Teorema Del Límite Central

Teorema del Lmite Central
Introduccin
El teorema central del lmite, uno de los fundamentales en estadstica,
estudia el comportamiento de la suma de variables aleatorias, cuando crece el
nmero de sumandos, asegurando su convergencia hacia una distribucin
normal en condiciones muy generales. Este teorema, del cual existen
diferentes versiones que se han ido desarrollando a lo largo de la historia, tiene
una gran aplicacin en inferencia estadstica, pues muchos parmetros de
diferentes distribuciones de probabilidad, como la media, pueden expresarse
en funcin de una suma de variables. Permite tambin aproximar muchas
distribuciones de uso frecuente: binomial, Poisson, chi cuadrado, t-student,
gamma, etc., cuando sus parmetros crecen y el clculo se hace difcil. Por otro
lado, la suma de variables aleatorias aparece en forma natural en muchas
aplicaciones de la ingeniera: determinacin de masa forestal, carga soportada
por una estructura, tiempo de espera de servicios, etc.
El teorema se apoya y relaciona entre s con otros conceptos y procedimientos
bsicos en estadstica, como los de variable aleatoria y sus transformaciones,
distribucin muestral, convergencia, tipificacin, clculo de probabilidades, etc.
La distribucin de frecuencias es uno de los primeros pasos que debemos
realizar al inicio del anlisis estadstico, conjuntamente con la aplicacin de las
medidas descriptivas, y refleja cmo se reparten los individuos de una muestra
segn los valores de una variable. Cuando se trata de poblaciones, la
probabilidad de observar los diferentes valores de una variable aleatoria
pueden expresarse como una funcin de probabilidad. La mayora de los
fenmenos de inters en investigacin cientfica, como pueden ser la talla y la
presin arterial, siguen unas leyes o distribuciones de probabilidad tericas,
especificadas matemticamente en las que se basan la mayora de los
mtodos estadsticos. La distribucin ms conocida es la distribucin Normal o
de Gauss. Muchos de los procedimientos estadsticos habitualmente utilizados
asumen la normalidad de los datos observados. Aunque muchas de estas
tcnicas no son demasiado sensibles a desviaciones de la distribucin normal,
y en general esta hiptesis puede obviarse cuando se dispone de un nmero
suficiente de datos (teorema central del lmite), resulta recomendable
contrastar si se puede asumir o no una distribucin Normal.
Para decidir si nuestra muestra procede o no de una distribucin normal
existen grficos y contrastes de hiptesis que pueden ayudarnos. Cuando los
datos no son normales pueden transformarse o emplearse otros mtodos
estadsticos que no exijan este tipo de restricciones, llamados los mtodos no
paramtricos. [Alvarado, H., Batanero, C.. (2008). SIGNIFICADO DEL TEOREMA
CENTRAL DEL LIMITE EN TEXTOS UNIVERSITARIOS DE PROBABILIDAD Y
ESTADISTICA. Juio 28, 2008, de Universidad Catlica de la Santsima

Concepcin Sitio web: http://www.scielo.cl/pdf/estped/v34n2/art01.pdf ]
Marco Terico
Sabemos que la distribucin de la media muestral de una variable normal o
bien tiene distribucin normal o bien se corresponde con una t de Student.
Tambin hemos visto que si las variables originales siguen una distribucin de
Bernoulli, entonces su media es una proporcin y, en este caso, cuando n es lo
bastante grande, su distribucin muestral tambin es una normal.
El ltimo resultado es cierto sea cual sea la distribucin de los datos originales.
Es decir, no es preciso que partamos ni de distribuciones normales ni de
distribuciones de Bernoulli, ya que para muestras de tamaos lo bastante
grandes, la distribucin de la media muestral es normal sea cual sea la
distribucin original. Este resultado fundamental de la estadstica tiene un
nombre propio: el teorema del lmite central.
El teorema del lmite central dice que si una muestra es lo bastante grande (n
> 30), sea cual sea la distribucin de la variable de inters, la distribucin de la
media muestral ser aproximadamente una normal. Adems, la media ser la
misma que la de la variable de inters, y la desviacin t- pica de la media
muestral ser aproximadamente el error estndar. [Rovira, C.. (2008).
Teorema del Lmite Central. Noviembre 22, 2009, de UOC Sitio web:
http://www.calidad.com.mx/docs/art_64_1.pdf ]
Una consecuencia de este teorema es la siguiente: Dada cualquier variable con
aleatoria con esperanza E(x) y para n lo bastante grande, la distribucin de la
variable es una normal estndar.
Siempre que se quiera realizar un estudio, debemos medir las variables que
caracterizan los resultados del mismo. Tales variables se conocen como
variables aleatorias. Decimos que una variable es continua si puede tomar
cualquier valor en un intervalo conocido y es discreta si slo puede tomar
algunos valores. Si cada vez hiciramos los intervalos ms estrechos, as como
tambin aumentramos el tamao de muestra veramos que el histograma
tiende a estabilizarse llegando a convertirse su perfil en la grfica de una
funcin. De esta forma, las distribuciones de probabilidad de variables
continuas se definen mediante una funcin y=f(x) llamada funcin de
probabilidad o funcin de densidad y asocia valores de una variable aleatoria
con sus respectivas probabilidades.
La funcin de densidad de una variable aleatoria cumple que es positiva en
todo su dominio, que toma valores entre 0 y 1 y que permite obtener la
probabilidad de que un valor de la variable aleatoria se encuentre entre dos

