Frege Esencial 1

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FREGE ESENCIAL
La aritmética es lógica y los números, objetos lógicos.

Introducción
1. El programa fregeano
2. Los inicios: Begriffsschrift o Conceptografía
2.1. La conceptografía como lenguaje del pensamiento
2.2. El contenido conceptual
2.3. Las conectivas
2.4. Las funciones lógicas
2.5. El cuantificador
2.6. Reglas de inferencia, axiomas y definición de orden en una secuencia
3. ¿Qué es un número? Los Fundamentos de la aritmética
3.1. La pregunta ontológica
3.2. Los tres principios fundamentales
3.3. Platonismo fregeano
3.4. La definición del número
4. Función, concepto, objeto, sentido y referente.
4.1. Sentido y referente
4.2. Análisis de la oración asertiva
4.3. El concepto ‘Caballo’ no es un concepto
5. Leyes básicas de la aritmética y la Paradoja de Russell
5.1. Leyes Básicas, Volumen I
5.2. Entre volúmenes, de 1893 a 1902
5.3. La paradoja y Volumen II
6. Investigaciones lógicas y escritos póstumos
6.1. ‘El pensamiento’
6.2. La negación y las demás conectivas
6.3. El legado de Frege

Textos
Conceptografía. Un lenguaje de fórmulas del pensamiento puro a imitación del de la
aritmética (fragmentos)
Prefacio
Parte I. Explicación de los símbolos
El juicio
§2. §3.
Igualdad de contenido
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§8. La función
§9.

‘Sobre la justificación científica de una conceptografía’ (fragmentos)

Los Fundamentos de la Aritmética (fragmentos)

Introducción
§1. La matemática en tiempos recientes ha mostrado una tendencia hacia el rigor en las
pruebas y mayor precisión en las definiciones de los conceptos.
§2. Este examen crítico debe, en último término, extenderse hasta el concepto de número.
El objetivo de la prueba.
§3. Motivaciones filosóficas de una investigación como esta: las controversias sobre si las
leyes de los números son analíticas o sintéticas, a priori o a posteriori. El sentido de tales
expresiones.
§4. La tarea en este libro
I: Opiniones de algunos autores sobre la naturaleza de los enunciados aritméticos
¿Son las leyes de la aritmética sintéticas a priori o analíticas?
§12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Intuición interna como la base de conocimiento
§13. La distinción entre la aritmética y la geometría
§14. Comparación entre las verdades según el dominio sobre el que rigen
II. Opiniones de algunos autores sobre el concepto de número
¿Es el número una propiedad de las cosas externas?
§21. Opiniones de M. Cantor y E. Schröder
§22. En contra de ellos, Baumann sostiene: las cosas externas no presentan unidad rigurosa
alguna. El número depende, parece, de nuestro punto de vista.
§23. La opinión de Mill, según la cual el número es una propiedad de un agregado de cosas,
es insostenible.
§24. Gran alcance de la aplicabilidad del número. Mill. Locke. La figura metafísica
incorpórea de Leibniz. Si el número fuera algo sensible, no podría ser atribuido a lo no
sensible.
¿Es el número algo subjetivo?
§26. La descripción que da Lipschitz de la formación del número no es completamente
adecuada y no puede reemplazar una definición conceptual. El número no es un objeto de
la psicología, sino algo objetivo.
§27. El número no es, como pretende Schloemilch, una idea del lugar que ocupa un objeto
en una serie.
III. Opiniones sobre la unidad y el uno
Solución de la dificultad.
§46. Una aserción de número contiene una aserción sobre un concepto. Objeción de que el
número varía mientras que el concepto no.
§47. La facticidad de la asignación de número se explica por la objetividad del concepto.
§48. Eliminación de ciertas dificultades.
§53. Diferencia entre características y propiedades de un concepto. Existencia y número.
IV: El concepto de número
Cada número es un objeto independiente
§55. Intento de completar las definiciones leibnizianas de cada uno de los números.
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§56. Las definiciones intentadas no son utilizables, porque definen un predicado en el que
el número es sólo un elemento.
§57. La asignación de número debe considerarse como una ecuación entre números.
§58. Objeción a la idea de que no se puede imaginar el número como un objeto
independiente. En general, el número es inimaginable.
§60. Ni siquiera las cosas concretas son siempre imaginables.
Para obtener el concepto de número, se debe fijar el sentido de una ecuación numérica.
§62. Necesitamos una característica para la ecuación numérica.
la igualdad se defina especialmente para este caso.
§66. Tercera objeción: la caracterización de la igualdad es insuficiente.
§68. El número como extensión de un concepto.
Resumen y confirmación de nuestra definición
§74. Cero es el número que corresponde al concepto ‘No idéntico consigo mismo’.
§76. Definición de la expresión ‘n sigue inmediatamente a m en la serie de los números
naturales’.
V. Conclusión
§90. Para la demostración completa de la analiticidad de las leyes de la aritmética nos falta
una deducción sin lagunas.
§106. Mirada retrospectiva.
§107.
§108.

Función y concepto (fragmentos)

‘Sobre sentido y referencia’ (fragmentos)

‘Concepto y objeto’ (fragmentos)

Leyes básicas de la aritmética, Vol. I.

Prólogo (fragmentos)

Carta de Russell a Frege, 16 de junio de 1902 (fragmentos).

Carta de Frege a Russell, 22 de junio de 1902.

Leyes básicas de la aritmética, Vol.II

Apéndice, fragmentos.

‘El pensamiento’ (fragmentos)

Bibliografía Esencial
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FREGE ESENCIAL
La aritmética es lógica y los números, objetos lógicos.1

1. El programa fregeano
Gottlob Frege vivió de 1848 a 1925, y fue profesor de matemáticas durante toda su vida, pero su
obra lo convierte en una figura central en la filosofía del lenguaje y la filosofía de las matemáticas,
en uno de los fundadores de la lógica moderna y, por tanto, en un pensador imprescindible para el
desarrollo de la filosofía analítica del siglo XX. El motor intelectual de Frege era, sin embargo, de
índole matemática. Más concretamente, el proyecto fregeano era probar una tesis sobre la
naturaleza última de la aritmética (que por aquel entonces abarcaba toda la teoría de los números
naturales, pero también de los reales y hasta de los complejos). Así, Frege creía que la aritmética es
solamente lógica, es decir, que sólo con conceptos y leyes lógicas se pueden dar todas las verdades
aritméticas. O, dicho más precisamente, que la aritmética es reducible a la lógica. El gran objetivo
de toda la obra de Frege es probar que esto es cierto, es decir, llevar a cabo la reducción.

Según Frege, decir que todas las verdades aritméticas pueden deducirse tan sólo a partir de leyes y
definiciones lógicas es lo mismo que afirmar que la aritmética es una disciplina analítica, y no
sintética. Para Frege, una disciplina es sintética si para su desarrollo se requiere algo más que pura
lógica. Por ejemplo, las ciencias empíricas son sintéticas, pues para probar la verdad de sus
aserciones, se requieren datos de la experiencia, los cuales son, está claro, algo más que conceptos y
leyes lógicas. Frege también creyó, como Kant, que la geometría es sintética, pues, según él, es el
estudio del espacio: el concepto de espacio no es un concepto puramente lógico, se somete a leyes
que van más allá de la lógica. Y una ciencia, o una verdad, es analítica si no es sintética. Así pues, la
afirmación de que la aritmética es analítica es una aserción sobre la manera en que es posible
conocer las verdades aritméticas: la capacidad de razonamiento lógico es suficiente para hacer
aritmética. Si el razonamiento aritmético tiene la simplicidad del pensar lógico, la aritmética tiene
unos fundamentos seguros, tan seguros como cierta es la lógica. En los tiempos de Frege había un
interés especial en encontrar una base segura para la matemática, se quería dar con los fundamentos
que establecieran la naturaleza última de las matemáticas. En este contexto, el logicismo es una de
las opciones más atractivas; es muy simple: todo es lógica.

Para llevar a cabo su proyecto, Frege tuvo que determinar varias cosas. Primero, debió dejar claro
qué es lo que admitiría como parte de la lógica, es decir, cuáles son los conceptos y las leyes lógicas

1
Me gustaría agradecer a unas cuantas personas su ayuda para llevar a cabo este libro: a Calixto Badesa,
Richard Mendelsohn y Mark Textor, por sus comentarios y sugerencias sobre el contenido de la
introducción; a Jara Sánchez Bennasar y Ramón Sánchez Ramón por su paciencia corrigiendo borradores,
también a este último por sus consejos desde la experiencia; a Marga Bennasar Félix y a Jean-David
Lafrance, por todo lo demás. También debo agradecer al Graduate Center of the City University of New
York y el Doctoral Student Research Grant Program, por la beca que me ha permitido completar este
proyecto con comodidad.
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que consideraría aceptables para llevar a cabo la reducción. La lógica en tiempos de Frege no estaba
tan definida como hoy en día. No existía ninguna exposición ordenada de un lenguaje de lógica de
proposiciones. Tampoco se había dado nunca una teoría de la cuantificación.2 Fue Frege, de hecho,
quien introdujo la noción de cuantificación. Pero la concepción fregeana de la lógica es distinta a la
actual: para empezar no estaba limitada a lo que hoy se llama la lógica de primer orden, pues
cuantificaba sobre predicados al igual que sobre individuos. Además, para Frege, las nociones
puramente lógicas incluían también la noción de la extensión de un concepto, es decir, la clase de
objetos a los que se aplica un concepto. Por ejemplo, la extensión del concepto caballo3 es la clase
de todas las cosas que son caballos. Es más, según Frege, la lógica es la ciencia que estudia la verdad;
es la ciencia más general, pues su objeto de estudio son todas las verdades sobre cualquier objeto y
en este sentido, la lógica es una ciencia que abarca todas las demás disciplinas, que son siempre más
específicas. Hoy en día, en cambio, la lógica se entiende más bien como el estudio de un lenguaje
esquemático, sin contenido particular, que puede usarse en cualquier contexto. Pero para Frege,
decir que la aritmética es analítica es decir que es una ciencia cuyo objeto es todo lo pensable, y no
solamente una parte de la realidad, y que tan sólo con nuestra capacidad de razonamiento lógico
podemos conocer las verdades aritméticas.

Frege explicó sus razones para creer en la analiticidad de la aritmética y emprender su proyecto.
Principalmente son dos: la aritmética es universalmente aplicable; como dijo Frege, se puede contar
todo, hasta las ideas y los números mismos. Por eso parece que la aritmética es tan general como la
lógica, que también es aplicable a todo. En cambio, las disciplinas sintéticas son específicas de un
campo. Así, por ejemplo, las leyes de la mecánica son aplicables a cuerpos físicos en movimiento,
pero no tiene ningún sentido preguntar por la distancia recorrida por un pensamiento o por un
número. La otra característica de la aritmética que le hizo pensar que debía estar muy
estrechamente ligada a la lógica es el hecho de que sus axiomas y teoremas no se pueden negar
coherentemente. Por ejemplo, negar que cada número natural tiene solamente un número natural
que es su sucesor es inconcebible porque, si eso fuera el caso, ya no serían números naturales. Frege
creyó que la incoherencia de negar las leyes de la aritmética era como la incoherencia de negar el
principio de no contradicción, es decir, una incoherencia que nos impide seguir pensando y que
elimina las bases de cualquier discurso racional. Esta última razón no es del todo convincente, pues
el hecho de que no sea concebible negar las leyes de una disciplina sin contradecir lo que

2
La lógica de proposiciones estudia las relaciones entre enunciados. En particular, se estudian las funciones
de verdad, es decir, las diferentes maneras de componer enunciados complejos a partir de los simples. Así,
la estructura interna de los enunciados simples no tiene importancia; sólo se estudia la estructura de los
enunciados compuestos y sólo en tanto que dependen de los valores de verdad de los simples. La lógica de
predicados, en cambio, analiza la estructura interna de todos los enunciados, e introduce la cuantificación:
el análisis de enunciados de la forma ‘Para todo…’ o ‘Para algún…’. Puede ser de primer o segundo orden
(y órdenes mayores). En la lógica de primer orden los cuantificadores operan tan sólo sobre variables
individuales, es decir, se pueden decir cosas sobre todo individuo, o algún individuo. En cambio, la lógica
de segundo orden también cuantifica sobre los predicados, o sea, se pueden formalizar frases que hablan
sobre las características que los individuos tienen o no en común. Por ejemplo, en la lógica de primer orden
se puede formalizar adecuadamente ‘Alguien acaba de tocar el timbre’, pero no ‘Todos los humanos tienen
algo en común’. (Dada una lógica de segundo orden, caben predicados que son predicados a su vez de
predicados. Si entonces se cuantifica también sobre estos predicados de segundo orden, la lógica es de
tercer orden.)
3
En lo que sigue, se escribirán los nombres de los conceptos en cursiva. La cursiva también se ha usado
para poner énfasis en ciertas palabras, pero, en cada caso, el contexto deja claro de cuál de los dos usos se
trata.
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entendemos por su objeto no es razón suficiente para la naturaleza puramente lógica de ésta, pero
quizás sí podría decirse que las dos razones juntas apuntan a cierta naturaleza básica de la aritmética.
No obstante, Frege no consideraría su tesis sobre la naturaleza de la aritmética probada
rigurosamente y sin lugar a dudas hasta que todas las derivaciones fueran producidas y se dedicó
prácticamente durante toda su vida a llevar a cabo este proyecto.

Además de aclarar cuáles iban a ser los puntos de partida de dicha reducción, es decir, los axiomas o
premisas que daría por supuestas en la deducción y las definiciones lógicas de los conceptos
aritméticos más básicos, no podía olvidar que tenía que ser especialmente cuidadoso en especificar
exactamente cuáles eran las reglas de inferencia, es decir, los pasos argumentativos que iba a
considerar correctos, o la manera en que iba a estar permitido ir de una proposición a otra en el
argumento. Asimismo, esas derivaciones debían de darse de tal manera que no cupiera duda de que
esas reglas y esos axiomas eran los únicos que se estaban usando, así que Frege también tuvo que
crear un lenguaje puramente lógico en el que expresar las derivaciones de la manera más conspicua
posible. Una vez el medio de comunicación (el lenguaje), el punto de partida (los axiomas y las
definiciones) y los pasos permitidos (reglas de inferencia) están listos, el cuarto y último requisito
para dar por finalizado su programa es, claro está, dar las derivaciones de las verdades aritméticas
usando este aparato lógico.

En el largo camino que va desde la exposición del lenguaje adecuado para la reducción hasta la
producción de las demostraciones, estuvo muchos años aclarando nociones, defendiendo
definiciones, ensayando deducciones y criticando oponentes, produciendo, en definitiva, la obra
filosófica y matemática por la cual se le admira hoy en día. En esta introducción se seguirá el
recorrido intelectual de Frege de una manera cronológica, pues su obra se construye claramente
como un todo enfocado a probar su logicismo. El objetivo es presentar al lector un mapa básico del
pensamiento fregeano, donde situar las obras, las nociones y los argumentos importantes. La
segunda sección repasa en más detalle el lenguaje lógico que presentó en Conceptografía (1879). En
la tercera sección se trata el pequeño libro donde Frege expone su definición de número, Los
Fundamentos de la Aritmética (1884). Antes de empezar con las demostraciones de todas las
proposiciones aritméticas, Frege estuvo unos años escribiendo un grupo de artículos que hoy en día
se han vuelto imprescindibles para la filosofía del lenguaje y la filosofía analítica en general. Éstos
serán el objeto de la sección siguiente. La sección quinta versa sobre la obra donde Frege presenta la
reducción lógica, Las Leyes Básicas de la Aritmética, el primer volumen de la cual se publicó por fin en
1893, y sobre el gran problema con el que se topó antes de la publicación del segundo volumen, en
1902, esto es, la paradoja de Russell, como se la conoce hoy en día. La sexta y última sección de
esta introducción repasará su obra de los últimos años, la obra póstuma y su legado.

2. Los inicios: Begriffsschrift o Conceptografía

Gottlob Frege nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, una ciudad portuaria del mar Báltico
en la actual Alemania. Inició sus estudios universitarios en la Universidad de Jena y los terminó en la
de Göttingen, donde obtuvo su doctorado. Al doctorarse, volvió a la Universidad de Jena, para
tomar posesión, en 1874, de una plaza de profesor (Privatdozent, es decir, profesor no asalariado) en
la Facultad de Matemáticas, facultad en la cual permaneció durante cuarenta y cuatro años, toda su
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vida profesional. Además de su tesis doctoral y su Habilitationsschrift4, y antes del Begriffsschrift,

Frege escribió tres reseñas de libros de matemáticas, y un artículo de geometría. Pero su primera
obra importante es Begriffsschrift, o Conceptografía5 (1879) donde expone el lenguaje lógico que va a
usar para la reducción aritmética.

2.1. La conceptografía como lenguaje del pensamiento

Según Frege los seres humanos nos diferenciamos de los animales en que poseemos un lenguaje con
el que podemos hablar de cualquier cosa, aunque no esté presente, aunque no la podamos señalar
con el dedo. Gracias a nuestra capacidad para producir palabras podemos pensar abstractamente,
conceptualmente, y liberarnos de las limitaciones del conocimiento únicamente sensible. Pero
como pensamos en símbolos, lingüísticamente, la elección de lenguaje es de una importancia suma.
El lenguaje natural por un lado es muy versátil y adaptable, lo cual es necesario para la multitud de
funciones que cumple, pero también significa que es una herramienta demasiado ‘blanda’, dijo
Frege, para ayudarnos a pensar mejor y sin error. Es demasiado ambiguo y poco estricto para hacer
ciencia, pues es prácticamente imposible expresar lo que se quiere expresar sin incluir
connotaciones que obstruyan la claridad de expresión. Así pues, ideó un lenguaje artificial, donde
los signos no ofuscaran su significado, sino que presentaran claramente la estructura de lo que
expresan, es decir, un lenguaje del pensamiento puro, según Frege.

La conceptografía es pues un lenguaje de trabajo puramente científico. La analogía que utiliza para
expresar la relación de su conceptografía con respecto al lenguaje natural es que aquélla es a éste
como la herramienta especializada es a la mano, o como el microscopio es al ojo. La función que
esta herramienta lingüística especializada tiene que cumplir es la de ayudar en el razonamiento. Este
afán por rigurosidad y claridad en Frege era en parte un efecto de la falta de seriedad que percibía
en el proceder de sus contemporáneos matemáticos. Frege creía que los estándares de rigurosidad
en las demostraciones y definiciones matemáticas dejaban mucho que desear y que esto hacía que
pasaran inadvertidos muchos errores en las demostraciones. La única manera de estar seguros de
que nada es incorrecto en la derivación es no dejar tácito ningún contenido ni ningún paso, para
poder comprobar así cada inferencia, axioma y definición. Frege buscaba, además, un lenguaje
apropiado para dar un análisis de todo argumento aritmético en pasos lógicamente simples, es decir,
no analizables, para no dejar lugar a dudas de que no se requería nada que fuera sintético (basado en
la intuición y no en la lógica). Necesitaba usar un lenguaje con el que pudiera asegurarse de que no
había ningún paso escondido que boicoteara la consumación de su programa logicista.

2.2. El contenido conceptual

Frege, por lo tanto, tenía como principal objetivo de su conceptografía que las aserciones
expresadas en ella expresaran su contenido claramente. Para explicar esto, introdujo la noción del
contenido conceptual del enunciado (en alemán, begrifflicher Inhalt), esto es, el significado del

4
La Habilitationsscchrift es una segunda tesis, escrita tras la tesis doctoral, que es necesaria en Alemania
(y en otros países europeos) para acceder a una plaza de profesor en la universidad. Tanto la tesis doctoral,
en 1871, como su Habilitationsscchrift, en 1874, fueron sobre matemáticas (geometría y cálculo,
respectivamente).
5
Los nombres de las obras de Frege serán usados tanto en alemán como en castellano, indistintamente. En
el caso de Conceptografía, el nombre en cursiva y mayúscula se refiere a la obra, en letra normal (y sin
mayúscula, en la palabra castellana) se refiere al lenguaje, la conceptografía.
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enunciado, o lo que el enunciado dice, noción que constituye la semilla de la teoría semántica de su
madurez. Por ejemplo, estos dos enunciados son distintos:

(1) En Platea los griegos derrotaron a los persas.

(2) En Platea los persas fueron derrotados por los griegos.

Son distintos porque están formados por diferentes palabras y en diferente orden, tienen diferente
sujeto y predicado. Pero dicen lo mismo, asegura Frege, su contenido conceptual es el mismo. El
contenido conceptual de un enunciado es aquélla parte de su contenido que es importante para la
inferencia lógica. Así pues, dos enunciados tienen el mismo contenido conceptual si, y sólo si, las
consecuencias inferibles a partir de uno son las mismas que se pueden inferir a partir del otro.

En Begriffsschrift, Frege estudió principalmente el contenido conceptual de los enunciados, así que
equiparó frases como (1) y (2), ya que la información que es importante en (1) es la misma
información que es importante en (2). El Begriffsschrift es pues un lenguaje en el cual simbolizar el
contenido conceptual y nada más. En particular, Frege estaba interesado en el contenido conceptual
de enunciados que podían ser verdaderos o falsos, es decir, el de enunciados asertivos (juicios, en la
terminología fregeana) que no el de preguntas, órdenes, ruegos, etc. Se puede decir que el
contenido conceptual de este tipo de frases es lo que hoy en día se llama la proposición expresada por
la frase. Así pues, para conseguir su objetivo, Frege tuvo que analizar la estructura de todo
enunciado asertivo o aserción y explicar cómo se forma en su nuevo lenguaje. Con tal finalidad,
analizó la manera en que los enunciados se combinan entre ellos y la manera en que están
estructurados, es decir, cómo se combinan sus partes. Frege afronta esta tarea basándose en el
lenguaje de fórmulas de la aritmética, añadiendo a ellas símbolos para las relaciones lógicas entre
proposiciones.

2.3. Las conectivas

Veamos primero las relaciones lógicas que consideró entre enunciados. Éstas son seis. Frege
propuso un símbolo para indicar que el enunciado tiene un contenido afirmable, sin que por ello se
esté afirmando, y otro, para señalar que el enunciado se está afirmando como verdadero, y no
solamente considerándose o suponiéndose. Todo enunciado se puede también negar, de ahí el
símbolo de negación. Además Frege añadió el condicional, para expresar la condición ‘Si p,
entonces q’, donde p y q son dos enunciados. Por último, la disyunción, que afirma la verdad de al
menos uno de los dos enunciados relacionados, y la conjunción, para poder afirmar la verdad de dos
enunciados a la vez, son dos relaciones que Frege definió con el condicional y la negación, así que
no requirieron su propio símbolo, simplificando el lenguaje. Esta lista de posibles conexiones entre
enunciados es hoy el clásico listado de conectivas, o funciones de verdad, de la lógica de
enunciados, o lógica proposicional. Aunque Frege las caracterizó según si los enunciados de pueden
afirmar o negar, en la lógica moderna estas conectivas se caracterizan en términos de valores de
verdad, de tal manera que el valor de verdad del enunciado compuesto está totalmente
determinado por los valores de verdad de los enunciados que la conectiva relaciona. Así, ‘no p’ es
verdadero si, y sólo si, p es falso; y ‘si p, entonces q’ es falso si, y sólo si, p es verdadero y q es falso;
‘p y q’ es verdadero si, y sólo si, tanto p como q son verdaderos; y ‘p o q’ es verdadero si, y sólo si,
al menos uno de los dos enunciados, p o q, es verdadero.
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Además añadió una sexta posible relación entre enunciados (con su símbolo correspondiente): la de
igualdad de contenido entre dos expresiones. Esta noción es distinta a la identidad como es
normalmente entendida. Suponiendo ‘a’ y ‘b’ nombres, la identidad entre a y b, a = b, se lee
comúnmente así: el objeto a es el mismo objeto que b. Frege utiliza la triple barra, ‘≡’, para su
relación de identidad de contenido, y para él, ‘a ≡ b’ expresa que el signo ‘a’ y el signo ‘b’ tienen el
mismo contenido conceptual y por tanto se puede sustituir uno por el otro en cualquier contexto.
Más tarde en su vida, modificó su concepción de la relación de identidad pues aunque estas dos
nociones parecen equivalentes, no lo son, como veremos en la sección cuarta de esta introducción.

2.4. Las funciones lógicas

Además de sistematizar las relaciones entre enunciados, Frege analizó su estructura interna. Es aquí
donde la influencia de las matemáticas en Frege tiene su efecto más novedoso y original, pues su
análisis está basado en las nociones matemáticas de función y argumento. La lógica anterior a Frege
era básicamente la lógica aristotélica de silogismos, por un lado, y la lógica de proposiciones, por el
otro. La lógica de proposiciones versaba solamente sobre las relaciones entre enunciados, no sobre
la estructura interna de éstos, salvo en el caso de enunciados complejos, compuestos por varios
enunciados más simples y conectivas. La lógica de silogismos sí tenía en cuenta la estructura de los
enunciados del argumento, pero su análisis estaba basado en la distinción gramatical de sujeto y
predicado, que resulta insuficiente para expresar todos los argumentos válidos. Sin embargo, la
lógica de Begriffsschrift es equivalente a lo que hoy en día se llama lógica de segundo orden, y es
mucho más poderosa que las dos lógicas disponibles antes de Frege, a las cuales incorpora (es decir,
no hay nada en aquéllas que no se pueda expresar en la nueva lógica). Así pues, para Frege, un
enunciado no está formado por la clásica pareja de sujeto y predicado, sino por una función y su
argumento. Dado que, como acabamos de ver, dos frases a partir de las cuales se pueden deducir las
mismas cosas tienen el mismo contenido conceptual, Frege explica cómo la distinción gramatical
entre sujeto y predicado no es útil en su conceptografía. Dos frases con diferente estructura
gramatical, con diferente sujeto y predicado, en realidad pueden tener el mismo contenido
conceptual. Uno de los ejemplos que Frege ofrece es el siguiente:

(3) Arquímedes fue muerto en la conquista de Siracusa.

(4) La muerte violenta de Arquímedes en la conquista de Siracusa es un hecho.

Según Frege, estas dos frases expresan el mismo contenido conceptual, pero si las analizamos en
términos de sujeto y predicado, el sujeto de (3) es ‘Arquímedes’, mientras que el sujeto de (4) es
‘La muerte violenta de Arquímedes en la conquista de Siracusa’. O si tomamos los enunciados (1) y
(2), del apartado anterior, tenemos también otro ejemplo donde el análisis gramatical de sujeto y
predicado no refleja la identidad de contenido conceptual. Luego la distinción gramatical no es
adecuada para analizar enunciados.

Frege concluyó que es mucho más conveniente usar las nociones matemáticas de función y
argumento. Una función es una operación, o un proceso, que asigna otro objeto (o el mismo),
como correspondiente, a cada objeto al cual se aplica. Por ejemplo, si sumamos 2 a cada número,
estamos aplicando la función x + 2, donde cualquier número puede estar en el lugar marcado por la
‘x’. El objeto al que se aplica la operación se llama el argumento de la función; el resultado de la
operación, en cambio, es lo que se llama el valor que la función asigna al argumento. Así, si el
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argumento es 1, el valor de esta función es 3; si el argumento es 2, el valor es 4; etc. En esta

explicación, la función, con sus argumentos y valores, es la entidad matemática, y no la expresión
lingüística con la que se habla de la entidad matemática. Pero en los tiempos de Frege muchas veces
no se diferenciaba estrictamente entre la expresión funcional y la función misma. En Conceptografía,
llamó funciones a las expresiones funcionales, así que da un análisis funcional del enunciado donde
el enunciado mismo, como entidad puramente lingüística, está formado por función y argumento.
Así, Frege diría que ‘x + 2’ es la función, y dado, por ejemplo, el argumento ‘4’, el valor de la
función es ‘6’. (En esta sección, pues, una función es una expresión funcional).

Una función puede ser más o menos complicada. La función que se acaba de considerar es bastante
simple: la función se completa con un solo argumento. Pero hay funciones cuyos argumentos son
parejas, tríos, etc. Por ejemplo, si en lugar de considerar la función ‘x + 2’, consideramos la
función ‘x + y’, entonces vemos que, en este caso, el argumento necesario para completarla será
una pareja de expresiones. Así, para los argumentos ‘2’ y ‘3’, el valor será ‘5’. O si entendemos la
expresión ‘Persona sentada entre… y…’ como una función, también ésta es una función que
requiere dos nombres para ser completada. Si hablamos, pongamos por caso, de las Naciones
Unidas, donde los representantes de cada país están sentados alfabéticamente según el nombre de su
país en inglés, y si los argumentos de esta función fueran ‘representante de Sudáfrica’ y
‘representante de Sri Lanka’, el valor de esta función sería ‘representante de España’ (por ‘Spain’).

Frege tuvo la idea de aplicar este tipo de esquema funcional al análisis de los enunciados, de la
siguiente manera. Pongamos por caso los siguientes enunciados:

(5) El dióxido de carbono es más pesado que el hidrógeno.

(6) El dióxido de carbono es más pesado que el oxígeno.

Estos enunciados se pueden ver como formados por una expresión que no varía, ‘el dióxido de
carbono es más pesado que…’ y otra parte que sí es variable, y que en estos ejemplos representan
tanto ‘el hidrógeno’ como ‘el oxígeno’. Así pues, ‘el dióxido de carbono es más pesado que…’ es
la función, y ‘el hidrógeno’ y ‘el oxígeno’ son dos de los argumentos posibles para esta función.
Ahora bien, estos enunciados también se pueden analizar como formados por una función de dos
argumentos: ‘… es más pesado que…’, donde los argumentos de (5) serían ‘dióxido de carbono’ e
‘hidrógeno’, y los argumentos de (6), ‘dióxido de carbono’ y ‘oxígeno’. Así que este modo de
analizar enunciados es muy flexible. Según Frege, dado un enunciado, su contenido conceptual es el
mismo en todos los análisis funcionales posibles, lo único que cambia es la manera de verlo, según
qué parte se entienda como sustituible por otras.

2.5. El cuantificador
Este análisis funcional de la oración fue muy fructífero, y es completado en Begriffsschrift con otra
gran idea original para analizar enunciados: la cuantificación. La cuantificación es la manera de
analizar lógicamente los enunciados generales. Pongamos por caso la frase siguiente:

(7) Todo ser humano es mortal.

Esta frase, según Frege y según la ortodoxia actual (aunque no justamente gracias a la influencia del
trabajo de Frege), no se analiza lógicamente, ni con las nociones de sujeto y predicado, ni
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únicamente con la noción básica de función y argumento que acabamos de ver. Comparemos (7)
con esta frase:

(8) Frege es mortal.

Se puede ver que la diferencia entre (7) y (8) es mayor que una simple substitución del argumento
de ‘… es mortal’. La manera de entender (7) en la conceptografía y en lógica moderna es la
siguiente:

(9) Para cualquier a, si a es un ser humano, entonces a es mortal.

Es decir, que dada una oración como ‘Frege es mortal’ se puede sustituir ‘Frege’ por el nombre de
cualquier objeto, si el nombre es de un ser humano. El cuantificador, ‘Para cualquier a…’, es
considerado por Frege a su vez como una función más, pero en lugar de tomar objetos como su
argumento, toma funciones. La función cuantificacional, dirá Frege más tarde, es de segundo orden (o
nivel) porque se aplica a las funciones de primer orden (o nivel), que son las más básicas, es decir,
las que toman objetos (que no funciones) como argumentos. En el ejemplo esta función es ‘Para
cualquier a…’ y su argumento es la función ‘Si… es humano, entonces… es mortal’. Además, con
este cuantificador universal y la negación, Frege pudo expresar también lo que hoy en día se llama
la cuantificación existencial, es decir, pudo formalizar frases que afirmaran la existencia o
inexistencia de objetos, ya que decir que algo no es el caso para todos es lo mismo que decir que al
menos para algo, eso no es el caso. Por ejemplo, si decimos que no todos lo humanos son mortales,
estamos diciendo que al menos un humano es inmortal, o que existe algún humano inmortal.

2.6. Reglas de inferencia, axiomas y definición de orden en una secuencia

Con toda esta maquinaria lógica (las conectivas, el análisis funcional, los cuantificadores) Frege tenía
suficiente fuerza expresiva como para emprender el análisis lógico de la aritmética. Una vez
presentado el lenguaje de esta manera, Frege también tuvo que especificar las reglas de inferencia
que iban a ser permitidas en sus demostraciones. Éstas debían ser definidas sintácticamente, es
decir, sólo a partir de la forma de las frases, sin tener en cuenta su significado, pues su objetivo era
que el lenguaje fuera una ayuda al razonamiento: quería que la gramaticalidad del razonamiento
asegurara la corrección del mismo. La única regla de inferencia que usa en su Begriffsschrift, además
de las reglas propias del cuantificador, es el Modus Ponens, que dice que siempre que tengamos dos
premisas con esta estructura, donde p y q son enunciados:

1. Si p, entonces q.
2. p

Entonces podemos inferir que q. Otra característica del Begriffsschrift que cabe mencionar aquí
aunque sea de paso, por ser distintivamente fregeana, es la notación que utilizó. Se trata de una
notación que pretendía explotar las dos dimensiones del papel, es decir, que no era una escritura
lineal. Frege creyó que así podría reflejar mejor la estructura de la proposición y las relaciones
lógicas entre ellas. Por poner un ejemplo, ésta es la manera en que Frege expresaba el condicional
‘Si p, entonces q’:
 Frege Esencial 12

├────┬─── q
│
└─── p

El problema de esta notación fue que era extraña para el lector y muchos la consideraron una
notación torpe y un desperdicio de espacio, así que no tuvo ningún éxito y nadie salvo Frege la llegó
a usar.

Pero la cuestión es que Frege había completado dos de los cuatro pasos necesarios para dar por
acabado su programa logicista: ya tenía el lenguaje y las reglas de inferencia. Ahora le quedaba la
parte más difícil: dar los axiomas y las definiciones de los conceptos aritméticos básicos, y
finalmente las derivaciones propiamente dichas. En cuanto a los axiomas necesarios, se podrían
separar en dos tipos (aunque la separación no se debe a Frege). Los axiomas más generales eran los
propios de cualquier lenguaje lógico de las características de la conceptografía. Estos ya los dio
Frege en ésta su primera obra. Los otros eran específicos de su reducción de la aritmética, y no los
da hasta más adelante, cuando ya ha aclarado cuáles son las definiciones de los conceptos
aritméticos. En Begriffsschrift, Frege empezó el siguiente paso en su programa: dar las definiciones.
Empezó por dar la definición lógica del primer concepto aritmético, el de orden en una secuencia, que
es básico en aritmética y que le será necesario para definir cualquier concepto más complejo. Frege
observó que los números naturales (0, 1, 2, 3, etc.) están ordenados de una manera concreta, y
que, gracias a esto, se pueden deducir muchas verdades sobre los números. Las demostraciones
aritméticas muchas veces usan el hecho de que los números están ordenados así para deducir
verdades sobre todos los números. Dada su importancia, Frege quiso empezar definiendo este
orden con lógica pura, sin hablar específicamente de los números, y lo consiguió. Así, fue Frege
quien produjo la primera exposición del concepto de secuencia lógica, y de la relación de sucesor y
ancestral en una secuencia, es decir, la relación que une cada objeto en una secuencia ordenada con
los objetos que le preceden y le siguen. Armado con esta importante definición, Frege dio por
terminado Begriffsschrift, y dejó para más adelante la definición de número y las derivaciones.

Textos correspondientes a esta sección:

Conceptografía (fragmentos): Prefacio; Parte I, §§2, 3, y 9.
Sobre la justificación científica de una conceptografía (fragmentos)

3. ¿Qué es un número? Los Fundamentos de la aritmética

Tras la publicación de Conceptografía, se publicaron varias reseñas del libro, pero todas fueron
desfavorables y la gran mayoría de los reseñadores ni siquiera entendieron lo que Frege había hecho,
para gran decepción del autor, que se dedicó durante los cinco años siguientes a responder a sus
críticos y defender el valor de su lenguaje. Así, la obra que constituye el siguiente paso en su
programa, Los Fundamentos de la aritmética o Die Grundlagen der Arithmetik, donde se analiza y define el
concepto de número, no se publicó hasta 1884. La mala recepción de Begriffsschrift quizás se explica
por su extraña notación, y porque Frege presentó su sistema sin explicar muy largamente la utilidad
ni el objetivo del lenguaje formal. Y quizás también por esto, este segundo libro está escrito sin
muchos formalismos, con una larga primera parte donde defiende su proyecto logicista y explica
por qué otras maneras de resolver la pregunta sobre la naturaleza de la aritmética y del número no
 Frege Esencial 13

son satisfactorias, allanando así el camino a su propuesta original. Hoy en día, Los Fundamentos de la
Aritmética se ha convertido en uno de los clásicos de la filosofía de la matemática, por su claridad de
expresión y abundancia de excelentes argumentos filosóficos, aunque hay pocos que consideran
viable su propuesta original.

3.1. La pregunta ontológica

La pregunta principal que se responde en Grundlagen es ¿qué es un número? Veamos primero en qué
consiste la pregunta. En la introducción, Frege explica que la mayoría de las personas, incluidos los
matemáticos, al ser preguntadas por la naturaleza del número, no tienen una respuesta satisfactoria
que ofrecer. Pero esta situación es escandalosa: una ciencia como la matemática, que aspira a la más
alta seguridad y exactitud, no puede permitir que uno de sus conceptos básicos esté tan poco claro.
Por esta razón, Frege buscó en Grundlagen una definición del número natural, al cual, a lo largo de
esta obra, denomina simplemente ‘número’. Esto es, no quería solamente un listado de todos los
números: 0, 1, 2,… ; lo que buscó es una caracterización del tipo de objeto que esta secuencia
ordena, una definición que diga claramente qué es lo que tienen todos estos números en común
entre ellos, y que no comparten con nada más, que les hace ser lo que son: números. Frege lo puso
en términos de concepto de número, es decir, quería encontrar una definición del concepto de
número. Ésta es una pregunta ontológica o metafísica.

Y es que los números no son fáciles de definir. Para empezar, no parece que estén en ninguna parte
ni que existan en el tiempo: no tiene sentido preguntar por el sitio del número 2, por ejemplo.
Pero, a la vez, podemos contar cualquier tipo de entidad, incluidos los números mismos. O sea
que, aunque no estén en ninguna parte, se pueden asignar a todo. Como explica Frege, tampoco
podemos usar un objeto normal y corriente para explicar lo que es un número: supongamos que el
número 1, por ejemplo, es simplemente un objeto, cualquier objeto, pues después de todo,
podemos señalar a cualquier objeto y decir ‘Esto es uno’. Pero si esto es así, tomando un objeto
cualquiera, digamos, la Luna ¿Cómo vamos a explicar la suma 1 + 1 = 2? Lunas terrestres sólo hay
una, pero hay dos números 1 en esta suma, ¿cómo podemos sumar la Luna a sí misma? Está claro
que no es tan fácil, y que tampoco es eso lo que hacemos al sumar 1 + 1. La tarea que ocupó a
Frege en Grundlagen es llegar a una explicación coherente de este escurridizo concepto de número.

Frege, como se ha visto, era un logicista, pues pensaba que la aritmética era simplemente lógica.
Hoy en día los filósofos logicistas normalmente son nominalistas, es decir, creen que la aritmética,
justamente por ser solamente lógica, no es sobre ningún tipo de objeto en particular, sino que
(como la lógica) no requiere la existencia de ninguna entidad en particular. Pero la tesis logicista no
quería decir para Frege que la aritmética no tuviera un objeto de estudio propio. Según Frege, hay
objetos puramente lógicos, entre otros, los números, así que no debe de extrañarnos que fuera
logicista y a la vez creyera en la existencia de los números como tales, es decir, en terminología
filosófica, que Frege fuera logicista y platónico.

3.2. Los tres principios fundamentales

Antes de embarcarse a explicar qué es un número, Frege determina tres principios básicos que toda
investigación filosófica debe respetar, a saber:

1. Siempre separar estrictamente lo psicológico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo.

 Frege Esencial 14

2. Preguntar siempre por el significado de una palabra en el contexto del enunciado, nunca de
una palabra aislada.
3. Nunca perder de vista la distinción entre concepto y objeto.

Cada uno de esto tres principios representa un punto esencial de la filosofía fregeana. El primero de
ellos es el lema fregeano en contra del psicologismo. El psicologismo, en este contexto, es una
corriente filosófica que estaba de moda en la segunda mitad del siglo XIX, la cual explica el
contenido de todo concepto, o el significado de las palabras, en términos psicológicos y subjetivos.
Es decir, el filósofo psicologista creía que el contenido de los conceptos dependía de cómo los seres
humanos llegáramos a conocerlos o aplicarlos. El psicologismo fue el gran enemigo intelectual de
Frege. Si los aspectos mentales de las personas que usan el concepto se incluyen como parte de
éste, también las condiciones de verdad de los enunciados de los que pueda formar parte el
concepto acabarán dependiendo de dichos procesos mentales. Las condiciones de verdad de un
enunciado son las condiciones que tienen que darse para que el enunciado sea verdadero. Por
ejemplo, ‘La Luna gira alrededor de la Tierra’ será verdad si y sólo si la Luna gira alrededor de la
Tierra; la verdad del enunciado está condicionado a la traslación de la Luna alrededor de la Tierra.
Si, en cambio, diéramos una explicación psicologista de este enunciado, diríamos, por ejemplo, que
el enunciado expresa que vemos cada noche como la Luna sale y se pone. Pero esta es una mala
explicación de lo que está diciendo, insiste Frege, pues si realmente significara esto, las condiciones
de verdad para este enunciado requerirían, entre otras cosas, que hubiera seres que vieran la luna
cada noche. Pero Frege, correctamente, arguyó que la verdad de las proposiciones debe de ser
independiente de nosotros: aunque todo ser racional desapareciera de la Tierra o nunca hubieran
existido, seguiría siendo verdad que la Luna gira alrededor de la Tierra. Así, según Frege los
conceptos deben definirse independientemente de la manera en la cual los seres humanos que usan
el concepto lo apliquen o lo aprendan, separando tajantemente lo objetivo de lo subjetivo para
respetar la realidad de la distinción. Esto no quiere decir, por cierto, que no sea una pregunta
legítima la de la historia de la adquisición de un concepto, pero es esencial separar las dos tareas. Es
más, para explicar el proceso histórico-psicológico por el cual los seres humanos llegamos a usar un
concepto, se necesita previamente tener la definición del concepto muy clara, pues de lo contrario,
la historia sería la historia de la adquisición de un concepto indeterminado, lo cual no tiene sentido.

El significado de las palabras, pues, no tiene nada que ver con los procesos psicológicos de las
personas que las usan. Y es el segundo principio, que se llama normalmente el Principio del
Contexto, el que especifica en lo que nos debemos fijar para determinar el significado de una
palabra: lo importante es la contribución que ésta hace en el contexto de la frase entera, o sea, que
el significado de las palabras se identifica al determinar su contribución a las proposiciones que
ayudan a expresar. Este principio va de la mano del primero, pues si se aplica eficazmente, previene
en contra del error psicologista, según Frege. Volvamos al ejemplo anterior, ‘La Luna gira
alrededor de la Tierra’. Si nos preguntamos por el significado de ‘gira’ aisladamente, quizás
tendremos problemas para dar una definición satisfactoria, y una explicación psicologista parecerá
razonable, pues no asociamos una idea o imagen específica a la acción de girar. Pero es mucho más
difícil caer en esa tentación si el análisis tiene en cuenta la proposición entera: está claro que la
proposición habla de la Luna y la Tierra y de cómo se mueven, y no de cómo lo percibimos desde la
Tierra. Este principio, como veremos, es esencial para el argumento fregeano, pues en el caso de
los números, la tentación psicologista es mucho más aguda.
 Frege Esencial 15

Los conceptos y los objetos, según Frege explica en el tercer principio, son dos tipos de entidades
completamente distintas. En esta etapa de su evolución intelectual, Frege no era tan preciso como
llegaría a serlo en su terminología, pues la palabra ‘concepto’ es usada tanto para referir al
significado de ciertas partes de la frase, como a las partes de las frases mismas. Pero es importante
separar la palabra, como signo, de su significado, el concepto como tal (más adelante, además,
Frege llegó a separar varios componentes del significado). Así que los conceptos, según Frege, son
parte de la realidad extralingüística, junto con los objetos. Cualquier entidad que existe es o bien un
concepto o bien un objeto, es decir que la dicotomía entre conceptos y objetos es exhaustiva. Y
además es imposible que una misma entidad sea a su vez un concepto y un objeto, es decir, que la
separación es también disjunta. Pero ¿cuál es la diferencia entre un concepto y un objeto? Frege
separó estas dos entidades a través de las categorías sintácticas de las expresiones usadas para
referirse a ellas. Un objeto es simplemente aquello que es el referente de un nombre propio. Y
nombres propios para Frege son lo que hoy en día se llaman términos singulares: nombres propios
en el sentido moderno y descripciones definidas, es decir expresiones con la estructura ‘el/la ….’.
Así que ser un objeto es simplemente ser el referente de un término singular. Paralelamente, un
concepto es simplemente el referente de un predicado (en el sentido lógico, es decir, una expresión
funcional, que no el sentido gramatical); hoy en día, un concepto entendido así se llama una
propiedad. Esta caracterización de las categorías ontológicas a través de las categorías sintácticas está
en la base del argumento fregeano sobre la naturaleza de los números.

