Aritmetica 1° Sec

ARITMÉTICA
1°
SECUNDARIA
MES DE JUNIO
CONTENIDOS II TRIMESTRE
 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.
 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.
 APLICACIONES DEL MCD Y MCM

ARITMÉTICA 1º SECUNDARIA COLEGIO INMACULADO CORAZÓN DE MARÍA
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
NÚMEROS PRIMOS: Es aquel b) 3 y 7 (divisor común: 1)
número que tiene sólo dos divisores, que 8; 4; 3 (divisor común: 1)
es el mismo número y la unidad. 27; 45; 36 (divisor común: 1)
Ejemplos: Regla para determinar si un

número es primo.
Ejemplo: 173
Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada del

NÚMEROS COMPUESTOS: Son
aquellos números que tienen más de dos número dado: 173 =13,1. Se considera la
divisores. Ejemplos: parte entera 13.
4 divisores: 1; 2; 4 Paso 2: Se divide el número entre todos los

números primos menores e iguales a la
6 divisores: 1; 2; 3; 6
raíz entera. (13).
9 divisores: 1; 3; 9
10 divisores: 1; 2; 5; 10
Nota: El número 1 no es primo ni

compuesto por tener un solo divisor.
 Números Primos entre sí: (PESI) Se Paso 3: Si todas las divisiones enteras son
denomina así al conjunto de los inexactas, entonces 173 es primo, pero, si
números que tienen como único divisor alguna división hubiese sido exacta, el
común a la unidad. número 173 no es primo, en este caso 173
Ejemplo: es primo.
a) Los números 56 y 75. ¿Son primos  Descomposición prima de

entre sí?
un número compuesto.
D56 = 1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56
Se divise sucesivamente el número
D75 = 1; 3; 5; 15; 25; 75 entre números primos hasta que el
cociente sea igual a la unidad y se
Divisores comunes: D56  D75 = 1.
expresa el número como producto de
Luego 56 y 75 son PESI.
sus factores primos. Ejemplo:
¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS! 1

COLEGIO INMACULADO CORAZÓN DE MARIA ARITMÉTICA 1º SECUNDARIA
Efectúa la descomposición prima de 60

y 42.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
60 2 42 2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
30 2 21 3 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
15 3 7 7 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
5 5 1
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
1
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
60 = 22 .3.5 42 = 2 . 3 . 7
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
Todo número tiene una y sólo una 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
descomposición prima.
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Tabla de Números Primos

Para construir la tabla de números primos
se procede de la siguiente manera:
1° Se escribe todos los números mayores

CONSTRUYENDO
que 1 menores o iguales a 100.
2° Encerramos en un círculo el primer MIS CONOCIMIENTOS

número (2) y suprimimos todos su
demás múltiplos.
3° De los números que quedan, 1. Escribe entre los paréntesis P si es

encerramos en círculo el menor (3) y número primo, C si es compuesto; x si
suprimimos todos sus demás múltiplos. no es primo ni compuesto:
a) 19 ( ) e) 107 ( )
4° Se repite este proceso hasta llegar al
último número no suprimido y b) 37 ( ) f) 140 ( )
escojámoslo también.
c) 59 ( ) g) 36 ( )
Los números primos menores o iguales
d) 67 ( ) h) 101 ( )
a 100 son:
2. Utiliza la criba de Eratóstenes y halla
el conjunto de número primos entre:
a) 10 y 29
2 ¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS!

b) 50 y 7 c) 1360 d) 8316
4. Las edades de Julio y Carlos son dos

c) 85 y 101 números consecutivos cuya suma es
51. Si Julio es menor ¿Cuál es la edad
de cada uno?
d) 57 y 84
5. La suma de dos números primeros 116

y ambos son menores que 75. Halla
dichos números.
3. Encuentra la descomposición prima

de:
a) 240 b) 360
6. La raíz cuadrada de la suma de dos
números primos menores que 20 es 6.
¿Cuáles son dichos números?

5. ¿Es posible repartir 18 cuadernos y 25

lapiceros en forma equitativa a más de
REFORZANDO un niño? ¿Por qué?
MIS CAPACIDADES
1. Escribe entre los paréntesis P si es

número primo, C si es compuesto, X si
no es primo ni compuesto.
a) 29 ( ) e) 207 ( ) 6. Con la ayuda de la tabla de
Eratóstenes, averigua si son números
b) 36 ( ) f) 28 ( )
primos.
c) 119 ( ) g) 41 ( ) a) 3977
d) 236 ( ) h) 53 ( ) b) 4253
2. Utiliza la criba de Erastósteles y halla c) 8321

el conjunto de los números primos
d) 9404
entre:
a) 12 y 29 7. ¿Cuál de las parejas de los números
b) 32 y 47 son primos entre si?
c) 51 y 69 a) 12 y 18
d) 73 y 89 b) 24 y 30
3. La raíz cuadrada de la diferencia de c) 75 y 45
dos números primos menores que 43 d) 60 y 45
es 6. Halla dichos números. e) 10 y 27
f) 13 y 17
8. Encuentra la descomposición prima
de:
a) 1500
4. Las edades de tres hermanos menores b) 900
que 10 años son números primos, c) 2345
donde la edad del mayor es la suma d) 1008
de las edades de los otros dos.

¿Cuáles son sus edades?

I. DESCOMPOSICIÓN Descomponer canónicamente 315:
CANÓNICA 
Descomponer canónicamente el
número 40. 315 3
Paso 1: Empiezo a dividir el 105 3

número por los números 35 5
primos (2; 3; 5; 7; …)
7 7

1
40 2
315 = 3 x 3 x 5 x 7 = 32 x 51 x 71 = 32 x 5 x 7
20 2
Divisores
10 2
Primos
5
Paso 2: Analizo:
REFORZANDO
5 no tiene divisor 2,
MIS CAPACIDADES
entonces pruebo con 3 y
luego con 5, 7 y 11 Descomponer canónicamente
sucesivamente.
 360 =
 145 =
40 2
 210 =
20 2 Hallar el número de divisores de 18
10 2 Divisores
5 5 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
1 Divisor universal : 1
Se obtiene 1, Divisores primos : 2, 3
entonces la
descomposición Divisores compuestos :6, 9, 18
llega a su fin
40 = 2x2x2x 5 = 23 x 5 1 = 2 3 x 5 Total de divisores = 6
   
3 veces 1 vez
Descomposición Pero ¿Qué hacer si el número tiene

Canónica más divisores? ¿Cómo calcular el
número exacto de divisores de un
número?

OBSERVA  Hallar el número de divisores

compuestos de 100.
 Hallar el número de divisores de 200
Paso 1: Descomposición canónica
y el número de divisores compuestos.
18 2
9 3
REFORZANDO
3 3 CONOCIMIENTOS
1
18 = 2 x 3 x 3 = 21 x 32 = 2 x 32
Divisores 1. Indicar verdadero (V) o Falso (F)

Primos según corresponda.
(2 en total)
I. 2, 3, 5, 7, 8, 11, 13 son números
Paso 2: Extracción de los primos.

exponentes. II. El único número primo par es 2
1 2 III. 21 tiene 3 divisores
2 x 3
a) FFF b) FVF c) FFV
1 2
d) VVV e) VFV
Paso 3: A cada exponente se le
suma la unidad y luego se 2. Indique la relación correcta:
multiplican. I. 12 A) Tiene 2 divisores

II. 15 B) Tiene 4 divisores
1 2
+1 +1 III. 19 C) Tiene 6 divisores
(1 + 1) (2 + 1) a) IA – II B – IIIC
x
b) IA – IIC – IIIB
(2) x (3) = 6
c) IB – IIA – IIIC
 18 tiene 6 divisores
d) IB – IIC – IIIA
Número Número e) IC – IIB – IIIA
6 divisores de + de + 1
= divisores divisores 3.
primos compuest i) Un número primo tiene
Número de
6 = 2 + divisores + 1 ______________ únicamente en Z+
compuesto
s
Número de
6 -3 = divisores ii) Dos números con PESI si
compuesto tienen como único divisor
s ___________________
Número de
3 = divisores
compuesto
6 s ¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS!
4. ¿Cuántos de los siguientes ii) N = 22 x 52 x 7 tiene 45

números son primos? divisores
21, 13, 28, 41, 15, 18, 23
a) 16 b) 9 c) 6
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 3
d) 4 e) 5
8. ¿Cuántos divisores primos tiene:
5. Calcular el número de divisores i) N = 154 ?
de:
a) 1 b) 2 c) 3
i) N = 360
d) 4 e) 5
a) 6 b) 12 c) 18
ii) N = 40 ?
d) 24 e) 30
a) 1 b) 2 c) 3
ii) N = 240
d) 4 e) 5
a) 4 b) 8 c) 20
9. ¿Cuántos divisores primos tiene:
d) 16 e) 18
i) N = 14 x 15 ?
6. Calcular el número de divisores
a) 1 b) 2 c) 3
de.
i ) N = 23 x 52 x 72 d) 4 e) 5
a) 12 b) 7 c) 36 ii) N = 21 x 22?
d) 32 e) 16 a) 1 b) 2 c) 3
ii) N = 113 x 134 d) 4 e) 5
a) 20 b) 12 c) 7 10. ¿Cuántos divisores primos tiene:

i) N = 28 x 12 x 5 ?
d) 6 e) N.A
a) 1 b) 2 c) 3
7. Calcular el valor de  si:
i) N = 32 x 2 x 5 tiene 24 d) 4 e) 5
divisores ii) N = 5 x 10 x 4 ?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

11. Hallar la cantidad de divisores 13. ¿Cuántos divisores primos tiene:

compuestos de: (, ,  1)?
i) N = 23 x 7 x 132 i) N = 2 x 7 x 3 x 5 + 
a) 20 b) 21 c) 23 a) 1 b) 2 c) 3
d) 24 e) 3 d) 4 e) 5
ii) N = 53 x 72 ii) N = 2 +  x 7 x 13
a) 12 b) 11 c) 10 a) 4 b) 3 c) 2
d) 9 e) 2 d) 1 e) 0
12. Hallar la cantidad de divisores 14. Dos números primos suman 14.
compuestos de: Calcular el producto de estos dos
números.
i) N = (23 x 3)2
a) 22 b) 26 c) 33
a) 21 b) 20 c) 19 d) 34 e) 35
d) 12 e) 18
15. Indicar la pareja de números PESI

:
ii) N = (72 x 5)2
a) 8 y 24 b) 21 y 44
a) 15 b) 12 c) 10 c) 42 y 14
d) 8 e) 6 d) 15 y 70 e) 20 y 18

