4.

ANÁLISIS DE SECCIONES SUJETAS A

FLEXIÓN
4.1. La actividad de análisis.
4.2. Método general de análisis.
4.3. Método de par interior.
4.4. Método del balance de carga.
4.5. Etapas de carga.
4.6. Evolución geométrica de la sección y etapas del preesfuerzo.
4.7. Esfuerzos admisibles.
4.8. Centro de presión y líneas de presión.
4.9. Núcleo central de inercia y método gráfico de análisis.
4.10. Ejercicios de aplicación
 La actividad de análisis

Diseño

Elección de una sección

adecuada dentro de muchas
formas y dimensiones posibles.

Análisis

Determinación de esfuerzos en
el acero y el hormigón cuando
la forma y tamaño de una
sección ya se tienen o se
suponen.
Operación más sencilla que el Práctica real: primero se realiza el proceso de
diseño. diseño asumiendo una sección y se analiza la
sección supuesta.
 Esfuerzos en el hormigón debido al preesfuerzo

Efecto del preesfuerzo

Los esfuerzos en el hormigón debidos al

preesfuerzo SIEMPRE se calculan por la
TEORÍA ELÁSTICA. Esfuerzo de
compresión
Preesfuerzo: F producido
• Si F se aplica en el centroide de la en el
sección, y hormigón
• Si la sección está está suficientemenete
lejos de la aplicación de preesfuerzo Esfuerzo
à Aplica el principio de Saint Venant inducido en
(esfuerzo unitario en el hormigón es uniforme el acero
a lo largo de la sección). Representa la reducción inmediata
del preesfuerzo (pérdida por
acortamiento elástico) en el acero
como resultado de la transferencia

Práctica común
Principio de Saint Venant
 Esfuerzos en el hormigón debido al preesfuerzo

Efecto del preesfuerzo

Teóricamente, todas las pérdidas deberían

calcularse con la sección transformada.

En la práctica, se asume un porcentaje de

pérdida aproximado. Esfuerzo
fibrario debido
Para una sección en la que el preesfuerzo se al preesfuerzo
aplica con una excentricidad e, existen 2 excéntrico
componenetes:
• Fuerza concéntrica en el centroide F.
• Un momento Fe

Esfuerzo debido al momento

 Esfuerzos en el hormigón debido al preesfuerzo
Un elemento pretensado tiene una sección de 20.3 cm x 30.5 cm se preesfuerza
Ejemplo excéntricamente con un alambre de acero de 5.16 cm2 que está anclado en apoyos con un
esfuerzo unitario de 10547 kg/cm2. El c.g.s. está a 10.2 cm sobre las fibras inferiores. Calcular
los esfuerzos en el hormigón inmediatamente después de la transferencia. Suponga n = 6.
 Esfuerzos en el hormigón debido al preesfuerzo
Un elemento pretensado tiene una sección de 20.3 cm x 30.5 cm se preesfuerza
Ejemplo excéntricamente con un alambre de acero de 5.16 cm2 que está anclado en apoyos con un
esfuerzo unitario de 10547 kg/cm2. El c.g.s. está a 10.2 cm sobre las fibras inferiores. Calcular
los esfuerzos en el hormigón inmediatamente después de la transferencia. Suponga n = 6.

Esfuerzo en la fibra superior Solución aproximada: uso del valor aproximado del
preesfuerzo reducido y empleo del área gruesa del hormigón