3.3. Platonismo fregeano

Frege inició su análisis del concepto de número criticando las respuestas alternativas a la suya.
Consideró distintas opciones: que los números fueran objetos o conceptos, subjetivos u objetivos, y
si fueran conceptos, que pudieran serlo aplicables a objetos físicos o a otro tipo de entidad. Frege
consideró todas estas opciones.6 En primer lugar, dejó claro que los números no pueden ser
propiedades de objetos físicos. Frege reconoce que en principio esta alternativa puede parecer
razonable, ya que es muy común asignar números en frases donde el sujeto es un objeto físico. Es
decir, teniendo en cuenta el Principio del Contexto, en muchas de las frases más comunes sobre
números, los numerales parecen ser los predicados y los nombres de objetos físicos, los sujetos.
V.g. ‘Los dedos de la mano son 5’. Esta frase tiene la misma estructura que frases que asignan
propiedades a los objetos, v.g. ‘Los dedos de la mano son largos’. Así pues, puede parecer que los
números son una propiedad más.

Sin embargo hizo la siguiente observación: tomemos una pila de cartas. Si alguien nos pone la pila
de cartas en las manos y nos dice ‘Dame su número’, seguramente daremos por supuesto que nos
pregunta por el número de cartas, pero también es cierto que podemos dar el número de palos, o el
número de barajas. Es igual de verdadero que la pila de cartas es una baraja, como que es 4 palos, o
48 cartas (si la baraja es española). Todos estos números se dicen del mismo objeto físico, la pila de
cartas, que a su vez es, una baraja, los cuatro palos, y las cuarenta y ocho cartas. Parece pues que
según cómo pensemos en el objeto físico, podemos dar un número u otro. Pero si el número es una
propiedad del objeto físico, Frege se pregunta, ¿cómo puede ser que propiedades distintas e
incompatibles sean verdaderas del mismo objeto físico? Hay propiedades de objetos físicos que sí
son compatibles, por ejemplo, los sabores de las diferentes especies en un curry están mezclados;

6
Los argumentos a continuación son a veces discutibles, pero por falta de espacio, lo que sigue es una mera
exposición.
 Frege Esencial 16

pero muchas otras no lo son, por ejemplo, un mismo objeto no puede ser redondo y cuadrado a la
vez, o pesar 15 y 20 kilogramos a la vez. En el caso del número, según Frege, si realmente fuera
una propiedad de objetos físicos, no podríamos contar el mismo objeto de maneras distintas; no
tiene sentido decir que la baraja es un poco 48 y un poco 4. Luego, concluyó Frege, los números no
pueden ser propiedades de objetos físicos.

Aunque la manera de pensar en el objeto a contar determine el número que le asignaremos, no

debemos pensar que los números son en consecuencia subjetivos, continuó Frege. No es cierto que
la asignación del número dependa de cómo vemos el objeto contado. Una vez esté determinado el
aspecto a contar no hay nada de subjetivo en el número que corresponde asignar. No debemos caer
en la tentación psicologista en este caso, como tampoco creemos que el Mar del Norte, por
ejemplo, sea una entidad subjetiva aunque sus límites son una decisión que depende solamente de
nosotros. Frege separó pues radicalmente la decisión de qué contar, que es una decisión subjetiva,
del hecho de que a tal aspecto le corresponda tal número, que es totalmente objetivo: por mucho
que queramos, si estamos contando las cartas de la baraja, habrá 48 y no 47 ni 49. De igual manera,
es siempre decisión nuestra el llamar a un objeto por el nombre propio que queramos, o decidir
qué objeto es el que bautizamos, pero esto no hace que el objeto en sí dependa de nuestras
características psicológicas.

Los números, proclamó Frege, son objetos. Para llegar a esta conclusión, Frege examinó los
enunciados sobre números y, siguiendo su propia recomendación en el Principio del Contexto,
repasó la función de las expresiones numéricas en esas frases. Según Frege, los enunciados más
representativos contienen términos singulares para referirse a los números, y por tanto, los
números son objetos. Por ejemplo: en ‘El número de lunas de Júpiter es 4’, el sujeto ‘El número de
lunas de Júpiter’ es un término singular, y por tanto debe de referir a un objeto, el número de las
lunas de Júpiter. Además esta frase tiene la forma lógica de una identidad, en este caso ‘es’ significa
lo mismo que ‘=’, así que ‘4’ también es un termino singular que significa el número cuatro, un
objeto. Y si los números son objetos, está claro que no pueden ser objetos físicos, los números no
pueden tener localización espaciotemporal. Así pues, los números son objetos abstractos, u objetos
lógicos, y son objetos no subjetivos, esto es, independientes de nosotros, autosuficientes. En
conclusión, Frege defiende el platonismo matemático.

Aunque Frege tuviera razón que los números no pueden ser propiedades de objetos físicos, quizás
podría pensarse que son propiedades de otro tipo de entidades, pues, después de todo, él mismo
nos dio ejemplos en los que los números parece que son los referentes de predicados. Así, por
ejemplo, en la frase ‘Los dedos de la mano son 5’, ¿no es el número la propiedad que se asigna a los
dedos? Frege explica que hay que darse cuenta de que en realidad el predicado de esta frase es más
complejo que ‘5’, pues en realidad es ‘…son 5’, lo cual deja claro, según Frege, que los números
en sí no son propiedades. Ahora bien, aunque ‘5’ no es un predicado, ‘…son 5’ sí que lo es, así que
la siguiente pregunta es: suponiendo que esta propiedad no pueda ser una propiedad de objetos
físicos, por las razones alegadas, ¿de qué se predican los predicados numéricos? Frege propuso que
los números se asignaran no a los objetos sino a los conceptos bajo los cuales pueden caer los
objetos. Esto quiere decir que la frase ‘Los dedos de la mano son cinco’ expresa el contenido de que
bajo el concepto ‘dedos de la mano’ caen cinco objetos. O que las lunas de Júpiter son cuatro
quiere decir que bajo el concepto ‘luna de Júpiter’ caen cuatro objetos. Los conceptos o
propiedades que son los referentes de los predicados numéricos son así conceptos de segundo
orden, ya que son verdad de conceptos o propiedades, y no de objetos. Con esta solución, el caso
 Frege Esencial 17

de la pila de cartas se aclara elegantemente. No es que el número de la pila de cartas varíe según
nuestra manera de concebirla, sino que en cada uno de los casos, el número se está asignando a un
concepto distinto: el concepto de baraja, el de palo de la baraja y el de carta en la baraja, nunca a la
pila de cartas misma.

3.4. La definición del número

Frege buscaba una definición del número que le sirviera para derivar todas las verdades aritméticas,
tanto las más avanzadas y complejas como las más simples, las de cada día. Dicho de otra manera, la
definición satisfactoria tiene que explicar lógicamente cómo funciona el concepto de número que ya
usamos, no uno diferente y nuevo. En general, además, cualquier definición de un tipo de objetos
deberá dar los medios para hacer dos cosas, dijo Frege: primero, para decidir sobre cualquier objeto
si es del tipo indicado o no. Es decir, la definición de número debe de ayudar a decidir, dado
cualquier objeto, si es un número o no. Frege realmente quiso decir cualquier objeto, así pues, una
definición de número debe darnos las herramientas para decidir si Julio César, tu ordenador o la
felicidad son números. Y segundo, toda definición de una clase de objetos debe dar los medios para
decidir, dados una pareja de estos objetos, si son el mismo individuo o no. Esto es, una definición
satisfactoria del concepto de número debe de dar las herramientas para determinar, dados dos
números cualesquiera, si son el mismo número o números diferentes. Es importante para Frege que
si una definición nos sirve para producir todos los resultados adecuados, tal definición es adecuada,
siendo esta la actitud que recomienda el Principio de Contexto: para determinar el significado de
una palabra, debemos examinar su contribución al enunciado, nunca la palabra aislada. Y si hay algo
que pensamos que forma parte del significado de una palabra, pero no es importante para ninguno
de los enunciados de los que puede formar parte, debemos darnos por satisfechos, y no incluirlo en
la definición.

Dados estos requisitos, y tras varios ejemplos de definiciones de número que no los cumplen, Frege
nos da la suya:

El número que corresponde al concepto F es la extensión del concepto equinumérico con el

concepto F.

Veamos claramente qué significa esto. Primero de todo, Frege entiende por la extensión de un
concepto F las entidades que caen bajo tal concepto. Así (aunque Frege no hable en estos términos)
se puede decir que la extensión de F es la clase de objetos que son F. Por ejemplo, la extensión del
concepto ser humano es la clase de todos los seres humanos. O sea que Frege está diciendo que los
números son extensiones de conceptos; una extensión es un objeto abstracto, así que los números
son objetos según esta definición. De esta manera, Frege proporciona un criterio para identificar los
números y solamente los números. Para empezar, todos aquellos objetos que no sean extensiones,
no son números: ni Julio César, ni tu ordenador, ni la felicidad son números.

Además, números son sólo aquellas extensiones de un cierto tipo de conceptos, pero ¿de qué
conceptos? ¿Qué significa ser equinumérico con un concepto? La palabra ‘equinumérico’ es la
traducción al castellano de una palabra que se inventó Frege en alemán: ‘gleichzahlig’, es decir, de
igual número, o equinumérico. Frege define lógicamente cómo determinar, dados dos conceptos
cualesquiera, si son o no equinuméricos: dos conceptos son equinuméricos si, y sólo si, existe una
correspondencia biyectiva entre los miembros de sus respectivas extensiones. Esto es, si se pueden
 Frege Esencial 18

emparejar todos los miembros de una extensión con los de la otra sin dejar ningún miembro de
ninguna de las extensiones suelto, sin pareja. Así pues, si un concepto F es equinumérico con otro
concepto G, ambos tienen el mismo número de entidades en sus extensiones, es decir, a ambos
conceptos les debe corresponder el mismo número. Esto se sigue de la definición, pues la
extensión del concepto equinumérico con el concepto F es igual que la extensión del concepto
equinumérico con el concepto G, si F y G son equinuméricos. E independientemente de la definición,
está claro que si dos extensiones son biyectables, tendrán el mismo número de miembros. Por
ejemplo, si ponemos la mesa y emparejamos cada tenedor con un cuchillo sin que sobre ninguno,
sabemos que hay el mismo número de tenedores que de cuchillos, aunque no tengamos claro el
número exacto de comensales. También es cierto (en la otra dirección) que dada esta definición, si
dos conceptos tienen el mismo número de entidades en sus extensiones, entonces los miembros de
sus extensiones se podrán emparejar uno a uno, es decir, las extensiones serán biyectables. Esto
quiere decir que esta definición nos da también una manera de decidir si dos números son iguales o
no; nos da un criterio de identidad entre números, que es uno de los requisitos básicos de una
definición según Frege:

El número del concepto F es igual al número del concepto G si y sólo si F y G son

equinuméricos.

Un número, pues, es la extensión de un concepto de la forma equinumérico con el concepto F. De esta

manera Frege ha identificado cada número con un objeto (la extensión) relacionado con todos y
sólo aquellos conceptos a los que corresponde ese número.

Un número, por tanto, es una clase de conceptos. Por ejemplo, se puede decir que el número 3 es
la extensión del concepto equinumérico con el concepto mosquetero, o sea, la clase de conceptos con
tres miembros: {mosquetero, lados de un triángulo,…}.7 Ahora bien, este concepto, mosquetero, no
puede ser el que Frege use en su reducción de la aritmética a la lógica porque no es un concepto
puramente lógico. Frege tiene que darnos un concepto puramente lógico para cada número. Para
empezar, el número 0 debe de corresponder a un concepto que por necesidad lógica no tenga
nunca ningún miembro. Frege propone que 0 es el número que corresponde al concepto no idéntico
a sí mismo, pues es una verdad lógica que todo es idéntico a sí mismo. Una vez tiene la definición
completa del número 0, el número 1 es definido como el número que corresponde al concepto
idéntico a 0, o lo que es lo mismo, la extensión del concepto equinumérico con el concepto idéntico a 0,
pues sólo hay un objeto idéntico a 0: 0. El número 2 se define como el concepto que corresponde al
concepto idéntico a 0 o idéntico a 1. Y así ad infinitum, pues esta estrategia para generar el sucesor de
cada número se puede repetir infinitamente. En conclusión, Frege definió así todos y cada uno de
los números, el concepto de número puede ahora ser definido como aquél concepto que abarca
todos y sólo los números; esta definición no es circular porque ha definido independientemente a
cada uno de los números.

7
A cada concepto le corresponde una extensión, y dos extensiones tienen el mismo número de miembros si
y sólo si son equinuméricas, así que la definición fregeana a veces se entiende como diciendo que un
número es una clase de extensiones. Pero, según Frege, dos conceptos pueden tener la misma extensión sin
ser el mismo concepto, por tanto, las dos lecturas de la definición no son exactamente equivalentes.
 Frege Esencial 19

Y así, la tarea principal de Los Fundamentos de la aritmética queda concluida. Con estas definiciones en
mano, Frege puede proceder a dar los axiomas de la aritmética de una manera puramente lógica, el
siguiente paso en su programa logicista. Cabe pensar que esta definición no expresa lo que
realmente son los números, pero según Frege lo importante de una definición es que se pueda
utilizar para producir todos los resultados deseados, es decir, para hacer verdaderas las
proposiciones que normalmente consideramos verdaderas sobre números, y falsas las otras, y en ese
sentido, la definición cumple su papel. Al menos eso es lo que Frege creía entonces y creyó durante
años, pues hay en realidad un gran problema con la definición, pero no se descubrió hasta 1902.
Por ahora, sigamos a Frege en su trayectoria.

Textos correspondientes a esta sección:

Los fundamentos de la aritmética (fragmentos)

4. Función, concepto, objeto, sentido y referente.

Tras la publicación de Grundlagen, Frege tuvo que asumir de nuevo a la mala recepción de su
trabajo, que esta vez fue criticado por unos pocos reseñadores e ignorado por la gran mayoría de
matemáticos y filósofos contemporáneos. Aun así, Frege siguió trabajando. En Grundlagen, había
explicado la manera de derivar algunas de las verdades aritméticas básicas, aunque no dio las
deducciones enteras. Este era el siguiente paso en su programa. Pero para proceder con un aparato
lógico que realmente le permitiera llevar a cabo la reducción, Frege tuvo que aclarar las nociones
más básicas de su sistema, ya que se dio cuenta de que había elementos confusos en Conceptografía.
En este periodo, que va desde la publicación de Fundamentos, en 1884, hasta la publicación del
primer volumen de la obra donde Frege recoge las derivaciones completas de las verdades
aritméticas, Leyes básicas de la aritmética, o Grundgesetze der Arithmetik, de 1893, Frege publicó unos
cuantos artículos y reseñas. De los cinco artículos, tres son esenciales para entender a Frege:
‘Función y concepto’ o ‘Funktion und Begriff’ (1891), ‘Sobre sentido y referencia’ o ‘Über Sinn
und Bedeutung’ (1892), ‘Sobre concepto y objeto’ o ‘Über Begriff und Gegenstand’ (1892). Estos
artículos constituyen el núcleo de la filosofía del lenguaje y la metafísica fregeana, y hoy son
imprescindibles, sobre todo el segundo, para entender la filosofía del lenguaje contemporánea y, en
gran parte, la filosofía analítica en general, pues contienen un aparato filosófico que ha resultado
muy fructífero e influyente independientemente del logicismo fregeano que lo motivó.

4.1. Sentido y referente

En Begriffsschrift, Frege estudió la estructura del enunciado, para ver cómo a partir de las diferentes
partes, se estructuraba el enunciado completo. Los enunciados de la conceptografía se entendieron
como la expresión lingüística de contenidos conceptuales. En la etapa que nos concierne ahora,
Frege diferenció dos aspectos de lo que antes había sido el contenido conceptual: el sentido y el
referente de una expresión.8 La explicación más conocida de esta dicotomía en el significar se

8
El artículo más famoso de Frege, donde estas nociones son el tema principal, se llamó en alemán ‘Über
Sinn und Bedeutung’, normalmente se traduce el título como ‘Sobre Sentido y Referencia’ y este título se
ha mantenido aquí. Pero en esta introducción he querido ser precisa y sólo he llamado referencia a la
relación entre la expresión y la entidad a la que refiere, reservando ‘referente’ para la entidad a la que la
expresión refiere. ‘Bedeutung’ significa en alemán tanto significación, como significado, pero Frege quería
 Frege Esencial 20

encuentra en ‘Sobre sentido y referencia’ (1892). Allí, se propuso resolver una aparente paradoja,
lo que hoy en día se llama el Puzzle de Frege. Comenzó considerando estos dos enunciados:

(1) a = a
(2) a = b

Supongamos que ‘a’ y ‘b’ son nombres de algún objeto, son términos singulares. La pregunta es
¿Cómo debemos analizar esta pareja de enunciados? Podemos pensar que la identidad que se
expresa en estos enunciados es la identidad entre los objetos que los términos singulares ‘a’ y ‘b’
nombran, o sea, entre los contenidos de los nombres. Luego, tanto (1) como (2) tendrían el mismo
contenido conceptual, dirían lo mismo: el objeto en cuestión es idéntico a sí mismo. Pero Frege
observó que existe una diferencia importante entre (1) y (2), pues, asumiendo que los dos
enunciados son verdaderos, la verdad de ‘a = a’ es una tautología lógica, pero la verdad de ‘a = b’
puede ser el resultado de años de investigación; explicó que (1) y (2) tienen muy diferente valor
cognitivo, que es la noción que utilizó en 1892, más o menos equivalente al contenido conceptual
(aunque con más énfasis en el aspecto cognitivo del contenido). Dos enunciados tienen distinto
valor cognitivo si es posible que alguien que conozca todas las palabras relevantes piense que uno de
ellos es verdadero y que el otro es falso. Así pues, los dos enunciados tienen distinto valor
cognitivo, por tanto, concluyó, la identidad que se expresa en (1) y (2) no puede ser simplemente
la identidad entre los contenidos de ‘a’ y ‘b’.

El ejemplo clásico para ilustrar esta situación es este: El lucero de la tarde y el lucero del alba son
dos cuerpos celestes. El primero, también llamado Héspero, se llama así porque aparece al
anochecer para desaparecer antes de la mañana. El lucero del alba, o Fósforo, pues solamente
aparece al amanecer. Ahora bien, podemos estar seguros de que:

(3) El lucero de la tarde es el lucero de la tarde.

Pero no es tan obvio que:

(4) El lucero de la tarde es el lucero del alba.

Aunque los dos enunciados son verdaderos, (4) no es una verdad lógica, no se descubrió su verdad
hasta que algún astrónomo de la antigüedad (se dice que Pitágoras) se dio cuenta de que los dos
cuerpos eran en realidad Venus, que reflejaba la luz del sol y que se podía observar desde la Tierra
sólo al principio y al final de la noche. Así pues, Frege consideró que un análisis de estas frases no
podía simplemente concluir que las dos dicen simplemente que el planeta Venus es idéntico a sí
mismo.

El análisis adecuado tenía que incorporar el hecho de que los nombres utilizados para nombrar al
objeto (Venus, en este ejemplo) eran distintos. Frege, en Begriffsschrift, había propuesto una
solución a este problema que consistía en analizar la identidad como si relacionara el contenido
conceptual de los nombres a los lados del signo ‘=’, y no los objetos que nombran. O sea que (4),
por ejemplo, diría lo siguiente:

dar al término un significado especial, que se expresa mejor con las palabras ‘referencia’ y ‘referente’, de
ahí que la traducción preferida sea diferente a la traducción literal.
 Frege Esencial 21

(5) El signo ‘el lucero de la tarde’ tiene el mismo contenido conceptual que el signo ‘el
lucero del alba’.9

Pero en ‘Sobre sentido y referencia’ Frege critica su propia solución anterior. Es conveniente leer a
Frege cuidadosamente en su explicación, pues muchas veces se malinterpretan sus palabras.10
Primero parece que la crítica a esta solución es que se fija demasiado en la relación que une a cada
nombre con el objeto que nombra; esta relación es convencional, es una decisión arbitraria que se
toma en algún momento: si ‘el lucero de la tarde’ nombra a Venus cuando se observa por la tarde
es porque así se decidió. ‘el lucero de la tarde’ podría nombrar cualquier otra cosa, si así se hubiera
querido. Es más, es una relación que concierne al uso de una expresión, y no al objeto nombrado
directamente. Frege parece que dice que una frase como (5) dejaría de ser sobre el planeta Venus y
pasaría a ser sobre nuestra decisión de nombrar a Venus ‘el lucero de la tarde’ y ‘el lucero del alba’,
y siendo esta una relación lingüística y convencional, no tendría verdadero interés. Pero cabe
preguntarse ¿dónde está el problema? Es cierto que la relación entre ‘el lucero de la tarde’ y Venus
se establece por una decisión arbitraria, y lo mismo pasa con ‘el lucero del alba’ y Venus, pero es
evidente que, una vez determinados los usos de los dos nombres, el hecho que el lucero de la tarde
sea el lucero del alba no es arbitrario, y que la frase (5), (aunque sea discutible si dice lo mismo que
(4)), nos está dando una información que es interesante aunque sea sobre el lenguaje. Después de
todo habla del lenguaje pero también sobre cómo el lenguaje está conectado con el mundo. Y Frege
realmente está de acuerdo, pues él mismo reconoce que, muchas veces, este tipo de conocimiento
es “exactamente lo que queremos”.

El verdadero problema que Frege ve en su primera solución al puzzle es que es demasiado simplista.
Los signos o las palabras en esta solución son considerados como distintos o iguales sólo como
objetos y no como signos u objetos lingüísticos con una manera particular de nombrar el objeto.
Por ejemplo, tomados como signos, ‘a’ y ‘a’ son el mismo signo, la misma letra, pero tomados
como objetos, son distintos objetos, su forma es distinta. Así pues, en la solución que consideramos
ahora, ‘a = a’, sería tan informativo, tendría tanto valor cognitivo, como ‘a = b’, cuando en
realidad ‘a = a’ tiene tanto valor cognitivo como ‘a = a’. O por ejemplo, ‘Héspero = El lucero de
la tarde’ según la solución metalingüística es tan informativo como ‘El lucero de la tarde = El
lucero del alba’, cuando en realidad la identidad primera no es informativa, pues los dos términos
singulares nombran a Venus de la misma manera, y cualquier persona que conozca estos términos
singulares sabrá que significan lo mismo. Mientras que la segunda ecuación es informativa, y la
prueba es que durante muchos años nadie supo que era verdadera, aunque conocieran los nombres
‘el lucero de la tarde’ y ‘el lucero del alba’. La diferencia entre las dos frases (1) y (2), ó (3) y (4),
viene dada, por lo tanto, no por la diferente forma o sonido de los nombres, sino porque los
nombres, tomados como signos lingüísticos, tienen diferentes maneras de señalar el objeto que
nombran.

9
Esta solución al Puzzle de Frege se llama la solución metalingüística, pues considera que las frases están
hablando de los signos, de las palabras, del lenguaje, y no de las cosas mismas. Algo es metalingüístico
cuando es referente al metalenguaje, y un metalenguaje es un lenguaje usado para hablar del lenguaje.
10
Véase pp.81-2, donde se encuentra el pasaje comentado aquí.
 Frege Esencial 22

Así, Frege substituyó el contenido conceptual de una expresión por dos aspectos del significar
distintos: el referente de la expresión y el sentido de la expresión.11 Donde antes el contenido
conceptual de un término singular era simplemente el objeto nombrado, este objeto es ahora sólo
el referente del nombre. Además del referente, hay que darse cuenta de que dos nombres pueden
referirse al mismo objeto pero de maneras distintas, a través de diferentes modos de presentación
del objeto. Esta manera de llegar al objeto referido es el sentido del nombre. Así Frege pudo
reconsiderar su análisis de la relación de identidad: la identidad no es una relación metalingüística, y
realmente identifica el objeto a y el objeto b; o sea, toda ecuación verdadera identifica al objeto
consigo mismo. Pero la diferencia entre ‘El lucero de la tarde = El lucero del alba’ y ‘El lucero de
la tarde = El lucero de la tarde’ es que ‘el lucero de la tarde’ tiene un sentido diferente al de ‘el
lucero del alba’ y por tanto decir que el lucero de la tarde es el lucero del alba es cognitivamente
muy distinto a decir que el lucero de la tarde es él mismo.

La relación entre el sentido y el referente se explica de la siguiente manera. A cada nombre, si todo
anda bien, le corresponde un sentido y un referente. El referente de un nombre es el objeto que
designa o nombra. Un nombre expresa su sentido, el cual nos da la manera de llegar al referente de
ese nombre, así que es el sentido el que determina el referente. A cada sentido, le corresponde un
solo referente; pero a cada referente le pueden corresponder multitud de sentidos, y otros tantos
nombres distintos. O puesto de otra manera, dado un sentido, podremos saber el referente que le
corresponde. Por ejemplo, el sentido de ‘El alcalde de Barcelona en el año 1980’ determina el
referente de este término singular, porque nos da la manera de identificar a la persona adecuada. En
cambio, no hay un camino determinado del referente al posible sentido: si nos señalan a un
barcelonés sin decirnos nada más, no sabremos (sin más conocimiento) si esta persona es o no quien
fue alcalde de la ciudad.

En cuanto al sentido de un término singular Frege no es tan claro como cabría desear al explicar
exactamente lo que es: dice que sirve para iluminar un aspecto de la cosa. Un mismo sentido puede
expresarse con diferentes palabras. Aunque Frege nunca dio un procedimiento para decidir en
todos los casos si el sentido es el mismo o no, dio ejemplos. Así, ‘Héspero’ y ‘El lucero de la tarde’
tienen el mismo sentido. A cada expresión le corresponde un sentido determinado. (Al menos, en
un lenguaje ideal, pues en el lenguaje natural hay expresiones cuyo sentido es un poco vago y puede
variar de una persona a otra o de un contexto a otro). El sentido de una expresión es público,
cualquier hablante lo suficientemente competente entiende el sentido de la expresión. Esto es
esencial, según Frege, pues es la gran diferencia entre el sentido de una expresión y las ideas
subjetivas que cada uno puede relacionar con la expresión. El sentido es objetivo, es el puente entre
la subjetividad total de las ideas y la objetividad total del referente, y debe de separarse claramente
de las ideas, que son personales, imposibles de compartir, dependientes de la persona que las tiene.
Frege intenta explicarse un poco más a través de una famosa analogía. Se observa la luna a través de
un telescopio. La luna, por supuesto, es el referente, el objeto. La idea, el extremo subjetivo de la
referencia, corresponde a la imagen de la retina del observador, que como tal está encerrada en su
ojo. Y el sentido corresponde a la imagen que la luna proyecta en la lente del telecopio, que nos

11
Es importante resaltar que Frege ya tenía antes una noción de los diferentes modos de presentación de un
objeto según los diferentes términos que lo nombren, pero la diferencia está en que estos modos de
presentación (Bestimmungsweise) no formaban parte del contenido conceptual (que era sólo el objeto), y se
quedaban como un aspecto sin lugar en la teoría semántica de Begriffsschrift. Véase Begriffsschrfit, §8.
 Frege Esencial 23

muestra la Luna desde un punto de vista particular. Esta imagen puede ser vista por diferentes
personas, si el telescopio se mantiene en el mismo lugar, así que es objetiva, como el sentido.

4.2. Análisis de la oración asertiva

Armado de esta nueva distinción, Frege reorganizó su aparato semántico. En el artículo ‘Función y
concepto’, Frege aclaró su noción de función y cómo ésta es aplicable al análisis de enunciados,
desarrollando más a fondo las ideas de Begriffsschrift. Frege quiso recalcar especialmente que la
función es la parte incompleta, o insaturada de la expresión, y que el argumento de la función no
forma parte de la función, sino que la completa o satura para construir una expresión cuyo
referente es el valor de la función. Frege explicó que se ha de ver cada expresión como dividiéndose
en partes: algunas incompletas, con huecos podría decirse, otras completas, y todas estas partes
combinándose como piezas de un puzzle para dar lugar a la expresión entera. Esta manera de hablar
es metafórica y Frege es consciente de ello. Para ilustrar esto, veamos un ejemplo:

(6) 2² + 3
(7) 4² + 3
(8) 5² + 3

Estas tres expresiones tienen como referentes números distintos (7, 19 y 28, respectivamente), por
tanto, son expresiones completas, términos singulares, nombres de esos números. Pero a su vez
reconocemos que tienen algo en común, ya que las tres expresiones pueden ser entendidas como
expresiones de los valores de la misma función: x² + 3.12 Esta función no puede ser, por tanto, un
número en particular, aunque sus argumentos y valores son números. La función es incompleta,
insaturada, dice Frege, no es un objeto, que es algo completo y saturado. La función ha de ser
completada, pues su incompletitud la hace dependiente. Cuando la función se completa con un
argumento, entonces nos da el valor, un número en este caso; paralelamente, la expresión de la
función completada con un nombre de un argumento, se convierte en un nombre del valor
correspondiente. Así, la ‘x’ no debe de considerarse como refiriéndose a parte de la función sino
más bien como una indicación de dónde está el hueco de la función.

Cualquier enunciado asertivo, como ya se ha visto, también puede verse como dividiéndose en dos
partes, una completa, otra incompleta con un espacio vacío creado por la ausencia de la parte
completa. La parte incompleta, que en la frase asertiva se llama predicado o expresión conceptual,
es saturada o completada por un término singular que refiere al objeto, el argumento de la función.
El tipo de función que es completada en los enunciados asertivos, el referente del predicado, se
llama un concepto. Todas estas partes de la oración también tienen su sentido: el sentido de un
término singular es un sentido completo o saturado que determina el objeto, el sentido de un
predicado o expresión conceptual es un sentido incompleto o insaturado, que determina el
concepto, el cual, a su vez, determina la extensión.

12
En este periodo, al contrario de en Begriffsschrift, Frege separó estrictamente las expresiones de sus
referentes, es decir, mantuvo la importante distinción entre el uso de una expresión para referir a su
referente y la mención de la expresión, puesta entre comillas, para hablar de la expresión misma, no de su
referente. Por ejemplo, la expresión ‘x + 2’ no es una función, sino que se refiere a una función, la función
es una entidad abstracta, matemática, no una expresión.
 Frege Esencial 24

Y ahora Frege pudo separar también en el significar de los enunciados enteros, su sentido y su
referente. Según Frege, el sentido de una frase asertiva es el pensamiento que expresa (en alemán,
Gedanke). El pensamiento fregeano no debe entenderse como algo dependiente de una mente que lo
piense, sino como algo objetivo, pues es el sentido del enunciado. El sentido de la oración está
gobernado por este principio:

Principio de Composicionalidad del Sentido: El sentido de un enunciado está compuesto por los
sentidos de las partes del enunciado.

Y si el sentido de las partes de la frase componen el sentido total, entonces, si una parte de la frase
se substituye por otra expresión con el mismo sentido, el sentido de la frase completa debe de
mantenerse intacto. Según Frege, existe un principio análogo respecto a la referencia:

Principio de Composicionalidad de la Referencia: El referente de un enunciado está compuesto

por los referentes de las partes del enunciado.

En este caso podemos decir, pues, que si substituimos una parte de la frase por otra expresión que
tenga el mismo referente, el referente del enunciado no debe de cambiar.

Dados estos principios, Frege dio el siguiente argumento para la aserción de que el sentido del
enunciado es el pensamiento que expresa. Tomemos una oración cualquiera con sentido y referente
y substituyamos una de sus partes por otra con el mismo referente pero distinto sentido. Dados los
principios de composicionalidad, la oración resultante deberá tener el mismo referente y distinto
sentido. Veamos qué cambia, por ejemplo, en las siguientes oraciones:

(9) Fósforo es un cuerpo iluminado por el sol.

(10) Héspero es un cuerpo iluminado por el sol.

Según Frege, si dos frases pueden ser creídas separadamente, es decir, si es posible que alguien
conocedor de todas las palabras relevantes se crea una de las frases y no la otra, entonces, el
pensamiento (que antes había llamado valor cognitivo) relacionado con cada una de estas frases debe
de ser distinto. El pensamiento, pues, cambia entre (9) y (10). No parece que el hecho o
circunstancia que describen cambie, pues las dos frases dicen lo mismo de Venus, y el valor de
verdad tampoco cambia, pues las dos son verdaderas. Así pues, tan sólo el pensamiento cambia.
Ergo, el pensamiento es el sentido de la frase.

Si el pensamiento es el sentido del enunciado, entonces ¿qué queda para ser el referente? Aplicando
el Principio de Composicionalidad de la Referencia, Frege concluyó que el referente de la oración
debe ser aquello que se mantenga fijo a lo largo de todas las substituciones posibles de expresiones
correferenciales. Según Frege, esto no puede ser otra cosa que el valor de verdad de la oración. El
argumento más conocido, donde se confirma esta suposición con un ejemplo, fue dado por Alonzo
Church:13

13
Alonzo Church fue un matemático y lógico fregeano que escribió Introducción a la Lógica Matemática
(1956) donde expone formalmente un sistema lógico basado en las ideas de Frege, y en cuya introducción
da este famoso argumento.
 Frege Esencial 25

a. Sir Walter Scott es el autor de Waverley.

b. Sir Walter Scott es el hombre que escribió las veintinueve novelas Waverley.
c. El número tal que Sir Walter Scott escribió tantas novelas Waverley es veintinueve.
d. El número de condados de Utah es veintinueve.

Según Church, el paso de cada enunciado al siguiente es una substitución que debe mantener el
referente intacto, pero lo único que a y d tienen en común es el valor de verdad, pues tanto la
circunstancia o hecho que describen como el pensamiento que expresan son totalmente distintos.
Por tanto, Frege concluyó que el referente de la oración es su valor de verdad, esto es, cada frase es
como un nombre propio, o un término singular, cuyo referente es lo Verdadero o lo Falso, que,
además, han de ser objetos, pues son el referente de expresiones completas o términos singulares.

Esta conclusión, claramente, es bastante sorprendente: ¿está diciendo Frege que todas las oraciones
verdaderas dicen lo mismo? Frege predijo esta reacción y explicó que hay que separar lo que las
oraciones expresan, su sentido, que es un pensamiento, de su referente, que es lo Verdadero o lo
Falso. Por ejemplo:

(11) La nieve es blanca.

(12) 2 + 2 = 4

Estas dos oraciones son correferenciales, las dos son nombres de lo Verdadero, la diferencia es que
expresan diferentes pensamientos, por eso las tenemos en tan distinta consideración, y en este
respecto, no dicen lo mismo, no expresan lo mismo. Frege intentó explicar su motivación con este
ejemplo:

(13) Ulises fue dejado en Ítaca profundamente dormido.

Esta frase, según Frege en ‘Sobre sentido y referencia’, tiene sentido, pero no tiene referente, pues
el nombre ‘Ulises’ tiene sentido pero no refiere a ningún objeto. Mientras nos interesemos por las
obras homéricas como obras de ficción, no importará que ‘Ulises’ no tenga referente. Ahora bien,
si en algún momento nos preguntamos por el referente de ‘Ulises’, dado el Principio de
Composicionalidad de la Referencia, nos estaríamos a su vez preguntando por el referente de la
oración. ¿Y por qué razón nos interesaríamos sobre el referente de ‘Ulises’? Pues únicamente
porque nos estaríamos preguntando por la verdad de la frase. Luego, después de todo, es intuitivo
decir que el referente de la frase es su valor de verdad, aseguró Frege. 14

Frege, por tanto, separó los dos aspectos de la significación en todos los niveles semánticos, y
podemos dar finalmente un esquema que expresa de manera gráfica todas estas relaciones:

Nombre propio o Expresión conceptual

Tipo de expresión: Enunciado
término singular o predicado

14
Es interesante el hecho de que ‘Bedeutung’, traducido aquí por ‘referente’, puede significar en alemán
aquello que es importante o que hace importante a algo, pues para Frege el valor de un pensamiento reside
en su verdad, y el referente es efectivamente su valor de verdad.
 Frege Esencial 26

Sentido del término

Sentido: Pensamiento Sentido del predicado
singular

Referente: Valor de Verdad Objeto Concepto15

4.3. El concepto ‘Caballo’ no es un concepto

La separación entre funciones y objetos es absoluta para Frege, una función nunca será un objeto, ni
viceversa. Cualquier entidad es o bien un objeto o bien una función, éstas son las dos categorías
básicas que existen, y justamente porque son tan básicas es tan difícil dar una definición
satisfactoria. Frege explicó que las nociones son lógicamente simples, y por tanto no se pueden
descomponer y definir, lo único que se puede hacer es indicar indirectamente o dar pistas para guiar
al lector hacia lo que se quiere reflejar con la dicotomía. En el grupo de artículos que nos
concierne, Frege vuelve a identificar al objeto como aquello que es el referente de un término
singular, esto es, cuyo nombre es una expresión completa, saturada. Una función a su vez es
inherentemente insaturada, es siempre el referente de expresiones incompletas. Puesto que un
objeto es una entidad a su vez completa, es cualquier entidad que no es una función. En ‘Función y
concepto’ Frege define un concepto, además, como un tipo particular de función: es una función
cuyo valor es siempre un valor de verdad. Un concepto, pues, es el referente incompleto de una
expresión conceptual, cuya saturación da lugar a una frase asertiva. Un concepto es por tanto
esencialmente predicativo. Existen pues divisiones paralelas en la estructura del lenguaje y en la
realidad.

En ‘Sobre concepto y objeto’ Frege considera una objeción presentada por el filósofo Benno
Kerry16, a esta separación tajante entre objetos y funciones presentada por Frege en Fundamentos de
la Aritmética, que en ese periodo anterior Frege había expresado como la separación tajante entre
objetos y conceptos. El problema que resaltó Kerry es que, en algunos casos, necesitamos
referirnos a conceptos usando términos singulares, en contra de la tesis fregeana que dice que el
referente de un término singular es siempre un objeto. Pongamos por caso el concepto caballo, es
decir, ‘…es un caballo’, y consideremos la siguiente oración:

(14) El concepto caballo es un concepto.

15
El concepto no existe independientemente de sus argumentos, aunque sea algo distinto a ellos, pues es
incompleto; así pues, del concepto en este esquema, se llega a su extensión, a los objetos que lo saturan.
Además, Frege consideró posibles excepciones a estas relaciones; creyó que el referente de ciertas
oraciones, en el estilo indirecto, y en las citas directas de las palabras de otros, no es el valor de verdad. En
las oraciones que citan indirectamente, el sentido es lo que Frege llama su sentido indirecto, y su referente
es el sentido habitual de la oración. El referente de las citas directas son las propias palabras citadas, y su
sentido es el sentido del signo para tales palabras que se forma, en la cita directa, con la oración entre
comillas.
16
Benno Kerry fue un filósofo y matemático alemán que publicó los artículos criticando a Frege ‘Sobre
intuición y su procesamiento físico’ (Über Anschauung und ihre psychische Verarbeitung) de 1885 a 1891.
 Frege Esencial 27

¿Es verdadera o es falsa? Según el punto de vista de Kerry, es verdadera, pues como su propio
nombre indica, el concepto caballo no puede ser otra cosa que un concepto. Pero si aplicamos la
teoría fregeana estrictamente, ‘el concepto caballo’ es un término singular y por tanto debe de
referir a un objeto. Kerry creyó que este tipo de casos constituían un problema a evitar para Frege,
pero éste no cambió su teoría y se mantuvo firme: concluyó que, efectivamente, el concepto caballo
no es un concepto, sino un objeto. El objeto que es el concepto caballo es un objeto que hace las
veces del concepto real, es como un delegado saturado o completo del concepto. (Frege sugirió en
escritos posteriores que este objeto podría ser la extensión del concepto, pues cada concepto, según
Frege, tiene una extensión que le corresponde, y siendo ésta un objeto y no un concepto es un buen
candidato para hacer de substituto del concepto en casos de apuro).

Pero esta solución al problema reclama una justificación, pues es capaz de dejar perplejo al lector
más abierto de mente. Frege concedió que en estos casos el lenguaje se encuentra en una situación
límite, y que se vuelve un poco extraño, cacofónico. Pero de todas formas, Frege pidió al lector
que fuera permisivo con él en estas situaciones, porque una expresión conceptual y un término
singular no pueden tener el mismo referente nunca. Si tuvieran el mismo referente, Frege
argumentó, deberían ser substituibles entre ellos sin cambio de valor de verdad, y por supuesto, sin
pérdida de gramaticalidad. Luego estas dos frases deberían de tener el mismo referente:

(14) Rocinante es un caballo.

(15) Rocinante el concepto caballo.

Pero la segunda no tiene sentido, no es ni siquiera una frase. Por lo tanto, concluyó Frege, las dos
expresiones no pueden tener el mismo referente. La razón, según Frege, es que un concepto es
esencialmente predicativo, y esto es reflejado en la expresión cuyo referente es un concepto. En
cambio un término singular nunca puede ser un predicado, como (15) ilustra. Para componer un
enunciado que exprese un pensamiento completo es necesario que una de las partes sea incompleta,
predicativa, porque si no, el resultado es una lista de expresiones que no se relacionan entre ellas,
no encajan.

Ahora bien, todo esto es una consecuencia del paralelismo que Frege presupone entre las divisiones
lingüísticas y las ontológicas, así que es oportuno preguntarse por qué creyó Frege que las
distinciones lingüísticas son tan buena guía de las distinciones lógicas. Después de todo, la crítica
fregeana a la lógica aristotélica fue que estaba demasiado ligada a la forma gramatical superficial de
las frases. Frege explicó que para dar las reglas y nociones lógicas básicas de cualquier lenguaje se
debe recurrir al lenguaje natural. Nunca podemos crear un lenguaje nuevo desde un punto de vista
prelingüístico. Y para dar a entender estas bases lógicas del lenguaje se requerirá un punto de vista
común con el interlocutor, un entendimiento de la estructure del lenguaje natural en las que se
explican. Es decir, que el lenguaje natural es previo a cualquier expresión de las categorías lógicas
básicas y por tanto las distinciones gramaticales son anteriores a las distinciones lógicas.

Textos correspondientes a esta sección:

Begriffsschrift, §8.
Funcion y concepto (fragmentos)
Sobre sentido y referencia (fragmentos)
Sobre concepto y objeto (fragmentos)
 Frege Esencial 28

5. Leyes básicas de la aritmética y la Paradoja de Russell

Una vez estuvo satisfecho con las modificaciones que introdujo a su conceptografía de 1879, volvió
a empezar las derivaciones que iban a culminar, por fin, su programa intelectual. El resultado de su
trabajo fue un manuscrito de más de quinientas páginas y repleto de su heterodoxa notación: Leyes
básicas de la aritmética o Grungesetze der Arithmetik. La longitud y contenido de su obra, junto con el
poco éxito de sus publicaciones anteriores, hicieron que tuviera problemas para encontrar una
editorial que publicara su trabajo. Sólo consiguió una que accediera a publicarlo, por partes,
empezando por un primer volumen y condicionando la publicación del resto al éxito de éste. Por
aquel entonces, ya sabía que su trabajo podía ser mal recibido o ignorado por la comunidad
intelectual, y expresó esta preocupación en el prefacio. Su obra se sitúa en el límite entre la
matemática, la lógica y la filosofía con lo que, pensaba, sus lectores filósofos se asustarán de los
símbolos matemáticos, los matemáticos se disgustarán por su uso de nociones filosóficas y los
lógicos se ofenderán por sus ataques antipsicologistas. Así que Frege publicó el resultado del trabajo
de toda su vida intentando motivar al lector para que al menos leyera su obra seriamente, aunque
fuera para criticarla, pues prefería un lector serio y crítico a un lector superficial y adulador.

Así pues, no tenía mucha fe en que su trabajo fuera leído, para su frustración y desánimo, pero, no
obstante, estaba orgulloso de los resultados que presentaba. Frege proclamó que siguiendo un
método euclidiano, donde los axiomas y las reglas de inferencia se dan todos explícitos y son
verdaderos por su autoevidencia, había conseguido un nivel de corrección y rigor ideales. Esta
preocupación por el rigor absoluto hacía que las demostraciones de las verdades aritméticas fueran
muy largas y tediosas, pero valía la pena porque se había avanzado tan sólo con pasos lógicamente
simples y por tanto los fundamentos sobre los cuales la aritmética se levanta se habían hecho
explícitos: eran puramente lógicos. Además, dado su método riguroso, si hubiera un error en las
derivaciones, éste sería explícito y evidente, así que era prácticamente imposible encontrar un error
en su trabajo a estas alturas, concluyó Frege. Al fin tenía la prueba definitiva de su tesis logicista. O
eso creía.

5.1. Leyes Básicas, Volumen I

La reducción de la aritmética a la lógica según el proyecto fregeano consistía primero en presentar
el lenguaje lógico, el nuevo Begriffsschrift; luego, en definir los números naturales siguiendo la
estrategia presentada informalmente en Grundlagen, incluyendo además las derivaciones de algunas
de las verdades más fundamentales sobre ellos; y finalmente, debía también definir los números
reales, y así dar los fundamentos lógicos del análisis. Pero en el primer volumen, publicado en
1893, sólo pudo incluir la presentación de la nueva lógica, la definición de número natural y unas
pocas leyes básicas más. Frege explicó que en un sistema lógico no se puede definir y demostrar
todo, pues debe haber ciertos puntos de partida. Estos puntos de partida son los símbolos
primitivos (a partir de los cuales de definen todos los demás) y los axiomas, que Frege llamó Leyes
Básicas. Estas leyes básicas son supuestamente proposiciones lógicas cuya verdad es indiscutible y
evidente, y por tanto pueden darse por ciertas sin demostración.

