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Continuidad 15 de Junio 2021
Continuidad 15 de Junio 2021
Continuidad 15 de Junio 2021
[ ]
4 3
x +c x +1 3
1.- Si lim 3 − √ x 2+ 3 x −10 =
x→ ∞ 2
x −x +1
Calcular c
2.- Evaluar el siguiente limite:
lim [ cos ( √ x +1 )−cos ( √ x ) ]
x→ ∞
Solucion:
[ ]
4 3
x +c x +1
− √ x + 3 x −10 =¿ ¿
2
1.- lim 3
x→ ∞ x −x +1
lim
x→ ∞ [ x 4 +c x3 +1
3
x −x +1
− √ x + 3 x −10+0 =¿ ¿
2
]
[( ) ]=
4 3
x +c x +1
−x +( x−√ x +3 x−10)
2
lim 3
x→ ∞ x −x +1
[
x 4 +c x3 +1−x 4 + x 2−x x −( x +3 x−10 )
]
2 2
lim + =¿ ¿
x 3−x +1 x+ √ x +3 x −10
2
x→ ∞
[ ]
c x3 + x 2−x +1 (−3 x+10)
lim + =¿ ¿
x 3−x +1
√ 3 10
x→ ∞ 2
x + x (1+ − 2 )
x x
[ ]
3 2
c x + x −x +1 (−3 x +10)
lim + =¿ ¿
√
3
x→ ∞ x −x +1 3 10
x +|x| 1+ − 2
x x
[ ]
3 1 1 1 10
x (c + − 2 + 3 ) x (−3+ )
x x x x 3 3 3
lim + = → c− =
( √ )
x→ ∞ 1 1 3 10 2 2 2
x 3 (1− 2 + 3 ) x 1+ 1+ −
x x x x2
c=3
2.-
Recordar: cos ( α +θ ) −cos ( α −θ ) =−2 sen ( α ) sen (θ)
Si: A=α +θ
B=α−θ
A+B A−B
α= Y θ=
2 2
[
lim [ cos ( √ x +1 )−cos ( √ x ) ]=¿ lim −2 sen
x→ ∞ x →∞
( √ x +1+2 √ x ) sen( √ x +1−
2 )]
√x ¿
Observacion:
( √ x +1+ √ x )
√ x+1−√ x=( √ x+1−√ x ) =¿
√ x +1+ √ x
1
¿
√ x +1+ √ x
1
Sea = √ x +1+ √ x → √ x+1−√ x=t
t
Por lo tanto:
[ (√
lim − 2 sen
x→ ∞
x+1+ √ x
2 ) ( √ x +1−
sen
2 )] (2) 2t
√ x =−2 lim sen t sen ( 1 )
t→0
0 ≤ lim sen
t→0
( 2t ) sen ( 2t1 ) ≤ 0→ lim sen( 2t ) sen( 21t )=0
t→0
Concluimos que:
lim [ cos ( √ x +1 )−cos ( √ x ) ]=0
x→ ∞
CONTINUIDAD
LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
i) f ( x 0) esta definido
ii) lim f ( x ) y
Existe x→ x 0
Entonces f es continua en x 0
f ( x0 )+ ε
f (x 0)
f ( x 0 ) −ε
x 0−δ x 0 x 0 +δ
Observación:
1. Y
f
x0 X
2.-
Y
f
L2
L1
x0 X
x 0 ∈ Domf
f (x 0) está definido
lim ¿
−¿
x→ x 0 f =L1 , lim
+¿
¿¿ ,como los límites laterales son diferentes entonces:
x→ x f =L2 ¿
0
3.-
f (x 0)
L f
x0 X
x 0 ∈ Domf
f ( x 0) está definido
∃ lim f ( x ) =L
x→ x0
lim f ( x ) ≠ f ( x 0 ) → f no es continua en x
x→ x 0 0
DEFINICION:
OBSERVACION:
i) f ( x 0) esta definido
El unico punto que se tiene es x=x 0 ,por lo tanto cumple para cualquier
ϵ >0
Podemos concluir que para que una funcion f sea continua en el punto
x 0 ∈ Df debemos analizar dos casos:
Primer caso:
i) f ( x 0) esta definido
Segundo caso:
Nota:
lim f ( x )=f (x 0 )
Si f es continua en el punto x 0 y cumple x→ x 0
Entonces:
De manera que:
i) f es continua sobre S= ⟨ a , b ⟩
ii) x→ a lim
+¿
f ( x ) =f (a )¿
¿ ( f es continua por la derecha en a )
i) f es continua sobre S= ⟨ a , b ⟩
y ii) x→ a lim
+¿
f ( x ) =f (a )¿
¿
i) f es continua sobre S= ⟨ a , b ⟩
y ii) x→ b lim
−¿
f ( x ) =f (b)¿
¿
CONTINUIDAD POR LA DERECHA Y POR LA IZQUIERDA
La izquierda de x 0.
