Unidad 7 Muestreo
Unidad 7 Muestreo
Unidad 7 Muestreo
CONTENIDOS:
7.1. Muestreo aleatorio simple.
7.2 Muestreo aleatorio estratificado.
7.3 Muestreo aleatorio de conglomerados.
7.4 Estimación del tamaño poblacional.
OBJETIVOS:
Determinar el diseño de muestreo adecuado para un problema
específico.
Determinar el tamaño de muestra para un diseño de muestreo específico
en un problema práctico.
7.1 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE.
1 n
n0 2 S2 si 0 N0.05
d 0 X
n
n0 n
n' n si 0 0.05
1 0 N
N
2.- Tamaño de muestra para estimar una proporción de la población usando un
diseño MAS (Muestreo Aleatorio Simple)
z
2
1 n0
2 p̂(1 p̂) si 0.05
n0 d 0 N
n
n n
n ' 0 si 0 0.05
n N
1 0
N
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO:
Para analizar el crecimiento de ratas de laboratorio se elige una muestra piloto de 13 ratas y
se miden obteniendo una talla promedio de la muestra de 5.3 centímetros y una varianza
muestral de 19.2
Pregunta: Un investigador desea determinar el tamaño de muestra mínimo usando un
diseño MAS para estimar la talla promedio de las ratas en la población con una confianza
de 95% y un error de estimación no mayor a 2 centímetros si en la población hay 200 ratas.
¿Cuántas ratas se debe elegir en la muestra?
Esquema de solución
Paso 3: Estimar los parámetros. En este caso se tiene, del enunciado del problema, que
X 5.3 es un estimador de y S X 19.2 es un estimador de
2 2
Paso 4: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener
lo pedido. Para responder la pregunta se debe usar un diseño MAS para determinar el
tamaño de muestra mínimo para estimar una media poblacional.
0
n0 19 n 19
0.095 0.05 n n ' 0n 17.3516 18 .
N 200 1 0 1 0.095
N
Paso 6: Redactar una respuesta.
Para estimar la talla media de las ratas en la población usando un diseño MAS con una
confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 2 centímetros el investigador debe
elegir a lo menos 18 ratas en la muestra
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO:
Esquema de solución
Paso 3: Estimar los parámetros. En este caso se tiene, del enunciado del problema, que
p̂ 0.1 (10%) es un estimador de p
Paso 4: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener
lo pedido. Para responder la pregunta se debe usar un diseño MAS para determinar el
tamaño de muestra mínimo para estimar una proporción poblacional.
Para estimar la proporción de artículos electrónicos en el lote usando un diseño MAS con
una confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 0.05 se debe elegir a lo menos
83 artículos del lote en la muestra
EJERCICIOS PROPUESTOS:
que n
i 1
i n, entonces el diseño muestral así estructurado se denomina Muestreo
Aleatorio Estratificado (MAE).
Una vez determinado el tamaño de muestra n este puede ser asignado a cada estrato por
uno de los siguientes métodos
Ni
1.- Asignación Proporcional: n n W donde W i 1, 2,..., h
i i i
N
nn Ni Si i 1, 2,...., h
i h
N
2.- Asignación Óptima:
j Sj
j 1
1.1 Tamaño de muestra para estimar una media de la población usando un
diseño MAE con asignación proporcional
2
z
1 h n
n0 2 W S 2 si 0 N0.05
d 0 i 1 i i
n
n n
n ' 0 si 0 0.05
n N
1 0
N
1.2 Tamaño de muestra para estimar una media de la población usando un
diseño MAE con asignación óptima
z
2
h
2
1 n
n0 d20 Wi Si si
N 0.05
0
i 1
n
n n
n ' 0 si 0 0.05
n N
1 0
N
n0 296 n0 296
0.9548 0.05 n n ' 151.4221 152
n
N 310 1 0 1 0.9548
N
155 62 93
n 152 * 76; n 152 * 30.4 30; n 152 * 45.6 46 .
1 2 3
310 310 310
. Paso 6: Redactar una respuesta.
Para estimar la proporción de salmones que cumplen la norma para el consumo
en el cultivo, usando un diseño MAE con asignación proporcional con una
confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 0.05 se debe elegir a lo
menos 152 salmones en la muestra de los cuales 76 deben ser elegidos del
estanque 1, 30 del estanque 2 y 46 del estanque 3
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Consultorio Ni si2
1 1000 2410
2 3000 2938
3 2000 2047
4 1000 2214
b) Asigne el número de ostiones por sector para cada caso de la parte a).