El aparato lógico de Grudgesetze incluye las modificaciones al Begriffsschrift que Frege llevó a cabo en
los años precedentes. Una de las incorporaciones más importantes, aparte de las que hemos visto en
la sección anterior, es la introducción de la noción de curso de valores, o recorrido de una función, que
 Frege Esencial 29

Frege introdujo en ‘Función y concepto’. El curso de valores de una función es un objeto asociado a
toda función, tal que si dos funciones tienen los mismos valores para los mismos argumentos, sus
cursos de valores son iguales. (Así, desde un punto de vista moderno, el curso de valores se puede
entender como una clase de la cual son miembros los argumentos y valores de la función
emparejados adecuadamente.) Según Frege, dos funciones diferentes pueden tener el mismo curso
de valores, así x + 3 tiene el mismo curso de valores que 3x − 2x + 3, aunque sean, según Frege,
distintas funciones. Ambas emparejan el 0 con el 3, el 1 con el 4, etc. O también, la función animal
con corazón y la función animal con riñón son distintas, pero tienen el mismo curso de valores, pues
todos los animales con riñón tienen corazón y viceversa, y por tanto, estas funciones emparejan a
los mismos animales con el valor de verdad Verdadero. Lo que en Grundlagen era la extensión de un
concepto se entiende ahora como un tipo particular de curso de valores, aquel curso de valores de
un tipo particular de función: un concepto. Un concepto, recordemos, es ahora para Frege una
función cuyos valores son siempre valores de verdad. Los objetos emparejados con lo Verdadero en
el curso de valores del concepto serán los que antes hubieran sido los miembros de la extensión del
concepto.

La introducción de esta noción era esencial para Frege, pues en Grundlagen había afirmado que el
número natural es la extensión de un concepto, pero en Begriffsschrift no había incluido los recursos
para hablar de extensiones o cursos de valores en notación lógica. En Grundgesetze, Frege introduce
su noción de curso de valores mediante la Ley Básica V. Según esta ley básica, dadas dos funciones
cualesquiera f y g:

LBV: El curso de valores de f = El curso de valores de g si y sólo si, para todo x, f (x) ↔ g
(x)17

Es decir, los cursos de valores de f y g son idénticos si y sólo si el valor de f para cada argumento es
el mismo que el valor de g para tal argumento. Esta ley, según Frege, es una verdad lógica, que los
lógicos ya venían asumiendo en la práctica aunque no explícitamente. De todas maneras, Frege
admitió que de todo el edificio lógico que constituye Leyes Básicas, la Ley Básica V es la única cuyo
carácter puramente lógico puede discutirse, aunque Frege la considerara tal. Como veremos muy
pronto, fue efectivamente esta ley la que causó problemas, pero Frege no lo descubrió hasta al cabo
de unos años más.

5.2. Entre volúmenes, de 1893 a 1902

En los años inmediatamente posteriores a la publicación del primer volumen de Grundgesetze, tuvo
que sobreponerse de nuevo al silencio de la comunidad intelectual como reacción a su publicación.
Aún así, siguió muy activo intelectualmente, respondiendo a críticos, atacando a otros, conversando
por carta con varios intelectuales europeos, y preparando el segundo volumen de su gran obra. A
través de sus diálogos con otros filósofos y matemáticos, el trabajo de Frege empieza a ser parte del
panorama intelectual europeo. Además, en 1896 en Jena, donde tenía colegas que sí admiraban su

17
Esta ley se expresa muchas veces hoy en día en términos de extensiones y conceptos:
LBV’: {x: F (x)} = {x: G (x)} si y sólo si, para todo x, F (x) ↔ G (x)
{x: F (x)} es notación moderna para designar el conjunto de entidades que son F, es decir que designa lo
que Frege llama la extensión del concepto F en Fundamentos.
 Frege Esencial 30

trabajo, fue ascendido a ordentlicher Honorarprofessor, es decir, a profesor titular honorario, que
significaba un sueldo fijo al fin.

Leyes Básicas, Vol. I, provocó tan sólo dos reseñas, pero una de estas dos fue escrita por Giuseppe
Peano, un importante lógico italiano que por aquel entonces también estaba desarrollando un
lenguaje lógico para las matemáticas. La reseña de Peano fue crítica con Frege, e intentó probar que
su lógica era mejor que la fregeana. Frege respondió al ataque por escrito, iniciando así una
correspondencia entre los dos lógicos, de tal manera que Peano acabó publicando una retractación
dando las gracias a Frege por su ayuda mejorando su lenguaje lógico. Estos hechos hicieron que la
obra de Frege se empezara a conocer aunque fuera indirectamente.

Además de Peano, Frege estuvo en contacto con otros intelectuales importantes, con los que
mantuvo diálogos. Uno de ellos fue Edmund Husserl, el padre de la fenomenología. Frege y
Husserl mantuvieron correspondencia filosófica durante años, y además Frege escribió, en 1894,
una reseña muy negativa del primer volumen de Filosofía de la Aritmética, donde Husserl defendía
una concepción psicologista de la aritmética. Al final, quizás por la influencia fregeana, Husserl
desechó sus teorías psicologistas y de este cambio de rumbo surgió la fenomenología.

También cabe mencionar la polémica con Hilbert sobre la naturaleza del método axiomático. Frege
defendió su concepción euclidiana del método axiomático, según la cual los axiomas de una teoría
se aceptan como verdaderos por su evidencia, pues han de ser verdades básicas. Hilbert, en cambio,
defendía una noción más moderna, por la cual los axiomas son simplemente frases esquemáticas
que, sean o no verdaderas, se aceptan dentro de la teoría en cuestión y que pueden interpretarse de
maneras diferentes, pues lo importante son las relaciones formales dentro de la teoría y no la
verdad absoluta de los axiomas. Frege publicó, unos años más tarde, en 1903 y 1906, unos artículos
titulados todos igual, ‘Sobre los Fundamentos de la Geometría’, donde expone su postura frente a
Hilbert. En definitiva, estos años fueron para Frege unos años de actividad intelectual sin tregua, en
los que empezó a ver los frutos de su labor en el reconocimiento de algunos importantes
intelectuales, a través de quienes el trabajo de Frege empezó a ser leído con más interés.

5.3. La paradoja y Volumen II

Aunque Frege empezaba a ser reconocido, esto no impidió que el éxito editorial del primer
volumen de Grungesetze dejara mucho que desear, y por tanto, que la editorial se negara a correr el
gasto de la publicación del segundo volumen: Frege tuvo que pagar de su propio bolsillo. En este
segundo volumen se completan más derivaciones sobre los números naturales y una primera parte
sobre los números reales (que no constituía todavía una reducción completa del análisis a la lógica).
Además, Frege incluyó discusiones sobre el papel de la definición en un sistema lógico y sobre los
formalistas y psicologistas, que eran uno de los objetivos favoritos de las críticas fregeanas.

Pero nunca hubo un tercer volumen completando el programa. Era el verano de 1902 y, tras años
de trabajo, la segunda entrega de los resultados finales de su programa estaba ya en la imprenta,
cuando Frege recibió una corta misiva del lógico inglés Bertrand Russell, por aquel entonces joven
y prácticamente desconocido. En menos de diez líneas, Russell exponía una contradicción en el
sistema fregeano. Russell, en su carta, cree que la contradicción existe en el sistema de
Conceptografía, aunque en realidad tal sistema no es inconsistente. Pero el mismo razonamiento se
aplica exitosamente al sistema de Leyes Básicas, pues la contradicción, de hecho, es una consecuencia
 Frege Esencial 31

de la Ley Básica V. Esta ley presupone que para toda función o concepto existe un objeto, su curso
de valores o extensión. Ahora bien, se puede considerar el siguiente concepto:

C: Clase que no pertenece a sí misma.18

Este concepto, pues, se aplica a clases. Por ejemplo, la clase de seres vivos es una clase que no
pertenece a sí misma, es decir que esta clase no es un miembro de sí misma, pues las clases no son
seres vivos. O sea, la clase de seres vivos es C. La mayoría de clases son C, pero las hay que no son
C. Por ejemplo, la clase de clases con más de tres miembros sí que es un miembro de sí misma, ya
que esta clase de clases tiene a su vez más de tres miembros (hay muchas clases con más de tres
miembros), y por tanto esta clase de clases de más de tres miembros no es C. Consideremos ahora
la clase que es la extensión de C, pues según la Ley Básica V todo concepto tiene una extensión.
Entendamos la extensión del concepto C como una clase de entidades, en este caso clases, que
contiene todas las entidades de las cuales el concepto es verdadero, es decir, todas aquellas clases
que no son miembros de sí mismas. La pregunta que se hace Russell es ¿Es la extensión del
concepto C a su vez C? O sea, ¿es la clase de clases que no pertenecen a sí mismas un miembro de
ella misma o no?

Supongamos que no, es decir, que la clase de clases que no pertenecen a sí mismas no pertenece a sí
misma. Entonces, la extensión de C no será un miembro de la clase de clases que no pertenecen a sí
mismas. Pero entonces, si la extensión de C no es un miembro de sí misma, esto significa que la
extensión de C es después de todo una clase que no pertenece a sí misma, es decir que la extensión
de C es C. Pero según la definición del concepto, debería de seguirse entonces que la extensión de C
es un miembro de la extensión de C. O sea que por un lado, si la extensión del concepto C no es un
miembro de sí misma (la suposición inicial), entonces la extensión del concepto C es un miembro
de sí misma (la conclusión a la que se ha llegado).

Supongamos ahora lo contrario, que la clase de clases que no pertenecen a sí mismas sí es un

miembro de sí misma. Pero entonces, la extensión del concepto C es un miembro de la extensión
del concepto C, es decir, que la extensión de C es C, lo cual implica, según la definición de C que su
extensión no puede ser un miembro de sí misma. O sea que si la extensión de C es un miembro de
sí misma, entonces la extensión de C no es un miembro de sí misma.

Poniendo los dos resultados juntos, tenemos que la extensión de C es C si y sólo si la extensión de C
no es C, que es una contradicción lógica. Después de todo su empeño por la rigurosidad y el
método, lo imposible había ocurrido, había un error lógico en sus demostraciones. Así de rápido
todo el edificio fregeano, el fruto de toda una vida de trabajo intensivo, se vino abajo. No obstante,
Frege contestó a la carta de Russell muy educadamente, admitiendo su sorpresa y consternación y
explicando que iba a añadir un apéndice al volumen de Leyes Básicas que estaba a punto de salir para
responder a este problema. Frege intentó solucionarlo rápidamente, pues, sin una respuesta, treinta
años de labor para probar que la aritmética es lógica, y fundamentar así las matemáticas sobre una
base estable y firme, habrían sido en vano. En el apéndice, propuso una modificación a la Ley Básica

18
Teniendo en cuenta que un predicado es el tipo de expresión que refiere a una función, Russell consideró
también el siguiente predicado: ‘… es un predicado que no se puede predicar de sí mismo’, a partir del cual
se deriva una contradicción análoga, pero que Frege no aceptaría, pues un predicado nunca puede
predicarse de sí mismo, sino sólo de un objeto.
 Frege Esencial 32

V: Los cursos de valores de dos funciones F y G son idénticos si y sólo si las dos funciones tienen
siempre el mismo valor para cualquier argumento que no sea el curso de valores de F o G. Así, Frege
creyó haber bloqueado la contradicción pues la pregunta de si la extensión de C es a su vez C o no,
deja de ser una pregunta abierta: la extensión de un concepto, o una función, no es nunca un
miembro de sí mismo, la extensión de C nunca es C. Esta solución es claramente ad hoc, pues su
única motivación es la contradicción, lo cual la hace poco atractiva como solución teórica. Pero,
además, resulta insuficiente para las derivaciones que Frege quería llevar a cabo, como él mismo
descubrió unos años después, y hoy sabemos que, de todas maneras, la solución también es
inconsistente.

La paradoja de Russell resultó ser catastrófica para el programa fregeano, Frege acabó creyendo que
todo su proyecto, por el que tanto había trabajado toda su vida, era un fracaso. Y aunque no fuera
un consuelo para Frege, cabe decir que esta paradoja afectó no sólo a Frege sino a todos los
matemáticos que por aquellos años estaban trabajando con la teoría de conjuntos, por ejemplo
Georg Cantor y Richard Dedekind, ya que antes del descubrimiento de la paradoja, muchos habían
dado por supuesto que a todo concepto o a todo predicado, F, le corresponde una clase o conjunto
de entidades que son F. El descubrimiento de ésta y otras paradojas en la teoría de conjuntos causó
una crisis y una reformulación de la teoría que fue el producto de años de trabajo por los mejores
matemáticos de su tiempo. Así que el logicismo fregeano había topado con un problema que era
general y profundo. A raíz de este descubrimiento, Frege y Russell iniciaron una correspondencia
muy interesante. Y a través de Russell, que se convirtió en un lógico y filósofo muy famoso y
respetado, y en cuyos escritos reconoce el genio de Frege, las ideas fregeanas se extendieron
todavía más, aunque nunca tanto como para hacer de Frege un pensador tan famoso, en vida, como
lo fue el mismo Russell.

Textos correspondientes a esta sección:

Leyes Básicas de la Aritmética, Vol. I, prefacio (fragmentos)
Carta de Russell a Frege, 16 de junio de 1902 (fragmentos)
Carta de Frege a Russell, 22 de junio de 1902 (fragmentos)
Leyes Básicas de la Aritmética, Vol. II, apéndice (fragmentos)

6. Investigaciones lógicas y escritos póstumos

Tras el descubrimiento de la paradoja de Russell, Frege siguió defendiendo la tesis logicista unos
años más, pero no llegó a publicar la continuación de Leyes Básicas, y aunque es difícil dar una fecha
exacta, para 1918 Frege había desistido definitivamente de encontrar una solución a la
contradicción. En los últimos años de su vida, Frege creyó que sus esfuerzos por probar la
naturaleza lógica de la aritmética habían fracasado, y que en realidad, la aritmética, y toda la
matemática, son reducibles a la geometría. La aritmética no es analítica, sino sintética, y está basada
en conceptos espaciales, concluiría. Además de esta crisis intelectual, Frege perdió a su esposa en
1904, así que tanto en el terreno personal como profesional, el final de la vida de Frege no fue
especialmente feliz, lo cual se refleja en el estilo más amargo de sus críticas. En estos años, entre
1902 y 1925, Frege todavía publicó algunos escritos. Aunque no tuvo tiempo de desarrollar su
nueva idea para fundamentar la aritmética en la geometría, Frege publicó trabajos defendiendo su
conceptografía y su concepción de la lógica, pues dado el fracaso del programa logicista, sus
contribuciones a la lógica se habían convertido para Frege en el fruto más valioso de su trabajo.
 Frege Esencial 33

Además del artículo publicado en 1904 llamado ‘¿Qué es una función?’ donde Frege defiende su
noción de función como una entidad incompleta o insaturada, y también la serie de artículos fruto
de su polémica con Hilbert titulados todos ‘Los fundamentos de la geometría’ (nombrados en la
sección anterior), las publicaciones más significativas son un grupo de artículos que, aunque
publicados separadamente, estaban pensados como capítulos de una introducción a la lógica:
Investigaciones lógicas. Son tres: ‘El pensamiento’ o ‘Der Gedanke’ (1918), ‘La negación’o ‘Die
Verneinung’ (1918) y ‘Composición de pensamientos’ o ‘Gedankengefüge’ (1923).

6.1. ‘El pensamiento’

La lógica, explicó Frege, estudia la verdad, es decir, que trata de descubrir las leyes que rigen la
verdad, o que especifican las conexiones entre verdades. Pero no hay que confundirse, pues existen
dos tipos de leyes. Las leyes que son descriptivas describen un fenómeno. Por ejemplo las leyes
naturales son descriptivas porque son leyes que nos dicen cómo pasan las cosas en la naturaleza. Las
leyes descriptivas son tales que es imposible romper la ley, no se puede decidir si se va a acatar o no
la ley de la gravedad, por ejemplo. En cambio, hay leyes que son prescriptivas o normativas, es decir,
que prescriben u ordenan; éstas son leyes que explican cómo se deben de hacer las cosas. Estas leyes
pueden no seguirse, pues sólo especifican el ideal de corrección al que aspira el proceder, no el
proceder de hecho. El ejemplo más claro de este tipo de leyes es el de las leyes morales, pues éstas
determinan cómo debemos actuar para actuar moralmente. El contraste es claro con las leyes
descriptivas pues es evidente que las leyes morales no describen cómo actuamos en realidad.

Las leyes de la lógica entendidas como leyes de verdad son descriptivas, pues, según Frege, son
leyes que especifican cómo las verdades se relacionan entre sí. Por ejemplo: Dadas dos verdades
cualesquiera, p y q, si es verdad que ‘Si p, entonces q’, también será verdad que ‘Si no q, entonces
no p’; y viceversa: si es verdad que ‘Si no q, entonces no p’, también tenemos que ‘Si p, entonces
q’. Esto es una ley descriptiva porque siempre que tengamos verdades de esta forma es un hecho
indiscutible que son equivalentes. Ahora bien, algunos lógicos consideran que la lógica es la ciencia
del pensar, así, las leyes lógicas se pueden entender como leyes del pensar. Pero es esencial darse
cuenta, dijo Frege, de que si las leyes lógicas se entienden como leyes del pensamiento deben de ser
leyes prescriptivas, es decir, las leyes descriptivas de la verdad pueden entenderse como leyes que
dirigen a quienes quieran pensar correctamente porque establecen el ideal al que aspirar. Pero, en
cambio, si un lógico comete la equivocación de considerar las leyes lógicas como leyes descriptivas
del pensamiento, entonces estudiará cómo las personas argumentan, es decir que la lógica se
convertirá en una disciplina empírica que tratará de especificar la manera real en que piensa la
gente. Esto es una corrupción de la lógica, porque en esta descripción también deberán incluirse los
errores y los malos argumentos, y por tanto no habrá un criterio normativo para separar los
razonamientos correctos de los incorrectos. La lógica se convertiría en una disciplina puramente
psicológica y no tendría nada que ver con la verdad, si no sólo con nuestro proceder particular
mediante el cual llegamos a creer que algo es verdad o falso, donde la creencia de verdad es un hecho
mental, y no tiene nada que ver con la verdad real de la creencia.

Según Frege, los portadores de verdad son los sentidos de las oraciones asertivas. Es decir, que los
pensamientos son las entidades de las cuales se puede decir que son verdaderas o falsas, o puesto en
términos más fregeanos, los pensamientos son los sentidos de las oraciones, y por tanto determinan
sus referentes, que son valores de verdad. Estos pensamientos son sentidos o contenidos
semánticos, o sea que no son entidades mentales, no dependen de una mente que los piense, sino
 Frege Esencial 34

que son objetivos, dijo Frege. Aunque comprendemos pensamientos con nuestra razón, esto no
significa que sean ideas o contenidos puramente mentales, pues las ideas nos pertenecen y nadie
puede compartir sus ideas con otros, en cambio los pensamientos sí se pueden compartir: después
de todo nos comunicamos con el lenguaje gracias a que entendemos el sentido de nuestras frases.
Pero los pensamientos son a su vez imperceptibles, no son objetos sensibles que podamos conocer a
través de los cinco sentidos. La expresión que utiliza Frege es que los pensamientos no son reales
(wirklich), aunque sí son objetivos. Son, en terminología moderna, objetos abstractos. Es en ‘El
pensamiento’ donde Frege introdujo el llamado Tercer Reino, más allá del reino de lo sensible y del
reino de entidades mentales o ideas. A este reino pertenecen los pensamientos y las demás
entidades abstractas de la ontología fregeana, por ejemplo, los números y los sentidos del resto de
las expresiones. El Tercer Reino es parecido al reino de las Ideas platónico, donde se destinan las
entidades que existen eternamente, de una manera estable, sin cambios, ni transformaciones.

6.2. La negación y las demás conectivas

Según Frege es muy importante separar el pensamiento como tal de la aserción del pensamiento. El
pensamiento es simplemente el sentido de la oración, y puede pensarse o decirse sin afirmarse. Por
ejemplo, según Frege, en la aserción de ‘Si Dios existe, entonces existe un ser infinito’, se afirma el
condicional pero no se afirma ni el antecedente ni el consecuente. Si no se pudiera entender un
pensamiento aparte de su afirmación, no podríamos afirmar este condicional sin afirmar a la vez la
existencia de Dios, y, en general, la formulación de hipótesis carecería de sentido. Pero un ateo
puede afirmar la verdad del condicional, y la formulación de hipótesis está en la base del
procedimiento científico. Así pues una cosa es comprender el pensamiento, y la otra es afirmarlo,
una cosa es el pensamiento y la otra la aserción del pensamiento, que es, dice Frege, la expresión del
reconocimiento de la verdad del pensamiento, o sea, es la expresión del juicio sobre el
pensamiento.19 El juicio, según Frege, es la actividad lógica más importante, pues es la actividad por
la cual avanzamos del pensamiento a la verdad del mismo. El juicio es esencial para conectar el
pensamiento con la verdad, es nuestro medio para apreciar el valor de la verdad del pensamiento.

Algunos pensamientos tienen como componentes otros pensamientos más simples. Estos
pensamientos compuestos por otros pensamientos son analizados por Frege funcionalmente en ‘La
negación’ y ‘Composición de pensamientos’. Frege considera que estos pensamientos están
formados por el sentido de expresiones funcionales y otros pensamientos, que son los sentidos de
las expresiones que saturan las expresiones funcionales. La expresión del enunciado completo tiene
como sentido el pensamiento compuesto. En el nivel referencial, las funciones que Frege estudia
son funciones veritativo-funcionales porque toman como argumentos los referentes de los
pensamientos, es decir, valores de verdad, que a su vez determinan los valores de la función, que
son también valores de verdad. Primero de todo, consideremos la negación. Un pensamiento puede
consistir en la negación de otro pensamiento más simple. Un pensamiento compuesto de esta
manera es un pensamiento completo que se analiza funcionalmente: la negación, la parte negativa
del pensamiento, se entiende como una función, que se aplica a pensamientos para componer

19
Además de estos componentes de la frase asertiva también existe un tercer aspecto que Frege llama
iluminación o atmósfera, que concierne los aspectos más subjetivos de la comunicación, que la hacen más
colorista y bonita, pero que son prescindibles en lógica, pues no contribuyen a determinar el contenido
estricto de lo que la frase dice y las inferencias válidas a partir de ella, es decir no forman parte del sentido
de la oración.
 Frege Esencial 35

pensamientos compuestos, que a su vez pueden, o no, ser afirmados. Por ejemplo: ‘Dios no existe’
está compuesto por el pensamiento simple ‘Dios existe’ más la negación ‘no…’, que es incompleta
en sí y es saturada por ‘Dios existe’ en este caso. Dado este pensamiento compuesto cabe reconocer
su verdad y afirmarlo, o reconocer su falsedad y afirmar su contrario. Pues para cada pensamiento,
existe su contrario o contradictorio, es decir el resultado de aplicar la negación a tal pensamiento.
El contrario de ‘Dios no existe’, por ejemplo, es ‘Dios existe’, pues negar la negación de p es
afirmar p. Este análisis de la negación es el clásico análisis de la lógica proposicional, que Frege había
expresado más sucintamente en Conceptografía, y que puede resumirse así: p es verdadero si, y sólo
si, no p es falso.

Además de la negación Frege incluyó en la última exposición de su lógica solamente otra conectiva,
la conjunción. Con la negación y la conjunción Frege dio un análisis de las otras conectivas
aceptadas tradicionalmente: la disyunción, el condicional y todas las combinaciones posibles entre
ellos. Todas estas conectivas fueron analizadas por Frege como funciones cuyos argumentos y
valores son valores de verdad. Y para cada una, Frege especificó el valor de verdad del pensamiento
compuesto resultante a partir de los valores de verdad de los pensamientos a los que se aplican las
conectivas: ‘p y q’ es verdadero si, y sólo si, p es verdadero y q es verdadero; ‘p o q’ es equivalente a
‘no (no p y no q)’; y ‘si p, entonces q’ es lo mismo que ‘no (no q y p)’.

6.3. El legado de Frege

Hasta el final de su vida, siguió activo intelectualmente, manteniendo correspondencia con
intelectuales, planeando libros y publicando artículos y reseñas. Los escritos póstumos de estos años
son también numerosos e incluyen escritos introductorios sobre lógica (incluida la supuesta
continuación de Investigaciones lógicas, que trata sobre la generalización lógica), críticas a otros
lógicos, escritos matemáticos sobre el logicismo y, los últimos, sobre la reducción de la aritmética a
la geometría, además de mucha de su correspondencia. Además, años después de su muerte, se
tuvo acceso a sus diarios, que contienen la evaluación de su propia obra, y otras observaciones
interesantes.20

Frege murió el 26 de julio de 1925, siendo todavía, tristemente, un pensador casi desconocido.
Aún así, en este último periodo influenció a dos grandes filósofos que, junto a Russell, hicieron de
Frege un pensador esencial en la historia de la filosofía, a saber: Rudolf Carnap y Ludwig
Wittgenstein. Carnap fue alumno de Frege en Jena entre 1910 y 1914, en los cursos que impartió
sobre su conceptografía y la relación entre la lógica y la matemática (pues por aquél entonces
todavía defendía el logicismo, con ciertas modificaciones para evitar la paradoja). Carnap se
convirtió en un filósofo muy importante, fue parte del Círculo de Viena, el defensor central de la
corriente conocida como el positivismo lógico,21 y en general alguien esencial en el panorama de la
filosofía analítica del siglo XX, con contribuciones significativas en la filosofía del lenguaje y de la
ciencia y en lógica. El mismo Carnap reconoce en sus escritos la gran influencia que Frege tuvo en

20
Sus diarios también contienen bastantes comentarios de índole política, en los cuales Frege se deja llevar
por sentimientos antisemitas, hecho que decepcionó a la comunidad intelectual, pues siempre decepciona
que personas tan racionales en un ámbito puedan tener ideas sin sustento en otro.
21
El positivismo lógico fue una corriente filosófica muy importante en el siglo XX que defendía que los
problemas metafísicos son pseudoproblemas: sus enunciados carecen de significado, de sentido, pues no se
pueden verificar empíricamente ni son verdades lógicas.
 Frege Esencial 36

su obra. Por otro lado, Wittgenstein nunca fue alumno de Frege, pero se conocieron y conversaron
lo suficiente como para que Wittgenstein considerara a Frege, junto a Russell (con quien trabajó en
Cambridge), como el pensador al que debía más. No hace falta recalcar la importancia que ha
tenido Wittgenstein para la filosofía, pues es considerado por muchos como el filósofo más
importante del siglo pasado.

Y dada la influencia de Frege sobre Russell, Wittgenstein y también Carnap, Frege es una figura
imprescindible e importantísima en los inicios de la filosofía analítica. A partir de los años 50, hubo
un renacimiento fregeano y desde entonces, la obra de Frege ha sido constante objeto de estudio
directo por los filósofos analíticos, entre los cuales se encuentran muchos fregeanos declarados. En
particular Frege es considerado como el fundador de la filosofía del lenguaje tal como se la entiende
hoy y uno de los fundadores de la lógica moderna. Además, aunque nunca completó su programa,
sus argumentos en el ámbito de la filosofía de la matemática también hacen de él un pensador leído
hoy en día con interés no sólo histórico, e incluso su proyecto sigue siendo defendido por algunos.
En conclusión, se puede decir que dentro de la filosofía analítica, no existe filósofo más esencial que
Frege (aunque pueda haber otros igualmente esenciales).

Textos correspondientes a esta sección:

‘El pensamiento’ (fragmentos)
 Frege Esencial 37

TEXTOS

Conceptografía
Un lenguaje de fórmulas del pensamiento puro a imitación del de la aritmética
(fragmentos)

Prefacio
El reconocimiento de una verdad científica pasa generalmente por varias etapas de certeza. Quizás
adivinado primero a partir de un número insuficiente de casos particulares, un enunciado universal
se establece más y más firmemente al conectarse con otras verdades a través de cadenas de
inferencias; sean con conclusiones que se derivan de ella y que se confirman de otra manera, o, a la
inversa, sea que se aprecia que es una conclusión de enunciados ya establecidos. Así pues, se puede
preguntar, por un lado, por qué camino se ha llegado gradualmente a un enunciado y, por otro
lado, de qué manera se establece más firmemente al final. La primera pregunta ha de ser contestada
posiblemente de diferente manera para diferentes personas. La segunda es más definida, y su
respuesta está conectada con la naturaleza interna del enunciado en consideración. La demostración
 Frege Esencial 38

más firme, obviamente, es la puramente lógica, la cual, prescindiendo de las particularidades de las
cosas, está basada sólo en las leyes sobre las que resta todo conocimiento. De acuerdo con esto,
dividimos todas las verdades que requieren justificación en dos tipos, aquellas verdades cuya
demostración puede darse de una manera puramente lógica y aquellas cuya demostración debe
basarse en hechos empíricos. Ahora bien, no es inconsistente que un enunciado pertenezca al
primer tipo y, aun así, sea tal que nunca pueda ser comprendido por una mente humana sin la
operación de los sentidos.22 Por lo tanto, no es el origen psicológico sino el método de
demostración más perfecto lo que está en la base de esta división. Ahora bien, considerando la
pregunta de a cuál de estos dos tipos de verdades pertenecen las verdades aritméticas, primero tuve
que ver cómo de lejos se podía llegar en aritmética sólo mediante deducciones lógicas, con la única
ayuda de las leyes del pensamiento, que transcienden a todos los particulares. Para llevar esto a
cabo, primero intenté reducir el concepto de orden en una secuencia a la noción lógica de orden,
para avanzar luego al concepto de número. Para que nada intuitivo se pudiera introducir aquí
inadvertido, era de máxima importancia mantener la cadena de inferencias libre de huecos. Al
intentar satisfacer este requisito del modo más estricto, encontré un obstáculo en la inadecuación
del lenguaje; por muy aparatosas que fueran las expresiones, cuanto más complejas se volvían las
relaciones, se conseguía menos la precisión que mi propósito requería. De esta deficiencia surgió la
idea de la conceptografía presentada aquí. Así, está pensada principalmente para examinar de la
manera más fiable la validez de una cadena de inferencia y revelar todas las suposiciones que tienden
a pasar inadvertidas, para que su origen pueda ser investigado. Por esta razón, se ha omitido la
expresión de todo aquello sin importancia para la cadena de inferencia. En §3, he llamado contenido
conceptual a lo que es lo único importante para mí. Esto se debe tener siempre en cuenta si se quiere
entender correctamente la naturaleza de mi lenguaje de fórmulas. De esto surgió también el
nombre ‘Conceptografía’. Puesto que me limité primeramente a expresiones de relaciones que son
independientes de las particularidades de las cosas, también pude utilizar la expresión ‘lenguaje de
fórmulas del pensamiento puro’. La imitación del lenguaje de fórmulas de la aritmética al cual
refiero en el título refiere más bien a las ideas fundamentales que a la construcción detallada.
Cualquier intento de establecer una similitud artificial construyendo un concepto como la suma de
sus características,23 está lejos de mi intención. Mi lenguaje de fórmulas es más similar al de la
aritmética en la manera en que se usan que las letras.24

Creo que puedo aclarar la relación de mi conceptografía con el lenguaje coloquial si la comparo con
la relación del microscopio con el ojo. Este último, por la variedad de sus aplicaciones, por la
flexibilidad con la que se adapta a las más diversas circunstancias, tiene una gran ventaja respecto al
microscopio. Considerado como un instrumento óptico, manifiesta sin duda muchas
imperfecciones, que normalmente pasan desapercibidas sólo por su íntima conexión con la vida
mental. Pero en cuanto los propósitos científicos ponen grandes exigencias en la agudeza de la
resolución, el ojo resulta inadecuado. El microscopio, por otro lado, es perfectamente apropiado
para tales fines, pero precisamente por esto es inútil para todos los demás.

22
Ya que sin percepción sensorial ningún desarrollo mental es posible en seres conocidos por nosotros, esto
último es cierto de todo juicio.
23
(Ed.) Las características de un concepto son los conceptos en los que se descompone o analiza un
concepto, y a partir de los cuales el concepto es analizado. (Cf. p.66 más abajo.)
24
(Ed.) Aquí Frege se refiere al uso de las variables.
 Frege Esencial 39

Del mismo modo, esta conceptografía es una ayuda ideada para objetivos científicos particulares, y
no se debe condenar por ser inútil para otros. Si cumple con esos objetivos en cierto grado, se
puede pasar por alto que no haya verdades nuevas en mi obra. Respecto de esto, me consolaría con
el convencimiento de que un desarrollo en el método también es un avance para la ciencia. Bacon,
al fin y al cabo, creyó preferible inventar un medio con el cual pudiera descubrirse todo fácilmente
que descubrir algo en particular, y todos los grandes avances científicos en tiempos modernos, por
cierto, han tenido su origen en mejoras del método.

Leibniz también reconoció, quizás sobreestimó, las ventajas de un simbolismo apropiado. Su

concepción de una característica universal, un calculus philosophicus o ratiocinator,25 era demasiado
titánica como para que el intento de efectuarlo llegara más allá de los meros preliminares. El
entusiasmo que se apoderó de su creador al considerar el inmenso aumento de poder mental de la
humanidad que resultaría de un simbolismo adaptado a las cosas mismas le hizo subestimar la
dificultad que tal proyecto conlleva. Pero aunque este gran objetivo no se pueda alcanzar de buenas
a primeras, no debemos abandonar la esperanza de un acercamiento lento, paso a paso. Si un
problema parece insoluble tomado en su total generalidad, debe de ser limitado provisionalmente;
así, quizás, ser tratado, avanzando gradualmente. Los símbolos aritméticos, geométricos y químicos
se pueden ver como aplicaciones de la concepción leibniziana en ámbitos particulares. La
conceptografía aquí ofrecida añade a éstos un nuevo ámbito, aquél situado justo en medio, lindante
con todos los otros. A partir de aquí, con grandes perspectivas de éxito, se puede proceder a
rellenar los vacíos en los lenguajes simbólicos existentes, conectar sus dominios, separados hasta
ahora, en el ámbito de un solo lenguaje de fórmulas y extenderlo a dominios a los que hasta ahora
les faltaba tal lenguaje.

(…)

Si una de las tareas de la filosofía es romper el poder de las palabras sobre la mente humana,
destapando las ilusiones que a menudo surgen, casi inevitablemente, a través del uso del lenguaje
concerniendo a relaciones de conceptos, liberando al pensamiento de aquello que le acompaña sólo
por culpa del medio coloquial de expresión lingüística, entonces mi conceptografía, más
desarrollada para tales propósitos, puede resultar útil para los filósofos. Ciertamente, tampoco
puede reproducir el pensamiento puro, como es seguro inevitable en todo modo externo de
expresión del pensamiento; pero al menos podemos limitar las discrepancias a las ineludibles e
inofensivas; además, al mismo tiempo, justamente porque estas discrepancias son de un tipo
completamente distinto a las típicas del lenguaje coloquial, proporcionan protección en contra de la
influencia unilateral de uno de estos medios de expresión.

La mera invención de esta conceptografía, me parece, ha hecho avanzar la lógica. Espero que los
lógicos, si no se amedrentan por la primera impresión de poca familiaridad, no repudiarán las
innovaciones a las que me ha llevado la necesidad inherente en el tema mismo. Este desvío de lo
tradicional encuentra su justificación en el hecho de que la lógica hasta ahora siempre ha seguido
demasiado de cerca al lenguaje coloquial y la gramática. En particular, creo que la sustitución de los
conceptos de sujeto y predicado por argumento y función dará buenos resultados a la larga. Es fácil ver
cómo tomar un contenido como una función de un argumento lleva a la formación de conceptos.

25
Véase: Trendelenburg, Historische Beiträge zur Philosophie, Vol. 3. [Frege refiere al lector a un artículo
de Tredenlenburg, ‘Sobre el proyecto de Leibniz de una Característica Universal’].
 Frege Esencial 40

Otra cosa que merece atención es la demostración de la conexión entre los significados de las
palabras: si, y, no, o, existe, algunos, todo, etc.

(…)

Parte I. Explicación de los símbolos

(…)

El juicio
§2. Un juicio siempre se expresará mediante el símbolo

├──

que se sitúa a la izquierda del símbolo, o combinación de símbolos, que dan el contenido del juicio.
Si omitimos la pequeña barra vertical en el extremo izquierdo de la barra horizontal, entonces el
juicio será transformado en un mero complejo de ideas, de las cuales el autor no indica si reconoce
o no su verdad. Por ejemplo, digamos que

├── A

expresa el juicio: ‘Los polos magnéticos opuestos se atraen mutuamente’.26 Entonces,

── A

no expresa este juicio, sino que debería meramente evocar en el lector la idea de la atracción mutua
de los polos magnéticos opuestos, para así, quizás, inferir conclusiones de ella y con éstas
comprobar la corrección del pensamiento. En este caso, parafraseamos usando las palabras ‘la
circunstancia de que’ o ‘el enunciado de que’.

No todo contenido puede convertirse en un juicio colocando ├── delante de su símbolo; por
ejemplo, la idea ‘casa’ no puede. Así pues, distinguimos entre contenidos afirmables y no afirmables.27

La barra horizontal, a partir de la cual el símbolo ├── está formado, reúne en un todo a los símbolos
que le suceden, y la aserción, que se expresa mediante la barra vertical en el extremo izquierdo de la horizontal,
se relaciona con este todo. La barra horizontal se puede llamar la barra de contenido, la vertical, la barra
de juicio. La barra de contenido sirve en general para relacionar cualquier símbolo al todo formado

26
Uso las letras griegas mayúsculas como abreviaciones, a las que el lector puede atribuir un sentido
apropiado si yo no los defino específicamente. [La letra ‘A’ es ‘α’ mayúscula]
27
Por otro lado, la circunstancia de que hay casas (o que hay una casa) sería un contenido juzgable (cf.
§12). La idea ‘casa’, sin embargo, es sólo una parte de esto. En el enunciado, ‘La casa de Príamo estaba
hecha de madera’, no se puede sustituir ‘casa’ por ‘la circunstancia de que hay una casa’. Véase el ejemplo
que sigue a la fórmula 81 para otro ejemplo de otro tipo de contenido no afirmable. [En ese ejemplo, se
dice que los enunciados que conciernen conceptos vagos, como el concepto de pila o montón, tampoco son
afirmables pues no son lo suficientemente determinados.]
 Frege Esencial 41

por los símbolos que siguen la barra. Lo que sigue a la barra de contenido siempre debe tener un contenido
afirmable.

§3. La distinción entre sujeto y predicado no se encuentra en mi representación del juicio. Para
justificar esto, advierto que los contenidos de dos juicios pueden diferenciarse de dos maneras: o
bien las conclusiones que se pueden derivar de uno, cuando se combina con algunos otros, pueden
siempre derivarse también del segundo combinado con esos mismos juicios, o bien esto no es el
caso. Los dos enunciados ‘En Platea los griegos derrotaron a los persas’ y ‘En Platea los persas
fueron derrotados por los griegos’ se diferencian de la primera manera. Aunque se pueda percibir
una pequeña diferencia en el sentido, el acuerdo aún predomina. Ahora bien, llamo aquella parte
del contenido que es la misma en los dos el contenido conceptual. Ya que sólo esto es significativo para
nuestra conceptografía, no se requiere ninguna distinción entre enunciados con el mismo contenido
conceptual. Si se dice, ‘El sujeto es el concepto sobre el que trata el juicio’, entonces esto también
es aplicable al objeto. Por lo tanto, sólo se puede decir: ‘El sujeto es el concepto sobre el cual trata
el juicio principalmente’. La significación lingüística de la posición del sujeto en el orden de las
palabras resta en señalar el lugar donde se sitúa aquello a lo que se quiere que el oyente preste
particular atención. (Véase también §9). Esto puede servir, por ejemplo, para indicar la relación
entre este juicio y otros, y de esta forma facilitar para el oyente la comprensión de todas las
conexiones. Ahora bien, todas esas características del lenguaje resultan únicamente de la interacción
entre hablante y oyente, por ejemplo, donde el hablante considera las expectativas del oyente y
trata de situarlas correctamente incluso antes de acabar la frase, y no tienen contrapartida en mi
lenguaje de fórmulas, pues aquí lo único relevante en un juicio es lo que influencia las posibles
inferencias. Todo lo necesario para una inferencia válida está totalmente expresado; pero lo
innecesario normalmente ni tan sólo se indica; nada queda para la suposición. Respecto a esto sigo
estrictamente el ejemplo del lenguaje de fórmulas de las matemáticas, en el cual el sujeto y el
predicado también se diferencian sólo forzando el lenguaje. Imagínese un lenguaje en el que el
enunciado ‘Arquímedes fue muerto en la conquista de Siracusa’ se expresa de la siguiente manera:
‘La muerte de violenta de Arquímedes en la conquista de Siracusa es un hecho’. Incluso aquí, si se
desea, sujeto y predicado se pueden distinguir, pero el sujeto contiene todo el contenido, y el
predicado sirve sólo para presentarlo como un juicio. Un lenguaje así tendría sólo un predicado para
todos los juicios; a saber, ‘es un hecho’. Se puede ver que aquí no se trata del sujeto y predicado en un
sentido normal. Nuestra conceptografía es tal lenguaje y el símbolo ├── es el predicado común para todos
los juicios.

En mi primer borrador de un lenguaje de fórmulas el ejemplo del lenguaje coloquial me hizo caer
en el error de construir los juicios a partir del sujeto y el predicado. Me convencí pronto, sin
embargo, de que esto era un obstáculo para mi objetivo particular y que sólo me llevaba a una inútil
prolijidad.

(…)

Igualdad de contenido
§8. La identidad de contenido se distingue del condicional y la negación en que relaciona nombres,
no contenidos. Mientras que en cualquier otro lugar los símbolos simplemente representan sus
contenidos, de tal manera que cada combinación de estos símbolos expresa meramente una relación
entre sus contenidos, en cuanto se combinan con el símbolo de igualdad de contenido se
 Frege Esencial 42

representan a ellos mismos; pues se refiere a la circunstancia de que los dos nombres tienen el
mismo contenido. Así pues, con la introducción de un símbolo para la igualdad de contenido, se
efectúa una bifurcación necesaria en el significado de cada símbolo, los mismos símbolos
representan a veces sus contenidos, y otras a sí mismos. Da la impresión, al principio, de que lo que
estamos tratando pertenece sólo a la expresión, no al pensamiento, y de que no tenemos ninguna
necesidad de diferentes símbolos con el mismo contenido, y por tanto ninguna necesidad tampoco
de un símbolo para la identidad de contenido. Para mostrar que esta apariencia es engañosa, elijo el
siguiente ejemplo de la geometría.

En la circunferencia de un círculo está situado un punto fijo A, alrededor del cual rota una línea
recta. Cuando esta última forma un diámetro, llamemos el punto del diámetro en el extremo
opuesto de A el punto B. Llamemos pues, más generalmente, el punto de intersección de la línea y
la circunferencia en un momento dado el punto B correspondiente a la posición de la línea recta en
todo momento. El resultado de esta regla es que cambios continuos en la posición de la línea
siempre corresponden a cambios continuos en la posición de B. Por lo tanto, el nombre B se refiere
a algo indeterminado mientras no se dé la posición correspondiente de la línea. Se puede ahora
preguntar: ¿qué punto corresponde a la posición de la línea recta cuando ésta es perpendicular al
diámetro? La respuesta será: el punto A. El nombre B, pues, en este caso tiene el mismo contenido
que el nombre A; pero aun así, no se podría haber usado un solo nombre desde el principio, ya que
la justificación para usar un único nombre sólo se procura con esta respuesta. El mismo punto se
determina de dos maneras:

(1) Directamente a través de la intuición.

(2) Como el punto B cuando la línea es perpendicular al diámetro. 28

B B

B AB

A cada uno de estos modos de determinación les corresponde un nombre distinto. La necesidad de
un símbolo para la identidad de contenido resta, por lo tanto, en lo siguiente: el mismo contenido
puede ser determinado completamente de diferentes maneras; pero que, en un caso particular, el
mismo contenido es en efecto dado por dos modos de determinación es el contenido de un juicio. Antes de
poder hacer este juicio, se deben proporcionar dos nombres distintos correspondientes a los dos

28
(Ed.) Siguiendo a Geach y Black, en Frege (1970), se incluye aquí un diagrama para ayudar al lector.
 Frege Esencial 43

modos de determinación de lo que está siendo determinado. Pero el juicio requiere para su
expresión un símbolo para que la identidad de contenido combine los dos nombres. Se sigue que
nombres distintos para el mismo contenido no siempre son meramente un tema de terminología
trivial, sino que, si están asociados con diferentes modos de determinación, tocan el núcleo del
asunto. En este caso, el juicio sobre la identidad de contenido es, en el sentido kantiano, sintético.
Una razón secundaria para la incorporación de un símbolo de igualdad de contenido es que
ocasionalmente es conveniente introducir una abreviación para una expresión larga. Se debe luego
expresar la identidad de contenido entre la abreviación y la expresión original.

├── (A ≡ B)

por lo tanto, significa: el símbolo A y el símbolo B tienen en mismo contenido conceptual, así que A se puede
reemplazar siempre por B y viceversa.

La función
§9. Supongamos que la circunstancia de que el hidrógeno es más ligero que el dióxido de carbono
se expresa en nuestro lenguaje de fórmulas. Así, en lugar del símbolo para hidrógeno podemos
introducir el símbolo para oxígeno o para nitrógeno. Esto cambia el sentido de tal forma que
‘oxígeno’ o ‘nitrógeno’ participan ahora en las relaciones en las que ‘hidrógeno’ participaba antes.
Si pensamos en la expresión como variable de este modo, se divide en un elemento constante, que
representa la totalidad de las relaciones, y un símbolo que puede concebirse como reemplazable por
otros y que denota el objeto que toma parte en estas relaciones. Llamo al primer componente una
función, el segundo su argumento. Esta distinción no tiene nada que ver con el contenido
conceptual, sino tan sólo con nuestra manera de concebirlo. Aunque, considerado de la manera
indicada, ‘hidrógeno’ era el argumento y ‘ser más ligero que el dióxido de carbono’ la función,
también podemos apreciar el mismo contenido conceptual de tal forma que ‘dióxido de carbono’ se
convierte en el argumento, y ‘ser más pesado que el hidrógeno’, en la función. En este caso, sólo
tenemos que pensar en ‘dióxido de carbono’ como reemplazable por otras ideas como ‘gas de ácido
clorhídrico’ o ‘amoníaco’.

‘la circunstancia de que el dióxido de carbono es más pesado que el hidrógeno’

‘la circunstancia de que el dióxido de carbono es más pesado que el oxígeno’

son la misma función con diferentes argumentos si ‘hidrógeno’ y ‘oxígeno’ son considerados como
argumentos. Por otro lado, son funciones diferentes con el mismo argumento si tomamos ‘dióxido
de carbono’ como el argumento.

Considérese ahora el ejemplo: ‘la circunstancia de que el centro másico del Sistema Solar no tiene
aceleración, si sólo fuerzas internas actúan en el Sistema Solar’. Aquí ‘Sistema Solar’ ocurre en dos
sitios. Por lo tanto podemos tomar esto como una función del argumento ‘Sistema Solar’ de varias
maneras, dependiendo en si pensamos en ‘Sistema Solar’ como reemplazable en su primera
ocurrencia, en la segunda o en las dos (pero en este último caso como reemplazable por el mismo
argumento dos veces). Estas tres funciones son todas distintas. El enunciado que Catón mató a
 Frege Esencial 44

Catón muestra lo mismo. Aquí si pensamos en ‘Catón’ como reemplazable en la primera

ocurrencia, entonces ‘matar a Catón’ es la función. Si pensamos en ‘Catón’ como reemplazable en
su segunda ocurrencia, entonces ‘ser muerto por Catón’ es la función. Finalmente, si pensamos en
‘Catón’ como reemplazable en las dos ocurrencias, entonces ‘matarse a uno mismo’ es la función.

Expresamos ahora la cuestión de manera general:

Si, en una expresión, cuyo contenido no tiene por qué ser afirmable, un símbolo simple o complejo ocurre en uno
o más lugares y lo concebimos como reemplazable en algunas o todas sus ocurrencias por otro símbolo (pero el
mismo símbolo cada vez), entonces llamamos a la parte de la expresión que en esta ocasión parece invariable la
función, y la parte reemplazable su argumento.

En consecuencia, ya que algo puede ocurrir como el argumento y, al mismo tiempo, en lugares en
la función donde no se considera reemplazable, distinguimos el lugar del argumento y los otros
lugares en la función.

Cabe advertir aquí en contra de una ilusión fácilmente generada por el uso del lenguaje coloquial. Si
comparamos los dos enunciados

‘El número 20 es representable como la suma de cuatro cuadrados’

‘Todo número entero positivo es representable como la suma de cuatro cuadrados’

parece posible tomar ‘ser representable como la suma de cuatro cuadrados’ como la función que
tiene como argumento ‘el número 20’ una vez, y ‘todo número entero positivo’ la otra. El error de
esta concepción es aparente al darse cuenta de que ‘el número 20’ y ‘todo número entero positivo’
no son conceptos del mismo rango. Lo que se afirma del número 20 no se puede afirmar en el
mismo sentido de [el concepto] ‘todo número entero positivo’, aunque bien se puede afirmar de
todo número entero positivo en ciertas circunstancias. La expresión ‘todo número entero positivo’,
al contrario de ‘el número 20’, no da origen por sí misma a una idea independiente, sino que sólo
adquiere sentido en el contexto de un enunciado.

Las varias maneras en que el mismo contenido conceptual puede entenderse como una función de
éste o aquél argumento no tienen importancia para nosotros con tal que la función y el argumento
estén completamente determinados. Sin embargo, si el argumento se vuelve indeterminado, como en
el juicio: ‘Se puede tomar el entero positivo que se quiera como el argumento de ‘ser representable
como la suma de cuatro cuadrados’, el enunciado es siempre verdad’, entonces la distinción entre la
función y el argumento adquiere significación con respecto al contenido. También puede ser que, a
la inversa, el argumento esté determinado, pero la función esté indeterminada. En ambos casos, a
través de la oposición entre lo determinado y lo indeterminado o lo más o menos determinado, el todo
 Frege Esencial 45

se divide en función y argumento de acuerdo con su propio contenido y no únicamente de acuerdo

con nuestra concepción de éste.29

Si, en una función, un símbolo que hasta ahora se ha visto como no reemplazable30 se concibe como
reemplazable en algunos o todos los lugares en los que ocurre, entonces, considerado de esta manera, se obtiene
una función con otro argumento además del anterior. Así, surgen funciones de dos o más argumentos. Luego,
por ejemplo, ‘la circunstancia de que el hidrógeno es más ligero que el dióxido de carbono’ puede
entenderse como una función de los dos argumentos ‘el hidrógeno’ y ‘el dióxido de carbono’.

Normalmente, el hablante concibe el sujeto como el argumento principal; lo siguiente más

importante a menudo aparece como el objeto. A través de la elección de formas gramaticales como
activa y pasiva, y palabras como ‘más pesado’ y ‘menos pesado’, ‘dar’ y ‘recibir’, el lenguaje
coloquial es libre de permitir a la parte del enunciado que quiera ser el argumento principal; esta
libertad, sin embargo, está limitada por la escasez de palabras.

29
(Ed.) Es decir, un enunciado con funciones de primer y segundo nivel (con cuantificadores) debe ser
analizado de manera que se refleje tal estructura, la estructura del contenido de tales enunciados no depende
tan solo de nuestra concepción.
30
De igual manera, un símbolo que ya se ha concebido antes como reemplazable [en algunos sitios] se
puede entender como reemplazable en lugares donde antes se consideraba constante.
 Frege Esencial 46

‘Sobre la justificación científica de una conceptografía’ (fragmentos)31

Una y otra vez, en las regiones más abstractas de la ciencia, se echa a faltar un medio para evitar
malentendidos por parte de otros, y los errores también en nuestro propio pensamiento. Ambas
cosas tienen su origen en las imperfecciones del lenguaje, pues tenemos que usar símbolos sensibles
para pensar. Nuestra atención está naturalmente dirigida hacia afuera. La vivacidad de las
impresiones sensoriales sobrepasa a la de las imágenes de la memoria de una manera tan marcada
que, al principio, las impresiones sensoriales determinan casi por sí solas el cauce de nuestras ideas,
como es el caso en los animales. Y difícilmente seríamos capaces de escapar esta dependencia si no
fuera porque el mundo exterior es en cierta manera dependiente de nosotros. Incluso la mayoría de
los animales, por su habilidad de moverse, tienen cierta influencia sobre sus impresiones
sensoriales: pueden escapar de algunas, buscar otras. Pueden hasta tener efectos en las cosas. Ahora
bien, el hombre tiene esta habilidad en un grado mucho más elevado; pero aun así, el cauce de
nuestras ideas no obtendría su completa libertad a partir de esto: estaría todavía sujeto a lo que
nuestra mano pudiera dar forma, a lo que nuestra voz pudiera entonar, sin la gran invención de los
símbolos que hacen presente lo que está ausente, lo invisible, quizás hasta lo imperceptible. No
niego que aun sin símbolos la percepción de algo puede aunar un grupo de imágenes de la memoria;
pero no podríamos profundizar más: una nueva percepción dejaría que estas imágenes se hundieran
en la oscuridad y que otras emergieran. Pero si producimos el símbolo de una idea que una
percepción nos evoca, creamos así un foco firme y nuevo para agrupar las ideas. Entonces,
seleccionamos otra idea de éstas para evocar su símbolo. Así penetramos paso a paso en el mundo
interior de nuestras ideas y, allí, movernos por aquí y por ahí según queramos, usando el reino de lo
sensible mismo para liberarnos de sus restricciones. Los símbolos tienen la misma importancia para
el pensamiento como el descubrir cómo usar el viento para navegar en contra del viento tuvo para
la navegación. Así pues, ¡no menospreciemos los símbolos! Mucho depende de elegirlos bien. Y su
valor no disminuye por el hecho de que, tras larga práctica, no necesitemos producir más símbolos;
no necesitamos hablar en voz alta para poder pensar, pero aun así pensamos en palabras, y si no en
palabras, entonces en símbolos matemáticos u otros.

Además, sin símbolos apenas podríamos elevarnos al pensamiento conceptual. Así, al aplicar el
mismo símbolo a cosas distintas pero parecidas, dejamos, de hecho, de simbolizar la cosa individual,
sino que simbolizamos, más bien, lo que tienen en común: el concepto. Este concepto se obtiene
por primera vez al simbolizarse; ya que es, en sí mismo, imperceptible, y requiere un representante
perceptible para presentársenos.

31
Publicado por primera vez como ‘Über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift’, en
Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 81, (1882), pp.48-56.
 Frege Esencial 47

Esto no agota el mérito de los símbolos; pero puede ser suficiente para demostrar su
indispensabilidad. El lenguaje se muestra deficiente, sin embargo, cuando se trata de proteger el
pensamiento de error. Ni tan sólo satisface el primer requisito que se le debe imponer en este
respecto, a saber: no ser ambiguo. Los casos más peligrosos son aquellos en los que los significados
de las palabras son sólo ligeramente distintos, las variaciones sutiles, aunque no sin importancia. De
los múltiples ejemplos sólo cabe mencionar aquí un fenómeno que se repite frecuentemente: la
misma palabra puede servir para designar un concepto y un objeto particular que cae bajo tal
concepto. Generalmente, no se hace una fuerte distinción entre el concepto y el individuo. ‘El
caballo’ puede denotar una criatura en particular; también puede denotar la especie, como en la
frase: ‘El caballo es un animal herbívoro’. Finalmente, caballo puede denotar un concepto, como en
la frase: ‘Esto es un caballo’. El lenguaje no está regulado por leyes lógicas de tal manera que la
mera observancia gramatical garantice la corrección formal de los movimientos del pensamiento.
Las maneras de expresar las inferencias son tan variadas, tan imprecisas y vagas, que es fácil que se
cuelen presuposiciones inadvertidamente, y que, después, se pasen por alto al enumerar las
condiciones necesarias para la conclusión. Así, la conclusión consigue mayor generalidad de la que
se merece justificadamente. Hasta un escritor tan concienzudo y riguroso como Euclides, a menudo
hace presuposiciones tácitas que no se especifican ni en sus axiomas y postulados ni en las premisas
del teorema en particular. De tal manera que, en la prueba del decimonoveno teorema del libro
primero de Los Elementos (en todo triángulo, el ángulo más grande es el opuesto al lado más grande),
usa tácitamente las siguientes aserciones:

(1) Si el segmento de una línea no es mayor que un segundo segmento, el anterior es igual o
menor que el posterior.
(2) Si un ángulo es de igual medida que un segundo ángulo, el anterior no es mayor que el
posterior.
(3) Si un ángulo es menor que un segundo ángulo, el anterior no es mayor que el posterior.

El lector sólo puede darse cuenta de la omisión de estos enunciados prestando particular atención,
especialmente dado que parecen tan fundamentales como las leyes del pensamiento, que se usan
como esas mismas leyes. Simplemente no existe en el lenguaje un grupo estrictamente definido de
los modos de inferencia, así que, basándose en la forma lingüística, no se puede distinguir entre un
avance sin huecos y una omisión de las conexiones. Se puede hasta decir que lo anterior casi nunca
ocurre en el lenguaje, que va en contra del estilo del lenguaje porque involucraría una verbosidad
insufrible. En el lenguaje, las relaciones lógicas casi siempre están sólo insinuadas, dejadas a la
adivinación, no realmente expresadas.

(…)

De una conceptografía verdadera exigiría lo siguiente: debe de incluir simples modos de expresión
para las relaciones lógicas, que, al estar limitadas a las necesarias, pueden ser dominadas con
facilidad y seguridad. Estas formas deben ser apropiadas para combinarse de la manera más íntima
con un contenido. Además se debe tratar de conseguir una brevedad tal que la bidimensionalidad de
la superficie de escritura se pueda explotar para más perspicuidad. Los símbolos para representar el
contenido son menos esenciales. Pueden ser creados fácilmente según se necesiten, una vez las
formas generales están disponibles. Si el análisis de un concepto en sus componentes fundamentales
no fuera exitoso o no pareciera necesario, serán suficientes símbolos temporales.
 Frege Esencial 48

Sería fácil preocuparse innecesariamente por la viabilidad de todo esto. Alguien podría quejarse de
que es imposible avanzar la ciencia con una conceptografía, pues la invención de esta última
presupone la ultimación de la otra. Justo la misma aparente dificultad surge para el lenguaje. Se
supone que hizo la razón posible, pero ¿cómo podría el hombre crear el lenguaje sin razón? La
investigación de las leyes de la naturaleza utiliza instrumentos físicos, que sólo pueden producirse
con tecnología avanzada, mientras que ésta, a su vez, está basada en el conocimiento de las leyes de
la naturaleza. Este círculo se resuelve en cada caso de la misma forma: un avance en física conduce a
un avance en tecnología, y esto hace posible la construcción de nuevos instrumentos mediante los
cuales la física avanza de nuevo. La aplicación a nuestro caso es obvia.

He intentado, pues, suplementar el lenguaje de fórmulas de la aritmética con símbolos para las
relaciones lógicas para así producir una conceptografía, para empezar sólo para la aritmética, del
tipo presentado como deseable, sin descartar la aplicación de mis símbolos a otros campos. Las
relaciones lógicas son recurrentes por todo, mientras que los símbolos para los contenidos
particulares pueden elegirse para que encajen con la estructura de la conceptografía. Aunque así
sea, una representación perspicua de las formas del pensamiento tiene, en cualquier caso, una
significación que se extiende más allá de las matemáticas. ¡Qué los filósofos, pues, presten algo de
atención al tema!
 Frege Esencial 49

Los Fundamentos de la Aritmética (fragmentos)

Introducción
Cuando preguntamos qué es un número, o qué significa el símbolo 1, normalmente se nos da como
respuesta: pues una cosa. Si, luego, hacemos notar que el enunciado:

‘El número uno es una cosa’

no es una definición, porque tiene el artículo definido en un lado y el indefinido en el otro, o que
sólo asigna el número uno a la clase de cosas, sin decir qué cosa es, entonces muy probablemente
seremos invitados a escoger algo nosotros mismos, lo que queramos, para llamarlo uno. Pero si
todos tuviesen el derecho de entender bajo este nombre lo que quisieran, entonces el mismo
enunciado sobre el uno significaría cosas distintas para personas distintas. Estos enunciados no
tendrían un contenido común. Algunos, quizás, se negarán a responder a la pregunta, señalando que
tampoco es posible decir qué significa la letra a, como se usa en la aritmética; y si dijéramos ‘a
significa un número’, estaríamos expuestos a la misma objeción que la definición ‘uno es una cosa’.
Ahora bien, es perfectamente correcto negarse a responder en el caso de a: a no significa ningún
número determinado, que se pueda especificar, sino que sirve para expresar la generalidad de los
enunciados generales. Si, en a + a – a = a, se pone en lugar de a un número cualquiera, el que se
quiera, pero el mismo por todo, siempre se obtiene una identidad verdadera. Es en este sentido que
se usa la letra a. Con uno, en cambio, la situación es esencialmente distinta. En la identidad 1 + 1 =
2, ¿se puede poner en el lugar de 1 en ambas ocasiones un mismo objeto, digamos, la luna? Más
bien parece que sea lo sea que pongamos en lugar del primer 1, debemos poner algo distinto en
lugar del segundo. ¿Por qué tenemos que hacer aquí lo que hubiera sido incorrecto en el otro caso?
A la aritmética no le basta sólo con a, sino que además ha de usar otras letras (b, c, etc.), para
expresar en general las relaciones entre diferentes números. Por lo tanto, sería natural pensar que
el símbolo 1, si sirviera de una manera similar para conferir generalidad a los enunciados, tampoco
sería suficiente por sí solo. Sin embargo ¿no parece el número 1 un número definido particular, con
propiedades que se pueden especificar, por ejemplo, que se queda intacto cuando se multiplica por
sí mismo? En este sentido, a no tiene propiedades especificables, ya que lo que se pueda afirmar de
a es una propiedad común a todos los números, mientras que 11 = 1 no afirma nada de la luna, ni
del sol, ni del Sáhara, ni del Pico de Tenerife; pues ¿cuál podría ser el sentido de una aserción tal?

Este tipo de preguntas sorprende hasta a los matemáticos, o la mayoría de ellos, sin una respuesta
satisfactoria. Y sin embargo, ¿no es escandaloso que nuestra ciencia sea tan poco clara sobre su
primer y más importante objeto, que además es aparentemente tan simple? Poco cabe esperar que
podamos llegar a decir lo que es el número en general. Cuando un concepto fundamental para una
gran ciencia da lugar a dificultades, es ciertamente una tarea obligatoria investigarlo más
detalladamente hasta que se superen tales dificultades; especialmente dado que apenas podremos
clarificar los números negativos, o las fracciones, o los números complejos, mientras nuestro
entendimiento de los fundamentos de toda la estructura de la aritmética sea aun defectuoso.

Sin duda, muchos pensarán que todo esto no vale la pena. Naturalmente, suponen ellos, este
concepto se trata adecuadamente en los libros de texto elementales, donde el asunto se salda de una
vez por todas. ¡Quién cree poder aprender algo nuevo sobre un tema tan sencillo! Tan libre de toda
dificultad se considera el concepto de número entero positivo que se puede dar a los niños una
explicación que sea tanto científica como exhaustiva; y todos los escolares, sin más reflexión ni
 Frege Esencial 50

conocimiento de lo que otros han pensado, saben todo lo que hay que saber. El primer
prerrequisito para aprender, pues, falta aquí – o sea, el conocimiento de la ignorancia. El resultado
es que aún nos quedamos contentos con las concepciones más burdas, aunque ya desde Herbart32
hay disponible una teoría más acertada. Es triste y descorazonador que los conocimientos ya
adquiridos siempre están amenazados de esta manera, y que tanto trabajo parece haber sido en
vano, porque nos parece que sabemos tanto, que no hace falta asimilar sus frutos. Mi propio
trabajo, lo veo claro, está expuesto a este peligro. La crudeza de esta concepción se me hace
patente cuando el cálculo se describe como pensamiento agregativo, mecánico.33 Dudo que exista
un pensamiento de tal tipo en absoluto. Una imaginación agregativa, incluso, podría aceptarse
antes; pero no tiene significación para el cálculo. El pensamiento es esencialmente el mismo en
todas partes: no es verdad que haya diferentes tipos de leyes del pensamiento para los diferentes
tipos de objetos sobre los que se piensa. La diferencias que existen consisten sólo en la mayor o
menor pureza del pensamiento, en su mayor o menor dependencia de influencias psicológicas y de
ayudas externas, como palabras o numerales, y también, en cierto grado, en la sutileza en la
construcción de los conceptos; pero es precisamente en este respecto que la matemática aspira a no
ser superada por ninguna ciencia, ni tan sólo por la filosofía.

De la presente obra podrá desprenderse que hasta una inferencia como la de n a n + 1, que parece
singular a las matemáticas, esta basada en las leyes generales de la lógica, y que, por tanto, leyes
especiales del pensamiento agregativo no hacen ninguna falta. Ciertamente, es posible operar con
cifras mecánicamente, así como es posible hablar como un loro; pero eso a duras penas se puede
llamar pensamiento. Sólo es posible después de que la notación matemática, por medio del
pensamiento, se ha desarrollado de modo que piense por nosotros, como quien dice. Esto no
demuestra que los números estén formados de una manera peculiarmente mecánica, así como la
arena, digamos, está formada de gránulos de cuarzo. Considero que está en el propio interés de los
matemáticos el combatir cualquier opinión semejante, ya que está encaminada al descrédito de su
principal objeto de estudio, y, junto con éste, el de su ciencia misma. Aun así, entre los
matemáticos encontramos sentencias justamente de este tipo. Por el contrario, nos veremos
forzados a reconocer que el concepto de número tiene una estructura más fina que la mayoría de los
conceptos de las otras ciencias, aunque sea uno de los más simples en aritmética.

Para despejar la ilusión, por lo tanto, de que los números enteros positivos no presentan dificultad
alguna, sino que reina un acuerdo general sobre ellos, he tomado la decisión de criticar algunas de
las concepciones de filósofos y matemáticos sobre las cuestiones que nos conciernen. Se verá lo
pequeño que es su acuerdo, tan pequeño que hasta encontramos unas afirmaciones exactamente
contradiciendo a otras. Por ejemplo, unos dicen que ‘las unidades son idénticas entre sí’, otros que
son diferentes, y ambos ofrecen argumentos que no se pueden rechazar sin más. Mi objetivo con
todo esto es despertar el interés por una investigación más estricta. Al mismo tiempo, este examen
preliminar de las opiniones que otros han defendido debería de preparar el terreno para mi propia
concepción, convenciendo de antemano al lector de que esos otros caminos no llevan al destino, y

32
Obras completas, editadas por Hartenstein, vol. X, parte I: Umriss pädagogischer Vorlesungen, § 252,
n.2: ‘Dos no significa dos cosas, sino duplicar’, etc. [Herbart, como la mayoría de las personas citadas en
las páginas siguientes, fue un filósofo y matemático alemán]
33
K. Fischer: System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre (Sistema de lógica y metafísica o
teoría de la ciencia), 2ª edición, §94.
 Frege Esencial 51

que mi opinión no es sólo una más entre otras muchas igualmente sostenibles; y de esta forma
espero determinar la cuestión definitivamente, al menos el lo esencial.

Es cierto que, en consecuencia, mis argumentos serán más filosóficos de lo que muchos
matemáticos aceptarán, pero cualquier investigación exhaustiva del concepto de número siempre
resultará bastante filosófica. Es una tarea común a la matemática y a la filosofía.

Bien si puede ser que la cooperación entre estas dos ciencias, a pesar de algunos intentos por ambas
partes, no está tan desarrollada como podría desearse y como sería, por cierto, posible, esto es el
efecto, en mi opinión, del predominio de métodos de argumentación psicológicos en filosofía, que
han penetrado hasta en la lógica. La matemática no tiene ninguna simpatía con esta tendencia, y esto
explica fácilmente la aversión que sienten muchos matemáticos por los argumentos filosóficos.
Cuando Stricker34, por ejemplo, llama a nuestra ideas de números fenómenos motores y las hace
dependientes de sensaciones musculares, ningún matemático puede reconocer sus números en todo
esto ni sabe cómo entender tal enunciado. Una aritmética basada en sensaciones musculares
ciertamente seria muy sensitiva, pero resultaría tan vaga como sus fundamentos. No, la aritmética
no tiene nada que ver con las sensaciones. Como tampoco tiene nada que ver con las imágenes
mentales, formadas por las huellas de impresiones sensoriales anteriores. Todas estas formas son
característicamente fluctuantes e indefinidas, contrastando fuertemente con la determinación y
firmeza de los conceptos y objetos matemáticos. Puede ser útil, claro, analizar las ideas y los
cambios en las ideas que ocurren durante el pensamiento matemático; pero que no se figure la
psicología que puede contribuir para nada a la fundamentación de la aritmética. Al matemático
como tal, estas imágenes mentales, con sus orígenes y transformaciones, le son indiferentes.
Stricker mismo afirma que la única idea que asocia con la palabra ‘cien’ es el símbolo 100. Otros
quizás imaginan la letra C o alguna otra cosa. ¿No se sigue de esto, por lo tanto, que estas imágenes
mentales son, en cuanto respecta a lo esencial de nuestro problema, completamente indiferentes y
accidentales – tan accidentales como la tiza y la pizarra, y, ciertamente, que no merecen ser
llamadas ideas del número cien para nada? ¡No se piense nunca que lo esencial del problema se
encuentra en tales ideas! Nunca, pues, se ha de tomar una descripción del origen de una idea por su
definición, o una explicación de las condiciones mentales y físicas para hacernos conscientes de un
enunciado, por una prueba de su verdad, ni tampoco se debe confundir el acto de pensar en un
enunciado con su verdad. Debemos recordar, parece, que un enunciado no cesa de ser verdad
cuando yo dejo de pensar en él, como el sol no deja de existir cuando cierro los ojos. De lo
contrario, al demostrar el teorema de Pitágoras acabaremos por tener en cuenta el contenido de
fósforo de nuestros cerebros; y los astrónomos dudarán en concluir algo sobre el pasado distante,
por miedo a ser objetados: ‘Estás calculando 2· 2=4; pero esta idea tiene una evolución, una
historia. ¿Cómo sabes tú que por aquél entonces este enunciado ya valía? ¿No podrían tener, las
criaturas que existían entonces, el enunciado 2· 2=5, a partir del cual el enunciado 2· 2=4 sólo se
desarrolló más tarde, a través de un proceso de selección natural en la lucha por la existencia? ¿Y
que 2· 2=4 a su vez esté destinado a transformarse de la misma manera en 2· 2=3? ¡Est modus in
rebus, sunt certi denique fines!35 El enfoque histórico, con el objetivo de detectar cómo las cosas
empiezan y de llegar a partir de estos orígenes a un conocimiento de su naturaleza, es, por cierto,
perfectamente legítimo, pero también tiene sus limitaciones. Si todo estuviera en un flujo continuo

34
Studien über association der Vorstellungen (Estudios sobre la asociación de ideas), Vienna 1883.
35
(Ed.) Es decir, ‘Hay una medida en las cosas, hay en suma límites precisos’, que es una máxima de
Horacio.
 Frege Esencial 52

y nada se mantuviera firme, ya no habría ninguna posibilidad de conocer nada sobre el mundo y
todo estaría volcado a la confusión. Algunos suponen, parece, que los conceptos brotarían en las
mentes individuales como hojas en un árbol, y piensan en estudiar su naturaleza estudiando su
nacimiento; intentan definir los conceptos psicológicamente, a partir de la naturaleza de la mente
humana. Pero esta concepción hace que todo se vuelva subjetivo, y si la seguimos hasta el final,
destruye la verdad. Lo que es conocido como la historia de los conceptos es realmente o bien una
historia de nuestro conocimiento de los conceptos o de los significados de las palabras. A menudo
sólo después de un inmenso esfuerzo intelectual, que puede durar siglos enteros, consigue la
humanidad un conocimiento de un concepto en su forma pura, deshaciéndose de envolturas
irrelevantes que lo velaban del ojo de la mente. ¡Qué podemos decirle, pues, a alguien que, en
lugar de proseguir este trabajo donde está todavía incompleto, lo rechaza y se va a la guardería o
evoca los periodos más remotos de la evolución humana, para descubrir allí, como John Stuart Mill,
una aritmética de galleta de jengibre o de guijarros! Sólo nos falta atribuir al sabor de la galleta
algún significado especial para el concepto de número. Un procedimiento así es exactamente lo
opuesto a lo racional, y tan antimatemático como se puede ser. ¡No es de extrañar que los
matemáticos ignoren todo esto! Los conceptos no se muestran en una especial pureza al
aproximarnos a sus supuestos orígenes, sino que todo se ve confuso e indiferenciado, como a través
de la niebla. Es como si alguien que quisiera saber sobre América quisiera ponerse en la posición de
Colón, en el momento en que avistó vagamente, por primera vez, su supuesta India. Claramente,
una comparación como esta no demuestra nada, pero debería, espero, aclarar mi posición. Puede
muy bien ser que en muchos casos la historia de descubrimientos pasados sea un estudio útil, para
preparar investigaciones posteriores, pero no debería pretender sustituir a estas últimas.

En cuanto concierne al matemático, una crítica a tales concepciones hubiera sido casi innecesaria;
pero también quería solventar las cuestiones para los filósofos, dentro de lo posible, así que me he
visto forzado a meterme un poco en la psicología, aunque sólo para repeler su invasión a las
matemáticas.

Además, hasta los libros de matemáticas utilizan expresiones psicológicas. Cuando el autor se siente
obligado a dar una definición que no puede dar, entonces tiende a dar al menos una descripción de
la forma en la que se llega al objeto o concepto en cuestión. Estos casos pueden ser reconocidos
fácilmente por el hecho de que en la exposición que sigue nunca más se vuelve a referir a tales
explicaciones. Para fines didácticos, los métodos introductorios son muy legítimos; lo único es que
deberían de separarse siempre de las definiciones. Los matemáticos también pueden confundir los
argumentos de una demostración con condiciones internas o externas para llevar a cabo la
demostración; un ejemplo delicioso de esto se da en Schröder36, cuando, bajo el título ‘Axioma
Único’ produce lo siguiente: ‘El principio que tengo en mente puede muy bien llamarse el Axioma
de Estabilidad Simbólica. Nos garantiza que a lo largo de todos nuestros argumentos y deducciones
los símbolos permanecen constantes en nuestra memoria – o preferiblemente en papel’, etc.

No menos esencial para las matemáticas que el rechazo de toda asistencia de la dirección de la
psicología, es el reconocimiento de su estrecha conexión con la lógica. Estoy de acuerdo, incluso,
con quienes mantienen que es imposible efectuar una separación estricta entre las dos. Al menos
todo el mundo debe admitir que cualquier investigación sobre el carácter concluyente de una
prueba o de la justificación de una definición ha de ser lógica. Pero tales preguntas no se pueden

36
Lehrbuch der Arithmetik und Algebra (Manual de aritmética y álgebra)
 Frege Esencial 53

eliminar de las matemáticas, pues es sólo al responderlas que podemos alcanzar la seguridad
necesaria.

En esta dirección, ciertamente, también voy más allá de lo normal. La mayoría de los matemáticos
se contentan, en cuestiones de este tipo, cuando han satisfecho sus necesidades inmediatas. Si una
definición resulta tratable cuando se usa en demostraciones, si no se encuentran contradicciones, y
por medio de ella se descubren conexiones entre cosas aparentemente dispares, resultando en un
avance en el orden y la regularidad, lo normal es considerar la definición como establecida
suficientemente, y se hacen pocas preguntas sobre su justificación lógica. Este proceder al menos
tiene la ventaja de que hace más difícil perder el hilo. Estoy de acuerdo también en que las
definiciones deben demostrar su valor por su fertilidad: ha de ser posible usarlas para hacer
demostraciones. Pero aún así, se ha de tener en cuenta que el rigor de la demostración sigue siendo
una ilusión, aunque no falte ninguna conexión en la cadena de deducciones, mientras las
definiciones estén justificadas sólo posteriormente, porque no hemos topado con ninguna
contradicción. A través de estos métodos, en definitiva, nunca conseguiremos más que una certeza
empírica, y realmente debemos confrontar la posibilidad de encontrar aún una contradicción que
derrumbe todo el edificio. Por esta razón me he sentido obligado a retroceder hasta los
fundamentos lógicos generales de nuestra ciencia más lejos de lo que la mayoría de los matemáticos
quizás considerarán necesario.

En la investigación que sigue, me he mantenido en los siguientes principios fundamentales:

Siempre separar estrictamente lo psicológico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo.

Preguntar siempre por el significado de una palabra en el contexto del enunciado, nunca de
una palabra aislada.
Nunca perder de vista la distinción entre concepto y objeto.

Para acatar el primer principio, he usado la palabra ‘idea’ siempre en el sentido psicológico, y he
distinguido las ideas de los conceptos y de los objetos. Si el segundo principio no se observa, uno se
ve casi forzado a tomar imágenes mentales o actos de la mente individual como los significados de
las palabras, con lo cual se ofende también el primer principio. Respecto al tercer punto, es
meramente una ilusión suponer que un concepto pueda hacerse un objeto sin alterarlo. De todo
esto se sigue que una teoría formalista37 ampliamente difundida de las fracciones, los números
negativos, etc., es insostenible. Mi manera de perfeccionar esta teoría sólo puede indicarse en la
presente obra. Con números de todos estos tipos, así como con los números enteros positivos, es
cuestión de fijar el sentido de una identidad.

Mis resultados obtendrán, pienso, al menos en lo fundamental, la aprobación de aquellos

matemáticos que se preocupen de escuchar mis argumentos. Me parece que ya están en el aire, y
puede ser que cada uno de ellos por separado, o al menos algo muy parecido, ya se haya propuesto;
aunque, quizás, presentados como lo están aquí en conexión los unos con los otros, aún sean
novedosos. A menudo me ha sorprendido la manera en la que autores que en un punto se acercan
mucho a mi opinión, en otros se alejan de ella radicalmente.

37
(Ed.) El formalista cree que el objeto de estudio de la matemática son los símbolos y expresiones
matemáticas mismas, no sus referentes.
 Frege Esencial 54

La recepción por parte de los filósofos será variada, dependiendo de la posición de cada filósofo;
pero seguramente, la peor vendrá de aquellos empiricistas que reconocen sólo la inducción como el
único modo de inferencia original (e incluso ésta no como modo de inferencia sino como uno de
habituación). Quizás alguno aprovechará esta oportunidad para reexaminar los principios de su
teoría del conocimiento. A aquellos a quienes mis definiciones les parezcan antinaturales, les
recordaría que de lo que aquí se trata no es de si son naturales, sino de si llegan al núcleo de la
cuestión y son irreprochables lógicamente.

Me permito tener la esperanza de que incluso entre los filósofos, si consideran lo que he escrito sin
prejuicio, encontrarán aquí algo de provecho para ellos.

§1. La matemática en tiempos recientes ha mostrado una tendencia hacia el rigor en

las pruebas y mayor precisión en las definiciones de los conceptos.
Tras abandonar durante un tiempo los viejos estándares de rigor euclidianos, la matemática ahora
vuelve a ellos, y hasta hace esfuerzos por superarlos. En la aritmética, quizás a causa del origen
indio de muchos de sus métodos y conceptos, ha sido costumbre argumentar aun menos
precisamente que en geometría, que fue desarrollada mayoritariamente por los griegos. El
descubrimiento del análisis superior solo sirvió para acentuar esta tendencia; pues, en el camino de
cualquier tratamiento riguroso de estos temas, se interponían dificultades casi insuperables,
mientras que al mismo tiempo parecía probable que la recompensa de los esfuerzos en superarlas
fuera poca. Sin embargo, desarrollos posteriores han mostrado cada vez más claramente que en
matemáticas una convicción meramente moral, basada en un cuerpo de aplicaciones exitosas, no es
satisfactoria. Ahora se exige una prueba para muchas cosas que antes pasaban como autoevidentes.
Así, los límites de la validez del enunciado se han establecido por primera vez. Los conceptos de
función, de continuidad, de límite y de infinito han demostrado que necesitaban definiciones más
precisas. Los números negativos e irracionales, que hace mucho que forman parte la ciencia, se han
sometido a un escrutinio de sus credenciales, para quedar justificados.

En todas partes se puede constatar el afán por demostrar rigurosamente, limitar de una manera
precisa la extensión de la validez, y para conseguir tal cosa, definir estrictamente los conceptos.

§2. Este examen crítico debe, en último término, extenderse hasta el concepto de
número. El objetivo de la prueba.
Prosiguiendo por este camino, nos encontraremos al final con el concepto de número y con los
enunciados más simples válidos para los números enteros positivos, que forman los fundamentos de
toda la aritmética. Evidentemente, formulas numéricas como 7+5=12 y leyes como la ley
asociativa de la adición están tan ampliamente establecidas por sus múltiples aplicaciones cotidianas,
que puede parecer ridículo intentar crear discusión sobre ellas, exigiendo su demostración. Pero es
parte de la naturaleza de la matemática el preferir siempre una demostración, allí donde sea posible,
a cualquier confirmación por inducción. Euclides da demostraciones de muchas cosas que
cualquiera le hubiera concedido sin más. Y fue cuando no estuvimos satisfechos ni siquiera con el
rigor euclídeo que nos vimos llevados a las investigaciones iniciadas por el axioma de las paralelas.

Así pues, esta tendencia a favor de todo el rigor posible ya ha superado en muchos sentidos la
exigencia impuesta originalmente, y ha crecido continuamente en alcance y urgencia.
 Frege Esencial 55

El objetivo de la demostración, de hecho, no es meramente situar la verdad de un enunciado más

allá de la duda, sino también ofrecernos un entendimiento de la dependencia de las verdades en sí.
Tras habernos convencido de que una roca es inmovible, tras tratar de moverla sin éxito, siempre
queda la otra pregunta: ¿Qué es lo que la sujeta tan firmemente? Cuanto más lejos llevamos nuestra
investigación, menos verdades primitivas hay a las que reducimos todo; y esta simplificación es en sí
misma un objetivo que merece la pena. Pero puede ser incluso que se confirme otra esperanza, si,
examinando los casos más simples, pudiéramos aclarar lo que se ha hecho por instinto, y extraer de
tales procedimientos lo universalmente válido en ellos, y llegar así al método general para formar
conceptos y establecer principios que serían también aplicables a casos más complicados.

§3. Motivaciones filosóficas de una investigación como esta: las controversias sobre
si las leyes de los números son analíticas o sintéticas, a priori o a posteriori. El sentido
de tales expresiones.
He sido incitado a estas investigaciones también por motivaciones filosóficas. Las respuestas a las
preguntas sobre la naturaleza a priori o a posteriori, sintética o analítica, de las verdades aritméticas se
han de encontrar en esta dirección. Pues aunque los conceptos en cuestión pertenecen a la filosofía,
creo, no obstante, que estos temas no se pueden decidir sin la ayuda de las matemáticas.
Claramente, esto depende del sentido en que entendamos estas preguntas.

No es infrecuente que ocurra que, primero, se descubra el contenido de un enunciado, y sólo

después se dé una demostración rigurosa, de una manera diferente y más difícil, y por medio de esta
demostración se determinen más precisamente las condiciones de la validez del enunciado. En
general, por tanto, la pregunta de cómo hemos llegado al contenido de un enunciado se debe
mantener separada de la pregunta sobre la justificación de nuestra afirmación.

Estas distinciones entre a priori y a posteriori, sintético y analítico no conciernen, según lo

entiendo,38 el contenido del juicio sino la justificación del juzgar. Allí donde no hay una tal
justificación, la posibilidad de trazar la distinción también desaparece. Así pues, un error a priori es
un sinsentido igual que un concepto azul. Cuando un enunciado se dice que es a posteriori o analítico
en mi sentido, no se está haciendo un juicio sobre las condiciones psicológicas, fisiológicas, y físicas
que han hecho posible formar el contenido del enunciado en nuestra consciencia, como tampoco es
un juicio sobre la manera en que alguien otro ha llegado, quizás erróneamente, a creer que el
enunciado es verdadero, sino más bien es un juicio sobre la razón última sobre la que resta la
justificación para tenerlo por verdadero.

Esto significa que la cuestión se separa del campo de la psicología y se asigna al de la matemática, si
se trata de una verdad matemática. Ahora se trata, de hecho, de encontrar la prueba y seguirla hasta
las verdades primitivas. Si, al llevar a cabo este proceso, se llega sólo a leyes lógicas generales y a
definiciones, entonces la verdad es analítica, teniendo en cuenta que también se deben considerar
los enunciados en los que se basa la admisibilidad de las definiciones. Sin embargo, si es imposible
dar la prueba sin usar verdades que no son de naturaleza lógica general, sino que pertenecen a la
esfera de alguna ciencia especial, entonces el enunciado es un enunciado sintético. Para que una
verdad sea a posteriori ha de ser imposible construir su prueba sin apelar a hechos, es decir, a
verdades indemostrables y no universales, ya que contienen aserciones sobre objetos particulares.

38
Con esto no quiero asignar, claramente, un nuevo sentido a estos términos, sino sólo exponer con
precisión lo que autores anteriores han querido decir, Kant en particular.
 Frege Esencial 56

Pero si, por el contrario, su prueba puede derivarse exclusivamente de leyes generales, que a su vez
no requieren ni admiten demostración, entonces la verdad es a priori.39

§4. La tarea en este libro

A partir de las preguntas filosóficas llegamos a la misma exigencia que había surgido
independientemente en el ámbito matemático: que los principios fundamentales de la aritmética
deben de ser demostrados, siempre que sea posible, de la manera más rigurosa posible; pues sólo si
se elimina todo hueco de la cadena deductiva con el mayor cuidado, podremos decir con certeza en
qué verdades primitivas se basa la prueba; y sólo al conocer éstas, seremos capaces de responder a
nuestras preguntas originales.

Si se intenta cumplir con esta exigencia, muy pronto llegamos a enunciados que no pueden ser
demostrados mientras no tengamos éxito descomponiendo los conceptos que en ellos aparecen en
conceptos más simples, o reduciéndolos a algo de mayor generalidad. El concepto de número es en
este caso el que tiene que ser definido o ser reconocido como indefinible. Esta es la tarea de este
libro.40 La decisión sobre la naturaleza de las leyes de la aritmética dependerá del resultado de esta
tarea.

(…)

I: Opiniones de algunos autores sobre la naturaleza de los enunciados aritméticos

(…)

¿Son las leyes de la aritmética sintéticas a priori o analíticas?

§12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Intuición interna como la base de

conocimiento
Si ahora introducimos la otra oposición entre analítico y sintético,41 resultan cuatro combinaciones
posibles, de las cuales, sin embargo, una puede eliminarse inmediatamente, a saber:

analítico a posteriori

Para aquellos que han decidido, como Mill, por lo a posteriori, no queda opción segunda, así que
quedan tan sólo dos alternativas por examinar:

39
Si aceptamos la existencia de verdades generales, también debemos admitir la existencia de tales leyes
primitivas, ya que nada de sigue de meros hechos individuales, a menos que sea por medio de una ley. La
inducción misma de basa en el enunciado general de que el método inductivo puede establecer la verdad de
una ley, o al menos cierta probabilidad de ésta. Si negamos esto, la inducción se convierte en nada más que
un fenómeno psicológico, un procedimiento que induce a los hombres a creer en la verdad de un enunciado,
sin que esta creencia pueda ser justificada por ello de ninguna manera.
40
En lo que sigue, pues, a no ser que se especifique lo contrario, los únicos números tratados son los
números enteros positivos, los que responden a la pregunta: ¿cuántos?
41
(Ed.) En las secciones que van de §5-§11, Frege ha considerado argumentos para la a prioricidad de la
aritmética y ha criticado duramente la filosofía de las matemáticas empiricista de J. S. Mill, que proclamó
que las verdades aritméticas son a posteriori.
 Frege Esencial 57

sintético a priori

analítico.

Kant se decide por la primera. En tal caso, no queda alternativa más que apelar a una intuición pura
como la base última de tales juicios, aunque sea difícil decir si la intuición es espacial o temporal, o
de qué otro tipo puede ser. Baumann42 esta de acuerdo con Kant, aunque por diferentes razones.
Lipschitz43, también, opina que los enunciados que afirman que el número es independiente del
método de numeración y que se cumplen la conmutatividad y la asociatividad de los sumandos se
derivan de la intuición interna. Hankel44 basa su teoría de los números reales en tres enunciados
fundamentales, a los que otorga el carácter de nociones comunes: ‘Una vez expuestas son
perfectamente autoevidentes; son válidas para magnitudes en todos los ámbitos, una vez dada la
intuición pura de magnitud; y pueden, sin perder su carácter, ser transformadas en definiciones, al
decir: la adición de magnitudes se entenderá como una operación que satisface tales enunciados’.
En la última afirmación existe un punto oscuro. La definición quizás puede ser construida, pero no
puede ser un substituto de los principios fundamentales, pues al querer aplicar la definición, surgiría
la pregunta: ¿Son los números magnitudes, y es lo que normalmente llamamos adición de números
adición en el sentido de esta definición? Y para responderla, necesitaríamos conocer ya los
principios sobre los números. Además, la expresión ‘intuición pura de la magnitud’ nos llama la
atención. Si consideramos todas las cosas distintas que se llaman magnitudes: números, longitudes,
áreas, volúmenes, ángulos, curvaturas, masas, velocidades, fuerzas, intensidades de luz, corrientes
galvánicas, etc., podemos muy bien comprender cómo todas se pueden subordinar a un concepto de
magnitud; pero la expresión ‘intuición de magnitud’, y todavía peor ‘intuición pura de magnitud’,
no puede ser admitida como adecuada. No puedo admitir siquiera una intuición de 100.000, mucho
menos de número en general o de la magnitud en general. Es demasiado fácil invocar una intuición
interna, cuando no se puede producir ninguna otra base del conocimiento. Pero, con todo, no
deberíamos perder de vista el sentido de la palabra ‘intuición’.

Kant la define en la Lógica (ed. de Hartenstein, Vol. III, p.88) como sigue:

‘La intuición es una representación individual (repraesentatio singularis), un concepto es una

representación general (repraesentatio per notas communes) o una representación reflejada
(repraesentatio discursiva).’

No hay aquí mención alguna de la conexión con la sensibilidad; sin embargo, está incluida en la
noción de intuición en la estética trascendental, y sin ella la intuición no puede servir como
principio de nuestro conocimiento para los juicios sintéticos a priori. En la Crítica de la Razón Pura
(ed. De Hartenstein, Vol. III, p. 55) se lee:

42
Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik (Las teorías del tiempo, el espacio y la matemática), Berlin,
1868, Vol. II, p.669.
43
Lehrbuch der Análisis (Manual de análisis), Vol. I, p.1.
44
Theorie der completen Zahlensysteme (Teoría de los sistemas de números complejos), pp. 54-55.
 Frege Esencial 58

‘Es por medio de la sensibilidad, por lo tanto, que los objetos nos vienen dados, y ella sola nos
proporciona intuiciones’.

