro cuadrado, que al convertir a otra medida queda
1N/m^2= 1 Pascal (Pa).
Presión Relativa:
Es la diferencia entre la presión absoluta y la relativa.
Presión Relativa = P Absoluta - P Atmosférica
Presión Absoluta:
Es la suma de la presión atmosférica y la presión relativa
P. Absoluta = P. Atmosférica + P. Relativa
Presión Dinámica:
Se calcula como ( V/4005)^2 Pulg. C.A. V = pie/m
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Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
TEMA DE INVESTIGACION
¿Cuándo en una bomba centrifuga se presentarían presiones negativas y a que velocidades
ocurren. Averigüe si la cavitación es producida por efecto de la presión negativa?
En una bomba se originan presiones negativas a causa de la cavitación que es un fenómeno
producido al ser forzada una corriente a cambiar de dirección, donde la reducción en la presión
interna hace que los gases disueltos se expandan y se generen presiones negativas.
Fenómeno producido en una bomba centrífuga cuando ésta impulsa un caudal excesivo respecto
de su capacidad de succión.
La cavitación ocurre cuando la presión en la corriente del flujo alcanza la presión de vapor de
agua.
La presión es menor en el ojo del impulsor (entrada) .la región de presión que causa que la
burbuja de vapor se colapse podría estar ubicada inmediatamente después de la formación de la
burbuja de vapor o a alguna distancia agua debajo de la entrada al impulsor dependiendo de las
condiciones de presiones aguas abajo de un cuerpo móvil y el líquido con el cual está en
contacto (por ejemplo, la paleta de una hélice). Cuando la presión absoluta es inferior a la
presión atmosférica decimos que existe una depresión la cual sería una presión relativa.
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Fluye airea 4ºC y 1055 kg/cm2 de presión absoluta a lo largo de la superficie de terreno plano
con un perfil de velocidades mostrado en la figura y que tiene en la inmediata vecindad del
terreno sigue la siguiente ecuación: V=40y-856y3; donde y es el desnivel del terreno y el punto
en m. y V la velocidad en m/s determine el esfuerzo cortante sobre el terreno.
Esfuerzo cortante
= זu du
dy
Para que el aire fluya a’c y 1055 kg/cm2 entonces u = 5.73 x 10- 6 kg – 5/ m 2 a 4º c a la
presión atmosférica a nivel del mar; como la presión influye muy poco en la viscosidad se
puede tomar dicho dato.
2) Un tanque cerrado de acero rígido tiene un volumen de 5m3 ¿Cuántos kg de agua puede
contener el tanque a 150 kg/ cm2 de presión y 4ºc de temperatura
Para:
V = 5m3
P = 150 kg/ cm2 x 1002 cm2
1 m2
P = 15 x 105 kg/m2
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AV = - V. AP
Ev
AV = - 5 m3 x 15 x 105 kg/m2
2.1 x 108 kg/m2
AV = - 0.0357143 m3
3) Una válvula de mariposa de diámetro D= 1m, obtura un tubo con un ángulo θ=45º
respecto de la horizontal, para cerrar el paso del agua del recipiente A al B, calcular el
momento necesario para abrir la válvula (en el sentido contrario al de las manecillas del reloj),
considerando que el coeficiente de fricción es 0,2 en el pivote de diámetro 0.15m de la
válvula, el cálculo será para cada una de las condiciones siguientes.
D= 1m
d = 0.15m
u = 0.2m
a)
Para FR:
FR=ﻻ. h6 A
FR = 1000 kg/m2. 1.2 m x π12 . m2
4
FR = 300 π kg
48
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Para d:
d = Iy sen 45º
h6 . A
d = π. r4/4 sen 45
1.2 π.r2
d = r2 sen 45
4.8
d = 0.368 mº
Para la normal
FN = FR = 300 π
22º
FN = 150 π kg
Torque:
Torque total:
49
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Tr = 41.75 kg.m
De anterior:
d1 = 0.0368 m.
Para FR2 :
FR2 = ﻻ. h6 A
FR2 = 1000 kg/m3 2m π. 52m2
4
FR2 = 500 kg
Para d2:
d2 = r2 sen 45
8
d2 = 0.044 m
Al contrario de Fr1
TB2 = FR2 d2 = 500 π x 0.044 = - 69,115 kg. m.
Fpívote = Fs r = - 20π x 0.15 = - 4.71 kg.m
2
50
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Torque total:
Tr = - 39.145 kg.m
Para 1:
P= ﻻ. hH20
3 x 104 kg/m2 = 100 kg/m3 x hH20
hH20 = 30 m
Para 2:
Paceite = pH20
ﻻ. h = ﻻ.h
400(2) = 1000
h = 1.8m
Presión total:
PT = ﻻ. ht =100 kg/m3 ( 30 + 1.8 + 4) m
PT = 1000 kg/ m3 x 35.8m
PT = 35800 kg/m2
FR = P. A
FR = 35800 kg/m2 π (0.75)2 m2
FR = 35800 x 1.767 kg
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FR = 63263.8kg
Para la posición
d = IY sen θ
h6 x A
d = π r4 sen θ
35.8 π r4
d = 0.752 sen θ
35.8
d = 0.0157 m
d = 1.57 m.m
52
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ESTATICA DE FLUIDOS
1. DEFINICION
Estudia a los fluidos en reposo, ideales o reales, líquidos o gases, esto es sean
incomprensibles o comprensibles.
Si no hay movimiento, entonces no se manifiestan las fuerzas viscosas por lo que la
estática de los fluidos ideales a la estática de los fluidos reales y por consiguiente solo se
manifiestan las fuerzas normales; en otras palabras el estudio se limitara a la variación de
las presiones en el interior de una masa fluida en reposo.
o E y
G EJE Z
F
p
pdydx p dzdydx ρzdxdydz 0
z
x
De donde se obtiene:
53
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p
px- 0
x
p
py- 0
y
p
pz- 0
z
Estas ecuaciones son las ecuaciones fundamentales de la estate de fluidos que en forma
vectorial se escribe:
F grad p 0 ……………………..(55)
Si las ecuaciones (54) las multiplicamos respectivamente por dx, dy, dz y las sumamos se
obtiene sucesivamente.
p p p
Xdx ydy Zdz dx dy dz ………(56)
x y z
Xdx ydy Zdz dp ………………………..(57)
F ds dp ……………………………….(58)
Luego “la diferencia de presión entre dos puntos infinitamente próximos es igual al trabajo
que efectuaría la fuerza de volumen, relativa a la unidad de volumen, si se le hiciera seguir
a su punto de aplicación un camino cualquiera que una estas dos puntos”.
F 0 0
Entonces: “ La presión alrededor de un punto es la misma”
b) Variación de la presión en el interior de una masa fluida en reposo
En la ecuación (57) por unidad de masa se tendrá en este caso:
X = 0 ; Y = 0 ; z = -g
Luego :
dp gdz ………………………….. (59)
Aplicando esta ecuación aun fluido incompresible e integrando entre dos puntos se
tiene:
p o p z z o
……………………..(60)
z
54
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altura z z o se puede enunciara: “la diferencia de presión entre dos puntos de una
masa fluida en reposo es igual al peso de una columna fluida de área unitaria y de altura
igual a la diferencia de cotas entre dichos puntos”.
La ecuación (60) se puede también escribir:
po p
z o z cte
ó ……………………(61)
p o gz p gz cte
0
c) Principio de PASCAL
Tenemos la ecuación: p o p z z o
Si por procedimientos aumentamos la presión en una cualquiera de los puntos en una
cantidad Δ po por ejemplo; entonces deberá producirse un aumento de presión Δ p en el
otro punto, luego:
p o p o p p z z o
Para que esta ecuación siga siendo válida se deberá cumplir que p p o .
Luego: “Todo aumento de presión producido en un punto, se transmite íntegramente a
toda la masa fluida ”. Este es el principio PASCAL y tiene aplicaciones muy
importantes tales como en las prensa hidráulicas, sistemas hidráulicas de control, etc.
ρ z , gz
55
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R2
g go
R z 2
56
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h
z
F df
x G
x
Consideremos una placa de Superficie S sumergida en un líquido cuyo peso volumétrico
vale .Esta placa esta inclinada un ángulo “ ” respecto a la superficie libre horizontal
y su centro de gravedad “G” se encuentra a una distancia “h” del plano de carga (sup.
libre). Con fines de aplicación práctica es necesario conocer el valor de la fuerza “F”,
resultante de las acciones del fluido sobre la placa, así como su punto de aplicación. En
general este punto de aplicación se encuentra debajo de “G” y a una distancia “d” de
dicho punto.
Sobre un elemento de área ds actuara una fuerza “dF” la que dad por:
dF p.dS zdS
La resultante buscada “F” será la suma de todas las fuerzas elementales df:
F zdS
s
Pero por definición del centro de gravedad de la superficie “S”:
zdS S.h
s
Luego, podemos escribir:
F .S.h
El producto h tiene el significado de una “parte media” sobre la placa puesto que “h” es
la cota del centro de gravedad de la misma.
57
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
XdS 0 además X
Pero por definición del centro de gravedad: 2 dS I
y
s s
Esta ecuación puede analizarse para distintos valores del ángulo “α”.
El principio es el mismo, pues sobre cada elemento de superficie se ejerce una fuerza
elemental “dF” normal a este elemento. Se descompone esta fuerza elemental en 3
componentes según las tres ejes coordenadas.
Se obtiene así los componentes de la resultante por integración de los componentes
elementales. En consecuencia se calcularán las componentes Fx, Fy e Fz.
En resumen se obtiene:
a) “La componente Fx (ó Fy) sobre una pared S es idéntica (en resultante y línea de
aplicación) al empuje que se ejerce sobre la proyección Sx de esta pared sobre un
plano vertical yz, perpendicular a la dirección considerada”.
58
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
superficie libre. Esta componente pasa por el centro de gravedad de dicha columna
fluida.
Este resultado puede usarse para demostrar el principio de Arquímedes, que lo
haremos a continuación.
g) Principio de Arquímedes
Lo demostraremos a partir del cálculo de las fuerzas hidrostáticas sobre una superficie
alabeada. Consideremos una esfera.
Fv 2 Fv = Fv2 - Fv1
Fv1
B B
A C A
A C C
D D
b) c) d)
a)
En la figura a) solo se han considerado 2 fuerzas al mismo nivel y cutas componentes
horizontales se anulan, no así las verticales que s sumas, actuando hacia abajo en el
hemisferio ABC (fig. b), esta resultante es Fv1.
Para l hemisferio inferior ADC sucederá que la resultante también será vertical pero
dirigida hacia arriba (fig. c) Fv2 y de mayor magnitud que Fv1.
La resultante general será vertical e igual a la suma algebraica de estas dos fuerzas; ósea
Fv = Fv2 – Fv1
Pero esta diferencia es igual al peso del volumen líquido desalojado por la esfera; con
lo que hemos demostrado al principio de Arquímedes.
Si consideramos que la esfera tiene un peso W, entonces puede ocurrir:
Si Fv W el equilibrio de la esfera es estable
59
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Fv Fv Fv
G
M
M G
G
M
w W
W
a) b) c)
Definiciones
- Cuerpo flotante: es un cuerpo sólido que permanece en equilibrio mientras
parcialmente sumergida en un líquido, tal es el caso de un barco, una boya, etc.
- Plano de flotación: es el plano de la superficie libre del líquido sobre el cual flota el
cuerpo.
- Línea de flotación: Es la línea según la cual el plano de flotación corta la superficie
lateral del cuerpo flotante o flotador.
- Flotación: Es el área limitada, en el plano de flotación, por la línea de flotación.
- Centro de flotación: Es el baricentro de la flotación.
- Eje de flotación: Es el eje vertical que pasa por el centro de gravedad del barco y es
normal al plano de flotación.
- Carena: Es la parte sumergida del flotador. A menudo la palabra carena se usa para
designar el volumen de la parte sumergida.
- Desplazamiento: Es el volumen de la carena multiplicado por el peso volumétrico
del líquido.
- Centro de carena o centro de empuje: Es el centro de gravedad del volumen de
líquido desplazado.
- Empuje: Es la resultante de las fuerzas de presión sobre el flotador; es vertical hacia
arriba, pasas por el centro de carena y tiene una modulo igual al desplazamiento.
60
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o
G
G
c c'
c
MC GC 0 ………………..(69)
61
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z z
-a a
x x
F -g
a) b)
Sometamos al depósito a una horizontal constante “a” según el eje escogido “x”,
posición (b). en este caso instantáneamente la superficie libre, en principio horizontal,
adopta una inclinación como la mostrada. Nos proponemos encontrar la inclinación de
esta superficie por efecto de la aceleración.
Las componentes d la fuerza activa por unidad de mas será:
X a
Y0
Z g
dp adx gdz 0 ;
Debido a que sobre la superficie libre actúa la misma presión, la atmosférica en este
caso.
a
dz dx
g
a
z x cte ………………………(70)
g
las superficies de igual presión son perpendiculares al vector F
Consideremos un vaso vertical de radio “R” que contiene un líquido en reposo hasta una
altura h fig. (a). Si hacemos girar la vaso alrededor de su eje oz con una velocidad
angula una velocidad angular , una partícula situada a una distancia “x” de dicho eje
62
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z z
2
h z
o x o x
R -g
M
dx
x
a) b)
X 2x
Y0
Z g
Entonces:
dp Xdx Ydy Zdz
2 xdx gd 0
la traza de la superficie libre en el plano xoz tendrá por ecuación:
2 x 2
gz cte
2
Ecuación podrá escribirse:
2 x 2 c
z ………………………… (71)
2g
Para hallar la constante C escribamos que:
R
2x.dx.z R
2h
0
63
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
R 2x 2 c
R 2 h
2 x.dx
2g
0
R
2x.dx 2 x 2 cx dx R 2 h
g
0
2 R 4 cR 2
R 2 h
g 4 2
2R 2
c 2gh ………………………………(72)
4
Reemplazando (72) n (71) tendremos:
2x 2 2R 2
z h …………………………(73)
2g 4g
Analizando esta ecuación tendremos:
2R 2
a) Para x 0 zh
4g
2R 2
b) Para x R z h
4g
Con esto se ve que el descenso del vértice e igual al ascenso sobre los costados. En
otras palabras la maldición de esta variación, permitirá determinar la velocidad de
rotación .
z c) Para
R 2
zh x
R 2 2 2
R
2
4g La intersección del plano de la
2 2 superficie con la nueva superficie de
R
4g es un circunferencia de diámetro
R 2 que como se ve es
h independiente de la velocidad de
rotación .
o x
64
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Estos resultados obtenidos solo son válidos hasta el instante en el que el vértice del
paraboloide formado toca exactamente el punto “O”; si el fondo del recipiente se
descubre lo anterior no es válido.
La superficie libre y todas las superficies de igual presión son paraboloides de
revolución de eje oz.
Las fuerzas distribuidas resultantes de la acción del fluido sobre un área finita pueden
reemplazarse convenientemente por una fuerza resultante en lo que concierne a las
reacciones externas al sistema de fuerza. La magnitud de
la fuerza resultante y su línea de acción (centro de la presión) se determinan por integración,
por fórmula y usando el concepto del prisma de presión.
Una .superficie plana en posición horizontal dentro de un fluido en reposo está sujeta a una
presión constante. La magnitud de la fuerza que actúa en un lado de la superficie es:
Las fuerzas elementales pdA que actúan sobre A son todas paralelas y tienen el mismo
sentido; por tanto, la suma escalar de todos estos elementos representa la magnitud de la
fuerza resultante. Su dirección es
65
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
igual al momento del sistema de fuerza distribuida en torno a cualquier eje, por ejemplo el
eje y, en la cual x' es la distancia del eje y a la resultante. Ya que p es constante,
en la que x es la distancia al centroide del área. Por tanto, para un área horizontal sujeta a
la presión estática del fluido, la resultante pasa a través del centroide del área.
En la figura 2.11 se representa una superficie plana por su trazo A'B'. Está inclinada ° con
respecto a la horizontal. La intersección del plano del área y la superficie libre se toma
como el eje x. El eje y se toma en el plano del área, con origen O, como se muestra en la
superficie libre. El plano xy describe el área inclinada arbitrariamente. Se buscan la
magnitud, dirección y línea de acción de la fuerza resultante debida al líquido, que actúa
sobre un lado del área.
Para un elemento con área 6A tal como una tira de grosor 6y con largas orillas que forman
un ángulo 6 con la horizontal, la magnitud de la fuerza F que actúa sobre él es
………. (1)
Ya que todas estas fuerzas elementales son paralelas, la integral sobre el área produce la
magnitud de la fuerza F que actúa sobre un lado del área.
………. (2)
con las relaciones de la figura 2.11: y sen h y PG h es la presión en el centroide del
área. En palabras, la magnitud de la fuerza ejercida sobre un lado de un área plana
sumergida en un líquido es el producto del área y la presión en su centroide. Debe notarse
que, en esta forma la presencia de una superficie libre es innecesaria. Se puede usar
cualquier medio para determinar la presión en el centroide.
El sentido de la fuerza es tal que empuja contra el área si PG es positiva. Como todos los
elementos de fuerza son normales a la superficie, la línea de acción de la resultante
también es normal a la superficie. Cualquier superficie puede rotar en torno a cualquier eje
a través de su centroide sin cambiar la magnitud de la resultante si el área total permanece
sumergida en el líquido estático.
66
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
………………… (3)
………………… (4)
……………….... (6)
67
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
…………. (7)
………….. (8)
Cuando cualquiera de los ejes centroides x x o y y es un eje de simetría para la
superficie, I xy desaparece y el centro de presión cae sobre x x . Ya que I xy puede ser
positivo o negativo, el centro de presión puede caer en cualquier lado de la línea x x .
Para determinar y p por fórmula, con las ecuaciones (2) y (6),
…….. (9)
……………………. (10)
……………………. (11)
68
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
………………………… (12)
……………………….. (13)
Que muestra que x p y y p son distancias al centroide del prisma de presión. Por tanto, la
línea de acción de la resultante pasa a través del centroide del prisma de presión.
Para algunas áreas simples el prisma de presión es más conveniente que la integración o la
fórmula. Por ejemplo, un área rectangular con una orilla en la superficie libre tiene un
prisma en forma de cuña. Su centroide está a un tercio de la altura desde la base; por tanto,
el centro de presión está a un tercio de la altura desde su orilla inferior.
69
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
tres direcciones mutuamente perpendiculares se suman como escalares y luego las tres
componentes se suman vectorialmente. Con dos componentes horizontales en ángulos
rectos y con la componente vertical todas fácilmente calculadas para una superficie curva
se puede determinar la resultante. Las líneas de acción de las componentes también se
determinan fácilmente.
70
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
ya que cos c negativo. De aquí, con la presión igual en cada extremo del cilindro.
La componente vertical de la fuerza depresión sobre una superficie curva es igual al peso
del líquido situado verticalmente por arriba de la superficie curva y que se extiende hasta la
superficie libre. La componente de la fuerza vertical sobre una superficie curva se puede
determinar sumando las componentes verticales de la fuerza de presión en áreas
elementales A de la superficie. En la figura 2.20 se muestra un elemento de área con la
fuerza pA actuando normal a él. Sea el ángulo que la normal al elemento de área hace
con la vertical. Entonces la componente vertical de la fuerza que actúa en el elemento de
área es p cos A , y la componente vertical de la fuerza en la superficie curva está dada
por
………………… (15)
71
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
………………………. (16)
…………………. (17)
Cuando el líquido está abajo de la superficie curva (Fig. 2.21) y se conoce la magnitud de la
presión en algún punto, por ejemplo O, una superficie libre equivalente o imaginaria s-s se
puede construir p/y unidades arriba de O, de tal manera que el producto ce peso específico y
distancia vertical a cualquier punto en el tanque es igual a la presión en el punto. El peso del
volumen imaginario de líquido situado verticalmente; por arriba de la superficie curva es
entonces la componente vertical de la fuerza de presión sobre la superficie curva. En la
construcción de una superficie libre imaginaria, el líquido imaginario debe tener el mismo peso
especifico que el líquido en contacto con la superficie curva; de lo contrario, la distribución de
la presión sobre !a superficie no estará correctamente representada. Con un líquido imaginario
arriba de una superficie, la presión en un punto de la superficie curva es igual en ambos lados,
pero las componentes elementales de fuerza en dirección vertical tienen signo opuesto. Por lo
tanto, la dirección de la componente de fuerza vertical se invierte cuando un fluido imaginario
está arriba de la superficie. En algunos casos un
líquido confinado puede estar arriba de la superficie curva, y un líquido imaginario
debe sumarse (o restarse) para determinar la superficie libre
La línea de acción de la componente vertical se determina al igualar los momentos de las
componentes verticales elementales con respecto a un eje conveniente, con el momento de la
fuerza resultante. Con el eje en O (Fig. 2.20),
72
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Correspondiendo entonces x a la distancia al centroide del volumen. Por tanto, la línea de acción
de la fuerza vertical pasa a través del centroide del volumen, real o imaginario, que se extiende
arriba de la superficie curva hasta la superficie libre real o imaginaria.
EJEMPLOS
3.1. La puerta triangular CDE (Fig. 2.12) está engoznada a lo largo de CD y se abre por una
fuerza normal P aplicada en E. Arriba de ella se guarda aceite de S = 0.80, y se abre a la
atmósfera en su lado inferior. Despreciando el peso de la puerta, encuéntrese:
(a) la magnitud de la fuerza ejercida en la puerta por integración y por la ecuación (2).
{b) la ubicación del centro de presión;
(c) la fuerza P necesaria para abrir la puerta.
73
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
3.2. Una barrera cilíndrica detiene agua como se muestra. El contacto entre el cilindro y la
pared es liso. Considérese una longitud de cilindro de 1 m, determinar (a) su peso y (b) la
fuerza ejercida sobre la pared.
74
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Solución:
(a) Para que haya equilibrio, el peso del cilindro debe ser igual a la componente de fuerza
vertical ejercida sobre él por el agua. (La superficie libre imaginaria para CD está a la
elevación A.)La fuerza vertical sobre BCD es
(b) La fuerza ejercida sobre la pared es la fuerza horizontal sobre ABC menos la fuerza
horizontal sobRe CD. Las componentes de fuerza horizontales sobre BC y CD se
cancelan; la proyección de BCD en un plano vertical es cero. Por consiguiente,
Para encontrar reacciones externas debidas a las fuerzas de presión, la acción del fluido
puede reemplazarse por las dos componentes horizontales y una componente vertical que
actúan a lo largo de sus líneas de acción.
3.3. Se tiene una compuerta para regular el caudal de un canal. La altura de agua al frente de la
compuerta es de 1.5m.despreciando las fuerzas por fricción y la componente del peso, calcular
la fuerza sobre la compuerta debido la descarga del fluido bajo esta cuando presenta una
abertura de 30 cm.
75
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Fp1 Fp2
þqv2
þqv1 F de friccion
1 2
De la ecuación d continuidad; Q1 Q2
A1V1 A2V2
h
V2 1 v1 ………………………(2)
h2
Q
Además: V1 5 / 3.5 1.43m / s reemplazando en (2)
A
V2 1.5 1.43 en…..(1)
h2
1.5 2
1.5 h2 2 *1.432 / 19.6 h2 0.48m V 2 4.5m / s
h2
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H1 1.5m
H 2 0.48m
F 787.13Kg
v2n2 v2n2
Sf …………… Hf *L
Rh 4 / 3 Rh 4 / 3
V=velocidad media
n= coeficiente de fricción de maninge
L=longitud de tramo del canal
Rh=radio hidráulico =A/P
A = (1.50) (2.33) = 3.50
P = (2)(1.50) + 2.33 =5.33
RH 0.66
RH4 / 3 0.57
n = cemento liso = 0.01(consideración del libro del Dr. Carrasco)
V = 4.5 m/s
77
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
GRAFICO F = y(∆x)
-785.9980
∆x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-785.9982
-785.9986
-785.9988
-785.9990
-785.9992
-785.9994
-785.9996
F
-785.9998
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Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
SEGUNDA UNIDAD
CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
INTRODUCCIÓN
Finalmente, para que un cuerpo flote, la condición que se debe cumplir es que el empuje cuando
todo el cuerpo está sumergido sea mayor que el peso, lo que se traduce en que la densidad de
éste debe ser menor que la densidad del líquido.
Para el estudio de la estabilidad de un cuerpo flotando, hay que considerar un nuevo factor que
se relaciona con los momentos que se generan sobre el cuerpo cuando éste sale de su posición
de equilibrio. Por lo tanto, se hará el análisis de los momentos en torno a su eje de rotación. Los
giros en un cuerpo sumergido parcialmente se producen en torno al eje, O, que atraviesa el
plano de flotación y que se encuentra en la vertical que pasa por G. Se entiende por plano de
flotación a la intersección de la superficie libre del líquido en el sólido.
79
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
En primer lugar, para que un cuerpo sumergido se encuentre en una condición de equilibrio con
respecto al giro es necesario que el centro de gravedad y el de carena se encuentren ubicados en
el mismo eje vertical, dado que, si no existen fuerzas externas al empuje y el peso, los brazos de
aplicación de los momentos generados en torno a O son nulos.
Considerando los tres puntos de importancia, O, G y C, es posible distinguir tres
configuraciones que dependen de las posiciones relativas entre los puntos. La primera
corresponde aquella en que el C se encuentra por sobre G, por consiguiente ambos sumergidos.
La segunda es aquella en que G se encuentra sumergido y sobre C, finalmente la tercera
posibilidad es cuando G se encuentra sobre la superficie libre del líquido.
Supongamos que el cuerpo se encuentra flotando en una posición de equilibrio y sale de ésta por
una rotación infinitesimal en torno a O. Se obtiene que, al ser infinitesimal el giro, la fuerza de
empuje sigue siendo igual al peso, pero el centro de carena se desplaza de C a C’.
Es fácil ver que los dos primeros casos son estables, por lo tanto, sólo quedaría por analizar el
caso en que el centro de gravedad se encuentra sobre el plano de flotación. Para éste se pueden
dar las 3 situaciones que se muestran a continuación:
80
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Finalmente en el tercer caso (figura 4), el metacentro se encuentra sobre el centro de gravedad.
Al igual que en la segunda situación, el momento del empuje y del peso son restituyentes y de
volteo respectivamente, pero el brazo de aplicación del empuje es mayor que el del peso, por lo
tanto el momento restituyente es mayor que el de volteo, es decir el cuerpo volverá a su posición
de equilibrio haciendo que el equilibrio sea estable.
Es fácil ver que, para que el cuerpo sea estable, la distancia que existe entre el centro de carena,
cuando el cuerpo está en equilibrio, y el metacentro debe ser mayor que la que existe entre el
centro de gravedad y C. Por otro lado, es demostrable que la distancia CM es igual a I/VC,
donde I es el momento de inercia del plano de flotación en torno al eje de rotación y VC, el
volumen de carena cuando el cuerpo se encuentra en equilibrio.
Principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un
empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado, y cuyo punto de aplicación es
el centra de gravedad del volumen de dicho fluido
La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras:
El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y
dimensiones.
Empuje=peso= f·gV
81
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Ejemplo:
Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área
de la base del cuerpo es A y su altura h.
La presión debida al fluido sobre la base superior es p1=ρfgx, y la presión debida al fluido en la
base inferior es p2=ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la
altura, está comprendida entre p1 y p2.
Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas
sobre el cuerpo son las siguientes:
Peso del cuerpo, mg
Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A
Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A
En el equilibrio tendremos que
mg+p1·A= p2·A
mg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A
O bien,
mg=ρfh·Ag
El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de empuje ρfh·Ag
82
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte
superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido. El principio de Arquímedes se
enuncia en muchos textos de Física del siguiente modo:
Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una
fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección hacia arriba y su magnitud
es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo
FLOTACION
Un cuerpo flota cuando se sumerge parcialmente en un líquido hasta desplazar un volumen igual
a su peso.
Para que un cuerpo flote, es necesario que el centro, de flotación esté por debajo del CG del
cuerpo.
Para que halle equilibrio y flotación estable, es metacentro de estar por encima del CG del
cuerpo.
METACENTRO:
Es la posición límite que tiende a ocupar la intersección de la recta formada por el, CG y el CF
primitivos con la recta formada por el nuevo centro de f'lotaci6n CF' cuando el Angulo tiende a
cero
Distancia Metacéntrica:
CG MC
I = menor momento de inercia de la Superficie de la intercépci6n líquido-sólido
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Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Tenemos un fluido X con su respectiva densidad, en el cual depositamos por ejemplo un cubo
compuesto de material Y también con su respectiva densidad. Con lo que sabemos hasta este
momento podemos concluir que el cubo se desplazara hasta el fondo del recipiente que contiene
al fluido X si y solo si la densidad del material del cual está compuesto nuestro cubo es mayor a
la densidad del fluido Y. Claro siempre y cuando el cubo no tenga nada que le impida llegar
hasta el fondo. Esto sucede porque nuestra ecuación de Empuje se nos convierte en:
Empuje - W = (ρfluidoX - ρcuboY)gV cubo **Resultado Negativo
La Interpretación de esta ecuación puede ser la siguiente: “Si el peso de cuerpo es mayor que el
Empuje, la resultante de las fuerzas estará dirigida hacia abajo y el cuerpo sé hundirá”
Este segundo caso es posible analizarlo principalmente cuando observamos lo que les sucede a
los globos que contienen un fluido de densidad X que son utilizados para la observación de
nuestra atmósfera. En un inicio el
globo estando en tierra experimenta un proceso con el cual se logra la disminución de la
densidad de dicho fluido (por ejemplo el calentamiento), con lo cual conseguimos su elevación.
Pero alguien puede hacerse la pregunta ¿Si el globo inicia su ascenso, cuando se detiene?, la
respuesta es sencilla si consideramos que el aire a medida se alcanza una mayor altura se vuelve
menos denso, el globo dejara de subir hasta que ambas fluidos: el que compone el globo y el
aire externo desplazado, pesen lo mismo.
La conclusión de este caso es la siguiente: “Si el peso del cuerpo es igual al Empuje, la
resultante será nula y el cuerpo sé mantendrá en equilibrio dentro del fluido.”
84
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Resulta que si por ejemplo tenemos el Caso 3 (Cuerpos que Flotan), y el cuerpo en cuestión se
encuentra como nuestro cubo en la figura (en equilibrio), y aplicamos una pequeña fuerza en la
cara inferior del cubo dirigida hacia arriba. Por acción y reacción el cubo ejercerá una fuerza
igual a la que siente intentando recuperar su estado anterior. Igual sucedería si la fuerza aplicada
estuviera en la cara superior del cubo, en este caso quien intentaría regresar a su posición
anterior seria el fluido. A este resultado se le conoce como “Estabilidad lineal”.
Pero sucede de manera diferente, cuando el desequilibrio se intenta con un ángulo distinto de
90º con respecto a la superficie del cubo. En este caso se generaran pares de fuerzas que al igual
que en la “Estabilidad Lineal” intentaran regresar al cuerpo a su estado anterior. Esto se conoce
como “Estabilidad Rotacional”
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. En un vaso de agua un pedazo de hielo. ¿Cómo cambia el nivel del agua en el vaso
cuando el hielo se derrite? Analizar los siguientes
Casos:
El hielo es completamente homogéneo.
En el hielo se encuentra una piedra fuertemente adherida.
Dentro del pedazo de hielo hay una burbuja de aire.
Solución
Como el pedazo de hielo flota, el peso de toda el agua desplazada por este es igual al peso del
propio hielo o del agua recibida de este. Por eso el agua que se forma Después del deshielo
ocupara un volumen igual al volumen de la parte hundida del pedazo de hielo y por consiguiente
el nivel del agua no cambia
85
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Vhielo sumergido =
Hielo.Vhielo
…………………..(1)
agua
Vhielo derretido =
Hielo.Vhielo
agua
El volumen de la parte sumergida del pedazo de hielo con la piedra es mayor que la suma de los
volúmenes de la piedra y el agua que se obtiene despues del deshielo. Por lo .tanto el nivel. del
agua en el vaso se descenderá.
El peso del agua desplazada es igual al peso del hielo (el peso del aire en una burbuja puede
despreciarse). Por eso igualmente como en el caso (1) el nivel del agua no cambiara.
2. Una tabla que tiene uno de los extremos fuera del agua se apoya en una Piedra que a su vez
sobresale del agua. La tabla tiene una longitud L. Una parte de la tabla de longitud “a” se
encuentra sobre el punto de apoyo .Ver figura. ¿Que parte de la tabla esta hundida si el peso
especifico de la madera es ?
86
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Solucion:
E1 = S.x. 0 ………………………….(2)
P = S.l. ……………………………(2)
(2) en (1)
X = (l-a) - (l a ) 2 ( / 0 )(l 2a )l
X = (l-a) - (l a ) 2 ( / 0 )(l 2a )l
3. Un globo cilíndrico de longitud L y radio r lleva una barquilla de peso W enlazada al globo con
2n cables. Determinar la presión mínima p del gas para que el globo permanezca
perfectamente hinchado. Ver figura
87
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Solución:
F1 = p(2r.L) = 2prL
F1 = F2
2prL = 2.Sn
pero: 2Sn.cos =W
W
P
2rL cos
88
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Solución:
2
P P 1 W W
. at at2 ( Pat )( .g.h )
2 2 n A A
P P 1 W W
F A at ( at ) 2 ( Pat )( .g.h W
2 2 n A A
5. Un cono hueco es forzado dentro del agua hasta la posición mostrada en la figura, mediante
una fuerza F. Desarrollar las ecuaciones necesarias para poder determinar "e". Despreciar el
peso del cono y el espesor de sus paredes establecer las hipótesis necesarias.
89
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Solución:
1 a2
En un instante antes de sumergirse: P0 ( .h) c ………………….(1)
3 4
Luego de sumergirse:
1 s 2
P0 (e x))( . .(h x)) c ………………(2)
3 4
a(h x)
dónde: s , y finalmente
h
Por equilibrio:
F = Empuje
. .(e x)
F ( s 2 sm m 2 ) …………………………..(3)
12
dónde:
a ( h e)
m
h
6. Un buque que flota en equi1ibrio, es cargada con (10,250 kgf), lo que hace que este se sumerja
4 cm. Hal1ar 1a superficie de flotación sobre el nivel del mar ( AGUADEMAR = 1,025 kg /m3)
Solución:
90
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Datos:
Luego:
Este volumen sumergido debe ser igual a : V=Superfície x h
Como se sumerge h=4cm=0.04cm
V 10
Superficie
h 0.04
7. Si una bola de acero pesa en el aire 12 kg. ¿Cuanto pesara en el agua? Densidad del acero=7.8
Solución:
Se sabe que el peso específico relativo de un so1ido sumergido en un líquido, es igual al
cociente entre su peso en el aire y la pérdida de peso.
P
1
P P´
12,000
7.8
12,000 P´
12,000 x7.8 12,000
P´
7.8
91
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Solución:
Cuando la bola se encuentre en el agua hay una fuerza resultante R que tiende a bajar al cuerpo:
R = Peso de la bola - Empuje hidrostático
mg 1
O sea: .ma m.g . mg (1 )
2.4 2.4
1
Simplificando: a g (1 ) 9.8(5.9)
2.4
Con esta aceleración vertical, recorre un espacio vertical de 8m., luego como:
at 2 2x8
e , t , t = 1.66 seg.
2 5.78
Como la velocidad de la corriente es constante e igual a 3 m/s. , la bola recorrerá una distancia:
x v.t 3(1.66) 4.98m
De donde: 3
1
1 2 0.9 gr3
2 cm
92
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
DEFINICION
Estudia el movimiento de los fluidos sin considerar las fuerzas que entran en juego; en otros
palabras estudia la forma del movimiento.
METODOS DE ESTUDIO
Pueden utilizarse dos métodos diferentes que dependen de la acción de las variables adoptados.
Estos métodos son el de Lagrange y el Euler.
Variable de Lagrange:
son las coordenadas x, y, z de una partícula en el interior “t” con respecto a un sistema de de
ejes cartesianos Ox, Oy, Oz. El movimiento de la partícula es dos iniciales en el instante “to”.
Se denomina “trayectoria” al lugar geométrico de las posiciones de la partícula en el transcurso
del tiempo.
Variables de Euler:
Son las proyecciones u, v, w del vector velocidad V de la partícula que pasa por un punto M(x,
y, z) en el instante “t”.
El método de Euler es más cómodo porque para los elementos más importantes en la práctica
(movimientos permanentes), u, v, w son independientes del tiempo y además los vectores
velocidad forman un campo al que se le aplican todos las propiedades de los campos vectoriales.
Línea de corriente:
Es una línea tangente en todos sus puntos al vector velocidad. En general el vector velocidad es
función del tiempo, por consiguiente las líneas de corriente se deforman con este y no las
trayectorias.
La ecuación de las líneas de corriente la obtendremos comparando la definición que hemos dado
para la línea de corriente con la interpretación geométrica de la derivada.
y y
T T
línea de
y = f(x) corriente
v
dy
dx
x x
93
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
La figura (a) nos indica, según un teorema muy conocido del calculó diferencial que el valor de
la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de tangente a la curva en
dicho punto.
La figura (b) por la definición de línea d corriente, nos indica que el vector de componentes u,
v, está sobre la tangente T al pinto P; entonces, por semejanza se triángulos tendremos:
dx dy
u v
En el espacio, la ecuación de líneas de corrientes será:
dx dy dz
u v w
En la “w” es la componente del vector V sobre el eje z.
Tubo de corriente:
Línea de emisión:
Es el lugar geométrico, en el instante “t”, de las partículas fluidas que en un instante pasaron por
el punto O.
1 2
3 1, 2, 3, son trayectorias.
4, 5, son líneas de emisión.
5
t+dt
o
4
t
94
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Se denomina circulación del vector V a la largo de la curva (C) cuyo elemento de arco es ds, a
la integral curvilínea del producto escalar V, ds, es decir:
v
B
D
ds
(C)
E
A
y
AB V.ds udx vdy wdz d B A x
dx
y
y
z
z
AB AB AB AB
95
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
u ; u ; u
x y z
Luego:
V grad
Es un flujo con potencial de velocidades, en un instante dado, el vector de velocidad es, en todo
punto, perpendicular a la superficie equipotencial ø (x, y, z) = cte que pasa por ese punto. En
consecuencia las líneas de corriente las coordenadas polares, r, :
v
AB Vr.dr V dl B A d r
r V
AB Vr
Identificando términos:
Vr .dr r ; V .rd r
r
1 x
Vr . ; V
r r
V
z
Vr
1
Vr ; V ; w
r r z
R
En este caso:
x r cos ; y rsen ; z z
y
z
r
V
x
M
Vr
96
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
V 0
Por consiguiente para los flujos potenciales son conservativas puestos que es cumplen las
condiciones necesarias y suficientes:
V 0 ; V
Flujos permanente: Son aquellas en los que los parámetros que los definen son independientes
del tiempo. Estos parámetros son: la v4elocidad (3 componentes), la masa volumétrica “ ”, la
presión “p” y la temperatura (T) y solo serán función de las coordenadas x, y, z. En este caso las
líneas de corriente son curvos fijas y se confunden con las trayectorias y con las líneas de
emisión.
Flujos bidimensionales: Cuando el flujo depende solo de dos coordenadas. Estos flujos
pueden ser a su vez:
Flujo plano: En los que la velocidad en un instante “t” es en todos los puntos paralela a un plano
fijo.
Flujos de revolución: Alrededor de un eje “O” que se definen íntegramente estudiando en un
semi-plano meridiano limitado por el eje “O”
Fuente: Es un punto en el espacio del cual sale un fluido con un gasto constante.
97
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
g m VndS v
s
Gasto en volumen o volumétrico: A través de una superficie S es el valor
n
g w VndS
s
Vn
S
ds = elemento de superficie
ds = mas volumétrica ds
n = normal al elemento dS
Vn = componente normal de V respecto a dS.
dV d 2 r
a
dt dt 2
En la que
r xi yj zk
dx dy dz
V i j k
dt dt dt
V ui vj wk
Luego:
d2x d2y d 2z du dv dw
a i j k ó a i j k
dt 2 dt 2 dt 2 dt dt dt
Donde x (t), y (t), z (t), son las coordenadas de la partícula fluida o componentes del vector
posición; u, v, w son las componentes del vector velocidad; i, j, k son los vectores
unitarios.
Derivada substancial
El operador general de una derivada substancial es:
D
u v w
Dt t x y z
La derivada substancial puede expresarse para cualquier cantidad que sea por ejemplo tanto
del tiempo como de su posición en el espacio; tal es el caso por ejemplo del vector velocidad,
por lo que de una manera general podemos escribir:
98
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
DV V V V V
a u v w
Dt t x y z
Q
aceleracion. local aceleración convectiva
1
a
DV V
Dt
t
V. V
ECUACION DE CONTINUIDAD
Caso general
La ecuación de continuidad expresa el principio de conversión de la masa. Para
obtenerla consideremos dentro de un fluido continuo en movimiento, sin fuentes ni sumideros,
un paralelepípedo fijo elemental de todos dx, dy, dz.
99
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Por otro lado, la masa contenido por el paralelepípedo elemental en el instante t es: dx dydz.
La variación de esta masa es en consecuencia, en un tiempo dt:
dm dxdy.dz.dt
t
De donde obtenemos:
u v w
t x y z
Esta ecuación es conocida como ecuación de continuidad, que puede adoptar también formas:
100
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
t
div V 0
.V 0
t
Debe cumplirse: 0 ; luego :
t
0
x x y y z z
2 2 2
0
x 2 y 2 z 2
2
Laplaciano o o 0
101
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
En el caso general del movimiento de un fluido, todo el elemento de volumen de este cambia de
posición, de forma y de orientación.
Para conocer estas variaciones consideremos los puntos P de coordenadas x, y, z y P’ de
coordenadas x +a; y + b; z + c muy próximas en una masa fluida en movimiento.
Si u, v, w son las componentes de la velocidad V en el punto P y u’, v’, w’ las componentes de
la velocidad V' en el punto P’; podremos escribir, despreciando los infinitamente
pequeños de orden superior:
u u u
u ' u x a , y b, z c u a b c
x y z
v v v
v' vx a , y b, z c v a b c
x y z
w w w
w ' w x a , y b, z c w a b c
x y z
Ahora demos a estas ecuaciones otras formas, de manos tal que aparezcan las proyecciones en
x, y, z del rotacional de V . Tomemos la primera de las ecuaciones la que se podrá escribir
u 1 u 1 u 1 v 1 v 1 w 1 v 1 u 1 u
u' u a b b b b c c c c
x 2 y 2 y 2 x 2 x 2 x 2 x 2 z 2 z
102
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1 w v u w w 1 u w 1 v w
w' w b a c a b
2 y z z x z 2 z x 2 z y
1 w v 1 u w 1 v u
; ;
2 y z 2 z x 2 x y
Igualmente llamemos:
1 w v 1 u w 1 v u
1 2 y z ; 2 2 z x ; 3 2 x y
103
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
w
a a 2 b 1 3
z
u v v
, , son velocidades de deformación lineal o velocidad de dilatación
x y z
x 1, 2 , 3 son velocidades de deformación angular.
