Tema 1: Análisis de funciones

Introducción

El precio de venta de un producto está relacionado con la cantidad demandada de este bien. A esta ecuación se la conoce
como “ecuación de demanda”, su análisis permite estudiar las características y el comportamiento del precio de acuerdo
con la cantidad de productos, identificar si el precio disminuye o aumenta en relación con la cantidad del producto que el
consumidor requiere. Todo esto se puede conocer a través del análisis de funciones.

1.1. Dominio

Es el conjunto de valores en los cuales la función está definida.

Para la función   , el dominio de la función estará compuesto de todos los elementos (x) para los
cuales no se produzca una indeterminación, así la función estará definida para todos aquellos que cumplan la
condición   (no se pueden obtener las raíces pares de valores negativos).

Resolviendo la inecuación, se obtiene  . Por lo tanto, el dominio de la función es:  

“Para calcular el dominio de una función se buscan los valores de la variable independiente en los cuales la
función no esté definida”.

Ejemplo

Determine el dominio de la función  .

En este caso, el dominio se obtiene buscando aquellos valores en los que el denominador es igual a cero y se
los quita de ℝ.

El dominio de la función es  .

1.2. Recorrido

Es el conjunto de valores de la función. Si se puede obtener la función inversa, el dominio de esta función es el
recorrido.

Ejemplo

Determine el recorrido de la función

El recorrido de la función es

Ejemplo

1
Determine el dominio y el recorrido de la función  .

El dominio son todos los valores en los que.

Dominio = 
La función solo puede tomar valores positivos; por lo tanto, su recorrido es: 

Recorrido =  

1.3. Ceros

Son los puntos de corte con el eje horizontal. Para calcular sus valores, la función se iguala a cero   .

Ejemplo

1.4. Signo

El signo está determinado por el conjunto de valores de x para los cuales la imagen es mayor a cero

  entonces es de signo positivo y si es menor a cero entonces es de signo negativo

En la figura 1, se representa la función   . Se observa que una parte de la gráfica se

encuentra sobre el eje x, las imágenes son positivas.

2
Los ceros de esta función fueron determinados en el ejemplo anterior. Así, la función tiene signo positivo

en: 

Las imágenes negativas indican el signo negativo de la función, así:

En el intervalo   el signo de   es negativo.

El proceso para determinar los intervalos de signo es el siguiente:

 Calcular los ceros de la función.

 Determinar las asíntotas verticales.
 Se definen los intervalos y con un valor perteneciente a cada uno de ellos se verifica el signo de la
función.

Ejemplo 

Estudiar los intervalos de signo constante de la función  .

En funciones racionales, los ceros de la función se determinan a partir del numerador:

Las asíntotas verticales se obtienen del denominador:

Los intervalos son:  .

El signo se determina reemplazando un valor de cada intervalo en la función:

1.5. Monotonía
La monotonía de una función consiste en determinar intervalos en los cuales la función presenta una
tendencia a crecer y también a decrecer. Los puntos en los cuales cambia esta tendencia son los puntos
máximos o mínimos. Si la función cambia de creciente a decreciente, el punto es un máximo y si cambia de
decreciente a creciente el punto es un mínimo.

1.5.1. Crecimiento y decrecimiento

3
Una función es creciente en un intervalo cerrado   si se tienen dos puntos   

 siendo   y se cumple que para   . La figura 2 muestra una función

en la cual se verifica lo indicado.

Una función es decreciente en un intervalo cerrado   si se tienen dos

puntos    siendo    y se cumple que

para   . La figura 3 muestra una función decreciente.

1.5.2. Máximos y mínimos

4
Una función tiene un máximo en x, cuando en ese punto la función cambia de creciente a decreciente y tiene
un mínimo cuando la función cambia de decreciente a creciente. En la figura 4 se muestra una función que
tiene máximos y mínimos.

En la figura 4 el punto de coordenadas (c,f(c)) es un máximo, mientras el punto de coordenadas (d,f(d)) es un

mínimo.

1.6. Curvatura

Una función se dice que tiene concavidad cuando al unir dos puntos de la función con una recta queda debajo
o encima de la gráfica. Si la recta queda debajo de la gráfica, se dice que es  cóncava hacia abajo y si queda
encima se dice que es cóncava hacia arriba (convexa).

1.6.1. Cóncava hacia abajo

Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo   cumple que:

En la figura 5, se observa una función que es cóncava hacia abajo.

1.6.2. Cóncava hacia arriba

Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo  cumple que:

 En la figura 6, se observa una función que es cóncava hacia arriba.