Por consiguiente, el sentido de esta palabra es distinto del que tiene en la estética trascendental. En
el sentido lógico, quizás podremos llamar a 100.000 una intuición, pues de todas maneras no es un
concepto. Pero una intuición en este sentido no puede servir como fundamento de nuestro
conocimiento de las leyes de la aritmética.

§13. La distinción entre la aritmética y la geometría

En general, haremos bien en no sobreestimar el grado en el que la aritmética se parece a la
geometría. Ya he citado una advertencia en este sentido de Leibniz.45 Un punto geométrico,
considerado por sí mismo, no puede distinguirse de cualquier otro punto; lo mismo es aplicable a
rectas y planos. Sólo cuando varios puntos, rectas o planos, se aprehenden juntos en una misma
intuición podemos distinguirlos. En geometría, por lo tanto, se explica que enunciados generales
sean derivados de la intuición, pues los puntos, rectas o planos que intuimos no son realmente
particulares, lo cual les permite ser los representantes de la totalidad de su especie. Pero con los
números es distinto: cada número tiene sus propias peculiaridades. El grado en que un número
particular puede representar a todos los demás sin explicar todas sus particularidades no se puede
decidir generalmente por adelantado.

§14. Comparación entre las verdades según el dominio sobre el que rigen
Si comparamos las diversas verdades según el dominio sobre el que rigen, la comparación una vez
más hace poco plausible el supuesto carácter empírico y sintético de las leyes aritméticas.

Los enunciados empíricos son ciertos de la realidad física o psicológica, las verdades geométricas
rigen todo lo que es espacialmente intuitivo, ya sea realidad o el producto de nuestra imaginación.
Las visiones más extremas de delirio, las invenciones más atrevidas de leyendas y poetas, donde los
animales hablan y las estrellas no se mueven, donde los las piedras se vuelven hombres y los
hombres, árboles, donde se nos enseña cómo se puede uno sacar de un pantano tirando de su propia
peluca – todo esto está sujeto a los axiomas de la geometría, en tanto que puede intuirse. De éstos,
sólo el pensamiento conceptual puede de alguna manera liberarse, al asumir, por ejemplo, un
espacio de cuatro dimensiones o curvatura positiva. Estudiar tales concepciones no es inútil para
nada; pero es dejar el ámbito de la intuición del todo atrás. Si hacemos uso de la intuición incluso
aquí, como una ayuda, es aún la misma vieja intuición del espacio euclidiano, que es el único con
una estructura que podemos intuir. Lo único es que entonces la intuición no se toma por lo que es,
sino como simbólico de algo distinto; por ejemplo, llamamos recto o plano a lo que en realidad
intuimos como curvado. Para efectos del pensamiento conceptual siempre podemos asumir lo
contrario de uno u otro de los axiomas de la geometría, sin que entrar en contradicciones con uno
mismo, al proceder en las deducciones a partir de tales asunciones contrarias a la intuición. Esta
posibilidad muestra que los axiomas de la geometría son independientes entre sí y de las leyes
primitivas de la lógica, y consecuentemente son sintéticos. ¿Puede decirse lo mismo de las verdades
fundamentales de la ciencia de los números? ¿No entra todo en confusión si se quiere negar uno de
éstos? ¿Sería posible hasta pensar? ¿No es más profunda la base de la aritmética que la de cualquiera
de las ciencias empíricas, incluso que la de la geomería? Las leyes de la aritmética rigen todo lo

45
(Ed.) En §10 hay una cita de Leibniz, donde expone las diferencias entre figuras y números que frege
explica a continuación (Baumann, Op. Cit., Vol. II, p.39.).
 Frege Esencial 59

numerable. Este es el dominio más amplio de todos, pues a él pertenece no sólo real, no sólo lo
intuible, sino también todo lo pensable. ¿No deberían de estar, pues, las leyes de los números
íntimamente conectados con las del pensamiento?

(…)

II. Opiniones de algunos autores sobre el concepto de número

(…)

¿Es el número una propiedad de las cosas externas?

§21. Opiniones de M. Cantor y E. Schröder

¡Tratemos por lo menos de asignar al número su lugar entre nuestros conceptos! En el lenguaje,
los números aparecen normalmente en forma de adjetivos y en relación atributiva, de la misma
manera que las palabras duro, difícil, rojo, que se refieren a propiedades externas de las cosas. Es
natural preguntar si debemos pensar en los números individuales como propiedades también, y si,
consecuentemente, el concepto de número puede ser clasificado con, digamos, el de color.

Esto parece ser la opinión de M. Cantor,46 cuando llama a las matemáticas una ciencia empírica en
tanto que se inicia con la consideración de los objetos en el mundo exterior. En su opinión, los
números se originan sólo por abstracción de objetos.

Según Schröder47 el número está copiado de la realidad, está derivado de ella por un proceso de
representación de las unidades mediante unos. Esto es denominado por él la abstracción del
número. En esta representación, las unidades son representadas sólo en cuanto a su frecuencia, se
prescinde de todas las demás propiedades de las cosas, como su color o su forma. Frecuencia es aquí
sólo otro nombre para número. Así pues, Schröder pone la frecuencia o el número, al mismo nivel
que el color o la forma, considerándola una propiedad de las cosas.

§22. En contra de ellos, Baumann sostiene: las cosas externas no presentan unidad
rigurosa alguna. El número depende, parece, de nuestro punto de vista.
Baumann rechaza la idea de que los números son conceptos extraídos de las cosas externas: “La
razón es que las cosas externas no se nos presentan con unidades rigurosas; se nos presentan con
grupos aislados o puntos sensibles, pero somos libres de tratar a cada uno de estos a su vez como
una multiplicidad”. Y es cierto que, mientras que no estoy en posición de cambiar en lo más
mínimo el color o la dureza de una cosa sólo con concebirla diferentemente, puedo pensar en la
Ilíada como un poema, o como 24 cantos, o como un gran número de versos. ¿Acaso no se dice en
sentidos completamente distintos de un árbol que tiene 1000 hojas y que tiene hojas verdes? El
color verde lo atribuimos a cada hoja, pero no así el número 1000. Si llamamos a todas las hojas de
un árbol su follaje, entonces su follaje es verde también, pero no es 1000. ¿A qué corresponde
realmente pues la propiedad 1000? Casi parece que no corresponde ni a ninguna hoja individual ni a
la totalidad de ellas; puede ser que no corresponda para nada a las cosas del mundo exterior. Si le

46
Grundzüge einer Elementarmathematik (Caracteres esenciales de una matemática elemental), p.2, §4.
Análogamente, Lipschitz: Lehrbuch der Análisis (Manual de análisis), Bonn, 1877, p.1.
47
Lehrbuch der Arithmetik und Algebra (Manual de aritmética y álgebra), Leipzig, 1873, pp.6, 10 y 11.
 Frege Esencial 60

doy a alguien una piedra diciendo: determina el peso de esto, con ello le he dado el objeto preciso
de su investigación. Pero si le entrego una pila de cartas con estas palabras: Encuentra el número de
esto, esto no determina si quiero saber el número de cartas, o el de barajas completas, o quizás el
de puntos en el juego de skat.48 Por haberle entregado la pila de cartas todavía no le dado
completamente el objeto que debe investigar; debo añadir otra palabra – cartas, o barajas, o puntos.
Tampoco podemos decir que en este caso los diferentes números existen en la misma cosa a la vez,
como diferentes colores. Puedo señalar a un trozo de un color individual sin decir una palabra, pero
no puedo señalar a los números individuales de la misma manera. Si puedo llamar, con igual
derecho, al mismo objeto rojo y verde, esto significa que este objeto no es lo que realmente tiene el
color verde. Para eso debemos encontrar una superficie que es únicamente verde. De igual manera,
un objeto al que puedo asignar diferentes números con igual derecho no es realmente el portador
del número.

Así pues, una diferencia esencial entre color y número es que un color como el azul se atribuye a
una superficie independientemente de nuestra voluntad. Es la capacidad de reflejar determinados
rayos de luz y de absorber otros en mayor o menor medida. Y nuestro modo de considerarlo no
puede cambiar esto en absoluto. El número 1, por otro lado, o 100 o cualquier otro número, no
puede atribuirse a la pila de cartas en sí misma, sino, como mucho, con respecto a nuestra manera
elegida de consideración, e incluso entonces, no se puede simplemente asignarle el número como
un predicado. Lo que decidimos llamar a la baraja completa es obviamente una decisión arbitraria,
en la que la pila de cartas no tiene nada que decir. Pero cuando examinamos la pila a la luz de esta
decisión descubriremos quizás que podemos llamarla dos barajas completas. Alguien que no supiera
lo que llamamos una baraja completa seguramente descubriría en la pila cualquier otro número, en
vez de justamente el dos.

§23. La opinión de Mill, según la cual el número es una propiedad de un agregado de

cosas, es insostenible.
A la pregunta: ¿A qué le corresponde el número como propiedad? Mill49 responde de la siguiente
manera:

“El nombre de un número connota una propiedad que pertenece al agregado de cosas que
designamos con ese nombre; y esa propiedad es la manera característica del agregado de estar
compuesto de partes y de poder ser descompuesto en ellas.”

Aquí, en primer lugar, el artículo definido en la expresión “la manera característica” es un error; ya
que hay muy diversos modos de descomponer un agregado, y no se puede decir de uno de ellos que
sea el característico. Por ejemplo, un haz de paja puede ser descompuesto en partes cortando todas
las briznas por la mitad, o separándolo en briznas una a una, o dividiéndolo en dos haces. Además,
¿está compuesto de igual manera un montón de cien granos de arena que un haz de 100 briznas de
paja? Y aún así tenemos el mismo número. El numeral ‘uno’, en la expresión ‘una brizna de paja’,
no expresa, no obstante, la manera en la que la brizna está compuesta de células o moléculas.
Todavía más dificultades presenta el número 0. Por lo demás, ¿es necesario que las briznas formen
algún tipo de haz para poder ser contadas? ¿Debemos literalmente concentrar en una reunión todos
los ciegos del Imperio Alemán antes de poder dar un sentido a la expresión ‘el número de ciegos

48
(Ed.) El skat es un juego de cartas alemán, el juego nacional de Alemania, de hecho.
49
System of Logic (Sistema de lógica), Libro III, cap. xxiv, §5, (Traducción al alemán por J. Schiel).
 Frege Esencial 61

del Imperio Alemán’? ¿No son mil granos de trigo, una vez han sido sembrados, ya mil granos de
trigo? ¿Existen tales cosas como los agregados de pruebas de un teorema, o agregados de hechos? Y
aún así, éstos también se pueden contar. Tampoco cambia nada si los hechos son simultáneos o
están separados por milenios.

§24. Gran alcance de la aplicabilidad del número. Mill. Locke. La figura metafísica
incorpórea de Leibniz. Si el número fuera algo sensible, no podría ser atribuido a lo
no sensible.
Esto nos lleva a otra razón para no equiparar el número con el color y la solidez: es aplicable a un
dominio mucho más amplio.

Mill50 mantiene que la verdad de que todo lo compuesto de partes está compuesto de las partes de
esas partes, es verdadera de fenómenos naturales de toda clase, pues todos pueden ser contados.
Pero ¿no pueden contarse muchas más cosas todavía? Locke51 dice: “El número se aplica a hombres,
ángeles, acciones, pensamientos – todo aquello que existe o puede ser imaginado”. Leibniz52
rechaza la opinión de los escolásticos según la cual el número no es aplicable a cosas inmateriales, y
llama al número un tipo de figura inmaterial, que resulta de la unión de cosas de toda clase , por
ejemplo de Dios, un ángel, un hombre y el movimiento, que juntos son cuatro. Por esta razón
mantiene que el número es de una universalidad suprema y que pertenece a la metafísica. En otro
pasaje53 dice: “Algunas cosas no pueden ser pesadas, pues no tienen fuerza ni poder; algunas cosas
no pueden ser medidas, a causa de no tener partes; pero no hay nada que no pueda ser contado. Así
el número es, en cierto modo, la figura metafísica.”

Sería ciertamente asombroso si una propiedad abstraída de las cosas externas pudiera ser transferida
sin cambio de sentido alguno, a eventos, a ideas y a conceptos. Sería como si se quisiera hablar de
un evento fusible, o una idea azul, o un concepto salado o un juicio rígido.

No tiene ningún sentido que lo que es por naturaleza sensible ocurra en lo que es no sensible.
Cuando vemos una superficie azul, tenemos una impresión peculiar, que corresponde con la palabra
‘azul’, y reconocemos esta impresión de nuevo, al ver otra superficie azul. Para poder decir que al
contemplar un triángulo hay, del mismo modo, aquí algo sensible que corresponde con la palabra
‘tres’, tendríamos que reencontrar lo mismo también en tres conceptos; así que algo no sensible
contendría algo sensible. Ciertamente, se puede conceder que una clase de impresión sensible
corresponde con la palabra ‘triangular’, pero entonces la palabra debe tomarse como un todo. El
tres en ella no se ve directamente; más bien vemos algo sobre lo que conectar una actividad
intelectual, la cual, a su vez, nos lleva a un juicio en el cual en número tres ocurre. ¿Cómo
percibimos, por ejemplo, el número de figuras del silogismo que da Aristóteles? ¿Es acaso con
nuestros ojos? Lo que vemos son como mucho ciertos signos para las figuras silogísticas, no las
figuras mismas. ¿Cómo vamos a ver su número si ellas mismas permaneces invisibles? Sin embargo,
puede decirse quizás que es suficiente con ver los signos; su número es el mismo que el número de
las figuras del silogismo. Pero entonces, ¿cómo sabemos tal cosa? Para eso, debemos de haber
determinado del número de figuras por otros medios. ¿O es el enunciado ‘El número de figuras del

50
Op. cit., Libro III, cap. xxiv, §5.
51
Baumann, op. cit., Vol. I, p.409.
52
Baumann, op. cit., Vol. II, pp.2-3.
53
Baumann, op. cit., Vol. II, p.56.
 Frege Esencial 62

silogismo es cuatro’ sólo otra manera de expresar el enunciado ‘El número de signos de las figuras
del silogismo es cuatro’? Claramente, no es así. No hay que decir nada de los signos; nadie quiere
saber nada sobre ellos, excepto si su propiedad refleja directamente alguna propiedad de lo que
designan. Además, lo mismo puede tener varios signos distintos sin error lógico, así que ni tan sólo
es necesario que el número de signos coincida con el número de cosas designadas.

(…)

¿Es el número algo subjetivo?

§26. La descripción que da Lipschitz de la formación del número no es

completamente adecuada y no puede reemplazar una definición conceptual. El
número no es un objeto de la psicología, sino algo objetivo.
Este razonamiento puede llevarnos fácilmente a la conclusión de que el número es algo subjetivo.
Parece como si la manera en la que el número origina en nosotros apuntara a la clave de su esencia.
La cuestión se convertiría pues en una investigación psicológica. En este sentido, Lipschitz 54 escribe:
“Cualquiera que se proponga obtener una visión de conjunto de ciertas cosas empezará con una cosa
particular y procederá añadiendo siempre otra cosa a las anteriores”. Esto parece que describe
mucho mejor la manera como llegamos a una visión de una constelación que no la formación de
números. La intención de obtener una visión de conjunto no es esencial; ya que raramente se
mantendría que un rebaño se hace más visible en conjunto cuando se llega a saber cuántas cabezas
contiene.

Una descripción de este tipo de los procesos internos que preceden a la formación de un juicio
sobre números, aunque fuera adecuada, nunca puede reemplazar a una verdadera definición
conceptual. Nunca podría ser aducida en una demostración de un enunciado aritmético; no nos da
conocimiento de ninguna propiedad de los números. Pues un número no es más un producto
psicológico o un producto de un proceso mental que, digamos, lo es el Mar del Norte. La
objetividad del Mar del Norte no se ve afectada por el hecho de que sea una cuestión de nuestro
arbitrio qué parte de toda el agua de la superficie de la tierra separemos y decidamos llamar ‘Mar
del Norte’. Esto no es razón para decidir investigar este mar con métodos psicológicos. De la
misma manera, también el número es algo objetivo. Si decimos ‘El Mar del Norte es 10.000 millas
cuadradas en extensión’, ni con ‘Mar del Norte’ ni con ‘10.000’ nos referimos a un estado o un
proceso en nuestro interior, sino que afirmamos algo totalmente objetivo, que es independiente de
nuestras ideas y cosas por el estilo. Si se diera el caso de que, en otra ocasión, quisiéramos delimitar
el Mar de Norte de manera distinta, o quisiéramos entender algo diferente con ‘10.000’, no sería
falso el mismo contenido que había sido verdadero; lo que deberíamos decir quizás es que un
contenido falso habría tomado el lugar de uno verdadero, sin que esto suprima en absoluto la
verdad de su predecesor.

El botánico quiere expresar algo tan factual cuando da los números de los pétalos de una flor como
cuando da su color. Lo uno depende tan poco de nuestro arbitrio como lo otro. Así que existe
cierta similitud entre número y color; ésta no consiste, sin embargo, en que ambos sean
sensiblemente observables en las cosas externas, sino en que los dos son objetivos.

54
Lipschitz, op. cit., p.1; supongo que Lipschitz piensa en un proceso mental.
 Frege Esencial 63

Distingo lo objetivo de lo que es palpable, espacial o real. El eje de la Tierra es objetivo, también lo
es el centro de masas del sistema solar, pero no los llamaría reales, como lo es la Tierra misma. A
menudo se habla del ecuador como una línea imaginaria; pero sería un error llamarla una línea
ficticia; no ha nacido en el pensamiento, no es el resultado de un proceso mental, pero sólo es
aprehendido, conocido por el pensamiento. Si ser reconocido fuere igual al surgir, entonces no
podríamos decir nada positivo sobre el ecuador con respecto a una época anterior a la fecha de su
supuesto surgimiento.

El espacio, según Kant, pertenece a la apariencia. Otros seres racionales podrían representárselo de
una manera completamente distinta a la nuestra. De hecho, ni siquiera podemos saber si aparece a
un hombre igual que a otro; pues no podemos, para comparar, poner la intuición del espacio de
uno al lado de la del otro. Pero, aún así, hay algo objetivo en esta intuición; todos reconocen los
mismos axiomas geométricos, aunque sea sólo con su comportamiento, y deben de hacerlo si
quieren orientarse en el mundo. Lo objetivo aquí es lo regular, conceptual, y que puede ser
juzgado, lo que se puede expresar en palabras. Lo puramente intuitivo no es comunicable. Para
aclarar esto, supongamos dos seres racionales tales que sólo pueden intuir las propiedades y
relaciones proyectivas – el estar tres puntos en una recta, cuatro puntos en un plano, etc.; para uno
podría aparecer como plano lo que para el otro se intuye como un punto, y viceversa. Lo que para
uno es la línea de conexión de dos puntos, para el otro sería la línea de intersección de dos planos, y
así siempre en correspondencia dual. En estas circunstancias se podrían entender muy bien entre
ellos y nunca se darían cuenta de la diferencia entre sus intuiciones, ya que en la geometría
proyectiva a cada teorema le corresponde otro, dualmente. Pues el diferir en temas de apreciación
estética no sería evidencia conclusiva. Estarían en total acuerdo sobre todos los teoremas
geométricos, simplemente interpretarían las palabras de manera distinta en su intuición. Con la
palabra ‘punto’, por ejemplo, uno conectaría una intuición y el otro, otra. Pero podemos aún decir
que esta palabra tiene un significado objetivo para ellos, mientras que por tal significado no
entendamos lo particular de sus intuiciones respectivas. Y en este sentido, el eje de la Tierra
también es objetivo.

La palabra ‘blanco’ nos hace pensar habitualmente en una cierta sensación, que es, por supuesto,
enteramente subjetiva; pero incluso en el uso corriente del lenguaje, a menudo me parece que se
pone de manifiesto un sentido objetivo. Cuando llamamos blanca a la nieve, queremos expresar una
característica objetiva que reconocemos, a la luz corriente del día, en una cierta sensación. Si la
nieve se ilumina con un determinado color, lo tenemos en cuenta en nuestro juicio y diremos, por
ejemplo, ‘Ahora aparece roja, pero es blanca’. Hasta un daltónico puede hablar del rojo y el verde, a
pesar de no distinguir esos colores en sus sensaciones. Reconoce la distinción por el hecho de que
otros la hagan, o quizás haciendo un experimento físico. A menudo, por lo tanto, el término
cromático no significa nuestra sensación subjetiva, que no podemos saber si coincide con la de los
demás (pues que las llamemos por el mismo nombre no garantiza tal cosa), sino más bien una
característica objetiva. Así entiendo por objetividad la independencia de nuestras sensaciones,
intuiciones e ideas, de la proyección de representaciones mentales a partir de memorias de
sensaciones anteriores, pero no la independencia de la razón; pues responder a la pregunta de qué
son las cosas independientes de la razón sería juzgar sin juzgar, lavar la piel sin mojarla.

§27. El número no es, como pretende Schloemilch, una idea del lugar que ocupa un
objeto en una serie.
 Frege Esencial 64

Por esto tampoco puedo estar de acuerdo con Schloemilch55, cuando llama al número la idea de la
posición de un objeto en una serie.56 Si el número fuera una idea, entonces la aritmética sería
psicología. Pero lo es tanto como la astronomía. Así como la astronomía no se ocupa de las ideas de
los planetas, sino de los planetas mismos, los objetos de la aritmética no son tampoco ideas. Si el
número dos fuera una idea, entonces debería de ser solamente mía. La idea de otro hombre es, en
cuanto a tal, ya otra idea. Entonces tendríamos quizás millones de doses. Debería de decirse: mi
dos, tu dos, un dos, todos los doses. Si se aceptan ideas latentes o inconscientes, también habría
doses inconscientes entre ellas, que volverían más tarde a ser conscientes. Con el crecimiento de
nuevas generaciones de hombres, irían surgiendo nuevos doses, y quien sabe si, en el transcurso de
milenios éstos evolucionarían tanto que llegaría a ser 2· 2=5. Pero a pesar de todo esto, sería
todavía dudoso que existieran infinitos números, como se cree normalmente. 1010, quizás, puede
ser sólo un signo vacío, y puede ser que no exista ninguna idea, en ningún ser, que se designe así.

Llegamos a maravillas, como puede verse, cuando se concreta algo más la idea de que el número es
una idea. Y llegamos a la conclusión de que el número no es ni espacial ni físico, como los
montones de guijarros o de nueces de Mill, ni tampoco es subjetivo como las ideas, sino que es no
sensible y objetivo. Ahora bien, la objetividad no puede estar basada en las impresiones sensoriales,
que en cuanto afecciones de nuestra mente, son completamente subjetivas, sino que sólo puede
radicar, hasta donde puedo ver, en la razón.

Sería extraño si la ciencia más exacta tuviera que basarse en la psicología, que todavía anda a tientas,
insegura.

(…)

III. Opiniones sobre la unidad y el uno

(…)

Solución de la dificultad.

(…)

55
Schloemilch, Handbuch der algebraischen Analysis (Manual de análisis algebraico), p.1.
56
Otra posible objeción a esto es que, según esta teoría, la misma idea de una posición tendría que aparecer
siempre que se diese el mismo número, lo cual, obviamente, no ocurre. Mis argumentos no harían al caso,
si él entendiera por la idea una idea objetiva; ¿pero en ese caso qué diferencia habría entre la idea de la
posición y la posición misma?
Una idea en el sentido subjetivo es aquello a lo que se refieren las leyes psicológicas de la
asociación; es de naturaleza sensible, representativa. Una idea en el sentido objetivo pertenece a la lógica y
es esencialmente no sensible, aunque la palabra que designa una idea objetiva frecuentemente connota
también una idea subjetiva, la cual sin embargo no es su referente. Las ideas subjetivas son a menudo
demostrablemente distintas en hombres distintos, pero las ideas objetivas son las mismas para todos. Las
ideas objetivas pueden dividirse en conceptos y objetos. Para evitar confusiones, usaré ‘idea’ sólo en el
sentido subjetivo. Debido a la asociación de ambos significados con la palabra en Kant, su doctrina asumió
un matiz tan subjetivo, idealista que dificultó el descubrimiento de sus verdaderas opiniones. La distinción
aquí hecha está tan justificada como la distinción entre la psicología y la lógica, ¡Ojalá se separaran éstas
siempre rigurosamente!
 Frege Esencial 65

§46. Una aserción de número contiene una aserción sobre un concepto. Objeción de
que el número varía mientras que el concepto no.
Debería de clarificar un poco la cuestión si consideramos el número en el contexto de un juicio,
donde aparece su modo de aplicación originario. Mirando al mismo fenómeno externo puedo decir
con igual verdad: ‘Esto es un grupo de árboles’ y ‘Esto son cinco árboles’, o bien ‘Aquí hay cuatro
compañías’ y ‘Aquí hay 500 hombres’, y lo que cambia aquí no es ni lo individual ni la totalidad, el
agregado, sino mi denominación. Pero esto es en sí mismo un signo de que un concepto ha sido
substituido por otro. Esto sugiere que como respuesta a la primera pregunta del párrafo anterior,
[esto es, cuando hacemos una afirmación de número, ¿qué es de lo que afirmamos algo?], que el
contenido de una aserción de número es una aserción sobre un concepto. Quizás el caso más claro
es el del número 0. Cuando digo ‘Venus tiene 0 lunas’, simplemente no existe ninguna luna o
agregado de lunas para poder decirse nada de ellas; sino que lo que ocurre es que una propiedad es
asignada al concepto ‘Luna de Venus’, a saber, la de que nada cae bajo él. Si digo ‘El carruaje del
Rey es tirado por cuatro caballos’, entonces asigno el número cuatro al concepto ‘Caballo que tira
el carruaje del Rey’.

Puede objetarse que un concepto como ‘habitante del Imperio Alemán’ tendría una propiedad que
variaría de año en año, a pesar de que sus características no se modifican, si fuera el caso que
afirmaciones sobre el número de habitantes realmente afirmaran una propiedad del concepto. En
respuesta a esto, es suficiente resaltar que los objetos también cambian sus propiedades sin que esto
nos impida reconocerlos como el mismo. En este caso, sin embargo, podemos ofrecer más
precisamente la explicación. El hecho es que el concepto ‘habitante del Imperio Alemán’ contiene
referencias temporales como un elemento variable en él, para ponerlo matemáticamente, es una
función del tiempo. En lugar de ‘a es un habitante del Imperio Alemán’ podemos decir ‘a habita en
el Imperio Alemán’, y esto refiere a la fecha actual en el momento. Así, en el concepto mismo hay
incluido algo fluido. Por otro lado, el número que pertenece al concepto ‘habitante del Imperio
Alemán en Año Nuevo, 1883, horario de Berlín’ es el mismo por toda la eternidad.

§47. La facticidad de la asignación de número se explica por la objetividad del

concepto.
Que asignar un número expresa algo factual, independiente de nuestra manera de ver las cosas,
puede sorprender sólo a quienes piensen que un concepto es algo subjetivo como una idea. Pero
esta opinión está equivocada. Si, por ejemplo, subordinamos el concepto de cuerpo bajo el
concepto de peso, o el concepto de ballena bajo el de mamífero, estamos afirmando algo objetivo;
pero si los conceptos mismos fueran subjetivos, entonces la subordinación de uno bajo el otro,
siendo ésta una relación entre ellos, sería también subjetiva, tal como una relación entre ideas. Es
verdad que a primera vista un enunciado como

“Todas las ballenas son mamíferos”

parece que no es sobre conceptos sino sobre animales; pero si se pregunta de qué animales se habla,
no se puede señalar a ningún animal en particular. Aunque supongamos que tenemos una ballena
delante, nuestro enunciado todavía no dice nada sobre ella. No podemos inferir de él que el animal
delante nuestro es un mamífero sin la premisa adicional de que es una ballena, sobre lo que nuestro
enunciado no dice nada. Como un principio general, es imposible hablar de un objeto sin designarlo
o nombrarlo de alguna manera; pero la palabra ‘ballena’ no es el nombre de una criatura individual.
Si se contestara que de lo que estamos hablando no es, ciertamente, un objeto individual definido,
 Frege Esencial 66

pero aun así un objeto indefinido, sospecho que ‘objeto indefinido’ no es más que otro término para
concepto, y un término ciertamente desafortunado, pues es contradictorio. Por mucho que sea
verdad que nuestro enunciado no puede ser verificado sin observar animales particulares, esto no
prueba nada sobre su contenido; para decidir de qué trata, no necesitamos saber si es verdadero o
no, ni tampoco por qué razones creemos que es cierto. Si, por lo tanto, un concepto es algo
objetivo, una aserción sobre un concepto también puede contener algo factual.

§48. Eliminación de ciertas dificultades.

La impresión, que surgió en varios ejemplos anteriores, de que números diferentes pueden
pertenecer a la misma cosa, puede explicarse por el hecho de que entonces tomamos los objetos
como aquello que tiene el número. En cuanto instalamos en sus derechos al verdadero propietario,
el concepto, los números se revelan tan mutuamente exclusivos en su ámbito como lo son los
colores en el suyo.

Ahora también vemos por qué se llega a la idea de que el número surge con la abstracción a partir
de las cosas. Lo que realmente obtenemos así es el concepto, y en éste descubrimos el número. Así,
la abstracción a menudo precede realmente la formación de un juicio numérico. La confusión es la
misma que si se quisiese mantener: la manera de obtener el concepto de riesgo de incendio es
construir una casa de entramado, con paredes de madera, techo de paja y una chimenea agujereada.

La capacidad de reunir que posee el concepto es muy superior a la capacidad unificadora de la

apercepción sintética. Mediante la segunda no seria posible juntar a los habitantes del Imperio
Alemán en un todo; pero, en cambio, podemos ciertamente subordinarlos todos bajo el concepto
‘habitante del Imperio Alemán’ y contarlos.

El enorme campo de aplicación del número se hace ahora también explicable. No sin razón sería
problemático si pudiéramos afirmar el mismo predicado de fenómenos físicos y mentales, de lo
espacial y lo temporal, y de lo no espacial y lo no temporal. Ahora bien, todo esto tampoco se
incluye en las especificaciones de número. Los números sólo se asignan a los conceptos, bajo los que
a su vez caen lo externo y lo interno, lo espacial y lo temporal, lo no espacial y lo no temporal.

(…)

§53. Diferencia entre características y propiedades de un concepto. Existencia y

número.
Por propiedades que se afirman de un concepto, no entiendo, naturalmente, las características que
componen al concepto. Estas últimas son propiedades de las cosas que caen bajo el concepto, no del
concepto mismo. Así ‘rectángulo’ no es una propiedad del concepto ‘triángulo rectángulo’; pero el
enunciado de que no existe un triángulo rectángulo, rectilíneo y equilátero sí que afirma una
propiedad del concepto ‘triángulo rectángulo, rectilíneo y equilátero’; le asigna el número cero.

En este sentido la existencia es análoga al número. Una afirmación de la existencia no es, de hecho,
más que la negación del número cero. Porque la existencia es una propiedad de conceptos el
 Frege Esencial 67

argumento ontológico para la existencia de Dios fracasa.57 Pero la unicidad58 no es una característica
del concepto ‘Dios’ más de lo que lo es la existencia. La unicidad no puede usarse en la definición
de este concepto, del mismo modo que la solidez de una casa, su espaciosidad y su comodidad, no
pueden usarse para construirla junto con las vigas, las piedras y la argamasa. No obstante, sería
incorrecto concluir que es imposible deducir de un concepto, es decir, de sus características,
ninguna de las propiedades del concepto. Bajo ciertas condiciones es posible, así como a veces
podemos inferir la durabilidad de un edificio a partir del tipo de piedra usado para construirlo.
Sería, pues, ir demasiado lejos el afirmar que nunca podemos inferir de las características de un
concepto a la unicidad o existencia; sólo que es verdad que esto no puede ser nunca una cuestión
tan directa como cuando alguna característica de un concepto se atribuye como propiedad a uno de
los objetos que caen bajo él.

También sería incorrecto negar que la existencia y la unicidad mismas puedan ser características de
un concepto. No son características de esos conceptos particulares a los que el lenguaje nos tienta a
asignarlas. Pero si, por ejemplo, reunimos bajo un mismo concepto todos los conceptos bajo los
cuales sólo cae un objeto, entonces unicidad es una característica de este nuevo concepto. Bajo tal
concepto caerían, por ejemplo, el concepto ‘luna de la Tierra’, aunque no el actual cuerpo celeste
llamado por ese nombre. De esta manera podemos hacer que un concepto caiga bajo otro concepto
superior o, digamos, un concepto de segundo orden. Esta relación, sin embargo, no se debe
confundir con la de subordinación.

(…)

IV: El concepto de número

Cada número es un objeto independiente

§55. Intento de completar las definiciones leibnizianas de cada uno de los números.
Ahora que hemos visto que el contenido de una asignación de número es una afirmación sobre un
concepto, podemos intentar completar las definiciones leibnizianas de los números individuales,
dando las definiciones de 0 y 1.

Parece natural definir 0 diciendo que a un concepto le corresponde el número 0 si bajo él no cae
ningún objeto. Pero aquí parece que el 0 se ha reemplazado por ‘ningún’, que tiene el mismo
significado; por lo tanto la siguiente formulación es preferible: a un concepto le corresponde el
número 0 si, sea lo que sea a, el enunciado de que a no cae bajo tal concepto es verdadero con toda
generalidad.

Similarmente podría decirse: a un concepto F le corresponde el número 1, si el enunciado de que a

no cae bajo F no es verdadero universalmente, y si de los enunciados

57
(Ed.) El argumento ontológico es el argumento que, considerando la existencia como una propiedad de
objetos, prueba la existencia de Dios como el ser perfecto, o el ser más grande del cual no puede ser
pensado, y que, por tanto, ha de tener todas las propiedades, incluida la existencia.
58
(Ed.) La unicidad es la Unidad divina en la terminología teológica.
 Frege Esencial 68

‘a cae bajo F’ y ‘b cae bajo F’

se sigue universalmente que a y b son el mismo.

Resta por dar sólo una definición general del paso de cualquier número al siguiente. Intentemos la
siguiente formulación: al concepto F le corresponde el número (n+1), si existe un objeto a que cae
bajo el concepto F y tal que al concepto ‘cae bajo F, pero no a’ le corresponde el número n.

§56. Las definiciones intentadas no son utilizables, porque definen un predicado en

el que el número es sólo un elemento.
Estas definiciones surgen de una manera tan espontánea a la vista de nuestros resultados anteriores
que es preciso dar las razones por las cuales no son satisfactorias.

Los inconvenientes provienen ante todo de la última definición; ya que, estrictamente, el sentido de
la expresión ‘el número que corresponde al concepto G’ nos es igual de desconocido que el de la
expresión ‘al concepto F le corresponde el número (n+1)’. Podemos, por supuesto, usando las dos
últimas definiciones, decir lo que significa

‘al concepto F le corresponde el número 1+1’

y después, utilizando esto, podemos dar el sentido de la expresión

‘al concepto F le corresponde el número 1+1+1’

etc.; pero nunca podremos, por poner un ejemplo burdo, decidir, por medio de esta definición, si a
un concepto le corresponde el número Julio César, o si ese famoso conquistador de las Galias es un
número o no. Además no podemos, con la ayuda de nuestros intentos de definición, demostrar
que, si el número a corresponde al concepto F y el número b corresponde al mismo concepto,
entonces necesariamente a = b. Así pues, nunca podríamos justificar la expresión ‘el número que
corresponde al concepto F’, y por lo tanto sería en general imposible probar una igualdad
numérica, ya que nunca podríamos concebir un número determinado. Hemos definido el 0 y el 1
sólo aparentemente; en realidad sólo hemos fijado el sentido de las frases

‘el número 0 corresponde a’

‘el número 1 corresponde a’

pero a partir de aquí no podemos distinguir el 0 y el 1 como objetos independientes que puedan ser
reconocidos como el mismo siempre que se quiera.

§57. La asignación de número debe considerarse como una ecuación entre números.
Ahora es momento de examinar más claramente lo que se quiere decir con la expresión de que el
contenido de una asignación de número es una afirmación sobre un concepto. En el enunciado ‘el
número 0 corresponde al concepto F’, 0 es sólo un elemento del predicado (tomando el concepto F
como el sujeto real). Por esta razón he evitado llamar un número, tal como el 0 ó el 1 ó el 2, una
propiedad de un concepto. Precisamente porque forma sólo un elemento de lo que se afirma, el
número individual aparece como un objeto independiente. Más arriba ya he llamado la atención
 Frege Esencial 69

sobre el hecho de que se dice ‘el 1’, donde el artículo determinado ayuda a clasificarlo como un
objeto. En la aritmética, esta autonomía aparece por todas partes, como por ejemplo en la ecuación
1 + 1 = 2. Ahora lo que nos interesa es constituir un concepto de número útil para la ciencia, por
lo tanto, no debería preocuparnos que en el lenguaje cotidiano el número aparezca también en
construcción atributiva. Esto siempre puede evitarse. Por ejemplo, el enunciado ‘Júpiter tiene
cuatro lunas’ puede ser convertido en ‘El número de lunas de Júpiter es cuatro’. Aquí la palabra
‘es’ no debería ser tomada como una mera cópula, como en el enunciado ‘El cielo es azul’. Esto se
ve por el hecho de que podemos decir: ‘El número de lunas de Júpiter es cuatro, o 4’. Aquí ‘es’
tiene el sentido de ‘es idéntico a’ o ‘es lo mismo que’. Así que lo que tenemos es una ecuación que
afirma que la expresión ‘El número de lunas de Júpiter’ refiere al mismo objeto que la palabra
‘cuatro’. Y la forma de la ecuación es la forma que domina en la aritmética. No es una objeción a
esta concepción que la palabra ‘cuatro’ no contenga nada sobre Júpiter o lunas. Tampoco hay en el
nombre ‘Colón’ nada sobre el descubrimiento de América, pero aun así, es el mismo hombre, el
que llamamos Colón y el descubridor América.

(…)

§58. Objeción a la idea de que no se puede imaginar el número como un objeto

independiente. En general, el número es inimaginable.
Un criticismo posible es que no somos capaces de formar ningún tipo de idea59 de este objeto que
llamamos cuatro o del número de lunas de Júpiter, como la tendríamos de algo independiente.
Pero la autonomía que hemos dado al número no tiene la culpa. Es fácil, lo sé, suponer que en
nuestra idea de cuatro puntos en un dado hay algo que corresponde con la palabra ‘cuatro’; pero es
una equivocación. Sólo tenemos que pensar en prado verde, y comprobar si la idea cambia cuando
reemplazamos el artículo determinado por el numeral ‘uno’; nada nuevo se añade, mientras que a
la palabra ‘verde’ realmente le corresponde algo en la idea. Si nos imaginamos la palabra impresa
‘oro’, no se pensará inmediatamente en ningún número. Si nos preguntamos ahora cuántas letras
contiene, el número 3 es el resultado; pero aún así, la idea no se convierte en consecuencia en algo
más definido, sino que puede permanecer completamente inalterada. El concepto añadido, ‘letra en
la palabra oro’, es donde se descubre el número. En el caso de los cuatro puntos de un dado, el
asunto es más oscuro, porque el concepto se nos impone tan inmediatamente, por la semejanza de
los puntos, que apenas nos damos cuenta de su intervención. Tampoco podemos formar ninguna
idea del número como un objeto independiente o como una propiedad de una cosa externa, porque
no es, de hecho, ni una cosa sensible ni una propiedad de una cosa externa. Pero donde aparece más
clara la cuestión es en el caso del número 0; en vano se tratará uno de imaginar la idea de 0 estrellas
visibles. Podemos, claramente, pensar en un cielo totalmente cubierto de nubes; pero en él no hay
nada que corresponda con la palabra ‘estrella’ ni con 0. Todo lo que conseguimos imaginar es una
situación que nos da ocasión para el juicio: no se puede ver ahora ninguna estrella.

(…)

§60. Ni siquiera las cosas concretas son siempre imaginables.

Incluso algo tan concreto como la Tierra no nos la podemos imaginar como hemos aprendido que
es; sino que nos contentamos con una bola de tamaño moderado, que nos sirve como símbolo para
la Tierra, aunque sabemos que ésta es muy distinta. Así, aunque nuestra idea a menudo no coincida

59
‘Idea’ en el sentido de algo como una imagen.
 Frege Esencial 70

en absoluto con lo deseado, hacemos juicios sobre un objeto como la Tierra con una certeza
considerable, incluso en cuanto concierne a su tamaño.

Una y otra vez nuestro pensamiento nos lleva más allá de nuestra imaginación, sin que perdamos
por ello las bases en que se apoyan nuestras inferencias. Aunque, según parece, sea imposible para
los hombres como nosotros el pensar sin ideas, es no obstante posible que su conexión con lo
pensado sea enteramente superficial, arbitraria y convencional.

Que no podamos formar ninguna idea de este contenido no es, por lo tanto, una razón para negarle
todo significado a una palabra, o para excluirla del uso del lenguaje. De hecho, la apariencia de lo
contrario surge únicamente porque, cuando nos preguntamos por el significado de una palabra, la
consideramos aislada, lo que nos lleva a aceptar ideas como su significado. De acuerdo con esto,
cualquier palabra para la cual no podamos encontrar una representación mental nos parece que no
tiene contenido. Pero debemos siempre tomar en consideración un enunciado completo. Sólo en
un enunciado tienen las palabras realmente un significado. Las representaciones internas que
tenemos en tales casos no tienen por qué corresponder a los componentes lógicos del juicio. Es
suficiente que el enunciado tomado como un todo tenga sentido; es esto lo que confiere un
contenido a sus partes.

Esta observación me parece adecuada para arrojar luz sobre algunos conceptos difíciles, entre otros
el de lo infinitesimal60, y su alcance no se limita, ciertamente, a la matemática.

La autonomía que atribuyo al número no debe entenderse como que el numeral designe a algo fuera
de contexto de un enunciado, sino que con ello sólo quiero excluir su uso como predicado o
atributo, con lo que su significado se alteraría.

(…)

Para obtener el concepto de número, se debe fijar el sentido de una ecuación numérica.

§62. Necesitamos una característica para la ecuación numérica.

¿Cómo, pues, se nos da un número, si no podemos tener ninguna idea o intuición de él? Sólo en el
contexto de un enunciado se refieren las palabras a algo. Así pues, nuestro problema es definir el
sentido de un enunciado en el cual aparece un numeral. Esto, de momento, nos deja una libertad de
elección muy amplia todavía. Pero hemos aclarado ya que bajo los numerales se deben entender
objetos autónomos. Y esto es suficiente para darnos una clase de enunciados que debe tener
sentido, a saber, los que expresan que algo se reconoce de nuevo. Si el signo a debe de significar un
objeto, se ha de tener un criterio para decidir en todos los casos si b es lo mismo que a, aunque no
esté siempre a nuestro alcance aplicar este criterio. En nuestro caso, debemos definir el sentido del
enunciado

‘El número que corresponde al concepto F es el mismo que el número que corresponde al
concepto G’

60
El problema aquí no es, como puede pensarse, producir un segmento limitado por dos puntos distintos,
cuya longitud fuera dx, sino más bien definir el sentido de una ecuación del tipo
d f(x) = g(x) dx
 Frege Esencial 71

es decir, debemos reproducir el contenido de tal enunciado en otras palabras, evitando el uso de la
expresión

‘El número que corresponde al concepto F’

De este modo, daremos un criterio general para la identidad de números. Así, cuando hayamos
conseguido un medio de llegar a un número determinado y de reconocerlo como el mismo,
podremos asignarle un numeral como nombre propio.

§63. La aplicación biyectiva como tal. Objeción lógica de que la igualdad se defina
especialmente para este caso.
Hume mencionó ya un medio tal61: “Si se combinan dos números de tal manera que el uno tenga
siempre una unidad que corresponda a cada unidad del otro, entonces los declararemos iguales.”
Esta opinión de que la identidad de números debe de ser definida en términos de una correlación
biyectiva parece que en tiempos recientes ha ganado una aceptación general por parte de los
matemáticos.62 Pero enseguida surgen aquí dudas y dificultades lógicas, que no debemos ignorar,
sin examinarlas antes.

La relación de igualdad no se da sólo entre los números. De esto parece seguirse que esta relación
no deber definirse especialmente para este caso. Deberíamos de pensar que el concepto de
identidad se ha fijado antes, y que después, partiendo de él y del concepto de número, debería de
ser posible deducir cuándo los números son iguales, sin necesidad de añadir una definición especial
para ello.

En contra de esto hay que observar que todavía no hemos fijado el concepto de número, sino que
éste quedará determinado únicamente mediante nuestra definición. Nuestro objetivo es formar el
contenido de un juicio que puede ser tomado como una ecuación tal que cada uno de sus miembros
sea un número. Por lo tanto, no pretendemos definir la igualdad especialmente para este caso, sino
usar el concepto ya conocido para obtener lo que debe ser considerado igual. Naturalmente, esto
parecerá un tipo extraño de definición, que ciertamente todavía no ha sido estudiado
suficientemente por los lógicos; pero algunos ejemplos pueden mostrar que este modo de definir no
es inaudito.

(…)

§66. Tercera objeción: la caracterización de la igualdad es insuficiente.