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
MÁXIMO COMÚN DIVISOR

(MCD) Paso 2:
Para hallar el MCD, tomaremos las
Se llama así al mayor divisor común que bases comunes (en las tres
tiene un conjunto de números, por ejemplo: descomposiciones), con los menores
Sean los números: 8; 12 y 20, cuyos exponentes que tengan.
divisores son:
8  1; 2; 4; 8 MCD (60; 80 y 100) = 22 . 5 = 20
12  1; 2; 3; 4; 6; 12
20  1; 2; 4; 5; 10; 20 • Podemos abreviar este método,
Observamos que los divisores comunes descomponiendo simultáneamente los
son: 1; 2 y 4, de los cuales el mayor es 4; números, pero solo tomando los factores
entonces: comunes, veamos:
MCD (8; 12 y 20) = 4 60 80 100 2
30 40 50 2
15 20 25 5
Métodos para hallar el MCD 3 4 5
Luego:
Existen varios métodos, estudiaremos
inicialmente el método de “descomposición MCD(60; 80 y 100) = 2 . 2 . 5 = 20
canónica”. Veamos un ejemplo:
OJO: Investiga acerca del método

• Hallar el MCD de 60; 80 y 100 llamado, "divisiones sucesivas".
Paso 1:
Hacemos la descomposición canónica
de cada número.
Observaciones:
1. Si un número contiene a otro, el MCD
60 2 80 2 100 2
30 2 40 2 50 2 de ambos es el menor de ellos.
15 3 20 2 25 5
5 5 10 2 5 5 2. Si dos números son PESI, entonces
1 5 5 1 su MCD es uno.
1
60 = 2 2 . 3 . 5 80 = 2 4 . 5 100 = 2 2 . 5 2

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Paso 2:

Para hallar el mcm, tomaremos todas
(MCM) las bases que aparecen, con los
mayores exponentes que tengan.
Se llama así al menor múltiplo positivo
común que tiene un conjunto de números, mcm (12; 20 y 30) = 22 . 3 . 5 = 60
por ejemplo:
Sean los números 4; 6 y 12, cuyos • Podemos abreviar este método,
múltiplos positivos son: descomponiendo simultáneamente los
4  4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; números, tomando todos los factores
... (comunes y no comunes), veamos:
6  6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 12 20 30 2
60; ... 6 10 15 2
12  12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 3 5 15 3
1 5 5 5
120; ...
1 1 1
Observamos que los múltiplos
Luego: mcm(12; 20 y 30) = 2 . 2 . 3 . 5 =
comunes son: 12; 24; 36; ..., de los
60
cuales el menor es 12, entonces:
Observaciones:
mcm(4; 6 y 12) = 12
1. Si un número contiene a otro, el mcm
Métodos para hallar el MCM de ambos es el mayor de ellos.
Tal como el MCD, estudiaremos el método 2. Si dos números son PESI, entonces
de descom-posición canónica. Veamos un su mcm es su producto.
ejemplo:
REFORZANDO
• Hallar el mcm de 12; 20 y 30 MIS CAPACIDADES
Paso 1:
Hacemos la descomposición canónica
1. Dado 8 y 12, ¿cuántos divisores
de cada número.
comunes tienen?
12 2 20 2 30 2
6 2 10 2 15 3
3 3 5 5 5 5
1 1 1
2. Dado 9 y 27, ¿cuántos divisores
12 = 22 . 3 20 = 22 . 5 30 = 2 . 3 . 5 comunes tienen?

3. Si el MCD(A, B) = 36, ¿cuál es el mayor 8. Si el MCM (P, Q) = 39, ¿cuál es el menor

divisor común que tienen “A” y “B”? múltiplo común que tienen “P” y “Q”?
9. Hallar el MCD de 36 y 24.

4. Si el MCD(A, B) = 72, ¿cuál es el mayor
divisor común que tienen “A” y “B”?
10. Hallar el MCM de 24 y 36.
5. Dado 9 y 36, ¿cuántos múltiplos

comunes tienen?
REFORZANDO
CONOCIMIENTOS
1. Hallar los divisores de cada uno de los

6. Dado 15 y 25, ¿cuántos múltiplos siguientes números:
comunes tienen?
72 
45 
36 
40 
7. Si el MCM(A, B) = 105, ¿cuál es el menor
múltiplo común que tienen “A” y “B”? 32 
27 
30 

Ahora, completa el siguiente cuadro:

NÚMERO DE DIVISORES MCD 5. Hallar los múltiplos positivos de cada
DIVISORES COMUNES uno de los siguientes números:
72 y 45 6 
72 y 36 8 
12 
72 y 27
15 
45 y 30
16 
45 y 36 20 
36 y 27 24 
Ahora, completa el siguiente cuadro:
40 y 32
NÚMEROS MÚLTIPLO MCM
40 y 30 MCD S
COMUNES
32 y 27 6y8
6 y 12
27 y 30
12 y 15
72; 36 y 27
12 y 16
15 y 20
16 y 20
2. Calcular el MCD de los siguientes
16; 20 y 24
números, aplicando el método de
“descomposición canónica”. 12; 16 y 20
a) 60 y 90 b) 54; 90 y 135 6; 8 y 24
c) 18; 60 y 54 d) 35; 70 y 140
e) 32; 48 y 80 f) 100;120y 200
6. Calcular el mcm de los siguientes
3. Aplica el método de “descomposición
simultánea”, para hallar el MCD en
“descomposición canónica”.
cada uno de los casos anteriores.
a) 60 y 90 b) 32; 40 y 50
c) 54; 80 y 64 d) 18; 64 y 72
4. Calcular el MCD de los siguientes
e) 35; 25 y 20 f) 42; 21 y 35
8. Indicar verdadero (V) o falso (F).
“divisiones sucesivas”.
• El MCD de un grupo de números
puede ser
a) 600 y 140
mayor que alguno de los números.
b) 280 y 120
......................(Wi)
c) 150 y 400

APLICACIONES DEL MCD Y MCM
* Dados los números 36 y 12: 4. ¿Cuál es el menor número entero

positivo tal que al ser dividido por estos
1. ¿Cuál es el mayor número que los divide números no deja residuo?
en forma exacta?
* Se tienen tres cintas de 20 cm, 30 cm y

40 cm. Si se quieren dividir en pedazos
iguales, lo más grande posible:
2. ¿Cuál es el menor número entero 5. ¿Cuál es la longitud que se busca?
positivo tal que al ser dividido por los
números dados no deja residuo?
6. ¿Cuántos pedazos se obtienen de la

* Dado los números 5; 3 y 2: cinta de 20 cm?
3. ¿Cuál es el mayor número que los divide
en forma exacta?

7. ¿Cuántos pedazos se obtienen de la 12. Hallar el menor número de chocolates

cinta de 30 cm? necesarios para repartir entre tres
aulas de 24 alumnos, 32 alumnos y
40 alumnos, de modo que cada
alumno reciba un número exacto de
chocolates.
9. ¿Cuántos pedazos se obtienen de la

cinta de 40 cm?
10. Una hoja de papel de 18 cm de largo y 13. Un hacendado tiene extensiones de
24 cm de ancho se quiere dividir en terreno de 3 675 m2, otro de 2275 m2 y
cuadrados iguales del mayor tamaño el tercero de 1 575 m2. Los quiere
dividir en parcelas iguales del mayor
posible. ¿Cuántos cuadrados saldrán?
tamaño posible. ¿Cuánto medirá cada
parcela?
11. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero

con la que se puede comprar prendas
de S/30, S/20, S/35 o S/25 cada una
sin que sobre o falte dinero?

5. Una hoja de papel de 24cm de largo y

REFORZANDO 36 cm de ancho se quiere dividir en
MIS CAPACIDADES cuadrados iguales del mayor tamaño
posible. ¿Cuántos cuadrados saldrán?
1. Determina el MCD y el MCM de los

siguientes pares de números:
a) 24 y 36 6. Richard entrena fútbol cada 3 días;

b) 25 y 50 Mario cada 5 y Luís cada 8. Si se
c) 6 y 14 encontraron el 1 de abril ¿Qué fecha se
d) 3 y 7 encontrarán nuevamente? (considera el
número de días que tiene cada mes)
2. Llena los casilleros escribiendo en

cada uno el MCM de los números de
los dos casilleros que están debajo.
7. Las edades de un padre y su hijo están
entre 35 y 73. Si cada edad es múltiplo
de 9 y 12 ¿Qué edad tienen?
8. ¿Cuál es el mayor número de madres

3. Llena los casilleros escribiendo en
entre las cuales se puede repartir 240
cada uno el MCD de los números de
kilogramos de azúcar, 480 tarros de
los dos casilleros que están debajo.
leche y 600 kilogramos de arroz para
que cada una reciba igual cantidad de
cada uno de los productos?
9. ¿Cuál es el mayor número de niños

4. ¿Cuál es la menor suma de dinero que entre los que se puede repartir
se puede tener en billetes de S/10 de simultáneamente 62 gaseosas y 96
S/20 o de S/50 y cuántos billetes de galletas, de manera que sobren 2
cada denominación harían falta en gaseosas y 6 galletas destinadas para
cada caso? dos personas que los atienden?

10. ¿Cuál es el mayor número que divide 17. ¿Qué número es tal que al dividirlo
en forma exacta a 88 y 154? entre 6; 14; 15 y 4, siempre da como
residuo 3, si es que el número está entre
a) 22 b) 11 c) 2 3 000 y 3 500?. Da como respuesta la
d) 4 e) 1 suma de sus tres últimas cifras.
11. ¿Cuál es el mayor número posible, tal a) 10 b) 11 c) 12

que al dividir a 36; 45 y 60 nos da d) 13 e) 14
siempre como residuo igual a cero?
18. ¿Cuál será la menor longitud de una
a) 6 b) 2 c) 3 varilla que se puede dividir en pedazos
d) 5 e) 4 de 8; 9 ó 15 cm de longitud sin que sobre
ni falte nada?
12. ¿Cuántos divisores comunes tienen
los números 18 y 36? a) 240 b) 100 c) 360
d) 400 e) 156
a) 2 b) 6 c) 4
d) 10 e) 8 19. Dos cintas de 36 m y 48 m de
longitud se quieren dividir en pedazos
13. ¿Cuál es el menor entero positivo tal iguales y de la mayor longitud posible.
que dividido por 24; 20 y 15 se obtiene ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
siempre cero como residuo?
a) 10 b) 18 c) 24
a) 240 b) 60 c) 120 d) 38 e) 12
d) 80 e) 40
20. Un padre da a un hijo S/.80; a otro
14. ¿Cuál es el menor número tal que S/.75 y a otro S/.60 para repartir entre
dividido entre 6; 5 y 8 da residuo igual los pobres, de modo que todos den a
a 3? cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es
la mayor cantidad que podrán dar a
a) 73 b) 83 c) 58 cada pobre?
d) 123 e) 103
a) S/.5 b) 10 c) 2
15. ¿Cuál es el menor número que al d) 8 e) 7
dividirlo entre 7; 5 y 4, siempre da
residuo 2?. Da como respuesta la suma 21. Del problema anterior, ¿cuántos
de sus cifras. fueron los pobres socorridos?
a) 30 b) 18 c) 43
a) Menos de 6 b) 6 c) 7 d) 42 e) 50
d) 8 e) Más de 8
21. Elena visita a Samuel cada 5 días, a
16. ¿Qué número es tal que al dividirlo José cada 3 días, y a Alberto cada 4
entre 4; 5 y 12, siempre da como residuo días. La primera vez que le tocó visitar
3, si es que el número está entre 200 y a todos ellos fue el 1 de abril. ¿Qué
300? fecha caerá la segunda vez que volverá
a visitar a todos?
a) 223 b) 257 c) 247
d) 263 e) 243 a) 1 de junio b) 2 de junio
c) 30 de mayo d) 29 de junio
e) 31 de mayo

ARITMÉTICA
1°
SECUNDARIA
MES DE JULIO

 HISTORIA DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
 REPRESENTACIÓN DE “Z” EN LA RECTA NUMÉRICA.
 VALOR ABSOLUTO.
 NÚMEROS ENTEROS Y COORDENADAS EN EL PLANO CARTESIANO.
 SUSTRACCIÓN DE Z
 MULTIPLICACIÓN DE Z.
 DIVISIÓN EN Z.

