Interes Compuesto
Interes Compuesto
Interes Compuesto
1
Periodo Saldo inicial Intereses Monto
M = P x (1 + i) n
Nota: Hemos utilizado los términos tasa nominal y tasa periódica sin haberlos
definido previamente. Cuando hablamos de tasa de interés nominal, debemos
entender que ésta se expresa normalmente para un período de un año
indicando la periodicidad de la liquidación de los intereses. La tasa periódica
se establece dividiendo la tasa de interés nominal por el número de períodos
de liquidación y capitalización de intereses. En otras palabras, la tasa nominal
es la tasa periódica multiplicada por el número de periodos de liquidación de
intereses en el año.
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1 INTERÉS COMPUESTO
El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad
de un capital Inicial (CI) o principal a una tasa de interés (i) durante un
período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada
período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al
capital inicial, es decir, se capitalizan.
Para un período de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula
con base a la fórmula
donde:
es el capital inicial;
tasa de interés y
el número de períodos
De la ecuación del interés compuesto,
para n períodos, se puede obtener el
capital inicial, sabiendo el capital final,
el interés y el número de períodos:
El cálculo del número de períodos se
puede realizar despejando n en la
fórmula, de la cual se obtiene:
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El cálculo del interés, se obtiene
despejando de la siguiente
manera:
Pero al siguiente mes el TIN se aplica sobre lo que se tenía ahorrado más lo
producido por los intereses. Con lo que a final de año es como si se tuviese
más de un 6% de interés:
Donde:
4
n = Fracciones en que el interés va a ser aplicado. Si p. ej. se aplica una vez al
mes, son 12 al año, por lo que en ese caso, n=12. Así, n vale 6 si la aplicación
es cada dos meses (bimestral), 4 si es cada 3 meses (trimestral), 3 si es cada
cuatro meses (cuatrimestral), 2 si es cada 6 meses (semestral), y 1 si es anual.
TAE = Tasa anual equivalente (tanto por uno). Ejemplo: Con un interés
nominal del 6% y 12 pagos al año, resulta un TAE de 6,17%:
Capitalización
siendo
donde
5
Número de períodos de capitalización que se hace al año. Así si la
capitalización es:
siendo
INTERÉS CONTINUO:
6
Es el interés que produce un depósito que se capitaliza continuamente.
Entonces en la fórmula sería:
7
EJERCICIOS
Para que las tasas sean equivalentes, a un mismo capital inicial debe
corresponder un mismo capital final.
En nuestro problema es , ,
8
En este caso es tenemos que comparar dos capitalizaciones compuestas
pero con distintos períodos de capitalización.
Donde
Igualando y simplificando:
9
Por tanto la tasa de interés compuesto anual pedida es de 9.8%
Igualando y simplificando:
Igualando y simplificando:
10
Por tanto la tasa pedida es de 44.3%
Igualando y simplificando:
Elevamos todo a 4
Igualando y simplificando:
11
Por tanto la tasa pedida es de 28%
12
1 I = RPT
Dónde
I = Interés
p = Depósito original
r = tasa de interés en decimal
t = Tiempo
A P (1 i ) n
Donde
A = La cantidad en la cuenta
P = Depósito original
i = La tasa de interés anual en decimales
n = El número de años compuesto.
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Calculando el interés simple
I=prt
I = $100 x 0,14 x 3
I = $42
A P (1 i ) n
A 500(1 0,06) 5
Se tendría $669,11.
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Supongamos que vamos a colocar durante 5 años un capital de
$1.000 en dos bancos, el primero en interés simple y el segundo en
interés compuesto, con un tipo del 10% anual en ambos casos.
15
16
1 EJERCICIOS
a) $ b) c) $ d) $ e) $
192.000 $1.399.680 1.920.000 19.200.000 97.200.000
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a) $ 30.375 b) $ 4.500 c) $ 3.750 d) $ 375 e) Ninguna
de las
anteriores
a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5%
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8. Se deposita $10.000 durante 3 meses al 20% de interés simple mensual. ¿Cuánto dinero se
tiene al finalizar esta operación?
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1.1 ALTERNATIVAS
1. Calcular la tasa de interés a que está invertido un capital de 40.000 pesos si en un año
se han convertido en 43.200 pesos
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Alternativa D: Incorrecta. Error al efectuar el producto con
decimales lleva a obtener $ 60.000 como respuesta.
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Alternativa B. Incorrecta. Se efectúa el producto 30.000·0,05; no
considerándose el tiempo en años como corresponde.
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Alternativa A: Incorrecta. Desarrollo errado de la operatoria con los
datos entregados llevan a obtener esta alternativa.
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Alternativa D: Incorrecta. Se plantea que 970 = x · 0,02 · 1; lo que
es correcto, pero errores en la operación con decimales, lleva a
obtener que x = 485.000.
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Alternativa B.. Incorrecta. Corresponde al dinero ganado por el
interés compuesto producido el segundo mes.
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1 INTERÉS COMPUESTO
Interés compuesto:
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variación proporcional a la cantidad presente en todo instante; tal es
el caso del crecimiento de los vegetales, de las colonias de bacterias,
de los grupos de animales, etc. Estos crecimientos son funciones
continuas del tiempo. En la capitalización a interés compuesto,
también se produce el crecimiento continuo.
Período de capitalización:
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Función discreta
Función continúa
M = C (1+ i )n
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n = 4; C= 100; 8%/4= 2%=tasa efectiva en el período; i = 0.02
M = Q108.24321
Tasas equivalentes:
i = efectiva anual
j = nominal anual
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Para el 12% con capitalización trimestral se tiene m = 4; j = 12; j/m
= 12/4= 3%. El símbolo i se refiere al tanto por uno, en el período.
