Anualidades

DEFINICIÓN DE ANUALIDAD:
Es un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos

iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por
estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se
refieran a periodos anuales de pago.
Algunos ejemplos de anualidades son :
1. Pagos mensuales por renta

2. Cobro quincenal o semanal por sueldo
3. Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito
4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Intervalo o periodo de pago.

-Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que
transcurre entre un pago y otro.
Plazo de una anualidad.
- Es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y
el final o ultimo.
Renta.
- Es el nombre que se da al pago periódico que se hace.
También hay ocasiones en que se habla de anualidades que
no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos a
intervalos iguales. Estos casos se manejan de forma especial
Clasificación de las anualidades :

1,-Anualidad cierta.-
Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo
:
a) Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en
que se debe hacer el primer pago, como la fecha para
efectuar el ultimo.
2.-Anualidad contingente.-
La fecha del primer pago, la fecha del ultimo pago, o ambas,

no se fijan de antemano; dependen de algún hecho que se
sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuando. Un caso común de
este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan
a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se
da al morir el cónyuge y se sabe que este morirá, pero no se
sabe cuando.
3.-Anualidad simple.-
Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización

de los intereses.
4.-Anualidad vencida.-
También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su

primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los
pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada
periodo.
5.-Anualidad inmediata.-
Es el caso mas común. La realización de los cobros o pagos

tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la
formalización del trato : se compra a crédito hoy un articulo
que se va a pagar con mensualidades, la primera de las
cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después
de adquirida la mercancía (anticipada o vencida).
Formulas para calcular el monto y valor actual de
anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas :
Monto Valor Actual

M= R[ (1+i)n - 1]
------------ C = R[ 1- (1+i)-n]
i -----------
i
Donde:
R= renta o pago por periodo
M= monto o valor en el momento de su vencimiento,
es el valor de todos los pagos al final de las
operaciones.
n = numero de anualidades o pagos.
C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total
de los pagos en el momento presente.
Ejercicios
Los primeros 3 ejercicios corresponden al calculo del monto de anualidades
Ejercicio 1.-
Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $

100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que
rinde 36% anual convertible mensualmente.
En un diagrama de tiempo y valor lo anterior nos quedaría de la siguiente manera

:
Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos :
36/100/12 = .03 i = .03 n = 6
Como lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de

tiempo (en este caso 6 meses y en lo que existe una cantidad
constante “anualidad “ a abonarse a la operación) por lo tanto
estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la formula
que utilizaremos es :
M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 000 [ ( 1 + .03 )6 - 1 ]

------------ ----------------
i .03
Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646 840.98
Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la formula

de interés compuesto donde tenemos : M = C (1 + i )n
Observando el diagrama de tiempo y valor de la parte superior
podemos deducir que los primeros 100, 000 pesos ganan interés por
meses, los siguientes por 4,3,2,1 y los últimos no ganan interés sino
que solo se suman al monto por lo cual podemos decir :
M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115 927

M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112 551
M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109 273
M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106 090
M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103 000
-----------
546 841
+ 100 000 los últimos 100 000 que no ganan
interés tenemos 646 841 (esto esta redondeado por los
cual es diferente al valor obtenido arriba en 2 centavos).
Una manera mas de realizar lo anterior seria mediante la formula

del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada
semestre mas el deposito (100 000) que se hacen al final de cada
semestre :
Tiempo Cantidad Monto

Final 1er mes 100 000 100 000
Final 2do mes 100 000(1+ .03)1+100 000 203 000
Final 3er mes 203 000(1 + .03)1 + 100 000 309090
Final 4to mes 309090(1 + .03)1 + 100 000 418 362.7
Final 5to mes 418 362.7(1 + .03)1 + 100 000 530 913.58
Final 6to mes 530 913.58 (1 + .03)1 + 100 000 646 840.98
Ejercicio 2.-
Cual es el monto de $ 2 000 semestrales depositados durante
cuatro años y medio en una cuenta bancaria que rinde 28%
capitalizable semestralmente.
R = 2 000 n = 4.5/2 = 9 i = 28/100/2 = .14 y utilizando la

formula para calcular el monto en operaciones que implican
anualidades tenemos :
M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 2 000 [ ( 1 + 0.14)9 - 1 ]
------------ ----------------
i 0.14
De donde tenemos M = 2000 (16.085348 ) = 32 170.69
Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la