104
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
v + dv dz A
dz
X
T
dz
v E F
dy
x
w
w + dw dy
dy
El signo es porque el giro de T1 estaría indicado por un vector sobre el eje x pero de sentido
negativo (según la regla del sacacorchos).
En forma similar, si T2 es la velocidad angular, la velocidad angular media respecto al eje x,
se tendrá:
w
T2
y
Entonces por lo manifestado al inicio de este acápite, la velocidad angular media respecto al eje
x será Tx:
T T2 1 w v
Tx 1
2 2 y z
105
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
1 u w
Ty
2 z x
1 v u
Tz
2 x y
Luego:
1 w v u w v u
T i j k
2 y z z x x y
1 1
T V rot V
2 2
a
DV V
Dt
t
V. V
También podemos escribir:
a
DV V
DT
t
V. V
En la que:
V 1
a V 2 2T V
t 2
o también:
a
V 1
V 2 V V
t 2
Estas últimas expresiones de la aceleración las utilizamos mas adelante para la demostración
del teorema de Bernoulli, en movimiento irrotacional. En este último caso se tiene:
V 1
a V 2
t 2
106
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
CONCEPTO
El método que se emplea para deducir estas ecuaciones es el método de Euler, que consiste en lo
siguiente:
1.- Adoptar una porción fija del espacio dentro del seno del fluido de forma y tamaño
constante. Esta porción de espacio se llama volumen de control y su delimitación superficie de
control.
2.- escoger una porción de masa fluida de modo que en un instante dado coincida con el
volumen de control. Esta porción de masa se llama sistema y su delimitación contorno.
3.- considerar la coincidencia en un instante t, el sistema desplazado un dt después aplicarle los
principios de la mecánica.
Las ecuaciones que se deducen a continuación son aplicables a los fluidos reales, de manera que
rigen tanto para flujo laminar como para flujo turbulento y tanto para flujo rotacional como
irrotacional.
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
vc s
vc
t
t + dt
Formulación general:
mvc.....masa en el volumen de control en el momento t.
mvc(t + dt)…….masa en el volumen de control en el momento t + dt.
dms... masa que ha salido del vc en el intervalo dt.
dme.... masa que ha entrado en el vc en el intervalo dt.
La masa en el sistema permanece invariable:
107
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
dm ∂ ∂ρ
------ = ----- ∫ ρd vo = ∫ --- d vo
dt ∂t vcvc ∂t
dA
dA
& v
sc sc
&
En el segundo miembro:
Donde
--------- = ∫ ρ v cos α d As ------- = -∫ ρ cos α d Ae
dt As dtAe
Reemplazando en 1:
∂ρ
∫ ----- d vo = ∫ ρ v .dA ……………2
vc ∂ sc
∫ ρ v .dA = 0 .................3
sc
108
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
v2
dA2
dA1
v1
Para un tubo de flujo, como el fluido no atraviesa las paredes solo quedan las áreas extremas,v2
dA2 –ρ1 v1 dA1 = 0
Para una tubería o canal se puede considerar que el flujo esta conformado por un conjunto de
tubos de flujo, de modo que se puede usar en cada sección una ρ constante y una velocidad
media también constante:
ρ 1 v1 A1 = ρ2 v2 A2......... 5
Q = A1 V1 = A2 V2 = Cte.............. 7
109
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Que es la forma mas simple de la ecuación de continuidad en flujo unidimensional, muy útil en
problemas de tuberías y canales.
Leyes fundamentales:
- E1 movimiento del fluido debe cumplir con las siguientes leyes fundamentales de la
naturaleza:
- Ley de conservación de la masa. La masa no se crea ni se destruye, solo se transporta o
almacena.
- Las leyes de Newton del movimiento.
1.- Una masa permanece en reposo o en movimiento a velocidad constante, a menos que actúe
sobre ella una fuerza.
2.- La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proporcional a la
fuerza neta que actúa sobre ella.
3.- Cualquier acción de una fuerza tiene una fuerza de reacción igual en magnitud y contraria
en sentido.
- La primera ley de la Termodinámica o ley de conservación de la energía. La energía no se
crea ni se destruye, solo cambia de forma, se transporta o se almacena.
- La segunda ley de la termodinámica o ley de degradación de la energía. La cantidad de
energía permanece constante pero su calidad se va degradando en cada proceso natural.
Leyes de las relaciones entre propiedades. Como las leyes de estado, relaciones constitutivas,
como la ley de viscosidad de Newton, Ley de conducción de Fourier, Ley de Fick de la
difusividad etc
(dP / dt) sistema = (p *( *
superfície control
v * dA)) + / t * (p * * dV)
volumen control
110
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Siendo:
- v, la velocidad normal a la superficie del volumen de control, del fluido que la atraviesa.
- dA, diferencial de área.
- dV, diferencial de volumen.
- t, tiempo.
Combinando las leyes fundamentales, con el método de volúmenes de control finito, nos
proporcionan tres ecuaciones de trabajo que son el fundamento de análisis de cualquier flujo.
111
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
La ecuación de la energía.
W VC Q
Q-W=
E
VC
112
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
dW
W
La potencia de trabajo es: dt (w, S.I.)
La energía del sistema es:
c2
E sistema = ( * (u +
v
2
+ z *g) dV)
c2
Esistema V * u 2 g * z * dV
esistema
m *V
Sustituyendo, obtenemos, el primer principio de la termodinámica, para sistemas cerrados:
c2
d * u g * z * dV
VC
W
Q
2
dt
- Trabajo en el eje: Se transmite por medio de un eje giratorio, tal como el de una bomba o una
turbina. Este trabajo se realiza a por medio de esfuerzos cortantes en el eje. Lo podemos calcular
de la siguiente manera:
La Velocidad de transferencia de trabajo en el eje es igual al par de torsión del eje multiplicado
por su velocidad angular.
= M *
Weje
El par de torsión del eje se calcula integrando el esfuerzo cortante sobre la sección transversal
del eje, así:
cje = *
W ( * r *dA)
A eje
- Trabajo realizado por los esfuerzos cortantes: Se realiza por medio de esfuerzos cortantes
en el fluido que actúan sobre las fronteras del volumen de control, se evalúa con el producto del
esfuerzo cortante, el área y; la componente de la velocidad del fluido en la dirección de la
fuerza cortante:
113
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Wcor * dFcor )
(
Avc
v *( * dA))
(
Avc
v
Por lo que:
Wflujo = (p * v n *dA)
Ac
114
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Siendo:
v : Vector velocidad.
m: Masa.
V: Volumen.
Por otra parte la fuerza resultante ( F ), incluye las fuerzas de superficie y másicas que actúan
sobre el sistema:
F Fm Fs
Aplicándolo a la formulación de sistemas y volúmenes de control.
(dP / dt )sistema (v *( * v * dA)) t
sup erficiedeccontrol
v * * dV
volumencontrol
Esta ecuación establece que la suma de todas las fuerzas (de superficie y másicas), que actúan
sobre un volumen de control no acelerado, es igual a la suma de la relación de cambio de
momento, dentro del volumen de control, más la relación neta de flujo del momento que sale a
través de la superficie de control.
Definición y conceptos:
115
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
116
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
forzada.
Corrientes con superficie libre son aquéllas en las que parte de la
sección transversal está en contacto con la atmósfera. Es el caso de los
canales.
En las corrientes a presión o conducciones forzadas todo el contorno
está mojado, es decir, funcionan a plena sección, y el movimiento del líquido se
debe a la presión reinante en su interior, pudiendo presentar, por tanto,
pendientes y contrapendientes.
LINEA DECORRIENTE:
Es una línea tangente en todo sus puntos al vector velocidad. En general el vector velocidad es
función del tiempo, por consiguiente las líneas de corriente se deforman con este y no coinciden
con las trayectorias.
La definición que hemos dado para la línea de corriente con la interpretación geométrica de la
derivada.
La figura a nos indica según un teorema muy conocido de cálculo diferencial que el valor de la
y y
t t
linea
de v
corriente
y=
f(x)
dy v
dx u
x x
Dx dy
------- = --------
u v
117
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
TUBO DE CORRIENTE:
LINEA DE EMISIÓN:
Es el lugar geométrico, en el instante t, de las partículas fluidas que en un instante
cualquiera pasaran por el punto O.
1,2,3 son
trayectorias
1
2 3
4,5 son lineas de
emision
5
t + dt
4 t
118
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
NUMERO DE REYNOLDS
Se dice que un flujo es confinado cuando el fluido que se mueve dentro del conducto lo llena
completamente, si solo lo llena parcialmente se dice que es flujo libre.
Atreves de este documento estudiaremos solo los flujos confinados, osea los que se presentan en
los sistemas de redes de tuberías a presión.
Para estudiar la resistencia al flujo presentada por los conductos, es necesario clasificar los
flujos y considerar las diferencias de su comportamiento.
Para distinguir los tipos de flujos es necesario establecer criterios. Para hacerlo se utiliza un
parámetro adimensional, el número de Reynolds, en honor a Osborne Reynolds (1883) quien
fue el primero que caracterizó la forma en que un fluido pasa de un estado de movimiento
laminar (regular) a uno turbulento (caótico), propuso estos criterios en base a sus experimentos
en los cuales, utilizando un aparato sencillo podía visualizar el flujo laminar o turbulento a
través de un conducto transparente por el cual se transporta un flujo transparente, como el agua,
al cual se le inyecta una corriente de tinta, como se muestra en la figura 2.1 y 2.2.
Cuando las fuerzas de inercia del fluido en movimiento son muy bajas la viscosidad es la fuerza
dominante y el flujo es laminar; cuando predominan las fuerzas de inercia el flujo es turbulento.
Las fuerzas de inercia y viscosidad se pueden expresar en forma general con las siguientes
relaciones:
En donde:
= densidad del flujo
119
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
V = Velocidad
L= Longitud característica
= Viscosidad dinámica
120
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Entonces tenemos:
Con esta expresión podemos encontrar el diámetro para el cual el número de Reynolds es igual a
2 000, luego elegiremos de la tabla D1, el tubo cuyo diámetro sea mayor.
a) De la tabla A.1, tomamos los valores de las propiedades del agua a 40ºC:
121
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
FUNDAMENTO TEÓRICO
Para considerar un flujo como potencial se deben reunir las siguientes condiciones:
Fluido no viscoso.
Fluido incompresible.
Flujo irrotacional.
Movimiento bidimensional.
v 0 (1)
vx
v (2)
v y
v (4)
122
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2 0 (5)
La Ecuación (5) se conoce como la Ecuación de Laplace y tiene como principal característica
ser lineal.
Si ahora se define una funcióny, la cual se denomina función de corriente, la vorticidad puede
ser escrita como
2y 0 (6)
donde las velocidades para las dos dimensiones pueden ser establecidas como
y
vx (7)
x y
y
vy (8)
y x
Por lo tanto, de la Ecuaciones (7) y (8) se puede concluir que las líneas potenciales y las de
corriente son perpendiculares entre si.
123
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
V V
grad V 0 grad V 0
t t
a partir de las condiciones a y b, deducimos entonces que:
grad V 0 div V 0
c.- Irrotacional, rot V 0
d.- Análisis 2D o sea bidimensional.
Llamamos movimiento bidimensional a aquel en que cada partícula se mueve paralelamente a
un plano fijo, (x,y) y las velocidades de todas las partículas correspondientes en profundidad,
tienen la misma velocidad y dirección. Es decir el campo es de vectores paralelos homólogos en
z desde -∞a + ∞.
A veces a este espacio donde la ocurrencia del los campos de velocidades y presiones se repite
sin cambios para todos los planos homólogos paralelos a (x,y) desde -∞a + ∞se lo llama 2.D.
La restricción a dos dimensiones, asegura un análisis matemático fácil de manejar, aunque el
potencial de velocidad se puede definir para cualquier flujo irrotacional, incluso en 3D, el
término se asocia en general a flujo incompresible irrotacional en dos dimensiones. Ejemplo: el
flujo en torno a un cilindro infinito por una corriente que lo embiste puede ser estudiado con
análisis 2D, para el análisis del flujo en torno a una esfera se requiere análisis 3D.
i j j
v u v u
rot V 0 k 0 0
x y z x y x y
u v 0
Si para este campo de velocidades, podemos encontrar una función escalar Φ que haga cumplir
la condición anterior, debería ser:
u 2 2 u 2 2
x x
0 o también 0
xy yx xy yx
v v
y y
Es decir el campo de velocidades se puede tomar: V grad o bien V grad
Esta condición se cumple si Φes una función continua y derivable con continuidad. A tal campo
escalar se lo llama Potencial del campo vectorial de velocidades inicial si es que existe, o
Función Potencial.
124
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
lo que indica también que el campo escalar o Función Potencial es una función armónica,
(recordamos que una función armónica es aquella que satisface para un campo escalar la
ecuación de Laplace 2 0 ).
La Función Corriente
En flujo incompresible permanente, no pude fluir materia a través de las líneas de corriente ya
que por definición las velocidades de las partículas son tangentes a ellas, o sea que se cumple
con:
V ds 0
para toda trayectoria diferencial ds sobre la línea de corriente, de la cual se deducen las
ecuaciones de las líneas de corriente en este caso bi-dimensional según vimos en el Módulo 1,
que para el caso 2D es:
dy v
dx u
Además por lo indicado por la Ecuación de Continuidad, entre dos líneas de corriente dadas
circulará un caudal único. En la Fig 2.3.1 hemos representado dos líneas de corriente en flujo bi-
dimensional, y dos curvas arbitrarias entre los puntos 1 y 2, es fácil ver que el caudal que
atraviesa estas zonas entre las posiciones 1 y 2 es igual para ambas curvas, y su valor lo
llamamos q12 =Ψ2 - Ψ1, los valores de Ψ2 y Ψ1 son arbitrarios siempre que Ψ2 - Ψ1 = q12es
decir Ψ2 y Ψ1son valores funcionales arbitrarios siempre que la diferencia sea el valor del caudal
entre ambas líneas de corriente. En general a Ψse la llama función corriente.
Fig.2.3.1
125
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Cabe acotar que cada una de las curvas dibujadas, puede imaginarse como la directriz de una
superficie cilíndrica de generatrices paralelas al eje z, por lo cual la región limitada entre las dos
superficies Ψ, da lugar a un volumen cilíndrico paralelo al eje z, como el flujo es
incompresible, y por la ecuación de continuidad, el caudal que pasa por la superficie 1-2
izquierda es igual al que pasa por la superficie 1-2 derecha o sea q12i = q12d, en lo cual hemos
llamado q al caudal másico por unidad de profundidad z.
Con la anterior definición no hay duda de que a las líneas de corriente las podemos caracterizar
por funciones Ψ (x , y)= C y por tanto:
y
y y dy x
dx dy 0
x y dx y
y
como por la definición de línea de corriente bi-dimensional era a su vez:
dy v
dx u
haciendo referencia a la figura, para el caudal a través de cada porción diferencial de la curva 1-
2, el pasaje a velocidad u por dy, aumenta el caudal, mientras que la componente v que pasa por
dx lo disminuye, estos se puede observar en la viñeta de la figura tendremos entonces:
y y
2 2 2
12
1
q udy vdx
1
y
dy
x 1
dx dy y 2 y 1
Otra forma más matemática de demostrar esto es a partir de la definición de línea de corriente bi
dy v
– dimensional podemos escribir: udy vdx 0 pero como se ve en la viñeta de la
dx u
figura 2.2.1 u es una función solamente de y , análogamente v lo es únicamente de x por lo que
podemos escribir a partir de:
126
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
f ( y )dy f ( x)dx 0 d f ( y )dy d f ( x)dx d (Cte) 0
Ejemplo:
Supongamos el caso particular de la distribución para el campo de velocidades siguiente:
u y y2 x2
ydy xdx 0
v x ydy xdx 0 2
2
Cte
dv du 2y 2y 2y 2y
rot V ( )0 0 0
dx dy x 2 y 2 x 2 y 2
de donde deducimos por esta última condición que Ψ es también una función armónica, ya que
cumple con la ecuación de Lapalace: 2 0
y y
u u
x y x y
y y
v v
y x y x
Estas dos últimas expresiones se conocen como identidades de Cauchy – Riemann .Como para
ambas funciones según vimos se cumple que
127
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
dx dy 0
x y
y y
dx dy 0
x y
dy
x
dx k
y
y
dy x y 1 1
dx y c y dy
y x
x dx k
y
Con lo cual vemos que las tangentes son ortogonales ya que en el punto común A las
coordenadas de los puntos Ψ = c , y Φ = k son idénticas y los segundos miembros de las
ecuaciones anteriores son uno recíproco del otro y con signo opuesto. O sea las líneas
equipotencial y de corriente para un punto se cortan ortogonalmente, como A es arbitrario,
concluimos que la totalidad de las líneas de ambas familias conforma una red ortogonal.
Fig.2.3.2
2 0
2y 0
128
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Las función potencial y corriente deben satisfacer las condiciones de armonicidad, por tanto
deben ser continuas, y derivables con continuidad.
d.- Como vimos la aplicación del primer principio a un volumen de control que contenga un
tubo de corriente, conduce a la ecuación de Bernuolli, o sea que si se satisface para flujo
potencial la ecuación de cantidad de movimiento, también se satisface la de energía
e.- El segundo principio en ausencia de fricción y por tanto procesos irreversibles de trasmisión
del calor, no agrega restricciones.
f.- Además de ser armónicas las funciones de corriente y potencial de velocidades de un flujo
potencial no deben violar las condiciones de pared si hay un obstáculo. La condición de
obstáculo es que sobre la superficie límite, las velocidades normales deben ser nulas ya que el
obstáculo en si debe ser tomado como una línea de corriente límite al ser bañado por una
corriente, y no puede pasar flujo a través de ella, no obstante no hay restricción a la velocidad
tangencial aún sobre la pared ya que el flujo ideal no se adhiere a la pared, y aquí no se presenta
el fenómeno de capa límite.
Tome en cuenta que los flujos potenciales son una idealización matemática cuyo rango de
aplicación con poco error, es la obtención de los campos de velocidades y presiones en las
proximidades de los objetos pero no en regiones tan próximas como el entorno de las capas
límites reales donde el error sería apreciable. Llamando con el subíndice b a los puntos sobre un
obstáculo sólido será entonces (en referencia a la Fig 2.4.1.).:
n 0
b
y
s 0
b
y
u Vo
x x y y x y
129
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
ux vy
y uy vx
Fig:2.4.1.
Flujo Uniforme
Supongamos que el flujo venga definido por el campo V Vo i , en este caso las
componentes de velocidad del campo son:
u Vo
v0
de donde:
u Vo
x
Vodx Vox C1
v 0
y
y
u Vo
y
y
y Vody Voy C 2
v 0
x
Los dos resultados anteriores dan lugar a una malla ortogonal, dibujada en la Figura 2.5.1.
130
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2
Vo 0
x xy
2
0 0
y xy
Fig.2.5.1
Fuente y Sumidero
Estos casos son singularidades en los cuales las líneas Ψ son radiales con sentido desde y hacia
el origen respectivamente y Φ son circunferenciales concéntricas y ortogonales a las primeras.
Las ecuaciones a las que responden los campos respectivos son:
Q
ln r
2
Fuente
Q
y
2
Q
ln r
2
Sumidero
Q
y
2
131
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
r x2 y 2
y
arc tg
x
Fig.2.5.2
2 2y 1 2 1 2
0 0
x 2 y 2 r r 2 r 2 2
Q
ln r Cte
2
132
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Aplicando los resultados anteriores, podemos calcular el caudal total que como es lógico es:
2 2
Q
q Vr rd
0
2
0
r
rd Q
siendo el resultado para el sumidero, -Q; también el caudal es constante para cada gajo. Si
calculamos la circulación respecto del origen, de acuerdo a la definición que habíamos dado de
la misma:
2
V d l V rd 0
0
O sea, el flujo de la fuente o el sumidero tienen circulación nula sobre todos los circuitos
cerrados posibles, incluso si estos rodean al origen.
Q
2
Q
y ln r
2
Ahora, las líneas de corriente son circunferencias concéntricas y el valor de la velocidad será:
Q
V
2 r
Vr 0
y la circulación:
2 2
Q
V d l V rd
0
2 r
0
rd Q
133
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
En la figura, línea de vórtice entrante hacia el papel, circulación dextrógira, o a derecha, línea de
vórtice saliendo del papel, circulación levógira o a izquierda.
Fig. 2.5.3
Superposición.
Todo el flujo de la fuente F es absorbida por el sumidero S, pero entre los tres flujos, se
establece una elipse como línea divisoria cuya forma dependerá de las intensidades relativas.
Los valores de la combinación se establecen por suma directa:
Q Q
Vox ln r1 ln r 2
2 2
Q Q
y Voy 1 2
2 2
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Q ( x a)2 y 2
Vox ln
4 ( x a )2 y 2
Q y y
y Voy arc tg arc tg
2 xa
xa
la elipse divisoria cerrada puede asumirse también como un límite sólido, así la superposición
de flujos permite el estudio de flujos abiertos embistiendo sólidos, obteniéndose distribuciones
aproximadas de velocidades y presiones fuera de la capa límite.
Si bien el flujo estudiado es 2.D la elipse puede ser análogamente interpretada como la sección
de un prisma elíptico que va desde z = -∞ a z = ∞, ya que cada corte será homólogo en su flujo
Fig.2.6.1
Para ello el plano físico (x, y) en el cual habíamos representamos Φ y Ψ, como familias
ortogonales, lo transformamos en un plano base complejo :z = x + iy , z es ahora, un punto de
este plano, si ahora definimos una función genérica del plano complejo, que llamamos potencial
complejo como:
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F puede describirse como una función de z , donde la parte real de F es Φ(x,y) y la parte
imaginaria, Ψ(x,y).