5
1.6.3. Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es aquel en el que la concavidad cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o
viceversa; es decir, se produce un cambio en la curvatura de la función. En la figura 4, se observa un cambio en
la curvatura de la función; por lo tanto, hay un punto de inflexión entre los puntos c y d.

1.7. Introducción al cálculo diferencial

Para determinar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, puntos máximos y mínimos, intervalos y tipo de
curvatura, se utilizará el cálculo diferencial cuyo estudio (en este curso) se iniciará en el tema 3 y básicamente
comenzó su desarrollo a partir del interés de calcular la ecuación de la recta tangente a una función en un
punto que pertenece a la función. Ese desarrollo permitió de una manera más sencilla determinar todo lo que
se trató en esta unidad y para establecer la concavidad, por ejemplo, no será necesario utilizar las fórmulas de
las secciones 1.6.1 y 1.6.2.

Tema 2: Límites y continuidad de funciones

2.1. Límites

Al estudiar el comportamiento de las funciones, se definieron conceptos como dominio, recorrido. Hay valores
que no pertenecen al dominio de una función, por ello no es posible conocer el valor de esa función.

En la función  esta no está definida en x = 1. La pregunta es: ¿se puede determinar el valor
de la función para x = 1? Cuando se toman valores aproximándose a 1, se puede decir que f(x) se aproxima
también a un valor.

En la tabla siguiente, se puede observar este proceso.

La tabla presenta los resultados de calcular los valores de f(x) para valores de x que se acercan a 1, primero por
la izquierda y luego por la derecha. Al leer los resultados, se visualiza que mientras x se acerca a 1 (pero no es
igual a 1) los valores de f(x) también se acercan a un valor, en este caso se acercan a 2. Se dice, entonces, que
en el límite (x se aproxima a 1) la imagen de f(x) = 2. 

“Se observa que para que exista este límite los valores obtenidos deben ser cercanos por las aproximaciones
en ambos sentidos”, (la existencia del límite se estudiará posteriormente).

2.1.1. Definición

6
El límite de una función cuando x se aproxima a c, se dice que es igual a L, y se escribe:

Se lee “límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”. 

Si este número no existe, se dice que no existe el límite de f(x) para cuando x se aproxima a c. 

“Es notorio que cuando se calcula el límite, no estamos interesados en lo que pasa con f(x) cuando x es igual a
c, sino solamente lo que le sucede cuando x se aproxima a c”. 

En la figura 1, se visualizan varias funciones f(x) en las cuales se presentan diferentes situaciones.

En la número (1) se observa que la función no está definida en c y el límite de cuando x se aproxima a c está

representado en el eje vertical con el valor de L

En la número (2), la función si está definida. En este caso el

En la número (3), se tiene una función en la cual f(c) sí está definido, pero el límite (como se observa) no es
igual a la imagen f(c).

2.1.2. Propiedades de los límites

Con la finalidad de evitar realizar un gráfico y visualizar la función para determinar un límite (figura 1) o realizar
una tabla con valores cercanos a los cuales queremos determinar ese límite, se pueden utilizar ciertas
propiedades que ayudan a calcular el valor de ese límite.

A continuación se resumen algunas de ellas.

1. Si f(x) = k, siendo k una constante, entonces 

Ejemplo 

2.  para cualquier entero positivo n.

7
Ejemplo

Para las siguientes propiedades, consideremos dos funciones cuyos límites existen 

3.
Ejemplo

4. 
Ejemplo

5. Si p(x) es una función polinomial, entonces 

Ejemplo

6. 
Ejemplo

7. si n es par el límite debe ser positivo.

Ejemplo

Hay límites que no pueden ser calculados a partir de la propiedad 6, pero se puede utilizar el resultado que nos

indica que si f(x) = g(x), entonces  , es decir, se busca una función equivalente g(x) a
partir de f(x) que al ser representada en el sistema cartesiano, la gráfica es la misma.

Ejemplo
8
 (es el mismo ejemplo planteado en la introducción).

Solución

Al evaluar el límite utilizando las propiedades, se obtiene 

Para resolver este límite, buscamos una función equivalente, para ello (en este caso) se factora el numerador y

se simplifica. Como se indicó,  Por

lo tanto, sus límites son iguales.

Evaluando este último límite, se obtiene lo que se pide.

Este resultado concuerda con lo obtenido en la tabla.

2.1.3. Límites laterales

Al desarrollar el ejemplo al comienzo de este tema, se mencionó que al calcular la tabla se realizaron
aproximaciones a 1, para valores menores a 1 se dice que se aproxima por la izquierda y para valores mayores
a 1 se dice que se aproxima por la derecha. Adicionalmente, si los dos límites son iguales se dice que el límite
existe.

