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    ACTIVIDAD 2 (Teoria de Numeros) PDF

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    El documento presenta una infografía sobre la nueva teoría de la distribución de los números primos y actividades del capítulo 3 del libro "funciones multiplicativas y su proyección didáctica al aula de clase". El documento incluye 7 talleres con ejercicios y soluciones relacionados con conceptos como números primos, divisibilidad, cantidad de factores, las funciones de Möbius y Euler.

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    de 17

    Universidad de las Américas y el Caribe

    DOCTORADO EN ENSEÑANZA DE LAS


    MATEMATICAS

    ASIGNATURA
    TEORÍA DE LOS NÚMEROS

    Infografía sobre la nueva teoría de la distribución de los números primos y


    actividades del capítulo 3 del libro “funciones multiplicativas y su proyección
    didáctica al aula de clase”.

    PRESENTADO POR:
    Augusto Rene Flórez Ruiz

    CATEDRÁTICO

    DR. ALEXANDER OROBIO MONTAÑO

    AYAPEL, JULIO 30 DE 2020.


    Infografia sobre la nueva teoría de la distribución de los números primos.

    Actividades del capítulo 3 del libro “funciones multiplicativas y su proyección


    didáctica al aula de clase”.

    Taller Nº 1. PRIMALIDAD

    Verifique cuáles de los siguientes números son primos.


    12
    351 70492
    89027432
    945012785
    Ahora realice el procedimiento utilizando el programa DERIVE y la siguiente función:

    Compare para verificar los resultados obtenidos anteriormente.


    SOLUCION:
    12 no es primo ya se puede expresar como 6x2
    351 no es primo ya se puede expresar como 3x117
    70492 no es primo ya se puede expresar como 2x35246
    89027432 no es primo ya se puede expresar como 2x44513716
    945012785 no es primo ya se puede expresar como 2x189002557
    Resultados con DERIVE
    Taller Nº 2. DIVISIBILIDAD

    ACTIVIDAD.

    Encuentre los divisores de cada uno de los siguientes números.


    12
    34
    106
    271
    3409
    706543

    Solución.
    Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
    Divisores de 34: 1, 2, 17, 34.
    Divisores de 106: 1, 2, 53, 106.
    Divisores de 271: 1, 271
    Divisores de 3409: 1, 7, 487, 3409
    Divisores de 706543: 1, 53, 13331, 706543.
    Resultados con DERIVE
    13.331 70654
    3

    Taller Nº 3. CANTIDAD DE FACTORES


    Solución:
    21 tiene 2 factores (3, 7)
    57 tiene 2 factores (3, 19)
    109 tiene 0 factores
    3450 tiene 9 factores (2, 5, 10, 23, 25, 138, 150, 690, 345)
    9467821 tiene 6 factores (11, 47, 512, 18313, 201443, 860711)

    Resultados con el programa Derive:


    Taller Nº 4. FUNCIÓN μ DE MÖBIUS

    Solución:
    𝑢(8) = 0, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 8 = 23 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜(2) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 22 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 8

    𝑢(27) = 0, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 27 = 33 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜(3) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 32 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 27
    𝑢(74) = 1, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 74 = 2𝑥37, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠,

    𝑎𝑠𝑖 𝑚 = 2 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 −12 = 1

    𝑢(136) = 0,

    𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 136 = 22 𝑥34, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜(2) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 22 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 136
    𝑢(478) = 1, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 478 = 2𝑥239, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠,

    𝑎𝑠𝑖 𝑚 = 2 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 −12 = 1

    𝑢(1025) = 0,

    𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 1025 = 52 𝑥41, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜(5) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 52 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 1025
    Resultados con el programa DERIVE:

    Taller Nº 5. MULTIPLICIDAD DE LA FUNCIÓN 𝝁 DE MÖBIUS


    SOLUCION:

    𝑢(8 · 24) = 𝑢(192) = 0

    𝑢(8) · 𝑢(24) = 0 · 0 = 0

    𝑢(13 · 11) = 𝑢(143) = 1


    𝑢(13) · 𝑢(11) = (−1) · (−1) = 1
    𝑢(25 · 65) = 𝑢(1625) = 0

    𝑢(25) · 𝑢(65) = 0 · (1) = 0


    𝑢(35 · 78) = 𝑢(2730) = −1

    𝑢(35) · 𝑢(78) = (1) · (−1) = −1

    𝑢(47 · 102) = 𝑢(4794) = −1


    𝑢(47) · 𝑢(102) = (−1) · (1) = −1

    Resultados con el programa DERIVE:


    Aclaración: En el programa DERIVE que poseo, la fórmula:

    no es aceptada

    Por lo tanto, propongo el siguiente método de comprobación usando DERIVE:


    Por lo tanto, MOBIUS (8) ·MOBIUS (24) =MOBIUS (8·24)

    Por lo tanto, MOBIUS (13) ·MOBIUS (11) = MOBIUS (13·11)

    Por lo tanto, MOBIUS (25) ·MOBIUS (65) = MOBIUS (25·65)

    Por lo tanto, MOBIUS (35) ·MOBIUS (78) = MOBIUS (35·78)


    Por lo tanto, MOBIUS (47) ·MOBIUS (102) = MOBIUS (47·102)

    Taller Nº 6. FUNCIÓN 𝝋 DE EULER

    Solución:
    𝝋(𝟏𝟒) = 𝟔
    El número de enteros positivos menores o iguales a 14, primos relativos con 14 son:
    1, 3, 5, 9, 11, 13.
    𝝋(𝟐𝟗) = 𝟐𝟖
    El número de enteros positivos menores o iguales a 29, primos relativos con 29 son
    desde el 1 hasta el 28.
    𝝋(𝟒𝟓) = 𝟐𝟒
    El número de enteros positivos menores o iguales a 45, primos relativos con 45 son:
    1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 37, 38, 41, 43, 44.
    𝝋(𝟗𝟎) = 𝟐𝟒
    El número de enteros positivos menores o iguales a 90, primos relativos con 90 son:
    1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83,
    89.
    𝝋(𝟐𝟔𝟕) = 𝟏𝟕𝟔
    El número de enteros positivos menores o iguales a 267, primos relativos con 267
    son:
    1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35,
    37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 64, 65, 67, 68,
    70, 71, 73, 74, 76, 79, 80, 82, 83, 85, 86, 88, 91, 92, 94, 95, 97, 98, 100, 101, 103,
    104, 106, 107, 109, 110, 112, 113, 115, 116, 118, 119, 121, 122, 124, 125, 127, 128,
    130, 131, 132, 133, 134, 137, 139, 140,142, 143, 145, 146, 148, 149, 151, 152, 153,
    154, 155, 157, 158, 160, 161, 163, 164, 166, 167, 169, 170, 172, 173, 175, 176, 179,
    181, 182, 184, 185, 187, 188, 189, 190, 191, 193, 194, 196, 197, 199, 200, 202, 203,
    205, 206, 208, 209, 211, 212, 213, 214, 215, 217, 218, 220, 221, 223, 224, 226, 227,
    229, 230, 232, 233, 235, 236, 238, 239, 241, 242, 244, 245, 247, 250, 252, 253, 254,
    256, 257, 259, 260, 262, 263, 265, 266.
    Resultados con el programa DERIVE:
    Taller Nº 7. MULTIPLICIDAD DE LA FUNCIÓN 𝝋 DE EULER

    Solución:
    𝝋(𝟖 · 𝟏𝟏) = 𝝋(𝟖𝟖) = 𝟒𝟎
    𝝋(𝟖) · 𝝋(𝟏𝟏) = 𝟒 · 𝟏𝟎 = 𝟒𝟎

    𝝋(𝟏𝟓 · 𝟏𝟗) = 𝝋(𝟐𝟖𝟓) = 𝟏𝟒𝟒


    𝝋(𝟏𝟓) · 𝝋(𝟏𝟗) = 𝟖 · 𝟏𝟖 = 𝟏𝟒𝟒

    𝝋(𝟑𝟔 · 𝟕𝟏) = 𝝋(𝟐𝟓𝟓𝟔) = 𝟖𝟒𝟎


    𝝋(𝟑𝟔) · 𝝋(𝟕𝟏) = 𝟏𝟐 · 𝟕𝟎 = 𝟖𝟒𝟎

    𝝋(𝟒𝟑 · 𝟓𝟖) = 𝝋(𝟐𝟒𝟗𝟒) = 𝟏𝟏𝟕𝟔


    𝝋(𝟒𝟑) · 𝝋(𝟓𝟖) = 𝟒𝟐 · 𝟐𝟖 = 𝟏𝟏𝟕𝟔
    𝝋(𝟖𝟓 · 𝟗𝟑) = 𝝋(𝟕𝟗𝟎𝟓) = 𝟑𝟖𝟒𝟎
    𝝋(𝟖𝟓) · 𝝋(𝟗𝟑) = 𝟔𝟎 · 𝟔𝟒 = 𝟑𝟖𝟒𝟎

    Resultados con el programa DERIVE:


    Aclaración: En el programa DERIVE que poseo, la fórmula:

    No aceptada

    Por lo tanto, propongo el siguiente método de comprobación usando DERIVE:

    Por lo tanto, 𝜑(8) · 𝜑(11) = 𝜑(8 · 11)

    Por lo tanto, 𝜑(15) · 𝜑(19) = 𝜑(15 · 19)


    Por lo tanto, 𝜑(36) · 𝜑(71) = 𝜑(36 · 71)

    Por lo tanto, 𝜑(43) · 𝜑(7158) = 𝜑(43 · 58)

    Por lo tanto, 𝜑(85) · 𝜑(93) = 𝜑(85 · 93)


    BIBLIOGRAFIA

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