Geometría Analítica y Vectores y Homologas PDF
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15 de febrero de 2018
2
Prologo
El presente trabajo fue realizado durante el año 2017 basado en notas del curso dictado en años anterio-
res y en los libros Geometrı́a Analı́tica de Charles H. Lehman, Geometrı́a Analı́tica de Alfredo Steinbruch
y Problemas de Geometrı́a Analı́tica de D. Kleinik fue financiado por de la Facultad Politécnica de la
Universidad de Asunción. Quiero agradecer a las autoridades de dicha facultad el haberme brindado la
oportunidad de realizar este trabajo. También quisiera agradecer al Prof. Eduardo Canale por su asistencia
en temas técnicos relativos a la edición en LaTeX, en particular en la realización de los dibujos usando el
paquete pktiz.
Este texto debe entenderse como una guı́a para el estudio de la materia y en ningún sentido sustituye la
lectura de las referencias recomendadas, de todas formas espero que el lector disfrute su lectura tanto como
yo disfruté en su armado.
Asunción, 15 de febrero de 2018
Índice General
3
4 ÍNDICE GENERAL
5. Unidad V: La Circunferencia 67
5.1. Definición y Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2. Ecuación Canónica de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3. Ecuación General de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4. Posiciones Relativas de una Circunferencia y una Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5. Posiciones Relativas de dos Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 ÍNDICE GENERAL
y
Espacio II I
III IV
1.1. Coordenadas Rectangulares
III II
IV I
O
y
VI
V II V
V III
x
Figura 1.1: z
Mz
9 M
y
My
Mx
10CAPÍTULO 1. UNIDAD I: SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Figura 1.2:
partes llamadas octantes, ver Fig 1.1 La intersección de los planos dos a dos determinan tres rectas llamadas
ejes coordenados. Si elegimos un orden para dichos ejes, al primero se lo llama eje de las abscisas Ox, al
segundo eje de las ordenadas Oy y al tercero eje de las cotas Oz.
Sea M un punto arbitrario del plano o el espacio y Mx , My y Mz sus proyecciones sobre los ejes
coordenados, ver Fig 1.1 y Fig 1.2.
Se llaman coordenadas del punto M , con respecto al sistema considerado, a los números
En donde OMx es la longitud del segmento OMx , OMy la del segmento OMy ,
OMz la del segmento OMz .
El número x se llama abscisa, al número y ordenada y al número z cota del punto M . El sı́mbolo
M (x, y, z) denota que el punto M tiene coordenadas x, y y z.
En el plano:
Sean A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) dos puntos del plano. La distancia entre ellos, denotada d(A, B) será la
longitud AB del segmento AB. Para hallarla consideramos el punto intermedio C(x2 , y1 ) y el triángulo
rectángulo ACB al cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras para obtener
AB 2 = AC 2 + CB 2 .
En el espacio:
Sean A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 , y2 , z2 ) dos puntos del espacio. La distancia entre ellos, denotada también
d(A, B) será la longitud AB del segmento AB. Para hallarla consideramos el punto C(x2 , y2 , z1 ) y aplica-
mos nuevamente Pitágoras al triángulo rectángulo ACB, para obtener
AB 2 = AC 2 + CB 2 .
Como los puntos A y C están en un mismo plano horizontal, podemos pensar que tienen coordenadas
(x1 , y1 )py (x2 , y2 ) respectivamente y aplicar la fórmula de la distancia para puntos en un plano, o sea que
AC = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Por otra parte CB = |z2 − z1 |, de modo que
p
d(A, B) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . (1.2)
Sea el segmento AB y r ∈ [0, 1] un número entre 0 y 1. Queremos hallar un punto C en dicho segmento,
tal que AC/AB = r. O sea que si A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) y C(x3 , y3 , z3 ), entonces por Tales, en los
casos en que los denominadores no sean nulos tenemos que (x3 −x1 )/(x2 −x1 ) = r, (y3 −y1 )/(y2 −y1 ) =
r, (z3 − z1 )/(z2 − z1 ) = r. o sea
fórmula que también es correcta para cuando los denominadores son nulos. En particular, para obtener el
punto medio, ponemos r = 1/2, de donde
1 x1 + x2 1 y1 + y2 1 z1 + z2
x3 = x1 + (x2 −x1 ) = , y3 = y1 + (y2 −y1 ) = , z3 = z1 + (z2 −z1 ) = .
2 2 2 2 2 2
Sea P un punto cuyas coordenadas, con respecto a un sistema de coordenadas de ejes X e Y , son (x, y).
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O(h, k), y si las coordenadas de P , con respecto a
los nuevos ejes coordenados X e Y , son (x0 , y 0 ), entonces
x = x0 + h y y = y0 + k
12CAPÍTULO 1. UNIDAD I: SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Sea P un punto cuyas coordenadas, con respecto a un sistema de coordenadas de ejes X e Y , son
(x, y). Si los ejes coordenados giran un ángulo θ en torno de su origen como centro de rotación, y si las
coordenadas de P , con respecto a los nuevos ejes coordenados X e Y , son (x0 , y 0 ), entonces
De la figura se tiene:
x y x0 y0
cos(θ + α) = , sen(θ + α) = , cos(α) = , sen(α) = .
r r r r
de donde,
Por tanto,
1.2.3. Ejercicios
1. Transforma las siguientes ecuaciones trasladando los ejes coordenados al nuevo origen indicado:
a. x3 − 3x2 − y 2 + 3x + 4y − 5 = 0, (1, 2)
b. x − 4y + 6x + 8y + 1 = 0,
2 2
(−3, 1)
c. y − 4x − 6y + 17 = 0,
2
(2, 3)
d. x + y + 2x − 6y + 6 = 0,
2 2
(−1, 3)
e. 3x + 2y + 12x − 4y + 8 = 0,
2 2
(−2, 1)
f. 4x − y − 8x − 10y − 25 = 0,
2 2
(1, −5)
g. y − x + 3y − 4x + 3y − 3 = 0,
3 2 2
(−2, −1)
h. xy − 3x + 4y − 13 = 0, (−4, 3)
2. Transforma las siguientes ecuaciones dadas a continuación rotando los ejes coordenados un ángulo igual
al indicado:
a. x2 − 2xy + y 2 − x = 0; 45o
√
b. 3y 2 + 3xy − 1 = 0; 60o
√
10
c. 5x + 3xy + y − 4 = 0;
2 2
arc sen
10
3
d. 11x2 + 24xy + 4y 2 − 20 = 0; arctan
4
e. x4 − y 4 + 6x2 y 2 − 3 = 0; 45o
3. Transformar las ecuaciones dadas en otra que carezcan de términos de primer grado:
a. 2x2 + y 2 + 16x − 4y + 32 = 0
b. 3x2 + 2y 2 + 18x − 8y + 29 = 0
c. 3x2 − 2y 2 − 42x − 4y + 133 = 0
d. xy − x + 2y − 10 = 0
e. 8x3 + 24x2 − 4y 2 + 24x − 12y − 10 = 0
4. Por una rotación de los ejes coordenados, transformar las siguientes ecuaciones en otra que carezcan del
término en:
√
a. 4x2 + 4xy + y 2 + 5x = 1
b. 9x2 + 3xy + 9y 2 = 5
c. 5x2 + 4xy + 2y 2 = 2
d. 2x2 − 5xy + 2y 2 = 0
e. 16x2 + 24xy + 9y 2 + 25x = 0
14CAPÍTULO 1. UNIDAD I: SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Capı́tulo 2
Recta Orientada - Eje: Una recta r es orientada cuando se fija en ella un sentido, considerado positivo
y se indica por una flecha.
A ~v B
Origen Extremo
Segmento Nulo: un segmento nulo es aquel cuyo extremo coincide con el origen.
Segmentos Opuestos: Sea AB un segmento orientado, el segmento orientado BA es opuesto de AB.
Medida de un Segmento: A cada segmento orientado se puede asociar un número real no negativo, que
es la medida del segmento en relación a una unidad de medida. A la medida del segmento orientado AB se
llama Módulo e indicado por AB
A B
AB = BA = 3 u.(modulo o longitud)
Dirección y Sentido: Los segmento AB, CD y EF tienen la misma dirección (rectas paralelas).
A B
AB tienen el mismo sentido que CD
C D EF tiene sentido opuesto a AB
E F
Solo se pueden comparar los sentidos en los segmentos que tengan la misma dirección. Los opuestos
tienen sentido contrario.
15
16 CAPÍTULO 2. UNIDAD II: VECTORES
C
D
B B
C
A A
Propiedades de la equivalencia
1) AB ∼ AB (Reflexiva)
2) Si AB ∼ CD entonces CD ∼ AB (simetrı́a)
3) Si AB ∼ CD y CD ∼ EF , entonces AB ∼ EF (transitiva)
4) Dado un segmento orientado AB y un punto C, existe un único punto D, tal que AB ∼ CD
2.1. Vectores
Se llama vector a un segmento de recta dirigido que tiene magnitud o longitud, dirección y sentido. El
vector determinado por el segmento orientado AB es el conjunto de los segmentos equivalentes a AB.
~v −−→
B AB = ~v
−−→
|AB| = |~v | modulo o longitud
A
~v
2.2. OPERACIONES CON VECTORES 17
Vectores Colineales (o paralelas): Dos vectores ~u y ~v son colineales si tienen la misma dirección.
D
D
C
B
B C
A A
~u
~
w
B ~v
C
~u ~s ~u
~s
A
~v
Propiedades de Adición:
a) Conmutativa: ~u + ~v = ~v + ~u
18 CAPÍTULO 2. UNIDAD II: VECTORES
b) Asociativa: (~u + ~v ) + →
−
w = ~u + (~v + →
−
w)
→
− →
−
c) Existe un vector nulo 0 tal que para todo ~v se tiene ~v + 0 = ~v
→
−
d) ~v + (−~v ) = −~v + ~v = 0 Vectores opuestos.
→
−
d = ~u − ~v
B ~v
− D
~u d~ ~u d~ ~u
~v
A
~v C
Dado un vector ~v 6= 0 y un número real k 6= 0, se llama producto del número real k por el vector ~v , al
vector →
−
p = k~v tal que:
a) |→
−
p | = |k~v | = |k|.|~v modulo.
b) Dirección: la misma que ~v .
c) Sentido: el mismo que ~v si k > 0, y contrario a ~v si k < 0.
,5~v
−0
~v
0,5
2~v
~v
Observación:
→
− →
−
• Si k = 0 o ~v = 0 , entonces k~v = 0 .
• Si ~u y ~v son colineales, entonces existe k ∈R tal que.