puntos, siendo esta probabilidad el rea bajo la curva. El rea bajo la curva de
cualquier funcin de probabilidad es 1.
EL teorema central del lmite es uno de los teoremas estadsticos ms
importantes, pero son escasas las investigaciones especficas sobre su
enseanza, aunque muchos autores han publicado sugerencias didcticas para
facilitar su comprensin por ejemplo, usando simulaciones o grficos (e.g.,
Stent y McAlevey, 1990; Glencross, 1988).
En relacin con la comprensin del teorema central del lmite y los diversos
conceptos y procedimientos implcitos en l, Mndez (1991) lleva a cabo una
investigacin con expertos y alumnos. Su estudio tiene como propsito extraer
datos fenomenolgicos para representar las creencias que los sujetos tienen
sobre los aspectos fundamentales del teorema, clasificar los errores ms
comunes y observar el alcance de las creencias de los alumnos reflejadas en la
representacin experta. En primer lugar, realiza un anlisis de 10 libros de
estadstica bsica e identifica cuatro propiedades bsicas que deben
entenderse para poder lograr una comprensin slida del teorema, que resume
de la siguiente forma:
1. La media de la distribucin muestral es igual a la media de la poblacin, e
igual a la media de una muestra cuando el tamao de la muestra tiende al
infinito;
2. La varianza de la distribucin muestral es menor que la de la poblacin
(cuando n>1);
3. La forma de la distribucin muestral tiende a ser acampanada a medida que
se incrementa el tamao muestral y es aproximadamente normal,
independientemente de la forma de la distribucin en la poblacin;
4. La forma de la distribucin muestral crece en altura y decrece en dispersin
a medida que el tamao muestral crece.
A partir de textos escritos por expertos matemticos, represent el conjunto de
conocimientos implcito en el teorema central del lmite por medio de un mapa
conceptual, utilizando las cuatro propiedades anteriores como base de un
modelo mental de especialistas sobre el teorema. Este modelo lo us para
tener un marco a partir del cual investigar la comprensin del teorema.
Variabilidad y Representatividad muestral
Como indica Moses (1992), la idea central de la inferencia es que una muestra
proporciona "alguna" informacin sobre la poblacin y de este modo aumenta
el conocimiento sobre la misma. El autor indica que la inferencia estadstica es
una coleccin de mtodos para aprender de la experiencia y su comprensin
requiere el equilibrio adecuado entre dos ideas aparentemente antagnicas: la

representatividad muestral y la variabilidad muestral. La representatividad
implica que la muestra tendr a menudo caractersticas similares a las de la
poblacin, si ha sido elegida con las precauciones adecuadas. La variabilidad
indica el hecho de que no todas las muestras son iguales entre s.
El mtodo que explica la representatividad descrito por Kahneman, Slovic y
Tversky (1982), consiste en tener en cuenta slo uno de estos dos
componentes, calculando la probabilidad de un suceso slo sobre la base de la
representatividad del mismo respecto a la poblacin de la que proviene. No se
tiene en cuenta el tamao de la muestra y la variabilidad del muestreo,
producindose una confianza indebida en las pequeas muestras.
Enunciados Diferenciados del Teorema:
Se encuentran diversos tipos de presentaciones para el teorema, segn el
grado de formalizacin, y que enfatizan diferentes aspectos del significado de
los conceptos o se remiten a diferentes formas de aplicacin:
1. Enunciado del teorema mediante la convergencia de sucesiones de
variables aleatorias, de manera formal y rigurosa con un nivel de
matemtica avanzado, como el dado por Cuadras (1999):
Si es una sucesin de v.a independientes de medias
varianza
Var ( x)= 2
E ( x )=
, entonces, en ciertas condiciones generales, la
variable suma, reducida: ( Sn /
converge en ley N(0,1).
2. Enunciado del teorema como lmite ordinario de una sucesin de

funciones. En este caso la convergencia tiene un matiz determinista,
mientras que en el anterior es aleatoria (en probabilidad). Se reproduce
la formulacin del teorema por Kalbfleisch (1984):
Denotemos por
suma
Sn
f n la funcin de densidad de la probabilidad de la
, o la altura del histograma de
S n en el caso discreto. El
teorema central del lmite afirma que, para todo nmero real Z,
2
lim f n ( z )=
1
z
exp (
) .
2
2
3. Enunciado del teorema para la suma de variables independientes no