En el espacio complejo así definido de F, las funciones Φ y Ψ forman como vimos una red
ortogonal. Es posible ahora pasar del plano z = x + iy de referencia a otro ζ = η + i ξ a través
de una transformación, pero tal que conserve la naturaleza ortogonal de Φ y Ψ. la
transformación entre estos planos referenciales puede quedar definida por una función:
ζ = f (z).
Por ejemplo cuando transformamos un globo terráqueo en un mapa plano a través de una
transformación Mercator, los paralelos y meridianos son ortogonales entre sí tanto en la
representación esférica como plana, lo mismo que se conserva para cada punto homónimo los
valores de latitud y longitud, sin embargo las superficies de ambas representaciones del planeta
Tierra se deforman y en particular más hacia los polos y menos hacia el ecuador.
Estas apropiadas transformaciones que mantienen la naturaleza del potencial complejo original,
se denominan Transformaciones Conformes. Escogiendo funciones apropiadas del tipo ζ = f (z )
podemos obtener modelos de flujo en torno a formas complicadas si se conoce el patrón de flujo
F(z) para una forma simple a través de la descripción del plano ζ una vez obtenido F( ζ ).
Por ejemplo un cilindro circular en rotación embestido por una corriente presenta un fenómeno
de sustentación positiva conocido como Efecto Magnus, la transformación conforme de
Joukowsky, nos permite obtener formas complicadas con aspecto de perfiles de gota arqueados
y de cola afilada que presentan sustentación, estas formas reciben el nombre de su descubridor
“Perfiles Joukowsky”.
En estos perfiles aerodinámicos las curvas superior e inferior que convergen en la cola afilada
presentan la particularidad de tener tangentes coincidentes (o ángulo de salida de perfil de 0°), a
veces esta descripción geométrica se llama “punto cuspidal”. En general estos puntos llevan
implícita una discontinuidad del flujo de escurrimiento que proviene de la región superior e
inferior del perfil, pero Joukowsky demostró que siempre existe una configuración de
escurrimiento para la cual el aire abandona la cola sin discontinuidad, y es la adaptación del
valor de la circulación transformada.
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circulación óptima solamente será función de la velocidad del flujo horizontal en infinito, y en
los perfiles reales la velocidad de infinito ajusta automáticamente la circulación.
Para visualizar físicamente el efecto Magnus, al cilindro circular se lo hace rotar sobre su eje y
luego se hace embestir la corriente horizontal (o mover horizontalmente el cilindro), así
generamos la circulación física apoyados en la viscosidad, para los perfiles aerodinámicos reales
la discontinuidad inicial de los escurrimientos sobre la parte superior e inferior del perfil antes
de lograr la igualación de los flujos, produce la estela parásita y en acuerdo con el teorema
Kelvin – Helzmoltz , la circulación inversa compensadora en torno al perfil, (ya que si la
circulación era nula, ahora la sumatoria de la vorticidad de estela más la circulación también
deberá ser nula) así a diferencia de la sustentación por efecto Magnus en un cilindro, el perfil no
necesita rotar para generar sustentación.
Concepto General:
El efecto de Bernoulli es simplemente un resultado de la conservación de energía. El trabajo
hecho a un fluido (un fluido es un líquido o un gas), que es igual a la presión por el volumen, y
que es igual al cambio en energía cinética del fluido.
Generalidades:
Donde hay flujo lento en un fluido, encontrará la presión aumentada.
Donde hay un aumento de flujo en un fluido, encontrará la presión disminuida.
En un flujo real, la fricción tiene un papel importante - muchas veces hay una gran caída de
presión (disminución de presión) sólo para superar la fricción. Este es el caso en su casa. La
mayoría de las cañerías de agua tienen diámetros pequeños (mucha fricción), por eso la
necesidad de la "presión de agua" - la energía de esa caída de presión supera la fricción.
Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas
leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica
mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos.
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden
expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es
decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como
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esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis
sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son
pequeños.
Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por
evaluarse a lo largo de una línea de corriente).
1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:
A1.v1 = A2.v2 = cte.
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p1 + .g.h1 = p2 + .g.h2
El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se
disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo
largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados,
esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos
demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída
de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.
Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso
en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo
laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A
velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo
turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.
Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un
único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de
Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y
el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a
través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es
turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna
mecánica de fluidos.
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d) Flujos compresibles
El interés por los flujos compresibles comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el
británico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se descubrió por primera vez el flujo
rápido de vapor a través de tubos, y la necesidad de un diseño eficiente de turbinas llevó a una
mejora del análisis de los flujos compresibles. El interés por los flujos de alta velocidad sobre
superficies surgió de forma temprana en los estudios de balística, donde se necesitaba
comprender el movimiento de los proyectiles.
Uno de los principios básicos del flujo compresible es que la densidad de un gas cambia cuando
el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y presión. Al mismo tiempo, su
temperatura también cambia, lo que lleva a problemas de análisis más complejos. El
comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la velocidad de flujo es mayor o
menor que la velocidad del sonido.
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identifican los flujos supersónicos por su número de Mach, que es el cociente entre la velocidad
de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersónicos tienen un número de Mach
superior a 1.
La figura representa un ejemplo de flujo en el cual las partículas del fluido se mueven sobre
líneas de flujo, en una de las cuales se han marcado tres puntos a, b, c , en los cuales una
partícula dada tendrá velocidades vavbvc, respectivamente.
Si el flujo es estacionario, todas las partículas del fluido que pasen por "a" tendrán la misma
velocidad va y lo mismo para los demás puntos b y c. Otra restricción para el flujo estacionario,
es que la velocidad en cualquier punto de una misma sección transversal, es igual. Esto se logra
en la medida que las fuerzas de roce (viscosidad) entre el fluido y las paredes son despreciables
y además, haciendo que las paredes de la tubería cambien de sección paulatinamente. En
consecuencia, un fluido tiene régimen estacionario, si sus líneas de flujo son constantes, el
fluido deberá cumplir además, con ser incompresible y no viscoso.
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El Teorema de Bernoulli.
El Teorema del Trabajo y la Energía se aplicará considerando que el trabajo neto hecho sobre el
elemento del fluido será igual a la variación la energía mecánica (incremento de energía cinética
y potencial). Cuando el elemento de fluido se desplaza de la posición 1 a la posición 2, se
realiza trabajo sobre él por la fuerza que actúa en la cara izquierda y se realiza trabajo por el
elemento de fluido en contra de la fuerza que actúa en la cara derecha. El trabajo realizado sobre
el fluido es:
Por otra parte, el trabajo realizado por el elemento de fluido en su desplazamiento es:
De modo que el Trabajo neto será la diferencia entre los valores (1) y (2) anteriores, lo cual
resulta:
pero como las distancias entre "a" y "b" y entre "c" y "d" son pequeñas puede considerarse que
las presiones y las áreas son constantes tal que la primera integral es igual a :
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p1 A1 D s1
pero además, V = A1 D s1 = A2 D s2 ;
(3)
Igualando este trabajo con los incrementos de las energías cinética y potencial, se tiene:
Estas dos versiones de la Ecuación (4) son la expresión matemática del Teorema de Bernoulli.
Gasto de un Tubo.
Un tubo abierto de sección A1 por el cual circula un líquido a una velocidad determinada v , lo
expele por una salida de sección transversal A, con una velocidad v. La cantidad de líquido que
sale en un tiempo dado t es la contenida en un cilindro de sección A y longitud vt. En el
tiempo(t) seg sale un volumen igual a "A v t".
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Se llama Gasto del Tubo "Q" al volumen que sale o circula por un tubo en el tiempo t.:
donde Q se mide en m3/seg, cm3/seg, etc, según las unidades de "A" y de "v".
Ecuación de Continuidad.
Otra relación importante para líquidos (incomprensibles) resulta del hecho que si el tubo esta
lleno, el
volumen por unidad de tiempo que pasa por una sección transversal dada (Gasto), debe ser igual
al
Gasto de otra sección transversal cualquiera.
Nótese que la velocidad del fluido resulta mayor si la sección transversal es menor:
v1/v2 = A2/A1
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Aislemos una longitud, que puede ser tan pequeña como queramos del tubo; sea esta longitud
Dl (o dl), y sean S y S' las superficies del tubo en los extremos, V y V + DV (o V + dV), las
velocidades correspondientes en esas secciones. Sobre la cara S, el resto de fluido a la izquierda,
ejercerá un presión p perpendicular a la cara, sobre la S', el resto de fluido a la derecha ejercerá
una presión p + Dp (o p + dp).
Las fuerzas que actúan sobre esa masa, tomando como sentido positivo hacia la derecha (sentido
de la velocidad) serán:
F = p. S - (p + dp). S'
La longitud del tubo dl la podemos hacer tan pequeña como queramos, luego la haremos tan
pequeña como sea necesario para que se puede considerar que las secciones S y S' son iguales,
quedará entonces:
F = p. S - (p + dp) .S
F = p. S - p .S - dp. S
F = -dp. S
El volumen que ocupa la masa que estamos consideramos, si S es igual a S', será el volumen de
un prisma:
volumen = S. dl ; siendo d = densidad
masa = d . S .dl
Esta es la expresión del teorema de Bernoulli en forma diferencial; en ellas existen tres
variables: p(presión), d (densidad) y V (velocidad).
De las tres variables que existen en la ecuación anterior, al ser la densidad constante, se quedan
reducidas a dos: p y V, la ecuación diferencial es fácil de integrar resultando:
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En el caso de que en uno de los puntos considerados no exista velocidad, es decir que sea un
punto de remanso, la presión que existe en él se denomina presión total (pt) y en general la
presión que existe en un punto de velocidad (V) distinta de cero, la denominaremos presión
estática (ps), aplicando el teorema de Bernoulli a dos puntos del fluido, uno de los cuales sea el
que tiene velocidad nula será:
pt + 0 = ps + ½ .d. V²
pt = ps + ½ .d .V²
El termino ½ .d. V² que tiene las dimensiones de una presión se la denomina presión dinámica;
la formula anterior expresa que:
"La presión total, también llamada presión de impacto, es igual a la suma de la presión estática
más la dinámica".
Como la presión y la velocidad actúan recíprocamente:
pt - ps = ½ . d . V²
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Es evidente que en V2 la velocidad debe ser mayor que en V1, luego para que se conserve la
igualdad, la presión p2 debe ser menor que la presión p1: Al aumentar la velocidad disminuye la
presión, este fenómeno se conoce con el nombre de efecto Venturi.
Ecuación de Bernoulli para fluidos compresibles:
Esta es también conocida como ecuación de Saint Venant. La ecuación es similar a la del flujo
incompresible, donde la expresión se ve afectada por el término (1+ 0,25 . M²) donde M es el
número de Mach.
Ecuación de Bernoulli para flujo compresible
Formulación de la ecuación
(1)
Ecuación 1
Donde s, es la coordenada a lo largo de la línea de corriente. Multiplicando ahora los dos
miembros de la ecuación anterior escalarmente por el vector desplazamiento ds, a lo largo de la
línea de corriente, obtenemos
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Ecuación 2
El termino Ñp · ds es igual a dp, variación diferencial de la presión a lo largo de la línea de
corriente, y Ñz · ds se transforma en dz, cambio diferencial en la elevación a lo largo de la línea
de corriente, mientras que el segundo miembro de la ecuación puede escribirse en la forma
V(dV/ds) ds, ya que V y ds son colineales. Obteniéndose
Ecuación 3
Constante
Ecuación 4
Esta ecuación se la llama frecuentemente "Forma Compresible de la Ecuación de Bernoulli". Si
r se puede expresar como función de p, es decir, r = r (p), el primer término de la expresión
anterior es integrable. Los fluidos que tienen esta característica se llaman "Fluidos
Barotrópicos". Si el flujo es incompresible, tenemos
Constante
Ecuación 5
Es decir, esta ecuación nos dice que la suma de la llamada "Energía de Presión" (realmente
trabajo del flujo) por unidad de masa, la energía potencial de posición por unidad de masa y,
finalmente, la energía cinética por unidad de masa, se conserva a lo largo de una linea de
corriente. Teóricamente, esta suma, llamada "Energía Mecánica Total", puede diferir de una
linea de corriente a otra. No obstante, en muchos problemas, todas las líneas de corriente tienen,
prácticamente, la misma energía mecánica total, lo que significa que la suma anterior puede
igualarse para dos puntos cualquiera, sin tener en cuenta si están en la misma línea de corriente.
Para tales flujos, entre dos puntos 1 y 2, podemos escribir
Ecuación 6
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Constante
Ecuación 7
Los términos de esta ecuación tienen dimensiones de longitud y se llaman "Alturas de presión,
topográfica y de velocidad", respectivamente. La ecuación análoga a la ecuación 6, aplicable
entre dos puntos del flujo, que relaciona las diversas alturas es
Ecuación 8
Tomemos como volumen de control una porción de tubo de corriente de un flujo no viscoso,
incompresible y permanente, tal como se muestra en la Fig. 1. Al aplicar el primer principio de
la termodinámica a este volumen de control, observamos que es válida la ecuación
Fig. 1
Ecuación 9
Ecuación 10
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Para un flujo no viscoso en que el flujo calorifico tiene lugar a traves de la superficie de control,
la ecuación anterior es independiente de la ecuación de Bernoulli, pero para un flujo no viscoso
en el que solo intervenga energía mecánica, (no hay transferencia de calor ni cambios de energía
interna ) el último término, entre corchetes, de la ecuación anterior se anula, y obtenemos
Ecuación 11
Dividiendo los dos miembros por g y sustituyendo v/g por 1/y, lq ecuación anterior queda
Ecuación 12
Parámetros
En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes:
: Es la presión estática a la que está sometido el fluído, debida a las moléculas que lo rodean
Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el
nivel de aplicabilidad:
El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía
con el tiempo.
Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente.
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Efecto Bernoulli
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli:
en el caso de que el fluido fluya en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que
la presión estática decrecerá.
Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que
pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que
la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta.
Tubo de Venturi
El caudal (o gasto) se define como el producto de la sección por la que fluye el fluído y la
velocidad a la que fluye. En dinámica de fluídos existe una ecuación de continuidad que nos
garantiza que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es constante. Como
implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo
de Venturi.
Un tubo de Venturi es una cavidad de sección por la que fluye un fluído y que en una parte
(2)
Los efectos que se derivan a partir de la ecuación de Bernoulli eran conocidos por los
experimentales antes de que Daniel Bernoulli formulase su ecuación, de hecho, el reto estaba en
encontrar la ley que diese cuenta de todos esto acontecimientos. En su obra Hidrodinámica
encontró la ley que explicaba los fenómenos a partir de la conservación de la energía (hay que
hacer notar la similitud entre la forma de la ley de Bernoulli y la conservación de la energía).
Posteriormente Euler dedujo la ecuación para un líquido sin viscosidad con toda generalidad
(con la única suposición de que la viscosidad era despreciable), de la que surge naturalmente la
ecuación de Bernoulli cuando se considera el caso estacionario sometido al campo gravitatorio.
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APLICACIONES
Si el orificio es pequeño, el nivel del líquido (1) descenderá lentamente por lo que puede
hacerse que v1 = 0.
Q=Av=A
m3/seg
Debido a la convergencia de las líneas de corriente al acercarse a la salida del estanque, las
líneas de flujo siguen convergiendo más, afuera de la salida. De modo que en la ecuación de Q,
anterior debe usarse una sección mínima llamada sección contraída (vena contracta). Si la
abertura es circular y de bordes finos, la sección contraída es alrededor del 65% de la sección
del orificio.
Ac = 0,65 A.
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La aplicación del Teorema de Bernoulli a las partes "ancha" y "angosta" del tubo da:
(el término de gravedad "rgh" no aparece por cancelarse al suponer que el tubo está en posición
horizontal). El resultado del Teorema de Bernoulli permite concluir que:
Tubo de Pitot.
Otra aplicación del Teorema de Bernoulli para la medición de la velocidad de un fluido (gas)
que circula por una tubería. Puede medirse con un tubo manométrico abierto. Una de sus ramas
se conecta a la tubería y la otra se deja en el interior donde circula el gas.
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La presión en la rama izquierda del manómetro, cuya abertura es paralela al movimiento del
gas, es igual a la presión del gas. La presión de la otra rama (b) puede calcularse aplicando el
Teorema de Bernoulli a los puntos "a" y "b". Como la velocidad en "b" es nula.
donde r es la densidad del gas. Por otra parte la presión pb>pa por lo que el líquido manométrico
, se desplaza originando una diferencia de altura h. Sea ro la densidad del líquido manométrico,
por lo que
pb = pa + rogh ;
Los aviones usan sistemas basados en este equipo para determinar su velocidad respecto al aire.
Conclusión
En resumen, el primer principio de la termodinámica, aplicado a un tubo de corriente de un flujo
no viscoso, incompresible y permanente, donde interviene únicamente energía mecánica,
coincide con la ecuación de Bernoulli aplicada a dicho flujo.
La equivalencia entre el primer principio de la termodinámica y la ecuación de Bernoulli para
flujos simplificados, era esperable, ya que en la dinámica del cuerpo rígido los métodos basados
en la energía y los que se basan en el principio de Newton son equivalentes. Sin embargo, si el
flujo es compresible o si el roce produce cambios en las propiedades del fluido, por producir
variaciones de temperatura, etc, el primer principio de la termodinámica y el principio de
Newton (en su forma de ecuación de la cantidad de movimiento) son ecuaciones independientes
y que deben satisfacerse separadamente.
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APLICACIONES
Ejemplo 1
Un líquido fluye por una tubería horizontal cuyo radio interior es de 2.52 cm. La tubería se
dobla hacia arriba con una altura de 11.5 m donde se ensancha y se une con otra tubería
horizontal de 6.14 cm de radio interior. Cuál debe ser el flujo volumétrico si la presión en las
dos tuberías horizontales es la misma?
Solución
Si aplicamos la ecuación de Bernoulli en el punto más bajo de la tubería (punto 1) y en el punto
más alto de la misma (punto 2); y si además (de las condiciones del problema) consideramos el
hecho de que las presiones en estos dos puntos deben ser iguales,
, entonces tenemos que
Considerando que el flujo volumétrico debe ser el mismo a lo largo de toda la tubería también
contamos con la ecuación.
Conociendo esta velocidad el flujo volumétrico es el producto de esta velocidad por el área de la
sección transversal del tubo
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Ejemplo 2
Durante un huracán está soplando aire (densidad = 1.2 kg/m sobre el tejado de una casa a una
velocidad de 110 km/h. (a) Cuál es la diferencia de presión entre el interior y el exterior que
tiende a levantar el tejado? (b) Cuál sería la fuerza ascencional en un tejado de 93 m
de área?
Solución
Aplicando la ecuación de Bernoulli en un punto situado justamente arriba del techo (punto 1) y
en otro punto justamente abajo del techo (punto 2), tenemos que
La fuerza que actúa sobre el techo se obtiene multiplicando la diferencia de presión por el área
de este techo, es decir,
Una cabeza de ducha (si tiene una lujosa) tiene distintos modos de funcionamiento. Si usted
utiliza el modo de "masaje", está moviendo un poco de agua rápidamente. Para la "lluvia
suave", está moviendo mucha agua lentamente. Se necesita la misma cantidad de energía para
mover un poco de agua rápidamente que para mover mucha agua lentamente. Esta es la cantidad
de energía que Ud. tiene debido a la "presión de agua."
PERDIDA DE ENERGIA:
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E n los fluidos se originan perdida de energía desde un punto hacia otro debido al movimiento
de la partícula.
Estas pérdidas de energía pueden ser por lo siguiente:
Es decir ocasionado por rozamiento interno del fluido en movimiento con las paredes de la
superficie del conducto que lo contiene, es decir, cuanto más rugoso sea la superficie interno de
la tubería mayor será la perdida de fricción.
Son las ocasionadas por los accesorios que se colocan en las tuberías para conducir el fluido
de un lugar a otro. Los accesorios pueden ser:
codos
reducciones.
Tubos divergentes.
Válvulas.
Uniones, etc
A).- PERDIDAS DE CARGAS LINEALES: Son debidas a la fricción y su forma general esta
dada por la ecuación de DARCY.
∆ hf = λ L V²
--- ----- ( en altura de fluido )
D 2g
L V²
∆p = λ---- ρ ---- ( en presión).
D 2
Donde:
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-¼
; λ = 0.316 Re
5
- Para Re > 10 es preferible usar la expresión de KARMAN.
5
Esta expresión concuerda con la de BLASIUS hasta Re = 10 más allá de este valor, la expresión
de BLASIUS da valores muy pequeños paraλ..
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1 D
------ - 2 log ------- = ƒ ( R* )
√λ 10 2E
En la que : EV λ
R* = ------ √------
D 8
DONDE:
E : espesor de rugosidad.
f ( R*)
2 1.74
log R*
10
1 1.83 2 3
Para log R* > 1.83 el valor de ƒ( R*) = 1.74 = Cte. Esto significa que para las 10
rectas horizontales de NIKURADSE se tiene:
1 D
------ - 2 log ------ = 1.74
√λ 10 2E
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E
λ = 0.790 √ -----
D
Para los siguientes valores de E (rugosidad convencional en milímetros) :
d).- calculo de λ para la transición entre flujos turbulentos liso y turbulento rugoso:
1 2.51 E
------- = - 2 log ( -------- + ------- )
√λ 10 Re √λ 3.71 D
∆ hs = K V²
-------
2g
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Entrada de tubería.................................. K = ½
Salida de tubería.................................... .K = 1
Crepina en plancha perforada................. .K = 2 a 4
Válvula abierta.......................................... K = 0.05 a 0.4 según válvula
Codo brusco a ángulo recto...................... K = 1 4
Codo brusco a ángulo φ............................ K = sen² φ/2 + 2sen φ/2
Conclusiones:
El teorema de BERNOULLI, considerando las pérdidas de carga lineales y singulares se
escribirá entre dos puntos del flujo de 1 hacia 2 de la siguiente manera:
P1 V1² p2 V2² L V² V²
---- + Z + ------ = ------ + Z + ------ + ∑² λ ----- ----- + ∑² K-------
w 1 2g w 2 2g 1 D 2g 1 2g
L V²
∆ hf = λ------ .---------
DH 2g
Donde : 4S
DH: diámetro hidráulico = 4RH = -------
P
RH: radio hidráulico = área / perímetro= S/P
V.DH 4VRH
Re: numero de REYNOLDS del flujo = ------- = ---------
D D
Para tuberías cuya sección no difiere mucho del cuadrado el coeficiente λ varia como en el
caso de una sección circular y debe ser aumentado de 5 a 10%.
La cantidad que más se calcula en flujos de tuberías tal vez sea la pérdida de energía. Estas son
debidas a la fricción interna en el fluido. Como se indica en la ecuación general de energía, tales
pérdidas traen como resultado la disminución de presión entre dos puntos del sistema de flujo.
Si planteamos la ecuación de energía entre dos puntos de una corriente de fluido se tiene:
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Las pérdidas de energía debido a la fricción las podemos expresar por la ecuación de
Darcy - Weisbach5.
Es de anotar que el valor estándar para la gravedad es de 9.80665 m/s2 y varía de un mínimo de
9.77 m/s2 a un máximo de 9.83 m/s2 en la tierra. Se utilizará un valor nominal de 9.81 m/s2 a
menos que se indique otra cosa, si deseamos conocer la gravedad en diferentes puntos de la
tierra deberemos consultar la figura G.1 de los anexos en donde se observa la variación de la
gravedad con respecto la latitud y la altitud. En esta figura podemos observar que para Quibdó
la gravedad sería 9.781 m/s2 Esta ecuación nos sirve para calcular las pérdidas de energía para
todo tipo de flujo, por eso es conocida como la ecuación universal.
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La pérdida de energía en este tipo de flujo se pueden calcular a partir de la ecuación de Hagen -
Poiseuille6:
Pero como dijimos anteriormente, la ecuación de Darcy - Weisbach es aplicable a este tipo de
flujo, por lo que igualaremos las dos expresiones:
Despejando f tenemos:
Por lo tanto en flujo laminar para encontrar las pérdidas de energía podemos aplicar la ecuación
de Hagen - Poiseuille o la de Darcy - Weisbach con f=64/NR
En esta podemos observar que f esta en ambos lados de la ecuación, por eso para poder
encontrar el valor de f debemos emplear el método de numérico de iteración de punto fijo,
descrito en el anexo I.1.
163
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Cuando la tubería de hierro dúctil esté revestida internamente, se debe tomar el valor de
rugosidad absoluta del material de revestimiento.
Se recomienda utilizar esta ecuación para obtener el valor inicial de f para ser utilizado en la
ecuación de Colebrook - White
164
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Para calcular la pérdida en la zona crítica (2 000<NR<4 000) se recomienda utilizar una
interpolación cúbica entre el factor para flujo laminar y flujo turbulento. La
interpolación más recomendada es la cúbica propuesta por Dunlop en 1991(8)
f = (X1 + R ( X2 + R ( X3 + X4 ) ) ) (3.7)
En donde :
X1 = 7 FA - FB
X2 = 0.128 - 17 FA + 2.5 FB
X3 = -0.128 + 13 FA - 2 FB
X4 = R ( 0.032 - 3 FA + 0.5 FB )
R = NR / 2 000
FA = (Y3)-2
FB = FA (2 - 0.00514215 / (Y2 * Y3 ) )
165
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El uso del radio hidráulico nos permite aplicar la fórmula tanto en conductos circulares como en
los no circulares.
Para convertir la ecuación de Hazen - Williams al SI debemos pasar la velocidad a m/s y el
radio hidráulico a metros.
Si despejamos hF en la ecuación 3.8, y la dejamos en función del caudal obtenemos otra forma
de la ecuación muy útil en los cálculos:
Ejemplo 3.1.- Se transporta Querosene a 25ºC por una tubería de 6" en acero calibre 80, si la
presión en el punto A es de 587 kPa, ¿que presión se puede esperar en el punto B si se
transportan a) 0.2 l/s b) 0.69 l/s y c) 2.3 l/s, conociendo que la longitud es de 1 060 m?.
Entonces debemos obtener las pérdidas de energía hF para obtener la presión en el punto B.
Para esto primero debemos identificar el tipo de flujo que se presenta en cada caso para así
poder elegir correctamente las ecuaciones a utilizar.
Por facilidad utilizaremos las expresiones del número de Reynolds y ecuación de pérdidas en
función del caudal:
166
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Las propiedades del Queroseno. De la tabla B.1. =823 kg/m3, =1.64*10-3 Pa.s, =8.07
kN/m3
167
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Con las pérdidas ya calculadas podemos predecir las presiones que se pueden esperar en el
punto B.
En la siguiente figura se presenta un diagrama de flujo para encontrar las pérdidas por fricción
utilizando la ecuación de Darcy – Weisbach con los siguientes factores de fricción:
¾ Hagen – Poiseuille, para flujo laminar.
¾ Interpolación cúbica de Dunlop, para flujo en la zona crítica.
¾ Swamee – Jain y Colebrook – White, para flujo turbulento.
En resumen esta es la metodología que se recomienda para el cálculo de la perdida de
energía debido a la fricción.
168
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Figura 3.2. Diagrama de Flujo para el cálculo de pérdidas por fricción utilizando la ecuación de
Darcy -Weisbach
169
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Si decidimos codificar el programa en lenguaje BASIC para Cassio FX-880P, este podría ser
así:
Figura 3.2 Listado del programa en BASIC para el cálculo de pérdidas por fricción
Ahora sabemos cómo calcular las pérdidas en tuberías. Sin embargo los sistemas de tuberías
incluyen: válvulas, codos, reducciones, dilataciones, entradas, salidas, flexiones y otras
características que causan pérdidas adicionales, llamadas pérdidas menores.
La pérdida de presión total producida por una válvula o accesorio consiste en(9):
1. La pérdida de presión dentro de la válvula.
2. La pérdida de presión en la tubería de entrada es mayor de la que se produce normalmente si
no existe válvula en la línea. Este efecto es pequeño.
3. La pérdida de presión en la tubería de salida es superior a la que se produce normalmente si
no hubiera válvula en la línea. Este efecto puede ser muy grande.
Desde el punto de vista experimental es difícil medir estas tres caídas por separado.
Se acostumbra calcular estas pérdidas con una ecuación de la forma:
170
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En algunos casos puede haber mas de una velocidad de flujo como en el caso de las reducciones
o ampliaciones. Es de la mayor importancia que sepamos qué velocidad debemos utilizar en
cada coeficiente de resistencia.
DILATACIÓN SÚBITA
En la figura 4.1a observamos una expansión repentina de una tubería, en la que el diámetro
cambia de D1 a D2. Aplicando la segunda ley de Newton al volumen de control mostrado en la
figura 4.1b, suponiendo perfiles uniformes, obtenemos:
En donde,
171
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Entonces la ecuación para las pérdidas en una ampliación brusca toma la siguiente forma:
Los valores de K de esta ecuación coinciden con los hallados experimentalmente cuando la
velocidad V1 es aproximadamente 1.2 m/s, por eso se recomienda utilizar los valores
experimentales mostrados en la tabla 4.1, cuando se conoce la velocidad de flujo.
PÉRDIDA EN SALIDAS
En la ecuación 4.2 obtuvimos el K para una dilatación súbita:
K=1
Resultado de esperar, ya que se pierde toda la energía cinética V2/2g. Esto quiere decir que toda
la energía cinética se disipa por formación de macro turbulencia en el depósito.
172
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DILATACIÓN GRADUAL
La transición de un conducto menor a otro mayor puede hacerse de una forma menos brusca,
colocando una sección cónica entre los dos conductos, reduciendo así las pérdidas de energía.
173
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CONTRACCIÓN SUBITA
Estas pérdidas se pueden calcular con la expresión:
PÉRDIDAS EN ENTRADAS
Este tipo de pérdidas ocurre cuando hay un flujo de un deposito o tanque, relativamente grande
con relación al diámetro de la tubería, a un conducto. En esta situación el fluido se ve sometido
a un cambio de velocidad de casi cero, en el tanque, a una muy grande, que se presenta en el
conducto. Las pérdidas son entonces dependientes de la facilidad con que se realiza dicha
aceleración.
174
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En la siguiente figura se presentan los coeficientes de resistencia mas utilizados para calcular la
pérdida de energía con la siguiente expresión
La misma pérdida para una tubería recta se expresa con la ecuación de Darcy - Weisbach:
175
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Obsérvese que esta expresión equivale a la de Colebrook - White para NR muy grandes.
176
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Ejemplo 4.1: Fluye agua a 20ºC de un tramo de longitud L de acero cal 40 de 4", conectado a un
deposito con una entrada de borde recto. Una válvula de compuerta medio abierta controla el
flujo. La altura del depósito sobre la salida es de 40m. Si desean obtener10 l/s, calcule las
pérdidas para las siguientes longitudes: 5, 10, 100 y 1000m. Teniendo en cuenta las pérdidas por
fricción y luego las pérdidas por fricción mas las producidas por los accesorios.
en la que,
177
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Si elaboramos una tabla en donde consignemos los valores de las pérdidas para las diferentes
longitudes tenemos:
En la tabla anterior podemos observar que para los tramos de tuberías cortas (esto es menores de
100 diámetros) las pérdidas locales son mucho mayores. Para longitudes intermedias (100 <
L/D < 1 000) las pérdidas por fricción comienzan a ser apreciables y en las tuberías largas
(L/D>1 000) las pérdidas por fricción son mucho mayores, por eso en estas tuberías se
acostumbra despreciar las pérdidas locales.
178
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TERCERA UNIDAD
CANTIDAD DE MOVIMIENTO, ORIFICIOS Y
SIMILITUD HIDRÁULICA
I. FUNDAMENTO TEORICO:
1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO:
1.1. FUERZA:
¿Qué causa el movimiento de un fluido? Los fluidos empiezan a moverse cuando sobre ellos
se aplica una fuerza resultante distinta de cero. Por ejemplo, cuando la presión en un lugar es
mayor que en el otro, el flujo tenderá a moverse hacia la región de menor presión. La
gravedad también puede causar que un fluido se mueva: los fluidos fluyen cuesta abajo,
convirtiendo su energía potencial en energía cinética. De manera similar las diferencias de
temperatura causaran que en una parte el fluido tenga una densidad menor a diferencia de la
otra parte y el fluido más ligero tendera a subir.
También está presente la fricción. Cuando un capa de fluido se mueve con respecto a una
capa adyacente, se desarrolla un esfuerzo viscoso tangente que hace que el flujo se mueva
más rápido o lento. Algunas veces consideramos fluidos en los que la viscosidad es cero.
Estos fluidos sin viscosidad no existen en la naturaleza porque todos los fluidos reales son
viscosos, pero con frecuencia es posible utilizar esta aproximación si los efectos de
viscosidad son pequeños. Sin embrago, se debe tener cuidado porque ignorar la viscosidad
en ocasiones conduce a respuestas del todo equivocadas.
Así mismo debemos incluir las fuerzas que ejercen las superficies sólidas. Esto es claro si
pensamos en un chorro de agua que golpea una placa plana: hay una fuerza que actúa en la
placa debido al agua, y por la Tercera Ley de Newton la placa ejerce una fuerza igual pero
opuesta en el agua (que actúa para cambiar la dirección del movimiento del fluido y por lo
tanto, modificar su cantidad de movimiento).
179
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También son importantes otras fuerzas. Por ejemplo, si el fluido esta eléctricamente cargado,
se puede mover si se aplica un campo magnético, y las fuerzas de Coriolis pueden ser
importantes en un campo que rota (son de importancia crucial en la formación de nuestros
patrones del clima). Solo se consideran las fuerzas debidas a diferencias de presión,
diferencias en los esfuerzos viscosos y la gravedad.
Las fuerzas debidas a las diferencias de esfuerzos se llaman fuerzas de superficie porque son
proporcionales al área total de la superficie sobre la que actúan. Por ejemplo, si un esfuerzo
de corte constante, se aplica en un área A, la fuerza de corte resultante es igual a A. En
contraste, la aceleración debido a la gravedad g, que actúa en una masa de fluido m,
introduce una fuerza que es proporcional a la masa del fluido mg, y se llama Fuerza de
cuerpo.
Existe movimiento relativo, y las partículas de fluido se aceleran desde la entrada hasta la
salida. Aunque la velocidad es independiente del tiempo, se presenta una aceleración debida
180
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al cambio espacial de la velocidad. Por la segunda ley de Newton sabemos que sobre el
fluido actúa una fuerza resultante. ¿De dónde viene esa fuerza?
2. También habrá una fuerza ejercida por el conducto en el fluido (las fuerzas
externas incluidas en la ecuación de cantidad de movimiento son siempre
fuerzas aplicadas sobre el fluido). Esto es intuitivo: el conducto experimentara
una fuerza debida a la acción del fluido y, por lo tanto, el conducto ejerce en el
fluido una fuerza igual pero opuesta. Supongamos que la fuerza que el conducto
ejerce en el fluido Rx, es positivo si actúa en la dirección positiva de x (si la
solución indica que Rx es negativa, simplemente indica que actúa en la
dirección negativa de x). Según la tercera ley de Newton, la fuerza que el fluido
aplica en el conducto está dada por -Rx. Para mantener el conducto en su lugar,
debe existir una fuerza restrictiva que actué sobre el igual a +Rx. Por lo tanto,
la fuerza que ejerce un soporte para mantener el conducto en su lugar es igual a
la fuerza aplicada en el fluido (despreciando el peso del conducto).
De esta forma, la fuerza resultante que actúa en el fluido está dada por la suma de la fuerza
que el conducto ejerce sobre el fluido Rx y la fuerza que originan las diferencias de presión
aplicadas al fluido, p1 A1 - p2 A2.
Esta fuerza resultante cambia la cantidad de movimiento del fluido. Para encontrar este
cambio de cantidad de movimiento notamos que:
181
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Así, La cantidad de movimiento es x que entra durante t =(1 A1 V1t) V1, y la cantidad de
movimiento es x que sale durante t = (2 A2 V2t) V2, puesto que los flujos que salen se
consideran positivos.
x = 2 A2 V2 2 - 1 A1 V1 2
El flujo es permanente, de modo que la cantidad de movimiento del fluido que entra al
volumen de control no cambia con el tiempo. Por lo tanto, el cambio neto del flujo de
cantidad de movimiento es igual a la fuerza resultante aplicada al fluido. Esto es:
RX + p1 A1 - p2 A2 = 2 A2 V2 2 - 1 A1 V1 2
Esta ecuación es la segunda ley de Newton del movimiento que se aplica a un flujo simple
permanece unidimensional, donde la fuerza resultante que actúa en el fluido (del lado
izquierdo) causa un cambio del flujo de cantidad de movimiento (el lado derecho). En este
ejemplo, todas las fuerzas se aplican en la dirección de x, y en la dirección de y no hay
fuerza resultante.
2 ρ A
Rx ρ1 A1V1 1 1 1 p2 A2 p1 A1
ρ1 A2
182
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Cada termino del lado derecho es de la forma (flujo másico) x (componente de velocidad en
x). Muy importante, sobre cualquier entrada y salida.
183
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RX + 1 A1 - 2 A2Cos = 2 A2 V2 2Cos - 1 A1 V1 2
1 V1A1 = 2 V2A2
2 V Cos
Rx p2 A2Cos p1 A1 ρ1 A1V1 2 1
V1
Podemos seguir el mismo procedimiento para encontrar la fuerza Ry. Primero vemos que la
cantidad de movimiento que entra al volumen de control no tiene componente en la dirección
y, pero si la cantidad de movimiento que sale del volumen de control. De modo que
y = (2V2A2 ) V2Sen
RY - p2 A2Sen = 2 A2 V2 2Sen
Rx R y y forma un
2 2
Por último la magnitud de la fuerza resultante está dado por
ángulo ArcTang (RX / RY ) con la dirección positiva en x.
184
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185
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t
ρVd ... (1.1)
186
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- n p dA ... (1.3)
187
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3. Las fuerzas debidas a superficies externas FEXT , son las fuerzas que
aplican al fluido las paredes de un conducto, las superficies de un
deflector o las fuerzas que se aplican en el corte que produce el volumen
de control en un sólido un ejemplo de lo último se tiene cuando un
volumen de control corta las paredes sólidas de un conducto; en el
balance de fuerzas sobre el fluido, se deben incluir las fuerzas que ejercen
las paredes (Recuerde: cuando un fluido ejerce una fuerza sobre una
superficie sólida, sobre el fluido se aplica una fuerza igual, pero en
sentido contrario).
FV FEXT n p dA gd
t (n. V ) VdA . (1.5)
ρVd
188
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p dx p dx
FX Po dy.dz Po dy.dz ρo g. i dx dy dz
x 0 2 x 0 2
Es decir:
p
FX dx.dy.dz o g X dx dy dz
x 0
189
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p
FY dx.dy.dz o gY dx dy dz
y 0
p
FZ dx.dy.dz o gZ dx dy dz
z 0
F FX i FY j FZ k
p p p
F i j k .g X i .g Y j .g Z k
x y z
F p .g
DV
dx. dy. dz
Dt
190
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Por lo tanto
DV
p .g ...(1.6)
Dt
DV
= p + .g
Dt
g g g
191
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DV 1 1
p g p gφg
Dt ρ ρ
u u u u 1 p φ
u v w g g ... (1.7)
t x y z ρ x x
v v v v 1 p φg
u v w g ... (1.8)
t x y z ρ y y
w w w w 1 p φg
u v w g ... (1.9)
t x y z ρ z z
u r u u u u u 1 p φg
2
ur r r u z r g ... (1.10)
t r r z r ρ r r
u u u u u u u 1 p 1 φg
ur u z r g (1.11)
t r r z r ρr r
u z u u u u 1 p φg
ur z z u z z g ... (1.12)
t r r z ρ z z
192
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yx yx 2u
yx dy dx.dz yx dx.dy dx.dy.dz u 2 dx.dy.dz
y y y
193
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yx 2u
u 2
y y
De esta forma existirá una fuerza resultante solo si el esfuerzo viscoso varia
en el flujo, es decir cuando los gradientes del esfuerzo yx, estén presentes. Si
en el flujo el esfuerzo cortante es uniforme, las partículas del fluido se
deformaran, pero no habrá una fuerza resultante por los esfuerzos viscosos.
En otras palabras, el esfuerzo viscoso no contribuirá a acelerar las partículas
del fluido.
xx 2u
u 2
x x
yx zx
u xx
x y z
2u 2u 2u
u 2 2 2 u 2 u
x y z
194
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2V 2V 2V
V 2 2 2
2
x y z
DV
p .g u 2V ... (1.13)
Dt
195
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2.1. PROPULSIÓN:
Los cohetes, aviones y barcos son impulsados mediante dispositivos que aumentan la
cantidad de movimiento del fluido que pasa por el sistema de propulsión. En el caso de los
cohetes, el fluido propulsor es el combustible del cohete, en tanto que para los aviones y
barcos un motor de reacción o hélices aumenta la cantidad de movimiento del fluido
circundante. La fuerza propulsora que ejerce ese motor se emplea para acelerar el vehículo
y/o vencer la resistencia al movimiento a través del fluido circundante.
Un motor cohete se abastece con una mezcla de combustible y oxidante, la cual al quemar
alcanza una presión y una temperatura altas. Los productos de la combustión fluyen hacia
afuera del motor cohete a través de una boquilla, acelerándose a alta velocidad conforme la
presión del fluido baja a un valor ambiente mucho mejor. Sobre el motor cohete se ejerce
una fuerza propulsora como consecuencia de la fuerza de presión que actúa sobre la
superficie interna del motor, incluyendo la boquilla. Por el teorema de la cantidad de
movimiento, esta fuerza es igual al aumento de la cantidad de movimiento de los productos
de combustión.
196
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2.1.3. Hélices:
El propulsor de hélice no se utilizó como método practico de barcos y aviones sino hasta los
siglos XIX y XX respectivamente, cuando se dispuso de motores con suficiente potencia.
Tanto para barcos o aviones, el principio de propulsión con hélices es el mismo. Las palas o
paletas al girar con rapidez desarrollan una fuerza ascensional que tiene una componente en
la dirección del eje de rotación que se suma a la fuerza de empuje en la dirección axial. Las
aspas giratorias hacen que el fluido se acelere en dirección axial, de forma que el fluido que
ha pasado por la hélice se mueve con una rapidez mayor que la que tiene cuando llego hasta
el barco o avión. Este aumento de la cantidad de movimiento del fluido impelido es igual al
empuje de la hélice.
197
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Fig. 8: En el flujo que pasa por la hélice de un avión, las líneas de la corriente que pasan a
los lados de la hélice, encierran el fluido que pasa por ella. El fluido de acercamiento tiene
una velocidad de vuelo Vf , se acelera por la velocidad de una hélice Vp y a una velocidad
todavía mayor Vw en la estela de la hélice lejos de la corriente hacia abajo, resultando en
una fuerza de empuje F.