i) Si f ( x 0) esta definido
y ii) x→ x lim
+¿
f ( x ) =f (x )¿
0 0
¿
i) Si f ( x 0) esta definido
y ii) x→ x lim −¿
f ( x ) =f (x )¿
0 0
¿
TEOREMA:
f ( x )=
{ xcos ( 1x ) ,∧x ≠ 0
0 ,∧x=0
Es continiua en x 0=0
Solucion.
lim xcos
x →0
( 1x )=0=f (0)
| 1
| |
1
| 1
Como: cos ( x ) ≤1 →|x| cos ( x ) ≤|x|→ xcos( x ) ≤|x| | |
−|x|≤ xcos ( 1x ) ≤|x|→ lim −|x|≤ lim xcos ( 1x ) ≤ lim |x|
x→0 x→0 x→0
1
()
Por lo tanto : lim xcos x =0=f (0)
x →0
f es continua en x 0=0
Ejemplo:
lim ¿
+¿
x→ 0 f ( x )= lim ¿ ¿¿
+¿ 1−cos(2 πx)
x→0 2 2
= lim ¿=¿ ¿¿
x ( x−1 ) 2
2sen (πx)
x → 0 +¿
2 2
( x −1) x
lim ¿
2
2 π sen (πx ) sen(πx)
+¿
x→ 0 = lim ¿¿
( x−1 )
2 2
π x x
πx→ 0
+¿ 2
( x−1 )
2 [
π
πx ][ πx ]
2 sen( πx ) sen(πx) 2
=2 π ¿
De igual forma :
−¿
lim ¿
x→ 1 f ( x ) = lim ¿¿¿
−¿ 1−cos(2 πx)
x →1 2 2
= lim ¿
x ( x−1) h→ 0
−¿ 1−cos [ 2π(1 +h)]
= lim ¿¿
2 2
(1 +h) h −¿ 1−cos [ 2π+2πh ]
h→ 0 ¿
2 2
(1 +h) h
lim ¿
−¿ 1−cos (2 πh)
h→0 2 2
= lim ¿¿¿
( 1+h ) h h→0
−¿ 2sen 2 (πh)
2 2
= lim ¿¿¿
h (1+ h) 2
2
π sen ( πh) sen( πh)
h →0 −¿
2 2 hh
( 1+h) π
lim ¿
2
−¿2 π sen ( πh ) sen(πh) 2
h→0 2
=2 π ¿
( 1+h ) ( πh ) (πh)
TEOREMA:
Demostracion:
¿ f (x 0) ± g( x0 )
¿¿
Ejemplo:
TEOREMA
D( fog) entonces :
[ ]
lim f ( g ( t ) ) =f lim g (t) =f ( x 0)
t →t 0 t →t 0
Propiedad:
Ejemplo:
Solucion:
NOTA:
Por la condicion:
i) f ( x + y )=f ( x ) f ( y) , ∀ x , y ∈ R
2
Si x= y =0 → f ( 0+0 )=f ( 0 ) f ( 0 ) → f ( 0 )= [ f (0) ]
→ f ( 0 ) =0 ∨f ( 0 )=1
Si f ( 0 )=0 → lim
h→ 0
f ( x +h )=¿ lim f ( x ) f ( h )=f (x) lim f ( h )=f ( x ) f (0) ¿
h→0 h→ 0
¿ f ( x ) 0=0
Si f ( 0 )=1 → lim
h→ 0
f ( x+ h )=lim f ( x ) f ( h )=f ( x ) f ( 0 )=f ( x)
h →0
Hemos demostrado que f es continua en todo su dominio.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Definicion:
x0 X
f ( x 0) no está definido
lim f ( x )=L