idnticamente distribuidas. (meyer, 1973)
Sea
X 1 , X 2 , X n una sucesin de variables aleatorias independientes
con
E ( x )=
y con
Var (x)= 2
i=1,2, .n
Sea
S n= X 1+ X 2 + + X n . Luego bajo condiciones generales
Sn / 2
Z n = (
tiene aproximadamente la distribucin N(0,1)
4. Enunciado del teorema para la suma de variables independientes
idnticamente distribuidas. Esta presentacin ms restringida del

teorema es la ms comn en los libros, pero en la mayora se presenta
para la media muestral (Mendenhall y Sincich 1997. Se presenta un
ejemplo para el caso de la suma:
Si se extrae una muestra aleatoria de n observaciones de una poblacin
con una media finita
y una varianza
, entonces, si n es lo
bastante grande, la distribucin de muestreo de la suma
S n= X i
se
puede aproximar con una funcin de densidad normal cuya media es
y varianza
n 2 .
5. Enunciado del teorema de forma general. Son varios los textos aplicados
a la ingeniera que introducen el tema sin formulacin matemtica. Hoy

en da es ms conocido el teorema de manera general para el estimador
de medias muestrales. Moore (1995)
Obtn una muestra aleatoria simple de tamao n de cualquier poblacin
de media
desviacin finita
. Cuando n es grande, la distribucin
de la media muestral se aproxima mucho a la distribucin normal N(
, / n ) con media
y desviacin tpica
, /n
6. Enunciado intuitivo del teorema. Otra forma de presentar el teorema es
a travs de la manipulacin con objetos didcticos concretos de un

experimento. Montgomery y Runger (1996) introducen el teorema
mostrando grficamente que la aproximacin normal para X depende del
tamao n de la muestra, mediante la distribucin de lanzamientos de
varios dados legal de seis caras.
Propiedades
Tauber (2001: 139 a 144) encontr nueve propiedades de la distribucin normal

que clasific en geomtricas, estadsticas y algebraicas. Entre ellas, las
siguientes ponen en correspondencia diferentes elementos de definicin,
lenguaje, representacin y procedimiento del teorema central del lmite:
P1: La media de una suma de variables aleatorias es siempre la suma de las
medias, sea aproximada o exacta la distribucin de dicha suma;
P2: La varianza de la distribucin de la suma de variables aleatorias
independientes es la suma de las varianzas;
P3: La media aritmtica de una muestra aleatoria de tamao suficientemente
grande sigue una distribucin aproximadamente normal;
P4: La aproximacin mejora con el nmero de sumandos;
P5: Las transformaciones lineales de variables aleatorias tambin siguen una
distribucin asinttica normal.
Adems se han encontrado las siguientes propiedades que tratan aplicaciones
del teorema:
P6: Las medias muestrales en dos poblaciones siguen una distribucin
aproximadamente normal;
P7: Aproximacin de una distribucin discreta por una continua;
P8: Aproximacin de algunas distribuciones clsicas a la distribucin normal;
P9: Los errores aleatorios siguen una distribucin normal;
P10: Los estimadores de mxima verosimilitud tienen distribucin asinttica
normal;
P11: Los estimadores de los momentos tienen distribucin asinttica normal;
P12: Correccin de continuidad.
[Alvarado, H., Batanero, C.. (2008). SIGNIFICADO DEL TEOREMA CENTRAL DEL
LIMITE EN TEXTOS UNIVERSITARIOS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. Juio 28,

2008, de Universidad Catlica de la Santsima Concepcin Sitio web:
http://www.scielo.cl/pdf/estped/v34n2/art01.pdf ]

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ESTADISTICA. Juio 28, 2008, de Universidad Catlica de la Santsima

probabilidad de que un valor de la variable aleatoria se encuentre entre dos

requiere el equilibrio adecuado entre dos ideas aparentemente antagnicas: la

, entonces, en ciertas condiciones generales, la

variable suma, reducida: ( Sn /

converge en ley N(0,1).

2. Enunciado del teorema como lmite ordinario de una sucesin de

f n la funcin de densidad de la probabilidad de la

, o la altura del histograma de

3. Enunciado del teorema para la suma de variables independientes no

X 1 , X 2 , X n una sucesin de variables aleatorias independientes

S n= X 1+ X 2 + + X n . Luego bajo condiciones generales

tiene aproximadamente la distribucin N(0,1)

4. Enunciado del teorema para la suma de variables independientes

idnticamente distribuidas. Esta presentacin ms restringida del

bastante grande, la distribucin de muestreo de la suma

puede aproximar con una funcin de densidad normal cuya media es

a la ingeniera que introducen el tema sin formulacin matemtica. Hoy

. Cuando n es grande, la distribucin

de la media muestral se aproxima mucho a la distribucin normal N(

6. Enunciado intuitivo del teorema. Otra forma de presentar el teorema es

a travs de la manipulacin con objetos didcticos concretos de un

Tauber (2001: 139 a 144) encontr nueve propiedades de la distribucin normal

LIMITE EN TEXTOS UNIVERSITARIOS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. Juio 28,

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