En la fig. 8 se proporciona el esquema del flujo a través de una hélice. Corriente arriba de la
hélice, el fluido experimenta una aceleración desde una velocidad de vuelo Vf a una
velocidad mayor Vp conforme pasa por la hélice, la cual es menor que la presión
atmosférica. El fluido sobre el cual ha actuado la hélice experimenta un aumento de presión
y alcanza el valor psal que es superior al de la presión atmosférica. En la región de la estela,
detrás de la hélice, el fluido se acelera hasta alcanzar una velocidad Vw aun mayor
conforme la presión desciende a la presión atmosférica. La hélice actúa como una bomba
para aumentar la presión del fluido que fluye a través de ella una cantidad psal - pent , con lo
que la velocidad del flujo Vf aumenta a Vw . Al acelerarse el flujo, las líneas de corriente
convergen a fin de preservar el gasto másico constante del fluido que pasa por la hélice.
Para analizar este flujo de la hélice, primero se selecciona un volumen de control que rodee
la hélice únicamente, como lo ilustra la línea punteada de la fig. 8. Si se supone que el flujo
es incompresible, la conservación de la masa requiere que las velocidad del flujo entrante y
del flujo saliente sean iguales:
( VAp )ent ( VAp )sal ρVp Ap m ... (2.1.1)
198
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
pues las dos áreas, la del flujo entrante y la del saliente, son iguales al área del flujo de la
hélice, Ap = Dp2 /4. Al aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento a este volumen de
control, es posible encontrar la fuerza de empuje F.
d
dt v
Vd v m V mV
sal ent
0 mV p mV p pent Ap psal Ap 0 0 F
2 2
Pa V f p V
ent p
ρ 2 ρ 2
2 2
Psal V p p a Vw
ρ 2 ρ 2
Donde la presión del fluido es la presión atmosférica pa en un punto alejado corriente abajo
y corriente arriba. Si se suman estas ecuaciones, se encuentra que la presión aumente a través
de la hélice:
2
Psal Pent Vw V f
2
... (2.1.3)
ρ 2 2
199
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Vw 2 V f 2
F . Ap ... (2.1.4)
2 2
por lo tanto, la fuerza de empuje aumenta con un aumento en la velocidad de estela Vw que
supera la velocidad de vuelo Vf, aunque no solo en proporción a ese aumento.
d
dt v
Vd v m V mV
sal ent
0 mVw mV f 0 0 0 F
F m (Vw V f )
Donde solo el fluido dentro de las líneas de corriente que pasa por la punta de la hélice
contribuye al cambio neto en el flujo neto de cantidad de movimiento, (mV) ent - (mV) sal.
si ésta se sustituye en la ecuación (2.1.4) y se aplica la ecuación (2.1.1), se encuentra que:
Vw V f
Vp ... (2.1.5)
2
200
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
empuje aumenta como el producto de estas cantidades, lo cual puede apreciarse al combinar
las ecuaciones (2.1.4) y (2.1.5).
F . Ap .V p ( Vw V f ) ... (2.1.6)
En un marco de referencia fijo en el fluido por el cual se mueve la hélice, el paso de la hélice
deja una estela de fluido que se mueve con velocidad Vw - Vfen la dirección opuesta al
movimiento del vehículo. Esta corriente de fluido en movimiento contiene la energía cinética
originada del consumo de parte de la potencia que suministra el motor de propulsión que
hace funcionar la hélice. Es relativamente sencillo calcular la potencia que interviene para
impulsar el vehículo, si se advierte que la potencia Pp suministrada a la hélice es el producto
del gasto volumétrico VpApa través de la hélice multiplicado por el aumento de presión Psal -
Pent.
Pp Ap .V p (Psal Pent )
V p .F ... (2.1.7)
Donde se ha utilizado la ecuación (2.1.2) para eliminar Psal - Pent. Sin embargo, la potencia
Pv que se suministra es el producto de la fuerza de empuje F multiplicado por la velocidad
Vf del vehículo, potencia que es menor a la potencia Pp de la hélice. La razón de estas dos
cantidades se conoce como Rendimiento de Propulsión prop.
Pv FV f 2V
η prop ... (2.1.8)
Pp FV p Vw V f
Donde se usó la ecuación (2.1.5) para eliminar Vp . Puesto que Vw debe ser mayor que Vf al
fin de producir cierto empuje, el rendimiento de propulsión siempre es menor que la unidad.
La potencia perdida se consume en la energía cinética a la estela. A fin de reducir esta
pérdida de potencia y aumentar el rendimiento de propulsión se debe utilizar el área Ap lo
más grande posible de forma que se reduzca al mínimo de la diferencia de velocidad Vw -
Vf , en tanto se siga proporcionando el empuje necesario. El tamaño de las hélices de los
barcos y aviones se encuentra limitado por consideraciones prácticas y proporciona
rendimiento de propulsión, que en general, se aproximan al 90%.
201
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
El área de la paleta o pala de la hélice de un avión es solo cierto porcentaje del área Ap ya
que es posible desarrollar la fuerza de empuje requerida incluso con la paleta de área
relativamente pequeña. Sin embargo, en el caso de las hélices de un barco, el área de la
paleta es una fracción grande de Ap a fin de evitar cavitación, v.g., la formación de burbujas
de vapor en la superficie de la paleta.
Una turbina eólica es un dispositivo que permite producir potencia mecánica útil con el
movimiento del viento. Aunque ya en los siglos pasados se utilizaron los molinos de viento
para moler granos y bombear el agua, en los últimos años, se han construido eficientes
turbinas eólicas que generan energía eléctrica, la cual se aprovecha lejos del lugar donde se
encuentra la turbina. Estas turbinas están montadas sobre torres que permiten que el eje de la
turbina, que por lo regular es horizontal, se oriente en la dirección del viento. Las paletas de
la turbina (tres, por lo común) son muy parecidas a las paletas de la hélice de un avión,
aunque en general su diámetro es mucho mayor a fin de generar cantidades económicas de
potencia. El flujo del viento que pasa por las paletas giratorias de la turbina eólica es idéntico
al que atraviesa por la hélice de la fig. 8, a excepción de que las direcciones del flujo están
invertidas, v.g., el flujo corre de derecha a izquierda en la fig. 8. En otras palabras, la
velocidad del viento Vwes mayor que la velocidad de estelaVf , el aire desacelera al pasar a
través de la turbina eólica. La presión del aire decrece a través de la turbina eólica (Pent>Psal),
la cual extrae una potencia Pwt del fluido a una rapidez que se determina al combinar las
ecuaciones (2.1.7), (2.1.4 y (2.1.5).
V V
2
Podría pensarse que la máxima potencia se extraería de la turbina eólica cuando su velocidad
de estela Vf= 0, v.g., la turbina eólica extraería toda la energía cinética del viento. De hecho,
la potencia máxima se obtiene cuando la velocidad de estela Vf= Vw /3, valor de Vf para el
cual la potencia es:
16 1 3
Máxima Pwt 2 ρ Ap Vw ... (2.2.2)
27
Donde el termino dentro del paréntesis es el flujo de la energía cinética del viento que pasa
por un área Ap, v.g., el producto de un gasto másico VwAp multiplicado por la energía
cinética del viento por unidad de masa de aire Vw2 /2 . Puesto que la máxima potencia que
puede suministrar una turbina eólica varía según el cubo de velocidad del viento, los lugares
202
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
más económicos para las turbinas eólicas son los que presentan altas y sostenidas
velocidades del viento.
Fig. 9: Turbinas eólicas dispuestas en línea en una “granja eólica”. Estas turbinas, que
generan 400kw cada una de ellas, tienen un diámetro de 33 metros y sus ejes se encuentran
30 metros por encima del nivel del suelo.
La fig. 9 presenta un arreglo de turbinas eólicas en una granja eólica. Por lo regular se
encuentran separadas a una distancia de 2 a 3 diámetros en la dirección transversal del viento
y de 5 a 10 diámetros en la dirección del viento, con respecto a la dirección del viento
prevaleciente. Estas turbinas eólicas poseen un sistema activo de control para orientarlas en
la dirección del viento de modo que las paletas de la turbina se encuentren corriente arriba de
la torre de apoyo.
203
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Fig. 10: El área Aw de sección transversal de la estela que deja detrás un motor de reacción
se expande al aumentar la distancia x a partir del motor de reacción, en tanto que la
velocidad Vw de la estela disminuye y se acerca a la velocidad Vf de vuelo.
En la sección 2.1, se menciono que una hélice o un motor de reacción detrás un rastro de
fluido que se mueve con respecto al medio por el cual viaja el vehículo. Este “río” de fluido
se conoce como estela. Con el tiempo, el fluido de la estela se mezcla con el medio
circundante y disminuye su velocidad. El cambio en la velocidad de flujo de la estela es tal
que éste conserva la cantidad de movimiento.
d
dt v
Vd v m V mV
sal ent
204
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
0 mVw mV f 0 0 0 F
Donde m es el gasto másico del fluido que pasa por la estela a la distancia x,
m w Aw Vw
Al cambiar estas ecuaciones, se encuentra que:
F
Vw (Vw V f )
w Aw
V f V f 4 F / w Aw
2
F
Vw V f
2 w Aw V f ... (2.3.1)
Fig. 11: Un chorro dirigido hacia un medio estacionario se difunde con la distancia x desde
la fuente del chorro ala arrastrar con el fluido circundante. El fluido del chorro viaja más
lentamente al aumentar el área Aj del chorro, pero la cantidad de movimiento del chorro
permanece constante.
205
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
El flujo de un fluido que proviene de una fuente dirigida hacia los alrededores en estado
estacionario, forma un flujo de chorro. Al igual que la estela, el área de sección transversal
de la corriente de fluido que parte de una fuente crece al mezclarse con fluido del medio
circundante, como se ilustra en la fig. 11. La velocidad del chorro Vj disminuye con la
distancia x desde la fuente de forma que se conserva la cantidad de movimiento en el
chorro. Si se aplica la ecuación de la cantidad de movimiento al volumen de control, se
encuentra que la velocidad del chorro es:
d
dt v
Vdv m V m V
sal ent
0 ρ j .A j .V j ρs .As .Vs 0 0 0 0
2 2
ρs As
V j Vs ... (2.3.2)
ρ j Aj
Donde el subíndice s identifica las condiciones del flujo en la fuente del chorro. Como en el
caso de la estela, se observa que el área Aj del chorro crece como x 2 a grandes distancias de
la fuente.
Fig. 12: La bomba de chorro está compuesta de un chorro coaxial de un fluido de alta
velocidad que se inyecta en un tubo que lleva un fluido de menor velocidad. Al mezclarse las
dos corrientes, se produce un aumento en la presión de las dos corrientes.
206
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Uno de los usos prácticos de un fluido comprende el bombeo de fluidos para llevarlos a una
presión mayor diferente del uso del chorro de un fluido que se inyecta en una tubería con
contiene un fluido en movimiento. En la fig. 12, se ejemplifica esta bomba de chorro y
presenta un chorro, con velocidad Vs y área As, alineado con el eje de una tubería de área
A en un punto donde la velocidad de flujo de la tubería es V1 y la presión es p1 . A una
distancia corriente abajo, donde las dos corrientes se han mezclado por completo, V2 es la
velocidad y p2 es la presión que es mayor que p1. La cantidad del aumento de la presión
p2 - p1 depende de las velocidades V1 y Vs y la razón As/A de las áreas, dependencia que
es posible determinar si se aplica la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento
al fluido dentro del volumen de control de la fig. 12. Se considera el caso para el cuan tanto
el fluido de chorro como el bombeado son incompresibles y tienen la misma densidad . Si
se aplica la conservación de la masa al flujo estacionario del fluido a través de la superficie
de control de la fig. 12.
d
dt v
Vdv m V m V
sal ent
(p1 - p2 )A 0 0 0
207
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
As As
p1 - p2 1 - A ρ(Vs V1 )
2
... (2.3.3)
A
2
p1 - p2 As /A V1
1
2
1 (As /A)
... (2.3.4)
(1/2) .Vs 1 (As /A) 2
2
Vs
Puesto que As/A 1 y V1/Vs 1, el lado derecho de la ecuación (2.3.4) siempre es menor
que 1.
Fig. 13: En el flujo de agua que choca con el álabe o paleta de una turbina Pelton, una
boquilla dirige una corriente de agua de alta velocidad tangente al disco de la turbina al cual
208
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
se han fijado álabes radiales (la forma del área transversal de los álabes se esquematiza en
esta fig.). Los álabes se mueven en la dirección del chorro de agua, interceptando la corriente
por lo menos un álabe. Las velocidades del fluido relativas al álabe se indican con las flechas
de línea continua, en tanto que las velocidades del fluido y el álabe en el marco de referencia
del laboratorio se representan con las flechas punteadas.
El fluido que fluye a través de una turbina produce potencia al ejercer una fuerza sobre la
paleta de la turbina en movimiento. Se da forma a la paleta de modo que esta permita
producir un cambio en la dirección del fluido que la atraviesa, con lo cual se produce una
fuerza ocasionada por el cambio en la cantidad de movimiento del flujo del fluido.
En la fig. 13, se proporciona un ejemplo de dicho flujo y se ilustra un chorro de agua con
velocidad Vn que parte de una boquilla cuya área de flujo es An e incide sobre la paleta de
una turbina que se mueve a velocidad Vb que es menor que la velocidad de chorro. La forma
de la paleta permite casi invertir el flujo del agua, al redirigirlo en cantidades iguales hacia
ambos lados de la corriente de la boquilla. La fuerza Fb que se ejerce sobre la paleta
equilibra el cambio en la cantidad de movimiento del flujo redirigido.
Para analizar este flujo, elíjase un volumen de control alrededor de la paleta, como se
muestra en la fig. 13, el cual quede fijo en relación con la paleta, lo cual constituye un marco
de referencia inercial. La velocidad Vr de la corriente de agua relativa a la paleta, v.g., la
velocidad media relativa al volumen de control, es:
Vr Vn Vb
d
dt v
Vd v m V mV
sal ent
209
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Vn
Pt Pb ρ.An .Vn .Vb (Vn Vb )(1 Cos ) ... (2.4.3)
Vr
V
2
Vn (1 Cos ) Vn
3
Máx. Pb ρ.An n V (1 Cos ) ρ.An
2
n ..(2.4.4)
2 2 2
210
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
máxima que puede desarrollar la paleta es ( 1+ Cos )/2 1 multiplicada por la potencia
disponible.
Fig. 14: Flujo a través de la corona de álabes de una turbina. Se representa las velocidades
del flujo de entrada y del fluido de salida en el marco de referencia del laboratorio (flechas
punteadas) y en el marco de referencia de la corona de álabes (flechas de línea continua),
vistas en dirección radial hacia adentro. Los álabes, con forma aerodinámica, desvían el flujo
desde el ángulo relativo del flujo de entrada hasta el ángulo relativo del flujo de salida.
211
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Fig. 15: El flujo bidimensional de agua debajo de una compuerta es un flujo uniforme,
horizontal lejos tanto corriente arriba como corriente debajo de la compuerta. La fuerza
limitadora o restrictiva que mantiene la compuerta fija en su lugar resulta del equilibrio de la
cantidad de movimiento lineal.
p .g.z pa .g.hent
De tal forma que la integral de la presión neta del flujo corriente arriba, por ejemplo se
convierte en:
(2.5.1)
212
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
d
dt v
Vd v m V mV
sal ent
hent hsal
W (p pa )dz W (p pa )dz 0 0 F
0 0
F 1
.g ( hent hsal ) . hent.Vent . hsal .Vsal ... (2.5.2)
2 2 2 2
W 2
Donde se ha despreciado la fuerza viscosa que actúa sobre el cauce de la corriente. Ahora es
posible eliminar Vent de esta expresión aplicando la conservación de la masa al volumen de
control:
h
Vent sal Vsal ... (2.5.3)
hent
F 1 h
ρ.g(hent - hsal ) - ρ.g.hsal .Vsal 1 sal
2 2 2
... (2.5.4)
W 2 hent
213
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Para simplificar más aún esta expresión, se supone que el flujo que atraviesa la compuerta es
un flujo no viscoso, por lo que se puede aplicar a una línea de corriente a lo largo de la
interfaz aire-agua la ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario:
2 2
Pa Vsal p V
g.hent a sal g.hsal
ρ 2 ρ 2
hsal 2 Vsal 2
1 2 g(hent hsal )
hent
2
2
2g.hent
2
Vsal ... (2.5.5)
hent hsal
F 1 (hent hsal )3
ρ.g ... (2.5.6)
W 2 hent hsal
214
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Puede suceder que el flujo de agua en un canal sin obstrucción sufra un aumento espontáneo
del nivel, como se presenta en la fig. 16. Este flujo se conoce como Resalto Hidráulico. La
región de transición desde el flujo uniforme corriente arriba hacia otro flujo uniforme
corriente abajo es irregular y aleatoria, pues se trata de un flujo turbulento con pequeñas
ondas en la superficie que parecen romperse. En tanto que no es posible describir el flujo en
esta región de transición, se puede relacionar las condiciones corriente arriba y corriente
abajo en el resalto hidráulico utilizando el teorema de la cantidad de movimiento.
2
Vsal 1 h h
ent ent 1 1
g.hsal 2 hsal hsal
2
Vent 1 h h
sal sal 1 1 ... (2.5.7)
g.hent 2 hent hent
La conclusión a extraer de la ecuación (2.5.7) es que el flujo corriente arriba debe tener una
Este flujo se conoce como flujo supercrítico puesto que se mueve mas rápido de lo que se
pueden propagar las ondas gravitatorias en la interfaz agua-aire. Por otra parte, el flujo
Para el flujo debajo de la compuerta que se ilustra en la fig. 15, la velocidad del flujo de
salida Vsal de la ecuación (2.5.5) obedece la relación:
215
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2
Vsal 2(hent /hsal )2
1 ... (2.5.8)
g.hsal (hent /hsal ) 1
Donde la desigualdad se cumple cuando henthsal lo cual es siempre es el caso para el flujo
debajo de la compuerta. Por lo tanto, es posible que exista un resalto hidráulico corriente
debajo de una compuerta. Sin embargo, la profundidad de la corriente final corriente debajo
de ese resalto hidráulico siempre es menor que el nivel corriente arriba de la compuerta.
3. MOMENTO ANGULAR:
La ley del movimiento de Newton puede expresarse en términos del momento angular al
multiplicar por R la ley de la cantidad de movimiento:
d
R (mV) R F
dt
d dR
(R mV) - mV R F
dt dt
d
(R mV) R F ... (3.1.1)
dt
Donde el segundo termino de la segunda línea de la ecuación (3.1.1) es cero debido a que dR
/dtx V = V x V = 0 . Expresando en palabras, la ley de Newton establece que la razón de
cambio respecto al tiempo del momento angular de la masa es igual al momento de la fuerza
que actúa sobre la masa. Por supuesto esta no es una segunda ley adicional a la cantidad del
movimiento, sino otra forma de expresar la misma ley del movimiento.
216
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Ahora se desea aplicar esta ley al fluido encerrado por un volumen material de control. Se
comienza por denotar el momento angular en el volumen de control mediante H.
dH
dt S
( R [-pn ])dS ( R τ)dS ( R ρ.g)dv ... (3.1.3)
S v
La razón de cambio respecto al tiempo del momento angular dH /dt , en la ley de Newton del
momento angular, la ecuación (3.1.3), se refiere a un volumen material. Para expresar estos
términos de un volumen fijo de control que ocupa la misma posición que el volumen
material en un instante particular de tiempo, se aplica el teorema del transporte de Reynolds
con b = R x V.
dH d
dt
dt ( R ρV )dv ( R V )( V . n )dS
v S
... (3.2.1)
Si esta ecuación (3.2.1) se sustituye en la ley de Newton del momento angular, ecuación
(3.1.3), se encuentra el teorema del momento angular para el flujo de un fluido.
d
dt ( R ρV )dv ( R V )( V . n )dS
v S
217
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Al igual que el teorema de la cantidad de movimiento, esta ecuación vectorial tiene tres
componentes. Un producto como R x V tiene una dirección que es perpendicular tanto a R
como a V. En el caso de flujos con simetría axial, como el que se encuentra en las turbo
máquinas, la única componente distante de cero del momento angular tiene la misma
dirección que el eje de simetría.
Las turbo máquinas centrífugas aumentan la presión del fluido que pasa entre ellas en virtud
de la alta velocidad angular del rotor, el cual somete el fluido a una aceleración centrífuga
que debe mantenerse mediante un inmenso gradiente radial de presión. Se sabe que el
aumento de la presión en un fluido incompresible y no viscoso a través de una bomba
centrífuga es 2Rsal2, donde Rsal es el radio de la punta de la pala del rotor, en el supuesto
de que las áreas del flujo que entra y el que sale son iguales.
Para cualquier dispositivo centrífugo con un flujo axial de entrada (v.g., sin momento
angular del flujo de entrada) y un flujo radial de salida, es posible determinar el momento de
torsión T del rotor al aplicar el teorema del momento angular a un volumen de control que
circunde al rotor:
d
dt ( R ρV )dv ( R m V )
v
sal ( R m V )ent
218
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
0 m ( RV ) sal i z 0 0 0 0 T
T m 2 Rsal
2
iz si (V ) sal Rsal ... (4.1.2)
Pent Ω . T m Ω ( R Vθ )sal
m 2 Rsal
2
Si, (V ) sal Rsal ... (4.1.3)
En los motores de reacción y en las plantas de energía con turbinas de gas o vapor, el flujo
del fluido posee una componente radial muy pequeña, donde las componentes de la
velocidad son principalmente tangenciales y axiales. A estas se les llama Máquinas de flujo
axial para distinguirlas de las máquinas centrífugas. El cambio de la presión a través de la
etapa del rotor se relaciona con el cambio de la velocidad tangencial relativa. En contraste
con la máquina centrífuga, la corriente de flujo de entrada puede poseer algún momento
angular, en especial en el caso del rotor de una turbina, el cual debe considerarse al aplicar el
teorema del momento angular.