NÚMEROS ENTEROS
HISTORIA DE LOS NÚMEROS En 1867, el matemático alemán

Herman Hankel publica “Teoría del
ENTEROS
sistema de los números complejos”
Los números negativos fueron en un proporcionando aquí las ideas generales
principio fuente de controversia y para justificar diversos sistemas
confusión, más de un milenio se tardó en numéricos. Hankel se aisló de la realidad,
dotarlos de un fundamento teórico que les trabajo de manera formal, entendió que la
permitiera incluirlos dentro de un sistema matemática era una obra intelectual
numérico. creada por los hombres, y de
En ese largo periodo los negativos allí se partió de los objetos de la propia
originaron diversas opiniones entre los matemática para dar justificación de los
matemáticos, algunos se inclinaban por negativos, amplió el concepto de número,
rechazarlos, otros lo consideraban desligándose de cantidad o magnitud.
“artificios”. El camino seguido hacia su
Con la difusión de la obra de Hankel, los
legitimación fue duro y crítico, recién en el
negativos fueron completamente admitidos
siglo XIX, gracias a los trabajo de Hankel,
y ocuparon un lugar de privilegio dentro
Dedekind y Canchy se pudo incluir a los
del edificio matemático. La legitimación de
enteros dentro los sistemas numéricos.
Hankel si bien les proveía de un
El tratamiento inicial de los negativos fue simbolismo y unas leyes de operación, no
confuso y lleno de paradojas, hoy en día los había definido de manera rigurosa y
sabemos que los negativos son menores estricta, la pregunta ¿Qué es un número
que el cero, pero antiguamente esto no era entero? Aún no encontraba respuesta.
aceptado por todos los matemáticos,
En el siglo XIX los matemáticos definieron
Leonhard Euler, por ejemplo: creía que los
rigurosamente el número entero, la
negativos eran mayores que el infinito.
construcción del sistema numérico Z, se
La primera aparición de los negativos data realizó desde diferentes perspectivas,
del siglo V, en el año 628, en una obra del siendo los más conocidos:
gran matemático hindú Brahmagupta, se
El número entero como extensión del
explican los algoritmos para efectuar las
número cardinal.
apariciones básicas de lo que él llamaba
“los bienes” , “las deudas” y “la nada”, es  Teoría de los pares
decir lo que hoy conocemos como enteros  Teoría de las congruencias
positivos, negativos y el cero.  Teoría de operadores

El número entero como extensión del El emperador

número ordinal. Augusto murió en el + 14 años
año 14 d. C.
 Teoría de ordenamiento
Un avión vuela a
 Teoría de A. Padsoa.
3580m sobre el + 3580 m
 Teoría de Russel
nivel del mar
Con la construcción de estas teorías, el
Tengo ahorrado en
problema de la legitimidad de los enteros +S/1000
el banco S/1000
quedó zanjado, se les reconoció
definitivamente y fueron situados al
mismo nivel que los positivos. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO Z
Los negativos así fueron absorbidos por El conjunto de los números enteros Z
los enteros que se reconocen ahora como la puede ser determinado como la reunión de
ampliación de los naturales. los números positivos, el cero y los
números negativos:
NÚMEROS ENTEROS
Z = Z- U 0 U Z+
Milagros representa con números
Luego el conjunto de los números enteros Z
situaciones en las que hay diferentes
determinado por extensión es:
cantidades contrarias, eligiendo un punto
de referencia y un número natural. Z=..., -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4; ...
Milagros dice Representación Gráficamente

numérica
La temperatura es
-10º C
10ºC bajo cero
Los primeros
agricultores de
- 6872 años
Paracas 6872 años
a C.
La profundidad del
Lago Titicaca es de - 364 m Los números positivos son los números
364 m naturales. Entonces N está incluido en Z.
Debo al banco N  Z.
- S/850
S/850
La temperatura de
+10º C
hoy es de 10º C

 REPRESENTACIÓN DE Z EN -4 es opuesto de +4, porque |-4| = |4|
LA RECTA NUMÉRICA. COMPARACIÓN DE NÚMEROS

Se representa de la siguiente manera: ENTEROS
 Entre dos números enteros es mayor el

que está a la derecha del otro.
 VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número entero
es el número natural que resulta de  +5  +2; porque +5 está a la derecha de
prescindir de su signo. +2.

 +4  +1
El punto A está mas distanciado al cero y

al prescindir del signo, 5  2. Entonces:  +3  +2
El valor absoluto de –5 es 5; porque |-5| = 5
El valor absoluto de +2 es 2; porque |+2| = 2

 Entre dos números enteros negativos
Simbólicamente:
es mayor el que tiene menor valor
absoluto.
 a, -a  Z, |a| = a  |-a| = a
 -3  -4, porque está a la derecha de –
4.
NÚMEROS OPUESTOS:  -5  -6, porque está a la derecha de –
6.
Dados a, b  Z, a es opuesto de b si su
representación en la recta está a igual
distancia de 0 pero en sentido contrario.
Simbólicamente:
 a, b  Z, a es opuesto de b  |a| = |b|

d) 0  Z+ ( )
CONSTRUYENDO e) 9 – 14  Z+ ( )
MIS
CONOCIMIENTOS f) 8 + 5  Z- ( )
g) Z  N = Z ( )
1. Relaciona ambas columnas, colocando h) Z  N = Z ( )

la letra adecuada entre paréntesis:
4. Ubica los puntos en un plano
a) 6 grados bajo cero ( ) S/+250
cartesiano
b) Debo S/250 ( ) + 60 m a) F(+2;0)
c) Tengo en el banco S/300 ( ) -12 b) H(-7;0)

c) K(0;-4)
d) Hace 12 días ( ) -6ºC
d) L(0;+3)
e) 60 metros sobre el ( ) +15 días e) M(-1;+1)
f) P(+3;-2)
nivel del mar
g) Q(-4;-1)
f) 15 días después ( ) S/+300 h) R(-2;+5)
g) 65 metros bajo el ( ) -4 kg
nivel del mar
h) Baje 4 kg de peso ( ) – 65m
2. Escribe el número entero que resulta

en cada caso.
a) 13 – 9 = ………… e) 7 – 8 = …………
b) 9 – 15 = ………… f) 16 – 4 = …………
c) 8 – 8 = ………… g) 6 – 6 = ………… 5. Halla el opuesto de los siguientes
d) 0 – 7 = ………… h) 1 – 9 = ………… números:

a) opuesto de -8 = _______
3. Clasifica como V o F las siguientes
b) opuesto de 12 = _______
proposiciones:
c) opuesto de 36 = _______
a) 0  Z ( )
d) opuesto de -72 = ______
b) Z  N ( ) e) – (-12) = ______
f) - (+15) = _____
c) 9 – 4  Z- ( )

6. Analiza y resuelve: 8. Coloca los signos >, < según

a) Si el opuesto al número 2x es 6 corresponda:
¿Cuál es el valor de x? a) -15 ____ -8
b) +5 ____ -12
c) -28 ____ 28
d) -3 ____ 0
b) Si el opuesto de 5m es 15 ¿Cuál e) -7 ____ -17
es el valor de m? f) -348 ____ 286

g) -456 ____ -236
h) -2348 ____ -2384
REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
7. El siguiente cuadro muestra las notas
de Aritmética en el I y II Bimestre de 5
1. Un nutricionista controla el peso de los
alumnos de un salón:
alumnos en kg de:
Cambio
Exceso
Alumno IB II B de la
Peso Peso o
nota Nombre
ideal real faltante
Carlos 18 14
de peso
Verónica 11 16
Sandra 62 66
Cecilia 16 14 -2
Pedro 53 52
Maribel 13 15
Inés 55 49
Luís 15 19
Magali 45 50
a) ¿Quiénes mejoraron sus notas y en
Milagros 61 48
cuánto?
a) Completa la tabla usando números
___________________________
enteros.
b) ¿Cuánto más es el peso de Pedro
con respecto al peso real de
___________________________
Milagros?
b) ¿Quiénes bajaron los notas y en c) ¿Cuánto menos es el peso ideal de
cuánto? Magali con respecto al peso ideal de
___________________________ Sandra?
___________________________

2. Sean los valores naturales A = 2; B = 3; 6. Analiza y resuelve:

C = 4; D = 5 y F = 6. Determina el a) Si el opuesto al número 3x es 18
resultado de cada operación. ¿Cuál es el valor de x?
a) A–D = _______ b) Si el opuesto al número 4m es 36
b) B–F = _______ ¿Cuál es el valor de m?
c) C–A = _______
d) B – (F - A) = _______
e) – (2 - D) = _______
3. Resuelve y escribe el resultado de: 7. ¿Cuál es el opuesto de R, si R=
a) +13 + +8 =  8  14  4  2
?
b) -55 + +28 = 3 2
c) -83 - -45 = 8. ¿Cuál es el opuesto de P, si P=
d) +45 - +105= 17  5
3
e) – (8 - 19) = 2
3
15  1
4. Coloca los signos  o  según 1 
2
corresponda:
a) N ___ Z = Z
b) Z+ ___ Z- =   9. Una sustancia que está a 19ºC se enfría
c)  0 ___ Z+ = N lentamente, de tal forma que su
d) Z ___ N = N temperatura baja a razón de 2 grado cada
e) N ___ Z- =   tres minutos ¿Al cabo de cuántos minutos

la sustancia estará a 1º C?
5. Escribe el valor de verdad de las

siguientes expresiones: 10. Coloca el signo >, < según corresponda:
a) (3 - 5)  Z+ ( )
b) (4 - 2)  Z- ( ) a) +6 ___ -9
c) 7 - 10 = - (+3) ( ) b) -25 ____ -42
d) Z-  Z+ ( ) c) +35 ____ -180
e) 2 - 3 = 3 - 2 ( ) d) -48____ -52
e) +75 _____ -57

