UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TEXTIL

FENÓMENOS DE TRANSPORTE

CAPITULO 7

ECUACIÓN GENERAL DE BALANCE EN ESTADO ESTACIONARIO

TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

ECUACIONES DE VARIACION PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS

FLUJO CONVECTIVO

Prof. W. Reátegui R

2020

W.Reátegui 1
Objetivo General:
• Proporcionar al estudiante conceptos básicos de Mecánica de
Fluidos y su aplicación a problemas de interés práctico.
Objetivos Específicos
• Desarrollar las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento,
a partir de la ley de conservación de materia aplicado a un
elemento diferencial de volumen situado en el seno del fluido en
movimiento.
• Proporcionar a los estudiantes las ecuaciones de continuidad y
cantidad de movimiento en los sistemas coordenadas cartesianas,
cilíndricas y esféricas , con la finalidad de hacer aplicaciones y
aprender a usarlas .

W.Reátegui 2
INTRODUCCION
• El método del balance diferencial de cantidad de movimiento,
aplicado a sobre un diferencial de volumen permite familiarizarse con
el principio de conservación de la cantidad de movimiento en los
problemas de flujo viscoso.
• No es necesario formular un balance de cantidad de movimiento , es
más fácil y más seguro aplicar las ecuaciones de conservación de la
materia y de cantidad de movimiento, expresadas en forma general, y
simplificarlas convenientemente para un problema en particular.
• Para fluidos no isotérmicos, serán necesarios otras ecuaciones , tales
como la conservación de energía además de conservación de las
especies individuales.
• La ley de Hagen –Poiseuille implica la ley e conservación de masa y
además de que la velocidad es independiente de la posición axial. La
complejidad de los problemas requiere un planteamiento más general.

W.Reátegui 3
• En este capitulo analizaremos la ley de la conservación de la masa
que da origen a la ecuación de continuidad y la ley de la
conservación de cantidad de movimiento que da origen a las
ecuaciones de movimiento.
• Este conjunto de ecuaciones se llaman ecuaciones de variación o
Navier Stokes.
• Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-
Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de
ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el
movimiento de un fluido.
• A PARTIR DE ESTAS ECUACIONES se podrán deducir las
ecuaciones desarrolladas en el capitulo 5.

W.Reátegui 4
7.1 Ecuaciones de continuidad y movimiento en coordenadas rectangulares, cilíndricas y
esféricas
7.1.1 Ecuación de continuidad
• Coordenadas rectangulares: (x,y,z)
• Coordenadas cilíndricas: (r,θ,z)
• Coordenadas esféricas: (r,θ,Φ)
7.1.2 Ecuación de movimiento
 Coordenadas rectangulares: (x,y,z)
Componente: x
Componente: y
Componente: z
 Coordenadas cilíndricas: (r,θ,z)
Componente: r
Componente: θ
Componente: z
 Coordenadas esféricas: (r,θ,Φ)
Componente: r
Componente: θ
Componente: Φ

W.Reátegui 5
 7.2 Ecuación de continuidad en el sistema cartesiano balance diferencial de masa sin reacción
química

SISTEMA CARTESIANO

V  x.y.z

W.Reátegui 6
 ECUACION GENERAL DE BALANCE

PROPIEDAD ENTRADA (E) ACUMULACION ( A)

SISTEMA

GENERACION (G) PROPIEDAD SALIDA ( S)

W.Reátegui 7
Flujo M ultidireccional :
A  E -S G
G  0( no hay reacción)
[Velocidad de acumulació n de materia] 
[Velocidad de entrada de materia] -
[Velocidad de salida de materia] 
[Velocidad de generación de materia(No hay RQ)]

d
(A) e  (A) s  dV
dt

W.Reátegui 8
 V  x.y.z
Ax  .y.z
Ay  x..z
Az  x.y.

V  Ax[( v x ) x  ( v x ) x  x ]
t
 Ay[( v y ) y  ( v y ) y  y ] 
Az[( v z ) z  ( v z ) z  z ]
 [( v x ) x  x  ( v x ) x ]

t x
[( v y ) y  y  ( v y ) y ]

y
[( v z ) z  z  ( v z ) z ]

W.Reátegui
z 9
  [( v x ) x  x  ( v x ) x ]

t x
[( v y ) y  y  ( v y ) y ]

y
[( v z ) z  z  ( v z ) z ]

z
x  0, y  0, z  0
ECUACION DE CONTINUIDAD
 Vx V y Vz
 [   ], (1)
t x y z

 [.V ], (2)
t
W.Reátegui 10
ECUACION DE CONTINUIDAD : conservaci ón de la masa
    Vx V y Vz
 Vx  Vy  Vz   [   ], (3)
t x y z x y z
Ci Ci Ci Ci Vx V y Vz
 Vx  Vy  Vz  Ci[   ], (3' )
t x y z x y z

Para un fluido incompresible : 0
n

Para un fluido en estado estable : 0
t
Vx V y Vz
[   ]  0, (4)
x y z
.V  0
W.Reátegui 11
ECUACIONES DE CONTINUIDAD
Sistema cartesiano : (x, y,z)
 Vx V y Vz
 [   ], (1)
t x y z
    Vx V y Vz
 Vx  Vy  Vz   [   ], (3)
t x y z x y z
Sistema cilíndrico : (r, , z ),   [0,2 ]
 1 rVr 1 V Vz
 [   ], (5)
t r r r  z
Sistema esférico : (r, ,  ),  [0,  ],   [0,2 ]
 1 r 2Vr 1 V sen 1 V
 [ 2   ], (6)
t r r rsen  rsen 

W.Reátegui 12
7.3 Ecuación de continuidad en el sistema cilíndrico balance diferencial de masa sin
reacción química

W.Reátegui 13
7.4 Ecuación de continuidad en el sistema esférico balance diferencial de masa sin
reacción química

W.Reátegui 14
7.5 Ecuación de movimiento en el sistema cartesiano
Componente: x
Componente: y
Componente: z
• El balance diferencial de cantidad de movimiento, en el sistema
cartesiano se aplica en un ΔV= Δx. Δy. Δz

A  E -S G
[Velocidad de acumulació n de C.M ] 
[Velocidad de entrada de C.M ]-
[Velocidad de salida de C.M ] 
[Velocidad de generación de C.M ]

W.Reátegui 15
Diferencial de volumen, en el que se señala con flechas la dirección en que se
transporta el componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies.

16
W.Reátegui
• La velocidad de entrada y salida de C.M a través del diferencial de
volumen, es consecuencia de dos mecanismos:
 Transporte molecular
 Transporte por convección
Componente : X
Propiedades del fluido :  ,  , Cp
Vx
[Velocidad de acumulació n de C.M ]  V
t
TRANSPORTE M OLECULAR :
[Velocidad de entrada de C.M ]- [Velocidad de salida de C.M ]:
Eje : X
y.z[( xx ) x  ( xx ) x  x ]
Eje : Y
x.z[( yx ) y  ( yx ) y  y ]
Eje : Z
x.y[( zx ) z  ( zx ) z  z ]
V  x.y.z
W.Reátegui 17
TRANSPORTE POR CONVECCION :
Eje : X
y.z[( VxVx ) x  ( VxVx ) x  x ]
Eje : Y
x.z[( V yVx ) y  ( V yVx ) y  y ]
Eje : Z
x.y[( VzVx ) z  ( VzVx ) z  z ]
[Velocidad de generación de C.M ]
y.z[( p) x  ( p ) x  x ]  g x V
W.Reátegui 18
 Ecuación de movimiento para la componente : X
Vx VxVx V yVx VzVx
 [   ]
t x y z
  yx  zx p
 [ xx   ]   g x , (7)
x y z x
Por analogía :
Ecuación de movimiento para la componente : Y
V y VxV y V yV y VzV y
 [   ]
t x y z
 xy  yy  zy p
[   ]   g y , (8)
x y z y
Ecuación de movimiento para la componente : Z
Vz VxVz V yVz VzVz
 [   ]
t x y z
 xz  yz  zz p
[   ]   g z , (9)
x y z z
W.Reátegui 19
Componentes del vector velocidad másica :
Vx , V y , Vz
Componentes de la aceleració n de la gravedad :
gx, gy , gz
Componentes del vector presión : p
p p p
, ,
x y z
Componentes de la densidad de flujo convectivo de C.M
VxVx , V yVx , VzV ,...., VzVz
Componentes del esfuerzo de corte : tensor esfuerzo
 xx , yx , zx ,....., zz

W.Reátegui 20
 Ecuación de movimiento vectorial :
V
 [.VV ]  [. ]  [p]  [ g ], (10)
t
V
: Velocidad de acumulació n de C.M
t
por unidad de volumen
 [.VV ] : Velocidad de ganancia de C.M
por convección por unidad de volumen
 [. ] : Velocidad de ganancia de C.M
por transporte viscoso por unidad de volumen
 [p] : fuerza de presión que actúa sobre el V
 [ g ] : fuerza de gravedad que actúa sobre el V
W.Reátegui 21
Para un fluido newtoniano de  y  constantes las ecuaciones 7, 8 y 9
se transforman en :
Ecuación de movimiento para la componente : X
Vx V V V
[  Vx x  V y x  Vz x ] 
t x y z
 xx  yx  zx p
[   ]   g x
x y z x
Vx Vx Vx Vx  2Vx  2Vx  2Vx p
[  Vx  Vx  Vz ]  [ 2  2  2 ]   g x , (11)
t x y z x y z x
Por analogía :
Ecuación de movimiento para la componente : Y
V y V y V y V y  2V y  2V y  2V y p
[  Vx  Vy  Vz ]  [   ]  g y , (12)
t x y z x 2 y 2 z 2 y
Ecuación de movimiento para la componente : Z
Vz Vz Vz Vz  2Vz  2Vz  2Vz p
[  Vx  Vy  Vz ]  [ 2  2  2 ]   g z , (13)
t x y z x y z z

W.Reátegui 22
 V  r .r.z
Ar  r .z
A  r.z
Az  r .r
  [0,2 ]

Volumen diferencial de cilindro

W.Reátegui 23
7.6 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS CILINDRICAS

(14)

(15)

(16)

W.Reátegui 24
Para un fluido newtoniano de  y  constantes, las ecuaciones 14, 15 y16
se transforman en :

(17)

(19)

(20)

W.Reátegui 25
7.7 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFERICAS (r,θ,ø)

(21)

(22)

(23)

W.Reátegui 26
W.Reátegui 27
Para un fluido newtoniano de  y  constantes, las ecuaciones 21, 22 y23
se transforman en :

(24)

(25)

(26)

W.Reátegui 28
 APLICACIONES

UTILIZACION DE LAS ECUACIONES DE

VARIACION

W.Reátegui 29
Ejemplo: determinar el perfil de velocidad para un fluido incompresible,
que fluye en un tubo circular .

r
po
z
L

pL

W.Reátegui R 30
Para el sistema cilíndrico:
Ecuación de continuidad:
El movimiento es en la componente z.
elegir dicha componente y proceder con las simplificaciones del caso.
Consideraciones : estado estable, fluido incompresible, flujo unidireccional(z).

ECUACIONES DE CONTINUIDAD
Sistema cilíndrico : (r, , z ),   [0,2 ]
 1 rVr 1 V Vz
 [   ],
t r r r  z
ECUACION DE MOVIMIENTO
,

W.Reátegui 31
ECUACIÓN DE CONT INUIDAD

Sistema cilíndrico
 1 rVr 1 V Vz
 [   ]
t r r r  z
V
Vz  f ( r )   0


Ecuación de movimiento

W.Reátegui 32
 p 1  V z
0  [  g z ]  [ (r )]
z r r r
1  V z p p  pL P
[ (r )]  [  g z ]  [ 0  g z ] 
r r r z L L po
 V z P
(r )  ( ) r
r r L
V z P c1
 ( )r 
r 2 L r
r  0,  c1  0
V z P
 ( )r
r 2 L pL
P 2
Vz  ( )r  c 2
4 L
P 2
r  R, c 2  ( )R
4 L
Perfil, de velocidad
PR 2 r
Vz  ( )[1  ( ) 2 ]
4 L R

W.Reátegui 33
• Ejemplo: Determinar las distribuciones de velocidad y del esfuerzo de
corte. Para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el
espacio anular comprendido entre dos cilindros, cuando el cilindro
exterior gira con una velocidad angular Ωo. ¿qué otros perfiles son de
interés? ” flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos
concéntricos”.

W.Reátegui 34
• En el flujo laminar en el estado estacionario, el flujo sigue un
movimiento circular. En este caso los componentes Vr y Vz de la
velocidad son nulos. No existe gradiente de presión en la dirección θ

Perfil de velocidad : V Perfil del esfuerzo de corte : r

d 1 d
( ( rV )  0 
d r d  r   [r (V / r )]
C
V  1 r  2
C r
2 r 2
k 1
C .F :  r  2 o R (
2
)( 2 )
r  R, V   .R 1 k r
2

r  kR, V  0  Par necesario para hacer

2 o
C1  girar el eje exterior :
1 k 2

C2  
 o ( kR) 2   F.d
1 k 2
kR r
  [2RL * (- r ) r  R ].R
 2
V   .R[ r kR ] k
k
1   4L o R 2 ( )
W.Reátegui
k 1 k 2
35
Ejemplo: Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Determinar las
distribuciones de velocidad y del esfuerzo de corte, para el flujo laminar tangencial de un
fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales.

o Eje : o

Fluido
L

R kR

W.Reátegui R 36
kR
S .Cilindrico : S .Cilindrico :
Componente :  Componente : 
Simplifica ndo se obtiene : Perfil de velocidad tangencia l
d 1 d (rV ) c1 (kR) 2
0 ( ) V  [r  2 ]
dr r dr 2 r
c1 c2 Perfil del esfuerzo de corte : Tabla 3.4 - 6(D)
V  r 
2 r  V (kR) 2 c1
 r   [r ( )]  2
r  R, V  .R r r r2
Par para hacer girar el eje interior :
r  kR, V  0
  [2RL * (- r ) r  R ]R
2o
c1 
1 k 2
o
c 2  ( )( kR) 2

1 k 2

Perfil de velocidad tangencia l

c1 (kR) 2
V  [r  2 ]
2 r
W.Reátegui 37
• Este sistema se adapta muy bien para cojinetes de fricción.
• El flujo laminar es estable debido a la fuerzas centrifugas.
• Una partícula de una capa externa encuentra resistencia a moverse hacia
una capa interna, debido a que la fuerza centrifuga que actúa sobre ella es
mayor que sobre las partículas que están más próximas al eje de rotación.
• La transición a flujo turbulento tiene lugar para un número de Reynolds
mucho más alto que en el sistema análogo con giro del cilindro interior, en el
que la fuerza centrifuga introduce inestabilidad.
• En este caso, donde el cilindro exterior gira, el número de Reynolds
correspondiente a la transición definida por NR=R(Ωo.R)ρ/μ, alcanza un
mínimo del orden de 50000 cuando (1-k ≈ 0,05).
• Cuando el cilindro interior gira con una velocidad angular Ω1 y el exterior está
inmóvil el número de Reynolds de transición se define como.

(1.kR) R 41,3
[ ]trans 
 (1  k )372
W.Reátegui 38
Ejemplo: determinar Vθ(r ) entre dos cilindros coaxiales de radio interior (kR) y
radio exterior (R ), que giran con velocidades angulares Ω1 y Ω2 en sentidos
contrarios. ¿qué otros perfiles son de interés? Datos: fluido(ρ, μ )

fluido(ρ, μ )

Ω2
Ω1

kR R
R
kR
W.Reátegui 39
Ejemplo: calcular el par, expresado en kgm y la potencia en hp, que se
necesitan para hacer girar el eje en el cojinete de fricción que se
indica. La longitud de la superficie de fricción con el eje es de
5,08cm, el eje gira a 200rpm, la viscosidad del lubricante es de 200cp
y la densidad 0,80g/cm3. Rpta: 0,044kgm. y 0,012hp

W.Reátegui 40
 Ejemplo: un viscosímetro de plato y cono, cuyo radio R del cono es
10cm y el ángulo de apertura θo(0,50º), se utiliza para medir la
viscosidad de soluciones newtonianas.¿Qué par en dy.cm, será
necesario para hacer girar el cono con una velocidad angular de 10
rad/min, si la viscosidad del fluido es 100cp? Rpta: 4,0x104dy-cm

W.Reátegui 41
7.9 Referencias bibliográficas

W.Reátegui 42