→
− ~v
• El versor de un vector ~v 6= 0 es el vector unitario ~u = , por tanto ~v = |~v |~u.
|~v |
2.4. VECTORES EN EL PLANO 19
Propiedades:
Sean ~u y ~v vectores y, a, b ∈ R
El ángulos entre dos vectores ~u y ~v no nulos es el ángulo θ formado por las semirrectas OA y OB tal
que 0 6 θ 6 π
A
~u
θ ~v
O B
Propiedades:
π−θ
~u
−~v θ ~v
Dado dos vectores ~v1 y ~v2 no colineales, cualquier vector ~v puede ser descompuesto según las direccio-
nes de ~v1 y ~v2 . El problema consiste en determinar dos vectores cuyas direcciones sean las de ~v1 y ~v2 y cuya
suma sea ~v . En otras palabras iremos a determinar dos números reales a1 y a2 tal que: ~v = a1 V~1 + a2 V~2
En el plano cualquier conjunto de dos vectores no colineales es una base, es decir siempre existe número
20 CAPÍTULO 2. UNIDAD II: VECTORES
reales a1 y a2 tal que: ~v = a1 V~1 + a2 V~2 , donde a1 y a2 son los componentes de ~v en relación de la base
considerada.
Una base en el plano es ortonormal si los dos vectores son ortogonales y unitarios.
Existen naturalmente infinitas base ortonormales en el plano XOY , pero para nuestro estudio escoge-
remos la base canónica, donde ~i tiene la dirección de x positivos y ~j la dirección del eje y positivo.
h Ahorai consideremos un vector ~v = xV~1 +y V~2 , donde x, y son los componentes de ~v en la base canónica
~ con (0, 0) y (x, y). Entonces escribiremos ~v = (X, Y )
~i, ~j . Este vector es igual OP
y ordenadas y
y~j P (x, y)
~j = (0, 1)
x abscisas x
O ~i = (1, 0) O x~i
Sea ~ ~
p el vector ~v = xi + y j, entonces su norma, longitud o modulo, denotado por |~v |, esta dado por:
2
~v = x + y 2
B(x2 , y2 )
A(x1 , y1 )
x
O
Dos vectores ~u = (x1 , y1 ) y ~v = (x2 , y2 ) son colineales (//) si o solo si uno es múltiplo escalar del otro,
existe un número k ∈ R, tal que: ~u = k~v , o sea
(x1 , y1 ) = k(x2 , y2 ) = (kx2 , ky2 )
x1 = kx2 , y1 = ky2 ,
x1 y1
= k, =k
x2 y2
x1 y1
Luego, = = k, es decir, dos vectores son paralelas cuando sus componentes son proporcionales.
x2 y2
z cotas
~k = (0, 0, 1)
O ~j = (0, 1, 0)
y ordenadas
~i = (1, 0, 0)
x abscisas
Sea el vector ~v = x~i+y~j+z~k, entonces su norma longitud o modulo, denotado por |~v | =
p
x2 + y 2 + z 2
Igualdad de Vectores
z
A = (x1 , y1 , z1 )
−
−→
AB B = (x2 , y2 , z2 )
y
O
−→ −−→ −−→
OA + AB = OB.
−−→ −−→ −→
AB = OB − OA = (x2 , y2 , z2 ) − (x1 , y1 , z1 )
−−→
AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
Dos vectores ~u = (x1 , y1 , z1 ) y ~v = (x2 , y2 , z2 ) son colineales (o paralelas) si y sólo sı́ uno es múltiplo
escalar del otro, es decir, existe un número k ∈ R tal que:
~u = k~v , o sea,
(x1 , y1 , z1 ) = k(x2 , y2 , z2 ) = (kx2 , ky2 , kz2 )
x1 y1 z1
= k, = k, =k
x2 y2 z2
x1 y1 z1
Luego, = = , es decir, dos vectores son paralelas cuando sus componentes son proporcionales.
x1 y2 z2
~v
Dado el vector ~v , el versor del vector ~v denotado por ~u es ~u = .
|~v |
2.5. VECTORES EN EL ESPACIO R3 23
2.5.4. Ejercicios
−→ −−→
1. Dados los puntos A(2, −3, 1) y B(4, 5, −2), determinar el punto P tal que AP = P B.
2. Determinar el vector w
~ sabiendo que ~u + 2w ~ siendo ~u = (3, 7, 1) y ~v = (6, 10, 4).
~ = ~v − w,
3. Determinar a y b de modo que los vectores ~u = (4, 1, −3) y ~v = (6, a, b) sean paralelos.
−−→
4. Dados los puntos A(1, 2, 3), B(−6, −2, 3) y C(1, 2, 1) determinar el versor del vector ~v = 3BA −
−−→
2BC.
5. Determinar el valor de n para que el vector ~v = (n, 2/5, 4/5) sea unitario. Dado los puntos A(3, m −
−−→ √
1, −4) y B(8, 2m − 1, m) determinar m de modo que |AB| = 35.
Producto escalar
~u
~u −
~v
θ
~v
A B
24 CAPÍTULO 2. UNIDAD II: VECTORES
De (2.1) y (2.2)
|~u|2 + |~v |2 − 2|~u|.|~v | cos θ = |~u|2 − 2~u.~v + |~v |2
~u.~v = |~u|.|~v | cos θ
~u.~v
De aquı́ cos θ = .
|~u|.|~v |
Observaciones:
Si ~u.~v > 0, debe ser un número positivo, es decir, cos θ > 0, lo que implica que 0 6 θ 6 θ2 . En este
caso, θ es un ángulo agudo o nulo
~u
θ ~v
Si ~u.~v < 0, entonces cos θ deberá ser un número negativo, esto es, cos θ < 0, lo que implica que
π/2 6 θ 6 π. En este caso, θ será un ángulo obtuso o llano.
θ
~u ~v
Si ~u.~v = 0, entonces cos θ debe ser igual a cero, esto es, cos θ = 0, lo que implica θ = π/2. En este
caso, θ es un ángulo recto.
~u
~v
Dos vectores son ortogonales si y solo sı́ el producto escalar de ellos es nulo, esto es, si ~u.~v = 0.
2.5. VECTORES EN EL ESPACIO R3 25
Recı́ptrocamente, si ~u.~v = 0, entonces alguno de los vectores es nulo o bien el ángulo entre ellos es
recto, es decir son ortogonales.
Observación: El vector ~0 es ortogonal a cualquier vector ~v .
Sea un vector v = x~i + y~j + z~k, llamamos ángulos directores de ~v a los ángulos α, β, γ que forma ~v
con los vectores ~i, ~j, ~k, respectivamente.
z
~v
~k
γ
α β ~j
y
O
~i
Los cosenos directores de ~v serán los cosenos de sus ángulos directores. Que por las fórmulas vistas
antes son:
2.5.8. Propiedades
Si ~u es el versor de ~v , entonces
~v x~i + y~j + z~k x ~ y ~ z ~
~u = = = i+ j+ k = α~i + β~j + γ~k.
k~v k k~v k k~v k k~v k k~v k
26 CAPÍTULO 2. UNIDAD II: VECTORES
Sean ~u y ~v dos vectores, entonces la proyección proy~v ~u, se puede calcular por la fórmula
~u.~v
proy~v ~u = ~v .
~v .~v
~u ~u θ
θ ~v ~v
w
~ w
~
Dados los vectores ~u = x1~i + y1~j + z1~k y ~v = x2~i + y2~j + z2~k, tomados en este orden, se llama
producto vectorial de los vectores ~u y ~v , y se representa por ~u × ~v , al vector:
~u × ~v = x1 y1 z1 ~i
x2 y2 z2
Observación: El producto vectorial del vector ~u por ~v es también indicado por ~u ∧ ~v y se lee “~u vectorial
~v ”.
1) ~u × ~u = 0, cualquiera sea
~i ~j ~k
~u × ~u = x1 y1 z1 ~i = (y1 z1 − y1 z1 )~i + (x1 z1 − z1 x1 )~j + (x1 y1 − y1 x1 )~k = 0~i + 0~j + 0~k = ~0.
x1 y1 z1
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de los vectores ~u y ~v mide el área del paralelogramo
−−→ −→
ABCD determinado por los vectores ~u = AB y ~v = AC
C D
~u
h
θ ~v
A B
1
−−→ −→
A=
AB × AC
2
C D
A B
Dados los vectores ~u = x1~i + y1~j + z1~k, ~v = x2~i + y2~j + z2~k y w~ = x3~i + y3~j + z3~k tomados en
este orden, se llama producto mixto de los vectores al número ~u.(~v × w).~ Se indica el producto mixto por
~ Como
(~u, ~v , w).
~i ~j ~k
y z2
~ = x2 y2 z2 = 2 ~i − x2 z2 ~j + x2 y2 ~k
~v × w
x3 y3 z3 y3 z3 x3 z3 x3 y3
28 CAPÍTULO 2. UNIDAD II: VECTORES
De donde
x1 y1 z1
y z2 x2 z2 x2 y2
~ = 2
(~u, ~v , w)
~ = ~u.(~v × w) x 1 − y 1 + z1 = x2 y2 z2
y3 z3 x3 z3 x3 y3
x3
y3 z3
1. (~u, ~v , w)
~ = 0 si
~v × w
~
w
~
~v
~u
−−→ −→
Decimos que cuatro puntos A, B, C y D pertenecen a un mismo plano si los vectores AB, AC y
−−→ −−→ −→ −−→
AD, son coplanares, esto es, si (AB, AC, AD) = 0
B
A C
2. El producto mixto es independiente del orden circular de los vectores, esto es:
(~u, ~v , w)
~ = (~v , w,
~ ~u) = (w,
~ ~u, ~v ).
3. (~u, ~v , w
~1 + w
~ 2 ) = (~u, ~v , w
~ 1 ) + (~u, ~v , w
~ 2 ).
4. (~u, ~v , mw)
~ = (~u, ~v , w)
~ = (~u, m~v , w)
~ = (m~u, ~v , w)
~ = m(~u, ~v , w).
~
2.5. VECTORES EN EL ESPACIO R3 29
~v × w
~
D
|
θ
~u
h
{z
~
w
C
A
}
~v
B
Se sabe que el volumen V de un paralelepı́pedo es el área Ab de la base por la altura h, o sea V = Ab ×h.
El área de la base es Ab = ~v × w.
~
Si θ el ángulo entre ~u y la recta ortogonal a los vectores ~v y w,
~ entonces la altura es:
h = k~uk | cos θ|, si 0 ≤ θ ≤ π/2
V = k~v × wk
~ k~uk | cos θ| = k(~v × w).~
~ uk = |(~u, ~v , w)|
~
o sea
−−→ −→ −−→
V = |(AB, AC, AD)|
1 −−→ −→ −−→
V = |(AB, AC, AD)|
6
30 CAPÍTULO 2. UNIDAD II: VECTORES
Capı́tulo 3
Sea r una recta dirigida hacia arriba. Se llama ángulo de inclinación de la recta r al ángulo que la
recta forma con el eje X positivo. Si r es paralela al eje X, su ángulo de inclinación es cero.
α
x
31
32 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
y r
P2
α
y1
P1
α
x1 x2 x
Sean r1 una recta dirigida con ángulo de inclinación α1 y pendiente m1 y r2 una recta dirigida con
ángulo de inclinación α2 y pendiente m2 . La medida θ del ángulo agudo formado por las rectas está dada
por
m2 − m1
tan θ =
,
1 − m1 m2
siendo m1 m2 6= −1.
r2
y
r1
θ1
θ2
α2
α1
x
Como la medida de un ángulo exterior de un triángulo es la suma de las medidas de los dos ángulos
internos no adyacentes se tiene
3.1. LA RECTA EN EL PLANO 33
α2 = α1 + θ1 ,
es decir,
θ1 = α2 − α1
Por tanto,
tan α2 − tan α1 m2 − m1
tan θ1 = tan(α2 − α1 ) = = .