1 + i = (1 + j/m)m
(i + 1) = (1 + j/m)m
(1 + i)1/m = (1 + j/m)
j/m = (1 + i)1/m – 1
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Introduciendo los nuevos símbolos, la fórmula del monto compuesto
en n años para la tasa j capitalizable m veces en el año, queda:
M = C (1 + j/m)mn
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M = 6000 (1 + 0.05)16 = 6000 (1.05) 16
M = 6000 (2.1828746)
M = Q 13,097. 25
CAPITAL MAS
CAPITAL A
NUMERO DE INTERESES EN INTERESES A
PRINCIPIO DE
PERIODOS EL PERIODO FINAL DE
PERIODO
C/PERIODO
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5 1464.10 146.41 1610.51
Sea el capital C puesto al interés i por período de capitalización (i es el tanto por ciento
en el período).Calculemos el monto M al final de n períodos de capitalización.
NUMER
CAPITAL A INTERESE
O DE CAPITAL MAS INTERESES
PRINCIPIO DE S EN EL
PERIOD A FINAL DE C/PERIODO
PERIODO PERIODO
OS
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1 C Ci C + Ci = C (1 + i)
2 C (1 + i) C (1 + i)i C (1 + i) + C (1 + i)i = C (1 +
i)2
. ……. …….. ……
Es decir: M = C (1 + i)n
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M = C (1 + i)n
M = Q2,593.74
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los intereses en un período menor que el convenido y, como
consecuencia, la tasa efectiva resulta mayor.
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M = Q114,607.20
M = Q114, 563.69
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período siguiente; todo dinero retirado entre fechas gana interés
simple, desde la fecha terminal del período anterior. Así:
20-01 15-
12
Compuesto en 6 períodos
simple
38
Monto M1 es interés simple = 1000 (1 + 70/360 x 0.06) = 1000
(1.01166667)
M1 = 1011.67
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generarán a su vez intereses. Este fenómeno se conoce con el nombre de
Capitalización de Intereses.
Observemos el procedimiento paso por paso para que tratemos de deducir una
fórmula que nos permita calcular directamente el monto final.
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0 1 2 3 n
/__________/__________________/________________ / ______________/
VF 15 = VP (1+ i) 15
VF = VP (1 + i) n
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EJEMPLO 9:
DATOS:
VP = $ 36.000.000
n= 3 años
i= 28% 0,28
VF = ?
Solución
Reemplazamos en la fórmula.
VF = $ 36.000.000 (1 + 0,28) 3
VF = $ 36.000.000 * 2,097152
VF = $ 75.497.472
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Respuesta, un capital de $36.000.000 invertido hoy al 28% anual durante 3
años equivale a $75.497.472.
EJEMPLO 10:
Una persona desea disponer de $3.000.000 dentro de dos años. ¿Cuánto debe
invertir hoy para cumplir su objetivo, si la tasa de interés que le reconoce la
entidad financiera es del 18% anual con capitalización mensual?
DATOS.
VF = $ 3.000.0000
n = 2 años 24 meses
Ejemplo. Si decimos que se tiene una tasa de interés del 30% anual con
capitalización bimestral, entonces los periodos de referencia son 6 bimestres
puesto que seis corresponde a los bimestres que tiene un año.
Solución al ejercicio
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Sabemos que
VF = VP (1+ i)
Despejamos la fórmula,
VP = VF / (1+ i) n
Entonces,
VP = $ 3.000.000 / (1 + 0.015) 24
VP = $ 3.000.000 / 1,429502812
VP = $ 2.098.631, 75
EJEMPLO 11:
Una persona invierte $5.000.000 durante año y medio con intereses liquidados
y capitalizados mensualmente y le entregan al final $6.250.000. ¿Cual fue la
tasa de interés que le reconocieron en esta inversión?
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DATOS
VP = $ 5.000.000
VF = $ 6.250.000
n= 1, 5 años = 18 meses
i= ?
Sabemos que:
VF = VP (1+ i)
Despejamos de la fórmula,
VF / VP = (1 + i)n
n
√VF/ VP = (1+i)
i= (n√VF/ VP ) – 1
i = ( 18√$6.250.000/ $ 5.000.000) – 1
i = 1.012474024 -1
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i = 0,012474 = 1, 2474% mensuales.
EJEMPLO 12:
Una persona tomo prestado $10.000.000 a una tasa de interés del 2% mensual
compuesto, y al final del crédito pagó $41.611.403, 75 ¿qué plazo le
concedieron?
DATOS:
VP = $ 10.000.000
VF = $ 41.611.403,75
i= 2% mensual
n=?
VF = VP (1+ i)
Sabemos que
Despejamos la variable n,
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VF / VP = (1 + i) n
n = 72 meses = 6 años
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Todas los ejemplos anteriores se pueden realizar utilizando Calculadora
Financiera o las funciones financieras del Excel. Estas herramientas deben
considerarse con un instrumento para facilitar los cálculos pues su manejo,
más que un proceso mecánico, es un proceso racional en el sentido de que la
clave está en plantear adecuadamente el problema que se requiere resolver,
para luego plasmarla en forma de instrucciones a la maquina o computador.
Para conocer como se maneja las funciones financieras en Excel, se hace una
simulación con el desarrollo de los ejercicios de interés compuesto
mencionados en este capitulo, con un video que usted encontrará en la página
web, que se le enviará por correo posteriormente.
Interés simple:
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Interés compuesto.
Cabe aclarar que en Excel las variables tienen una connotación diferente, así:
VP VA
VF VF
N NPER
i tasa
Para conocer el proceso de forma más especifica, en el link que se envía por
correo encontrarán videos de los ejercicios explicados, matemáticamente en
este texto, utilizando la herramienta Excel.
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