Álgebra - (PG - 15 43)
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unidad
Conjuntos
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Propósitos de la unidad:
A
dquirir los conocimientos del lenguaje
matemático básicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores.
Contenidos de estudio:
Cardinalidad de un conjunto.
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T
ipos de conjuntos.
Diagramas de Venn-Euler.
Plano cartesiano.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ,…, n2, (n + 1)2,…
3. ¿Una de las partes puede tener la misma extensión que el todo del cual es parte
integrante?
Preguntas como las anteriores son las que crearon polémica entre los matemáti
cos que vivieron antes del siglo xix, cuya actitud general era ignorar aquello que
no podían resolver, considerándolo sólo como paradójico, aunque con frecuencia lo
utilizaran en la resolución o en la investigación de otros problemas, tal es el caso de
las series numéricas.
A los matemáticos del siglo xix les interesó la discusión de problemas como la
continuidad de una función en el plano cartesiano, lo finito y lo infinito, y les
pareció que las bases en las que se fundamentaban las matemáticas no eran
firmes e iniciaron un movimiento destinado a dar una cimentación más sólida a
cada una de las ramas de su ciencia. Muchos matemáticos aportaron su talento
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta Número de
sobre los deportes que más se practicaban en Deporte que practican
personas
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 35 Futbol americano
personas a quienes les preguntaron sobre su
34 Futbol soccer
deporte favorito. Al recolectar la información
que obtuvieron encontraron lo siguiente: 33 Básquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y básquetbol
15 Futbol americano y básquetbol
10 Practican los tres deportes
Soccer 15
Americano Soccer
Básquetbol
Un conjunto puede ser presentado en forma analítica, listando todos sus elemen
tos cuando es posible, separados cada uno por medio de una coma y encerrándolos
entre llaves { }, a esta forma se le llama enumeración o extensión; también puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos, descripción por comprensión; por medio de una forma gráfi
ca mediante un dibujo, diagrama de Venn-Euler, una tabla o un diagrama de árbol
para representar ciertas relaciones entre dos o más conjuntos.
Escribe dos ejemplos de conjuntos
En ocasiones, para listar todos los elementos de algunos conjuntos se requiere de
en cada una de las formas descritas.
mucho espacio y tiempo, o simplemente no es posible hacerlo; por ejemplo:
En estos casos se citan algunos de los elementos del conjunto, ya sean los primeros
o los últimos, seguidos (o antecedidos) del símbolo “...”. Estos tres puntos indican
que conoces la sucesión de esos números.
Así, en estos ejemplos, los conjuntos descritos por enumeración o extensión pueden
tomar la siguiente forma:
Escribe por extensión los siguientes conjuntos: Tipo de elementos del conjunto
Propiedades
C = {Números enteros positivos impares, mayores que 10} específicas de los
elementos
C =
Límites,
D = {Números enteros, múltiplos de tres, menores que –4} si es
que
existen
D =
T =
Ejemplos
Límites inferior y
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superior.
Pregunta a tu profesor el significado
de los símbolos que desconozcas en
1. A = {x/x [ N, x es impar, 7 x 14} … descripción por comprensión esta expresión.
Con x se representa
cualquier elemento.
EJERCICIO 1
1. Dados los siguientes conjuntos por enumeración, exprésalos por comprensión.
a) C = {7, 8, 9, 10,…}:
{ }
1 1 1 1
e) T = 1, , , ,
3 9 27 81
D=
G=
S=
i) N = {x/x [ N, x ≥ 11}
N=
P=
Las descripciones por comprensión de conjuntos con una gran cantidad de elemen
tos se indican en forma general, con el fin de obtener cualquier elemento del con
junto dado y su sucesor.
Ejemplos
1. N = {x/x [ N, x ≥ 11}
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada conjunto del ejercicio 1.
a) n(C) = e) n(D) =
b) n(E) = f ) n(G) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P) =
Ejemplos
Ejemplos
Tanto el conjunto B como el C son infinitos, la diferencia entre ellos es que los ele
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mentos del conjunto B se pueden ir numerando, aunque este proceso nunca termi
ne, y los elementos del conjunto C no puedes numerarlos.
Conjuntos iguales
A=B
Ejemplo
A=B
En este caso se puede observar que dos conjuntos pueden tener los mismos elemen
tos, pero diferente regla de definición.
Conjunto vacío
φ = {x/x [ A, y x A}
Conjuntos equivalentes
A≈B
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Ejemplos
A = {a, e, i, o, u} B = {α, β, χ, δ, ε}
n(A) = 5 n(B) = 5
A≈B
N = {1, 2, 3, 4, …, n, (n + 1),…}
A = {x/x [ N, x es par}
Conjunto universal
Subconjuntos
Ejemplo
B#A
a) φ , A
b) A # A
Ejemplo
F = {x/x [ N, x es múltiplo de 5}
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
n(N) = n(F)
Conjunto potencia
Ejemplo
Por medio de n(P(A)) = 23 = 8 puedes anticipar que son ocho los subconjuntos que se
pueden formar con los elementos de A.