1 + tan α1 tan α2 1 + m1 m2
Sean las rectas r1 con pendiente m1 y r2 con pendiente m2 . Las rectas r1 y r2 son paralelas si y sólo si
m1 = m2 .
r1 r2
y
α1 α2
x
m1 = tan α1 = tan α2 = m2 .
tan α1 = tan α2 ,
Sean las rectas r1 con pendiente m1 y r2 con pendiente m2 . Las rectas r1 y r2 son perpendiculares si y
1
sólo si m2 = − .
m1
34 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
r2
y
r1
θ
α2
α1
x
α2 = θ + α1 = 90o + α1 ,
o sea,
90o = α2 − α1 ,
lo que implica que
1 1 + tan α1 tan α2 1 + m1 m2
0 = cot 90o = cot(α2 − α1 ) = = = .
tan(α2 − α1 ) tan α2 − tan α1 m2 − m1
De aquı́,
1 + m1 m2 = 0,
es decir,
1
m2 = − .
m1
1
De manera recı́proca, si m2 = − ,,
m1
es decir, si 1 + m1 m2 = 0,
entonces
1 1 + tan α1 tan α2 1 + m1 m2
cot θ = cot(α2 − α1 ) = = = = 0.
tan(α2 − α1 ) tan α2 − tan α1 m2 − m1
Sea r una recta que pasa por el punto P1 (x1 , y1 ) y tiene pendiente m. Un punto P (x, y) del plano
pertenece a la recta r, si y sólo si
y − y1
m= ,
x − x1
o sea,
y − y1 = m(x − x1 ).
3.1. LA RECTA EN EL PLANO 35
de la recta r se tiene
y = m(x − x1 ) + y1 = mx + mx1 + y1 .
Haciendo b = mx1 + y1 se tiene
y = mx + b.
Esta ecuación se llama ecuación pendiente – ordenada al origen de la recta r. El número b se llama
ordenada al origen de la recta r y representa la ordenada del punto en que la recta corta al eje Y .
Sea r una recta que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ). La pendiente de r está dada por
y2 − y1
.
x2 − x1
3. Entonces, para que los puntos P1 (x1 , y1 ) P2 (x2 , y2 ) P3 (x, 3y3 ) estén sobre una misma recta, se debe
cumplir que:
36 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
x1 y1 1
x2 y2 1 =0
x3 y3 1
La recta cuyas intercepciones con los ejes X e Y son a 6= 0 y b 6= 0, respectivamente, tiene por ecuación
x y
+ = 1.
a b
Esta ecuación se llama ecuación simétrica de la recta.
A
m=− .
B
A1 B1
1. son paralelas si =
A2 B2
2. son perpendiculares si A1 A2 + B1 B2 = 0
Sea r una recta cuya ecuación general es Ax+By+C = 0. La distancia d(P0 , r) de un punto P0 (x0 , y0 )
a la recta r está dada por la fórmula:
|Ax0 + By0 + C|
d= √ .
A2 + B 2
3.1. LA RECTA EN EL PLANO 37
P0
r
d
Dada una recta en el plano, tracemos por el origen de coordenadas una perpendicular a la misma. Dicha
recta de llama normal. Si P es el punto de intersección de la normal con la recta dada y p es la longitud del
segmento OP y α el ángulo de la normal con el eje Ox, entonces la ecuación
x cos α + y sen α − p = 0
El conjunto de rectas que pasa por un punto P se llama haz de rectas con el centro P . Si r : A1 x +
B1 y + C1 = 0 y s : A2 x + B2 y + C2 = 0 son las ecuaciones de dos rectas que se cortan en un punto P , la
ecuación α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0 en la que α y β son números no simultáneamente
β
nulos, determina una recta que pasa también por el punto P . Si α 6= 0 y tomando k = , tenemos que
α
A1 x + B1 y + C1 + k(A2 x + B2 y + C2 ) = 0
determina cualquier recta que pasa por el punto P , excluyendo a la recta s, pues α 6= 0.
38 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
Sea r una recta que pasa por el punto A y tiene dirección de un vector no nulo ~v . Para que un punto P
−→
del espacio pertenezca a la recta r, es necesario y suficiente que los vectores AP y ~v sean colineales, esto
es:
−→
AP = t~v ó P − A = t~v .
z
P
A ~v
~k
y
~i ~j
Por lo que P = A + t~v . Si P (x, y, z), A(x1 , y1 , z1 ) y ~v = (a, b, c), entonces (x, y, z) = (x1 , y1 , z1 ) +
t(a, b, c). Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta. El vector ~v se llama vector director de la
recta r y t es denominado parámetro.
Las ecuaciones anteriores, en las cuales a, b y c no son todos nulos (pues ~v 6= ~0), son denominadas ecua-
ciones paramétricas de la recta r. La recta r es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) determinados por
las ecuaciones paramétricas cuanto t varia de −∞ a +∞.
La recta determinada por los puntos A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 , y2 , z2 ) es una recta que pasa por los puntos
−−→
A (ó B ) y tiene la dirección del vector ~v = AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ).
3.2. LA RECTA EN EL ESPACIO 39
x − x1 y − y1 z − z1
t= ; t= ; t= .
a b c
Luego:
x − x1 y − y1 z − z1
= = .
a b c
Está ecuaciones son denominadas ecuaciones simétricas de la recta r.
Observación: Si la recta r está determinada por los puntos A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 , y2 , z2 ), sus ecuaciones
simétricas son:
x − x1 y − y1 z − z1
= =
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
pues un vector director es:
−−→
~v = AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
3.2.5. Condición para que tres puntos estén sobre un misma recta
La condición para que tres puntos A1 (x1 , y1 , z1 ), A2 (x2 , y2 , z2 ) y A3 (x3 , y3 , z3 ) estén sobre una misma
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→
lı́nea recta es que los vectores A1 A2 y A1 A3 sean colineales, esto es: A1 A2 = mA1 A3 para algún m ∈ R.
O bien:
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
= =
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
se pueden expresar de otra forma, despejando las variables y y z en función de la variable x. Ası́: Estas
y − y1 x − x1 z − z1 x − x1
= =
b a c a
b c
y − y1 = (x − x1 ) z − z1 = (x − x1 )
a a
b b c c
y = x − x1 + y1 z = x − x1 + z1
a a a a
haciendo m = b/a y n = y1 − x1 b/a haciendo p = c/a y q = z1 − x1 c/a
tenemos que tenemos que
y = mx + n z = px + q.
o las ecuaciones:
x − x1 y − y1 z − z1
= = .
a b c
representan una recta r determinada por un punto A(x1 , y1 , z1 ) y por un vector director ~v = (a, b, c). Hasta
ahora, se consideraron que todas las componentes del vector son diferentes de cero. Sin embargo, una o dos
de estas componentes pueden ser nulas. Entonces, tenemos dos casos:
1. Sólo una de las componentes de ~v es nula.
En este caso, el vector es ortogonal a uno de los ejes coordenados y, por tanto, la recta r es paralela al
plano de los otros dos ejes. Ası́:
a. Si a = 0, ~v = (0, b, c)⊥0x ∴ r//yOz,
Las ecuaciones de r son:
x = x 1
y − y1 z − z1
= .
b c
r
~v
A
y
x1
y = y1
x − x1 z − z1
= .
a c
3.2. LA RECTA EN EL ESPACIO 41
~v r
A
y1
y
z = z1
x − x1 y − y1
= .
a b
z
z1
A
r
~v
A(x1 , y1 , z1 )
~k
y1
y
x1
x
3.2. LA RECTA EN EL ESPACIO 43
x = x1 ,
y = y1 + bt,
z = z1 .
(
x = x1 ,
O simplemente , entiendo por supuesto que x es variable.
z = z1
z1
r
A(x1 , y1 , z1 )
y
~j
x1
x = x1 + at,
y = y1 ,
z = z1 .
o simplemente,
(
y = y1 ,
z = z1 .
44 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
z1
A(x1 , y1 , z1 )
r y
y1
~i
Sea r una recta orientada que tiene la dirección y sentido de un vector no nulo ~v . Los cosenos directores
de la recta r son los cosenos directores del vector ~v , es decir, cos α, cos β y cos γ, donde α, β y γ son los
ángulos que ~v forma con los ejes X positivo, Y positivo y Z positivo, respectivamente.
Sea r una recta orientada que pasa por un punto A(x1 , y1 , z1 ) y sean cos α, cos β y cos γ los cosenos
directores de r. La ecuación normal de la recta está dada por:
x − x1 y − y1 z − z1
= = .
cos α cos β cos γ
3.2. LA RECTA EN EL ESPACIO 45
Sea una recta definida por un punto P1 y por un vector ~v y sea un punto P del espacio. Los vectores ~v
y P1 P determinan un paralelogramo cuya altura corresponde a la distancia d de P a r.
z
P
~v
P1
y
Se sabe que el área A del paralelogramo está dada por el producto de la base por la altura, es decir,
A = |~v |d.
Por otro lado, de acuerdo a la interpretación geométrica del módulo del producto vectorial, se tiene:
−−→
A = |~v × P1 P |,
de donde
−−→
|~v |d = |~v × P1 P |,
Por tanto,
−−→
|~v × P1 P |
d= .
|~v |
Sean las rectas r1 , que pasa por el punto A1 (x1 , y1 , z1 ) y tiene la dirección de un vector ~v1 = (a1 , b1 , c1 )
y r2 que pasa por el punto A2 (a2 , b2 , c2 ) y tiene la dirección de un vector ~v2 = (a2 , b2 , c2 ). Se llama ángulo
entre las dos rectas r1 y r2 al menor ángulo de un vector director de r1 y de un vector director de r2 . Luego,
|~v1 · ~v2 |
siendo θ éste ángulo, tenemos: cos θ = , con 0 6 θ 6 π2 .
|~v1 ||~v2 |
46 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
r2
~v2
z
A2
r1
A1 ~v1
~v2
θ
~v1 y
Una condición de paralelismo de las rectas r1 y r2 es la misma que entre los vectores ~v1 = (a1 , b1 , c1 )
y ~v2 = (a2 , b2 , c2 ), que definen las direcciones de esas rectas, esto es:
~v1 = m~v2
o
a1 b1 c1
= = .
a2 b2 c2
Observaciones:
1. Sea r1 una recta que pasa por un punto A1 (x1 , y1 , z1 ) y tiene la dirección de un vector ~v1 =
(a1 , b1 , c1 ), expresada por las ecuaciones:
x − x1 y − y1 z − z1
= = .
a1 b1 c1
Cualquier recta r2 , paralela a la recta r1 , tiene parámetros directores proporcionales a los parámetros direc-
tores a1 , b1 , c1 de r1 . En particular a1 , b1 , c1 son parámetros directores de cualquier recta paralela a la recta
r1 . En estas condiciones, si A2 (x2 , y2 , z2 ) es un punto cualquiera del espacio, las ecuaciones de la paralela
a la recta r1 , que pasa por A2 , son:
x − x2 y − y2 z − z2
= = .
a1 b1 c1
2. Si las rectas r1 y r2 se expresan, respectivamente, por las ecuaciones reducidas:
( (
y = m1 x + n1 , y = m2 x + n2 ,
y
z = p1 x + q1 , z = p2 x + q2 ,
~v1 = (1, m1 , p1 ),
~v2 = (1, m2 , p2 ),
3.2. LA RECTA EN EL ESPACIO 47
son paralelas.