En la figura 2, hay ejemplos que permiten entender los límites laterales.

En el caso de la figura 2 (1), se observa que para la función al aproximarse por la derecha el valor se acerca a

-1. La escritura para este tipo de límite es:

Si se aproxima por la izquierda, el valor del límite es 1 y se escribe 

En este caso, al ser los límites diferentes, el límite cuando x tiende a 0 no existe.

9
Para la función de la figura 2 (2), ambos límites (tanto por la izquierda como por la derecha) se aproximan a -1.
Por lo tanto, 

Así el límite de f(x) existe y  

2.1.4. Límites infinitos

Existen límites que al ser evaluados, en el numerador se obtiene un número diferente de cero y en el
denominador el valor se acerca a 0 (cero).

Un ejemplo de este límite es  . No se puede determinar una función equivalente para su
desarrollo.

En la figura 3 se representa la función  .

Se observa que cuando los valores de x se aproximan a 1 por la izquierda, la imagen de f(x) crece en valores
negativos. Y si toma valores cuya aproximación es también a 1, pero por la derecha, la imagen de f(x) crece en
valores positivos. Estos valores van creciendo indefinidamente; cuando sucede esto se dice que los límites
tienden al infinito.

En el caso del ejemplo:  

Nota

En el caso del ejemplo,   no existe por lo estudiado en los límites laterales.

Ejemplo

Determinar el límite de   cuando x tiende a 3.

Solución
10
Se observa que si x se aproxima a 3 por la izquierda, el límite es  .

Si x se aproxima a 3 por la derecha, el límite es  .

2.1.5. Límites al infinito

En la figura 3 (que está en el subtítulo anterior), se puede observar que para la función    
al crecer los valores de x a números muy grandes  , la curva se aproxima a cero; cuando x toma
valores muy pequeños  , también la curva se aproxima a cero. 

Al determinar los límites cuando x se aproxima a valores muy grandes o muy pequeños, son los
límites que se llaman al infinito. 

La nomenclatura es la siguiente:   para valores positivos y   para valores

negativos.    

Ejemplo

Calcular el límite 

Solución

Al analizar el límite, cuando x crece indefinidamente, también   crece y al dividir 2 para

un valor muy grande, el resultado es un número que se aproxima a cero. 

Así,

De este ejemplo se concluye en general que:

y de igual manera

Ejemplo

Calcular el límite de cuando x tiende a más infinito.

Solución 

11
Para aplicar las propiedades indicadas, se divide cada polinomio de la fracción para el término con la
potencia más alta. Comparando los dos polinomios, se tiene que el término más grande corresponde
a la potencia 3.

Por las propiedades de límites: 

Por lo tanto: 
Ejemplo

Calcular el 

Solución

Para resolver problemas que tiendan al infinito de una fracción que involucre a polinomios, solamente es
necesario utilizar los términos de mayor grado. 

Así, Resuelva este ejemplo como en el ejemplo

1.5.2 y el resultado será el mismo. 

Ejemplo

Solución 

Si se evalúa directamente este límite, se tiene 

Para solventar este problema, se racionaliza.

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Se divide tanto numerador como denominador para x elevado a la potencia más alta.

Evaluando el límite: 

2.1.6. Límites de funciones definidas por intervalos

La función   es una función por partes. Se desea conocer el límite de

f(x) para cuando x tiende a 1. 

En la figura 4 se representa esta función.

Para determinar el límite, se requiere calcular primero los límites laterales y si son iguales, entonces
el límite existe, caso contrario, no existe. 

- Para valores que se acercan a 1 por la derecha.

13
- Para valores que se acercan a 1 por la izquierda.

Como ambos límites son iguales, se tiene: 

Observe que las condiciones de la función determinan cuál se debe usar para calcular el límite. 

Ejemplo

Calcular el límite para la función definida por partes en el valor indicado.

Solución

En la figura 5 se representa la función. 

- Para valores que se aproximan a 2 por la derecha.

 Para valores que se aproximan a 2 por la izquierda.

Por lo tanto, el no existe, porque los límites son diferentes. 

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2.2. Continuidad

Las funciones presentan ciertas características dependiendo de su estructura. Por ejemplo: 

En la figura 6, se representa la función   y en la figura 7, se representa la función

Al evaluar   y si calculamos el límite para cuando x tiende a 1 se obtiene el

mismo valor. La función no presenta ninguna “pausa”. 

Pero en el caso de g(x), al evaluar g(1) = 3 mientras su límite es igual a 1 (presenta una pausa).

A partir de estas observaciones, se define la continuidad de funciones.