Esfuerzo en la fibra inferior

 Esfuerzos en el hormigón debido a las cargas

Efecto de las cargas

Los esfuerzos en el hormigón producidos por

Esfuerzo
un momento flector externo, se calculan con
resultantes en el
la TEORÍA ELÁSTICA.
hormigón
debidos al
preesfuerzo y a la
carga externa
• Viga pretensada: acero adherido antes
de la aplicación de momento externo à
sección resistente es la COMBINADA. Se puede utilizar cualquiera de estas 3
formulaciones.
• Viga postensada: si el acero está
adherido al aplicarse el momento exterior La sección utilizada al calcular y e I debe
à sección resistente es la COMBINADA. corresponder a la sección real en la
aplicación de la fuerza.
• Viga postensada: acero no adherido al
aplicarse el momento exterior à sección
resistente es la SECCIÓN NETA DEL
HORMIGÓN.
 Esfuerzos en el hormigón debido a las cargas
Una viga de hormigón postensado L = 12.18 m con adherencia tiene un preesfuerzo de 158.9
Ejemplo ton en el acero inmediatamente después del preesfuerzo, el cual se reduce finalmente a
136.2 ton. El peso propio es de 450 kg/m. Calcular los esfuerzos fibrarios extremos en el centro
de la viga: a) bajo la condición inicial con el preesfuerzo completo y sin carga viva. b) bajo
la condición final después de que han tenido lugar las pérdidas y con la carga viva
completa.
 Esfuerzos en el hormigón debido a las cargas
Una viga de hormigón postensado L = 12.18 m con adherencia tiene un preesfuerzo de 158.9
Ejemplo ton en el acero inmediatamente después del preesfuerzo, el cual se reduce finalmente a
136.2 ton. El peso propio es de 450 kg/m. Calcular los esfuerzos fibrarios extremos en el centro
de la viga: a) bajo la condición inicial con el preesfuerzo completo y sin carga viva. b) bajo
la condición final después de que han tenido lugar las pérdidas y con la carga viva
completa. Inercia de la sección gruesa

Condición INICIAL a Condición FINAL b

 Esfuerzos en el hormigón debido a las cargas

Efecto de las cargas Esfuerzo en el hormigón debidos al

preesfuerzo
Hasta el momento se ha revisado el método
general de análisis.

Otro método por el cual se puede resolver

los esfuerzos en el hormigón preesforzado es
e es la excentricidad de C, no de F
el método del par interior.

El centro de presión C en el hormigón se

coloca a una distancia a del centro de
preesfuerzo T en el acero:

C=T
El cálculo de a es un problema de estática.
Cuando se localiza el centro de presión C,
se puede determinar la distribución de los • A e I deben ser calculadas con la sección NETA del hormigón.
• Sección gruesa del hormigón cuando los ductos ya han sido
esfuerzos con la teoría elástica. inyectados.
 Esfuerzos en el hormigón debido a las cargas
Una viga de hormigón postensado con adherencia tiene un preesfuerzo de 158.9 ton en el
Ejemplo acero inmediatamente después del preesfuerzo. El peso propio es de 450 kg/m. Calcular los
esfuerzos fibrarios extremos en el centro de la viga: a) bajo la condición inicial con el
preesfuerzo completo y sin carga viva. b) bajo la condición final después de que han tenido
lugar las pérdidas y con la carga viva completa.
 Esfuerzos en el hormigón debido a las cargas
Una viga de hormigón postensado con adherencia tiene un preesfuerzo de 158.9 ton en el
Ejemplo acero inmediatamente después del preesfuerzo. El peso propio es de 450 kg/m. Calcular los
esfuerzos fibrarios extremos en el centro de la viga: a) bajo la condición inicial con el
preesfuerzo completo y sin carga viva. b) bajo la condición final después de que han tenido
lugar las pérdidas y con la carga viva completa.
Inercia de la sección gruesa

e=
 Esfuerzos en el acero debido a las cargas
Variación del esfuerzo en el acero
Efecto de las cargas en el acero cuando aumenta la carga

Viga de hormigón armado à los esfuerzos en el

acero son directamente proporcionales al
momento flexionante externo.
Después de las
Viga de hormigón presforzado à la resistencia al pérdidas de anclaje y
acortamiento elástico
momento externo es proporcionada por el
alargamiento del brazo de palanca entre C y T.

Aumento en la
carga viva Después de todas las
demás pérdidas

Con adherencia à

Aumento en la
carga viva
Sin adherencia à
Etapas de carga
 Esfuerzos en el acero debido a las cargas

Viga sin adherencia

• Deformación unitaria en el hormigón

• Deformación total a lo largo del cable

• Deformación promedio

Cambio de la longitud del cable en una viga sin adherencia

• Esfuerzo promedio
 Esfuerzos en el acero debido a las cargas
Una viga de hormigón postensado L = 12.2 m soporta una carga de 1125 kg/m, con un peso propio
Ejemplo de 450 kg/cm. El preesfuerzo inicial en el acero es de 9703 kg/cm2, que después de deducir todas las
pérdidas y de suponer que no existe flexión en la viga, se reduce a 8437 kg/cm2. El cable parabólico
tiene un área de 16.1 cm2, n = 6.
Calcular el esfuerzo en el acero en el centro de la viga, suponiendo:
a) el acero está adherido.
b) El acero no tiene adherencia.
 Propiedades de la sección

Cálculo de las propiedades de la

sección

Construcción postensada:
• Los ductos pueden ser de tamaño
considerable à antes de aplicar el mortero, los
esfuerzos deben calcularse usando la sección
neta.
• Después de la aplicación del mortero à los
esfuerzos deben calcularse con la sección
transformada.
• Caso práctico: Después de la aplicación del
mortero, los esfuerzos pueden ser calculados
con la sección bruta.

Construcción pretensada:
• Teóricamente se debe usar la sección
transformada en el cálculo de esfuerzos, sin
embargo, las diferencias entre las propiedades
de la s.tr. y la s. total son tan pequeñas que se
puede usar la s. total en los cálculos.
 Propiedades de la sección

Núcleo central de la sección

transversal

Cuando la fuerza pretensora, actuando sola, no

produce tensiones en la sección transversal, actúa
dentro del núcleo de la sección transversal.

Casos límites: distribución triangular de esfuerzos por

la aplicación de la fuerza pretensora (cero en la fibra
inferior o superior).

Para hallar la dimensión inferior del núcleo central, el

esfuerzo en el hormigón en la fibra superior deberá
ser cero.
De igual manera para la dimensión superior, el
esfuerzo en la fibra inferior debe ser cero.

A menudo, los límites del núcleo sirven como

referencia para el diseño de vigas.
 Esfuerzos permisibles de flexión

Limitaciones en los esfuerzos

Esfuerzos permisibles en el hormigón

Esfuerzos inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo (antes de las

pérdidas), no deben exceder los siguientes valores:
a. Esfuerzo de compresión en fibras extremas 0.60 f’ci

b. Esfuerzo de tensión en fibras extremas 0.80 √ f’ci

c. Esfuerzo de tensión en los extremos de elementos simplemente apoyados. 1.60 √ f’ci

Esfuerzos bajo cargas de servicio (después de considerar todas las pérdidas), no deben
exceder los siguientes valores:
a. Esfuerzo de compresión en fibras extremas 0.45 f’c

b. Esfuerzo de tensión en fibras extremas 1.60 √ f’c

c. Esfuerzos de tensión en elementos en los que el análisis basado en la sección 3.20 √ f’c
transformada agrietada y en las relaciones bilineares de momento-deflexión
demuestre que las deflexiones diferidas e instantáneas satisfacen los
requerimientos del código ACI.

f’ci en kg/cm2 es la resistencia a la compresión del hormigón a la edad de la transferencia (presfuerzo inicial).
f’c en kg/cm2 es la resistencia especificada a la compresión para el hormigón.
 Esfuerzos permisibles de flexión

Limitaciones en los esfuerzos

Esfuerzos permisibles en el acero
El esfuerzo de tensión en los tendones de presfuerzo no debe exceder los siguientes
valores:
1. Debidos a la fuerza de tensión del gato 0.80 fpu
ó
• el que sea menor, pero no mayor que el máximo valor recomendado por el 0.94 fpy
fabricnante de los tendones de presfuerzo o de los anclajes.
2. Tendones pretensados 0.82 fpy
Inmediatamente después de la ransferencia del presfuerzo. 0.74 fpu
3. Tendones postensados 0.70 fpu
Inmediatamente después del anclaje del tendón.

fpu en kg/cm2 es la resistencia última del acero.

fpy en kg/cm2 es la resistencia especificada de fluencia del acero.

Las limitaciones tratan de evitar daños al elemento durante la construcción, y asegurar buenas condiciones de servicio
mediante la limitación indirecta del ancho de las grietas y la deflexión.

El diseño resultante debe comprobarse por resistencia, asegurando un adecuado factor de seguridad contra la falla.
 Carga de agrietamiento

Importancia del agrietamiento

1. La deflexión es afectada por la reducción en
la rigidez a la flexión que acompaña al
agrietamiento.

2. Después de que se agrieta la viga, el acero

del presfuerzo es más vulnerable a la
corrosión.

3. El agrietamiento reduce la resistencia por

fatiga de las vigas debido a los mayores
niveles de esfuerzo experimentado por el
acero de presfuerzo cerca de las grietas.

4. Las grietas pueden afectar a la estética de la

construcción.

5. En el caso de construcciones que contiene

líquidos, después del agrietamiento pueden
ocurrir fugas.
 Carga de agrietamiento

Importancia del agrietamiento

1. La deflexión es afectada por la reducción en la

rigidez a la flexión que acompaña al
agrietamiento.

2. Después de que se agrieta la viga, el acero del

presfuerzo es más vulnerable a la corrosión.

3. El agrietamiento reduce la resistencia por fatiga

de las vigas debido a los mayores niveles de
esfuerzo experimentado por el acero de
presfuerzo cerca de las grietas.

4. Las grietas pueden afectar a la estética de la

construcción.

5. En el caso de construcciones que contiene

líquidos, después del agrietamiento pueden
ocurrir fugas.
 Carga de agrietamiento
Viga de hormigón postensado L = 12.2 m. El preesfuerzo inicial en el acero es de 9703 kg/cm2, que
Ejemplo después de deducir todas las pérdidas y de suponer que no existe flexión en la viga, se reduce a
8437 kg/cm2. El cable parabólico tiene un área de 16.1 cm2, n = 6.
Calcular la carga uniforme muerta y viva que puede soportar la viga.
1. para un esfuerzo de tensión nulo en las fibras inferiores
2. para el agrietamiento en las fibras inferiores con un módulo de ruptura de 42.2 kg/cm2, y
suponiendo que el hormigón soporta la tensión hasta este valor.
 Momento de ruptura

Metodología para determinar la

resistencia a la ruptura por flexión

MÉTODO BASADO EN EL PAR RESISTENTE

1. La falla se produce por flexión, sin falla por esfuerzo

cortante, adherencia, o anclaje que pudiera
disminuir la resistencia de la sección.

2. Las vigas tienen adherencia.

3. Las vigas son estáticamente determinadas.

4. La carga considerada es la carga de ruptura

obtenida como el resultado de un corto ensayo
estático. No se considera el impacto, la fatiga o las
cargas prolongadas.
 Momento de ruptura

Metodología para determinar la

resistencia a la ruptura por flexión

Viga presforzada subreforzada

Viga presforzada sobrereforzada

 Momento de ruptura

Metodología para determinar la

resistencia a la ruptura por flexión

VIGAS ADHERIDAS SUBREFORZADAS

 Momento de ruptura

Ejemplo Una sección rectangular se presfuerza mediante alambres de acero de 9.7 cm2 con un
esfuerzo inicial de 10547 kg/cm2. El centro de gravedad de los alambres está a 10.1 cm
sobre la fibra inferior de la viga, fs’ = 16874 kg/cm2, fc’ = 351.5 kg/cm2. Estimar el
momento resistente a la ruptura de la sección.
 Momento de ruptura

Metodología para determinar la

resistencia a la ruptura por flexión

VIGAS ADHERIDAS SOBREREFORZADAS

 Momento de ruptura

Ejemplo Una sección rectangular de 30.5x61cm se presfuerza mediante 1 alambre de acero de 6.3
mm (9.7 cm2) con un esfuerzo efectivo de 8859 kg/cm2. El centro de gravedad del alambre
está a 10.1 cm sobre la fibra inferior de la viga, fs’ = 16874 kg/cm2, Es = 2109300 kg/cm2.
Calcular el momento resistente a la ruptura.
 Momento de ruptura

Metodología para determinar la

resistencia a la ruptura por flexión

VIGAS ADHERIDAS PRESFORZADAS

 Comportamiento a la flexión y resistencia a la ruptura en la
transferencia

Ruptura en la transferencia
Flexión

• “En la transferencia” à momento externo positivo

muy pequeño o nulo.
Esfuerzos combinados por presfuerzo y carga:
• “En la transferencia” à momento externo negativo
que incrementa la excentricidad del preesfuerzo.

• IMPORTANCIA: La viga está sujeta a la inversión de

momentos durante el tensado y operaciones de
elevación.
Para momento externo negativo, colocar
• Cuando hay peligro de agrietamiento apreciable à el signo apropiado en el tercer término
proporcionar varillas para controlar las grietas o
incrementar la resistencia.
 Comportamiento a la flexión y resistencia a la ruptura en la
transferencia

Ejemplo Una viga postensada L = 12.2 m, con adherencia con un presfuerzo F = 158.9 T, se ha
elevado incorrectamente en el punto central de su claro. Calcular los esfuerzos fibrarios
críticos.
 Comportamiento a la flexión y resistencia a la ruptura en la
transferencia

Ejemplo Una viga postensada L = 12.2 m, con adherencia con un presfuerzo F = 158.9 T, se ha
elevado incorrectamente en el punto central de su claro. Calcular los esfuerzos fibrarios
críticos.