219
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Fig. 17: Como se ilustra en (a), la etapa de una turbina de flujo axial comprende un juego de
álabes o paletas estacionarios del estator y una corona de álabes del rotor en movimiento que
tiene una velocidad tangencial R a la derecha. Como se ejemplifica en le diagrama (b) de
velocidades, cada una de las coronas desvía el flujo que entra y lo cambia de un flujo
(relativo) puramente axial a un flujo con una componente tangencial relativa de R. (Los
vectores de líneas punteadas son las velocidades relativas al estator estacionario, en tanto que
los vectores de las líneas continuas son velocidades relativas al rotor en movimiento).
Un ejemplo de una etapa de turbina, que comprende una corona de paletas del estator y una
corona de paletas del rotor, se ilustra en la fig. 17(a). En este caso, las paletas del estator y
del rotor están diseñadas para aceptar un flujo de entrada meramente axial y hacer girar al
flujo un ángulo grande en tanto que el flujo se acelera debido a una caída de presión. El
aumento en la velocidad y el ángulo de deflexión son tales que la componente tangencial de
la velocidad de salida es igual a la velocidad tangencial R del rotor. En la fig. 17(b) se
ilustra el diagrama de vectores correspondientes a las velocidades absolutas y relativas a
través del estator y el rotor.
Es posible aplicar el teorema del momento angular al rotor a fin de calcular el momento de
torsión T aplicado al rotor:
d
dt ( R ρV )dv ( R m V )
v
sal ( R m V )ent
0 0 (R m R )i z 0 0 0 T
220
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
T m R 2 i z
P ( Ω i z ).( m Ω R 2 iz ) m ( Ω R) 2
De haberse aplicado el teorema del momento angular tanto al estator como al rotor, se
habría encontrado que el momento de torsión neto seria cero debido a que ninguno de los
fluidos, el flujo de entrada del estator y de salida del rotor, tiene componente tangencial de la
velocidad. Por lo tanto, el momento de torsión aplicado al estator es igual en magnitud, pero
de dirección opuesta, al aplicado al rotor. Este momento de torsión del estator se transmite al
apoyo de la turbina y se compensaría por el momento de torsión trasmitido a la base del
generador eléctrico accionado por turbina de gas.
Si este flujo fue incompresible y no viscoso, entonces podría calcularse la caída de presión a
través de la etapa. Para el estator, al aplicar la ecuación de Bernoulli 1 y 2,
p1 V12 p2 V22
2 2
p1 V22 V12
p2
2 2
221
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
V1 V2 z V3
Si se supone que no hay cambio en el área del flujo a través de la etapa. Si se las dos
ecuaciones para el cambio de presión y se utiliza la constancia de la componente axial de la
velocidad que se deduce de la conservación de la masa, así como la relación V2 2 = V2z 2 +
(R) 2 , se encuentra que:
p1 p3 (R ) 2
4.3. HELICES:
El fluido que fluye hacia el interior de una hélice en un avión o en un barco no posee
momento angular, pero gracias a la rotación de la hélice, se agrega al fluido cierto momento
angular en la dirección de la rotación de la hélice. Como se vera a continuación, la cantidad
de este momento angular depende de la velocidad angular de la hélice y de su empuje F.
Fig. 18: La velocidad Vb del fluido relativa a la paleta o pala de la hélice es una combinación
de la velocidad Vp del flujo a través de la hélice y la velocidad tangencial r i de la paleta
de la hélice. Este flujo relativo produce un incremento dL de la fuerza ascensional o
sustentación que tiene componentes en la dirección axial y tangencial.
La fuerza de empuje F que incide sobre la hélice es el resultado de una fuerza ascensional (o
sustentación) que la paleta de la hélice en movimiento genera. La fig. 18proporciona un
diagrama de vectores de la velocidad Vb relativa a la paleta, la cual es la suma vectorial de
222
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
la velocidad axial Vp del fluido al pasar por la hélice menos la velocidad tangencial de
rotación de la paleta de la hélice,
xR = iz x R ir = R i . La paleta de la hélice tiene una forma helicoidal que le permite
producir un pequeño ángulo de ataque de la sección transversal de la paleta respecto al flujo
relativo, como se ilustra en la fig. 18. El perfil aerodinámico de la hélice genera un
incremento dL de la fuerza ascensional (o sustentación) que actúa sobre un incremento ds de
la separación de la hélice. La fuerza ascensional dL tiene un dirección perpendicular a Vb
que forma un ángulo con el eje de rotación de la hélice. El incremento dL de la fuerza
ascensional tiene una componente ( Cos ) dL en la dirección axial y una componente
tangencial ( Sen ) dL que contribuye, respectivamente, a los incrementos de dF y dT del
empuje F y el momento de Torsión T.
dF (Cos )dL
dF Vp
dT R(Sen ) R(Tan )dF dF
Cos
Lo cual puede integrarse a lo largo de la envergadura de la hélice para dar la magnitud del
momento de torsión T en la relación con el empuje F.
Vp F
T ... (4.3.2)
Advierte que esta relación es consistente con el requisito de que la potencia Pp suministrada a
la hélice, que es igual a T, también es igual a Vp F, por la ecuación (2.1.7).
223
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
La conservación del momento angular, ecuación (4.3.2) dice que, para una hélice, el
momento angular de la estela de la hélice, ( R xmV )sal, es igual al momento de torsión T y
así es proporcional al empuje F en virtud de la ecuación (4.3.2).
0 ( R m V )sal 0 0 0 T
Vp F
( R m V )sal i ... (4.3.3)
EJERCICIO:
Se tiene una compuerta que sirve para regular el caudal del canal, la altura de agua del
frente de la compuerta es de 1.50m, despreciando la fuerza e fricción y la componente
del peso, calcular la fuerza sobre la compuerta, debido a la descarga del fluido bajo esta,
cuando ésta presenta una abertura de 0.30m.
Asumir: Q = 5m3/s, A = 3.35m2
Fp1 F
QV2
Caso I: corte a 30 cm. QV1
Empleando la ecuación de la energía: Fp2
P1
Z1
V1 2
P2
Z2
V2 2
2g 2g
Z1 Z 2
V2
2
1.5 h2
2g
V2 2 29.43 19.62h2
224
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Además: V2 A2 V1 A1
1.5
V2 V1 y V1= 1.43 m/s
h2
Reemplazando en la ecuación anterior; tenemos:
h2 0.48 m
V2 4.465 m / s
Además:
Fx QV
Fp1 Fp2 F Q 4.4652 1.432
F
(b)
2
h h 15175 N
1
2
2
2
F 7906.302 N 805.9 Kg
F
(b)
2
h
1
2
h2 F
9810(2.33)
2
2
1.52 0.282 17315 N
F 7503.456 N 764.878 Kg
225
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Fx QV
Fp1 Fp2 F Q4.852 1.43
F
2
(b)
h
9810(2.33)
2
1
2
h2
2
1.52 0.302 17110 N
F 7575.884 N 772.261Kg
TABULACIÓN DE DATOS
fuerza x
805,9 30
764,,878 10
772,261 1
810
fuerza resultantre (Kg)
y = 130,83x + 763,13
800
790
780
770
760
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
distancia de corte (m)
INTERPRETACIÓN:
Cada vez que el radio de corte se hace más pequeño. La fuerza tiende a disminuir,
debido a que la vena va tomando valores más próximos al de la compuerta de descarga,
y mientras este radio se aleje de la compuerta, aumentará la altura, por lo cual la
velocidad tenderá a disminuir y aumentará la presión, y mientras está más cerca de la
compuerta la velocidad es mayor. Por lo que la presión disminuye y la fuerza también.
226
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
1.- OBJETIVOS
2.- GENERALIDADES
El orificio se utiliza para medir el caudal que sale de un recipiente o pasa a través de una
Tubería. El orificio en el caso de un recipiente, puede hacerse en la pared o en el fondo.
Es una abertura generalmente redonda, a través de la cual fluye líquido y puede ser de
arista aguda o redondeada. El chorro del fluido se contrae a una distancia corta en
orificios de arista aguda. Las boquillas están constituidas por piezas tubulares adaptadas
a los orificios y se emplean para dirigir el chorro líquido. En las boquillas el espesor de
la pared e debe ser mayor entre 2 y 3 veces el diámetro d del orificio.
227
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Figura .2 Orificios de pared delgada, e espesor de la pared del orificio, d diámetro del
orificio.
1) Orificios circulares.
2) Orificios rectangulares.
3) Orificios cuadrados.
228
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
1) Orificios pequeños
2) Orificios grandes
Orificios con Descarga Sumergida. Cuando el orificio descarga a otro tanque cuyo nivel
está por arriba del canto inferior del orificio, se dice que la descarga es ahogada. El
funcionamiento es idéntico al orificio con descarga libre, pero se debe tener en cuenta
que la carga ¨h es entre la lámina de flujo antes y después del orificio.
229
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
4.1 Cilíndricas
También denominadas boquillas patrón y de comportamiento similar al de un orificio de
pared gruesa. Aquellas, a su vez, están divididas en interiores y exteriores. En las
boquillas interiores (o de Borda) la contracción de la vena ocurre en el interior, no
necesariamente el chorro se adhiere a las paredes y presenta un coeficiente de descarga
que oscila alrededor de 0.51 (Azevedo, N. y Acosta, A., 1976).
Para el caso de boquillas cilíndricas externas con la vena adherida a las paredes se tiene
un coeficiente de descarga de 0.82 (Azevedo, N. y Acosta, A., 1976), ver Tabla.1.
4.2 Cónicas
Con estas boquillas se aumenta el caudal, ya que experimentalmente se verifica que en
las boquillas convergentes la descarga es máxima para = 13 30´, lo que da como
resultado un coeficiente de descarga de 0.94 (notablemente mayor al de las boquillas
cilíndricas). Las boquillas divergentes con la pequeña sección inicial convergente se
denominan Vénturi, puesto que fueron estudiadas por este investigador, que demostró
experimentalmente que un ángulo de divergencia de 5 grados y e = 9d permite los más
altos coeficientes de descarga.
230
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Figura .7 Tipos de boquillas (a) cilíndricas, (b) cónica divergente, (c) cónica
convergente, Azevedo, N. y Acosta, A., 1976.
…………………………(a)
Q : caudal.
K : constante característica del orificio.
H : carga hidráulica medida desde la superficie hasta el centro del orificio.
m: exponente.
5.2 Cálculo de la velocidad teórica Vt.
……………………….(b)
Para el caso de un estanque libre la velocidad y presión relativa son nulas (V1=0, P1=0),
si el chorro en 2 está en contacto con la atmósfera P2=0, y despreciando pérdidas hp, se
tiene que la velocidad teórica en 2 es:
……………………………(c)
231
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Coeficiente de descarga Cd: es la relación entre el caudal real que pasa a través del
dispositivo y el caudal teórico.
…………………………………(d)
…………………………(e)
Q : caudal.
VR : velocidad real.
Ach: área del chorro o real.
Vt: velocidad teórica.
A0 : área del orificio o dispositivo.
H : carga hidráulica.
...........................................(f)
Coeficiente de contracción Cc: Relación entre el área de la sección recta contraída de
una corriente (chorro) y el área del orificio a través del cual fluye, véase Figura .8.
............................................(g)
………………………………(h)
232
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Figura .10 Variación del coeficiente de contracción (Cc) en orificios circulares para
diferentes diámetros (modificado de Azevedo, N. y Acosta, A., 1976).
En la Figura .10, Figura .11 y Figura .12 se observa una leve variación, con respecto a la
carga hidráulica H, en los coeficientes de velocidad (Cv), descarga (Cd) y contracción
(Cc), que tiende a desaparecer cuando la carga hidráulica es superior a 3.0m. Los
mayores valores de Ccy Cd se obtienen con los diámetros más pequeños, situación
inversa para Cv.
233
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Figura .11 Variación del coeficiente de velocidad (Cv) en orificios circulares para
diferentes diámetros (modificado de Azevedo, N. y Acosta, A., 1976).
234
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235
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
…………………(i)
………………….(j)
…………………..(k)
………………….(l)
………………….(ll)
……….(m)
………….(n)
Haciendo varias observaciones, para cada caudal se miden H, X y Y, se calcula el Cv
correspondiente. Si la variación de Cv no es muy grande, se puede tomar el valor
promedio como constante para el orificio.
236
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
A = área
dh Transversal Variable
h1
Nivel del líquido en un h
instante cualquiera t
h2
Figura 13. Tiempo de desagüe de un depósito por un orificio, en este problema el nivel
de la superficie libre varía, así como el área transversal de la misma.
dτ = A dh……………………….(c)
donde A: área de la sección transversal del depósito en el instante t, variable.
237
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
…………..(d)
………….(e)
Integrando los instantes 1 y 2 tendremos:
h2
t2 Adh
t1
dt t2 t1
C A 2 gh
………..(f)
h1 q O
COEFICIENTE DE VELOCIDAD
Dado que el conocer la velocidad en un conveniente número de puntos de una sección
transversal permite calcular el gasto que circula a través de la sección, la medición de la
velocidad es un aspecto importante en la caracterización de un escurrimiento. La
velocidad se puede encontrar si se mide el tiempo que transcurre cuando una partícula
identificable del fluido recorre una distancia conocida. Este procedimiento se puede
efectuar siempre que sea conveniente o necesario y se ha empleado para estudiar el flujo
en regiones relativamente pequeñas, las cuales desaparecerían o se verían muy afectadas
si se introdujera un instrumento convencional para medir la velocidad.
238
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
MEDIDORES DE GASTO
Un medidor de gasto es un dispositivo que permite obtener, generalmente por medio de
una sola medición, el peso o el volumen que por unidad de tiempo pasa a través de
determinada sección transversal. En este tipo de medidores se pueden incluir los
siguientes: Orificios, Boquillas, tubos de Venturi, rotámetros y vertedores.
ORIFICIO EN UN DEPÓSITO
Para medir el gasto descargado por un depósito o que fluye a través de una tubería, se
puede emplear un orificio. En el primer caso, el orificio puede situarse en una de las
paredes o en el fondo del tanque y generalmente circular; la arista del orificio puede ser
afilada, como se muestra en la (figura 1), o redondeada, como en la (2). El área del
orificio es, por definición, el área de la abertura. En el caso de orificios con arista
afilada, el chorro de fluido descargado desde el tanque se contrae a corta distancia, del
orden de la mitad del diámetro, abajo de la abertura. Lo anterior se debe a que parte del
fluido se acerca al orificio a lo largo de la pared del tanque y no puede efectuar un
cambio de dirección en ángulo recto, conservando así una componente radial de la
velocidad mediante la cual se reduce el área del chorro. La sección transversal donde
esta contracción es mayor recibe el nombre de chorro contraído o sección contraída
(vena contracta). Las líneas de corriente en el chorro resultan paralelas en esta sección y
la presión es igual a la atmosférica.
La carga H sobre el orificio se mide desde el centro del orificio hasta la superficie libre.
Si se supone que esta carga es constante, entonces la ecuaci6n de Bernoulli aplicada
entre el punto 1 en la superficie libre y el punto 2 en el centro de la sección contraída,
239
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
es decir,
2
V2
00 H 00
2g
o bien ,
V2 2 gH
Va
Cv
Vt
V2 a C v 2 gH
El gasto real Qa descargado a través del orificio es igual al producto de la velocidad real
en la sección contraída y el área del chorro correspondiente. El cociente del área A2 del
chorro en la sección contraída entre el área A0del orificio se representa mediante otro
coeficiente llamado también coeficiente de contracción Cc:
A2
Cc
A0
Qa Cv Cc A0 2 gH
Se a cos tumbra combinar los dos coeficientes en uno sólo, conocido como Coeficiente de Desc arg a Cd :
C d Cv Cc
Qa Cd A0 2 gH
240
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2 y0 2 4
t 0.498 s
g 32.2
15.62
x0 V2 a t V2 a 31.4 pie / s
0.498
Por tanto,
V2 a 31.4
Cv 0.98
V2t 32.08
2000
Qa 0.984 pcs
62.4 32.6
Al emplear la ecuación,
Qa 0.984
Cd 0.625
A0 2 gH / 64 64.4 16
Cd 0.625
Cc 0.638
Cv 0.98
241
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Perdida H 1 Cv 16 1 0.982 0.63 pie.lb / lb
2
0.63 2000
0.070 hp
550 32.6
Para el tubo de Borda, consistente en un tubo corto y delgado (de longitud
aproximadamente igual a su diámetro) que resalta en el interior de un deposito (Fig. 3).
Se puede obtener una relación entre Cv y Cd al aplicar la ecuación de la cantidad de
movimiento. La velocidad a lo largo de la pared en todos sus puntos es prácticamente
cero. Teniéndose, por tanto, una distribución hidrostática de presiones. Debido a la
presencia del orificio, se tiene un .desbalance de las fuerzas quo actúan sobre el líquido
en la dirección del eje del tubo: HA0.
Tubo de Borda
ORIFICIOS CON CARGA VARIABLE
HA0 Qa V2 a
g
242
y recordando que
Qa Cd A0 2 gH V2 a Cv 2 gH
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
t y2 A d
t dt R y
Q
0 y 1
Cd A0 2 gy
1 y2
1
t AR y 2
dy
Cd A0 2 g y1
t
AR
Cd A0 2 g y1
y2
y
1
2
dy
2 AR
Cd A0 2 g
y1 y2
243
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Solución
1 1 y 12
2 9.806 2.5
t y dy 73.7 s
0.65π 0.052 2
3
CLASIFICACIÓN DE BOQUILLAS
Boquilla
Accesorio con un orificio sujeto a una carga de presión tal que produce la emisión de un
chorro de agua hacia la atmósfera.
La boquilla de flujo puede usarse allí en donde su aplicación quede justificada. Además tiene
ventajas para ser usada con fluidos que contienen sedimentos o sustancias sólidas en
suspensión. Su sección hidrodinámica evita que se depositen materias sólidas que pudiesen
cambiar el perfil de entrada.
244
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Boquillas a presión
Este es el atomizador a presión con el chorro más ancho, donde la energía para la
atomización es proporcionada exclusivamente por la presión del mismo líquido. El
orificio de la boquilla, la cámara giratoria y la parte superior de la boquilla son de
tungsteno, para evitar el desgaste y bajas en el desempeño de la boquilla. Los cuerpos
son hechos de acero inoxidable de alta calidad AISI 316.
245
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Boquillas de Aire
UEA 0010 V1
El perfil, estudiado cuidadosamente, de estas boquillas de aire ofrecen tanto alta
eficiencia, como un nivel limitado de sonido. De hecho, el patrón de lámina de la
boquilla, reduce remarcablemente la turbulencia originada por el aire que rodea el
ambiente y la pérdida de energía causada por las consecuentes emisiones de ondas de
sonido. El cuerpo de las boquillas de aire esta hecho de aluminio negro y el cople de
acero inoxidable AISI 303.
UEB
Las boquillas de aire UEB producen un patrón laminar de aire comprimido, con una alta
eficiencia y bajo ruido. Su diseño único permite las siguientes ventajas:
- EL orificio de salida está en una posición protegida y no expuesto al riesgo de
ser dañado por el impacto.
- Se pueden manufacturar estas boquillas de largos diferentes, hasta 600 mm.
246
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Las boquillas de chorro plano tipo F están diseñadas para aplicaciones de lavado de alta
presión. Su recorte interno, especialmente diseñado, permite una mejor distribución del
líquido, lo que resulta en una efectiva y uniforme acción de limpieza sobre la superficie
que está siendo tratada.
ANALISIS DIMENSIONAL
Un parámetro dimensional se puede considerar como el cociente de dos fuerzas que actúan en el
fenómeno, indicándose, mediante la magnitud relativa de este cociente, la importancia de una de
las fuerzas con respecto a la otra.
Si en un fenómeno dado, ciertas fuerzas resultan mucho mayores que otras, entonces es posible
despreciar, a menudo, el efecto de las fuerzas más pequeñas, dando lugar a que los parámetros
adimensionales se conviertan en característicos del fenómeno estudiado, recibiendo el nombre
de Números Adimensionales en algunos casos. (Reynolds, Froude, Euler, Mach, Wueber, etc.).
247
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Para determinar la forma de ecuaciones físicas a partir de las variables principales y de sus
dimensiones. Para comprobar cualitativamente ecuaciones. Para determinar las dimensiones de
coeficientes empíricos. Para establecer y realizar experimentos, descubriendo aspectos
desconocidos del problema. Para formular leyes de similitud de considerable importancia en la
investigación experimental.
1.2. DIMENSIONES
Las dimensiones empleadas en la mecánica son: fuerza, masa, longitud y tiempo, las cuales
están relacionadas entre sí por la segunda ley de Newton sobre el movimiento:
F = Masa ´ Aceleración
Donde la masa (inercial) es expresada a partir de esta relación, por lo cual solo tres de las cuatro
dimensiones empleadas son independientes entre sí. Según la combinación de las dimensiones
se puede hablar de dos sistemas de unidades: Absoluto y Gravitacional.
248
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Fuerza F Nw MLT-2 F
Longitud L M L L
Tiempo T S T T
249
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Listar todos los parámetros (m) significativos que influyen en el problema a estudiar, m es el
número de variables.
