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Ecuaciones de Segundo Grado - Cuadratica
Ecuaciones de Segundo Grado - Cuadratica
Ecuaciones de Segundo Grado - Cuadratica
Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la forma general
ax 2 + bx + c = 0 con a 0
Ejemplos: 3x 2 − 2 x + 5 = 0 a = 3, b = −2, c = 5 ; x 2 − 3x − 4 = 0 a = 1, b = −3, c = −4
Las soluciones de la ecuación son los valores de x que al sustituirlos verifican la igualdad
Ejemplo: en la ecuación x 2 − 5x + 6 = 0
el valor x = 4 no es solución porque 4 2 − 5 4 + 6 = 16 − 20 + 6 = 2
el valor x = 2 si es solución porque 2 2 − 5 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
Ejercicios:
1. Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificando los
coeficientes a b y c
a) − 2 x 2 + 3x − 5 = 0 b) 3x 2 = 4 x − 1 c) 1 − 3x 2 + x = 0
d) 2 = 3x − 4 x 2 e) 2 x(x − 1) = 2 f) ( x − 2) x = 3x(2 x + 1)
g) 2 x − 3 = 4 x − 5x + 1
2
h) (2 − 3x)2 = x + 1 i) (x − 2)(3 − 2 x ) = 3
(Soluciones: a) a = −2, b = 3, c = −5 b) a = 3, b = −4, c = 1 c) a = −3, b = 1, c = 1 d) a = 4, b = −3, c = 2
e) a = 2, b = −2, c = −2 f) a = 5, b = 5, c = 0 g) a = 4, b = −7, c = 4 h) a = 9, b = −13, c = 3 i) a = −2, b = 7, c = −9
2. Decir en cada ecuación si los valores que se proponen son solución o no de la ecuación
a) x 2 − 7 x + 10 = 0 ; x = 0, x = 2, x = −3, x = 5
b) 2 x 2 − 5x + 2 = 0 ; x = 1, x = 1 / 2, x = −2, x = 3
c) 2 x 2 − 3x − 5 = 0 ; x = −1, x = 1, x = 2, x = −2
(Sol: a) no, si, no si b) no, si, no, no c) si, no, no, no )
3+1 4
= =2 x=2
−( −3) ( −3) − 4 1 2
2
3 9 − 8 31 2 2
x= = = =
2 1 2 2
3−1 2
= =1 x=1
2 2
x 1 2x 3x + 1 2
g) ( 4x − 1)( 2x + 2) = 12 h) x 2 − = − i) x 2 − =
2 3 3 2 3
3 2 4 12 1 7 2 1
(Sol: a) 7,− b) 0 c)11 d) −1, e) f) 3,− g) 1,− h) − , i) no tiene)
2 3 2 25 4 3 2
Ecuaciones de segundo grado
1) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83
2) (2x + 5)(2x – 5) = 11
3) (7 + x)2 + (7 – x)2 = 130
4) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40
5) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214
6) 8(2 – x)2 = 2(8 – x)2
x2 − 6 x2 + 4
7) − =5
2 4
5x − 3 7 − x
8) =
x x+2
9) x2 – 3x = 0
10) 6x2 + 42x = 0
11) x2 + ax = 0
12) (x – 2)(x – 3) = 6
13) (x – 2)(x + 5) = 9x + 10
14) (2x + 6)(2x – 6) = (2x + 9)(3x – 4)
15) (x + 3)2 – 8x – 9 = 0
16) (x + 4)2 + (x – 3)2 = (x + 5)2
17) (x + 13)2 = (x + 12)2 + (x – 5)2
54
18) 3x + = 18
2x + 3
4 3 7
19) − =
x +3 x −3 3
20) x2 – 18x + 80 = 0
21) x2 – 4x – 96 = 0
22) x2 – 17x + 52 = 0
23) x2 – 7x – 120 = 0
24) 4x2 + 5x – 6 = 0
25) 6x2 + 5x – 1 = 0
26) 3x2 – 10x – 25 = 0
27) 7x2 – 16x + 9 = 0
15
28) x + =8
x
x 18
29) + +5= 0
3 x
x −8 x −1
30) =
x + 2 2 x + 10
x x + 1 13
31) + =
x +1 x 6
4 3− x
32) − =2
x −1 2
33) x2 + 4ax – 12a2 = 0
34) x2 – 5ax + 6a2 = 0
7 − 3x 2x
35) − =8
5− x 3− x
Respuestas:
1) 7 y -7 2) 3 y -3 3) 4 y -4 4) 4 y -4 5) 6 y -6 6) 4 y -4 7) 6 y -6
19
8) 1 y -1 9) 0 y 3 10) 0 y -7 11) 0 y –a 12) 0 y 5 13) 0 y 6 14) 0 y −
2
9 3
15) 0 y 2 16) 0 y 8 17) 0 y 12 18) 0 y 19) 0 y 20) 10 y 8
2 7
3 1 5
21) 12 y -8 22) 4 y 13 23) -8 y 15 24) -2 y 25) -1 y 26) 5 y −
4 6 3
9
27) 1 y 28) 5 y 3 29) -6 y -9 30) 13 y -6 31) -3 y 2 32) 3 y 5
7
11
33) 2a y -6a 34) 9 y
3