Pero existe todavía una tercera objeción que puede alzarse en contra de nuestro intento de
definición. En el enunciado

61
Baumann, op. cit., Vol. II, p.565.
62
V. E. Schröder: op. cit., pp.7 y 8. E. Kossak, Die Elemente der Arithmetik, Programm des Friedrichs-
Werder’schen Gymnasiums (Los elementos de la Aritmética. Programa del Instituto de segunda enseñanza
Friedrich Perder). Berlín, 1877, p.16. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre
(Fundamentos de una teoría general de multiplicidades). Leipzig, 1883.
 Frege Esencial 72

‘La dirección de a es igual a la dirección de b’63

la dirección de a aparece como objeto,64 y nuestra definición nos da un medio de reconocer este
objeto como el mismo, cuando aparezca quizás con otras ropas, digamos, como dirección de b. Sin
embargo este medio no es suficiente para todos los casos. Por ejemplo, no se puede decidir,
siguiéndolo, si Inglaterra es igual a la dirección del eje de la Tierra. ¡Que se nos perdone este
ejemplo que parece absurdo! Naturalmente, nadie va a confundir Inglaterra con la dirección del eje
de la Tierra; pero esto no es gracias a nuestra definición de dirección. Ésta no nos dice nada acerca
de si el enunciado

‘La dirección de a es igual a q’

debe ser afirmado o negado, a no ser que q mismo venga dado en la forma ‘la dirección de b’. Lo
que nos falta es el concepto de dirección; pues si lo tuviéramos, entonces podríamos establecer: si q
no es una dirección, nuestro enunciado debe ser negado, mientras que si es una dirección, nuestra
definición original decidirá si debe ser negado o afirmado. Así, la tentación es definir:

q es una dirección, si hay una recta b, cuya dirección es q.

Pero está claro que entonces hemos caído en un círculo. Para poder aplicar esta definición,
debemos saber ya en cada caso si el enunciado

‘q es igual a la dirección de b’

debe ser afirmado o negado.

(…)

§68. El número como extensión de un concepto.

Dado que no podemos obtener de este modo un concepto de dirección claramente delimitado, ni
tampoco, por las mismas razones, un concepto satisfactorio del concepto de número, intentemos
otro camino. Si la recta a es paralela a la recta b, entonces la extensión del concepto ‘recta paralela
con la recta a’ es idéntica a la extensión del concepto ‘recta paralela con la recta b’; y a la inversa, si
las extensiones de estos dos conceptos son iguales, entonces a es paralela a b. Intentemos pues
definir:

La dirección de la recta a es la extensión del concepto ‘paralelo a la recta a’.

La forma del triángulo t es la extensión del concepto ‘semejante al triángulo t’.

63
(Ed.) Frege utiliza el caso de las líneas paralelas, cuyas direcciones son iguales, como ejemplo análogo al
caso de los números: La dirección de a es igual a la dirección de b si y sólo si a y b son paralelas.
64
El artículo determinado alude a este hecho. Para mí, un concepto es un predicado posible de un contenido
de un juicio singular; un objeto, aquello que puede ser el sujeto de un contenido tal. Si en el enunciado
‘La dirección del eje del telescopio es igual a la dirección del eje de la Tierra’
tomamos la dirección del eje del telescopio como sujeto, entonces el predicado es ‘igual a la dirección del
eje de la Tierra’. Pero la dirección del eje de la Tierra es solamente una parte del predicado; es un objeto,
puesto que también puede tomarse como sujeto.
 Frege Esencial 73

Y para aplicar esto a nuestro caso del número, debemos poner en lugar de rectas y triángulos,
conceptos, y en lugar del paralelismo o semejanza, la posibilidad de establecer una biyección entre
los objetos que caen bajo un concepto y los que caen bajo el otro. En aras de la brevedad, diré que
el concepto F es equinumérico al concepto G, si existe tal posibilidad; pero pido que esta palabra se
tome como una designación escogida arbitrariamente, cuyo significado no debe inferirse por su
composición lingüística, sino por esta estipulación.

Por lo tanto, mi definición es:

el número que corresponde al concepto F es la extensión65 del concepto

‘equinumérico con el concepto F’.

(…)

Resumen y confirmación de nuestra definición

(…)

§74. Cero es el número que corresponde al concepto ‘No idéntico consigo mismo’.
Ahora podemos pasar a las definiciones de los números individuales.

Ya que nada cae bajo el concepto ‘No idéntico consigo mismo’, defino:

0 es el número que corresponde al concepto ‘no idéntico consigo mismo’.

Quizás resulte chocante que hable aquí de un concepto. Puede que se objete que contiene una
contradicción y que recuerda a nuestros viejos tópicos, tales como el hierro de madera y el círculo
cuadrado. Ahora bien, creo que estos últimos no son tan malos como se les pinta. No se debe
esperar de ellos que sean muy útiles; pero no pueden causar ningún daño, mientras no se
presuponga que algo cae bajo ellos; y eso no se presupone por el mero hecho de usarlos. Que un
concepto contiene una contradicción no es siempre obvio sin investigación; pero para ello, primero
debemos poseerlo y tratarlo lógicamente como cualquier otro concepto. Todo lo que puede
exigirse de un concepto por parte de la lógica y con un ojo en el rigor de la demostración es que los
límites de su aplicación sean rígidos, que esté determinado para todo objeto si cae bajo tal concepto
o no. Pero esta exigencia está completamente satisfecha por conceptos que contienen una

65
Creo que, en vez de ‘extensión del concepto’, podría decirse sencillamente ‘concepto’. Pero se objetarían
dos cosas:
1ª. Que esto contradeciría mi afirmación anterior de que cada uno de los números es un objeto, lo cual se
indica por el artículo determinado en expresiones como ‘el dos’ y por la imposibilidad de hablar de unos,
doses, etc. en plural, así como por el hecho de que el número constituye sólo una parte del predicado de
número.
2ª. Que los conceptos pueden ser de la misma extensión y ser distintos.
Creo que las dos objeciones pueden ser eliminadas; pero esto nos llevaría ahora demasiado lejos.
Presupongo que se sabe lo que es la extensión de un concepto.
 Frege Esencial 74

contradicción, como ‘no idéntico consigo mismo’; para cada objeto sabemos que no cae bajo
ninguno de tales conceptos.66

Empleo el término ‘concepto’ de modo que

‘a cae bajo el concepto F’

es la forma general del contenido de un juicio, que trata de un objeto a y sigue siendo un juicio, sea
lo que sea que reemplace a a. En este sentido

‘a cae bajo el concepto ‘no idéntico consigo mismo’’

tiene el mismo significado que

‘a no es idéntico consigo mismo’

‘a no es idéntico con a’.

Podría haber usado en la definición del 0 cualquier otro concepto bajo el cual no cae ningún objeto.
Pero me interesaba elegir uno del que pudiera demostrar lógicamente esto último; y para ello ‘No
idéntico consigo mismo’ es el más conveniente, entendiendo por ‘idéntico’ la definición de Leibniz
antes mencionada, que es puramente lógica.67

(…)

§76. Definición de la expresión ‘n sigue inmediatamente a m en la serie de los

números naturales’.
Ahora voy a definir la relación en la están dos miembros adyacentes de la serie de números
naturales. El enunciado:

66
Una cuestión totalmente distinta es la definición de un concepto a partir de un concepto bajo el cual el
primero caiga. La expresión ‘la mayor fracción propia’, por ejemplo, no tiene ningún contenido, porque el
artículo determinado manifiesta la pretensión de referirse a un objeto determinado. Por el contrario, el
concepto ‘fracción que es menor que 1 y que está formada de tal manera que ninguna fracción que sea
menor que 1 la sobrepase en magnitud’ es totalmente inobjetable, y para poder demostrar que no existe tal
fracción, se necesita incluso este concepto, si bien contiene una contradicción. Pero si se quisiera definir un
objeto mediante este concepto, sería necesario, en todo caso, probar antes dos cosas:
1. Que bajo este concepto cae un objeto.
2. Que bajo él cae un único objeto.
Dado que ya el primer enunciado es falso para ‘la mayor fracción propia’, resulta que esta expresión carece
de sentido.
67
(Ed.) Véase §65, no incluida en esta selección: ‘Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri salva
veritate’, es decir, dos cosas son iguales, si una de ellas puede ser substituida por la otra sin pérdida de
verdad.
 Frege Esencial 75

‘Existe un concepto F, y un objeto que cae bajo él, x, tales que el número que corresponde al
concepto F es n y el número que corresponde al concepto ‘cae bajo el concepto F pero no es
idéntico a x’ es m’.

Se tomará como equivalente a

‘n sigue inmediatamente a m en la serie de los números naturales’.

Evito la expresión ‘n es el número que sigue a m’, porque el uso del artículo determinado no está
justificado hasta que se han probado primero dos enunciados.68 La misma razón tampoco digo
todavía ‘n = m+1’, pues el uso del símbolo ‘=’ es igual también a llamar (m+1) un objeto.

(…)

V. Conclusión

(…)

§90. Para la demostración completa de la analiticidad de las leyes de la aritmética nos

falta una deducción sin lagunas.
No pretendo haber hecho más que probable el carácter analítico de los enunciados aritméticos, pues
siempre puede ponerse en duda si son demostrables sólo a partir de leyes lógicas o si algún otro tipo
de fundamento se ha infiltrado en algún punto de su prueba, sin darnos cuenta. Esta objeción no se
ve totalmente desvirtuada por las indicaciones que he dado de las demostraciones de algunos
enunciados; sólo puede ser eliminada al producir una cadena de deducciones sin huecos, tal que no
haya ningún paso tomado en ella que no sea conforme a un pequeño número de inferencias
reconocidas como puramente lógicas. Hasta hoy, casi ninguna prueba se ha llevado a cabo de esta
manera, porque el matemático se contenta si toda transición a un nuevo juicio aparece como
evidentemente correcta, sin preguntarse por la naturaleza de esta autoevidencia, sin averiguar si es
lógica o intuitiva. Un paso de éstos es normalmente muy complejo, y equivalente a varias
inferencias simples, junto a las cuales puede intervenir algo procedente de la intuición. En estas
pruebas, se procede a saltos, y por esto la multiplicidad de los tipos de inferencia en matemáticas
parece ser tan abundante; pues cuanto mayores son los saltos, tanto más variadas son las
combinaciones de inferencias simples y axiomas de la intuición que pueden representar. A menudo,
no obstante, la corrección de tal transición nos es inmediatamente autoevidente, sin que seamos
conscientes de los pasos intermedios, y dado que no se presenta como ninguna de las reglas lógicas
admitidas, estamos dispuestos a pensar que esta inferencia es intuitiva y que la verdad es sintética,
aunque muchas veces es obvio que el dominio de su validez alcanza mucho más de lo que es
intuitivo.

Por esta vía, no se puede separar rigurosamente lo que es sintético, basado en la intuición, de lo que
es analítico. Y tampoco tendremos éxito en dar, con certeza, un conjunto de axiomas de la
intuición, tal que a partir sólo de estos, podamos derivar, usando las leyes de la lógicas, todas las
demostraciones matemáticas.

68
Véase la nota anterior. [Es decir, la nota 66 de esta edición]
 Frege Esencial 76

(…)

§106. Mirada retrospectiva.

Echemos una breve mirada final al curso de nuestra investigación. Después de haber establecido que
el número no es ni una colección de cosas ni una propiedad de una tal colección, pero que tampoco
es un producto subjetivo de procesos mentales, sino que la asignación de número expresa algo
objetivo sobre un concepto, intentamos primero definir cada uno de los números 0, 1, etc., y la
sucesión en la serie de los números. El primer intento fracasó porque sólo habíamos definido cada
aserción sobre un concepto, pero no habíamos dado definiciones por separado del 0 y del 1, que
sólo son partes de ellas. Esto tuvo como consecuencia que no podíamos demostrar la igualdad de
números. Se puso de manifiesto que el número del que se ocupa a aritmética no debe ser concebido
como un atributo dependiente, sino substantivamente.69 Así el número apareció como un objeto
reconocible, aunque no como físico o ni siquiera espacial, ni tampoco como un objeto del que
pudiéramos formarnos una idea gracias a nuestra imaginación. A continuación establecimos el
principio de que el significado de una palabra no debe ser definido aisladamente, sino en el contexto
de un enunciado; sólo siguiendo este principio, puede evitarse, según creo, la concepción física del
número, sin caer por ello en la psicológica. Ahora bien, para cada objeto hay un tipo de enunciados
que deben tener un sentido respecto de ese objeto; éstos son los enunciados de reconocimiento del
objeto, y en el caso de los números se llaman ecuaciones. También la asignación de número debe
concebirse, como vimos, como una ecuación. Se trataba, pues, de fijar el sentido de una ecuación
numérica, de expresarlo sin hacer uso de numerales ni de la palabra ‘número’. Vimos que el
contenido de un juicio de reconocimiento de números consistía en la posibilidad de aplicar
biyectivamente a los objetos que caen bajo un concepto F los objetos que caen bajo un concepto G.
Nuestra definición, pues, debía establecer esta posibilidad como equivalente a una ecuación
numérica. Recordamos casos parecidos: la definición de la dirección partiendo del paralelismo, de
la forma partiendo de la semejanza, etc.

§107.
Surgió entonces la pregunta: ¿cuándo está justificado considerar un contenido como el contenido de
un juicio de reconocimiento? Para ello debe cumplirse la condición de que, en todo juicio, pueda
substituirse, sin perjuicio a la verdad, el miembro de la izquierda de la ecuación aceptada para hacer
la prueba por el miembro de la derecha. Ahora bien, sin añadir nuevas definiciones, de momento
no disponemos de ninguna aseveración más sobre el miembro izquierdo o derecho de una ecuación
tal, aparte de la expresada por esa misma ecuación. Sólo era preciso demostrar, pues, la posibilidad
de sustitución en una ecuación.

Pero quedaba todavía una duda. Un enunciado de reconocimiento debe de tener siempre un
sentido. Si consideramos como una ecuación la posibilidad de aplicar biyectivamente a los objetos
que caen bajo el concepto F los objetos que caen bajo el concepto G, diciendo en vez de eso: ‘el
número que corresponde al concepto F es igual al número que corresponde al concepto G’ e
introduciendo así la expresión ‘el número que corresponde al concepto F’, entonces tendremos un
sentido para la ecuación únicamente cuando ambos miembros tengan la forma que acabamos de
indicar. Según una definición semejante, no podríamos juzgar si una ecuación es verdadera o falsa
cuando solamente un miembro tiene esta forma. Esto no indujo a dar la definición:

69
La diferencia corresponde a la que hay entre ‘azul’ y ‘el color del cielo’.
 Frege Esencial 77

El número que corresponde al concepto F es la extensión del concepto ‘concepto equinumérico al

concepto F’, en que el concepto F se dice que es equinumérico al concepto G cuando existe la
antedicha posibilidad de establecer una aplicación biyectiva.

En todo esto suponemos conocido el sentido de la expresión ‘extensión de un concepto’. Este

modo de superar la dificultad no será aprobado, sin duda, por todo el mundo, y algunos preferirán
otros modos de eliminar la duda del principio. Tampoco doy una importancia decisiva a la
utilización de la extensión de un concepto.

§108.
Sólo quedaba por definir la aplicación biyectiva; la redujimos a relaciones puramente lógicas.
Después de ello, indicamos primero la marcha de la prueba del enunciado: el número que
corresponde al concepto F es igual al que corresponde al concepto G, si el concepto F es
equinumérico al concepto G; a continuación definimos el 0, la expresión ‘n sigue inmediatamente a
m en la serie de los números naturales’ y el número 1, y mostramos que 1 sigue inmediatamente al
0 en la serie de los números naturales. Indicamos algunos teoremas que son fáciles de demostrar en
este punto, y pasamos luego a considerar más atentamente el siguiente teorema, que permite
conocer la infinitud de la serie de los números:

A cada número le sigue un número en la serie de los números naturales.

Esto nos llevó al concepto ‘perteneciente a la serie de los números naturales que acaba con n’,
respecto del cual queríamos mostrar que el número que le corresponde sigue inmediatamente a n
en la serie de los números naturales. Ante todo lo definimos mediante la noción de suceder un
objeto y a un objeto x en una serie- general. También el sentido de esta expresión fue reducido a
relaciones puramente lógicas. Y, a través de esto, conseguimos probar que la inferencia de n a
(n+1), que usualmente se considera una inferencia peculiar de la matemática, se basa en las
inferencias lógicas generales.

Para la prueba de la infinitud de la serie de los números necesitábamos el enunciado de que ningún
número finito de la serie de los números naturales se sigue a sí mismo. Así llegamos a los conceptos
de número finito y de número infinito. Mostramos que este último, en lo fundamental, no está
menos justificado lógicamente que el primero. Como comparación, se hizo referencia a los
números infinitos de Cantor y su ‘seguir en una sucesión’, haciéndose notar las divergencias de
terminología.

Función y concepto (fragmentos).70

Hace bastante tiempo71 tuve el honor de dirigirme a esta Sociedad sobre mi sistema simbólico que
llamé Begriffsschrift. Hoy querría iluminar el tema desde otro lado, e informaros de algunos
suplementos y nuevas concepciones, de cuya necesidad me he convencido desde entonces. No es
posible exponer mi Begriffsschrift en su totalidad, tan sólo elucidar algunas ideas fundamentales.

70
Este artículo fue primero una conferencia que Frege dio el 9 de enero de 1891 a la Jenaische Gesellschaft
für Medicin und Naturwissenschaft (Sociedad de Medicina y Ciencias Naturales de Jena).
71
(Ed.) El 10 de enero de 1879 y el 27 de enero de 1882.
 Frege Esencial 78

Mi punto de partida es lo que se llaman funciones en matemáticas. El significado original de tal

palabra no era tan amplio como se ha vuelto desde entonces; estará bien comenzar tratando el uso
original, y sólo después considerar las extensiones posteriores. Por el momento hablaré sólo de
funciones de un argumento. El primer lugar donde una expresión científica aparece con un
significado definido es cuando es requerida para la expresión de una ley. Este caso surgió para las
funciones cuando se descubrió el análisis superior. Aquí, por primera vez, se trató de presentar
leyes aplicables a funciones en general. Así, debemos regresar al momento en que el análisis
superior se descubrió, si queremos saber lo que se tomó por el significado original de la palabra
‘función’. La respuesta que seguramente obtendremos a esta pregunta es: ‘Una función de x fue
tomada por una expresión matemática conteniendo una x, una fórmula con la letra x’.

Así pues, por ejemplo, la expresión

2 x3 + x

sería una función de x, y

2 · 23 + 2

sería una función de 2. Esta respuesta no puede satisfacernos, pues aquí no se hace ninguna
distinción entre forma y contenido, signo y referente, un error con el que, naturalmente, se
encuentra uno ahora muy frecuentemente en escritos matemáticos, incluso de autores de
renombre.

(…)

Ahora bien ¿cuál es el contenido, el referente de ‘2 · 23 + 2’? Lo mismo que el de ‘18’ o ‘3 · 6’. Lo
que se expresa en la ecuación 2 · 23 + 2 = 18 es que el complejo de signos de la derecha tiene el
mismo referente que el de la izquierda. Aquí debo resistir la opinión de que, por ejemplo, 2+5 y
3+4 son iguales, pero no lo mismo. Esta opinión está basada en la misma confusión entre forma y
contenido, signo y referente. Es como si uno quisiera considerar la violeta del dulce aroma como
distinta a la Viola odorata porque los nombres suenan distinto. La diferencia de signo no puede por sí
sola ser base suficiente para una diferencia en la cosa referida.

(…)

Así pues, debemos distinguir entre los numerales y a lo que refieren; y si esto es así, tendremos que
reconocer que las expresiones ‘2’, ‘1+1’, ‘3-1’, 6:3’ todas refieren a lo mismo, pues es del todo
inconcebible dónde puede estar la diferencia entre ellas.

(…)

Si atendemos a esto, vemos que las expresiones:

‘2· 1³ + 1’
‘2· 2³ +2’
 Frege Esencial 79

y
‘2· 4³+4’

tienen como referentes números, a saber, 3, 18, 132. Luego, si una función fuera realmente el
referente de una expresión matemática, sería simplemente un número; y en ese caso no se habría
ganado nada nuevo para la aritmética. Es verdad que se acostumbra a pensar, cuando se usa
‘función’, en expresiones en las cuales un número es indicado sólo indefinidamente por al letra x,
por ejemplo,

‘2· x³+x’;

pero esto no cambia nada; pues esta expresión sigue refiriendo a un número sólo indefinidamente, y
no cambia nada esencial si se escribe el número o sólo se escribe ‘x’.

De todas maneras, es precisamente gracias a la notación que usa ‘x’ para indicar indefinidamente,
que llegamos a la concepción correcta. Se llama x al argumento, y se reconoce la misma función en

‘2· 1³ +1’
‘2· 4³+4’
‘2· 5³+5’,

sólo que con argumentos distintos, a saber, 1, 4 y 5. A partir de aquí podemos discernir que es el
elemento común a estas expresiones lo que contiene la peculiaridad esencial de una función; es
decir, lo que está presente en

‘2· x³+x’

además de la letra ‘x’. Podríamos escribir esto de alguna manera como sigue:

‘2· ( )³+( )’.

Me interesa mostrar que el argumento no es parte de la función, sino que junto con la función
forman un todo completo; pues una función por sí sola debe llamarse incompleta, necesitada de
compleción, o insaturada. Y en este respecto, las funciones difieren fundamentalmente de los
números. Ya que esta es la esencia de las funciones, podemos explicar por qué, por un lado,
reconocemos la misma función en ‘2· 1³+1’ y ‘2· 2³+2’, aunque los números a los que refieren
estas expresiones sean distintos, mientras que, por el otro lado, no encontramos la misma función
el ‘2· 1³+1’ y ‘4 - 1’ a pesar de sus valores numéricos iguales. Es más, ahora vemos cuán fácilmente
nos vemos tentados a considerar la forma de la expresión como lo esencial de una función.
Reconocemos la función en la expresión al imaginar esta última como dividiéndose, y la posibilidad
de tal división es sugerida en su estructura.

Las dos partes en las que se divide así la expresión matemática, el signo del argumento y la
expresión de la función, son desiguales; pues el argumento es un número, un todo completo en sí
mismo, mientras que la función no lo es. Esto se puede comparar con la división de una línea por
un punto. Uno se inclina en tal caso a contar el punto divisor con los dos segmentos; pero si
queremos obtener una división limpia, esto es, para no contar nada dos veces o dejar algo sin
 Frege Esencial 80

contar, entonces debemos contar el punto divisor sólo con uno de los segmentos. Así, este
segmento se vuelve completo en sí mismo, y puede ser comparado al argumento; mientras que al
otro le falta algo, a saber, el punto divisor, que se puede llamar su punto final, no le pertenece.
Sólo al completarlo con este punto final, o con una línea que tenga dos puntos finales, obtendremos
de él algo entero. Por ejemplo, si digo ‘la función 2· x³+x’, x no debe de considerarse como
perteneciente a la función; esta letra sólo sirve para indicar el tipo de suplementación que se
necesita; nos permite reconocer los lugares donde deben ir los signos para el argumento.

Damos el nombre ‘el valor de una función para un argumento’ al resultado de completar la función
con el argumento. Así, por ejemplo, 3 es el valor de la función 2· x³+x para el argumento 1, ya que
tenemos: 2· 1³+1 = 3.

Hay funciones, como 2+x-x ó 2+0· x, cuyo valor es siempre el mismo, sea cual sea el argumento;
tenemos 2 = 2+x-x y 2 = 2+0· x. Ahora bien, si tomáramos al argumento como parte de la
función, tendríamos que mantener que el número 2 es tal función. Pero esto es un error. Aunque
en este case el valor de la función es siempre 2, la función como tal debe distinguirse del 2; pues la
expresión para una función siempre debe tener uno o más lugares que se supone que se han de
llenar con el signo para el argumento.

El método de la geometría analítica nos brinda un medio de hacer intuitivos los valores de una
función para diferentes argumentos. Ciertamente, si consideramos el argumento como el valor
numérico de una abscisa, y el correspondiente valor de la función como el valor numérico de la
ordenada de un punto, obtenemos una totalidad de puntos que se presenta a la intuición, en los
casos ordinarios, como una curva. Cada punto de la curva se corresponde con un argumento con el
correspondiente valor de la función.

Así, por ejemplo,

y = x2 – 4x

nos da una parábola, donde ‘y’ indica el valor de la función y el valor numérico de la ordenada, del
mismo modo que ‘x’ indica el argumento y el valor numérico de la abscisa. Comparándola ahora
con la función

x(x – 4)

encontramos que en todos los casos tiene, para el mismo argumento, el mismo valor que aquélla.
Tenemos, en general,

x2 – 4x = x(x – 4),

sea cual sea el número que se tome para x. Por consiguiente, la curva que obtenemos a partir de

y = x2 – 4x

es la misma que la que surge de

 Frege Esencial 81

y = x(x – 4).

Expreso esto de la siguiente manera: la función x(x – 4) tiene el mismo curso de valores que la
función x2 – 4x.

Si escribimos

x2 – 4x = x(x – 4),

no equiparamos una función a la otra, sino sólo los valores de las funciones entre sí. Y, si
entendemos que esta ecuación debe valer cualquiera que sea el argumento que se ponga en lugar de
x, entonces hemos expresado con esto la generalidad de una ecuación. Podríamos también decir:
‘El curso de valores de la función x(x – 4) es igual al de la función x2 – 4x’ y con esto tendríamos una
igualdad entre cursos de valores. Ahora bien, el que sea posible concebir la generalidad de una
igualdad entre valores de función como una igualdad, esto es, como una igualdad entre cursos de
valores, es algo que, me parece, no ha de probarse, sino que debe considerarse como una ley lógica
fundamental.72

Por tanto, podemos además introducir una notación abreviada para el curso de valores de una
función. Con este fin substituyo el signo del argumento en la expresión de la función por una vocal
griega, encierro el todo entre paréntesis y le antepongo la misma letra griega con espíritu suave. De
acuerdo con esto, por ejemplo,

έ (ε² - 4)
es el recorrido de la función x2 – 4x, y

ά (α · (α – 4))
es el recorrido de la función x(x – 4); de esto modo en

έ (ε² - 4) = ά (α · (α – 4))

tenemos la expresión de que el primer recorrido es igual que el segundo.

(…)

Ahora bien, ¿cómo se ha extendido el referente de la palabra ‘función’ por el progreso de la ciencia?
Podemos distinguir dos direcciones en las que ha ocurrido esto.

En primer lugar, el campo de operaciones matemáticas que sirven para construir funciones se ha
extendido. Además de la adición, la multiplicación, la potenciación, y sus conversos, las varias
maneras de paso al límite se introdujeron, sin que por otra parte, se haya sido siempre consciente

72
En muchos usos del modo habitual de expresion matemática, la palabra ‘función’ corresponde por cierto
a lo que he llamado aquí recorrido de una función. Pero función, en el sentido de la palabra que se usa aquí,
es lo lógicamente anterior.
 Frege Esencial 82

de lo que tenía de esencialmente nuevo lo que así de admitía. Se fue cada vez más lejos e incluso se
necesitó recurrir al lenguaje coloquial, ya que el lenguaje simbólico del análisis fracasó; por
ejemplo, al hablar de una función cuyo valor es 1 para números racionales y 0 para los irracionales.

En segundo lugar, el campo de posibles argumentos y valores para funciones ha sido extendido por
la admisión de números complejos. Junto con esto, el sentido de las expresiones ‘suma’,
‘producto’, etc., ha tenido que ser definido más ampliamente.

En ambas direcciones, iré todavía más lejos. Empezaré por añadir a los signos +, -, etc., que sirven
para construir expresiones funcionales, también signos como =, <, >, para así poder hablar, por
ejemplo, de la función x² = 1, donde la x toma el lugar del argumento, como antes. La primera
pregunta que surge aquí es cuáles son los valores de esta función para los diferentes argumentos.
Ahora, si reemplazamos x sucesivamente por -1, 0, 1, 2, tenemos:

(-1)² = 1
0² = 1
1² = 1
2² = 1.

De estas ecuaciones, la primera y la tercera son verdad, las otras, falsas. Ahora digo: ‘El valor de
nuestra función es un valor de verdad’, y distingo entre los valores de verdad de lo que es
verdadero y lo que es falso. Llamo, para acortar, al primero, lo Verdadero; al segundo, lo Falso.
Consecuentemente, por ejemplo, ‘2² = 4’ refiere a lo Verdadero, como digamos, ‘2²’ se refiere a
4. Y ‘2² = 1’ refiere a lo Falso. De acuerdo con esto,

‘2² = 4’, ‘2 > 1’, ‘24 = 4²’

todos se refieren a lo mismo, a saber, lo Verdadero, de tal manera que en

(2² = 4) = (2 > 1)

tenemos una ecuación correcta.

Surge aquí la objeción de que ‘2² = 4’ y ‘2 > 1’, aún así, nos dicen cosas muy distintas, expresan
pensamientos muy distintos; pero de la misma manera ‘24 = 4²’ y ‘4· 4 = 4²’ expresan
pensamientos diferentes, pero en cambio podemos reemplazar ‘24’ por ‘4· 4’ pues ambos signos
tienen el mismo referente. Consecuentemente, ‘24 = 4²’ y ‘4· 4 = 4²’ igualmente tienen el mismo
referente. Vemos a partir de esto que igualdad de referente no implica igualdad de pensamiento. Si
decimos ‘el lucero de la tarde es un planeta con un periodo de revolución más corto que la Tierra’,
el pensamiento que expresamos es distinto que en el enunciado ‘el lucero del alba es una planeta
con un periodo de revolución más corto que la Tierra’; ya que si alguien no sabe que el lucero de la
tarde es el lucero del alba puede considerar a uno verdadero y el otro falso. Y aún así, ambos
enunciados han de significar lo mismo, pues es sólo una cuestión de intercambio de las palabras ‘el
lucero de la tarde’ y ‘el lucero del alba’, que tienen el mismo referente, esto es, son nombres
propios del mismo cuerpo celeste. Debemos distinguir entre el sentido y el referente. ‘2 4’ y ‘4· 4’
tienen, por cierto, el mismo referente, es decir, son nombres propios del mismo número; pero no
 Frege Esencial 83

tienen el mismo sentido; en consecuencia, ‘24 = 4²’ y ‘4· 4 = 4²’ tienen el mismo referente, pero
no tienen el mismo sentido (es decir, en este caso: no contienen el mismo pensamiento).73

(…)

Hemos visto que el valor de nuestra función x² = 1 es siempre uno de los dos valores de verdad.
Ahora, si para un argumento determinado, por ejemplo -1, el valor de la función es lo Verdadero,
podemos expresar esto como sigue: ‘El número 1 tiene la propiedad de que su cuadrado es 1’; o,
más brevemente, ‘-1 es una raíz cuadrada de 1’; o ‘-1 cae bajo el concepto: raíz cuadrada de 1’. Si
el valor de la función x² = 1 para un argumento, por ejemplo para 2, es lo Falso, podemos expresar
esto como sigue: ‘2 no es una raíz cuadrada de 1’ o ‘2 no cae bajo el concepto: raíz cuadrada de 1’.
De esta manera vemos qué estrecha es la conexión entre lo que se llama un concepto en lógica y lo
que llamamos una función. De hecho, podemos decir directamente: un concepto es una función
cuyo valor es siempre un valor de verdad. También, el valor de la función

(x+1)² = 2(x+1)

es siempre un valor de verdad. Obtenemos lo Verdadero como su valor, por ejemplo, para el
argumento -1, y esto también se puede expresar así: -1 es un número que es menor en 1 que un
número cuyo cuadrado es igual a su doble. Esto expresa el hecho de que -1 cae bajo un concepto.
Ahora bien, las funciones

x² = 1 y (x+1)² = 2(x+1)

siempre tienen el mismo valor para el mismo argumento, a saber, lo Verdadero para los
argumentos -1 y +1, y lo Falso para todos los demás argumentos. De acuerdo con nuestras
convenciones anteriores, diremos también que tienen el mismo curso de valores, y expresaremos
esto en símbolos como sigue:

έ (ε² = 1) = ά ((α + 1)² = 2( α +1)).

En lógica esto se llama igualdad de extensiones de los conceptos. Así pues, podemos designar una
extensión como el curso de valores de una función cuyo valor para todo argumento es un valor de
verdad.

Tampoco pararemos en ecuaciones y desigualdades. La forma lingüística de las ecuaciones es una

oración asertiva. Una afirmación contiene (o por lo menos pretende contener) un pensamiento
como sentido; y este pensamiento es en general verdadero o falso; esto es, tiene, en general, un
valor de verdad, que debe ser considerado como el referente del enunciado, de la misma manera
que, digamos, el número 4 es a lo que la expresión ‘2+2’ se refiere, o Londres es a lo que ‘la
capital de Inglaterra’ se refiere.

73
Me doy cuenta de que esta manera de plantear el asunto puede parecer arbitraria y artificial, y que sería
mejor establecer mi opinión entrando más en la materia. Cf. mi próximo ensayo ‘Ueber Sinn und
Bedeutung’ [‘Sobre sentido y referencia’] en Zeitschrift für Philosophie und phil. Kritik.
 Frege Esencial 84

Oraciones asertivas en general, así como las ecuaciones o desigualdades o expresiones en el análisis,
pueden ser imaginadas como dividiéndose en dos partes; una completa en sí misma, y la otra que
necesita compleción, es insaturada. Así, por ejemplo, dividimos el enunciado

‘César conquistó las Galias’

en ‘César’ y ‘conquistó las Galias’. La segunda parte es insaturada: contiene un lugar vacío; sólo
cuando este espacio se rellena con un nombre propio, o con una expresión que substituye un
nombre propio, aparece un sentido completo. También aquí doy el nombre ‘función’ a lo se refiere
esta parte insaturada. En este caso el argumento es César.

Vemos que aquí se ha llevado a cabo al mismo tiempo una extensión en la otra dirección, es decir,
respecto a lo que puede ocurrir como argumento. No meramente números, sino objetos en general
se admiten ahora. Y aquí las personas, ciertamente, deben de considerarse como objetos. Los dos
valores de verdad ya se han introducido como posibles valores de una función; debemos ir más lejos
y admitir objetos sin restricción como valores de una función. Para dar un ejemplo de esto,
empecemos, por ejemplo, con la expresión

‘la capital del Imperio Alemán’.

Esto obviamente está por un nombre propio, y se refiere a un objeto. Si ahora la dividimos en las
partes

‘capital de’ y ‘el Imperio Alemán’

donde considero la forma genitiva dentro de la primera parte, entonces esta parte es insaturada,
mientras que la otra es completa en sí misma. Luego, de acuerdo con lo que he dicho antes, llamo

‘la capital de x’

la expresión de una función. Si tomamos el Imperio Alemán como el argumento, obtenemos Berlín
como el valor de la función.

Cuando hemos admitido así objetos sin restricción como argumentos y valores de funciones, la
pregunta surge de qué es lo que llamamos un objeto. Considero que una definición regular es
imposible, ya que tenemos aquí algo que es demasiado simple para admitir una descomposición
lógica. Sólo es posible indicar qué es lo que se quiere decir. Aquí diré brevemente: un objeto es
todo aquello que no es una función, cuya expresión no conlleva, por lo tanto, un lugar vacío.

Una oración asertiva no contiene un lugar vacío, y por lo tanto debemos tomar su referente como
un objeto. Pero una oración asertiva refiere a un valor de verdad. Luego los dos valores de verdad
son objetos.

(…)
 Frege Esencial 85

‘Sobre sentido y referencia’ (fragmentos)74

La igualdad75 induce a la reflexión por medio de preguntas relacionadas con ella que no son en
absoluto fáciles de responder. ¿Es la igualdad una relación? ¿Es una relación entre objetos? ¿O entre
nombres o signos de objetos? En mi Conceptografía supuse lo segundo. Las razones que parecen
hablar a favor de ello son las siguientes: a=a y a=b son, obviamente, enunciados de diferente valor
cognitivo; a=a vale a priori, según Kant, debe llamarse analítico, mientras que enunciados de la
forma a=b a menudo contienen muy valiosas extensiones de nuestro conocimiento y no pueden
llamarse a priori siempre. El descubrimiento de que el Sol no es nuevo cada mañana, sino siempre el
mismo, fue uno de los descubrimientos astronómicos más fértiles. Incluso hoy la identificación de
un pequeño planeta o cometa no es siempre algo rutinario. Ahora bien, si entendiéramos la igualdad
como una relación entre aquello a lo que los nombres ‘a’ y ‘b’ refieren, parecería que a=b no
podría diferir de a=a, en el caso de que a=b sea verdad. Se expresaría, por tanto, una relación de
una cosa consigo misma, y desde luego una por la cual todo está relacionado consigo mismo, y que
ninguna cosa mantiene con otra distinta. Lo que se quiere decir, parece, con a=b es que los signos o
nombres ‘a’ y ‘b’ refieren a lo mismo, de tal manera que esos signos mismos serían el objeto de la
discusión; una relación entre ellos sería afirmada. Pero esta relación se mantendría entre los
nombres o signos sólo en la medida en que nombran o designan algo. Estaría mediada por la
conexión de cada uno de los dos símbolos con la misma cosa referida. Pero esto es arbitrario. A
nadie se le puede prohibir que use cualquier evento u objeto producido arbitrariamente como un
signo para algo. En tal caso, el enunciado a=b no referiría ya a la cosa misma, sino sólo a nuestro
modo de designación; no expresaríamos ningún conocimiento genuino. Pero en muchos casos esto
es exactamente lo que queremos. Si el signo ‘a’ se distingue del signo ‘b’ sólo como un objeto
(aquí, por medio de su forma), no como un signo, es decir, no por la manera en la que designa
algo, el valor cognitivo de a=a se convierte esencialmente igual al de a=b, en el caso de que a=b sea

74
(Ed.) Publicado por primera vez en Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, Vol.100, 1892,
pp.25-50.
75
Utilizo esta palabra en el sentido de la identidad y entiendo que ‘a=b’ tiene el mismo sentido que ‘a es lo
mismo que b’ o ‘a y b coinciden’.
 Frege Esencial 86

verdad. Una diferencia puede surgir sólo si la diferencia entre los signos corresponde a una
diferencia entre los modos de presentación de la cosa designada. Sean a, b, c las rectas que unen los
vértices de un triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. El punto de intersección de a
y b es así el mismo que el punto de intersección de b y c. Así que tenemos designaciones diferentes
para el mismo punto, y estos nombres (‘punto de intersección de a y b’, ‘punto de intersección de b
y c’) también indican el modo de presentación; y de ahí que el enunciado contenga conocimiento
real.

Así pues, resulta natural pensar que con un signo (nombre, combinación de palabras, signos
escritos) está unido además de lo designado por el signo, que puede llamarse el referente del signo,
lo que querría llamar el sentido del signo, en donde está contenido el modo de presentación. En
nuestro ejemplo, de acuerdo con esto, el referente de las expresiones ‘el punto de intersección de a
y b’ y ‘el punto de intersección de b y c’ sería el mismo, pero no su sentido. El referente de ‘el
lucero de la tarde’ sería el mismo que el de ‘el lucero del alba’, pero no su sentido.

Está claro por el contexto que he entendido aquí por ‘signo’ y ‘nombre’ cualquier designación que
esté por un nombre propio, cuyo referente es por tanto un objeto determinado (tomando esta
palabra en su extensión más amplia), pero no un concepto ni una relación, que se tratarán más a
fondo en otro artículo.76 La designación de un único objeto también puede consistir en varias
palabras u otros signos. En aras de la brevedad, llamemos a cualquier designación así un nombre
propio.

En sentido de un nombre propio es captado por cualquiera que esté lo suficientemente familiarizado
con el lenguaje o la totalidad de designaciones las que pertenece;77 pero con esto el referente,
suponiendo que tenga uno, sólo se ilumina sólo de un lado. Para un conocimiento completo del
referente se requeriría que fuéramos capaces de decir inmediatamente, para cada sentido dado, si le
pertenece o no. A eso no llegamos nunca.

La conexión regular entre un signo, su sentido, y su referente es de tal tipo que al signo le
corresponde un sentido determinado y a éste, a su vez, un referente determinado, mientras que a
un referente (un objeto) no le corresponde un único signo. El mismo sentido tiene diferentes
expresiones en lenguajes diferentes, o incluso en el mismo lenguaje. Naturalmente, hay
excepciones a este comportamiento regular. A cada expresión perteneciente a una totalidad
completa de signos, debería de corresponderle ciertamente un sentido determinado; pero los
lenguajes naturales a menudo no satisfacen esta condición, y uno debe conformarse si la misma
palabra tiene el mismo sentido en el mismo contexto. Quizás se admitirá que toda expresión
gramaticalmente bien formada, haciendo de nombre propio, siempre tiene un sentido. Pero esto no
es lo mismo que decir que al sentido le corresponda también un referente. Las palabras ‘el cuerpo
celeste más distante de la Tierra’ tienen un sentido, pero es muy dudoso que tengan también un

76
(Ed.) Se refiere a ‘Sobre concepto y objeto’.
77
En el caso de un nombre propio real como ‘Aristóteles’, las opiniones sobre su sentido pueden variar.
Puede ser, por ejemplo, que se tome por lo siguiente: el discípulo de Platón y maestro de Alejandro Magno.
Cualquiera que lo tome así, asignará al enunciado ‘Aristóteles nació en Estagira’ un sentido distinto que
aquél que supone que el sentido del nombre es: el maestro de Alejandro Magno que nació en Estagira.
Mientras que el referente se mantenga el mismo, tales variaciones de sentido pueden ser toleradas, aunque
deben ser evitadas en la estructura teorética de una ciencia demostrativa y no deben ocurrir en un lenguaje
perfecto.
 Frege Esencial 87

referente. La expresión ‘la series menos convergente’ tiene un sentido; pero demostrablemente no
tiene referente, ya que para cada serie convergente se puede encontrar otra menos convergente,
pero que, aun así, es convergente. Por lo tanto, el que se haya captado un sentido no asegura que se
tenga un referente.

Si las palabras se usan de manera habitual, aquello de lo que se quiere hablar es su referente.
También puede ocurrir, sin embargo, que uno quiera hablar de las palabras mismas o de su sentido.
Esto ocurre, por ejemplo, cuando las palabras de otro son citadas en estilo directo. Las palabras de
uno mismo, pues, designan primero las palabras del otro hablante, y sólo éstas últimas tienen su
referente habitual. Tenemos, entonces, signos de signos. Cuando se ponen por escrito, las palabras
en este caso se encierran entre comillas. De acuerdo con esto, una palabra entre comillas no debe
tomarse como si tuviera su referente habitual.

Para hablar del sentido de una expresión ‘A’ se puede usar simplemente la frase ‘el sentido de la
expresión ‘A’’. En el estilo indirecto se habla del sentido, por ejemplo, de lo que ha dicho otra
persona. Está claro que en esta manera de hablar las palabras no tienen su referente habitual, sino
que designan lo que normalmente es su sentido. Para expresar esto de una manera más corta,
diremos: En el estilo indirecto, las palabras se usan indirectamente, o tienen su referente indirecto. De
acuerdo con esto, distinguimos el referente habitual del indirecto de una palabra; y su sentido
habitual de su sentido indirecto. Así pues, el referente indirecto de una palabra es su sentido habitual.
Este tipo de excepciones deben de tenerse siempre en cuenta si los modos de conexión entre el
signo, el sentido y el referente se quieren entender bien en cada caso.

El referente y el sentido de un signo se han de distinguir de la idea asociada. Si el referente de un

signo es un objeto sensorialmente perceptible, mi idea de él es una imagen,78 surgida de memorias
de impresiones sensoriales que he tenido, y actividades, tanto internas como externas, que he
llevado a cado. Esta idea está a menudo impregnada de sentimientos; la claridad de sus partes varía
y oscila. El mismo sentido no siempre está conectado, ni tan sólo en el mismo hombre, con la
misma idea. La idea es subjetiva: la idea de un hombre no es la idea de otro. De aquí que se den
múltiples diferencias entre las ideas relacionadas con un mismo sentido. Un pintor, un jinete, un
zoólogo probablemente conectarán ideas muy diferentes con el nombre ‘Bucéfalo’. Eso constituye
una distinción esencial entre la idea y el sentido de un signo, que puede ser la propiedad común de
mucha gente, y por tanto no es una parte o un modo de una mente individual. Pues es difícil negar
que la humanidad tiene un tesoro común de pensamientos que se va transmitiendo de una
generación a la otra.79

De acuerdo con lo anterior, no se deben tener escrúpulos al hablar simplemente del sentido,
mientras que en el caso de una idea, para ser precisos, se debe añadir a quién pertenece y en qué
momento. Podría decirse: así como un hombre conecta esta idea, y otro esa idea, con una misma
palabra, también un hombre puede asociar con ella este sentido y otro aquel sentido. Pero aún
existe una diferencia en el modo de conexión. Esto no les impide que capten el mismo sentido;

78
Se pueden incluir entre las ideas intuiciones, en las que las impresiones sensoriales y las actividades
mismas reemplazan las huellas que han dejado en la mente. La distinción no es importante para nuestro
objetivo, especialmente ya que las impresiones sensoriales y las actividades siempre van acompañadas de
las memorias de éstas para completar la imagen intuitiva. Se puede, por otro lado, entender la intuición
como incluyendo un objeto con tal de que sea sensiblemente perceptible o espacial.
79
Es, por tanto, muy poco conveniente designar con la palabra ‘idea’ cosas tan básicamente diferentes.
 Frege Esencial 88

pero no pueden tener la misma idea. Si duo idem faciunt, non est idem. Si dos personas se imaginan lo
mismo, cada una tiene a pesar de todo su idea. A veces es ciertamente posible establecer diferencias
entre las ideas, o incluso entre las sensaciones, de hombres distintos; pero una comparación
auténtica no es posible, porque no podemos tener las dos ideas juntas en una misma conciencia.