Ejemplo 1.1: Supóngase que se quiere estudiar la fuerza ejercida por una corriente
uniforme de fluido sobre un objeto inmerso en él:
Si, por ejemplo, se toman 10 valores diferentes de cada variable, se deberán realizar 105
experimentos para definir adecuadamente esa relación. En cambio, el Análisis
Dimensional va a permitir expresar esa relación como:
250
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Si, como antes, se toman 10 valores diferentes de cada variable, se deberán realizar
únicamente 102 experimentos para definir adecuadamente esa relación. Considérese
ahora que no se considera la influencia de la rugosidad, o si el cociente ε/L es el mismo:
y que se tienen dos objetos geométricamente semejantes tal que en el “objeto prototipo”
se tiene un tamaño L y en el “objeto modelo” se tiene un tamaño 2 L. Se va a igualar el
número de Reynolds entre el modelo y el prototipo (suponiendo que se utiliza el mismo
fluido):
Ejemplo 1.2
251
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
V = F (g,H)
Sistema MLT
Según Rayleigh V= C g b H a
LT-1 = C [L]a [L T - 2] b
Se debe cumplir que la suma de los exponentes de las dimensiones de la derecha sea
iguales a la suma de los exponentes respectivos de la izquierda.
Para L
1 = a + b Þ a = 1-b
Para T
- 1 = - 2b Þa=½yb=½
Por lo tanto
\ V = C g½H½
Ejemplo 1.3
1. Q = F( A,h,g,m,r )
2. Sistema FLT
252
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
[m ] = FL-2T , [r ] = FL-4T2
4. Q = C m a r b AcHdge
para F 0=a+b
para L 3 = -2a - 4b + 2c + d + e
Para T 1 = a + b –2e -1 = a-a-2e
b = -a
253
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Por lo tanto
Otra forma de analizar el problema sería cuando se asuma que el exponente d tienda a
, (d=1/2).
Este hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema de más de tres
incógnitas, pero no limita la utilidad del A.D para obtener la forma de los términos de
una ecuación.
El método de A.D de Rayleigh fue mejorado por Buckingham con una amplía generalización
que se conoce como el teorema P.
254
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Ejemplo: Supóngase que se quiere estudiar la fuerza ejercida por una corriente
uniforme de fluido sobre un objeto inmerso en él. Se sabe que esta fuerza, F, depende de
la longitud del objeto, L, de la rugosidad de la superficie, ε,de la velocidad del flujo, v,
de la densidad del fluido, ρ, y de su viscosidad, µ. Esta relación se puede expresar
como:
255
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2) En las variables nos aparecen las dimensiones M, L y T, por lo que se van a buscar j
= 3 variables que NO puedan formar grupo adimensional; por ejemplo, L, v y ρ no
forman grupo adimensional, luego j = 3.
3) Se elige a ρ, v y L como variables repetitivas.
4) Se forman productos de potencias de las variables repetitivas con el resto de
variables:
Para obtener los grupos adimensionales, además del Teorema Π, se puede aplicar el
“Método del producto de potencias, que consiste en expresar la función estudiada
como un producto de potencias de las variables de las que depende y aplicar el Principio
de Homogeneidad Dimensional:
256
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Dimensionalmente:
Ejemplo 1.4
La fuerza de arrastre que actúa sobre un cuerpo (esfera) que se mueve por un fluido de
viscosidad m y densidad r, es una función del diámetro y de la velocidad del objeto con relación
al fluido. Determinar la forma de la ecuación de esta fuerza.
Fa = f(D,V,r ,m ,) Þ F(Fa,D,V,r ,m ,) = 0
Dimensiones variables
[r ] = FL-4T2 , [m ] = FL-2T
Matriz dimensional
D V r m Fa
F 0 0 1 1 1
257
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
L 1 1 -4 -2 0
T 0 -1 2 1 0
Al analizar el determinante de las tres últimas variables se observa que su valor es igual a cero.
Pero cuando se conforma como:
V r m
0 1 1
-1 2 1
Número variables = 5
Variables geométricas: D
Variables Cinemáticas: V
Variables dinámicas: r, m, Fa
\ p 1 = DaVbrcm , p 2 = DdVerfFa
Para F 0 = c + 1 Þ c = -1
Para L 0 = a + b + 4 -2 Þ a= -1
Para T 0 = -b -2 + 1 = -b -1 Þ b = -1
258
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
De donde
p 1 = D-1V-1r -1m
para F 0 = f + 1 Þ f = -1
para L 0 = d + e + 4 Þ d = -2
para T 0 = - e -2 Þ e = -2
, en la cual:
En la mecánica de fluidos existen varios números o parámetros que son característicos del flujo
del fluido y de las propiedades que este posea. Siguiendo la tradición cada parámetro recibe el
nombre de algún científico o ingeniero destacado, generalmente aquel que utilizó por primera
vez el parámetro en consideración.
259
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
En 1880 Osborne Reynolds, estudió la transición entre el flujo laminar y turbulento a través de
un tubo. Reynolds pudo descubrir que el parámetro:
2.1
Donde:
Reynolds encontró que el flujo turbulento siempre pasaba a ser laminar, cuando al disminuir la
velocidad se hacía que R valiera menos de 2000. Este índice es el número "critico inferior de
Reynolds". Para tuberías convencionales el flujo cambiará de laminar a turbulento cuando Rse
encuentra en el rango de 3000 a 4000.
Donde:
260
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
William Froude junto con su hijo Robert Edmundo, estableció que el parámetro:
2.2
Donde:
g : Aceleración de la gravedad.
Resultaba significativo para los fluidos que presentaban una superficie libre, o sea en aquellos
en los cuales la gravedad jugaba un papel primordial. Froude encontró que cuanto menor era
este número mayor era la importancia de la gravedad y viceversa. Según este criterio los flujos
en canales se podrían clasificar, para características permanentes, en:
- Flujos críticos: F= 1
Donde:
= fuerza de gravedad
261
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2.3
Donde:
Este número es de gran importancia cuando se estudian las pérdidas de energía en una
conducción con base en la diferencia de presiones entre dos puntos determinados.
2.4
Donde:
V : Velocidad flujo.
c : Velocidad de propagación del sonido en el fluido.
Valores comunes de c
262
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
C Velocidad (m/s)
Aire 340
Agua 1460
Acero 5000
De esta forma el número de Mach también es de importancia en los problemas con predominio
de la elasticidad. Su significado se observa al elevar el número al cuadrado, es decir,
Subsónico M< 1
Sónico M = 1
Supersónico M > 1
Cuando se tiene un fluido incompresible, K es infinita y por lo tanto M = 0; para M » 0.3 los
efectos de compresibilidad son despreciables.
263
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2.5
Dónde:
s = tensión superficial
El fluido desde el punto de vista de su movimiento, estará definido por las siguientes
propiedades físicas:
Para cualquier tiempo su estado estará definido por la velocidad del sonido c en el fluido. Si el
escurrimiento está afectado por el peso del fluido, naturalmente dependerá de la intensidad de la
gravedad g.
264
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
La experiencia demuestra que para un conducto tal y con un fluido así definido, existe una
relación entre la velocidad del fluido o su gasto másico con la diferencia de presiones D P
medida entre dos puntos de posición definida por Lp.
Encontrar por análisis dimensional la relación entre estas variables y la importancia que puedan
tener en el escurrimiento las otras características.
Variables Cinemáticas: V, c, g.
Variables dinámicas: r ,m ,s ,D P
L L1 L2 V c g r m s DP
F 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
L 1 1 1 1 1 1 -4 -2 -1 -2
T 0 0 0 -1 -1 -2 2 1 0 0
Características de la matriz (r , m , s ): n = 3
Número grupos: p i = 7
Variables repetitivas: L, V ,r
p 5 = m /r VL p 6 = s /r V2L, p 7 = D P/r V2
Función resultante:
265
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
En donde:
Número de Euler
Consideraciones
266
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Es razonable suponer que la caída de presión en la tubería varíe linealmente con la longitud, es
decir, duplicando la longitud del tubo se duplica la caída presión, de manera que se tiene:
La caída de presión por unidad de peso en una longitud dada y sin variación de diámetro, se
conoce como la pérdida de carga o energía disipada por fricción o longitud hfó sea:
2.22
En la cual el término f es llamado factor fricción y es el factor adimensional necesario para que
la ecuación produzca el valor correcto de las pérdidas, por lo tanto no debe ser un valor
constante sino que depende de las variables agrupadas en la función 5 (f5), por lo tanto:
Función que incluye las características geométricas de la conducción y las propiedades del flujo
y esa relación se debe comprobar experimentalmente.
267
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
2.23
Donde la rugosidad del tubo no afectaba esta caída de presión .En 1840 Poiseuille obtuvo la
misma expresión y en 1856 Weidemann la dedujo analíticamente.
Al confrontar esta ecuación con la propuesta por Darcy-Weisbach se deduce que el factor de
fricción es solamente función del número de Reynolds, ó sea:
2.24
Como se vio anteriormente, Reynolds pudo clasificar experimentalmente los flujos, según la
relación existente entre la viscosidad, la velocidad y el diámetro de la tubería en Laminares
(R<200) y Turbulentos (R>4000).
En 1933 H. Blasius fue el primero en obtener correlaciones para los resultados experimentales
de flujo turbulento en tubos lisos. Sus resultados los presentó mediante una fórmula empírica
válida para número de Reynolds del orden de cien mil:
2.25
Los experimentos demostraron que para ciertos valores de e /D, los valores correspondientes a f
vs R quedaban incluidos en una sola curva sin importar el diámetro real del tubo. No se
pudieron variar los valores de f y m pero se comprobó la validez de la ecuación:
268
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Las teorías modernas para flujo viscoso incompresible y permanente han relacionado los
esfuerzos cortantes producidos en las paredes de los tubos con el factor de fricción y la
velocidad promedia, según la rugosidad del tubo. Para tubos lisos se obtuvo la expresión:
La cual según los experimentos realizados por Nikuradse, en la misma categoría de tubos, se
transforma en:
2.26
Para tubos rugosos con flujo completamente desarrollados, las teorías modernas, expresan el
factor de fricción como:
2.27
Cuando se aplicaron estas expresiones a tuberías comerciales, se encontraron diferencias con los
experimentos de Nikuradse, lo mismo que una zona en la cual no eran válidas las ecuaciones
(zona transición liso - rugoso). Estas diferencias se observan en la Figura 2.1.
269
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Estas diferencias se han explicado a partir de los conceptos de subcapa ó la película laminar y a
la no uniformidad de las rugosidades artificiales en tamaño y distribución.
En 1938 C. Colebrook ideó una fórmula semiempírica para la transición entre flujo liso y de
completa turbulencia en tuberías comerciales, como:
2.28
9.33 ³ ³ 200
En 1944, L. F. Moody construyó una de las cartas más útiles para determinar el factor de
fricción en tubos comerciales nuevos, Figura 2.2. La carta expresa el factor de fricción como
función de la rugosidad relativa (e /D) y del número de Reynolds.
La carta de Moody se emplea para el agua una temperatura constante a (15°C - 60°F) y para el
aire a presión atmosférica estándar a la misma temperatura.
270
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Se debe tener en cuenta que todos los valores de (e /D) corresponden a tubos nuevos, en
condiciones relativamente buenas, pero para períodos relativamente largos de servicio, se hacen
presentes los efectos de la corrosión y en las paredes de los tubos se depositan loa elementos de
cal y herrumbre. Esta formación de depósitos incrementa de modo apreciable la rugosidad en la
pared y disminuye el diámetro de la tubería.
Para tener en cuenta el aumento de la rugosidad con el tiempo, Colebrook y White establecieron
una relación lineal que puede expresarse por:
e = e 0+at
dónde:
T : Tiempo en años.
a : Tasa crecimiento asperezas (m/año).
271
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Dado a en mm/año
Ejemplo 2.1
Un vertedero de borde agudo es una escotadura como una barrera sobre un canal, para medir la
descarga por observación de la altura H. Para una escotadura triangular en un canal con gran
profundidad, mostrar que cuando los efectos de viscosidad y tensión superficial no son
Solución.
Para llegar a la demostración se hará la deducción sobre una estructura (borde agudo) de ancho
B, sobre la cual fluye un líquido con una carga H y características conocidas
272
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
g : Acción de la gravedad.
Q = F (H, B, g, r , m , s , P)
F (H, B, g, Q, r , m , s , P) = 0
8 variables = m
Matriz dimensional
H B g r m s Q P
M 0 0 0 1 1 1 0 0
L 1 1 1 -3 -1 0 3 1
T 0 0 -2 0 -1 -2 -1 0
Determinante
r m s
1 1 1
0 -1 -2
Variables dependientes: H, g, r
Transformación de variables:
L = H,
273
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
T= ,
M = r H3
Por lo tanto:
Por lo tanto
F (H, B, g, Q, r , m , s , P) = F(p 1, p 2, p 3, p 4, p 5)
V, ® (gH) = V2.
274
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
De la función obtenida:
Para una escotadura donde su ancho permanezca constante con la carga de agua, el caudal será
función de la relación Þ
275
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
A. T. Lenz propuso en sus investigaciones para ángulos de 90° y diferentes fluidos que:
Al parecer no existen en los textos relaciones que involucren el termino p/H en vertederos
triangulares.
Asumiendo, lo que se quiere demostrar, que los efectos de viscosidad y tensión superficial no
son importantes en estos vertederos, se tiene:
Ejemplo 2.2
Por análisis dimensional, derívese una expresión general para el ascenso capilar de los líquidos
en tubos pequeños, si éste depende del diámetro del tubo, del peso específico y la tensión del
276
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
dónde:
H : Ascenso capilar.
D : Diámetro del tubo.
Q : Ángulo de contacto.
G : Peso específico.
S : Tensión superficial.
Sistema: MLT:
El ángulo q no tiene unidades en el sistema MLT por lo cual se considera como un grupo p 1
Matriz dimensional
D h g r s
M 0 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 0
T 0 0 -2 0 -2
Determinante
g R s
0 1 1
1 -3 0 = 0 - 1*(- 2 + 0) +1*(0 - 6) = -4 ¹ 0
-2 0 -2
Número de variables m = 5
Orden determinante n = 3
277
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Variables repetitivas D, g, r
Variables adicionales h, s
Transformación de variables:
L=D
278
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Ejemplo 2.3
Derívese una expresión para la velocidad terminal de esferas sólidas lisas que caen a través de
fluidos incompresibles, si ésta velocidad depende solamente del tamaño, de la densidad de la
esfera, de la aceleración debida a la gravedad, de la densidad del fluido y de su viscosidad.
dónde:
De : Diámetro de la esfera.
rf : Densidad del fluido.
re : Densidad de la esfera.
m : Viscosidad del fluido.
Fv : Fuerza viscosa.
W : Peso de la esfera.
E : Empuje.
g : Aceleración de la gravedad.
Suposiciones:
279
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Sistema: MLT
Matriz dimensional
De g V ra m
M 0 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
T 0 -2 -1 0 -1
Determinante
V ra m
0 1 1
1 -3 -1 = 0 - 1*(- 1 - 1) +1*(0 - 3) = -1 ¹ 0
-1 0 -1
Número de variables m = 5
Orden determinante n = 3
Variables adicionales V, m
Transformación de variables:
L=De
280
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
Ecuación que comparada con la obtenida por A.D lleva a concluir que .
281
Manual de Mecánica de Fluidos I Hugo Amado Rojas Rubio
costo mínimo mediante pruebas con modelos que reflejan a pequeña escala el aparato el
a tamaño real.
Las leyes de semejanza hacen posible predecir las características funcionales del
prototipo, es decir, el aparato de tamaño real, a partir de pruebas realizadas con el
modelo. No es necesario utilizar el mismo fluido para el modelo y su prototipo.
Tampoco necesitamos que el modelo sea necesariamente más pequeño que el prototipo.
Por tanto, el flujo en un carburador se podría estudiar utilizando un modelo muy grande
y el flujo de agua a la entrada del rodete de una pequeña bomba centrifuga podría
estudiarse utilizando el flujo de aire en la entrada de un modelo mayor del rodete.
Varios ejemplos de donde se puede utilizar los modelos incluyen barcos en canales
hidrodinámicos, aviones en túneles de vientos, turbinas hidráulicas, bombas centrifugas,
vertederos de presas , canales de ríos y el estudio de fenómenos como la acción de las
olas y las mareas en las playas, la erosión de la tierra y el transporte de sedimentos.
Se hará hincapié en que el modelo no debe ser necesariamente diferente en tamaño al de
su prototipo. De hecho, puede ser el mismo dispositivo, siendo las variables en este caso
la velocidad y las propiedades físicas del fluido.
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Flujo en tuberías:
En el flujo permanente en una tubería las únicas fuerzas de importancia son las fuerzas
de inercia y las viscosas; por consiguiente, cuando existe la semejanza geométrica y los
números de Reynolds son iguales en el modelo y en el prototipo, también se da la
semejanza dinámica. Los diversos coeficientes de presión correspondientes son los
mismos.
En experiencias con fluidos que tienen la misma viscosidad cinemática en el modelo y
prototipo, el producto VD deben ser los mismos. Frecuentemente esto requiere
velocidades muy altas en pequeños modelos.
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Vm2 Vp2
gmlm gplp
Los tiempos correspondientes para sucesos en estudio (como, por ejemplo, el tiempo de
una partícula a través de una transmisión) están también en una relación, así:
Tm = lm Tp = lp
VmVp
Tp = tm LpVm = tm √ λ
Lm Vp
Qp = lp3 / tp = λ 5/2
Qm lm3 / tm
De manera análoga pueden deducirse otras relaciones entre las diversas magnitudes que
intervienen y de este modo los resultados del modelo pueden traducirse al prototipo.
Resistencia en barcos:
La resistencia que se opone al movimiento de un barco a través del agua se compone del
arrastre de presión, rozamiento viscoso superficial y resistencia de las olas. El estudio
sobre modelos se complica por los tres tipos de fuerzas que son significativas, las de
inercia, las viscosas y las gravitatorias. El estudio de la resistencia superficial se
fundamenta en la igualdad de los números de Reynolds en modelo y prototipo, pero la
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resistencia de las olas depende del número de Froude. Para satisfacer simultáneamente
ambos requisitos, el modelo y el prototipo han de tener el mismo tamaño.
La dificultad se soslaya usando un pequeño modelo y midiendo la resistencia total sobre
él cuando se remolca. El rozamiento pelicular en el modelo se calcula a continuación y
se resta de la resistencia total. El resto se traduce a la escala del prototipo por la ley de
Froude, y se le suma el rozamiento pelicular del prototipo que se calcula, obteniéndose
así la resistencia total debida al agua.
Maquinaria hidráulica:
Debido a las partes móviles de una máquina hidráulica se necesita otro parámetro para
poder asegurar que las imágenes de las líneas de corriente son semejantes en el modelo
y en el prototipo. Este parámetro debe relacionar los caudales con las velocidades de las
partes móviles. En el caso de máquinas geométricamente semejantes, si los diagramas
vectoriales de velocidades a la entrada y salida de las partes móviles son semejantes, las
unidades son homólogas; es decir, prácticamente existe la semejanza dinámica. El
número de Froude tiene escasa importancia, pero los efectos del número de Reynolds
(llamados efectos de la escala por que es imposible mantener el mismo número de
Reynolds en unidades homologas) puede causar una discrepancia del 2 al 3% del
rendimiento entre el modelo y el prototipo. El número de Mach es también de
importancia en los comprensores axiales y en las turbinas de gas.
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Ap
Prototipo
Am
Modelo
Fuerza de Fuerza de
presión Fuerza
presión Fuerza inercia
inercia
Fuerza de fricción
Fuerza de fricción
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APLICACIONES
PROBLEMA 1:
Una esfera de diámetro D se desplaza en agua (t = 20º C) a una velocidad de 1.52 m/seg
y experimenta una fuerza de arrastre de 0.455 kg. Otra esfera de diámetro 2.5 D se
desplaza en aire también a 20º C ( aire 1.2 kg / m 3 ) considerando que la fuerza de
VD
arrastre tiene la forma: Rx v 2 D 2
p
1) Calcular la velocidad de la 2da esfera para que exista similitud dinámica.
2) Calcular la fuerza de arrastre sobre la mayor esfera.
Vagua D
Re aire Re agua Vaire 2.5 D
Daire Dagua
Rx aire
v D
2 2
2
1.2 9.1 2.5 D
2
Rx agua 2 2
agua 1000 1.52 D
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PROBLEMA 2:
Un tren tiene una longitud de 200 m y se estima que su superficie lateral es de 2000 m 2.
Determinar la potencia gastada para vencer la resistencia de frotamiento del tren cuando
su velocidad es de 125 Km/h. Suponer que la atmósfera es a presión normal y que
t = 15º C.
A 125 km/h ≈ 34.7 m/seg se puede considerar al aire como incomprensible y por otro
lado a 15º C y a una presión de 1 bar su viscosidad cinemática es D = 14.5 10-6 m2/seg
y su masa
1.21 kg / m 3 .
Para los efectos del cálculo asimilaremos la superficie lateral del tren a la de una placa
de 200 m de largo y paralela a la dirección del viento:
El número de Reynolds de esta placa será:
34.7 200
Re 6
4.79 10 8
14.5 10
7
Como Re > 10 podremos usar la ecuación práctica de Frandtl-Schlichting para el
coeficiente de arrastre Cx:
0.455 0.455 0.455
Cx 0.00173
log 10 Rl 2.58
log 10 4.79 10 8
2.58
8.68022.58
2 2
Rx 2.522 Newtons 257.5 kg
PROBLEMA 3:
Calcular la fuerza de arrastre por metro soportada por un cable de 10 cm de diámetro de
un puente colgante, debido a un viento de 80 km/h. Temperatura del aire t = 20º C.
Considerar g = 10 m/seg2.
V 80 km / h 800 / 36 m / seg 80000 / 36 cm / seg .
80000 1
Re 10 148.200 1.5 10 5
36 0.15
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Para este número de Reynolds y en una curva que de la variación del número de
ReynoldsRe, se puede leer S = 0.215 y el coeficiente de arrastre vale Cx = 1.2
Luego:
2
1 .2 800
Rx 0.1225 0 .1 1
2 36
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REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
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