NÚMEROS ENTEROS Y COORDENADAS EN EL

PLANO
Observa los dos ejes perpendiculares de OPERACIONES CON NÚMEROS

color negrita. Estos ejes dividen la
ENTEROS
cuadrícula en cuatro partes llamadas
cuadrantes. Adición de Números Enteros
 Sumandos de signos iguales
Observa en que parte esta cada globo.
Cuando los sumandos tienen el mismo
signo se suman los valores absolutos
y se pone el mismo signo de los
sumandos.
Ejemplos:
a) (+5) + (+7) = +12
a) (-4) + (-8) = -12

b) (+14) + (+20) = +34
c) (-10) + (-25) = -35
 Sumandos de signos diferentes
Cuando los sumandos tienen distinto
 (+2; +1), está en el primer cuadrante. signo se restan los valores absolutos y
se pone el signo del sumando de
 (-1:+1), está en el segundo cuadrante.
mayor absoluto.
 (-2; -1), está en el tercer cuadrante.
Ejemplo:
 (+3;-2), está en el cuarto cuadrante. a) (-8) + (+10) = +2
 Observa que en cada par, se escribe b) (+12) + (-5) = +7

primero el número del eje horizontal y
c) (-13) + (+7) = -6
después el número del eje vertical
d) (+18) + (-21) = -3
(ordenada) .
 Adición de más de dos números
Se opera primero los números enteros
positivos, luego los enteros negativos,
finalmente los dos resultados
parciales obtenidos.
Ejemplos:

1. Efectuar: 3. Propiedad Asociativa:

(-6)+(-4)+(+12)+(-9)+(+8)+(25)+(+13)
 a,b, c  Z  (a+b)+c = a + (b + c)
Resolución:
= (12 + 8 + 13) + (-6 – 4 – 9 – 25) Ejemplo:
= (33) + (-44) (-6) + (+8)+(-7) = (-6)+(+8)+(-7)
= - 11 (+2) + (-7) = (-6) + (+1)
-5 = -5
2. Efectuar:
(+17)+(-9)+(-21)+(+48)+(-37)
4. Propiedad del elemento neutro:
Resolución:
0ZaZ/a+0=0+a
= (17 + 48 ) + (-9 – 21 – 37)
= (65) + (-67) Ejemplo:
=-2 (+14) +0 = +14
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN 0 + (-9) = -9
DE NÚMEROS ENTEROS
1. Propiedad de Clausura 5. Elemento opuesto:
 a,b  Z  (a + b)  Z  a, -a  Z / a + (-a) = (-a) + a =

0
Ejemplo: +7 + (-9) = -2 Ejemplo:
(-13) + (+13) = 0
2. Propiedad Conmutativa: (+25) + (-25) = 0
 a,b  Z  (a + b) = (b +
a)
Ejemplo: (-6) + (-7) = (-7) + (-6)
-13 = -13

d) (+9) + (+4) =
CONSTRUYENDO
MIS
e) (+8) + (-6) = + (8 - 6) = +2
CONOCIMIENTOS
f) (-50) + (+20) =
1. Representa en la recta numérica las
siguientes adiciones: 3. Efectúa las siguientes operaciones:
a) (+6) + (-4) = +2 a) (-16) + (+24) + (-10) + (+26)
b) (-2) + (-3) = -5
c) (-6) + (+4) = -2
b) (-20) + (+34) + (+20) + (-35)
d) (+8) + (-5) = +3
c) (-19) + (+42) + (-6)+(+19) +(-7)
2. Resuelve las siguientes adiciones en

Z:
a) (+8) + (+7) = +(8+7) = +15 d) (-36) + (+4) + (-23)+(-5) + (+21)
b) (+2) + (+5) =
c) (-10) + (-2) =

4. La temperatura en la Antártida era de - 8. Un señor cuenta con un capital de

35ºC cuando llegaron los científicos s/285 soles. Si invierte S/115; gana
peruanos y aumentó 10 grados el día S/150 de los que dona la quinta parte a
siguiente ¿Cuál fue la temperatura en una obra social. ¿Cuánto dinero tiene
ese momento? actualmente?
5. Un Ingeniero Químico calienta 42º C una 9. Un ómnibus parte del paradero con 12
solución que estaba a -14º C ¿Cuál es la pasajeros. En un paradero suben 5 y
temperatura final de la solución? bajan 8, en el siguiente paradero suben
7 ¿Cuántos pasajeros hay en el
ómnibus?
6. ¿Cuál es el número que sumado con el

10. Encuentra el valor de la incógnita:
doble de su opuesto es igual a +36?
a) m + 34 = -18
b) -36 + 2y = +14
7. La suma de un número más el valor

absoluto de su opuesto es igual a +56.
c) 78 + n = -48
Halla dicho número.
d) 7p – 116 = -4

6. La temperatura inicial de una solución

REFORZANDO es -14ºC, luego se calienta aumentando
MIS CAPACIDADES su temperatura en 43ºC ¿Cuál es la
temperatura final de la solución?
1. Representa en la recta numérica las

siguientes adiciones:
a) (+8) + (-5) = +3
b) (-4) + (-5) = -9
7. Halla el número que sumado con el
c) (-7) + (+5) = -2
valor absoluto de -16 es igual al valor
d) (+8) + (-4) = +4
absoluto de -3
2. Resuelve las siguientes adiciones:
a) (-16) + (-21) = -(16+21) = -37
b) (-39) + (-52) =
c) (-40) + (-32) =
8. Ricardo se encuentra buceando a 25
d) (+67) + (+18) =
metros de profundidad. Si sube 13
e) (-17) + (+4) = -(17 - 4) = -13
metros a la superficie. ¿A qué
f) (+17) + (-9) =
profundidad se encuentra ahora?
g) (-39) + (+76) =
h) (+84) + (-55) =
3. Efectúa las siguientes operaciones:
a) (+20) + (-12) + (+22) + (-10)
b) (-200) + (+480) + (-380)
9. Milagros tiene S/130. Si invierte S/75,
c) (+4) + (-8) + (-6) + (+8) + (+3)
gana S/110. ¿Cuánto dinero tiene
d) (-4) + (+10) + (-6) + (-10) + (-11)
actualmente?
e) (-7) + (+5) + (-9) + (+4) + (-6) + (+2)
4. Encuentra el valor de la incógnita en
cada caso:
a) x + 33 = -18
10. La suma de un número más el valor
b) -55 + 3y = 29
absoluto de su opuesto es igual a 772.
c) 102 + a = -87
Halla dicho número.
d) -92 = p – 45
e) z – 14 = 17 + 38
5. Juan tiene S/100 más que Richard,
quien tiene S/180. Si Luís tiene S/120
menos que Juan ¿Cuánto tienen los tres
juntos?

SUSTRACCIÓN DE “Z”
La sustracción de dos números enteros OPERACIONES COMBINADAS

equivale a la adición del minuendo con el
DE NÚMEROS ENTEROS
opuesto del sustraendo.
En las operaciones de adición y sustracción
Simbólicamente:
encontramos dos signos sucesivos (uno de
la operación y otro del número entero) que
 a, b  Z, a – b = a + (- b)
se puede simplificar con los siguientes
Minuendo pasos:
Sustracción Opuesto del
sustraendo
1. Expresamos las sustracciones como
sumas.
Minuendo
NOTA:
Ejemplos:
2. Eliminamos el signo de la suma y los
a) (-3) – (+4) = (-3) + (-4) = -7 paréntesis, y si el 1er número es positivo,
se escribe sin signo.
b) (+3) – (-4) = (+3) + (+4) = 17 3. Cambiamos el orden.
4. Efectuamos.
c) –8 – (-5) = -8 + (+5) = -3 Ejemplo:
(+9) – (-6) + (-5) - (+7) – (-4) + (-1)

d) (+4) – (+3) = (+4) + (-3) = +1
= (+9) + (+6) + (-5) + (-7) + (+4) + (-1)
e) (-3) – (-8) = (-3) + (+8) = +5 =9+6–5–7+4–1

 La sustracción en Z verifica la propiedad
=9+6+4–5–7–1
de clausura, ya que si: a, b  Z  (a-
b)Z. = 19 – 13 = 6
No es conmutativa ni asociativa. Regla práctica de simplificación de
 Números opuestos: signos
+a -a
 a + (+b) = a + b
 a - (-b) = a + b
+4 -4
 a - (+b) = a - b
 a + (-b) = a - b
+9 -9
+18 -18

OPERACIONES COMBINADAS 2. Resuelve:
CON SIGNOS DE COLECCIÓN a) (+8) – (-16) – (+25) – (-32)
El orden en que se efectúan las operaciones

con los signos de agrupación es:
b) (-17) – (+36) – (+27) – (-35) – (-69) – (+45)
Ejemplo: 9 - 8 + 5 –(-9 + 2 - 6) - 3 - 1
Resolución:
9 - 8 + 5 – (-13) -3  -1
9 - 8 + 5 +13 -3 -1
c) – (289)–(+350)–(+170)–(-289)–(-350)–(+130)
9 - 8 + 18) -3  -1
9 - 8 + 18 -3  -1
9 - 23 -1
9 – 23 – 1 = -15
d) (-45) + (-39) – (+96) – (-107) – (+78)
CONSTRUYENDO
MIS
CONOCIMIENTOS
3. Calcula realizando la operación

1. Expresa las sustracciones como contenida en cada uno de los signos de
adiciones y resuelve: agrupación.
a) (+3) – (+10) = a) 6 - [-3 – (-2 + 6 - 7) - 8] – 4
b) (+5) – (-7) =
c) (-6) – (+2) =
d) (-8) – (-9) =
e) (-6) – (-6) =

b) (-11 + 10) + [-4 + (-8 - 6)] + (- 3 - 2) c) (-10) + (-4) – z = +5
d) (+8) – (-6) + (-q) = 0
c) - {- 7 + [-4 – (-8 + 11 - 9) + 11] - 12}
5. Un bloque de hielo está 8ºC bajo cero.

Se enfría hasta que se consigue un
descenso de la temperatura de 25ºC.
¿Cuál es la temperatura final?
d) –5–13-[-4–21+9) - 5]- [22 + 17 – (-16 + 4)]
Rpta: 33ºC
6. El estado de cuenta bancaria de

Milagros a fines de mayo fue S/140 y a
4. Determina el valor de la incógnita en cada fines de Junio fue S/268 ¿Milagros tuvo
caso. deudas en junio? Si es así, ¿a cuánto
ascendieron?
a) x + (-7) – (-13) = -7
b) m – (-20) + (-20) = -30
Rpta:

7. Un número excede en +18 unidades al

número -16. Halla el número. REFORZANDO
MIS
CAPACIDADES
1. Expresa las sustracciones como
adiciones y resuelve:
a) (+4) – (+11) =
b) (+6) – (-8) =
c) (-7) – (+3) =
Rpta: 2 d) (-8) – (-10) =
8. La diferencia de un número negativo con e) (-7) – (-7) =

su opuesto es -18. Halla el número.
2. Resuelve:
a) (+9) – (-17) – (+26) – (-33)
b) (-17) – (+37) – (+28) – (-36) –
(-70) + (+146)
c) – (289) + (+250) – (-160) – (-280)
– (-300) – (+120)
d) (-46)+(-40)–(+98)–(-108) –(+79)
3. Calcula realizando la operación

Rpta: 9 contenida en cada uno de los signos
de agrupación.
9. Si restamos -28 a un número, la
diferencia sería -49. Halla el número a) 7 - [-4 – (-2 + 7-8)-9] – 5
b) (-12 + 11) + [-5 + (-9-7)] + (-4-3)
c) -{-8 + [-5 – (-9+12-10)+11]-13}
d) -6–14-[(-5-22+10)-6]-[23+18– (-17 + 5)]
4. Determina el valor de la incógnita en
cada caso:
a) x + (-8) – (-14) = -8
b) n – (-18) + (-18) = -2
c) (-12) + (-6) – P = +8
Rpta: -77
d) (+10) – (-8) + (-q) = 0

5. Un bloque de hielo está a 10ºC bajo 8. Durante el mes de junio, Juan ha

cero. Se enfría hasta que se consigue un perdido la suma de S/ 63 900 y tiene
descenso de la temperatura de 28ºC un saldo de S/4 560 ¿Cuánto tenía al
¿Cuál es la temperatura final? 31 de mayo?
6. Alexandra se fue de compras con S/120

y adquirió una blusa a S/15, un par de
9. Un empresa ha pronosticado que en el
aretes por el doble de la blusa, una
año 2007 tendrá una pérdida promedio
chompa a S/4 menos que los aretes y
mensual de S/900 durante los primeros
una falda por la mitad del precio de la
4 meses y ganancias promedio
chompa. ¿Cuánto le sobró?
mensuales de S/1700 en los siguientes
ocho meses. Al cabo de un año, ¿habrá
ganado o perdido dinero? ¿cuánto?
7. Javier logró ahorrar 180 dólares, si

desea comprar un televisor que vale
$149 y un walkman de $38 ¿Le falta o
le sobra? ¿Cuánto?