El referente de un nombre propio es el objeto mismo que se designa por medio de él; la idea que
tenemos en tal caso es totalmente subjetiva; entre medio está el sentido, que ya no es, desde luego,
subjetivo como la idea, pero no es tampoco el objeto mismo. La siguiente analogía quizás clarificará
estas relaciones. Alguien observa la Luna a través de un telescopio. Comparo la Luna misma con el
referente; es el objeto de observación, que viene dado por la imagen real proyectada en la lente del
objetivo del interior del telescopio y por la imagen de la retina del observador. A la primera imagen
la comparo con el sentido; la segunda es como la idea o la intuición. La imagen del telescopio es,
ciertamente, unilateral, depende del lugar de observación; pero aún así es objetiva, en tanto que
puede servir a varios observadores. En cualquier caso, podría disponerse de tal manera que muchos
la usaran al mismo tiempo. Pero cada uno tendría su propia imagen retiniana. Y debido a las
distintas conformaciones de los ojos, apenas si se alcanzaría incluso una congruencia geométrica, y
una coincidencia total quedaría excluida. Esta analogía podría quizás desarrollarse más, si se
supusiera que la imagen retiniana de A se hiciera visible a B; o quizás A podría ver también su
imagen retiniana en un espejo. De esta manera quizás pudiéramos mostrar cómo una idea puede ser
tomada de hecho como objeto, pero como tal no es para el observador lo que es directamente para
el que se la representa. Pero seguir discutiendo esto no apartaría demasiado del nuestro camino.

Ahora podemos reconocer tres niveles de diferenciación entre palabras, expresiones, y oraciones
completas. La diferencia puede atañer a lo sumo a las ideas, o al sentido pero no al referente, o
finalmente, también al referente. Respecto al primer nivel, debe recalcarse que, debido a la
inseguridad de la conexión de las ideas con las palabras, puede haber una diferencia para una
persona que otra no encuentre. La diferencia entre la traducción y el texto original no debería
sobrepasar este primer nivel. A las posibles diferencias que pueden encontrarse aquí pertenecen
también las coloraciones e iluminaciones que la poesía y la elocuencia intentan dar al sentido. Tales
coloraciones e iluminaciones no son objetivas, y deben se evocadas por cada oyente o lector de
acuerdo con las sugerencias del poeta o el orador. Sin ninguna afinidad entre las ideas humanas el
arte sería del todo imposible; pero nunca puede determinarse exactamente en qué medida se
corresponden éstas con las intenciones del poeta.

En lo que sigue no habrá más discusión sobre ideas e intuiciones; han sido mencionadas aquí sólo
para cerciorarse de que la idea que se provoca en el oyente por una palabra no se confunde con su
sentido o su referente.

Para posibilitar que nos expresemos de una manera breve y exacta, establezcamos la siguiente
terminología:

Un nombre propio (palabra, signo, combinación de signos, expresión) expresa su

sentido, se refiere a, o designa, su referente. Al usar un signo expresamos su sentido
y designamos su referente.

(…)
 Frege Esencial 89

Hasta ahora se ha considerado el sentido y el referente sólo de aquellas expresiones, palabras,

signos, que hemos llamado nombres propios. Ahora vamos a preguntarnos por el sentido y el
referente de un enunciado asertórico completo. Tal enunciado contiene un pensamiento.80 Ahora
bien, ¿ha de considerarse el pensamiento como su sentido o como su referente? Supongamos por el
momento que el enunciado tiene un referente. Si reemplazamos una palabra del enunciado por otra
que tenga el mismo referente, pero un sentido distinto, este reemplazo no puede tener ninguna
influencia sobre el referente del enunciado. Aun así podemos ver que en tal caso el pensamiento
cambia; ya que, por ejemplo, el pensamiento en el enunciado ‘El lucero del alba es un cuerpo
iluminado por el sol’ difiere del enunciado ‘El lucero de la tarde es un cuerpo iluminado por el sol’.
Alguien que no supiese que el lucero de la tarde es el lucero del alba podría tener un pensamiento
por verdadero y el otro por falso. Por lo tanto, el pensamiento no puede ser el referente del
enunciado, sino que ha de ser considerado su sentido. Pero ¿qué sucede ahora con el referente?
¿Tenemos derecho, en suma, a preguntar por él? ¿Tiene quizás el enunciado como un todo sólo un
sentido, pero no un referente? En todo caso, se puede esperar que se den tales enunciados, de la
misma manera que hay partes de los enunciados que tienen sentido pero no referente. Y los
enunciados que contienen nombres propios sin referente serán de este tipo. El enunciado ‘Ulises
fue dejado en Ítaca profundamente dormido’ obviamente tiene un sentido. Pero, puesto que es
dudoso que el nombre ‘Ulises’ que aparece en ella tenga un referente, es también dudoso que el
enunciado entero lo tenga. Pero, aun así, es seguro que cualquiera que tomara seriamente el
enunciado por verdadero o por falso, le otorgará al nombre ‘Ulises’ un referente también, no sólo
un sentido; pues es del referente del nombre que el predicado se afirma o niega. El que no admita
que el nombre tiene un referente no puede ni atribuirle ni dejar de atribuirle un predicado. Pero en
tal caso, el avance hacia el referente del nombre sería superfluo; uno podría estar satisfecho con el
sentido, si no quisiera ir más allá del pensamiento. Si sólo se tratara del sentido de la oración, el
pensamiento, no sería necesario preocuparse por el referente de una parte del enunciado; sólo el
sentido, y no el referente, de la parte es relevante para el sentido del enunciado entero. El
pensamiento sigue siendo el mismo, tenga o no tenga ‘Ulises’ un referente. El que nos
preocupemos por el referente de una parte del enunciado indica que generalmente reconocemos y
exigimos que el enunciado mismo tenga un referente. El pensamiento pierde su valor para nosotros
en cuanto reconocemos que falta el referente de una de sus partes. Por tanto, tenemos derecho a no
estar satisfechos con el sentido de un enunciado, y a preguntar también por su referente. Pero ahora
bien, ¿por qué queremos que todos los nombres propios tengan un referente además de un sentido?
¿Por qué no nos basta con el pensamiento? Porque, y en la medida en que, nos importa su valor de
verdad. Esto no es siempre el caso. Al escuchar un poema épico, por ejemplo, aparte de la eufonía
del lenguaje, nos interesa sólo el sentido de los enunciados y las imágenes y sentimientos que éstos
provocan. La pregunta por la verdad nos haría abandonar el gozo artístico por una actitud de
investigación científica. De ahí que nos sea indiferente si, por ejemplo, el nombre ‘Ulises’ tiene un
referente o no, mientras que aceptemos el poema como una obra de arte.81 Es la aspiración a la
verdad la que nos impulsa sobre todo a avanzar del sentido al referente.

80
Entiendo por pensamiento no el acto subjetivo del pensar, sino su contenido objetivo, que puede ser
propiedad común de muchos.
81
Sería deseable tener una palabra especial para los signos que tienen sólo sentido. Si las llamáramos,
digamos, imágenes, las palabras de los actores en el escenario serían sólo imágenes; es más, el actor mismo
sería una imagen.
 Frege Esencial 90

Hemos visto que a un enunciado hay que buscarle un referente, siempre que se está interesado en
los referentes de las partes componentes; y esto sucede cuando, y sólo cuando, se da el caso de que
no preguntamos por el valor de verdad.

Así pues, no vemos impulsados a aceptar que el valor de verdad de un enunciado es su referente.
Entiendo por el valor de verdad de un enunciado la circunstancia de que es verdadera o falsa. No
hay más valores de verdad. Para abreviar, llamaré uno lo Verdadera, al otro lo Falso. Todo
enunciado asertivo en el que importe el referente de sus palabras debe por lo tanto concebirse
como un nombre propio, y su referente, si lo tiene, es o bien lo Verdadero o lo Falso. Estos dos
objetos son reconocidos, aunque sólo implícitamente, por todo aquel que juzgue, que tenga algo
por verdadero, por tanto, también por el escéptico. La designación de los valores de verdad como
objetos puede parecer una ocurrencia arbitraria o quizás un mero juego de palabras, del cual no
puede extraerse ninguna consecuencia profunda. Lo que llamo objeto sólo se puede discutir más
exactamente en conexión con concepto y relación. Reservaré esto para otro artículo. 82 Pero debería
de estar claro que en todo juicio,83 por muy trivial que sea, el paso del nivel de los pensamientos al
nivel del referente (lo objetivo) se ha producido ya.

(…)

Si nuestra conjetura de que el referente del enunciado es su valor de verdad es correcta, entonces
éste debe permanecer inalterado cuando una parte del enunciado es substituida por una expresión
con el mismo referente. Y esto es, de hecho, el caso. Leibniz da la definición: ‘Eadem sunt, quae sibi
mutuo substitui possunt, salva veritate’. Pues ¿qué otra cosa podría encontrarse que no fuese el valor de
verdad que pertenezca de manera general a todo enunciado en el que interese el referente de las
partes componentes y que permanezca inalterado al hacer una substitución del género mencionado?

Ahora bien, si el valor de verdad de un enunciado es su referente, entonces por un lado todos los
enunciados verdaderos, y, por el otro lado, todos los falsos, tienen el mismo referente. A partir de
esto vemos que en el referente del enunciado todo lo específico se borra. Nunca nos podemos
interesar, por tanto, sólo en el referente de un enunciado; pero tampoco el mero pensamiento
proporciona conocimiento alguno, sino sólo el pensamiento junto con su referente, i.e. su valor de
verdad. Los juicios pueden concebirse como avances de un pensamiento a un valor de verdad.
Naturalmente esto no puede ser una definición. El juzgar es algo muy peculiar e incomparable.
Podría decirse que el juzgar es distinguir partes dentro del valor de verdad. Tal distinción sucede
remontándose al pensamiento. A cada sentido, que pertenece a un valor de verdad, le
correspondería su género peculiar de análisis. Sin embargo, he usado aquí la palabra ‘parte’ en un
sentido especial. De hecho, he transferido la relación entre las partes y el todo del enunciado a su
referente, llamando el referente de la palabra un parte del referente del enunciado, si la palabra
misma es parte del enunciado. Esta manera de hablar puede atacarse, ciertamente, porque el
referente total y una parte de él no son suficientes para determinar el resto, y porque la palabra
‘parte’ ya se usa para cuerpos en otro sentido. Una palabra especial debería de ser inventada.

(…)

82
(Ed.) De nuevo, se refiere a ‘Sobre concepto y objeto’.
83
Un juicio para mí no es la simple captación de un pensamiento, sino la admisión de su verdad.
 Frege Esencial 91

‘Concepto y objeto’ (fragmentos)84

En una serie de artículos en esta revista sobre la intuición y su elaboración psíquica, Benno Kerry ha
hecho referencia varias veces a mis Fundamentos de la aritmética, y a otros de mis escritos, a veces
mostrando su aprobación y otras impugnándolos. Esto sólo puede ser para mí motivo de

84
(Ed.) Publicado por primera vez en Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, Vol.16, 1892,
pp.192-205.
 Frege Esencial 92

satisfacción, y creo que la mejor manera de demostrar mi agradecimiento es asumir la discusión de

los puntos que impugna. Esto me parece tanto más necesario cuanto que su oposición está basada, al
menos en parte, en un malentendido, que podría ser compartido por otros, de lo que digo sobre
los conceptos; y porque, independientemente de esta ocasión especial, el asunto es suficientemente
importante y difícil para ser tratado más profundamente que lo que me pareció conveniente en mis
Grundlagen.

La palabra ‘concepto’ se usa de modos distintos, unas veces en sentido psicológico, otras veces, en
un sentido lógico, y otras, quizás, en una confusa mezcla de los dos. Es natural que esta libertad de
la que se goza se limite con la exigencia de que, una vez se ha adoptado el uso, éste se mantenga
invariable. He decidido, por mi parte, hacer un uso puramente lógico, de manera estricta. La
cuestión de si este o aquel uso es más apropiado me gustaría dejarla de lado, pues es de menos
importancia. Será fácil ponerse de acuerdo sobre el modo de expresión una vez que se reconozca
que hay algo que merece una denominación especial.

Me parece que la mala comprensión de Kerry es el resultado de su confusión, sin querer, entre su
propio uso de la palabra ‘concepto’ y el mío. Esto da lugar a contradicciones fácilmente que no se
pueden imputar a mi uso de tal palabra.

Kerry impugna lo que llama mi definición de concepto. Primero de todo querría remarcar que mi
explicación no pretendía ser una definición propiamente dicha. No se puede exigir que todo se
defina, como tampoco se puede exigir al químico que descomponga todas las substancias. Lo que es
simple no se puede descomponer, y lo que es lógicamente simple no puede definirse genuinamente.
Ahora bien, lo lógicamente simple no es algo que venga dado desde el principio, al igual que la
mayoría de los elementos químicos, sino que se alcanza sólo mediante el trabajo científico. Si se
descubre algo que es simple, o al menos que debe de contar como simple por el momento,
tendremos que acuñar una palabra para ello, ya que el lenguaje no contendrá originariamente una
expresión que le corresponda de manera exacta. Para introducir un nombre para algo lógicamente
simple no es posible una definición. No queda nada más que guiar al lector u oyente, mediante
alusiones, hacia la comprensión de lo que se quiere decir con la palabra.

Kerry querría que la distinción entre concepto y no objeto no fuera absoluta. Dice: ‘En un pasaje
anterior yo mismo he expresado la opinión de que la relación entre el contenido conceptual y el
objeto conceptual es, en cierto modo, peculiar e irreducible; pero esto no está ligado de ninguna
manera al punto de vista según el cual las propiedades de ser un concepto y ser un objeto se
excluyen mutuamente; el último punto de vista no se sigue del primero en absoluto, del mismo
modo que, por ejemplo, si la relación de padre e hijo fuera irreducible, no se seguiría que un
mismo hombre no pudiese ser padre e hijo a la vez (aunque no, desde luego, el padre de aquel de
quien es hijo).’

¡Continuemos con esta analogía! Si hubiera, o hubiese habido, seres que realmente fueran padres
pero no pudieran ser hijos, tales seres serían obviamente de una clase muy distinta a la de todos los
hombres que son hijos. Ahora bien, algo similar es lo que ocurre aquí. Un concepto – tal y como yo
entiendo la palabra— es predicativo.85 En cambio, un nombre de un objeto, un nombre propio, es
del todo incapaz de ser usado como un predicado gramatical. Ciertamente, esto exige una

85
Es decir, es el referente de un predicado gramatical.
 Frege Esencial 93

explicación, para no parecer falso. ¿No puede afirmarse perfectamente de algo que es Alejandro
Magno, el número 4 o el planeta Venus, del mismo modo que se puede afirmar de algo que es
verde o que es un mamífero? Si se piensa esto, no se están distinguiendo los usos de la palabra ‘es’.
En los dos últimos ejemplos, hace de cópula, como un mero signo verbal de predicación. Como tal
[la palabra alemana ‘ist’] se puede sustituir a veces por un mero sufijo personal. Compárese, por
ejemplo, ‘Dieses Blatt is grün’ [‘Esta hoja es verde’] y ‘Dieses Blatt grün’ [‘Esta hoja verdea’]. Se está
diciendo que algo cae bajo un concepto, y el predicado gramatical refiere a este concepto. En los
primero tres ejemplos, por el contrario, ‘es’ se usa como en aritmética el signo de igualdad, para
expresar una ecuación.86 En el enunciado ‘El lucero del alba es Venus’, tenemos dos nombres
propios, ‘el lucero del alba’ y ‘Venus’, para el mismo objeto. En el enunciado ‘El lucero del alba es
un planeta’ tenemos un nombre propio, ‘el lucero del alba’, y una palabra para concepto, ‘planeta’.
Lingüísticamente, ciertamente, sólo se ha sustituido ‘Venus’ por ‘un planeta’; pero en realidad la
relación se ha convertido en algo completamente diferente. Una ecuación es reversible; el caer un
objeto bajo un concepto no es una relación reversible. En el enunciado ‘El lucero del alba es
Venus’, el ‘es’ es obviamente no una mera cópula; su contenido es una parte esencial del predicado,
por lo cual en la palabra ‘Venus’ no está contenido el predicado completo.87 Alternativamente, se
puede decir: ‘El lucero del alba no es otro que Venus’; lo que antes estaba implícito en la palabra
‘es’ aquí se ha descompuesto en cuatro palabras, y en ‘no es otro que’, la palabra ‘es’ no es ahora
realmente nada más que la cópula. Lo que se predica aquí es pues, no Venus, sino no otro que Venus.
Estas palabras refieren a un concepto, bajo el cual, por cierto, cae sólo un objeto. Pero tal concepto
siempre se debe de distinguir del objeto.88 Tenemos aquí una palabra ‘Venus’ que nunca puede ser
un predicado genuino, aunque pueda formar parte de un predicado. El referente de esta palabra es
pues algo que nunca puede actuar como concepto, sino sólo como objeto. Kerry tampoco querría
discutir que hay aquí algo de esto. Pero con esto se habría admitido una distinción, que es muy
importante reconocer, entre lo que sólo puede actuar como objeto, y todo lo demás. Y esta
distinción no se borraría aunque fuera verdad, como cree Kerry, que hay conceptos que pueden ser
también objetos. Ahora bien, hay realmente casos que parecen apoyar esta opinión. Yo mismo he
indicado (en Grundlagen, §53, al final) que un concepto puede caer bajo uno superior, algo que, sin
embargo, no debe confundirse con la subordinación de un concepto a otro. Kerry no apela a esto,
sino que da el ejemplo siguiente: ‘El concepto ‘caballo’ es un concepto fácilmente alcanzable’, y
piensa que el concepto ‘caballo’ es un objeto, y, de hecho, uno de los objetos que caen bajo el
concepto ‘concepto fácilmente alcanzable’. ¡Totalmente correcto! Las tres palabras ‘el concepto
‘caballo’’ designan un objeto, pero precisamente por eso no designan ningún concepto, tal como yo
uso la palabra. Esto está del todo de acuerdo con el criterio que di, según el cual el artículo
determinado singular siempre indica un objeto, mientras que el artículo indeterminado acompaña a
una palabra para concepto.89 Kerry, ciertamente, opina que ninguna estipulación lógica puede
basarse en distinciones lingüísticas; pero del modo que yo lo hago, nadie que haga tales
estipulaciones puede evitarlo, ya que no podemos entendernos entre nosotros sin el lenguaje y por
tanto siempre tenemos que confiar, en última estancia, en que los otros entiendan las palabras,
formas, y la construcción de las oraciones esencialmente de la misma manera que nosotros mismos.
Como se ha dicho anteriormente: no estaba intentando dar una definición, sino sólo indicaciones; a
la vez que apelaba al sentimiento general de la lengua alemana. Me viene muy bien que haya tan

86
Uso la palabra ‘igual’ y el símbolo ‘=’ en el sentido de ‘lo mismo que’, ‘no otro que’, ‘idéntico a’. (…)
87
Cf. mi Grundlagen, §66, nota.
88
Cf. mi Grundlagen, §51.
89
Cf. mi Grundlagen, §51; §66, nota; §68, nota en p.80. [En esta edición, esto es la nota 62, p.73]
 Frege Esencial 94

buena concordancia entre la diferencia lingüística y la real. Respecto al artículo indeterminado

probablemente no hay excepciones a nuestra regla para consignar, a no ser fórmulas arcaicas como
‘Ein edler Rat’ [Consejero]. El tema no es tan simple para el artículo determinado, especialmente en
plural; pero entonces mi criterio no se relaciona con este caso. En el singular, según me parece, el
asunto es dudoso sólo cuando un singular está en lugar de un plural, como en los enunciados: ‘El
turco puso sitio a Viena’, ‘El caballo es un animal cuadrúpedo’. Estos casos se reconocen tan
fácilmente como casos especiales que el valor de nuestra regla apenas disminuye por su presencia.
Está claro que en el primer enunciado ‘El turco’ es el nombre propio de un pueblo. El segundo
enunciado probablemente se entiende más adecuadamente como expresión de un juicio universal,
como ‘Todos los caballos son cuadrúpedos’ o ‘Todos los caballos constituidos adecuadamente son
cuadrúpedos’; de lo que se hablará más adelante.90 Cuando Kerry dice que mi criterio es inexacto,
asevera que en el enunciado ‘El concepto del que estoy hablando ahora es un concepto individual’,
el referente del nombre compuesto de las primeras siete palabras es un concepto, pero no entiende
la palabra ‘concepto’ en mi sentido, y la contradicción no reside en mis estipulaciones. Pero nadie
puede exigir que mi modo de expresión deba coincidir con el de Kerry.

Debe de reconocerse que aquí hay una dificultad lingüística que, admito, es inevitable, si decimos
que el concepto caballo no es un concepto,91 mientras que, por ejemplo, la ciudad de Berlín es una
ciudad, y el volcán Vesubio es un volcán. El lenguaje se encuentra aquí en un aprieto que justifica el
que se desvíe de lo habitual. El propio Kerry nos indica la peculiaridad de nuestro caso, al poner
entre comillas la palabra ‘caballo’; yo uso cursivas con el mismo propósito. No había ninguna razón
para señalar las palabras ‘Berlín’ o ‘Vesubio’ de manera similar. En las discusiones lógicas, uno
quiere a menudo afirmar algo sobre un concepto, y vestirlo además de la forma habitual para tales
enunciados, es decir, que lo que se afirma sea el contenido de un predicado gramatical. En
consecuencia, cabe esperar que el concepto fuera el referente del sujeto gramatical; pero el
concepto como tal no puede aparecer así sin más, debido a su naturaleza predicativa, sino que tiene
que transformarse en un objeto,92 o, más precisamente, tiene que estar representado por un objeto,
que nombramos poniendo delante las palabras ‘el concepto’; por ejemplo,

‘El concepto hombre no es vacío’.

90
En la actualidad se tiende, parece, a exagerar el alcance de la aserción de que diferentes expresiones
lingüísticas nunca son completamente equivalentes, que una palabra nunca puede ser traducida exactamente
a otro idioma. Quizás se puede ir más lejos y decir que ni siquiera la misma palabra se comprende de igual
manera del todo por los hombres que comparten una misma lengua. No voy a investigar cuánto hay de
verdad en estas afirmaciones, sino que sólo quiero recalcar que, a pesar de todo, no son pocas las veces que
hay algo en común en expresiones distintas, lo que yo llamo el sentido, o en el caso especial de las
oraciones, el pensamiento. En otras palabras, no debemos dejar de reconocer que el mismo sentido, el
mismo pensamiento, puede expresarse de varias maneras; así pues, la diferencia no lo es del sentido, sino
sólo de la captación, iluminación, o coloración del sentido, y esto no entra en consideración para la lógica.
Es posible que un enunciado de ni más ni menos información que otra; y, a pesar de toda la multiplicidad
de lenguajes, la humanidad tiene un tesoro común de pensamientos. Si toda transformación de la expresión
estuviera prohibida, con la excusa de que también se alteraría el contenido, la lógica quedaría simplemente
paralizada; pues la tarea de la lógica puede apenas llevarse a cabo sin intentar reconocer el pensamiento una
y otra vez bajo varios ropajes. Además, cualquier definición habría de rechazarse como falsa.
91
Algo similar ocurre cuando decimos, respecto al enunciado ‘Esta rosa es roja’: el predicado gramatical
‘es roja’ pertenece al sujeto ‘esta rosa’. Aquí las palabras ‘El predicado gramatical ‘es roja’’ no son un
predicado gramatical sino un sujeto. Por el hecho mismo de llamarlo explícitamente un predicado, le
robamos esa propiedad.
92
Cf. mis Grundlagen, p.x.
 Frege Esencial 95

Aquí, las tres primeras palabras se deben de entender como un nombre propio,93 que no puede
utilizarse predicativamente, al igual que ‘Berlín’ o ‘Vesubio’. Cuando se dice ‘Jesús cae bajo en
concepto hombre’, el predicado es (dejando a un lado la cópula)

‘algo que cae bajo el concepto hombre’

y esto tiene el mismo referente que

‘un hombre’.

Pero la frase

‘el concepto hombre’

es sólo parte del predicado.

Se puede alegar, en contra de la naturaleza predicativa de los conceptos, que, sin embargo, se habla
de un concepto-sujeto. Pero incluso en esos casos, como por ejemplo, en el enunciado

‘Todos los mamíferos tienen sangre roja’

no podemos sino reconocer la naturaleza predicativa del concepto; ya que podríamos decir, en
lugar de lo anterior:

‘Lo que es mamífero tiene sangre roja’

o:

‘Si algo es mamífero, tiene sangre roja’.

(…)

Así pues, Kerry no consigue llenar el abismo entre concepto y objeto, pero, sin embargo, podrían
utilizarse las cosas que yo he dicho en este sentido. He dicho 94 que la asignación de un número
encierra una afirmación sobre un concepto; hablo de propiedades, que pueden afirmarse de un
concepto, y admito que un concepto puede caer bajo otro superior.95 He llamado a la existencia una
propiedad de un concepto. Lo que quiero decir con esto se clarifica mejor con un ejemplo. En el
enunciado ‘Hay al menos una raíz cuadrada de 4’, estamos afirmando algo, no del número
determinado 2, ni tampoco de -2, sino sobre un concepto, raíz cuadrada de 4, y se afirma que no
está vacío. Pero si expreso el mismo pensamiento así: ‘El concepto raíz cuadrada de 4 tiene
instancias’, entonces las seis primeras palabras forman el nombre propio de un objeto, y de ese

93
Llamo nombre propio a todo signo para un objeto.
94
Grundlagen, §46.
95
Grundlagen, §53.
 Frege Esencial 96

objeto se afirma algo. Pero, nótese que este enunciado no es el mismo que se hizo sobre el
concepto. Esto sorprenderá sólo a quienes no se den cuenta de que un pensamiento puede
descomponerse de varias maneras, de tal modo que unas veces esto, otras veces lo otro, aparece
como sujeto o como predicado. El pensamiento mismo no determina qué debe considerarse como
el sujeto. Cuando se dice ‘el sujeto de este juicio’, no designamos algo determinado a no ser que, a
la vez, indiquemos un tipo de análisis determinado. En la mayoría de los casos, esto se hace en
conexión con un enunciado determinado. Pero no se debe de olvidar nunca que diferentes
enunciados pueden expresar el mismo pensamiento. Así pues, el pensamiento que se está
considerando también podría entenderse como afirmando algo sobre el número 4:

‘El número 4 tiene la propiedad de que hay algo de lo cual es su cuadrado’.

El lenguaje tiene los medios para hacer que aparezca unas veces una parte del pensamiento como
sujeto y otras veces otra. Uno de los más conocidos es la distinción entre las formas de la pasiva y la
activa. Así pues no es imposible un pensamiento dado aparezca, según un análisis, como singular, de
acuerdo con otro, como particular, y de acuerdo con un tercero, como universal. No debe
sorprendernos pues que la misma oración se pueda concebir como una afirmación sobre un
concepto, y también como una afirmación sobre un objeto, siempre que se tenga en cuenta que
estas afirmaciones son distintas. En el enunciado ‘Hay al menos una raíz cuadrada de 4’ es imposible
sustituir las palabras ‘una raíz cuadrada de 4’ por ‘el concepto raíz cuadrada de 4’, esto es: la
afirmación que encaja con el concepto no encaja con el objeto. Aunque nuestra oración no presenta
el concepto como sujeto, afirma algo sobre él. Puede concebirse como expresando que un concepto
cae bajo otro superior.96 Pero con esto no se borra de ninguna manera la distinción entre objeto y
concepto. Para empezar, veamos que en el enunciado ‘Hay al menos una raíz cuadrada de 4’ la
naturaleza predicativa no se oculta. Puede decirse ‘Hay algo que tiene la propiedad de dar como
resultado 4 cuando se multiplica por sí mismo’. Por tanto, lo que se afirma aquí de un concepto no
puede afirmarse nunca de un objeto, ya que un nombre propio no puede ser nunca una expresión
predicativa, aunque puede formar parte de una. No quiero decir que sea falso afirmar de un objeto
lo que aquí se afirma de un concepto; quiero decir, más bien, que es imposible, que no tiene
sentido. El enunciado ‘Hay Julio César’ no es ni verdadero ni falso, sino que no tiene sentido; el
enunciado ‘Hay un hombre que se llama Julio César’ tiene sentido, pero aquí, de nuevo, tenemos
un concepto, como el artículo indeterminado indica. Tenemos lo mismo en el enunciado ‘Hay sólo
una Viena’. No debemos dejarnos engañar por el hecho de que el lenguaje a menudo usa la misma
palabra, a veces como nombre propio, a veces como palabra para concepto; en nuestro ejemplo, el
numeral indica que tenemos esto último. ‘Viena’ es aquí una palabra para concepto, como ‘ciudad
imperial’. Usándola en este sentido, podríamos decir: ‘Trieste no es una Viena’. Si, por otro lado,
en el enunciado ‘el concepto raíz cuadrada de 4 tiene instancias’, sustituimos el nombre propio
formado por las seis primeras palabras por ‘Julio César’, obtenemos una oración que tiene sentido
pero es falsa; ya que el tener instancias, así como se entiende la expresión aquí, es algo que sólo se
puede afirmar en verdad de una clase especial de objetos, a saber: aquellos que pueden designarse
con nombres propios de la forma ‘el concepto F’. Así pues, las palabras ‘el concepto raíz cuadrada de
4’ tienen un comportamiento completamente distinto, respecto a las sustituciones posibles, de las
palabras ‘una raíz cuadrada de 4’ en nuestro enunciado original; esto es, el referente de ambas
expresiones es diferente.

96
En mi Grundlagen llamé a tal concepto, concepto de segundo orden y en mi escrito ‘Función y concepto’
concepto de segundo nivel, como voy a hacer aquí.
 Frege Esencial 97

Lo que se ha mostrado aquí en un ejemplo, vale de manera general; el comportamiento del

concepto es esencialmente predicativo, incluso cuando se afirma algo de él; en consecuencia, puede
reemplazarse allí sólo por otro concepto, nunca por un objeto. Así, lo que se afirma de un concepto
no es adecuado en absoluto para un objeto. Los conceptos de segundo nivel, bajo los cuales caen
conceptos, son esencialmente distintos de los conceptos de primer nivel, bajo los cuales caen
objetos. La relación de un objeto con un concepto de primer nivel bajo el que cae es diferente,
aunque similar, de la de un concepto de primer orden con un concepto de segundo orden. Para
hacer justicia al mismo tiempo de la diferencia y la similitud se podría decir, quizás, que un objeto
cae bajo un concepto de primer nivel, y que un concepto cae en un concepto de segundo nivel. La
distinción entre concepto y objeto se mantiene en toda su crudeza.

(…)

No discuto a Kerry, en absoluto, el derecho de usar las palabras ‘concepto’ y ‘objeto’ a su manera,
pero debería respetar mi mismo derecho, y admitir que con mi designación he captado una
distinción de la máxima importancia. Ciertamente, hay un obstáculo peculiar en el camino del
entendimiento con el lector, que por una cierta necesidad lingüística, mi expresión, tomada
literalmente, a veces traiciona el pensamiento, ya que menciono un objeto cuando de lo que quiero
es hablar de un concepto. Soy del todo consciente de que en tales casos, apelo a la complicidad
benevolente del lector, que no me escatima un pellizco de sal.

Puede pensarse que esto es una dificultad creada artificialmente, que no hace falta tomar en
consideración algo tan poco manejable como lo que he llamado un concepto y que podría, como
Kerry, considerar el que un objeto caiga bajo un concepto una relación en la que lo que una vez
podría ocurrir como objeto, la otra vez puede actuar como concepto. Las palabras ‘objeto’ y
‘concepto’ servirían entonces sólo para indicar las diferentes posiciones en la relación. Esto puede
hacerse; pero quien piense que de esta manera se evita la dificultad, está muy equivocado. Sólo se
ha conseguido aplazarla; pues no todas las partes de un pensamiento pueden ser completas; al
menos una ha de ser insaturada, o predicativa; de lo contrario no encajarían entre sí. Por ejemplo,
el sentido de la expresión ‘el número 2’ no encaja con el de la expresión ‘el concepto número primo’
sin un vínculo. Aplicamos el vínculo en el enunciado ‘El número 2 cae bajo el concepto número
primo’. Tal vínculo está contenido en las palabras ‘cae bajo’, que necesitan ser completadas de
manera doble: por un sujeto y un acusativo; y sólo la insaturación de su sentido las hace capaces de
servir como vínculo. Sólo cuando se han suplementado en este doble aspecto tenemos un sentido
completo, un pensamiento. Digo ahora que lo que esas palabras o expresiones tienen como
referente es una relación. Ahora bien, encontramos aquí la misma dificultad respecto de la relación
que intentábamos evitar respecto de los conceptos; ya que las palabras ‘la relación caer un objeto
bajo un concepto’ designa no una relación sino un objeto; y los tres nombres propios ‘el número 2’,
‘el concepto número primo’ y ‘la relación caer un objeto bajo un concepto’, tienen un
comportamiento tan esquivo entre sí como los dos primeros solos; combinémoslos como los
combinemos, no tendremos un enunciado. Así pues, nos es fácil ver que la dificultad que surge por
la insaturación de una parte del pensamiento puede en verdad aplazarse, pero nunca evitarse.
‘Completo’ e ‘insaturado’ son por supuesto expresiones figuradas, pero todo lo que quiero o puede
dar aquí son indicaciones.

(…)
 Frege Esencial 98

Leyes básicas de la aritmética, Vol. I.

Prólogo (fragmentos)

(…)

El ideal de un método estrictamente científico de las matemáticas, que he intentado realizar aquí, y
que bien podría llamarse euclídeo, lo describiré de la siguiente manera. No puede, ciertamente,
exigirse que se pruebe todo, pues es imposible; pero podemos exigir que todos los enunciados que
se usen sin demostración estén explícitamente declarados como tales, para que así se pueda ver
claramente sobre qué descansa la construcción entera. Hay que esforzarse, por tanto, en disminuir
el número de estas leyes fundamentales en lo máximo posible, demostrando todo lo que sea
demostrable. Es más, y en esto voy más allá que Euclides, hay que exigir que los métodos de
deducción e inferencia usados se mencionen previamente. De lo contrario, es imposible asegurarse
de que la primera exigencia se cumple. Este ideal creo que ha sido alcanzado en lo esencial; sólo en
ciertos puntos podría exigirse mayor rigor. Para procurarme flexibilidad y no caer en una extensión
excesiva, me he permitido hacer uso tácito de la intercambiabilidad de los miembros inferiores
(condiciones) y de la posibilidad de amalgamar miembros inferiores iguales,97 y no he reducido los
modos de inferencia al menor número posible. Aquellos que hayan leído mi Begriffsschrift podrán
deducir que incluso en este respecto sería posible satisfacer las exigencias más rigurosas, pero al
mismo tiempo sabrá que esto implicaría un aumento considerable de la extensión.

(…)

Como no hay huecos en las cadenas de inferencia, se pone de manifiesto cada axioma, presupuesto,
hipótesis, o como se quiera llamar, sobre los que se basa la demostración; y así se obtiene una base
para decidir la naturaleza epistemológica de la ley que se demuestra. A menudo se ha afirmado que
la aritmética no es más que lógica desarrollada; pero esto será discutible mientras que aparezcan en
las pruebas pasos que no se den según leyes lógicas reconocidas, sino que parezcan descansar sobre
conocimiento intuitivo. Sólo cuando estos se analicen en pasos lógicos simples, podremos estar
seguros de que sólo hay lógica en la base. He reunido todo lo que puede facilitar el juzgar si las
cadenas deductivas son concluyentes y las premisas sólidas. Si alguien encontrase algo defectuoso,

97
(Ed.) Es decir, los pasos, respectivamente: de ‘Si A, entonces, si B, entonces C’ a ‘Si B, entonces, si A,
entonces C’; y de ‘Si, si A, entonces A, entonces B’ a ‘Si A, entonces B’.
 Frege Esencial 99

debería de ser capaz de decir exactamente dónde está el error, según su opinión: en las leyes
fundamentales, en las definiciones, en las reglas o en su aplicación en un punto determinado. Si
todo se encuentra en orden, entonces, las bases sobre las que resta cada teorema en particular son
sabidas con precisión. Sólo puede haber discusión, según alcanzo a ver, respecto de mi ley
fundamental de los cursos de valores (V), que no ha sido todavía expresada específicamente por los
lógicos, aunque se piensa en ella cuando se habla, por ejemplo, de extensiones de conceptos. Por
mi parte, sostengo que es puramente lógica. En cualquier caso, señalo aquí el punto decisivo.

(…)

La razón de que la implementación aparezca tanto tiempo después de su anuncio radica en parte en
cambios internos a mi Begriffsschrift, que me forzaron a desechar un manuscrito que estaba ya casi
terminado. Explicaré aquí brevemente estos cambios. Los signos primitivos que se usaron en mi
Begriffsschrift se encuentran aquí de nuevo con una excepción. En lugar de los tres trazos paralelos,
he preferido el signo de igualdad habitual, ya que me he convencido de que tiene en la aritmética
precisamente el referente que quiero designar. Uso la palabra ‘igual’ con el mismo referente que
‘coincidente con’ o ‘idéntico a’, y es así el signo de igualdad se usa en la aritmética. La objeción que
puede surgir de esto está basada, seguramente, en una distinción inadecuada entre signo y aquello
designado. Claramente, en la ecuación ‘2² = 2+2’ el signo de la izquierda es distinto al signo de la
derecha; pero ambos designan o se refieren al mismo número.98A los antiguos signos primitivos
sólo se han añadido dos: el ‘espíritu suave’ [Spiritus lenis] para designar el curso de valores de una
función y un signo para representar el artículo determinado el lenguaje natural. La introducción de
los cursos de valores de las funciones es un avance esencial, al que se debe una movilidad mucho
mayor. Los signos derivados anteriores pueden ser ahora reemplazados por otros, bastante más
simples, aunque las definiciones de la univocidad de una función, de la sucesión en una serie, y de la
aplicación son esencialmente las mismas que di en parte en mi Begriffsschrift y en parte en mis
Fundamentos de la aritmética. Pero los cursos de valores también tienen una gran importancia
fundamental; pues defino el número mismo como una extensión de un concepto, y las extensiones
de los conceptos son, según mi concepción, cursos de valores. Sin éstos, por lo tanto, no se podría
llegar a ninguna parte.

(…)

Con esto llego al segundo motivo del retraso: el desaliento que ocasionalmente me sobrevino ante
el frío recibimiento, o más precisamente la falta de recepción, hecho a mis obras antes mencionadas
por los matemáticos99 y las corrientes científicas adversas en contra de las que mi libro tendrá que
luchar. La primera impresión ya debe de asustar: signos desconocidos, páginas llenas de fórmulas
extravagantes. Por esto durante tiempo me dediqué a otras cosas. Pero no podía encerrar en mi
mesa los resultados de mi pensamiento, que me parecían valiosos, por mucho tiempo, y el esfuerzo
empleado exigía siempre nuevos esfuerzos para que el trabajo no fuera en vano. Así que no me
libraba del asunto. En un caso como este, donde el valor de un libro no puede reconocerse con una

98
Naturalmente, también digo el sentido del signo de la derecha es diferente del signo que está a la
izquierda; pero el referente es el mismo. Cf. mi artículo ‘Sobre sentido y referencia’.
99
Uno busca en vano mis Fundamentos de la aritmética en el Jahrbuch über die Fortschritte der
Mathematik. Investigadores en esta misma área – Dedekind, Otto Stolz, von Helmholtz – parece que no
conocen mis trabajos. Tampoco los menciona Kronecker en su ensayo sobre el concepto de número.
 Frege Esencial 100

lectura rápida, la crítica debe de ayudar. Pero en general la crítica está muy mal pagada. Un crítico
nunca puede esperar que el esfuerzo que seguramente representa un estudio profundo de este libro
sea remunerado. Tan sólo me cabe esperar que alguien tenga suficiente confianza en el tema que la
ganancia interior le suponga un premio suficiente, y que publique luego los resultados de su
cuidadoso examen. No se trata de que sólo me satisfaga un comentario elogioso. ¡Al contrario!
Preferiría un ataque apoyado en un conocimiento profundo de mi trabajo que una alabanza en
términos generales, que no tocara el núcleo de la cuestión.

(…)

Por lo demás las perspectivas de mi libro son escasas, naturalmente. En todo caso, debo descartar a
todos los matemáticos quienes, al ver expresiones lógicas como ‘concepto’, ‘relación’, ‘juicio’,
piensan: metaphysica sunt, non leguntur! y asimismo, a los filósofos que al ver una fórmula, exclaman:
mathematica sunt, non leguntur!, y son pocos los que no caben en una de estas dos categorías. Quizás
el número de matemáticos que se preocupan por la fundamentación de su ciencia no es muy
grande, y hasta ellos parecen a veces que tiene prisa por dejar atrás las bases iniciales. Y apenas me
atrevo a esperar que mis razones para el meticuloso rigor y la extensión que le acompaña convenzan
a muchos de ellos.

(…)

Tan pronto como [los matemáticos] se dignen a estudiar seriamente mi libro, aunque sea para
refutarlo, creo que habré ganado la partida. Pues toda la Parte II es realmente una demostración de
mis convicciones lógicas. Pues es improbable para empezar que una estructura así se pudiera
construir sobre una base insegura, defectuosa. Cualquiera que tenga convicciones diferentes puede
intentar montar sobre ellas una estructura similar, y se dará cuenta, creo yo, de que no funciona o
al menos de que no funciona tan bien. Y como refutación sólo podré aceptar que alguien
demostrase, en la práctica, que un edificio mejor, más sólido, puede erigirse sobre convicciones
fundamentales diferentes, o que alguien me demuestra que mis principios conducen a consecuencias
obviamente falsas. Pero eso no lo conseguirá nadie. Y así puede que este libro contribuya, aunque
tarde, a una renovación de la lógica.

Jena, julio de 1893

 Frege Esencial 101

Carta de Russell a Frege, 16 de junio de 1902

Friday’s Hill, Haslemere, 16 de junio de 1902

Estimado colega,

Durante un año y medio he tenido conocimiento de su Grundgesetze der arithmetik, pero hasta ahora
no he sido capaz de encontrar el tiempo para el estudio profundo que quería hacer de su trabajo.
Me encuentro completamente de acuerdo con usted respecto a todos los esenciales,
particularmente cuando rechaza todo elemento psicológico en la lógica y cuando pone tanto valor
en una conceptografía para los fundamentos de la matemática y de la lógica formal, que, por cierto,
apenas si se pueden distinguir. Respecto a muchas cuestiones particulares, encuentro en su trabajo
discusiones, distinciones y definiciones que uno busca en vano en los trabajos de otros lógicos.
Especialmente en cuanto respecta a las funciones (§9 de su Begriffsschrift), he llegado por mí mismo
a concepciones que son iguales incluso en el detalle. Hay sólo un punto donde he encontrado una
dificultad. Afirma (p.17) que una función también puede actuar como el elemento indeterminado.
Yo creía esto anteriormente, pero ahora esta concepción me parece dudosa por la siguiente
contradicción. Sea w el predicado: ser un predicado que puede ser predicado de sí mismo. ¿Puede
predicarse w de sí mismo? De cada respuesta se sigue lo contrario. Por lo tanto, debemos concluir
que w no es un predicado. Asimismo, no existe una clase (como una totalidad) de aquellas clases
que, tomadas como una totalidad, no pertenecen a sí mismas. A partir de esto concluyo que bajo
ciertas circunstancias una colección definible no forma una totalidad.

Estoy a punto de terminar un libro sobre los principios de las matemáticas y en él me gustaría
discutir su trabajo muy detalladamente.100 Ya tengo sus libros o los voy a comprar pronto, pero le
estaría muy agradecido si pudiera enviarme copias de sus artículos en las varias revistas. En caso de
que esto fuera imposible, sin embargo, las obtendré de la biblioteca.

El tratamiento exacto de la lógica en las cuestiones fundamentales, donde los símbolos fallan, ha
permanecido muy retrasada; en sus trabajos encuentro lo mejor que conozco de nuestro tiempo, y
por lo tanto me he permitido expresarle mi profundo respeto. Es lamentable que no haya llegado a
publicar el segundo volumen de su Grundgesetze; espero que todavía se vaya a hacer.

Muy respetuosamente suyo,

Bertrand Russell

La contradicción arriba, cuando se expresa en la notación de Peano, se lee como sigue:

100
(Ed.) Véase el apéndice A de: B. Russell, Los Principios de las Matemáticas, publicado por primera vez
en 1903.
 Frege Esencial 102

w = cls  x  ( x   x) .  : w  w .=. w   w.101

He escrito a Peano sobre esto, pero todavía me debe una respuesta.

101
(Ed.) Esto en notación moderna es: w = {x: ( x  x)}  ( w  w  (w  w) ), es decir, que si la
clase w se define como aquella clase que contiene los x tales que no pertenecen a sí mismos, entonces, w
pertenece a w si y sólo si w no pertence a w.
 Frege Esencial 103

Carta de Frege a Russell, 22 de junio de 1902 (fragmentos)

Jena, 22 de junio de 1902

Estimado colega,

Muchas gracias por su interesante carta del 16 de junio. Me alegra que esté de acuerdo conmigo en
muchos puntos y que quiera discutir mi trabajo en profundidad.