2.2.1. Definición
Una función es continua en “a” si y solo si se cumple que:

Para las funciones f(x) y g(x) analizadas y aplicando la definición de función continua, podemos decir que:

 -  f(x) es continua en “a”.

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-  g(x)  es discontinua en “a”.

2.2.2. Continuidad de funciones polinomiales

Las funciones polinomiales siempre son continuas para cualquier punto de su dominio.

Ejemplo

Determine si la función    es continua en x = 2.

Solución

Por lo tanto, la función es continua en x = 2.

2.2.3. Discontinuidad de una función racional

Una función racional es discontinua en aquellos valores donde el denominador es igual a cero.

Ejemplo

Determine si la función    es continua en 1.

Solución

Para determinar la continuidad de una función, se deben verificar las tres condiciones señaladas en la
definición.

a) f(1) no existe. Por esta sola condición la función es discontinua en 1. No es necesario verificar las otras
condiciones. Esta es una función racional. Para identificar en qué puntos son discontinuas este tipo de
funciones, se determinan para qué valores el denominador se hace 0 (cero).

Ejemplo

Determine si la función 

Solución

Revisemos si se cumplen las condiciones de continuidad para esta función por partes.

a)  por lo tanto, la función existe.

b) Para calcular el límite, se deben calcular los límites laterales.

16
 Como los límites laterales son iguales, el

límite para cuando x tiende a 2 existe.

c) Como  , se concluye que la función f(x) es continua en x = 2.

Ejemplo

Encuentre todos los puntos de discontinuidad para la función 

Solución

Para encontrar los puntos de discontinuidad hay que factorar el denominador e identificar para qué
valores el polinomio se hace cero. 

El polinomio se puede escribir como  , el factor común es 

(x + 2) y se tiene que 

Se concluye que el polinomio es cero cuando  . En estos puntos la función es

discontinua.

2.2.4. Continuidad aplicada a desigualdades

Analicemos la función   (figura 8). 

Se observa que las raíces para esta función son x = 2 y x = -1. 

Para todo el dominio de la función, se definen tres intervalos que son:

Para el intervalo   todos los valores de la imagen son positivos. 

Para el intervalo   todos los valores de la imagen son negativos. 

Para el intervalo   todos los valores de la imagen son positivos.

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Consideremos varias situaciones de desigualdades para esta función.

 Si esta función se considera como la desigualdad  , los intervalos en los cuales se

cumple la condición son

 Si  , el intervalo es  .

 Si  , los intervalos son  Observen que los valores -1 y 2 se

incluyen en los intervalos solución porque debe cumplirse también la igualdad.
 Si  , el intervalo solución es [-1; 2]. 

Se observa claramente que para cualquier valor dentro de ese intervalo, la imagen de la función es
positiva o negativa, por lo cual, basta verificar con un solo valor de la variable para determinar el
signo de la desigualdad, ya que en cada intervalo la función es continua. 

Apliquemos este criterio para resolver desigualdades.

Ejemplo

Determine los valores que cumplen la siguiente desigualdad: 

Se debe determinar los valores para los cuales la función sea igual a cero y también para los cuales no está
definida. 

El numerador nos proporciona los valores para los que la función es igual a cero. 

La función es igual a cero para x = 1 y x = -2.

Con el denominador se obtienen los valores en los cuales la función no está definida.

En este problema es para x = 3. 

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Con estos resultados se generan los intervalos para el dominio de la función.

Utilizando un valor para cada intervalo, se verifica el signo de la función.

Los intervalos que son solución de esta desigualdad son todos aquellos que son mayores a cero. Para que se
cumpla también la igualdad, hay que incluir en los intervalos aquellos valores que hacen que la función sea
igual a cero. Por ello, la respuesta se escribe de la siguiente manera:

Ejemplo

Del capítulo 10, Problemas 10.4 (p. 486), problema 30 del libro Matemática para la administración y
economía de Haeussler.

Participación en talleres. Imperial Education Services (IES) ofrece un curso de procesamiento de datos al
personal clave de la compañía Zeta. El precio por persona es de $50 y la compañía Zeta garantiza que al menos
habrá 50 asistentes. Suponga que el IES ofrece reducir el costo para todos en $0,50 por cada persona que
asista después de las primeras 50. ¿Cuál es el límite del tamaño del grupo que el IES aceptará de modo que el
ingreso total nunca sea menor que lo recibido por 50 personas?

Solución

-Sea x el número de personas adicionales a los 50 asistentes iniciales.

-Para 50 + X personas el costo por persona será de  50 - 0,5X
-Lo recibido por concepto del curso no debe ser menor de 50 personas a 50 dólares cada una, es decir 50*50 =
2500 dólares.
La desigualdad es:

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