MULTIPLICACIÓN DE “Z”
Definición: La multiplicación en Z es la  Conmutativa:

operación que a cada par ordenado (a;b)  Z Simbólicamente:
x Z le hace corresponder su producto.
 a,b Z  a . b = b . a
axb=cZ
Ejemplo: (+3) . (-5) = (-5) . (+3)
Para resolver esta operación se multiplican
(-15) = (-15)
los valores absolutos de cada factor y al
resultado se le precede el signo (+), si ambos  Asociativa
factores tienen el mismo signo o el signo (-), Simbólicamente:
si tiene diferentes signos.  a,b,c Z  (a . b) . c = a . (b . c)
Ejemplos: Ejemplo:
a) (+3) . (+4) = +12 (-3). (+2) . (-4) = (-3) . (+2) . (-4) 

b) (-4) . (-5) = +20
(-6) . (-4) = (-3) . (-8)
c) (+6) . (-7) = -42
d) (-8) . (+6) = -48 (+24) = (+24)
Multiplicación de más de dos
 Elemento Neutro
factores en Z.
Simbólicamente:
Se procede de la siguiente manera:  1  Z,  a Z, a  0 / a .1 = 1 . a = a
Ejemplos:
Ejemplo: (+1) . (-5) = (-5)
a) (+5) (-2) (+4)(-1) = +40
(-5) . (+1) = (-5)
b) (+4) (-2) (-3)(-1) = -24
 P. Distributiva
Propiedades de la
Simbólicamente:
Multiplicación en Z.
 a,b,c Z  a(b + c) = a.b + ac
 Clausura:
Ejemplo:
a, b Z  a . b Z
(-3) . (+4) + (-6) = (-3) . (+4) + (-3). (-6)
= (-12) + (+18)
Ejemplo: (-3) . (+4) = -12
= (+6)
Simbólicamente:

 Elemento Nulo d) (-16) (-5) (-9) (-3) =

Simbólicamente:
 0  Z,  a  Z  a . 0 = 0 . a = 0 e) (-5) (-5) (-5) (-5) (-5) =
3. Efectúa aplicando las propiedades:

Ejemplo:
a) (-8) . 0 = 0 . (-8) = 0
a) (+10) (+18) =
b) (-9) . 0 = 0 . (-9) = 0
b) (+643) . 0 =
CONSTRUYENDO
MIS
CONOCIMIENTOS c) (-348) (+1) =
1. Efectúa las siguientes multiplicaciones d) (-5) [(-13) (-20)] =

en Z:
4. En cada caso halla “x”:

a) (+7) (+9) =
a) +15x = (15) (-57)

b) (+14) (+16) =
b) -20x = (+5) [(+4) (+7)]

c) (-18) (-8) =
5. Un depósito pierde 2 litros de agua por

d) (-22) (+25) = segundo ¿Cuántos litros perderá en tres
cuartos de hora?
e) (-436) (-789) =
2. Resuelve las siguientes operaciones:
a) (+7) (-3) (+4) =
b) (-8) (+12) (-10) =
c) (-25) (-4) (-18) =

6. Un autobús hace diariamente, tres

viajes de ida y otros tres de vuelta, REFORZANDO
llevando un promedio de 40 pasajeros MIS CAPACIDADES
por viaje ¿Cuántos viajeros llevará en 7
días? 1. Efectúa las siguientes multiplicaciones
en Z.
a) (+6) (+7) =
b) (-9) (+12) =
c) (+16) (-13) =
d)(-15) (-25) =
e) (-79) (+98) =
7. Richard tiene que recorrer con su
camión una distancia de 950 km. Si su
velocidad promedio es 68 km por hora. 2. Resuelve las siguientes operaciones:
¿Cuántos kilómetros le falta recorrer a) (+4) (+6) (-7)
después de 8 horas de viaje?
b) (-5) (-7) (+8)
c) (9) (-6) (-2) (3) (-4)
d)(-8) (7) (-9) (-2) (-1)
e) (+36) (-45) (-48)
3. Efectúa aplicando propiedades:

8. Una sustancia fue enfriada hace 13
a) (+12) (+17)
minutos a razón de 4ºC por minuto. Se
b) (+780) . 0
encuentra ahora a -16ºC ¿A qué
c) (-675) (+1)
temperatura se encontraba al principio?
d) (+12) [(-5) + (-9)]
4. En cada caso, hallar “x”:

a) +16m = (+16) (-24)
b) +16n = (-36) (+17) (+16)

5. Un submarino desciende desde la 8. Un equipo de fútbol ha ganado sus tres

superficie marina a 12 metros por últimos partidos por 5 goles de
minutos. Se inicia el descenso a las diferencia. Si hace tres fechas su
11:08 a.m. ¿A qué profundidad estará a diferencia de goles era -13 ¿Cuál es su
las 11:36 a.m.? actual diferencia de goles?
6. Una delegación deportiva compuesta

por 28 personas viaja de Lima a
9. Los terrenos se venden en metros
Huancayo, el pasaje cuesta S/15.00. Si
cuadrado. Si el metro cuadrado de un
cuesta lo mismo de ida y vuelta ¿Cuánto
terreno cuesta S/89. ¿Cuánto se
gastó en pasajes?
pagará por un terreno de 489 metros
cuadrados?
7. Un lote de arroz tiene 348 sacos; si cada

saco de arroz cuesta S/87 ¿Cuánto se
10. Un empleado gasta para ir de su
pagará por el lote de arroz?
casa a su trabajo S/4 y de regreso S/3..
Cuando gasto S/46 ¿Dónde se
encontrará?

DIVISIÓN DE “Z”
Definición: PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN

La división es una operación inversa de la
multiplicación, que relaciona algunos pares
Elemento Neutro: El cociente de
ordenados (D, d)  Z x Z* con un número C
cualquier número entero entre 1 es igual
Z, si existe, donde: D = d x c.
al mismo número. Ejm: -7 : 1 = -7
 Para hallar el cociente de dos

Simbólicamente:
números enteros se dividen sus
valores absolutos; si el dividendo y el aZa:1=a
divisor tienen igual signo, el cociente
Elemento Nulo: El cociente de cero
es positivo, y si el dividendo y el
entre cualquier número entero distinto de
divisor tienen distinto signo, el
cero es cero. Ejm : 0 : 8 = 0
cociente es negativo.
División exacta
Simbólicamente:
 a  Z, a  0  0:a=0
Distributiva: El cociente de una

Ejemplos: suma de enteros entre un número entero
distinto de cero es igual a la suma de los
a) (+6) : (+2) = +3 cocientes de cada sumando entre dicho
b) (-10) : (-2) = +5 número. Ejm:
c) (+12) : (-4) = -3
d) (-12) : (4) = -3  8+6+(-12) : -2 = (8:-2)+6:-2+(-12):-2
= - 4 + (-3) + (+6)
= -1
 La división no es una operación Simbólicamente:
interna en Z solo cuando la división es
 a, b, c, d  Z, d  0  (a + b - c) : d
exacta afirmamos que pertenece a Z.
= a : d + b : d – c :d

Ejemplos: el tanque, si abren las dos llaves a la

vez, y se sabe que el tanque tiene una
1. Resuelve las operaciones: capacidad de 1548 litros?
a) 12 . (-3) : 3 + 27 : (-3) : 3
-36 : 3 + 27 : (-3) : 3 Resolución:
-12 + (-9) : 3 Datos:
-12 + (-3) = -15 Dos llaves vierten:
1ra. Llave: 300 litros en 6’
b) (-60) : (-5) + 18 : (-3) + 2 . 6 : 3 2da. Llave: 180 litros en 5’
12 + 18 : (-3) + 2 . 6 : 3
12 + (-6) + 12 : 3 Capacidad del tanque: 1548 litros
12 + (-6) + (+4) = +10
Meta: determinar el tiempo en que se
llena el tanque al abrir las dos llaves
2. Un colegio recibe 2000 cuadernos de al mismo tiempo.
donación. Si a cada alumno le
entregan 12 cuadernos, sobrarían 8.  Realizando una operación de
¿Cuántos alumnos hay en el colegio? división en cada caso:
1ro. 300:6 = 50 litros
Resolución: 2do. 180: 5 = 36 litros
Datos:  Las dos llaves vierten en un
# de cuadernos : 2000 minuto:
reparten a c/niño : 12 50 + 36 = 86 litros
sobran : 8  El tanque tiene una capacidad de
Meta : determinar el # de alumnos 1548 litros, las dos llaves
tardarán en llenarlo:
 Aplicando la operación de 1548 : 86 = 18 minutos
sustracción y división:
 2000 – 8 = 1992 Respuesta: Se llenará en 18 minutos.
A cada alumno le entregaron 12
 1992 : 12 = 166
Respuesta: Hay 166 alumnos en el
colegio.
3. Un tanque puede llenarse con dos
llaves, una de ellas vierte 300 litros
en 6 minutos, y la otra 180 litros en 5
minutos. ¿En cuanto tiempo se llenará

4. Identifica las divisiones exactas e

inexactas:
CONSTRUYENDO
MIS
CONOCIMIENTOS a) 78 006 : (-5) ( )
b) (-45 000) : 10 ( )
1. Resuelve las siguientes operaciones:
c) 1234 : (-6) ( )
a) (+256) : (-8) =
d) 50 064: (-6) ( )
b) (-144) : (+4) =
5. Un número es el triple del otro. Si el
c) (-250) : (-10) = mayor es 12, el menor es:
d) 0 : (-346) =
2. Efectúa las siguientes divisiones:

a) (-1664) : (-16) = a) 2 b) 4 c) +1 d) 5
En una reunión, por cada 3 hombres
b) (-2781) : (+27) = hay 2 mujeres. Si hay 20 personas.
¿Cuántos hombres hay?
c) (+18 513) : (-121) =
d)(-2294) : (+37) =
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 15
a) -15m = 405 6. Un tren ha recorrido 360 km en 10
horas. ¿Cuánto es la distancia que
b) 42x – 40 = -2770 recorrió en cada minuto?
c) (-250) : x = -50
d) x : 5 = -27
a) 500m b) 700m
c) 600m d) 800 m