La recta r1 que pasa por el punto A1 (x1 , y1 , z1 ) y tiene la dirección de un vector ~v1 (a1 , b1 , c1 ), y la recta
r2 , que pasa por el punto A2 (x2 , y2 , z2 ) y tiene la dirección de un vector ~v2 (a2 , b2 , c2 ), son coplanares si
−−−→
los vectores v1 , v2 y A1 A2 son coplanares, esto es:
a1 b1 c1
−−−→
~v1 , ~v2 , A1 A2 = a2 b2 c2 = 0.
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
r2
~v2
A2
r1
A1 ~v1
1. Coplanares, esto es, situadas en el mismo plano. En este caso las rectas pueden ser:
a. Concurrentes: r1 ∩ r2 = {P } (P es el punto de intersección de las rectas r1 y r2 )
48 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
r2
r1
P
r1
r2
r2
r1
Sean las rectas r1 y r2 , no paralelas, con las direcciones de los vectores ~v1 = (a1 , b1 , c1 ) y ~v2 =
(a2 , b2 , c2 ), respectivamente. Cualquier recta r, simultáneamente ortogonal a las rectas r1 y r2 , tendrá un
vector director paralelo o igual al vector ~v1 × ~v2 .
50 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
r r2
~v1 × ~v2
~v2
~v1
r1
3.3. Ejercicios.
1. Hallar la ecuación de una recta cuya pendiente es −4 y que pasa por la intersección de las rectas
2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0.
2. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7, 2).
Calcular las coordenadas del punto P .
3. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, −1) y que forman cada una un ángulo
de 45o con la recta 2x − 3y + 7 = 0
4. La ecuación de una recta en la forma normal es x cos α + y sen α − 5 = 0. Hallar el valor de α para
que la recta pase por el punto P (−4, 3).
5. Hallar la ecuación de la recta cuya distancia al origen es 5 y que pasa por el punto P (1, 7).
6. La ecuación de la recta r es x + 3y − 6 = 0, y las coordenadas de un punto P son (4, 7). Hallar la
ecuación de una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta r.
7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 3x+y−9 = 0, 4x−3y+1 = 0
y cuya distancia del origen es 2.
x−7 y+3 z
8. Calcular la distancia del punto P (−1, 2, 3) a la recta = = .
6 −2 3
9. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (7, −2, 9) y el perpendicular a cada una de
x−2 y z+3 x+4 y−2 z
las rectas = = y = = .
2 −2 3 1 5 −2
10. Hallar las ecuaciones paramétricas
( de la recta
( que pasa por el punto A(3, 2, 1) y el simultáneamente
x = 3, y = −2x + 1,
ortogonal a las rectas r : ys:
z = 1, z = −x − 3.
3.3. EJERCICIOS. 51
x−1 y z
11. La recta = = , es paralela a la recta que pasa por el punto A(−1, 0, 0) y es simultánea-
a b −2
x = −t,
(
y = x,
mente ortogonal a las rectas r1 : y = −2t + 3, y r2 : Calcular a y b.
z = 2x.
z = 3x − 1,
(
y = 2x + 3, x−1 y z
12. El valor de n para que las rectas r2 : ys: = = , sean coplanares es:
z = 3x − 1. 2 −1 m
(
y = nx + 5,
13. Calcular el valor de n para que el ángulo formado por la recta r : y el eje sea de
z = 2x − 3.
30o .
14. Calcular las ecuaciones reducidas de la recta que pasa por el punto A(−2, 1, 0) y es paralela a la recta
x+1 y z
r: = = .
1 4 −1
(
y = mx + 3,
15. La recta r : es ortogonal a la recta determinada por los puntos A(1, 0, m), B(−2, 2m, 2m).
z = x − 1,
Calcular el valor de m.
16. Mostrar que los puntos A(−1, 4, −3), B(2, 1, 3) y C(4, −1, 7) son colineales
17. ¿Cuál debe ser el valor de m para que los puntos A(3, m, 1), B(1, 1, −1) y C(−2, 10, −4) perte-
nezcan a la misma recta?
19. Determinar el valor de n para que el ángulo entre las rectas sea 30o
(
x−2 y+4 z y = nx + 5,
r: = = y s:
4 5 3 z = 2x − 2.
(
y = nx + 5,
20. Calcular el valor de n para que el ángulo que forma la recta r : con las ejes de las
z = 2x − 3,
y un ángulo de 30o .
21. Calcular el valor de m para que las siguientes pares de rectas sean paralelas:
x = −3t,
x+5 y−1
a) r : y = 3 + t, y s: = ; z = 6.
6 m
z=4
52 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: LA RECTA
x = 2 − 3t,
x−4 z−1
b) r : y = 3, y s: = ; y = 7.
6 5
z = mt
Determinar:
a) El punto de intersección de s y h.
b) El ángulo entre r y s.
24. Sean las rectas:
x = 2 + 3t,
y = 2x + 1,
r : y = 4 + 5t, y s: x−3
z = .
z = mt 2
26. Establecer las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas:
(
y+1 z x = 1 − y,
r :x−2= = y s:
2 3 z = 2 + 2y
y es, al mismo tiempo, ortogonal a r y a s.
Capı́tulo 4
−→
~n.AP = 0.
~n
z
P π
~n A
~k
y
~i ~j
53
54 CAPÍTULO 4. UNIDAD IV: EL PLANO
~n = ~v1 × ~v2 .
π
~n
~v2
~v1
~n = ~v1 × ~v2 .
π
~n
~v2
AA
~v1
−−→
2) pasa por dos puntos A y B y es paralelo a un vector ~v no colineal al vector AB. En este caso:
−→
~n = ~v × AC.
π
~n
B
A
~v
−−→ −→
3) pasa por tres puntos A, B y C no colineales. En este caso: : ~n = AB × AC.
4.1. ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO 55
π
~n
B
A
C
4) contiene a dos rectas r1 y r2 concurrentes. En este caso: ~n = ~v1 × ~v2 , siendo ~v1 y ~v2 y vectores
directores de r1 y r2 .
~n
π
~r1
~v2
A
~r2 ~v1
−−−→
5) contiene a dos rectas r1 y r2 paralelas. En este caso: ~n = A1 A2 × ~v1 , siendo ~v1 un vector director de
r1 (o r2 ) y A1 ∈ r1 y A2 ∈ r2 .
~n
π
~v1
A1
~r2 A2
~r1
−−→
6) contiene a una r y un punto B 6∈ r. En este caso: ~n = AB × ~v , siendo ~v un vector director de r y
A ∈ r.
~n
π
~v
A
B
~r
Observación:
En los seis casos presentados de determinación de un plano, un vector normal ~n siempre está dado por
el producto vectorial de dos vectores representados en el plano. Estos dos vectores son llamados vectores
base del plano.
56 CAPÍTULO 4. UNIDAD IV: EL PLANO
Si sólo una de las componentes del vector ~n = (a, b, c) es nula, el vector es ortogonal a uno de los ejes
coordenados, y por tanto, el plano π es paralelo al mismo eje.
I) Si a = 0, ~n = (0, b, c) ⊥ eje x, entonces π//eje x. La ecuación general de los planos paralelos al eje
x es
by + cz + d = 0.
x
π
II) Si b = 0, ~n = (a, 0, c) ⊥ eje y, entonces π//eje y . La ecuación general de los planos paralelos al
eje y es
ax + cz + d = 0.
π
x
4.1. ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO 57
III) Si c = 0, ~n = (a, b, 0) ⊥ eje z, entonces π//eje z . La ecuación general de los planos paralelos al
eje z es
ax + by + d = 0.
z
π
Del análisis hecho sobre este caso particular, se concluye que la variable ausente en la ecuación indica
que el plano es paralelo al eje de esta variable.
Si dos de las componentes del vector ~n = (a, b, c) son nulas, el vector es colineal a uno de los vectores
~i = (1, 0, 0) o ~j = (0, 1, 0) o ~k = (0, 0, 1), y, por tanto, el plano π es paralelo al plano de los otros dos
vectores.
I) Si a = b = 0, ~n = (0, 0, c) = c(0, 0, 1) = c~k, entonces π//plano xy. La ecuación general de los
planos paralelos al plano xy es
cz + d = 0.
Como c 6= 0, se tiene z = −d/c.
k
π
~k
y
Figura 4.1: Los planos cuya ecuación son de la forma z = k son paralelos al plano xy.
II) Si a = c = 0, ~n = (0, b, 0) = b(0, 1, 0) = b~j, entonces π//plano xz. La ecuación general de los
planos paralelos al plano xz es
by + d = 0.
Como b 6= 0, se tiene z = −d/b , ver Figura 4.2
III) Si b = c = 0, ~n = (a, 0, 0) = a(1, 0, 0) = a~i, entonces π//plano yz. La ecuación general de los
planos paralelos al plano yz es
ax + d = 0.
Como a 6= 0, se tiene x = −d/a, ver Figura 4.3
58 CAPÍTULO 4. UNIDAD IV: EL PLANO
π
y
~j k
x
Figura 4.2: Los planos cuya ecuación son de la forma y = k son paralelos al plano xz.
y
~i
k
x
Figura 4.3: Los planos cuya ecuación son de la forma x = k son paralelos al plano yz.
π2
~n1 ~n2
θ
O
π1
Se llama ángulo de dos planos π1 y π2 al menor ángulo que un vector normal de π1 forma con un vector
normal de π2 . Siendo θ este ángulo, se tiene:
|~n1 · ~n2 |
cos θ = , con 0 ≤ θ ≤ π/2.
kn1 k . kn2 k
4.3. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO 59
o
|a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 |
cos θ = p p , con 0 ≤ θ ≤ π/2.
a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22
Sean los planos π1 : a1 x+b1 y+c1 z+d1 = 0 y π2 : a2 x+b2 y+c2 z+d2 = 0, con ~n1 = (a1 , b1 , c1 ) ⊥ π1
y ~n2 = (a2 , b2 , c2 ) ⊥ π2 .
Las condiciones de paralelismo y de perpendicularidad de dos planos son las mismas de sus respectivos
vectores normales, esto es:
I) π1 //π2 si y sólo si n1 //n2 .
~n1
π1
~n2
π1
II) π1 ⊥ π2 si y sólo si n1 ⊥ n2 .
~n2
~n1
Sean r una recta que tiene la dirección de un vector ~v y π un plano, siendo ~n un vector normal a π.
60 CAPÍTULO 4. UNIDAD IV: EL PLANO
~n
~v
θ
φ
El ángulo agudo φ de la recta r con el plano π es el complemento del ángulo θ que la recta r forma con
un vector normal al plano.
Teniendo en cuenta que θ + φ = π/2, tenemos:
π ~v · ~n
sen φ = sen − θ = cos θ = , 0 ≤ θ ≤ π/2.
2 k~nk k~nk
Sean r una recta que tiene la dirección de un vector ~v y π un plano, siendo ~n un vector normal a π.
Entonces:
I) r//π si y sólo si ~v ⊥ ~n.
~v
r
~n
~n
~v
Las dos ecuaciones, consideradas en forma simultánea, son las ecuaciones de una recta en el espacio.
El sistema es llamado forma general de las ecuaciones de una recta.
Sea el plano π : ax + by + cz + d = 0.
1) Como los puntos de los ejes son de la forma (x, 0, 0), (0, y, 0) y (0, 0, z), basta hacer en la ecuación
del plano dos variables iguales a cero para encontrar la tercera, y ası́ obtener las intersecciones con los ejes
coordenados. Ası́:
I) Si y = z = 0, entonces ax + d = 0, es decir, x = −d/a. Por tanto A1 (−d/a, 0, 0) es la intersección del
plano π con el eje x.
II) Si x = z = 0, entonces by + d = 0, es decir, y = −d/b. Por tanto A1 (0, −d/b, 0) es la intersección del
plano π con el eje y.
III) Si x = y = 0, entonces cz + d = 0, es decir, z = −d/c. Por tanto A1 (0, 0, −d/c) es la intersección del
plano π con el eje z.
62 CAPÍTULO 4. UNIDAD IV: EL PLANO
2) Como las ecuaciones de los planos coordenados son x = 0, y = 0 y z = 0, basta hacer, en la ecuación
del plano, una variable igual a cero para encontrar una ecuación en las otras dos variables y, ası́, obtener las
intersecciones con los planos coordenados. Entonces
I) Si x = 0, entonces by + cz + d = 0. Por tanto la recta
(
x = 0,
by + cz + d = 0,
z
A3
by + cz + d = 0; x = 0
π
ax + cz + d = 0; y = 0
y
A2
ax + by + d = 0; z = 0
A1
Si el plano ax + by + cz + d = 0 intercepta a los ejes a los puntos (l, 0, 0), (0, m, 0) y (0, 0, n) donde
l, m y n son distintos de cero, entonces la ecuación
x y z
+ + = 1,
l m m
se llama ecuación segmentaria del plano.
z P0
→
−
n
d π
P
A
−−→ −−→
Observando que el vector AP0 es la proyección del vector P P0 en la dirección del vector ~n, vemos que:
−−→
−−→ P P0 · ~n
AP0 = 2 ~
n
k~nk
de donde:
−−→
−−→
−−→
P P0 · ~n
P P0 · ~n
|(x0 − x, y0 − y, z0 − z) · (a, b, c)|
d(P0 , π) = AP0 =
2 ~
n
= 2 k~nk = √
k~nk
k~nk a2 + b2 + c2
|a(x0 − x) + b(y0 − y) + c(z0 − z)| |ax0 + by0 + cz0 − (ax + by + cz)|
= √ = √ .
2 2
a +b +c 2 a2 + b2 + c2
La distancia entre dos planos es definida solamente cuando los planos son paralelos.
Dados dos planos π1 y π2 , paralelos, la distancia d entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de
uno de los planos al otro, es decir,
d(π1 , π2 ) = d(P0 , π2 ) con P0 ∈ π1
ó
d(π1 , π2 ) = d(P0 , π1 ) con P0 ∈ π2 .
64 CAPÍTULO 4. UNIDAD IV: EL PLANO
Consideremos dos rectas r y s no coplanares: la recta r definida por un P1 (x1 , y1 , z1 ) punto y por el
vector director ~u = (a1 , b1 , c1 ) y la recta s definida por un punto P2 (x2 , y2 , z2 ) y por el vector director
~(a2 , b2 , c2 ).
−−−→
Los vectores ~u, ~v y P1 P2 determinan un paralelepı́pedo. La base de este paralelepı́pedo está definida
por los vectores ~u y ~v y la altura corresponde a la distancia d(r, s) entre las rectas r y s , porque la recta s
es paralela al plano de la base del paralelepı́pedo siempre que su dirección sea la del vector ~v .
z
P2
~v
P1
~u t
y
Se sabe que el volumen V de un paralelepı́pedo está dado por el producto del área de la base por la
altura:
V = k~u × ~v k d(r, s),
de donde:
V
d(r, s) = .
k~u × ~v k
De acuerdo con la interpretación geométrica del módulo del producto mixto, tenemos:
−−−→
V =
(~u, ~v , P1 P2 )
.
α(a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) + β(a2 x + b2 y + c2 z + d2 ) = 0,
en donde α y β son constantes arbitrarias que pueden tomar todos los valores reales exceptuando el caso en
que ambas son simultáneamente nulas. Esta ecuación representa la familia de todos los planos que pasan
por la recta de intersección de π1 y π2 . Si α 6= 0, entonces
β
a1 x + b1 y + c1 z + d1 + (a2 x + b2 y + c2 z + d2 ) = 0,
α
β
y haciendo λ = α, tenemos
a1 x + b1 y + c1 z + d1 + λ(a2 x + b2 y + c2 z + d2 ) = 0,
donde λ puede tomar todos los valores reales. Esta ecuación representa la familia de todos los planos que
pasan por la recta de intersección de π1 y π2 , excepto π2 . Esta familia representa un haz de planos y a su
recta común de intersección se le llama eje o arista del haz.
Por último consideremos un punto A(x1 , y1 , z1 ). La ecuación de cualquier plano que pasa por el punto
A es
a(x − x1 ) + b(y − y1 ) + c(z − z1 ) = 0,
donde a, b, c son constantes arbitrarias no simultáneamente nulas. Esta ecuación representa a la familia de
todos los planos que pasan por A y es llamada radiación de planos, teniendo al punto A como vértice de
la radiación. Si a 6= 0, entonces
b c
x − x1 + (y − y1 ) + (z − z1 ) = 0,
a a
y haciendo α = b
a y β = ac , tenemos
x − x1 + α(y − y1 ) + β(z − z1 ) = 0,
4.11. Ejercicios
6. Determinar la ecuación general del plano perpendicular al eje y que contenga al punto A(3, 4, −1).
Rpta: y − 4 = 0.
7. Determinar la ecuación general del plano determinado por los puntos A(−1, 2, 0), B(2, −1, 1) y
C(1, 1, −1). Rpta: 4x + 5y − 3z − 6 = 0.
8. Determinar la ecuación general del plano que pasa por el punto A(6, 0, −2) y es paralelo a los vectores
~i y −2~j + ~k. Rpta: y + 2z + 4 = 0.
14. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(4, −2, 1) y es perpendicular a cada uno de los
planos
x − 3y + 4z − 9 = 0 y 2x + 2y − z + 11 = 0
Rpta: 5x − 9y − 8z − 30 = 0 .
15. Hallar la ecuación simétrica y la ecuación general del plano cuya intersecciones respectivas con los
ejes coordenadas x, y y z son -5, 3 y 1 respectivamente. Rpta:
x y z
+ + = 1,
−5 3 1
3x − 5y − 15z + 15 = 0.
17. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano 3x − 2y + 5z − 1 = 0 y que pasa por los puntos
A(4, −2, 2) y B(1, 1, 5) Rpta: 7x + 8y − z − 10 = 0
18. Hallar la ecuación del plano que pasa por el eje z y por el punto (4, −1, 7). Rpta: x + 4y = 0.
19. Un plano que pasa por el punto (3, 1, −1), es perpendicular al plano 2x − 2y + z + 4 = 0, y su
intersección con el eje z es igual a −3. Hállese su ecuación. Rpta: 5x + y − 8z − 24 = 0.
20. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos M (1, 0, −1) y N (2, 0, 2) y forma un ángulo de
60o con el plano 2x − √2y + z + 6 = 0.
Rpta: 21x + (40 ± 3 170)y − 7z − 28 = 0.
Capı́tulo 5
Unidad V: La Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se
mantiene siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.
Q
C: Centro
Sea P (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C(h, k) y radio r. Entonces, por defini-
ción de circunferencia, se tiene que la distancia entre los puntos C(h, k) y P (x, y) es r, es decir,
p
r= (x − h)2 + (y − k)2 ,
de donde,
r2 = (x − h)2 + (y − k)2 .
Esta ecuación se llama ecuación canónica o ecuación ordinaria de la circunferencia.
Para el caso particular en que el centro de la circunferencia está en el origen, se tiene h = k = 0 y su
ecuación canónica está dada por
x2 + y 2 = r 2 .
67
68 CAPÍTULO 5. UNIDAD V: LA CIRCUNFERENCIA
obtenemos
x2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 − r2 = 0,
lo cual puede escribirse en la forma
x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, (5.2)
en donde
D = −2h, E = −2k y F = h2 + k 2 − r2 .
Esta ecuación (5.2), es llamada ecuación general de la circunferencia.
Si queremos averiguar si toda ecuación de la forma (5.2) representa una circunferencia, pasaremos la
ecuación a la forma (5.1). Ordenando los términos, resulta
D2 E2 D2 E2
(x2 + Dx + ) + (y 2 + Ey + ) = −F + +
4 4 4 4
de donde,
2 2
D2 + E 2 − 4F
D E
x+ + y+ = . (5.3)
2 2 4
Comparando las ecuaciones (5.1) y la (5.3), vemos que depende del valor del segundo miembro de ésta
última el que esta ecuación represente o no una circunferencia. Hay tres casos posibles por considerar:
a) Si ∆ = D2 + E 2 − 4F >√0, la ecuación (5.3) representa una circunferencia de centro en el punto
(−D/2, −E/2) y radio igual a 12 ∆.
b) Si ∆ = 0, la ecuación (5.3) representa un solo punto de coordenadas (−D/2, −E/2). Se dice, con
frecuencia, que representa una circunferencia de radio cero; o también se dice que es un cı́rculo punto o
cı́rculo nulo.
c) Si ∆ < 0, la ecuación (5.3) no representa un lugar geométrico. Se dice que dicha ecuación representa
un cı́rculo imaginario.
Aunque el caso (b) puede considerarse como un caso lı́mite del caso (a), en adelante consideraremos
que una ecuación representa una circunferencia solamente en el caso (a). Por tanto, tenemos la siguiente
conclusión:
La ecuación (5.2) representa una circunferencia de radio diferente de cero, solamente si
∆ = D2 + E 2 − 4F > 0.
√
Las coordenadas del centro son, entonces (−D/2, −E/2), y el radio es 1
2 ∆.
5.4. POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA 69
1) Si el sistema de ecuaciones (5.4) tiene dos soluciones P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ). En este caso, la recta es
secante a la circunferencia.
2) Si el sistema de ecuaciones (5.4) tiene una única solución P0 (x0 , y0 ). En este caso, la recta es tangente
a la circunferencia.
3) Si el sistema de ecuaciones (5.4) no tiene solución. En este caso, la recta es exterior a la circunferen-
cia.
P0
P2
P1
Caso 1 Caso 2 Caso 3.
1) El sistema de ecuaciones (5.5) tiene dos soluciones P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) . En este caso, las cir-
cunferencias son secantes.
P1
P2
70 CAPÍTULO 5. UNIDAD V: LA CIRCUNFERENCIA
2) El sistema de ecuaciones tiene una única solución P0 (x0 , y0 ). En este caso, las circunferencias son
tangentes.
P0 P0
3) El sistema de ecuaciones no tiene solución. En este caso, las circunferencias son exteriores o interio-
res.
C1 C2
5.6. EJE RADICAL 71
2) Si las circunferencias son tangentes, sea P0 (x0 , y0 ) el punto de intersección de ambas circunferencias.
Entonces P0 (x0 , y0 ) verifica (5.5) y por ende también verifica (5.6) lo que implica que es un punto del eje
radical. Ası́, el eje radical es la tangente común a ambas circunferencias.
C1 C2 C1 C2
3) Si las circunferencias no tienen ningún punto en común, el eje radical es exterior a ambas circunfe-
rencias.
C1
C3 C2
si E1 6= E2 . Como m2 = −1/m1 , las rectas son perpendiculares. Si D1 = D2 , el eje radical es una recta
paralela al eje X ya que su ecuación es (E1 − E2 )y + (F1 − F2 ) = 0, y la recta que pasa por los centros
de ambas circunferencias es paralela al eje Y ya que su ecuación es 2(E1 − E2 )x + (D2 E1 − D1 E2 ) = 0;
por tanto, en este caso, dichas rectas son perpendiculares. Análogamente, si E1 = E2 , el eje radical es una
recta paralela al eje Y y la recta que pasa por los centros de ambas circunferencias es paralela al eje X; por
tanto, son perpendiculares entre sı́.
5.7. Ejercicios
4. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a dos rectas concurrentes concurrentes:
7x − y − 5 = 0, x + y + 13 = 0 y, a una de ellas, en el punto M1 (1, 2).
5. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a las tres rectas: 4x + 3y − 10 = 0,
3x − 4y − 5 = 0 y 3x − 4y − 15 = 0
Capı́tulo 6
d
B
C
P
V
l
A F
C0
L0
B0
|F P | = |P A|
Esto es:
p
(x − p)2 + y 2 = x + p
Por lo tanto
y 2 = 4px,
73
74 CAPÍTULO 6. UNIDAD VI: LA PARÁBOLA
d
Y
A
P (x, y)
X
F (p, 0)
x = −p
Análogamente, si el foco está sobre el eje X negativo, sus coordenadas son (−p, 0) y la ecuación de la
directriz d es x = p . La ecuación canónica de la parábola, en este caso, es
y 2 = −4px
Y d
F (−p, 0) X
x=p
Consideremos ahora, la parábola cuyo vértice está en el origen, y cuyo eje coincide con el eje Y . Si el
foco está sobre el eje Y positivo, sus coordenadas son (0, p) y la ecuación de la directriz d es y = −p . La
ecuación canónica de la parábola, en este caso, es
x2 = 4px
6.2. ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA DE VÉRTICE (H, K) Y EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO75
Si el foco está sobre el eje Y negativo, sus coordenadas son (0, −p) y la ecuación de la directriz d es
y = p. La ecuación canónica de la parábola, en este caso, es
x2 = −4py
Consideremos una parábola cuyo vértice es el punto V (h, k) , su eje paralelo al ejevX y abierta a la
derecha. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen O0 coincida con el punto
V (h, k), se sigue que la ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X 0 y Y 0 está dada por
y 02 = 4px0 ,
76 CAPÍTULO 6. UNIDAD VI: LA PARÁBOLA
donde las coordenadas del foco son F (p, O0 ) y la ecuación de la directriz es x0 = −p, referido a los nuevos
ejes. Según las fórmulas de transformación de coordenadas por translación de los ejes:
x = x0 + h; y = y 0 + k,
de donde,
x0 = x − h; y 0 = y − k.
Si sustituimos en la ecuación de la parábola, obtenemos
la ecuación canónica de la parábola. Además, las coordenadas del foco son F (h + p, k) y la ecuación de la
directriz es x = h − p. Si la parábola es abierta a la izquierda, la ecuación canónica de la parábola es
las coordenadas del foco son F (h, k + p) y la ecuación de la directriz es y = k − p. Si la parábola es abierta
hacia abajo, su ecuación canónica es
Desarrollando una de las ecuaciones (y − k)2 = ±4p(x − h), o (x − h)2 = ±4p(y − k) se obtiene una
ecuación de la forma
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,
donde A = 0 y C 6= 0 o A 6= 0 y C = 0. Esta ecuación es llamada ecuación general de la parábola.
Una ecuación de segundo grado en las variables e que carezca del término en puede escribirse en la
forma
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,
6.4. Ejercicios
1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo que:
a) La parábola está situada en el semiplano derecho, es simétrica con respecto al eje Ox y su
parámetro es p = 3.
b) La parábola está situada en el semiplano superior, es simétrica con respecto al eje Oy y su
parametro es p = 1/4.
c) La parábola está situada en el semiplano inferior, es simétrica con respecto al eje Oy y su
parametro es p = 3.
d) La parábola está situada en el semiplano izquierdo, es simétrica con respecto al eje Ox y su
parametro es p = 1/2.
2. Determinar el valor del parámetro y la situación de las parábolas siguientes con respecto a los ejes
coordenados:
3. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas sabiendo que:
a) la parabola es simétrica con respecto al eje Ox y pasa por el punto A(9; 6);
b) la parabola es simétrica con respecto al eje Ox y pasa por el punto B(−1; 3);
c) la parabola es simétrica con respecto al eje Oy y pasa por el punto C(1; 1);
d) la parabola es simétrica con respecto al eje Oy y pasa por el punto D(4; −8);
4. Hallar la ecuación de la parábola, si se dan su foco F (7; 2) y la directriz
x − 5 = 0.
x − y − 1 = 0.
3x − 5y + 1 = 0.
x+y−3=0
y la parábola
x2 = 4y.
78 CAPÍTULO 6. UNIDAD VI: LA PARÁBOLA
x2 = 16y
y perpendicular a la recta
2x + 4y + 7 = 0.
Capı́tulo 7
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, denotada por 2a , mayor
que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición de una
elipse excluye el caso en que el punto móvil está sobre el segmento que une los focos.
d0 l0 d
B DE
P L G
A
0 0 C F l
A F
0 L0
D0 B 0 E 0 G
Designemos por F y F 0 , los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos recibe el nombre
de eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, A yA0 , y el segmento AA0 , se llama eje mayor.
La longitud del eje mayor es 2a . El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une 1os focos,
79
80 CAPÍTULO 7. UNIDAD VII: LA ELIPSE
se llama centro. La distancia entre los focos 2c , se llama distancia focal. La recta l0 que pasa por C y es
perpendicular al eje focal l recibe el nombre de eje normal. El eje normal l0 corta a la elipse en dos puntos,
B y B 0 , y el segmento BB 0 se llama eje menor. La longitud del eje menor es 2b , siendo a2 = b2 + c2 . Los
puntos A, A0 , B y B 0 son llamados vértices. Un segmento tal como EE 0 , que une dos puntos diferentes
cualesquiera de la elipse , se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de 1os focos, tal
como GG0 , se llama cuerda focal. Una cuerda focal , tal como LL0 , perpendicular a1 eje focal se llama
lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. La longitud del
2b2
lado recto es . Una cuerda que pasa por C , tal como DD0 , se llama un diámetro. La excentricidad
a
c
de la elipse, denotada por e, se define como la razón e = . Como c < a , la excentricidad de una elipse es
a
menor que la unidad. Las rectas d y d0 se llaman directrices. Si P es un punto cualquiera de la elipse, 1os
segmentos F P y F 0 P y que unen 1os focos con el punto P se llaman radios vectores de P .
Cada directriz posee la siguiente propiedad: si r es la distancia de un punto arbitrario de la elipse a un
r
foco y s es la distancia del mismo punto a la directriz, unilateral a este mismo foco, entonces e = . La
s
a
distancia de cada directriz al centro de la elipse es igual a .
e
Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X. Los focos F y F 0
están sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento F F 0 , las coordenadas de F y F 0
serán (c, 0) y (−c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P (x, y) un punto cualquiera de
la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer le condición geométrica
|F P | + |F 0 P | = 2a
Pasando el segundo radical al segundo miembro, elevando al cuadrado, simplificando y agrupando los
términos semejantes resulta p
cx + a2 = a (x + c)2 + y 2 .
Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos
c2 x2 + 2a2 cx + a4 = a2 x2 + 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 ,
de donde
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).
Reemplazando b2 = a2 − c2 en la ecuación de la elipse obtenemos
b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 ,
x2 y2
+ = 1.
a2 b2
7.2. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL UN EJE COORDENADO81
a a
d:x= y d0 : x = − .
e e
d0 y d
B P (x, y)
A0 F 0 (−c, 0) F (c, 0) A x
B0
Consideremos ahora el caso en que el centro de la elipse está en el origen pero su eje focal coincide con el
eje Y . Las coordenadas de los focos son entonces (0, c) y (0, −c). En este caso, la ecuación canónica de la
elipse es
x2 y2
2
+ 2 = 1.
b a
Las coordenadas de los vértices son: A(0, a), A0 (0, −a), B(b, 0) y B 0 (−b, 0).
Las ecuaciones de las directrices son:
a a
d:y= y d0 : y = − .
e e
82 CAPÍTULO 7. UNIDAD VII: LA ELIPSE
d
A
F (0, c)
P (x, y)
B0 B x
F 0 (0,-c)
A0
d0
Ahora consideremos la determinación de la ecuación de una elipse cuyo centro no está en el origen y
cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados. Según esto, consideremos la elipse cuyo centro está en el
punto C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X.
Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen O0 coincida con el centro (h, k)
de la elipse. Se sigue que la ecuación canónica de la elipse con referencia a los nuevos ejes X 0 e Y 0 está
dada por
x02 y 02
2
+ 2 = 1.
a b
Utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas
x = x0 + h e y = y0 + k
obtenemos
(x − h)2 (y − k)2
2
+ = 1.
a b2
Las coordenadas de los vértices son: A(h + a, k), A(h − a, k), B(h, k + b) y B 0 (h, k − b). Las coordenadas
de los focos son: F (h + c, k) y F 0 (h − c, k).
Las ecuaciones de las directrices son:
a a
d:x=h+ y d0 : x = h − .
e e
7.3. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE DE CENTRO EN C(H, K) Y EJE FOCAL PARALELO A UN EJE COORDEN
y d0 y0 d
A0 C(h, k) A x0
B0
x
Análogamente, la elipse cuyo centro es el punto C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene por
ecuación canónica
(x − h)2 (y − k)2
2
+ = 1.
b a2
Las coordenadas de los vértices son: A(h, k + a), A0 (h, k − a), B(h + b, k) y B 0 (h − b, k). Las coordenadas
de los focos son: F (h, k + c) y F 0 (h, k − c).
Las ecuaciones de las directrices son:
a a
d:y=k+ y d0 : y = k − .
e e
y y0
d
A
B0 C(h, k) B x0
A0
d0
x
84 CAPÍTULO 7. UNIDAD VII: LA ELIPSE
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
Esta ecuación es denominada ecuación general de la elipse. En la ecuación general de la elipse los coefi-
cientes A y C tienen el mismo signo.
7.5. Ejercicios
1. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje de abscisas y son simétricos con respecto
al origen de coordenadas, sabiendo, además que:
2. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje de ordenadas y son simétricos con respecto
al origen de coordenadas, sabiendo, además que:
4. Dada la elipse
9x2 + 25y 2 = 225,
hallar
a) sus semiejes;
7.5. EJERCICIOS 85
b) sus focos;
c) su excentricidad;
d) las ecuaciones de sus directrices.
5. La excentricidad de una elipse es = 32 , el radio focal de un punto M de la elipse es igual a 10.
Calcular la distancia del punto M a la directriz unilateral a este foco.
6. La excentricidad de una elipse es = 31 , su centro coincide con el origen de coordenadas y uno de
los focos es F (−2; 0). Calcular la distancia del punto M1 de la elipse cuya abscisa es igual a 2, a la
directriz unilateral al foco dado.
86 CAPÍTULO 7. UNIDAD VII: LA ELIPSE
Capı́tulo 8
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a
una constante, denotada por 2a, menor que la distancia entre sus focos. La definición de la elipse excluye
el caso en que el punto móvil se mueva sobre la recta que pasa por los focos a excepción del segmento
comprendido entre ellos.
d0 l0 d
m0
m
E0 P
B L
G
D0
F0 A0 C A F l
D
B0 L0
E G0
Designemos por F y F 0 los focos de la hipérbola. La recta l que pasa por los focos recibe el nombre de
eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos, A y A0 , llamados vértices reales o simplemente
87
88 CAPÍTULO 8. UNIDAD VIII: LA HIPÉRBOLA
vértices. El segmento AA0 se llama eje real o eje transverso. La longitud del eje real es 2a. El punto C
del eje focal, punto medio del segmento que une 1os focos, se llama centro. La distancia entre los focos
2c, se llama distancia focal. La recta l0 que pasa por C y es perpendicular al eje focal l recibe el nombre
de eje normal. Los puntos B y B 0 del eje normal l0 , simétricos respecto al centro de la hipérbola, se
llaman vértices imaginarios. El segmento BB 0 se llama eje imaginario o eje conjugado. La longitud del
eje imaginario es 2b, siendo c2 = a2 + b2 . El rectángulo cuyos lados tienen como puntos medios a los
puntos A, A0 , B y B 0 , se llama rectángulo principal. Las rectas m y m0 , que contienen a las diagonales
del rectángulo principal, se llaman ası́ntotas. Un segmento tal como EE 0 , que une dos puntos diferentes
cualesquiera de la hipérbola, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de 1os focos, tal
como GG0 , se llama cuerda focal. Una cuerda focal , tal como LL0 , perpendicular a1 eje focal se llama
lado recto. Evidentemente como la hipérbola tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. La longitud
de los lados rectos es LR = 2b2 /a. Una cuerda que pasa por C, tal como DD0 , se llama un diámetro. Si
P es un punto cualquiera de la hipérbola, 1os segmentos F P y F 0 P y que unen 1os focos con el punto
P se llaman radios vectores de P . La excentricidad de la hipérbola, denotada por e, se define como la
razón e = c/a. Como c > a, la excentricidad de una hipérbola es mayor que la unidad. Las rectas d y d0
se llaman directrices. Cada directriz posee la siguiente propiedad: si r es la distancia de un punto arbitrario
de la hipérbola a un foco y s es la distancia del mismo punto a la directriz, unilateral a este mismo foco,
entonces e = r/s. La distancia de cada directriz al centro de la hipérbola es igual a a/e.
Una hipérbola se llama equilátera cuando su eje real y su eje imaginario tienen la misma longitud, es
decir, cuando a = b. A una hipérbola equilátera también se la denomina hipérbola rectangular porque sus
ası́ntotas son perpendiculares.
Si dos hipérbolas son tales que el eje real de cada una es idéntico al eje imaginario de la otra, se llaman
hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la hipérbola conjugada de la otra.
8.4. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL UN EJE COORDENADO8
F3
F1 F2
F4
Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X. Los focos F y
F 0 están sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento F F 0 , las coordenadas de F y F 0
serán (c, 0) y (−c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P (x, y) un punto cualquiera de
la rama derecha de la hipérbola. Entonces, por la definición de la hipérbola, el punto P debe satisfacer la
condición geométrica
d(F 0 , P ) − d(F, P ) = 2a,
donde a es un número positivo tal que 2c > 2a. Es decir,
p p
(x + c)2 + (y − 0)2 − (x − c)2 + (y − 0)2 = 2a.
Pasando el segundo radical al segundo miembro, elevando al cuadrado, simplificando y agrupando los
términos semejantes resulta p
cx − a2 = a x2 − 2cx + c2 + y 2
Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos
c2 x2 − 2cxa2 + a4 = a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 ,
90 CAPÍTULO 8. UNIDAD VIII: LA HIPÉRBOLA
de donde
(c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ).
Reemplazando b2 = c2 − a2 en la ecuación de la hipérbola obtenemos
b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2
y dividiendo por a2 b2 , se obtiene finalmente,
x2 y2
2
− 2 = 1.
a b
Del mismo modo, si P (x, y) es un punto cualquiera de la rama izquierda de la hipérbola se obtendrı́a
exactamente la misma ecuación.
Esta ecuación es denominada ecuación canónica de la hipérbola.
Las coordenadas de los vértices son A(a, 0), A0 (−a, 0), A(0, b) y B 0 (0, −b).
Las ecuaciones de las directrices son:
a a
d:x= y d0 : x = − .
e e
Las ecuaciones de las ası́ntotas son:
b b
m:y= x y m0 : y = − x.
a a
m0 m
d0 Y d
P (x, y)
B
F0 A0 A F X
B0
8.4. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL UN EJE COORDENADO9
Consideremos ahora el caso en que el centro de la hipérbola está en el origen pero su eje focal coincide
con el eje Y . Las coordenadas de los focos son entonces F (0, c) y F 0 (0, −c). En este caso, la ecuación
canónica de la hipérbola es
x2 y2
− 2
+ 2 = 1.
b a
Las coordenadas de los vértices son: A(0, a), A0 (0, −a), A(b, 0) y B 0 (−b, 0).
Las ecuaciones de las directrices son:
a a
d:y= y d0 : y = − .
e e
Y m
X
B0 B
d0
A0
F0
m0
92 CAPÍTULO 8. UNIDAD VIII: LA HIPÉRBOLA
Consideremos la hipérbola cuyo centro está en el punto C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X.
Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen O0 coincida con el centro C(h, k)
de la hipérbola, se sigue que la ecuación canónica de la elipse con referencia a los nuevos ejes X 0 e Y 0 está
dada por
x02 y 02
2
− 2 = 1.
a b
x = x0 + h y y = y0 + k
obtenemos
(x − h)2 (y − k)2
2
− = 1.
a b2
Las coordenadas de los vértices son: A(h + a, k), A0 (h − a, k), A(h, k + b) y B 0 (h, k − b).
Las coordenadas de los focos son: F (h + c, k) y F 0 (h − c, k).
Las ecuaciones de las directrices son:
a a
d:x=h+ y d0 : x = h − .
e e
b b
m:y−k = (x − h) y m0 : y − k = − (x − h).
a a
8.5. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA DE CENTRO EN C(H, K) Y EJE FOCAL PARALELO A UN EJE COOR
Y
m 0 m
d0 Y0 d
k C(h, k)
0 0
F A A F X0
B0
h X
Análogamente, la hipérbola cuyo centro es el punto C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene
por ecuación canónica
(x − h)2 (y − k)2
− + = 1.
b2 a2
Las coordenadas de los vértices son: A(h, k + a), A0 (h, k − a), A(h + b, k) y B 0 (h − b, k).
Las coordenadas de los focos son: F (h, k + c) y F 0 (h, k − c).
Las ecuaciones de las directrices son:
a a
d:y=k+ y d0 : y = k − .
e e
b b
m:x−k = (y − h) y m0 : x − k = − (y − h).
a a
94 CAPÍTULO 8. UNIDAD VIII: LA HIPÉRBOLA
Y
Y0 m
C(h, k)
X0
k B0 B
d0
A0
F0
X
h m0
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
Esta ecuación es denominada ecuación general de la hipérbola. En la ecuación general de la hipérbola los
coeficientes A y C tienen distintos signos.
8.7. EJERCICIOS 95
8.7. Ejercicios
3. El punto A(−3; −5) está en una hipérbola, uno de cuyos focos es F (−2; −3) y la directriz corres-
pondiente se da mediante la ecuación
x + 1 = 0.
√
4. Hallar la ecuación de la hipérbola, si se conoce su excentricidad ε 5, el foco F (2; −3) y ecuación
de la directriz correspondiente
3x − y + 3 = 0.
5. El punto M1 (1; −2) está en una hipérbola, uno de cuyos focos es F (−2; 2) y la directriz correspon-
diente se da mediante la ecuación
2x − y − 1 = 0.
96 CAPÍTULO 8. UNIDAD VIII: LA HIPÉRBOLA
Capı́tulo 9
97
98 CAPÍTULO 9. UNIDAD IX: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
9.2. Discriminantes
Si los ejes coordenados se giran un ángulo θ, entonces la ecuación general (9.1) se transforma en la ecuación
A0 x02 + B 0 x0 y 0 + C 0 y 02 + D0 x0 + E 0 y 0 + F 0 = 0, (9.2)
donde,
(
0 B cos(90o ) = 0 A = C,
B = (C − A) sen(2θ) + B cos(2θ) =
cos(2θ)[(C − A) tan(2θ) + B] = 0 A 6= C.
Como
2
B 02 = 2(C − A) sen θ cos θ + B(cos2 θ − sen2 θ)
= 4(C − A)2 sen2 θ cos2 θ + 4(BC − AB) sen θ cos θ(cos2 θ − sen2 θ) + B 2 (cos2 θ − sen2 θ)2
= 4(C 2 − 2AC + A2 ) sen2 θ cos2 θ + 4(BC − AB) sen θ cos3 θ + 4(BC − AB) sen3 θ cos θ
+ B 2 cos4 θ − 2B 2 sen2 θ cos2 θ + B 2 sen4 θ
= B 2 sen4 θ + 4(AB − BC) sen3 θ cos θ + 2(2A2 − 4AC − 2B 2 + 2C 2 ) sen2 θ cos2 θ
+ 4(BC − AB) sen θ cos3 θ + B 2 cos4 θ
4A0 C 0 = 4(A cos2 θ + B sen θ cos θ + C sen2 θ)(A sen2 θ − B sen θ cos θ + C cos2 θ)
= 4A2 sen2 θ cos2 θ − 4AB sen θ cos3 θ + 4AC cos4 θ + 4AB sen3 θ cos θ + 4B 2 sen2 θ cos2 θ
+ 4BC sen θ cos3 θ + 4AC sen4 θ − 4BC sen3 θ cos θ + 4C 2 sen2 θ cos2 θ
= 4AC sen4 θ + 4(AB − BC) sen3 θ cos θ + 4(A2 − B 2 + C 2 ) sen2 θ cos2 θ
+ 4(BC − AB) sen θ cos3 θ + 4AC cos4 θ,
9.3. EJERCICIOS 99
entonces
−4A0 C 0 = B 02 − 4A0 C 0
= (B 2 − 4AC) sen4 θ + [4(AB − BC) − 4(AB − BC)] sen3 θ cos θ
+ [2(2A2 − 4AC − 2B 2 + 2C 2 ) − 4(A2 − B 2 + C 2 )] sen2 θ cos2 θ
+ [4(BC − AB − 4(BC − AB))] sen θ cos3 θ + (B 2 − 4AC) cos4 θ
= (B 2 − 4AC) sen4 θ + 2(B 2 − 4AC) sen2 θ cos2 θ + (B 2 − 4AC) cos4 θ
= (B 2 − 4AC)(sen4 θ + 2 sen2 θ cos2 θ + cos4 θ) = (B 2 − 4AC)(sen2 θ + cos2 θ)2
= B 2 − 4AC.
Si ∆ = B 2 − 4AC = 0, es decir, si A0 C 0 = 0, entonces la ecuación (9.2) representa una cónica del género
parábola. Por lo tanto, si ∆ = 0, entonces la ecuación (9.1) representa una cónica del género parábola.
Si ∆ > 0, es decir, si A0 C 0 < 0, entonces la ecuación (9.2) representa una cónica del género hipérbola.
Por lo tanto, si ∆ > 0, entonces la ecuación (9.1) representa una cónica del género hipérbola.
Si ∆ < 0, es decir, si A0 C 0 > 0, entonces la ecuación (9.2) representa una cónica del género elipse.
Por lo tanto, si ∆ < 0, entonces la ecuación (9.1) representa una cónica del género elipse.
9.3. Ejercicios
1. 1En cada caso, determina la naturaleza de la cónica que representa la ecuación dada, y reduce la
ecuación por transformación de coordenadas. Traza el lugar geométrico, cuando exista, y todos los
sistemas de ejes coordenados.
a) 4x2 − 24xy − 11y 2 + 56x − 58y + 95 = 0.
√ √
b) 4x2 − 12xy + 9y 2 − 8 13x − 14 13y + 117 = 0.
c) 8x2 − 24xy + 15y 2 − 4y − 4 = 0.
√ √
d) 3x2 − 2xy + 3y 2 + 2 2x − 6 2y + 2 = 0.
e) 4x2 − 20xy + 25y 2 + 4x − 10y + 1 = 0.
f ) x2 − 2xy + y 2 − 6x + 2y + 9 = 0.
g) 52x2 − 72xy + 73y 2 − 104x + 72y − 48 = 0.
2. Si B 6= 0, pero uno cualquiera de los coeficientes A o C es cero, o ambos A y C son ceros, demuestra
que la ecuación (9.1) es del género hipérbola.
3. Si A y B difieren en el signo, demuestra que la ecuación (9.1) es del género hipérbola.
4. Demuestra que la ecuación (9.1) es del género parábola si los términos de segundo grado forman
un cuadrado perfecto.
100 CAPÍTULO 9. UNIDAD IX: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
Capı́tulo 10
Concepto y Elementos
El sistema de coordenadas polares en el plano está constituido por un punto fijo O, llamado polo y
por un rayo OA que parte de este punto y que se denomina eje polar. El eje polar usualmente se dibuja
horizontal y se prolonga indefinidamente hacia la derecha.
Las coordenadas polares de un punto consisten de una distancia dirigida en relación al polo y la medida
de un ángulo en relación al eje polar. Sea P un punto cualquiera del plano. Tracemos el segmento OP y
designemos su longitud por r . Llamemos θ al ángulo AOP . Entonces, las coordenadas polares de P son
(r, θ), donde r se llama radio vector de P y θ se llama ángulo polar de P . El ángulo polar θ se mide
partiendo del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo cuando se mide en sentido contrario al
de las agujas del reloj.
θ
O A
Un punto P determinado por las coordenadas (r, θ) está también determinado por cualquiera de los
pares de coordenadas representadas por r, θ + 2kπ donde k es un entero cualquiera. El punto P puede
determinarse también por cualquiera de los pares de coordenadas representados por −r, θ + π + 2k donde
k es un entero cualquiera.
Sean (r, θ) las coordenadas polares y (x, y) las coordenadas rectangulares de un punto P . Si se hacen
coincidir el polo y el eje polar del sistema polar con el origen y el semieje X positivo del sistema rectangular,
101
102 CAPÍTULO 10. UNIDAD X: COORDENADAS POLARES
respectivamente, entonces:
p y
x = r cos θ; y = r sen θ; r= x2 + y 2 ; y tg θ = .
x
r y
θ
O x X
10.2.1. Rectas
y = mx
θ
O X
La ecuación rectangular de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma y = mx, donde
m es la pendiente de la recta. Realizando las transformaciones respectivas:
r sen θ = mr cos θ
r sen θ
=m
r cos θ
tg θ = tg φ.
10.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES EN EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES103
Resulta finalmente, θ = φ.
π/4
O X
En este caso, al no contener el polo la recta, estará a cierta distancia “d” positiva del polo.
d
r=
cos(θ − φ)
r
θ-φ
d r
φ θ-φ
θ
O
O X d
Del triángulo tenemos: cos(θ − φ) = d/r. Por tanto, la ecuación de la recta serı́a:
d
r= .
cos(θ − φ)
4
Ejemplo: Graficar r = .
cos(θ − π/6)
104 CAPÍTULO 10. UNIDAD X: COORDENADAS POLARES
4
r= cos(θ−π/6)
4
π/6
O X
10.3. Circunferencias
P (r, θ) b P (r, θ) b
C(a, φ) C(a, φ)
r
θ-φ a θ-φ a
φ
θ
O X O
r2 − 2ar cos(θ − φ) + a2 = b2 .
C(4, π/4)
4
π/3
O X
x2 + y 2 = a2
Resultando finalmente: r = a.
Ejemplo: Grafica r = 2
106 CAPÍTULO 10. UNIDAD X: COORDENADAS POLARES
r=2
(a, φ)
a
φ
a a
r
r
a2 = a2 + r2 − 2ar cos(θ − φ)
r2 = 2ar cos(θ − φ)
r = 4 cos(θ − π/3)
(2, π/3)
10.4. Caracoles
6
6 3 120
r
Gráfica
θ
θ 9 9
−3 120
r
108 CAPÍTULO 10. UNIDAD X: COORDENADAS POLARES
10.5. Rosas
Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma r = a cos nθ o r = a sen nθ siendo n un
entero mayor que 1. De aquı́ consideramos dos casos:
n par impar
Petálos 2n n
Ejemplo r = 4 sen(2θ) r = 4 sen(3θ)
4
120o
45o
Gráfica
4
45o
120o
10.6. Lemniscatas
45o
2
r2 = 4 cos(2θ)
Capı́tulo 11
11.1. Definición
Se llama superficie cuadrática a1 conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordena-
das satisfacen una sola ecuación de la forma
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + G = 0.
La traza de una superficie sobre un plano es la curva de intersección de la superficie y el plano.
Entre las superficies cuadráticas están las del tipo:
Definición La superficie esférica se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que
equidistan de un punto fijo. La distancia constante r se llama radio y el punto fijo centro.
109
110 CAPÍTULO 11. UNIDAD XI: SUPERFICIES CUADRÁTICAS
Sea P (x, y, z) un punto cualquiera de la superficie esférica de centro C(h, k, l) y radio r. Entonces, por
definición de superficie esférica, se tiene
p
r = (x − h)2 + (y − k)2 + (z − l)2 ,
de donde,
(x − h)2 + (y − k)2 + (z − l)2 = r2 .
Esta ecuación se llama ecuación canónica de la superficie esférica.
x2 + y 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + G = 0,
11.2.2. Elipsoide
x2 y2 z2
+ + =1
a2 b2 c2
Las trazas de un elipsoide con los planos coordenados son elipses.
y
O b
x
11.2. SUPERFICIES CUADRÁTICAS CON CENTRO 111
x2 y2 z2
2
+ 2 + 2 = 1.
a b c
La traza de un hiperboloide de una hoja con el plano es una elipse y las trazas con los planos y son hipérbo-
las.
y
O
x
112 CAPÍTULO 11. UNIDAD XI: SUPERFICIES CUADRÁTICAS
x2 y2 z2
2
+ 2 + 2 = 1.
a b c
Las trazas de un hiperboloide de dos hojas con los planos xy y yz son hipérbolas. No tiene trazas con el
plano xz.
y
O
x2 y2
2
+ 2 = cz.
a b
La traza de un paraboloide elı́ptico con un plano paralelo al plano xy es una elipse y las trazas con los
planos xz y yz son parábolas. La traza con el plano xy es un punto, el origen.
y
O
x
x
11.4. SUPERFICIES CÓNICAS 113
x2 y2
2
− 2 = cz.
a b
La traza de un paraboloide hiperbólico con un plano al plano es una hipérbola y las trazas con los planos y
son parábolas. La traza con el plano es un par de rectas.
r1
O
y
r2
x
x2 y2 z2
2
+ 2 − 2 = cz.
a b c
La traza de una superficie cónica elı́ptica con el plano es un punto, el origen, y las trazas con los planos y
son pares de rectas.
114 CAPÍTULO 11. UNIDAD XI: SUPERFICIES CUADRÁTICAS
O y
La superficie cilı́ndrica cuya directriz es perpendicular a uno de los planos coordenados es la superficie
representada por una ecuación de dos variables.
x2 z2
+ = 1.
a2 c2
11.5. SUPERFICIES CILÍNDRICAS 115
−2
O y
2
−3
x2 = 4py.
z
r2 r1
r2 r1
O y
x
Índice alfabético
116
ÍNDICE ALFABÉTICO 117
parámetro, 38
paralelas, 36
pendiente de una recta, 31
perpendiculares, 36
polo, 101
producto escalar, 23
producto interno usual, 23
producto mixto, 27
producto vectorial, 26
Propiedades de la equivalencia, 16
radiación de planos, 65
radio, 67, 109
radio vector, 101
radios vectores, 80, 88
rectángulo principal, 88
Recta Orientada, 15
secante, 69
Segmento Nulo, 15
Segmentos equivalentes, 15
Segmentos Opuestos, 15
sistema cartesiano, 9
Suma, 20, 22
traza, 109
vértices, 80, 88
vértices imaginarios, 88
vértices reales, 87
vector, 16
Vector definido por dos puntos, 20
vector director, 38
Vector iguales, 16