P(A) = {φ, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}
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EJERCICIO 3
1. Escribe si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) {1, 2, 3} = {3, 2, 1}
b) 3 , {3, {3}}
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Álgebra
c) {2, 2, 3, 4, 4} ≈ {2, 3, 4}
e) φ {a, e, o}
a) M = { , , }
P(M) =
b) A = {m, p}
P(A) =
c) R = {0, 7}
P(R) =
d) G = {//, , }
P(G) =
/
En forma simbólica, esta operación se puede definir como:
$
A B = {x/x [ A o x [ B}
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Ejemplo
Dados los conjuntos A = {a, e, o} y B = {r, o, s, a} obtén A B.
A B = {a, e, o, r, s}
Como puedes observar en este ejemplo, hay dos elementos que se repiten en los
conjuntos propuestos, mismos que no se anotan más que una sola vez.
Intersección de conjuntos
A>B
A B = {x/x [ A y x [ B}
Ejemplos
A B = {a, o}
Como puedes observar en este ejemplo, hay dos elementos que se repiten en
los conjuntos propuestos, mismos que se anotan una sola vez, igual que en la
unión de conjuntos.
2. Dados los conjuntos M = {3, 6, 9, 12, 15}, F = {2, 3, 4, 5, 6}, G = {3, 6, 9} y H = {7, 9, 10,
14}, obtén los siguientes conjuntos:
F M, G M y F H
F M = {3, 6}
¿Qué relación existe entre los
G M = {3, 6, 9} conjuntos G y M?
FH={}
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EJERCICIO 4
Las siguientes expresiones se conocen como leyes de identidad, realiza las opera
ciones y exprésalas con tus palabras:
a) A φ = b) A U =
c) A A = d) A A =
e) A φ = f ) A U =
a) Leyes conmutativas
A B = B A AB=BA
b) L
eyes asociativas
(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)
c) L
eyes distributivas
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Ejemplos
M4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,…, 4n, 4(n + 1),…}
M8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,…, 8n, 8(n + 1),…}
M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 56,…, 6n, 6(n + 1),…}
M4 M6 M8 = {24, 48,...}
tres números.
mcm (4, 6, 8) = 24
Ejemplos
La notación MCD (12, 36, 48) se entiende como la indicación de buscar el máximo
común divisor de los números encerrados en los paréntesis.
D12 =
D36 =
D48 =
¿Qué representa el MCD obtenido respecto a los elementos del conjunto de los di
visores comunes?
EJERCICIO 5
1. Considera los siguientes conjuntos y realiza las operaciones indicadas.
a) A D = b) D A =
c) (A B) C = d) A (B C) =
e) D (C A) = f ) (D C) (D A) =
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g) C (B D) = h) (C B) (C D) =
2. Mediante conjuntos, obtén el mcm de cada una de las siguientes ternas de nú
meros:
Complemento de un conjunto
Ac o A9
A9 = Ac = {x/x [ U y x A}
Ejemplo
Ac = {2, 4, 6, 8, 0}
EJERCICIO 6
d) ¿Cuál es el complemento de un conjunto vacío?
3. Las cuatro preguntas anteriores tienen la finalidad de enfatizar algunas relacio
nes importantes del complemento de un conjunto y se les conoce como leyes de
complemento, a continuación exprésalas en forma simbólica.
A – B o A B
A – B = A B = {x/x [ A y x B}
Ejemplo
obtener A B y B A.
A B ≠ B A
A Ac =
UA=
EJERCICIO 7
1. Dado el conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} y los conjuntos:
Halla:
a) Ac = b) fc =
c) Uc = d) A Bc =
e) (Ac)c = f ) Ac Bc =
A
Hasta ahora hemos visto las siguientes relaciones
de conjuntos.
U U U U
A A B B
A A B B
UU UU UU
AA BB AA BB AA
A > B. A B. Ac.
Para realizar operaciones entre tres o más conjuntos, siempre es conveniente llevar
cierto orden:
Ejemplos U
A B
1. Obtén el diagrama de Venn-Euler som
U breando la región del conjunto A (B
C). Para ello:
A B
a) Sombreael resultado de B C. U
C
A B
C
C
U
A B
b) Sombreael conjunto A. U
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A B
U
C
A B
C
c) Interpretala solución.
C
U
A B
U
A B
U
C
La unión se interpreta como todos A B
los elementos.
C
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C
Álgebra
Pero ésta no es la única posibilidad, ya que los conjuntos A y B pueden ser con
¿Cómo harías el diagrama si C y B
fueran ajenos, y A y C no? juntos ajenos, analiza esta posibilidad.
a) Sombreas el resultado de B C.
b) Sombreas el conjunto A.
c) Interpretas la solución.