5. Entre un padre y su hijo han ganado

REFORZANDO S/570. Si el hijo gana la mitad del
MIS CAPACIDADES padre. ¿Cuánto gana el hijo?
1. Resuelve las siguientes operaciones: a) S/200

b) S/50
a) (-64) : (-4) c) S/100
d) S/110
b) (-256) : (+16)
6. Luís tiene el doble de lo que tiene
c) (-81) : (-27) Pedro más S/35. Si juntos tienen
S/467. ¿Cuánto tiene Luís?
d) 0 : (-348) = 0
a) 144
2. Efectúa las siguientes divisiones: b) 323
a) (-187) : (+17) c) 134
b) (+943) : (+27) d)153
c) (21 + 70 - 42) : 7
d) (105 + 75 - 125) : 5 7. Un auto y una moto cuestan juntos
S/12 000. Si el auto cuesta 5 veces lo
3. Resuelve las siguientes ecuaciones: que cuesta la moto; ¿Cuánto cuesta la
a) 10 a + 5 a = 75 moto?
b) 8m = 90 + 3m
c) 5 (x - 5) = 75 a) S/2 000
d) (m + 9) : 5 = 16 b) S/3 000
c) S/2 500
4. Identifica las divisiones exactas e d)S/1 500
inexactas:
8. En una congeladora, el termómetro
a) (-132 134) : 2 ( ) indica 0ºC y luego de 4 horas el
termómetro registra -48ºC. Si la
b) 78 0006 : (-5) ( ) temperatura desciende constantemente
en cada hora, ¿Cuántos grado
c) 43 095 : (-5) ( ) disminuye por hora?
d) (-3 091) : (-2) ( )

ARITMÉTICA
1°
SECUNDARIA
MES DE AGOSTO

 OPERACIÓN CON NÚMEROS FRACCIONARIOS.

 CLASES DE FRACCIONES.
 FRACCIONES MIXTOS.
 ADICIÓN DE FRACCIONES.
 OPERACIÓN CON NÚMEROS FRACCIONARIOS II.
 APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS.

OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS I
Cuando estudiamos el conjunto de los ¿Qué es una fracción?

números naturales (N ), vimos que era
Una fracción es una división indicada
necesario extender dicho conjunto a otro
de dos números enteros. En tal división,
más amplio que nos permita efectuar la
resta o sustracción para todos los casos, el divisor es diferente de cero.
apareciendo entonces el conjunto de los
Es decir: a/b, donde: b 0
NÚMEROS ENTEROS (Z ).
Además “a” y “b” son los términos de
Pero ahora se nos presenta otra la fracción y reciben el nombre de

dificultad, al tratar de efectuar ciertas
NUMERADOR y DENOMINADOR
divisiones de números enteros, como por
ejemplo: respectivamente.
¿Cómo divido una deuda de Algunos significados de fracción

S/.150 en 18 cuotas? ............ 150  18
La fracción como parte de la unidad
¿Cómo divido una cuerda de Si dividimos un papel en seis partes
Cinco metros en dos partes iguales? iguales y pintamos cinco de dichas
................ 5  2 partes, entonces toda la parte pintada
del papel la representamos por 5/6.
¿Cómo divido una torta en
5
dos partes iguales? ...................... 1  2
6
En todos estos casos anteriores no
encontramos solución en el conjunto de
los números enteros, ante esta situación
surge la necesidad de ampliar dicho El denominador 6, representa la
conjunto a otro que en adelante cantidad de partes iguales en que se
llamaremos el CONJUNTO DE LOS ha dividido la UNIDAD.
NÚMEROS RACIONALES que lo
reconoceremos por la letra Q. El numerador 5, representa la cantidad
de partes que se ha tomado de la
unidad.

La fracción como cociente

Queremos repartir dos tortas entre tres Ejemplo: De un pastel tomamos las 3/4
niños en partes iguales, a cada uno le partes.
corresponde 2/3 de la torta, esto

significa que la fracción 2/3 es el
cociente de dividir dos entre tres; es
decir:
2  3 = 2/3 para cada niño
Fracción impropia
Se llama así cuando el numerador es
mayor que el denominador, estas
fracciones son mayores que la unidad.
La fracción como operador

Ejemplo: De un pastel no podemos
“La mitad”, “la tercera parte”, “la
servirnos las 5/4 partes, entonces
cuarta parte”, etc., son nombres de
tomamos dos pasteles así:
operadores que fraccionan. Así:
1 1 8 8
de 8   4
2 2 2
1 1  15
de 15  
3 3
Observación: Si el numerador es igual
al denominador, la fracción es igual a
3 3  20
de 20   la unidad. Ejemplo:
5 5
- De un pastel tomemos las 4/4

Observación: La fracción a/b es un
partes.
operador que multiplica por “a” y divide
entre “b”.
Comparación de una fracción con la

unidad
Fracción propia
Se llama así cuando el numerador es
menor que el denominador, estas
fracciones son menores que la unidad.

Transformación a mixtos ¿Cómo transformamos un mixto a

Llamamos números mixtos a una forma una fracción impropia?
de representar las fracciones mayores
que la unidad. Así: Para efectuar esta transformación,
multiplicamos el denominador de la parte
1 fraccionaria por la parte entera y a este
2 es un número MIXTO,
producto le sumamos el numerador
obteniendo así el numerador de la
Dónde: la PARTE ENTERA es
fracción buscada. El denominador es el
la PARTE FRACCIONARIA es 1/2
mismo.
Del ejemplo anterior:
Este MIXTO puede ser desdoblado
también así:
2
1
* Transformar 3 a fracción
+ 2
impropia:
Entonces, también es cierto que:
+
1 1 2
3  5  2 17
+ 2 = 2 3
3

3
=
Fracciones equivalentes
¿Cómo transformamos una fracción
impropia a número mixto?
Dos fracciones:
a c
Veámoslo en un ejemplo: b y d
* Transformar 17/3 a mixto. son equivalentes, si se cumple que:

Dividimos el numerador entre el
denominador Ejemplo:
3 9
17 3 5 y 15 son equivalentes
15 5
3 9
2
5 = 15 porque: 3  15 = 9  5
Cociente = 5, es la parte entera
45 = 45
Residuo = 2, es el numerador de la
Fracción irreductible
parte fraccionaria
Si los términos de una fracción tienen
Divisor = 3, es el denominador de la
como único divisor común a la unidad,
parte fraccionaria
dicha fracción es irreductible o
irreducible.
Luego:
Ejemplo:
17 2
3 = 3 3
5

Simplificación de fracciones Paso 1: Hallamos el m.c.m. de los

Significa transformarla en otra denominadores:
equivalente y a la vez irreductible. Para
lograrlo dividimos sucesivamente los á m.c.m. (9; 5; 12) = 180
términos de la fracción entre divisores
comunes hasta lograr una fracción Paso 2:
irreductible.
24 5 100 2 72 7 105
180   
Ejemplo: Simplificar 9 180 5 180 12 180
2 2 3 Paso 3: Ordenando de acuerdo a los

24 12 6 2 numeradores:
= = =
180 90 45 15
2 2 3
72 100 105
< <
180 180 180
Relación de orden
Regla de productos cruzados 2 5 7
< <
5 9 12
* ¿Cuál de las siguientes fracciones es
mayor? ADICIÓN EN NÚMEROS
7 3
9;5
FRACCIONARIOS
Hacemos:
35 = 7 3 = 27
a. De igual denominador
9 5
Para efectuar la suma o adición de dos
Y como: 35 > 27 o más fracciones con igual
denominador, se suman los
7 3 numeradores y se escribe el mismo
Entonces: 9 > 5 denominador.
Transformando las fracciones a Veamos en forma gráfica:

denominador común
+ =
* Ordenar las siguientes fracciones de
menor a mayor:
3 2 5
5 2 7 + =
6 6 6
9 ; 5 y 12

Ejemplo: 1 3
 
7

4 8 20 40
3 5 2 10
  
17 17 17 17 Dividimos el m.c.m. por cada
b. De diferente denominador denominador y el resultado lo
Para efectuar la suma o adición de multiplicamos por el respectivo
fracciones de diferente denominador, numerador.
buscamos transformar las fracciones a Luego:
otras equivalentes, de tal forma que 1 3 7 10  15  14 39
   
todas tengan ahora el mismo 4 8 20 40 40
denominador.
Veamos un ejemplo gráfico: b.2. Regla de productos cruzados
a c ad  cb
 
b d bd
+ +
Ejemplo:
3 7 33  28 61 17
   
1
+
1
+
1 4 11 44 44 44
2 4 8
Reducción a común denominador:

CONSTRUYENDO
MIS
CONOCIMIENTOS
+ + =
1. En la siguiente figura, representar la

4 2 1 7
+ + =
8 8 8 8 fracción 2/3
b.1 . Método del mínimo

común múltiplo (m.c.m.)
Hallamos el m.c.m. de los

denominadores y lo escribimos como
DENOMINADOR del resultado. 2. En la siguiente figura, representar la
4 - 8 - 20 |2 fracción 1/4
2 - 4 - 10 |2
1-2-5 | 2 m.c.m. = 2 x 2 x
2 x 5 = 40
1-1-5 |5
1-1-1 |
Entonces:

3. En la siguiente figura, representar la * En los siguientes ejercicios, indicar cuál

fracción 3/8 de las siguientes fracciones es mayor.
7.
7 8
5 7
4. En la siguiente figura, representar la

fracción 3/4
8.
9 10
8 9
5. De las siguientes fracciones:

9. Hallar el valor de “a”, si las siguientes
3;5 ;3;5
fracciones son equivalentes:
5 4 7 8
a ; 15
¿Cuál no es una fracción propia y por
4 12
qué?
6. De las siguientes fracciones:

7 ;9;3;5
4 8 4 2
¿Cuál no es una fracción impropia y 10. Efectuar:
por qué? 15

2 4

3. Hallar el valor de “x + y”
REFORZANDO 1 x 1 1 y
= + =
5 5 5 5 5
MIS CAPACIDADES
1. Efectuar las siguientes adiciones:
3 2
 a) 61 b) 75 c) 40
4 7
d) 89 e) 41
2
5 4. Efectúe:
1 1
+
2
2 3
5
Indicar el mayor resultado.

19 23 24
a) 29 b) 20 c) 35
1 1 30
20 23
17 15 a) 5 b) 6 c) 31
d) 35 e) 8
3 40
1
d) 5 e) 31
2. Calcular “A + B”: 5. Completar con los signos “>” o “<”

2 5
A= + según corresponda:
3 6
3 3 1
3 4 
B= + I. 7 8 5
5 11
2 5
II. 7 6
1 49 51 3 11 11
10 8 7 
a) 2 b) 51 c) 110 III. 5 12 13
4 11
3 9
d) 5 e) 50
2 3 3 2
 
IV. 5 10 4 7

6. Efectuar las siguientes sustracciones: 11. Completa el siguiente cuadro
2 5 simplificando el resultado de la
7 21 operación indicada.
3
5
7 14 1
3 2 15 2
4
5
2
7. Efectuar la siguiente operación:
7
1 3
5 4
12. Calcular “ A  B ”
a) 9/20 b) 3/16 c) 1/15

2 10 1 4
d) 3/17 e) 5/21 A  B   27
5 3 ; 4 9
8. Calcular “A - B”
a) 4 b) 5 c) 6
3
8 d) 7 e) 8
A=
12. En las siguientes figuras, colorea la
3 parte correspondiente a la fracción

B= 4 referida:
a) 47/13 b) 45/8 c) 52/6 a)

d) 54/8 e) 43/8 3 5
4 b) 8
5 1 c)
5 7
9. Restar 8 de 3 3
8
a) 7/19 b) 13/15 c) 41/24

d) 37/51 e) 20/21 13. Escribe la fracción que representa la
parte sombreada en cada caso:
1 1
  
10. De  2 3  restar 1/6
a) ...... b) .......
a) 2 b) 1 c) 4
d) 5 e) 0
c) ...... d) ......

e) ......
14. Calcular:
a) los 5/8 de 32
b) los 2/3 de 12
c) la tercera parte de 51
d) los 4/9 de 63
e) los 2/5 de 35
15. Escribe como mixto las siguientes

fracciones:
a) 8/5 b) 11/7
c) 13/2 d) 15/7
. Simplificar:
e) 17/5 f) 137/3
 2  5   3 
 3      1 
g) 141/11 h) 103/4  7   23   10 
a) 21/25 b) 12/19 c) 5/11

d) 13/14 e) 1/7
10. Si se sabe que:

4 3 1
A=
5 8 2
13 5 6
B  
15 26 7
Calcular “ A  B ”
a) 5/19 b) 7/20 c) 11/28

d) 13/17 e) 11/30

OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS II
DIVISIÓN EN NÚMEROS
Así:
FRACCIONARIOS
a a a a
   ...   Potencia " n" ésima
b  b  b    b
a
Observa el dibujo y reflexiona sobre la "n" veces
b
pregunta: ¿Cuántas veces cabe 1/8 en n

a
   P
1/2? Se trata de dividir 1/2 entre 1/8. b
Donde:
1 1 1 8 8 l “n” es exponente natural

= = =4
2 8 2 1 2 l a/b es base racional o fracción
l “P” es la potencia o resultado de la
Es decir, que 1/8 cabe cuatro veces en 1/2 operación
Dividir una fracción a/b por otra NO NULA POTENCIACIÓN
c/d equivale a multiplicar la primera
fracción a/b por la inversa de la segunda
c/d. Ejemplo:
3
3 3
 
Es decir: 4 Significa que la base racional 4
a c a d ad debe ser multiplicada por sí misma tres

   
b d b c bc veces.
Ejemplo: Es decir:
3
36 9 36 8 32 3 3 3 3 3  3  3 33 27
           
5 8 5 9 5 4 4 4 4 4  4  4 4 3 64
POTENCIACIÓN EN NÚMEROS Luego podemos afirmar de modo

general que:
FRACCIONARIOS
n
a an
   n
La potencia de una fracción es el
b b
resultado de multiplicar “n” veces una
misma fracción.

Signos de una potencia de base

racional Ejemplo:
3
 2 2 3 6
2  5     5    5 
  2 (2)  (2)  4  9   9 9
         
 3  33 9  
n n n
a c a c
3        
  2 (2)  (2)  (2)  8 b d b  d
 3   333

27
     
 
Una potencia de base Ejemplo:

POSITIVA y exponente 2 2 2
2 1 2 1
PAR o IMPAR, siempre        
5 6 5 6
es positiva.      
m
4 a
 
  2 (2)  (2)  (2)  (2)  16 b m n
      a
 5  5555 625  
n b
a
 
 
b
3  
  2 (2)  (2)  (2)  8
   
 5  555 125
Ejemplo:
Una potencia de
6
base NEGATIVA  5 
  64 2
 11   5   5 
puede ser:  
    
4  11   11 
POSITIVA, si el  5 
 
   
 11 
exponente es PAR  
NEGATIVA, si el
exponente es IMPAR
RADICACIÓN EN NÚMEROS
FRACCIONARIOS
Propiedades
m n m n
a a a Hemos estudiado que dada la siguiente
     
b b b expresión:
     
n
a
   P
b
Ejemplo:
 
2 3 23 5
La operación que permite el cálculo de la
2 2 2 2
       
3 3 3 3 a
       
base " b " dados "P" y "n", se llama
n RADICACIÓN.
 m mn
 a     a 
 b   b
    

Es decir: 27 3 27 3
3  
n 8 3 8 2
a
a Ejemplo:
nP     P
b b
 
Donde: P: Radicando
m
m
n: Índice (n  2) a an
n   
b b
a    
•
b : Raíz
: Operador radical 4
4
2
2  22  2
Ejemplo: 2     
5 5 5
     
3 Ejemplo:
27 3 3
3  porque    27
125 5 5 125
 
a c a c
SIGNOS DE RADICACIÓN EN ℚ n  n  n
b d b d
•
impar a c 8 2
 3  1 3 1 3
b d Ejemplo: 27 3 7  7  7
8 5 8 5
Ejemplo:
impar a c 1 1
 5 
b d Ejemplo: 32 2
a a
mnp  mnp
b b
•
par a c 9 3
 
b d Ejemplo: 25 5
2 2 2
25 4  2 5  4  40
9 9 9
Ejemplo:
a
par
  en Q
b
PROPIEDADES
n a
a
n 
b n b
•

4.
7 5
 2   2    2 
CONSTRUYENDO      
3 3 3
MIS
CONOCIMIENTOS
1. Efectuar:
3 9
4 24 5.
4 3
5 5  5
     
3 3 3
2. Efectuar:
7  35
8 24 6.
8
 5  3    5  3 
     
7 8 7 8
• En los siguientes ejercicios, escribir en

7.
el recuadro el número que corresponde. 4
 7 3  7
 9     9 
    
3.
7
3  3
 
5 5
8. Reducir:
25
36

9. Reducir: a) 1/4 b) 2/4 c) 1/8
8 d) 5/6 e) 2/3
3
27 3. Simplificar:
1 1

2 5
1
10
10. Reducir:
a) 2 b) 5 c) 7
3  1
125
d) 10 e) 15
4. Reducir:
2 1

12 24
25
REFORZANDO 24
MIS CAPACIDADES
1. Hallar el valor de “A × B”, si:
1 5 1 3
A   ; B 3 2
2 6 5 4
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/5 e) 1/6
a) 1/2 b) 2/5 c) 3/5

5. Calcular la mitad de los dos tercios de
d) 4/5 e) 5/5
42/25 de 125.
2. Calcular:
2 3  15
  
 5 10  42
a) 5 b) 14 c) 50
d) 70 e) 72

6. Calcular "a", si: a) 1/4 b) 1/2 c) 2/6

2
 8  8
13
 8  8
7
 8
8 a d) 4/5 e) 3/8
          11. Efectuar:
 15   15   15   15   15 
 
2
 2 4 3
2

 3  2 
C 

2
 2 1 
 3 
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
7. Calcular "b", si:
38 12 b
 17   17   17  a) 3 b) 3/2 c) 9/4
     
 21   21   21  d) 2 e) 4
12. Efectuar:
E 225  3 343  4 81
324 1 000 10 000
a) 14 b) 26 c) 32
d) 46 e) 53
8. Calcular el valor del recuadro:
5
 2
 
4
   13       13 
  5    
 5 

  
a) 3/2 b) 1/2 c) 13/30

d) 27/15 e) 43/30
13. Efectuar:

2
a) 11 b) 13 c) 22  3

 33  1 
d) 40 e) 45 3
P 2 
 
3
9. Calcular "A × B"  23  1  1 
 2 3 
16 3
27
A= 25 ; B= 64
a) 9 b) 27 c) 81
d) 16 e) 4
a) 2/3 b) 3/5 c) 4/7
14. Efectuar:
d) 5/3 e) 6/8
10. Simplificar: M  1  1  1  ...  1
2 6 12 110
1
9 25 64  2
16  36  100 
 
a) 10/11 b) 7/9 c) 13/20
d) 20/49 e) 1/10

APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS
EL DESCENDIENTE DE FRACCIONES II
CONSTANTINO I EL GRANDE
Se cuenta que un presuntuoso iba En este capítulo vamos a aplicar el
concepto de fracciones a diferentes tipos
diciéndole a todo el mundo que era
de problemas, pero antes veremos algunas
descendiente directo de Constantino I El ideas más, que son sumamente útiles.
Grande.
Relación Parte - Todo
Hasta que un día se lo contó a un
matemático. Éste, después de escuchar ¿Recuerdas la representación gráfica de
atentamente las historias del supuesto una fracción, cierto?
descendiente del gran emperador, le dijo:

3 partes
7 partes
«Usted tiene dos padres, y cada uno de
Aquí tenemos la fracción 3/7; recuerda
ellos, otros dos, y así sucesivamente. que eso significa que de los 7 pedazos en
que se ha dividido el rectángulo, hemos
Teniendo en cuenta que nos separan unas
tomado sólo 3.
sesenta generaciones de su ilustrísimo
Observa que en realidad los 7 pedazos
pariente, resulta que usted ha tenido, son el total, y que los 3 pedazos que hemos
tomado son sólo una parte del total.
desde entonces, más de dos trillones de
Quiere decir entonces que una fracción
antepasados. Uno de ellos es Constantino
es una relación de parte a todo, donde:
I El Grande. Me parece a mí que poco le
Parte Numerador
toca de tan importante señor». = Fracción
Todo Denominador
Veamos un ejemplo:
Claro que en sentido figurado, pero En un salón de clases hay 50 alumnos;
podríamos decir que el mencionado de ellos, 15 estudian inglés en un

instituto. ¿Qué fracción de los alumnos
fanfarrón tenía sólo 1 trillonésimo de
del salón estudia en dicho instituto?
Constantino... así que volvemos a
fracciones.

Observa que del total de alumnos del

salón (son 50), sólo una parte estudia en
el instituto (que son 15), por eso la
fracción pedida es:
Parte 15 3
= =
Todo 50 10 Observa que la parte más oscura
representa la parte que tomamos al final:

Fracción de fracción
Observa el siguiente gráfico: 2/5. Pero esa es una parte, no del total,
sino de una parte del total (¿Recuerdas? Al
principio eran 2/3).
Quiere decir que hemos tomado 2/5 de

Claro que la fracción representada es 2/3,
¿cierto? (¿Porqué?) 2/3 del total. Y si analizas bien, en
realidad la parte más oscura son 4

¿Qué pasaría si ahora esa parte que está
pedazos de un total de 15, lo que significa
sombreada la sacamos un momento, y la
dividimos en 5 partes iguales? 4/15. Coloquemos estos resultados así:
2 2 4
de es igual que
5 3 15
Ya habrás notado que para que se

Ahora, de esas 5 partes (olvida por un
cumpla, esta preposición “de” debe
momento la línea punteada), ¿qué pasaría
si sólo quisiese tomar 2? Tendría algo así: reemplazarse con un “x” (por), quedando:
2 2 4
x =
5 3 15
Que viene a ser 2/5, ¿no es así? Ahora

regresemos lo obtenido al gráfico del
principio y completemos las líneas:

5. Los 2/3 de los 3/4 de 12 =
CONSTRUYENDO
MIS
CONOCIMIENTOS
* Efectuar las siguientes operaciones:

1. Los 2/3 de 18 =
6. Los 3/4 de los 8/9 de 15 =
2. Los 2/5 de 25 =
7. La mitad de los 4/5 de 25 =
8. La tercera parte de los 3/7 de 14 =
3. Los 3/7 de 21 =
* En un salón hay 18 hombres y 12

mujeres:
4. Los 4/8 de 16 =
9. ¿Qué fracción del total son hombres?

10. ¿Qué fracción del total son mujeres?
REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
1. ¿Cuánto le falta a los 2/5 de los 7/13

de 585 para ser igual a los 3/4 de los
2/9 de 762?
11. 2/3 de 11/20 de 60
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2. ¿Por cuánto exceden los 4/5 de los 7/12

de 1 200 a los 5/3 de los 2/13 de 780?
a) 200 b) 150 c) 360

12. ¾ de 4/9 de 27 d) 400 e) 560
3. ¿De qué número es 45 los 9/13?
a) 54 b) 60 c) 72
d) 38 e) 65
13. La quinta parte de la mitad de 10/11 4. ¿De qué número es 32 los 8/11?
a) 110 b) 88 c) 44
d) 64 e) 40
5. Un albañil puede levantar una pared en

14. ¿Qué número es tal que sus 7/15 10 días. ¿Qué parte habrá hecho en un
equivalen a 14? día?
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8
d) 1/10 e) 2/5
6. Paola hace todas sus tareas en 6 días y

Jhordy hace las mismas tareas en 4

días. Si unieron fuerzas, ¿en cuánto 11. ¿Cuánto le falta a 4/11 para ser
tiempo terminarán sus tareas? igual a los 2/3 de los 5/7 de los 4/9 de
a) 1 b) 2 c) 12/5 los 6/11 de 7?
d) 17/5 e) 3
a) 3/8 b) 4/11 c) 3/11
7. Luis hace una obra en 12 días y Julio su d) 1/9 e) 4/9
hermano hace la misma obra en 9 días.
Si unieron fuerzas, ¿en cuánto tiempo 12. ¿De qué número es 72 los 3/5 de los
harán la obra? 10/9?
a) 5 días b) 5 c) 5
d) 5 e) 6 a) 90 b) 96 c) 100
d) 104 e) 108
8. Víctor y Diego pueden hacer una obra en
4 días. Víctor trabajando solo lo haría en 13. ¿Qué parte de los 4/11 de los 21/8
6 días. ¿En qué tiempo podrá hacer toda de 22, es los 3/7 de los 2/5 de 70?
la obra Diego solo? a) 3/7 b) 1/9 c) 13/70
d) 4/7 e) 6/7
a) 9 días b) 10 c) 11
d) 12 e) 14 14. Rodrigo pesa 44 kg más 3/7 de su
peso. ¿Cuánto pesa Rodrigo?
9. Si en una caja hay 40 pelotitas, de las
cuales 21 son rojas, 3 son azules, 7 son a) 56 kg b) 60 c) 63
verdes y el resto blancas, ¿qué fracción d) 77 e) 84
del total son blancas?
15. Un libro cuesta $ 15 más 2/5 de su
a) 9/40 b) 3/5 c) 3/7 valor. ¿Cuánto cuesta el libro?
d) 31/40 e) 21/40
a) $ 20 b) 25 c) 30
10. En una bolsa hay 30 caramelos; de d) 35 e) 40
ellos, tres son de menta, 12 de limón y
el resto de fresa. ¿Qué fracción del total 16. En una reunión de ingenieros
son de fresa? especializados hay 10 mecánicos, 15 de
sistemas y 25 electrónicos. ¿Qué
a) 3/4 b) 2/3 c) 1/3 fracción del total es la diferencia entre
d) 5/6 e) 1/2 el número de ingenieros de sistemas y
el número de ingenieros electrónicos?

a) 1/10 b) 2/5 c) 1/5 6. Los 5/7 de mi edad equivalen a 35.

d) 3/10 e) 1/20 ¿Cuál es mi edad?
17. De un total de 40 personas se sabe 7. ¿Qué número es tal que sus 4/9
que sólo 12 son varones; además de las equivalen a 72?
mujeres, la cuarta parte son menores de
edad. ¿Qué parte del total son las 8. Si los 3/7 de un terreno perteneciente
mujeres mayores de edad? a un hermano, está valorizada, esta
a) 21/40 b) 19/40 c) 1/4 parte en 24 mil dólares. ¿En cuánto
d) 3/4 e) 17/40 está valorizada la parte que pertenece
al otro hermano?
1. Calcula lo siguiente:
a) $36 000 b) $28 000
c) $30 000 d) $32 000
a) Los 2/5 de los 10/3 de 1 200
e) $35 000
b) Los 3/7 de los 4/5 de 840

9. En un salón de clases de 40 alumnos,
cierto examen es aprobado por 15
c) Los 5/12 de los 3/25 de 600
alumnos.
d) La mitad de la tercera parte de los

a) ¿Qué fracción del total del salón
2/5 de 3
han aprobado?
e) La quinta parte de los 10/9 de los

b) ¿Qué fracción del total del salón
6/7 de 21/16
han desaprobado?
2. A los 3/5 de 100, agrégale los 4/7 de

10. En una bolsa hay canicas: cinco
84.
verdes, tres blancas y siete rojas.
3. ¿Qué resulta de quitarle a los 4/5 de

a) ¿Qué fracción del total son verdes?
75, la tercera parte de los 3/4 de 84?
b) ¿Qué fracción del total son rojas?

4. ¿Qué se obtiene de agregar 2/3 de 1/4
de 96 a los 4/3 de los 7/8 de 72?
c) ¿Qué fracción del total son
blancas?
5. Diga qué número es tal que sus 3/5
es 24.

11. La edad de Enrique es los 5/6 de la

edad de Juan, y 15. Un maestro de obra cobró S/.2 400
4/5 de la edad de Juan equivalen a 24 por una obra. Si se sabe que se quedó
años. Halle las edades de Enrique y de con un quinto y el resto lo repartió en
Juan, y dé como respuesta la suma de partes iguales a los seis obreros,
ambas (en años). ¿cuánto recibió cada obrero?
a) 29 b) 38 c) 55 a) S/.340 b) 384 c) 240

d) 61 e) 70 d) 480 e) 190
12. Un chofer acostumbra llenar su 16. Un padre reparte 48 soles entre sus
tanque de gasolina con 20 litros de dos hijos. Los 3/7 de la parte que le
gasolina de 90 octanos y cuatro litros dió al mayor, equivalen a los3/5 de la
de gasolina de 84 octanos. ¿Cuántos parte que le dió al menor. ¿Cuánto le
litros de gasolina de 84 octanos habrá dió al menor?
consumido, si gasta seis litros de
gasolina? a) S/.20 b) S/.40 c) S/.25
a) 2 b) 1/2 c) 1/3 d) S/.35 e) S/.28
d) 1 e) 3/2
17. Un cilindro contiene aceite hasta
13. Una ternera pesa 171 kg más los un tercio de su capacidad. Si se añade
2/3 de los 5/7 de los 6/11 de su peso 15 litros más de aceite, el tanque
total. ¿Cuánto pesa la cabeza de la contendrá aceite hasta la mitad.
ternera, si es los 4/21 de su peso ¿Cuántos litros de capacidad tiene el
total? tanque?
a) 40 kg b) 42 c) 41 a) 60 b) 80 c) 90
d) 44 e) 49 d) 100 e) 120
14. Luis tiene 36 soles. Cada vez que

sale al recreo gasta la tercera parte de
lo que tiene en ese momento. ¿Cuánto
le queda después del segundo recreo?
a) S/.8 b) 12 c) 24
d) 16 e) 4

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ARITMÉTICA

 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.

 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.

 APLICACIONES DEL MCD Y MCM

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

NÚMEROS PRIMOS: Es aquel b) 3 y 7 (divisor común: 1)

número que tiene sólo dos divisores, que 8; 4; 3 (divisor común: 1)

es el mismo número y la unidad. 27; 45; 36 (divisor común: 1)

Ejemplos: Regla para determinar si un

Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada del

4 divisores: 1; 2; 4 Paso 2: Se divide el número entre todos los

Nota: El número 1 no es primo ni

a) Los números 56 y 75. ¿Son primos  Descomposición prima de

¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS! 1

Efectúa la descomposición prima de 60

Tabla de Números Primos

1° Se escribe todos los números mayores

2° Encerramos en un círculo el primer MIS CONOCIMIENTOS

3° De los números que quedan, 1. Escribe entre los paréntesis P si es

2 ¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS!

4. Las edades de Julio y Carlos son dos

5. La suma de dos números primeros 116

3. Encuentra la descomposición prima

¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS! 3

5. ¿Es posible repartir 18 cuadernos y 25

REFORZANDO un niño? ¿Por qué?

1. Escribe entre los paréntesis P si es

2. Utiliza la criba de Erastósteles y halla c) 8321

4. Las edades de tres hermanos menores b) 900

que 10 años son números primos, c) 2345

donde la edad del mayor es la suma d) 1008

de las edades de los otros dos.

4 ¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS!

I. DESCOMPOSICIÓN Descomponer canónicamente 315:

Paso 1: Empiezo a dividir el 105 3

Descomposición Pero ¿Qué hacer si el número tiene

¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS! 5

OBSERVA  Hallar el número de divisores

Divisores 1. Indicar verdadero (V) o Falso (F)

Paso 2: Extracción de los primos.

multiplican. I. 12 A) Tiene 2 divisores

4. ¿Cuántos de los siguientes ii) N = 22 x 52 x 7 tiene 45

ii) N = 113 x 134 d) 4 e) 5

a) 20 b) 12 c) 7 10. ¿Cuántos divisores primos tiene:

¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS! 7

11. Hallar la cantidad de divisores 13. ¿Cuántos divisores primos tiene:

ii) N = 53 x 72 ii) N = 2 +  x 7 x 13

15. Indicar la pareja de números PESI

8 ¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS!

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

OJO: Investiga acerca del método

¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS! 9

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Paso 2:

10 ¡FORMANDO LÍDERES EN VALORES AUTÉNTICAMENTE CATÓLICOS!

3. Si el MCD(A, B) = 36, ¿cuál es el mayor 8. Si el MCM (P, Q) = 39, ¿cuál es el menor

9. Hallar el MCD de 36 y 24.