(…)

Su descubrimiento de la contradicción ha causado en mí la sorpresa más grande y, casi diría,

consternación, ya que ha sacudido las bases sobre las que pretendía construir la aritmética. Parece,
pues, que transformar la generalización de una ecuación en la identidad de cursos de valores (§9 de
mi Grundgesetze) no está siempre permitido, que mi Ley V (§20, p.36) es falsa, y que mis
explicaciones en §31 no son suficientes para garantizar que mis combinaciones de signos tienen un
referente en todos los casos. Debo reflexionar más sobre el asunto. Esto es todavía más serio dado
que, con la pérdida de mi Ley V, no sólo los fundamentos de mi aritmética, sino también los únicos
fundamentos posibles de la aritmética, parece que se desvanecen. Aun así, pienso, debe de ser
posible dar condiciones para la transformación de la generalización de una ecuación en una
identidad de cursos de valores tales que lo esencial de mis demostraciones se mantenga intacto. En
cualquier caso, su descubrimiento es muy importante y quizás resultará en un gran avance en lógica,
aunque a primera vista parezca mal recibido.

Incidentalmente, me parece que la expresión ‘un predicado se predica de sí mismo’ no es exacto.

Un predicado es, normalmente, una función de primer orden, y esta función requiere un objeto
como argumento, no puede tenerse a ella misma como argumento (sujeto). Por lo tanto, preferiría
decir ‘un concepto es predicado de su propia extensión’. Si la función Φ(ξ) es un concepto, denoto
su extensión (o la clase correspondiente) con ‘έΦ(ε)’ (ciertamente, la justificación para esto ahora
se ha vuelto cuestionable para mí). En ‘Φ(έΦ(ε))’ o ‘έΦ(ε) ∩ έΦ(ε)’102 tenemos, por lo tanto, un
caso en el que el concepto Φ(ξ) se predica de su propia extensión.

El segundo volumen de mi Grundgesetze aparecerá pronto. Sin duda tendré que añadir un apéndice
en el que tomar en consideración su descubrimiento. ¡Ojalá tuviera ya el punto de vista correcto
sobre eso!

Muy respetuosamente suyo,

G. Frege

Leyes básicas de la aritmética, Vol.II

102
(Ed.) El símbolo ‘∩’ para Frege indica la reducción de una función de segundo nivel a una función de
primer nivel.
 Frege Esencial 104

Apéndice, fragmentos.

Difícilmente puede acontecer algo más desafortunado para un escritor científico que las bases de su
edificio se le sacudan una vez su trabajo está terminado.

Esta fue la situación en la que me puso una carta del Sr. Bertrand Russell, justo cuando la impresión
de este volumen estaba a punto de completarse. Es un problema con mi Axioma V. Nunca he
escondido su falta de evidencia, que los otros axiomas poseen, y que debería de ser exigida de toda
ley lógica. Y de hecho, indiqué este punto débil en el Prefacio del Vol.I (p.VII).103 Felizmente
habría prescindido de este fundamento si hubiera tenido un substituto. Y incluso ahora no veo cómo
se puede establecer científicamente la aritmética; cómo los números se pueden aprehender como
objetos lógicos, y ponerse a examen; a no ser que se nos permita – al menos condicionalmente –
pasar de un concepto a su extensión. ¿Puedo hablar siempre de la extensión de un concepto, hablar
de una clase? Y si no es así, ¿cómo se reconocen los casos especiales? ¿Se puede inferir siempre, a
partir de la igualdad de las extensiones de dos conceptos, que todo objeto que cae bajo uno cae
también bajo el otro? Estas son las preguntas planteadas por el mensaje del Sr. Russell.

Solatium [sic] miseris socios habuisse malorum.104 Yo también tengo este consuelo, si es que es un
consuelo; pues todos los que han usado en sus demostraciones las extensiones de conceptos, clases,
conjuntos,105 están en la misma situación que yo. Lo que está en cuestión no es mi manera particular
de establecer la aritmética, sino si es posible fundamentar lógicamente la aritmética, en general.

Pero vayamos al grano. El Sr. Russell ha descubierto una contradicción que ahora debemos
exponer.

Nadie desea afirmar de la clase de los hombres, que sea un hombre. Aquí tenemos una clase no que
pertenece a sí misma. Digo que algo pertenece a una clase cuando cae bajo el concepto del cual la
clase es la extensión. Concentrémonos ahora en el concepto: clase que no pertenece a sí misma. La
extensión de este concepto (si es que podemos hablar de su extensión) es pues la clase de clases que
no pertenecen a sí mismas. Para abreviar esta clase se llamará K. Veamos ahora si esta clase K
pertenece a sí misma. Primero, supongamos que sí. Si algo pertenece a una clase, cae bajo el
concepto cuya extensión es la clase. Así pues, si nuestra clase pertenece a sí misma, es una clase que
no pertenece a sí misma. De nuestra primera suposición, por tanto, se sigue una contradicción.
Segundo, supongamos que nuestra clase K no pertenece a sí misma; entonces cae bajo el concepto,
de cual la extensión es ella misma, y por tanto, sí que pertenece a sí misma. Aquí, otra vez igual,
¡tenemos una contradicción!

¿Qué actitud debemos tomar hacia esto? ¿Debemos de suponer que la ley del tercio excluso no es
válida para clases? ¿O debemos de suponer que hay casos en los que un concepto normal no tiene
una clase que le corresponda como su extensión? En el primer caso, nos veríamos obligados a negar
que las clases sean objetos en un sentido pleno. Pues si las clases fueran objetos genuinos, la ley del
tercio excluso tendría que ser válida para ellas. Por otro lado, no hay nada de insaturado o

103
(Ed.) Cf. p.94.
104
(Ed.) ‘Es un consuelo para los miserables tener compañeros en la desgracia’. Normalmente la primera
palabra es ‘Solamen’.
105
Los ‘sistemas’ del Sr. Dedekind también se encuentran bajo este título.
 Frege Esencial 105

predicativo en las clases que las pudiera caracterizar como funciones, conceptos, o relaciones. Lo
que normalmente consideramos como un nombre de una clase, por ejemplo, ‘la clase de números
primos’, tiene más bien la naturaleza de un nombre propio; no puede ocurrir predicativamente,
pero puede ocurrir como el sujeto gramatical de un enunciado singular, por ejemplo, ‘La clase de
números primos contiene infinitos objetos’. Si fuéramos a excluir clases de la ley del tercio excluso,
quizás las consideraríamos (y los cursos de valores en general) como objetos no genuinos. Así no se
les permitiría ser argumentos de todas las funciones de primer nivel. Pero también habría funciones
que podría tener como argumentos tanto objetos genuinos como no genuinos. Al menos la relación
de igualdad (la identidad) sería una función de este tipo. (Podría intentarse evitar esto asumiendo
un tipo especial de igualdad para los objetos no genuinos. Pero esto, ciertamente, está descartado.
La identidad es una relación que se nos da en una forma tan específica que es inconcebible que haya
diferentes tipos). Pero ahora tendríamos una gran multiplicidad de funciones de primer nivel.
Primero, habría aquellas que podrían tener sólo objetos genuinos como argumentos; en segundo
lugar, aquellas que podrían tener tanto objetos genuinos como no genuinos como argumentos; en
último lugar, aquellas que podrían tener sólo objetos no genuinos como argumentos. Además
habría otra división de las funciones de primer nivel, basada en sus valores. Aquí tendríamos que
distinguir, primero, funciones que tuvieran sólo objetos genuinos como valores; en segundo lugar,
aquellas que tuvieran tanto objetos genuinos como no genuinos como valores; en último lugar,
aquellas que sólo tuvieran objetos no genuinos como valores. Las funciones de primer nivel se
dividirían de las dos maneras también; así que obtendríamos una división en nueve tipos. A su vez a
éstos les corresponderían nueve tipos de cursos de valores – de objetos no genuinos – entre los que
tendríamos que trazar distinciones lógicas. Las clases de objetos genuinos tendrían que distinguirse
de las clases de clases de objetos genuinos; las extensiones de las relaciones entre objetos genuinos
tendrían que distinguirse de las clases de objetos genuinos, y de las clases de extensiones de
relaciones entre objetos genuinos; etc. Así, obtendríamos una multiplicidad incalculable de tipos; y,
en general, los objetos pertenecientes a tipos distintos no podrían ocurrir como argumentos en la
misma función. Pero resulta extraordinariamente difícil montar un sistema completo de reglas para
decidir qué objetos son argumentos permitidos para qué funciones. Es más, es dudoso que los
objetos no genuinos puedan introducirse justificadamente.

Si estas dificultades nos ahuyentan de la concepción de que las clases (incluyendo los números) son
objetos no genuinos; y si tampoco queremos reconocerlas como objetos genuinos, esto es, como
posibles argumentos de cualquier función de primer nivel, entonces no queda nada más que
considerar los nombres de clases como falsos nombres propios, que por tanto no tendrían
realmente un referente. Tendrían que considerarse como partes de signos que tendrían un referente
sólo como totalidades.106 Ahora bien, se puede considerar ventajoso para según qué fines el formar
signos diferentes que se parezcan en parte los unos a los otros, sin convertirlos por ello en signos
compuestos. La simplicidad del signo requiere sólo que las partes que se puedan distinguir en él no
tengan un referente por separado. Según esto, pues, incluso lo que normalmente consideramos el
numeral no sería en realidad un signo, sino sólo una parte inseparable de un signo. Una definición
del signo ‘2’ sería imposible; en lugar de ésta, tendríamos que definir muchos signos, que
contendrían ‘2’ como una parte inseparable, pero que no podrían ser considerados como
compuestos lógicamente de ‘2’ y otra parte. Así pues sería ilícito reemplazar esta parte inseparable
por una letra; pues no habría ninguna complejidad respecto del contenido del signo entero. La

106
Cf. Vol.I, §29.
 Frege Esencial 106

generalidad de los enunciados aritméticos, por tanto, se perdería. Sería incomprensible cómo se
pudiera hablar de un número de clases o un número de números.

Creo que esto es suficiente para mostrar que esta alternativa también está eliminada. No queda,
pues, nada salvo considerar las extensiones de conceptos, o las clases, como objetos en el sentido
pleno y propio de la palabra. Al mismo tiempo, sin embargo, debemos admitir que la
interpretación que hemos dado hasta ahora de las palabras ‘extensión de un concepto’ debe
corregirse.

(…)

No podemos tomar, en general, las palabras

‘la función Φ(ξ) tiene el mismo curso de valores que la función Ψ(ξ)’

como si tuvieran el mismo referente que las palabras

‘las funciones Φ(ξ) and Ψ(ξ) siempre tienen el mismo valor para el mismo argumento’;

y debemos tener en cuenta la posibilidad de que haya conceptos sin extensión (en cualquier caso, no
en el sentido habitual de la palabra). Así pues la justificación de nuestra función de segundo nivel
έΦ(ε) [el curso de valores de Φ] se tambalea. Pero aun así, esa función es indispensable para sentar
los fundamentos de la aritmética.

(…)

De acuerdo con todo esto, lo siguiente se dibuja como el criterio de igualdad de extensión: la
extensión de un concepto coincide con la de otro cuando todo objeto que cae bajo el primer
concepto, excepto la extensión del primer concepto, cae también bajo el segundo concepto, y
cuando todo objeto que cae bajo el segundo concepto, excepto a extensión del segundo concepto,
cae también bajo el primer concepto.

Obviamente, esto no se puede tomar como una definición de la extensión de un concepto, sino sólo
como especificando las propiedades distintivas de esta función de segundo nivel.

Transfiriendo a cursos de valores en general lo que se ha dicho sobre las extensiones de conceptos,
obtenemos el Axioma (V’):

Dos funciones de primer nivel de un argumento tienen el mismo curso de valores si y sólo si
siempre tienen el mismo valor para el cualquier argumento, que no sea el curso de valores
de ninguna de ellas.

(…)

El principal problema de la aritmética puede verse como el problema: ¿cómo captamos los objetos
lógicos, en particular, los números? ¿Qué justifica nuestra aceptación de los números como objetos?
 Frege Esencial 107

Aunque este problema no se haya resuelto todavía en la medida en que creía cuando escribí este
volumen, no dudo que el camino hacia la solución se ha encontrado.

Jena, Octubre, 1902

‘El pensamiento’, fragmentos

Así como la palabra ‘bello’ señala el camino de la estética y ‘bueno’ el de la ética, del mismo modo
‘verdadero’ señala el de la lógica. Todas las ciencias tienen la verdad como objetivo; pero la lógica
se ocupa de ella de una manera diferente. Se comporta respecto a la verdad de la misma manera que
la física respecto al peso o el calor. Descubrir verdades es la tarea de todas las ciencias; le
corresponde a la lógica discernir las leyes del ser verdad. La palabra ‘ley’ se usa en dos sentidos
distintos. Cuando hablamos de leyes morales o leyes civiles queremos decir prescripciones, que
deben obedecerse, pero con las que los hechos no siempre concuerdan. Las leyes de la naturaleza
son los aspectos generales de los acontecimientos naturales, con las cuales éstos siempre están
conformes. Es más bien en este sentido que hablo de las leyes del ser verdad. Aquí, por supuesto,
no se trata de un acontecer sino de un ser. Pues de las leyes del ser verdad se siguen prescripciones
sobre el afirmar, pensar, juzgar, inferir. Y podemos hablar también de las leyes del pensar de esta
manera. Pero enseguida acecha el peligro de confundir cosas distintas. Se puede entender la
expresión ‘ley del pensamiento’ de manera similar a ‘ley de la naturaleza’, queriendo referirse con
ella a lo general de los acontecimientos mentales del pensar. Una ley del pensamiento en este
 Frege Esencial 108

sentido sería una ley psicológica. Y así se puede llegar a creer que la lógica trata del proceso mental
del pensar y de las leyes psicológicas de acuerdo a las que éste ocurre. Esto sería no comprender la
tarea de la lógica, pues la verdad no ocupa el lugar adecuado. El error y la superstición tienen causas
tanto como el entendimiento correcto. Aunque se tome por verdadero lo verdadero o lo falso, el
tomarlo por verdadero ocurre según leyes psicológicas. Una derivación a partir de estas leyes, una
explicación del proceso mental que termina en tomar algo por verdadero, nunca puede sustituir
una demostración de la verdad de lo que se toma por verdadero. ¿Acaso no pueden las leyes lógicas
haber tomado parte también en este proceso mental? No quiero disputar esto, pero, si se trata de la
verdad, esta posibilidad puede no ser suficiente. Pues también es posible que algo no lógico tomara
parte en el proceso y lo haya alejado de la verdad. Sólo podremos decidir esto después de conocer
las leyes del ser verdad; pero entonces, probablemente podríamos prescindir de la derivación y
explicación del proceso mental, si nuestra preocupación es decidir si el tomar algo por verdadero,
que es donde el proceso termina, está justificado. Para evitar todo malentendido y prevenir que se
borre la frontera entre la psicología y la lógica, asigno a la lógica la tarea de descubrir las leyes del
ser verdad, no las leyes del tomar algo por verdadero o del pensar. El referente de la palabra
‘verdadero’ se despliega en las leyes del ser verdad.

Pero primero intentaré esbozar aquello a lo que, en este contexto, quiero llamar verdadero. Así se
podrán excluir usos irrelevantes de nuestra palabra. No se ha de usar aquí en el sentido de ‘sincero’
o ‘veraz’; ni tampoco en la manera en que se usa a veces en discusiones sobre cuestiones artísticas,
cuando, por ejemplo, se habla de la verdad en el arte, cuando la verdad se presenta como el
objetivo del arte, cuando se habla de la verdad de una obra de arte o de un sentimiento verdadero.
También se pone la palabra ‘verdadero’ delante de otra palabra para indicar que la palabra se ha de
entender en su sentido genuino, no falseado. Este uso también queda fuera del camino seguido aquí.
La intención aquí es, más bien, tratar de la verdad que se establece como objetivo de la ciencia.

La palabra ‘verdadero’ aparece, lingüísticamente, como un adjetivo. Así que debemos delimitar
más específicamente la región dentro de la que se puede predicar la verdad, la región dentro de la
que, en suma, se considera la cuestión de la verdad. Encontramos verdad predicada de imágenes,
ideas, enunciados y pensamientos.

(…)

Cuando se predica la verdad de una imagen, no se quiere realmente adscribir una propiedad que
pertenece a esta imagen independientemente de otras cosas, siempre se tiene presente otra cosa
completamente distinta, y lo que se quiere decir es que la imagen corresponde de alguna manera a
esa cosa. ‘Mi idea corresponde a la Catedral de Colonia’ es un enunciado, y se trata ahora de la
verdad de este enunciado. Así pues, lo que se llama erróneamente la verdad de una imagen se
reduce a la verdad de enunciados. ¿A qué se llama enunciado? A una serie de sonidos, pero sólo si
ésta tiene un sentido, con lo cual no se ha dicho que cualquier serie de sonidos con sentido sea un
enunciado. Y cuando decimos que un enunciado es verdadero, realmente queremos decir que su
sentido es verdadero. Y por consiguiente, lo único respecto a lo que puede surgir la cuestión de la
verdad es el sentido de un enunciado. Ahora bien, ¿es el sentido de un enunciado una idea? En
 Frege Esencial 109

cualquier caso, la verdad no consiste en la correspondencia del sentido con algo distinto, pues de lo
contrario la pregunta sobre la verdad se reiteraría al infinito.107

Sin ofrecer esto como una definición, llamo pensamiento a aquello respecto a lo cual puede surgir la
cuestión de la verdad. Así, cuento lo que es falso entre los pensamientos, tanto como lo que es
verdadero.108 Así puedo decir: el pensamiento es el sentido de un enunciado, sin querer por lo
tanto afirmar que el sentido de todo enunciado sea un pensamiento. El pensamiento, imperceptible
en sí mismo, se viste con las ropas perceptibles del enunciado, con lo que somos capaces de
captarlo. Decimos que un enunciado expresa un pensamiento.

Un pensamiento es algo imperceptible: cualquier cosa que se pueda percibir con los sentidos queda
excluida del ámbito de cosas sobre las cuales puede surgir la cuestión de su verdad. La verdad no es
una propiedad que responda a un tipo especial de impresiones sensoriales. Así que está
estrictamente diferenciada de las propiedades que denominamos con las palabras ‘rojo’, ‘amargo’,
‘con aroma de lilas’. Pero ¿acaso no vemos que el sol ha salido? ¿Y no vemos entonces que es
verdad que el sol ha salido? Que el sol ha salido no es un objeto emitiendo rayos que alcancen mis
ojos; no es un objeto visible como el sol mismo. Se reconoce que es verdadero que el sol ha salido
basándose en impresiones sensoriales. Pero el que sea verdadero no es una propiedad sensible,
perceptible. El magnetismo de una cosa también se reconoce basándose en impresiones sensoriales,
aunque esta propiedad no responda, como no responde la verdad, a un tipo particular de
impresiones sensoriales. Hasta aquí las dos propiedades coinciden. Sin embargo, necesitamos
impresiones sensoriales para reconocer un cuerpo como magnético. Por el contrario, cuando
considero que es verdadero que no huelo nada en este momento, no lo considero así basándome en
impresiones sensoriales.

De todos modos, conviene pensar que no podemos reconocer una propiedad de una cosa sin que
encontremos al mismo tiempo que el pensamiento de que esa cosa tiene esa propiedad es
verdadero. Así, con cada propiedad de una cosa viene atada una propiedad de un pensamiento, a
saber, la verdad. También es importante darse cuenta de que el enunciado ‘Huelo el aroma de las
violetas’ tiene exactamente el mismo contenido que ‘Es verdadero que huelo el aroma de las
violetas’. Así que parece, entonces, que no se añade nada al pensamiento por adscribirle la
propiedad de la verdad. Pero aun así, ¿no es un gran resultado cuando el científico, tras muchas
dudas e investigaciones laboriosas, puede finalmente afirmar ‘Mi conjetura es verdadera’? El
referente de la palabra ‘verdadero’ parece ser definitivamente sui generis. ¿Acaso no estaremos
tratando aquí con algo que no puede llamarse para nada una propiedad en el sentido ordinario? A

107
(Ed.) Si la verdad de un sentido consiste en una relación de correspondencia entre tal sentido y su
objeto, entonces cabe preguntar si es verdad que esta relación de correspondencia existe entre ese sentido y
su objeto. Si es así, debe haber una relación de correspondencia entre el sentido de un enunciado afirmando
la existencia de tal relación, y la circunstancia de que realmente hay esta correspondencia. Pero de nuevo,
se ha de preguntar si es verdad que esto último es verdad, es decir si existe una correspondencia entre este
enunciado y la circunstancia de que es verdad que el sentido inicial es verdad; etc.
108
Así, similarmente, se ha dicho ‘un juicio es algo que es verdadero o falso’. De hecho, uso la palabra
‘pensamiento’ más o menos en el sentido que ‘juicio’ tiene en los escritos de los lógicos. Espero que esté
claro, en lo que sigue, por qué elijo ‘pensamiento’. Una explicación tal se ha criticado porque en ella se
dividen los juicios entre los verdaderos y los falsos – quizás la división más insignificante entre todas las
divisiones posibles entre juicios. Pero no puedo admitir que sea un error lógico que se de una división junto
con la explicación. Respecto a la significatividad de la división, quizás no tan despreciable si, como se ha
dicho, la palabra ‘verdadero’ señala el camino de la lógica.
 Frege Esencial 110

pesar de esta duda, continuaré, en principio, expresándome de acuerdo con el uso habitual, como si
la verdad fuera una propiedad, hasta que se encuentre una manera de hablar más adecuada.

Para poner de relieve más precisamente lo que quiero decir con ‘un pensamiento’, voy a distinguir
varios tipos de enunciados.109 No queremos negar un sentido a un enunciado imperativo, pero este
sentido no es tal que la cuestión de la verdad surja respecto de él. Por lo tanto, no llamaré
pensamiento al sentido de un enunciado imperativo. Enunciados que expresan deseos o peticiones
también se excluyen del mismo modo. Sólo aquellos enunciados en los que comunicamos o
afirmamos algo se tienen en cuenta. Pero no cuento aquí las exclamaciones, en las que uno da
rienda suelta a sus sentimientos, ni suspiros, gemidos y risas, a no ser que se haya decidido,
mediante una convención especial, que comuniquen algo. Pero ¿qué pasa con los enunciados
interrogativos? Con una pregunta de palabra110 emitimos un enunciado incompleto, que debe de
adquirir un sentido verdadero mediante el complemento por el que se pregunta. Preguntas de
palabra, de acuerdo con esto, quedan aquí fuera de consideración. Las preguntas de enunciado111
son un caso distinto. Esperamos oír ‘sí’ o ‘no’. La respuesta ‘sí’ quiere decir lo mismo que un
enunciado asertivo, pues mediante ella se presenta como verdadero el pensamiento que estaba ya
contenido completamente en el enunciado interrogativo. Así pues, se puede formar una pregunta
de enunciado a partir de cualquier enunciado asertivo. Y por esta misma razón, una exclamación no
puede considerarse como una comunicación de información: no se puede formar ninguna pregunta
de enunciado correspondiente. Un enunciado interrogativo y uno asertivo contienen el mismo
pensamiento; pero el enunciado asertivo contiene algo más también: a saber, la aserción. El
enunciado interrogativo contiene también algo más, a saber, una petición. Por lo tanto, se deben de
distinguir dos cosas en un enunciado asertivo: el contenido, que tiene en común con la pregunta de
enunciado correspondiente; y la aserción. Lo anterior es el pensamiento o al menos contiene el
pensamiento. Así pues es posible expresar un pensamiento sin presentarlo como verdadero. Las dos
cosas están tan estrechamente ligadas en un enunciado asertivo que es fácil pasar por alto la
posibilidad de separarlas. Por consiguiente, distinguimos:

1. La captación de pensamiento: el pensar.

2. El reconocimiento de la verdad de un pensamiento: el juzgar.
3. La manifestación de este juicio: el afirmar.112

(…)

La persona que todavía está intacta de filosofía ante todo conoce las cosas que puede ver y tocar,
que puede, en suma, percibir con los sentidos, tales como los árboles, las piedras y las casas, y está

109
No uso aquí la palabra ‘enunciado’ con el mismo sentido que la gramática, que también incluye
subordinadas. Una subordinada aislada no siempre tiene un sentido sobre el que surja la cuestión de la
verdad, mientras que en enunciado compuesto, al cual pertenece, sí tiene tal sentido.
110
(Ed.) Es decir, una Wortfrage, que viene a ser una pregunta que empieza con una de las palabras
interrogativas: qué, quién, cuándo, cómo, por qué, dónde.
111
(Ed.) Es decir, preguntas formadas por un enunciado completo, para las que la respuesta es o sí o no.
112
Me parece que el pensamiento y la aserción no se han separado suficientemente hasta ahora. El lenguaje
quizás induce a ello. Pues no tenemos una parte de los enunciados asertivos que corresponda con la
aserción, sino que el hecho de que se está afirmando algo reside en la forma del enunciado asertivo. (…)
 Frege Esencial 111

convencida que, de la misma manera, otro puede ver y tocar el mismo árbol y la misma piedra que
ella misma ve y toca. Obviamente, un pensamiento no pertenece a esas cosas. Ahora bien, ¿puede,
de todas maneras, presentarse a las personas como él mismo, como se presenta un árbol?

Incluso una persona no filosófica pronto se ve obligada a admitir un mundo interior distinto del
mundo exterior, un mundo de impresiones sensoriales, de creaciones de su imaginación, de
sensaciones, de sentimientos y estados de ánimo; un mundo de inclinaciones, deseos y decisiones.
Para tener una expresión breve, quiero usar la palabra ‘idea’ para cubrir todo esto, haciendo
excepción de las decisiones.

Ahora bien, ¿los pensamientos pertenecen a este mundo interior? ¿Son ideas? Obviamente no son
decisiones.

¿En qué se diferencian las ideas de las cosas del mundo exterior? En primer lugar: Las ideas no se
pueden ver, ni tocar, ni oler, ni saborear, ni oír.

(…)

En segundo lugar: Las ideas son algo que tenemos. Tenemos sensaciones, sentimientos, estado de
ánimos, inclinaciones, deseos. Una idea que alguien tiene pertenece al contenido de su conciencia.

(…)

En tercer lugar: Las ideas necesitan un portador. Las cosas del mundo exterior, por el contrario,
son independientes.

(…)

En cuarto lugar: Cada idea tiene sólo un portador; dos personas no pueden tener la misma idea.

(…)

Vuelvo ahora a la pregunta: ¿Es el pensamiento una idea? Si otras personas pueden aceptar como
verdadero el pensamiento que expreso en el teorema de Pitágoras, así como lo acepto yo, entonces,
no pertenece al contenido de mi conciencia, no soy su portador; pero puedo, aun así, aceptarlo
como verdadero. Sin embargo, si lo que yo considero que es el contenido del teorema de Pitágoras
y lo que considera alguien otro no es el mismo pensamiento de ningún modo, entonces no debería
decirse ‘el teorema de Pitágoras’, sino ‘mi teorema de Pitágoras’, ‘su teorema de Pitágoras’, y estos
serían diferentes; pues el sentido pertenece necesariamente al enunciado. En tal caso, mi
pensamiento sería el contenido de mi conciencia y su pensamiento el contenido de su conciencia.
¿Podría ser verdadero el sentido de mi teorema de Pitágoras y el sentido del suyo, falso? He dicho
que la palabra ‘rojo’ es aplicable sólo en el ámbito de mi conciencia, si es que no indica una
propiedad de las cosas, sino que caracteriza alguna de mis propias impresiones sensoriales. Por
tanto, las palabras ‘verdadero’ y ‘falso’, así como las entiendo yo, podrían también ser aplicables
sólo en el ámbito de mi conciencia, si no concerniesen a algo de lo que no soy el portador, sino que
caracterizaran de alguna manera contenidos de mi conciencia. La verdad entonces estaría confinada
a este contenido y sería siempre dudoso si algo similar ocurriese en la conciencia de otro.
 Frege Esencial 112

Si cada pensamiento requiere un portador y pertenece al contenido de su conciencia, entonces, el

pensamiento tiene tan sólo ese portador, y no hay una ciencia común a muchos, en la que muchos
puedan trabajar; sino que quizás yo tengo mi ciencia, una totalidad de pensamientos, de la soy
portador, y otro tiene su ciencia. Cada uno de nosotros se ocupa de los contenidos de su
conciencia. Una contradicción entre las dos ciencias sería entonces imposible, y sería realmente
ocioso discutir sobre la verdad, tan ocioso, casi tan ridículo, como que dos personas discutan sobre
si un billete de cien marcos es auténtico, queriendo decir cada uno el billete que tiene en su bolsillo
y entendiendo la palabra ‘auténtico’ en su sentido particular. Si alguien toma los pensamientos por
ideas, lo que acepte por verdadero entonces, en su propia opinión, es el contenido de su
conciencia, y no concierne en absoluto, realmente, a nadie más. Y si oyese de mí la opinión de que
un pensamiento no es una idea, no lo podría discutir, pues, de hecho, no le concerniría.

Así pues, el resultado parece ser: los pensamientos no son ni cosas en el mundo exterior, ni ideas.

Se debe de admitir un tercer reino. Lo que pertenece a él tiene en común con las ideas que no se
puede percibir por los sentidos, pero con las cosas que no necesita un portador a cuyos contenidos
de conciencia pertenezca. Así pues, por ejemplo, el pensamiento que hemos expresado en el
teorema de Pitágoras es atemporalmente verdadero, verdadero independientemente de que alguien
lo tome por verdadero. No necesita un portador. No es verdadero sólo a partir del momento en
que fue descubierto; igual que un planeta, aun antes de que nadie lo viera, estaba en interacción con
otros planetas.113

(…)

No todo es una idea. Así puedo reconocer los pensamientos como independientes de mí, que otras
personas pueden captar como yo. Puedo reconocer una ciencia en la que muchos pueden estar
ocupados en la investigación. No somos los portadores de los pensamientos como somos los
portadores de nuestras ideas. No tenemos pensamientos como tenemos, digamos, una impresión
sensorial; pero tampoco vemos pensamientos como vemos, por así decirlo, una estrella. Así es
recomendable elegir una expresión especial; la palabra ‘captar’ se nos brinda como tal. A la
captación114 de los pensamientos debe de corresponder una capacidad mental especial: el poder de
pensar.

Al pensar no producimos pensamientos, los captamos. Ya que lo que he llamado pensamientos está
en íntima relación con la verdad. Lo que reconozco como verdad, lo juzgo como verdadero de una
manera totalmente aparte de mi reconocimiento de su verdad o independiente también de si pienso
en ello. El que alguien lo piense no tiene nada que ver con la verdad de un pensamiento. ‘¡Hechos!,
¡hechos!, ¡hechos!’ exclama el científico si quiere convencer de la necesidad de un fundamento
firme para la ciencia. ¿Qué es un hecho? Un hecho es un pensamiento que es verdadero. Pero el

113
Se ve una cosa, se tiene una idea, se capta o piensa un pensamiento. Cuando se capta o piensa un
pensamiento no se crea, sino que se entra en una cierta relación con lo que ya existía – una relación
diferente a la de ver una cosa o la de tener una idea.
114
La expresión ‘captar’ es tan metafórica como ‘contenido de conciencia’. La naturaleza del lenguaje no
permite nada más. Lo que tengo en mi mano se puede considerar ciertamente como el contenido de mi
mano; pero es el contenido de mi mano de una manera muy distinta y más externa que lo son los huesos,
los músculos de los que consta y sus tensiones.
 Frege Esencial 113

científico seguramente no reconocerá que algo es el fundamento firme de la ciencia si depende de

los cambiantes estados de conciencia de los hombres. El trabajo de la ciencia no consiste en la
creación, sino en el descubrimiento de pensamientos verdaderos. El astrónomo puede aplicar una
verdad matemática en la investigación de sucesos ocurridos con mucha anterioridad y que tuvieron
lugar cuando, al menos en la Tierra, nadie todavía había reconocido tal verdad. Puede hacer tal cosa
porque el ser verdad de un pensamiento es atemporal. Por consiguiente, esa verdad no pudo
haberse originado sólo con su descubrimiento.

No todo es una idea. De lo contrario, la psicología contendría en sí a todas las ciencias, o al menos
sería el juez supremo de todas las ciencias. Si no, la psicología dominaría incluso sobre la lógica y la
matemática. Pero nada sería entender peor la matemática que subordinarla a la psicología. Ni la
lógica ni la matemática tienen como tarea investigar las mentes y los contenidos de la conciencia de
los que la persona individual es portadora. Su tarea podría quizás representarse más bien como la
investigación de la mente, de la mente, no las mentes.

La captación de un pensamiento presupone a alguien que lo capta, que piensa. Ese es, pues, el
portador del pensar, pero no del pensamiento. Aunque el pensamiento no pertenece al contenido
de la conciencia del que piensa, ha de haber algo en su conciencia que apunte al pensamiento. Pero
esto no se debe de confundir con el pensamiento mismo. Similarmente, Algol115 misma es diferente
a la idea que alguien tiene de Algol.

(…)

Cuando un pensamiento se capta, provoca, en principio, sólo cambios en el mundo interior de

quien lo capta, pero el núcleo de su esencia permanece intacto, ya que los cambios que experimenta
afectan sólo a sus propiedades inesenciales. Falta aquí algo que reconocemos en todas partes en la
naturaleza: la acción recíproca. Los pensamientos no son totalmente irreales, pero su realidad es
muy distinta a la realidad de las cosas. Y su actuar es provocado por una acción del pensador; sin
ella, serían inactivos, al menos hasta donde llegamos a ver. Y, sin embargo, el pensador no los crea
sino que tiene que tomarlos así como son. Pueden ser verdaderos sin ser captados por un pensador;
y no son completamente irreales tampoco entonces, al menos si se pudieran captar, y así, ponerse
en acción.

115
(Ed.) Algol es una estrella.
Frege Esencial 114
 Frege Esencial 115

Bibliografía Esencial

Frege en alemán:

He aquí las obras principales de Frege, en versión original. Se han incluido las referencias a las
ediciones originales y a publicaciones más recientes. Para una bibliografía completa, se puede
consultar: Frege, G., & Bynum, T. W. (1972). Conceptual notation, and related articles. Oxford:
Clarendon Press, pp. 240 y ss.

Frege, G. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens.
Halle: L. Nebert.
Frege, G. (1882). Über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift. Zeitschrift für
Philosophie und philosophische Kritik, 81, 48-56.
Frege, G. (1884). Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den
Begriff der Zahl. Breslau: W. Koebner.
Frege, G. (1891). Funktion und Begriff. Jena: H. Pohle.
Frege, G. (1892a). Über Begriff und Gegestand. Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie 16,
192-205.
Frege, G. (1892b). Über Sinn und Bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 100,
25-50.
Frege, G. (1893). Grundgesetze der Arithmetik, Begriffsschriftlich abgeleitet (Vol. I). Jena: H. Pohle.
Frege, G. (1902). Grundgesetze der Arithmetik, Begriffsschriftlich abgeleit II (Vol. II). Jena: H. Pohle.
Frege, G. (1904). Was ist eine Funktion? Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten
Geburtstage, 20(Leipzig: A. Barth), 656-666.
Frege, G. (1918a). Der Gedanke: Eine Logische Untersuchung. Beiträge zur Philosophie des deutschen
Idealismus, 1, 58-77.
Frege, G. (1918b). Die Verneinung: Eine logische Untersuchung. Beiträge zur Philosophie des
deutschen Idealismus, 1, 143-157.
Frege, G. (1923). Logische Untersuchungen; Dritter Teil: Gedankengefüge. Beiträge zur Philosophie
des deutschen Idealismus, 3, 36-51.
Frege, G. (1961). Die grundlagen der arithmetik : eine logisch-mathematische untersuchung über den begriff
der zahl. Hildesheim: Georg Olms.
Frege, G. (1966). Grundgesetze der arithmetik. Hildesheim: Georg Olms.
Frege, G. (1971). Begriffsschrift und andere Aufsätze (2ª ed.). Hildesheim ; New York: Georg Olms.
Frege, G., & Angelelli, I. (1967). Kleine Schriften. Hildesheim: Georg Olms.
Frege, G., Angelelli, I., Husserl, E., & Scholz, H. (1977). Begriffsschrift und andere Aufsätze : mit E.
Husserls und H. Scholz' Anmerkungen (3ª ed.). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
Frege, G., & Gabriel, G. (1990). Schriften zur logik und sprachphilosophie : aus dem nachlass (3ª ed.).
Hamburg: Felix Meiner.
 Frege Esencial 116

Frege, G., Hermes, H., Kambartel, F., Kaulbach, F., & Gabriel, G. (1976). Nachgelassene Schriften
und Wissenschaftlicher Briefwechsel
Hamburg: Meiner.
Frege, G., & Patzig, G. (1966). Logische untersuchungen. Göthingen: Vanderhoeck.
Frege, G., & Textor, M. (2002). Funktion, Begriff, Bedeutung (Neuausg. ed.). Göttingen:
Vandenhoeck & Ruprecht.

Traducciones

Se citan a continuación las principales traducciones de las obras de Frege al castellano y al inglés, las
cuales han servido de base para la presente versión castellana.

Traducciones al castellano

Frege, G. (1972). Conceptografía : los fundamentos de la aritmética : otros estudios filosóficos (H. Padilla,
Trad.). México: Universidad Nacional Autónoma, Instituto de Investigaciones Filosóficas.
Frege, G. (1973). Los fundamentos de la aritmética : investigación lógico-matemática sobre el concepto de
número (U. Moulines, Trad.). Barcelona: Laia.
Frege, G. (1974). Escritos lógico-semánticos (C. Pereda & C. R. Luis, Trad.). Madrid: Tecnos.
Frege, G. (1984). Investigaciones lógicas (L. M. Valdés Villanueva, Trad.). Madrid: Tecnos.
Frege, G. (2002). Estudios sobre semántica (U. Moulines, Trad.). Barcelona: Ediciones Folio.
Frege, G. (1996). Escritos filosóficos (J. Mosterín, Ed.). Barcelona: Crítica.
Frege, G. (1971). Estudios sobre semántica (J. Mosterín, Ed.; U. Moulines, Trad.). Barcelona: Ariel.
Frege, G. (1998). Ensayos de semántica y filosofía de la lógica (L. M. Valdés Villanueva, Ed. y Trad.).
Madrid: Tecnos.

Traducciones al inglés

Beaney, M. (2003). The Frege reader. Malden, USA: Blackwell.

Frege, G. (1980). The foundations of arithmetic : a logico-mathematical enquiry into the concept of number
(J. L. Austin, Trad.). Oxford: Basil Blackwell.
Frege, G. (1972). Conceptual notation, and related articles (T. W. Bynum, Trad. y Ed.) Oxford:
Clarendon Press.
Frege, G., Carnap, R. (2004). Frege's lectures on logic : Carnap's student notes, 1910-1914 (E. H. Reck,
S. Awodey y G. Gabriel, Trad. y Ed.) Chicago, Ill.: Open Court.
Frege, G. (1964). The basic laws of arithmetic : exposition of the system (M. Furth, Trad. y Ed.).
Berkeley and Los Angeles: University of California Press.
Frege, G. (1980). Philosophical and mathematical correspondence (H. Kaal, Trad.; B. McGuinness, G.
Gabriel, Ed.). Oxford: Blackwell.
Frege, G. (1977). Logical investigations (P. Geach & R. Stoothoff, Trad. y Ed.). Oxford: Basil
Blackwell.
Frege, G. (1970). Translations from the philosophical writings of Gottlob Frege (P. Geach & M. Black,
Ed.) (2ª ed.). Oxford Basil Blackwell.
Frege, G. (1979). Posthumous writings (H. Hermes, Ed. y Long y White, Trad.) Oxford: Basil
Blackwell.
 Frege Esencial 117

Frege, G. (1984). Collected papers on mathematics, logic, and philosophy (Black, Dudman, Geach, Kaal,
Kluge, McGuinness, y Stoothoff, Trad.; B. McGuinness, Ed.) Oxford: Basil Blackwell.

Bibliografía secundaria introductoria

Aquí se listan los estudios introductorios más representativos, tanto en castellano como en inglés;
además, se incluyen las referencias a algunas introducciones generales a la filosofía del lenguaje y las
matemáticas, donde se encuentran capítulos introductorios sobre Frege. Todas las introducciones
aquí citadas son buenos puntos de partida, pero las más clásicas son la de Kenny y la de Currie. De
entre las más recientes, destaca el trabajo de Weiner.

Acero, J. J., & Mosterín, J. (1994). Filosofía y análisis del lenguaje. Madrid: Ediciones Pedagógicas.
Anscombe, G. E. M., & Geach, P. T. (1961). Three philosophers. Oxford: Basil Blackwell.
Currie, G. (1982). Frege : an introduction to his philosophy. Brighton: Harvester.
García-Carpintero, M. (1996). Las palabras, las ideas y las cosas : una presentación de la filosofía del
lenguaje. Barcelona: Ariel.
Giaquinto, M. (2002). The search for certainty: a philosophical account of foundations of mathematics.
Oxford: Clarendon Press. [Su explicación de la paradoja de Russell es muy clara, una
excelente introducción].
Kenny, A. (1997). Introducción a Frege. Madrid: Cátedra. [Esta es la traducción de la introducción de
Kenny, originalmente publicada en inglés]
Kenny, A. (2000). Frege : an introduction to the founder of modern analytic philosophy. Oxford [etc]:
Blackwell.
Lycan, W. G. (2000). Philosophy of language : a contemporary introduction. London: Routledge.
Mendelsohn, R. L. (2005). The philosophy of Gottlob Frege. Cambridge: Cambridge University Press.
[El capítulo sobre el argumento fregeano en 'Sobre el sentido y la referencia' es el lugar
donde se encuentra argumentada la interpretación de tal argumento ofrecida en la presente
introducción].
Noonan, H. W. (2001). Frege : a critical introduction. Cambridge: Polity Press.
Pérez Otero, M. (2001). Aproximació a la filosofia del llenguatge. Barcelona: Edicions Universitat de
Barcelona.
Valdivia Dounce, L. (1989). Introducción a la semántica y ontología de Gottlob Frege. México: Dirección
General de Intercambio Sociedad Filosófica Ibero-Americana.
Weiner, J. (2005). Frege explained : from arithmetic to analytic philosophy (2ª ed.). Chicago ; La Salle,
Illinois: Open Court.

Bibliografía secundaria avanzada

La siguiente lista es una selección de los trabajos sobre la filosofía de Frege más importantes hoy en
día. Además de libros, existen una gran cantidad de artículos publicados sobre Frege o sobre
temática fregeana, por eso, algunos de los libros aquí citados son colecciones de artículos, por
ejemplo, la obra de cuatro volúmenes de Beaney y Reck, o la colección editada por Wright (de
1984). De todos los estudios sobre Frege, los más influyentes son, sin duda, los trabajos de
Dummett.
 Frege Esencial 118

Baker, G. P., & Hacker, P. M. S. (1984). Frege : logical excavations. New York: Oxford University
Press ; Oxford : Blackwell. [Baker y Hacker defienden una visión bastante crítica de Frege].
Beaney, M., & Reck, E. H. (Eds.). (2004). Gottlob Frege: Critical Assessments of Leading Philosophers.
London: Routledge, Vols. I-IV.
Burge, T. (2005). Truth, thought, reason : essays on Frege. Oxford: Clarendon Press.
Burgess, J. P. (2005). Fixing Frege. Princeton, N.J. ; Woodstock: Princeton University Press. [Este
libro revisa las diferentes soluciones logicistas y fregeanas que han surgido tras el
descubrimiento de la paradoja de Russell].
Carl, W. (1994). Frege's theory of sense and reference : its origins and scope. Cambridge: Cambridge
University Press. [Aquí se defiende una lectura epistemológica de la teoría semántica de
Frege].
Crespo Güemes, M. V., Rábade Romeo, S. (1981). Sobre la identidad en Frege y Leibniz. Madrid:
Universidad Complutense de Madrid.
Demopoulos, W. (Ed.). (1997). Frege's philosophy of mathematics. Cambridge (Massachusetts):
Harvard University Press.
Dummett, M. (1981a). Frege, philosophy of language (2nd ed.). London: Duckworth.
Dummett, M. (1981b). The interpretation of Frege's philosophy. London: Duckworth.
Dummett, M. (1991). Frege and other philosophers. Oxford: Clarendon Press.
Dummett, M. A. E. (1991). Frege : philosophy of mathematics. London: Duckworth.
Hale, B., & Wright, C. (2001). The reason 's proper study : essays towards a neo-fregean philosophy of
mathematics. Oxford: Clarendon Press. [Wright y Hale proponen un sistema logicista
neofregeano].
Hill, C. O., & Rosado Haddock, G. E. (2000). Husserl or Frege? : meaning, objectivity, and
mathematics. Chicago and La Salle, Illinois: Open Court.
Macbeth, D. (2005). Frege's logic. Cambridge, Mass. ; London: Harvard University Press.
Rosado Haddock, G. E. (1985). Exposición crítica de la filosofía de Gottlob Frege. Rio Piedras (Puerto
Rico): Huracán.
Sainsbury, R. M. (2002). Departing from Frege : essay in the philosophy of language. London ; New
York: Routledge.
Salmon, N. U. (1991). Frege's puzzle. Atascadero, California: Ridgeview.
Schirn, M. (1976). Studien zu Frege. Stuttgart-Bad Cannstatt: Frommann.
Sluga, H. D. (1980). Gottlob Frege. London: Routledge & Kegan Paul.
Weiner, J. (1990). Frege in perspective. Ithaca ; London: Cornell University Press.
Wright, C. (1983). Frege's Conception of numbers as objects. Aberdeen: Aberdeen University Press.
Wright, C. (1984). Frege : tradition & influence. Oxford: Blackwell.