formula de interés compuesto donde tenemos : M = C (1 + i
)n
Formula Monto
5 705.17 n es igual a 8 porque los
depósitos se hacen al final de cada
M = 2000 (1+.14)8 semestre o sea que hasta que transcurre
el primer semestre se realiza el primer
deposito.
M = 2000 (1+.14)7 5 004.53
M = 2000 (1+.14)6 4 389.94
M = 2000 (1+.14)5 3 850.82
M = 2000 (1+.14)4 3 377.92
M = 2000 (1+.14)3 2 963 .08
M = 2000 (1+.14)2 2 599.2
M = 2000 (1+.14)1 2 280.00
Total 30 170 .69
mas los 2000 del ultimo semestre que no 32 170.69 cantidad igual a la obtenida
ganan interés con la formula del monto en anualidades
Una manera mas de realizar lo anterior seria mediante la formula del interés
compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre mas el deposito (2
000) que se hacen al final de cada semestre :
Tiempo Cantidad Monto

Final 1er semestre 2 000 2 000
Final 2do semetsre 2 000(1+ 0.14)1+ 2000 4 280
Final 3er semestre 2 000(1+ 0.14)1+ 2000 6 879.2
Final 4to semestre 2 000(1+ 0.14)1+ 2000 9 842.28
Final 5to semestre 2 000(1+ 0.14)1+ 2000 13 220 .20
Ejercicio 3.-
El doctor González deposita $ 100. Al mes de haber nacido su hijo.

Continua haciendo depósitos mensuales por esa cantidad hasta que
el hijo cumple 18 años de edad para, en ese día, entregarle lo
acumulado como un apoyo para sus estudios. Si durante los
primeros seis años de vida del hijo la cuanta pago 36% anual
convertible mensualmente, y durante los doce años restantes pago
2% mensual. ¿ Cuanto recibió el hijo a los 18 años ?
Para resolverlo podemos dividirlo en tres partes dado que tenemos que durante
los primeros seis años se pago una tasa del 36% anual y una vez determinado el
monto correspondiente a este tiempo podemos calcular los intereses ganados por
este monto durante los siguientes 12 años, después calculamos el monto
correspondiente a 12 años con una tasa del 2% mensual.
Solución :
R = 100
n = 6(12) =72
i = 36/100/12 = 0.03
M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 [ ( 1 + .03 )72 - 1 ]

------------ ----------------
i .03
M = 100 ( 246.6672422) = 24 666.72 que es el monto correspondiente a 100 pesos

depositados mensualmente a una tasa del 36% anual convertible mensualmente
durante 6 años. A continuación calculamos los intereses ganados por este capital
durante 12 años a una tasa del 2% mensual y tenemos :
M = C (1 + i )n M = 24 666.72(1 + .02)72 = 427 106.52
Por ultimo calculamos el monto acumulado de una anualidad de 100 pesos a una
tasa del 2% mensual durante 12 años (12 * 12 = 144 = n) y tenemos :
M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 [ ( 1 + .02)144 - 1 ]
------------ ----------------
i .02
M = 100 (815.754444) = 81 575.44 .
Sumando lo acumulado por la primera parte tenemos 427 106.52 + 81 575.44 =

508 681.96 que seria la cantidad que recibiría el hijo al cumplir los 18 años.
Ejercicio 4.-
Cual es el valor actual de una renta de $450 pesos depositados al
final de cada uno de 7 trimestres si la tasa de interés es del 9%
trimestral.
Debemos de entender como valor actual la cantidad de dinero que a

una tasa del 9% trimestral nos permitiera obtener $ 450 pesos cada
trimestre. O sea que si sumamos los 450 de cada trimestre obtenemos
3150 y lo que estamos buscando es una cantidad menor que mas los
intereses nos permita obtener estos 450 por trimestre.
Si observamos la grafica lo que estamos buscando es la cantidad que
en el tiempo cero a una tasa del 9% trimestral nos permita obtener
450 por trimestre.
Visto lo anterior utilizamos la formula del valor actual de una

anualidad y tenemos :
C=?
R = 450
i = 0.09
n=7
C = R[ 1- (1+i)-n ] C = 450 [1 - ( 1 + .09)-7 ]
----------- --------------
i 0.09
Lo cual nos da 450 (5.03295284) = 2 264.82 que es el valor que

estamos buscando o sea la respuesta a este ejercicio.
Comprobación :
Utilizando la formula del interés compuesto para calcular un capital o
valor actual tenemos : C = M
------
(1 + i )n y sustituyendo para cada trimestre
tenemos :
Formula Capital
C = 450
----- 412.84
(1 + .09)1
C = 450
378.76
-----
(1 + .09)2
C = 450
----- 347.48
(1 + .09)3
C = 450
----- 318.79
(1 + .09)4
C = 450
----- 292.47
(1 + .09)5
C = 450
----- 268.32
(1 + .09)6
C = 450
----- 246.16
(1 + .09)7
2 264.82 que es la misma cantidad
Total obtenida por medio de la formula
de anualidades
Ejercicio 5.-
Que es mas conveniente para para comprar un automóvil :

a) Pagar $ 26,000 de contado o
b) $13,000 de enganche y $ 1300 al final de cada uno de los 12
meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 42%
convertible mensualmente.
Para resolver este problema debemos ver el valor actual del enganche
y los 12 abonos mensuales a esa tasa de interés y compararlos contra
el pago de contado.
R = 1300
n = 12
i = 42/100/12 = 0.035
Utilizando la formula del valor actual en anualidades tenemos :
C = R[ 1- (1+i)-n ] 1300[ 1 - (1+0.035)-12]

----------- ------------------
i 0.035
C = 1300 (9.663334) lo cual nos da 12 562.34, si a esto sumamos el

enganche 13,000 tenemos 25,562.34 que es menor que el pago de
contado y por lo tanto es mas conveniente esta opción.
Ejercicio 6.-
Encuéntrese el importe pagado, en valor actual por un aparato

electrónico por el cual se entrego un enganche de $ 1 400 pesos,
se hicieron 7 pagos mensuales vencidos por $ 160 y un ultimo pago
al final del octavo mes por $ 230, si se considera un interés del 27%
anual con capitalización mensual.
Para resolver este problema nos damos cuenta que el enganche es valor actual así
que necesitamos conocer el valor actual de cada uno de los siete pagos (iguales
160, ) y el octavo que es mayor para lo cual haremos uso de la formula que nos
permite calcular el valor actual de anualidades y la formula que nos permite
conocer el valor actual de un monto (230) a una tasa de interés ( 27% anual
convertible mensualmente) en un lapso de tiempo (8).
Solución es igual a :
a) El enganche
b) El valor actual de la anualidad con renta de 160
c) El valor actual del pago final
b) Usando la formula para el calculo de anualidades
tenemos
i = 27/100/12 = 0.0225
n = 12
C = R[ 1- (1+i)-n ] 160[ 1 - (1+0.0225)-7]
----------- ------------------
i 0.0225
C = 160 ( 6.410246) = 1025.64
c ) Usando la formula para calculo de capital o valor
actual del interés compuesto tenemos :
C=M 230 230

------ -------- --------
(1 + i )n (1 + 0.0225)8 1.19483114
C = 192.50
Sumando los tres importes tenemos 1400 + 1025.64
+192.50 = $ 2 618.14
que corresponde al valor actual pagado por el aparato
electrónico.
PROF: Fredy Olmos G

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Es un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos

Algunos ejemplos de anualidades son :

1. Pagos mensuales por renta

Intervalo o periodo de pago.

Clasificación de las anualidades :

La fecha del primer pago, la fecha del ultimo pago, o ambas,

Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización

También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su

Es el caso mas común. La realización de los cobros o pagos

Monto Valor Actual

Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $

En un diagrama de tiempo y valor lo anterior nos quedaría de la siguiente manera

Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos :

36/100/12 = .03 i = .03 n = 6

Como lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de

M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 000 [ ( 1 + .03 )6 - 1 ]

Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646 840.98

Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la formula

M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115 927

Una manera mas de realizar lo anterior seria mediante la formula

Tiempo Cantidad Monto

R = 2 000 n = 4.5/2 = 9 i = 28/100/2 = .14 y utilizando la

De donde tenemos M = 2000 (16.085348 ) = 32 170.69

Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la

Tiempo Cantidad Monto

El doctor González deposita $ 100. Al mes de haber nacido su hijo.

M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 [ ( 1 + .03 )72 - 1 ]

M = 100 ( 246.6672422) = 24 666.72 que es el monto correspondiente a 100 pesos

M = C (1 + i )n M = 24 666.72(1 + .02)72 = 427 106.52

M = 100 (815.754444) = 81 575.44 .

Sumando lo acumulado por la primera parte tenemos 427 106.52 + 81 575.44 =

Debemos de entender como valor actual la cantidad de dinero que a

Visto lo anterior utilizamos la formula del valor actual de una

C = R[ 1- (1+i)-n ] C = 450 [1 - ( 1 + .09)-7 ]

Lo cual nos da 450 (5.03295284) = 2 264.82 que es el valor que

Que es mas conveniente para para comprar un automóvil :

C = R[ 1- (1+i)-n ] 1300[ 1 - (1+0.035)-12]

C = 1300 (9.663334) lo cual nos da 12 562.34, si a esto sumamos el

Encuéntrese el importe pagado, en valor actual por un aparato

C=M 230 230

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