M mi nº de elementos en la población
i 1
M
M Tamaño promedio de los conglomerados
N
xij Dato del j-ésimo elemento en el conglomerado i
mi
ˆ i 1
Estimador de la media poblacional
n
mi
i 1
a
n
p̂ i 1
Estimador de la proporción poblacional
n
mi
i 1
xi ̂ mi
2
1 2
n si 0 n0.05
1 i 1
0 d M2 n ''1 N
0
n
n n
n ' 0 si 0 0.05
n
1 0 N
N
n '' n '' n '' n ''
ai ̂ mi
2
1 2
n n0 0.05
1 i 1 si
0 2 n ''1 N
0 d M
n
n n
n ' 0 si 0 0.05
n
1 0 N
N
n '' n '' n '' n ''
Esquema de solución a)
Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema.
Paso 2: Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados.
Sea X = Peso de las jaibas (en gramos). En este caso se debe suponer que
X ∼ N ( , 2 ) y el parámetro involucrado es donde es el peso medio
de las jaibas en el cultivo
Paso 3: Estimar los parámetros. En este caso se debe ingresar los datos (x, y)
en la calculadora considerando x mi e y xi obteniendo los siguientes
resultados
m 350; m 28500; x 3760; x 3255000; m x 302500
2 2
luego ˆ i
m 35
i
n '' n '' n '' n ''
tiene que
xi ̂ m i x 2i 2 ̂ x im i ̂ 2 m 2i
2
i 1 i 1 i 1 i 1
Paso 3: Estimar los parámetros. En este caso se debe ingresar los datos (x, y)
en la calculadora considerando x mi e y ai obteniendo los siguientes
resultados m 350; m 2 28500; a 180; a 2 8400; m a 15300
a
i i i i i i
180
p̂ 0.5143
i
luego es el estimador del peso medio y además se tiene
m
i 350
n '' n '' n '' n ''
ai p̂ m i a 2i 2 p̂ a im i p̂ 2 m 2i
2
que i 1 i 1 i 1 i 1
Paso 4: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para
obtener lo pedido. Para responder la pregunta a) se debe usar un diseño MAE
en la determinación del tamaño de muestra mínimo para estimar una media
poblacional usando asignación proporcional y óptima
t nt
Estimador: N
p s
t 2 n(n s)
Varianza estimada: V (N )
s2 (s 1)
En este caso un intervalo de confianza de nivel 1 para el tamaño de la
población está dado por
N z1 V (N ); N z1 V (N )
2 2
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO:
Ejercicio 1: Antes de abrir la temporada de caza se desea estimar la población
de venados, para lo cual se captura una muestra de 300 venados, se marcan y
se regresan al bosque. Dos semanas después se eligen 200 venados, de los
cuales 62 venían marcados. Estime el total de venados en el bosque y
determine un intervalo de 95% de confianza para dicho parámetro.
Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema.
Paso 2: Identificar los parámetros involucrados
En este caso el parámetro a estimar es el número de venados en la población
Paso 3: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para
obtener lo pedido
Para responder la pregunta se debe usar muestreo directo
Paso 4: Estimar los parámetros
En este caso se tiene t = 300 ; n = 200 ; s = 62
Luego el número estimado de venados en el bosque es
200 * 300 (300)2 (200)(138)
N 967.74 968 V (N ) 10422.61086
62 (62)3
d 1.96 10422.61086 200.098 200
Luego un intervalo de 95% de confianza para el total de venados en el bosque
es 968 200;968 200 768;1168
Paso 5: Redactar una respuesta a la pregunta:
Con 95% de confianza el número de venados en la población se encuentra entre
768 y 1168 venados
Ejercicio 2: En una gran reservación de animales es de interés estimar el
número total de pájaros de una determinada especie que allí habitan, para lo
cual se atrapa una muestra inicial de 150 pájaros, se marcan y luego se dejan
libres. En el mismo mes se capturan pájaros hasta encontrar 35 marcados,
logrando capturar 100 pájaros para lograr esto. Estime el número total de
pájaros en la reservación y un intervalo de 95% de confianza para dicho total.
Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema.
Paso 2: Identificar los parámetros involucrados
En este caso el parámetro a estimar es el número de pájaros en la población
Paso 3: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para
obtener lo pedido
Para responder la pregunta se debe usar muestreo inverso
Paso 4: Estimar los parámetros
En este caso t = 150; n = 100 y s = 35
Luego el número estimado de pájaros en la reservación es
100 *150 (150)2 (100)(65)
N 428.57 429 V (N ) 3316.3265
35 (35)2 36
d 1.96 3316.3265 112.87 113
Luego un intervalo de 95% de confianza para el total de pájaros en la
reservación es
429 113; 429 113 316;542
Paso 5: Redactar una respuesta a la pregunta:
Con 95% de confianza el número de pájaros en la población se encuentra entre
316 y 542 pájaros.
EJERCICIOS PROPUESTOS: