1) Cinemática de una

Partícula
1) Cinemática de una Partícula

Fenómeno  Movimiento
Es el estudio del movimiento, usando los conceptos de espacio y tiempo,
sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Hay que tener en cuenta algunas consideraciones:

a) El observador, sistema de referencia, O

Descriptor del movimiento:(Todo sistema de referencia “Es un cuerpo”)


O

“La trayectoria es función del estado del observador”,    (O)

Por ejemplo, si un avión dejara caer una carga, la caída es descrita por
O (avión) y O’ (un punto en la tierra), tal como se muestra a continuación,

O (Reposo)

O’
(V=cte)

Por lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador.

b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el

cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la
componente trasnacional.
Modelo de Partícula:
Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimiento
usando las cantidades cinemáticas (cc):
: vector posición
: vector velocidad
: vector aceleración

1,1) Cantidades Cinemáticas, cc

i) Vector Posición,

Describe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de la

cinemática,

Vector desplazamiento, : Es el cambio del vector posición de un

objeto,

ti  tf : t = tf - ti

tangente

 secante
ii) Vector velocidad,

Cambio de la posición de un objeto por unidad de tiempo,

Definición de Vector velocidad media,

Modulo del vector velocidad en un instante concreto

Definición de rapidez, : Para una partícula que recorre una distancia d en

un intervalo de tiempo t se define:

: rapidez ( no lleva asociada una dirección)

¿? Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia del

tiempo” de Stephen Hawking.

¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de

“Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking.

¿? Cual es el último trabajo de divulgación de este brillante científico y

propalador de las ciencias.

Preguntas adicionales:

¿? Sera el sistema de coordenadas rectangulares un sistema de

referencia.
¿? Si el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria, como será
con el vector aceleración para una trayectoria curvilínea.

iii) Vector Aceleración,

Describe los cambios de la velocidad respecto del t. Es la razón de cambio

de respecto del tiempo

¿? Será importante definir . Existirá alguna rama de la tecnología

donde interese conocer esta cantidad.

Preguntas adicionales:

¿? Sera posible que un objeto con una aceleración inicial, consigue una
velocidad mayor a la de C.

1,2) Tipos de Movimientos

i) Movimiento Rectilíneo, MR

Definición:    ()

j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU

k) Condición: La velocidad se mantiene constante durante toda la trayectoria.

 =0

kk) Ecuaciones

l)

II)

(Ecuación del movimiento en el MRU)

kkk) Graficas

l) v-t
 v

A(t)=x(t)
A A
0 t
V = cte

ll) x-t

Vx = (x)/(t) = pendiente

jj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

k) Condiciones: Al igual que en el MRU, solo que con variación de la

velocidad con respecto del tiempo.

kk) Ecuaciones

l)

II)
IlI)

(Ecuación del
movimiento en el
MRUV)

a(t)
v(t)

0 x
x(t)

kkk) Gráficas

l) a-t

A A
0 t
A(t)=v(t)

ll) v-t

A(t)=x(t)

a = (x)/(t) = pendiente

lll) x-t

(Movimiento acelerado a(+)) (Movimiento desacelerado a(-))

jjj) Movimientos Generales

a  a(t)  v  v(t)  x  x(t)

de v
 a  a(t) : “fácil”

 a  a(v) : Regla de la cadena, definición de diferencial exacta o

cambio de variable
 a  a(x) : Idem

de 
x = x(t)

¿? Encuentre casos reales donde la aceleración dependa de la velocidad

o posición.

Preguntas adicionales:

¿? Que variables se considerarían, y cuales no, en un caso de MRUV en el

espacio.

S1P14) La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X esta
dada por x = t3 - 12t2 + 36t + 30 con x en metros y t en segundos. Determine:

a) La velocidad media entre 2 s  t  6 s.

b) La aceleración media entre 0 s  t  4 s.
c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado.
d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado.

Solución:

0 X(t) x

x(t) = t3 -12t2 +36t + 30

a) vm :2 6

30−62
4 = -8

b) am : 0 4
 −12−36
4 = -12

c)  d)

Movimientos acelerados:

DEF:  

v+ a+

0 x

Movimientos desacelerados:

DEF:  

v- a+

x
v+ a-

a
v

v + - - + t

0 2 4 6

4 t
2 6
12
v  v(t)  P

c) movimiento desacelerado

d) movimiento acelerado

ii) Movimientos Planares o Bidimensionales

Las trayectorias están contenidas en un plano.

  2 ()

TIPOS DE MOVIMIENTOS PLANARES:

j) Movimiento Parabólico, MP

Caso .
Los movimientos parabólicos con aceleración constante son determinados
cuando la v(0) no es paralela a la , por lo general la aceleración se considera
la aceleración de la gravedad g. El plano de movimiento es determinado por
V(0) y (a). El eje de la parábola es paralelo a la . Estos movimientos
también presentan simetría de rapideces y tiempos a un mismo nivel.

y Z

A A’
ta td P
0 x 0 Y

X
y : simplifica la descripción:

En el eje x : MRU  ax  0
En el eje y : MRUV  ay = a  g (por lo general)

Esto es debido al “carácter” vectorial de la Física  Cinemática.

Mov Parab  MRUx “+” MRUVy

MRUVx “+” MRUVy (caso general, x e y en cualquier dirección)

Simetrías:

 Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje

 Para todo nivel

va  vd
t a  td
Aplicación importante del MP: Movimiento de proyectiles

Como ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superiores

a 20 km, La aceleración de caída libre, g, es constante a lo largo de todo el
movimiento y tiene dirección descendente (hacia el centro de la Tierra).
El efecto de la resistencia del aire es despreciable
Equivalente a suponer:
- La velocidad inicial del objeto es pequeña (para que el efecto
del rozamiento sea despreciable).
- Rango de movimiento pequeño comparado con el radio de la
Tierra (podemos considerar que la Tierra es plana dentro de ese rango).
- La altura máxima del objeto es también pequeña comparada
con el radio de la Tierra (g varía con la altura).
- La Tierra está en reposo.

El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros como

tiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Estos se cumplirán
para todo caso de movimiento de proyectiles si consideramos la siguiente
geometría,

y Z

i) Tiempo de
vuelo, tv

 
0 x 0 Y

ii) Alcance o Rango, R

iii) Altura máxima, H

¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en la
naturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas.

¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de cte se

desarrollan en el universo.

¿? Busque 5 ejemplos reales de MP.

¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetería

con la carrera espacial.

¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería:

Werner von Braun- Pedro Paulet.

¿? 2009: Año internacional de la astronomía.

¿? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisión-extinción.

S1P16) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una
rapidez inicial v0 directamente hacía una colina, cuyo
ángulo de elevación es  ¿cuál será el ángulo respecto R
de la horizontal al que deberá apuntarse el cañón, para v0
obtener el mayor alcance R posible a lo largo de la 

colina?

Solución:

 / Rmáx =?

  x, y  P: y  a + bx + cx2
y


(0)

0 x
En el eje x: MRU

x(t)  x(0) + vx (0) t  x  0 + v(0) cos t …. (1)

En el eje y: MRUV

y(t)  y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2 , = 10,  y  0 + v(0) sen t t2 …. (2)

De (1):

…(1’)

1’  2:

P:

P – P: xp  Rcos
yp  Rsen

 Rsen  tg Rcos - g R2cos2

2v2(0)cos2
II  I

¿? Evalúe para v(0)= 50,

¿? Resuelva el problema asumiendo un sistema con eje x sobre la
colina. ¿? Es más simple.

jj) Movimiento Circular, MC

La trayectoria será de una circunferencia.

 Y t
n

R t
s

x t=0
0

La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o ,

esto es, usando variables lineales o angulares.

k) Cantidades Cinemáticas del MC

l) Posición

m) Lineal: s= s(t)

mm) Angular:  =(t)

mmm) Relación: s= R

ll) Velocidad

m) Velocidad Lineal, v=vt

La llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades

cinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez,

mm) Velocidad Angular, 

Describe los cambios de  respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma,

u[]= rad/s

mmm) Relación entre  v y 

Como R=r sin ⁡(α )

v=ω r sin( α )

entonces: ⃗v =⃗
ω × ⃗r

lll) Aceleración

m) Aceleración, a

El vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas,

tales como la radial y la tangencial, resultando,

A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleración

centrípeta, acp.

mm) Aceleración Angular, 

Describe los cambios de la  respecto del tiempo,

u[]= rad/s2
mmm) Relación entre at y 

dv d (rω) dω
Como se tiene a t= = =r entonces
dt dt dt

kk) Tipos de movimientos Circulares

Al igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV o generales.

¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.

¿? Los planetas hacen MC.

Preguntas adicionales:

¿? El momento en el que las montañas rusas dan vueltas, se considera un

MC
¿? Que tipo de movimiento es el de los electrones alrededor del átomo.

jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,)

Este sistema se usa para describir movimientos planares ( MC). En particular

es usado para los movimientos planetarios.

j 

i x x

r,
,


k) Cantidades cinemáticas en (r,)

l)

ll)

iii)
¿? Aplicación de las coordenadas polares al movimiento planetario.

¿? En particular el movimiento de la Luna es problema CAOS. Leer “El

reloj de Newton”.

kk) Movimiento Circular en (r,)

r  R  cte!

i)

ii)

iii)

S1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por
r̄=10 μ^ r y θ=2 π t , en donde r̄ está en metros,  en radianes y t en
segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidad V̄ =d r̄ /dt
por derivación directa de r̄ , c) Como la distancia sobre la trayectoria es s = r,
halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismo valor que el módulo de V̄
hallado en la parte (b)?, d) Halle el vector aceleración ā en función de los
vectores unitarios
μ^ r y μ^ θ .

Solución:
 = 2t

a)

b)

c) MC: s, variable lineal!

s  v t  at

, variable angular

,    

MC  MC (variables lineales, v angulares)

sR
vt  R
at  R

d)
…

S1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos

y M
e^r
velocidades constantes en modulo. La primera
permanece siempre perpendicular al eje X y la segunda
perpendicular al radio vector. Halle la ecuación de la V2
r V1
trayectoria si parte del punto (r0, 0) y calcule la
aceleración de M. 
0 x

Solución:
 y

M
V1r  v1
V2
V1


x

a) Ec  / t  0 : (r0, 0)?

b) aM  ?
--------------------------------

a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemos

Ahora, comparando componentes,

r: … (I)

…(II)

En I aplicando regla de la cadena:

Despejando de II y reemplazando,

Separando variables para poder integrar,

Aplicando ci para determinar c:

b) Para la a de M,

De II,

iii) Movimientos Espaciales: Caso General

Los casos generales de movimiento podrían considerarse en el espacio.

Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio de
Superposición, expresarlo en función de movimientos más sencillos, de ello ya
hemos revisado algunos casos, por ejemplo,
 MP  MRUx + MRUVy M Helicoidal  MRUz + MCxy

M Cicloidal  MRUxy + MCxy

¿? Podría indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetría.

Preguntas adicionales:

¿? Como se aplican estos casos en la realidad.

La descripción del movimiento debe efectuarse usando un sistema de

coordenadas que comparta la simetría del movimiento.

 x, y, z Rectangulares
 r,  Polares
 , , z Cilíndricas
 r, ,  Esféricas
 s Coordenada de sobre la curva, vectores
tangencial, normal y binormal.

De no ser así, el desarrollo también ya se ha descrito,

 Regla de la cadena
  Diferencial exacta
 Cambio de variable

Sistema de coordenadas sobre la curva

Es el sistema general. Este sistema que “viaja” con el móvil, está definido por la
llamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, , tangente unitario, ,
normal principal, y , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares.

i)

ii) , en la dirección de

iii)

tangente unitario

=1

 derivando respecto a s

O R=

: curvatura
 ;   R: radio de curvatura

¿? Que información da la binormal.

¿? Podría construir ecuaciones para el radio de curvatura.

S1P21) Un muchacho en A arroja una pelota B

directamente a una ardilla parada sobre una
rama en B. Si la rapidez inicial de la pelota es h
de 16 m/s y la ardilla, en vez de asustarse, se
deja caer del reposo en el instante en que se A 5.5 m
lanzo la pelota, demuestre que la ardilla
puede atrapar la pelota y determine la 1.5 m
longitud h que la ardilla cae antes de hacer la
captura. 10 m

Solución:

h g
H 2 - H1
v(0) C
y A 
H2
x
H1

A’ D
t  0: Pelota en A y Ardilla en B

“directamente” hacia B:



Sea t: Pelota en C y ardilla en C

Usando xy en A:

Para la pelota,

Para la Ardilla,
 a) Como en t la ardilla puede coger la pelota!

b)

¿? Será posible resolverlo rápidamente usando la Ec de la parábola.

S1P) La aceleración de un móvil, en función de su posición, está dada por:

a(x) = 3x – 2x3; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) su velocidad
cuando x = 0,5, (b) su posición cuando su velocidad es máxima, (c) la
aceleración para esta velocidad máxima.

Solución:

a) b) c) ?
a)

b)

Aparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta

regresando a y permaneciendo allí  t posterior. Este problema es
inconsistente desde su planeamiento: t  0, a  0, v  0  x 0?! Si se le da
cierta ,

* ¿? La partícula “mágicamente” se empieza a mover hacia la

derecha (+)s  hacia la izquierda (-)s.

** ¿? Analizar mediante gráficos.

c)

S1P) Un estudiante desea arrojar una pelota hacia afuera, por la ventana de
un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un blanco a
8 m de distancia del edificio. (a) Si el estudiante arroja la pelota en dirección
horizontal, ¿Con qué velocidad la debe arrojar?, (b) ¿Cuál debe ser la
velocidad de la pelota, si la arroja, hacia arriba, con un ángulo de 29º con
respecto a la horizontal?, (c) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota volando en
el caso (b)?
SOLUCION:
Y
g, g  10

v(0)
0 =A 
X

10

B(8-10)
8

a)

b)

c)

S1P) Se lanza un objeto (Mov. Parabólico) de forma que pasa justamente

sobre dos obstáculos cada uno de 11,35 m de altura y que están separados por
la distancia horizontal de 52 m. Calcule el alcance horizontal total (R=X) y la
velocidad inicial (V0) de lanzamiento sabiendo que el tiempo empleado en
recorrer el espacio entre los 2 obstáculos es de 2,6 segundos. (g=9,8 m/s2)

SOLUCION:
Y

g= 9,8

H v’0y v’0 D’
d B’ C’
 11,35
v0
v0y

X
0 b B C b A
52

Del MP de B’ a C’: Como

Y:

Del MP de 0 a B’:

Y:

Del MP de B a C: Asumiendo “0” en B,

X:

a) De la ecuación del rango,

b)

M
S1P) En la grafica mostrada dos móviles son
lanzados simultáneamente, y chocan en el va vb
punto “M”. Si el que sale de A lo hace con una
velocidad de 50 m/s y un ángulo de 37°, ¿Cuál
debe ser el ángulo y velocidad de lanzamiento 37° 
2 A 80 m 60 m B
del móvil que sale de B? (9,8 m/s )

SOLUCION:

Como el movimiento de los móviles es simultaneo, , y usando el

sistema 0XY mostrado,

M g

va vb

37°  X
A 80 m 60 m B

Para el móvil A,

Para el móvil B,

Usando
a) De

b) De la ecuación 

S1P) Una bola es lanzada del origen de coordenadas con una velocidad inicial de v 0
= 50 m/s. Si transcurridos 3 s alcanza su altura máxima, halle el punto del plano (x,y)
donde se encuentra la bola transcurridos 4 s después de su lanzamiento.

SOLUCION:

Describamos el problema mediante el siguiente grafico,

v (0) t=3 t4

?
Q
t0 
0 x

Del calculamos el ángulo : como alcanza su altura máxima es 3 s, el

,


S1P) ¿Cuál es el ángulo de elevación del lanzamiento de un proyectil para que
su alcance sea el doble que su altura máxima?

SOLUCION:

S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez de 40 m/s, haciendo un ángulo de 37º,
desde la azotea de un edificio de altura H, impactando en el suelo a una distancia de
160 m, medida desde la base del edificio. Halle la altura máxima alcanzada por el
cuerpo con respecto al piso.

SOLUCION:

y
v(0) De la gráfica adjunta, representando al punto de impacto
con el piso, P=P (160,-H), y reemplazarlo en la ecuación
37º h de la parábola para hallar H,
0 160
Q
X

piso P(160,-H)
-H

Ahora, en el MP de 0Q, hallamos la altura máxima,

S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez v(0)=20 m/s, haciendo un ángulo de 53º,
desde la azotea de un edificio de altura 20 m, impactando en el suelo a una distancia
d, medida desde la base del edificio. Halle la distancia d y la altura máxima alcanzada
por el cuerpo con respecto al suelo.

SOLUCION:
y
a) Usando el eje Y para calcular el tiempo de v(0)
movimiento, t, vy(0)
t=0 53° d
0 X

d P(d,-20)
-20 t=t

Ahora usando X para hallar d,

b) Ahora, en el tramo de ascenso, usamos,

S1P) Europa, la Luna de Júpiter, tiene un radio orbital de 6,67 x 10 8 m y un

periodo de 85,2 h. Calcule la magnitud de a) la velocidad orbital, b) la velocidad
angular y c) la aceleración centrípeta de Europa.
SOLUCION:

b)

a)

c)

S1P) Dos partículas pasan simultáneamente (MCU) por los

A
extremos de un diámetro AB y en los sentidos indicados en la
figura. Si giran con periodos TA = 25 segundos y TB = 30
segundos respectivamente, calcular al cabo de que tiempo
logran cruzarse por segunda vez.
B
SOLUCION:

A
AB B
B 
 AB  
  AB
A A
B
1° t1 t1 t1
S1P) En una pista circular un ciclista puede dar tres vueltas en un minuto y otro
sólo 2 vueltas en un minuto. Si ambos parten de dos puntos diametralmente
opuestos y avanzan uno al encuentro del otro ¿en qué tiempo s encontraran y
que porción de circunferencia habrá recorrido cada uno?

SOLUCION:
AB
B t0
B
A:
A
0

A
B:

a)

b)

¿? Completar el siguiente problema…

y
S1P51) La figura adjunta representa a un -gsen
campesino irrigando un sistema de andenes, 
indicados por rayas horizontales, separados 3 m; la ⃗v 0 g x
pendiente del cerro esta dado por  = 30º : P
a) El campesino desea averiguar cuantos A
andenes podrá irrigar con v 0 = 15 m/s y  variando
R
de 30º a 45º.Considere que el primer andén dista 3 m
de “0”. 
b) Encuentre el valor de  que nos permita irrigar 
el máximo número de andenes. ¿Cuál es ese número 0 x

máximo?. Tome = -10 m/s2.

SOLUCION:
 ..…()

b) de lo anterior   60º

En () :

 Podrá irrigar 5 ANDERES

a) En () usando   45º

 Solo podrá irrigar 3 ANDERES

* Hacer la variante de calcular R con x’