Existe x→ x
0
f (x 0)
x0
f ( x 0) está definido
∃ lim f ( x )
x→ x0
f ( x 0)
x0 X
x 0 ∈ Domf
∄ lim f (x )
x→ x0
Definicion:
i) x 0 ∉ Df ∧ lim f ( x ) ∃ en R
x → x0
Definicion:
Ejemplo:
sen( πx)
1.- Dada la funcion f ( x )= x ( x−1) , 0< x <1.Como debe definirse f ( 0 ) y f ( 1 ) para
Solución:
lim ¿
+¿
x→ 0 f ( x )= lim ¿ ¿¿
+¿ sen( πx)
x→0 = lim ¿¿¿
x (x−1) πx → 0 +¿ πsen (πx )=¿−π
πx (x −1)
lim ¿
−¿
x→ 1 f ( x ) = lim ¿¿¿
−¿ sen( πx)
x →1 = lim ¿= lim ¿¿¿
x( x−1) x −1→ 0 −¿ sen (πx ) −¿ sen [ π(1+h) ]
h→0 ¿
x (x −1) ( 1+h) h
¿ lim ¿
−sen(πh)
−¿
h →0 =− lim ¿¿ ¿
( 1+ h) h h→0
πsen(πh)
=−π −¿
πh( 1+h )
cos (3 x) π
2.- Dada la funcion f ( x )= cos (5 x) , ¿Cómo debe definirse f ( 2 ) para que f sea
2π 3π
continua sobre ¿ 5 , 5 >?
2 [ 1−cos ( x ) ]
2
f ( x )= 3
, x ≠ 0 , f ( 0 )=1.
x sen(x )
¿ f es continua en x=0 ?
NOTA:
f ( a ) <k < f (b) , entonces existe (al menos ) un punto c ∈< a , b>¿ tal que f ( c ) =k .
Ejemplo:
5x
( )
Dada la funcion f ( x )=sen 2 , x ∈ [ 0 , π ], aplicar el teorema del valor
1
intermedio para la funcion f si f ( c )= 2 . Hallar c y ademas ilustrarlo
geometricamente.
Solucion:
1 1
Como k = 2 se encuentra entre f ( 0 ) y f (π ) es decir: f ( 0 )< k= 2 <f (π )
1
Entonces existe c ∈< 0 , π >tal que f ( c )= 2
f ( c ) =sen ( 52c )= 12
Recordar:
n π 2 nπ n π
5 c=2 nπ + (−1 ) → c= + (−1 )
3 5 15
π
Si n=0 → c= 15
2π π 5π π
Si n=1→ c= 5 − 15 = 15 = 3
4 π π 13 π
Si n=2→ c= 5 + 15 = 15
Ejemplo:
1.- si lim
x →0
[ x ]
f ( x ) −1
=1, calcule: lim
x →0
f ( ax )−f (bx)
x
{
n
x −1+ 2 n( x−1)
2
, x <1
f ( x )= x −1
2 x 2− √ x +3
, x >1
x−√ x
n
x −1
Recordar: =1+ x+ x 2 +…+ x n−1
x−1
{
2
b x + ab , x ≥ 0
f ( x )= 1
a ( x +b ) −b , x< 0
2 2
{
tan (πx ) 5
,− < x ←2
x +2 2
f ( x )= ax +b ,−2≤ x ≤ 0
2
2 sen ( x )+ 3 sen ( x )
4
, x> 0
x +2 x