A
U
B
A
C
B
C
C
U
U
A
Como puedes observar, para encontrar un conjunto porBmedio de diagramas es im
A
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A
B
U
U
A B
A B
C
C 15
15
A B
A 2 6 1 B
2 6 1
3 10
c) Compara tu resultado con la solución: 3 5 7 8 10
4 5 7 8 9
4 9 13
14 11 12 13
U 11 12 C
U 14
U C
A B U
A B
Solución de
(B C)c > A.
C
C
C a) A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
15
b) B C = {5, 7, 8, 9}
A B
2 6 1
c) A – C = {2, 3, 6}
3 10
d) A (B C) = {2, 3} 5 7 8
4 9
e) (A B)c C = {13, 14, 15} 13
14 11 12
f ) (A B) (C B) = {4}
C
U
B
EJERCICIO 8
1. Resuelve las siguientes operaciones utilizando diagramas de Venn-Euler y som
breando el área que represente el resultado de las mismas, para cada caso se te
indica la relación entre los conjuntos por medio del diagrama dado:
a) A Bc b) B A
U
UUU U
UUU
UU UU
B B
B B
A
AAA B B
B A
AAA
B
B B
AA B B AA
c) Ac B d) Ac Bc
U
UU B U
UU
UU
U B B
B UU
U
B B B
A B B
B
AAA B B
AA
A
AAA
AA
UU UU
UU UU
AA AA
AA BB AA BB
BB BB
CC CC
CC CC
A B
UNIDAD 1 C
Conjuntos 15
A B
2 6 1
3 10
5 7 8
4 9
k) (A’ B)’ (C Ac) l) (A B)c [C (A B)] 13
14 11 12
U U C
U
A U B A U B
A A
B B
C
C
15
C A
C B
2 6 1
3 10
8 5 7
2. Obtén el conjunto solución de cada una de las siguientes
4 operaciones a partir
9
13
del siguiente diagrama de Venn. 11 12
U 14
C
U
A=
a) A B
b) C =
A k
c) (B C C) =
B f e
d) (A C) (B C) = a
g c
e) (A B)c C = b
h d
f ) (A C)c A = C
i
g) (A C) (C B) = j U
h) [(A B) C]c =
Utiliza la información que has estudiado hasta este momento, y verifica una
forma de solución del problema eje.
Problema eje
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En el grupo de Miguel hicieron una encuesta sobre los deportes que más se prac-
ticaban en la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas, a las cuales
les preguntaron sobre su deporte favorito. Al recolectar y organizar la informa-
ción que obtuvieron encontraron lo siguiente:
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Básquetbol 15
B. Apoyate en el siguiente diagrama para facilitar tu trabajo al contestar las siguientes preguntas:
Americano
Soccer
Básquetbol
Basquetbol
Futbol americano 35 13 15
Futbol soccer 13 34 18
Básquetbol 15 18 33
Por sí sola, la tabla no nos es muy útil para contestar nuestras preguntas, necesitaotra forma de poder representar
la información en la que no se dupliquen los datos. Para ello, nos pueden ayudar más los diagramas de Venn-Euler:
Analiza nuevamente la información proporcionada, empezando por los datos que no se prestan a doble interpretación,
represéntala en el diagrama dado para este problema.
Americano
Soccer
10
Americano
Soccer
Básquetbol
10
Estos 10 alumnos al mismo tiempo cumplen la condición de practicar dos deportes, por lo que puedes
Americano
concluir que: Soccer
a) Los alumnos que practican solamente futbol americano y futbol soccer son: 13 – 10 = 3
3
b) Los alumnos que practican solamente futbol americano y básquetbol son:
Básquetbol
c) Los alumnos que practican solamente básquetbol10
y futbol soccer son:
5 8
Americano
Soccer
3
Básquetbol
ero de
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el núm 10
Obtén e n cada
res 5 8
jugado
caso.
Básquetbol
Americano Soccer
17 3 13
Americano Soccer
10
5 8
17 3 13
10
10
5 8
Básquetbol
Americano 10
Soccer
¿Cuántos alumnos no practican ninguno de los deportes mencionados?
Básquetbol
17 3 13
Americano Soccer
10
5 8
17 3 13
10
10
5 5 8 Básquetbol
10
5 Básquetbol
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Mediante este último diagrama, ya es más sencillo darle solución a las preguntas planteadas:
EJERCICIO 9
Realiza algunos problemas en los que la teoría de conjuntos puede sermás útil para
encontrar la respuesta, y también para interpretar mejor la información que se nos
proporciona:
1. Por solicitud del gerente de un restaurante, una mesera, al revisar las comandas
de los clientes que atendió durante su turno, encontró que:
90 se expresan en inglés.
57 se expresan en francés.
50 se expresan en español.
Con base en los datos proporcionados por la encuesta, contesta las siguientes
preguntas: