Volatility (Finance)">
Modelos de Volatilidad
Modelos de Volatilidad
Modelos de Volatilidad
Las variaciones en el precio de cierre del índice son la causa de rentabilidad que este
genera. A partir de los precios diarios (cierre de los índices) calculamos la rentabilidad diaria y
modelizamos como una variable aleatoria a la volatilidad de las rentabilidades.
Para medir el riesgo de mercado se podría intentar investigar el comportamiento de todas
esas variables que influyen en la determinación de su rendimiento (algo muy dificultoso), o se
podría aspirar a una aproximación fenomenológica que consiste en considerar a los precios de
mercado como la materia prima para la medición del riesgo de mercado, mediante el análisis
estadístico de las series temporales de los precios de las acciones, bonos, o índices de mercado.
Esta última, es la opción que elegimos.
El problema que se plantea ahora es identificar el modelo estadístico que mejor
representa el comportamiento de los precios.
Si definimos la Rentabilidad Precio como el cociente de la diferencia de precios entre el
período t y el período t-1, y el precio en el período t-1 tendremos:
Ln Pt = r0 + Ln Pt-1 + at
Donde r0 es una constante y at es una variable aleatoria normal con media cero y variancia
σ2, y que se distribuye idéntica e independientemente a lo largo del tiempo.
Entonces podemos escribir la Rentabilidad logarítmica como:
1
“Modelos de Volatilidad Condicional Variable”
Yt = r0 + at
Yt = r0 + r1 Yt-1 + at
Yt = r0 + r1 Yt-1 + σt vt
Todos los modelos a analizar se basan en la idea de que se modela en la media condicional
y la varianza condicional simultáneamente. O sea, se plantea un modelo de regresión (media
condicional) y también un mecanismo que controla la evolución de los errores (varianza
condicional), buscando incorporar las grandes fluctuaciones que tiene la volatilidad.
Recordemos que la diferencia entre condicional y no condicional es que la expectativa
condicional se refiere a una expectativa hacia el futuro sujeta a la información acumulada hasta
el tiempo t. La no condicional no modifica el conjunto de información.
La experiencia ha demostrado que la capacidad predictiva de series de tiempo financieras
varía considerablemente de un periodo a otro, los errores de predicción pueden ser relativamente
grandes en algunos momentos y luego volver a ser pequeños. Esta evidencia en los errores de
predicción muestra que existe correlación en las varianza de los errores de predicción, un
comportamiento sistemático que seria posible modelar.
Al modelizar las series de datos se plantea la posibilidad o no de la conveniencia de la
eliminación de los casos "atípicos"; pero sin embargo, de una manera casi constante, estos
atípicos demostraron que aportaban significatividad a los modelos. Por las propias características
de la volatilidad, la variación extrema de sus valores aporta capacidad de explicación a los
modelos al ser uno de los rasgos distintivos de esta variable. En el caso de los modelos
heterocedásticos, el tratamiento de los datos es más sencillo puesto que no se requieren series
estacionarias para su aplicación. El proceso a seguir se limita a la especificación y posterior
cálculo de la serie de volatilidades que resultan de la misma para su comparación con otro tipo
de volatilidades.
2
NOVALES, Alfonso “Econometría” (Madrid, McGraw-Hill, 2002), cáps. 11 y 12.
Utilizaremos los modelos de volatilidad condicional variable, los llamados modelos
ARCH, GARCH, IGARCH, EGARCH, ARCH-M, TARCH. La volatilidad en este tipo de
modelos se define como una función determinista de las innovaciones pasadas al cuadrado y de
la varianza condicional retardada. Es determinista en el sentido de que la ecuación de la media
tiene un término de perturbación y que su varianza se modeliza condicionalmente según el
conjunto de información hasta el periodo t-1.
Ε[ yt ] =
r0
1 − r1
B) La media condicional al tiempo t (la posición de corto plazo) es:
Ε[ y t +1 | Ω t ] = r0 + r1 y t
3
ENGLE, Robert F., “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K.
Inflation”, en “Econometrica”, Nº 50 (Wisconsin, 1982), 21 págs.
III. C. MODELOS DE LA FAMILIA ARCH4, 5 Y 6
Sea at(θ) un proceso estocástico definido en tiempo discreto, cuya esperanza y varianza
condicionales dependen de un vector de parámetros θ de dimensión m.
Denotamos por Et-1 la esperanza matemática condicional en Ωt-1 generada por las
realizaciones pasadas de las variables observables en el instante t – 1 o anteriores, que define el
conjunto de información disponible en t – 1.
Decimos que at(θ) sigue un proceso ARCH si su esperanza condicional es igual a cero:
Et -1 at(θ) = 0, t = 1, 2, 3, ……..
y su varianza condicional,
2
σ2 (t) (θ) = Var t -1 [at(θ)] = Et -1[a t] = g (at – 1, at – 2, ....)
Debe apreciarse que a pesar del subíndice temporal, σ2(t) es una función de variables
pertenecientes al instante t – 1 o anteriores.
Alternativamente podríamos definir al proceso ARCH mediante:
yt = at .σ (t)
at es una secuencia de variables aleatorias que se distribuyen idéntica e independientemente con
media cero y varianza la unitaria.
at ≈ N(0,1), independiente en el tiempo, y σ2t (θ) ≅ g (at – 1, at – 2, ....)
Aunque nos centremos en las propiedades del proceso {at(θ)}, en general tendremos un
proceso {yt (θ)}, objeto de estudio cuya esperanza condicional será una función de θ.
Et -1 yt = µ t -1 (θ)
En general entendemos que yt representa el rendimiento ofrecido por un activo financiero
cuyo valor actual descomponemos mediante una identidad, en dos componentes: 1) el
componente anticipado µ t -1 (θ), que pudimos haber previsto en base a información pasada, y 2)
la innovación en el proceso de rentabilidad. Es esta última la que supone que tiene una estructura
de tipo ARCH.
Si definimos {at(θ)} al residuo de dicha relación, o error de predicción un periodo hacia
delante,
yt = µ t -1 (θ) + at(θ) ⇒ at(θ) = yt - µ t -1 (θ)
que satisface,
Et -1 [at(θ)] = 0
y suponemos que tiene un proceso ARCH. Para el proceso yt tendremos:
4
JOHNSON, Christian y SORIANO, Fabián, “Volatilidad del Mercado Accionario y la Crisis Asiatica: Evidencia
Internacional de Asimetrías” (Chile, Univ. Nacional de Chile, 2004) Págs. 57
5
LOPEZ HERRERA, Francisco, “Modelado de Volatilidad y Pronósticos del Índice de Precio y Cotizaciones de la
Bolsa Mexicana de Valores” (Mexico, Facultad de Contaduría y Administración UNAM, Agosto 2004) Págs. 72.
6
GARCIA CENTENO Y CALVO MARTIN “Estimación de Modelos de Volatilidad Estocástica en Series de
Rendimientos Bursátiles”, XIII JORNADAS DE ASEPUMA (España, 2005)Págs. 13
7
NOVALES, Alfonso “Econometría” (Madrid, McGraw-Hill, 2002), Cáps. 11 y 12.
Et -1 yt = µ t -1 (θ)
Var t -1 yt = Et -1 [yt - Et -1 yt ] 2 = Et -1 [at(θ)] 2 = Var t -1 [at(θ)] = σ2t
por lo que su varianza condicional coincide con la de at(θ), es decir que la varianza de la
rentabilidad esperada es igual a la varianza de la innovación en el proceso de rentabilidad o error
de predicción.
Mientras que su varianza incondicional es
Var yt = E [σ2t]
En consecuencia, mientras que los momentos incondicionales son constantes en el tiempo,
aunque pueden no existir, los momento condicionales cambian a lo largo del tiempo. Un modelo
ARCH consta de: 1) una ecuación representando el modo en que la varianza condicional del
proceso varía en el tiempo, 2) una ecuación mostrando el modo en que su varianza condicional
cambia en el tiempo y, 3) una hipótesis acerca de la distribución que sigue la innovación de la
ecuación que describe el proceso seguido por su esperanza matemática.
( )
Ε t −1 α 0 + α 1 . y t2−1 .Ε t −1 ( y t ) = 0
( ) ( )
Vart −1 ( y t ) = Ε t −1 y t2 = α 0 + α 1 y t2−1 .Ε t −1 at2 = α 0 + α 1 y t2−1
por lo que la varianza condicional de los rendimientos varía en función de la realización del
proceso yt. Generalizando para q retardos la varianza condicional estaría dada por:
q
σ yt2 = α 0 + ∑ α i y t2−i
i=0
Dada la expresión (3) podemos definir a yt de la siguiente manera:
yt = φ yt – 1 + at , φ< 1
Et – 1 at = 0
Var t -1 (at) = σ2 t = α0 + α1 a2 t –1
σ2 t = α0 + α1 a2 t – 1 + α2 a2 t – 2 + … + αq a2 t – q
Al ser la varianza condicional del periodo t una función creciente de la magnitud de las
últimas innovaciones, se produce un clustering o agrupamiento temporal de volatilidades..
Estos tienen media cero y una varianza no condicional dada por:
La especificación ARCH precisa un elevado número de retardos. Para evitar que el alto
número de coeficientes en términos autoregresivos, produzca una importante pérdida de
precisión en su estimación, se ha propuesto una parametrización alternativa, restringida,
dependiente de un número reducido de parámetros. Se podría pensar que la formulación correcta
para la generación de los errores debe incluir a la varianza retrasada. La fórmula del modelo
GARCH de Bollerslev8(1986) está expresada por:
at = σ (t)vt
8
BOLLERSLEV, Tim, “Generalizad Autoregressive Condicional Hetoroskedasticity” en Journal of Econometrics
Nº 31 (Amsterdan, 1986), 20 págs.
Los modelos generalizados de heterocedasticidad condicional, tienen la misma cualidad de
reproducir periodos de volatilidad con periodos tranquilos, sin embargo son modelos que
requieren menos parámetros por lo que los hace preferidos. Tienen las mismas bases en su
construcción por lo que no repetiremos estos puntos, sin embargo no se debe olvidar que el
proceso {at} tiene media cero y varianza condicional.
E[a2t | Ω t] ] = σ2t
yt = at .σt
σ2 t = ϖ + α y2t – 1 + β σ2 t – 1
En la ecuación que hace referencia a la varianza del periodo, las variables del lado derecho
de la ecuación, son una media o constante (ϖ), seguida por noticias sobre la volatilidad de
periodos previos, medida como rezagos de los residuos al cuadrado de la ecuación de la media y
por último la predicción de la varianza para los últimos periodos. Es decir una modelización
ARMA para la varianza.
donde at ≈ IID(0,1)
vt es un proceso de ruido blanco, con varianza uno, además at y vt son independientes,
α0 > 0, 0 < α1 < 1, 0 < β1 < 1 , α1 + β1 < 1
Los procesos GARCH permiten modelar la persistencia en el tiempo de los shocks en la
varianza condicional. Una elevada persistencia, al no cumplirse α1 + β1 < 1, ocasiona que los
efectos del shock “tarden en olvidarse”, en tanto que la baja persistencia solo tiene efecto de
corta duración.
Con esta motivación, es sencillo mirar que expresión le corresponde a un GARCH (p,q).
yt = at .σt
σ2 t = ϖ + σ2 t – 1 + α (y2t – 1 - σ2 t – 1), t = 1, 2, …
lo que hace que un shock en la varianza condicional sea persistente , no desapareciendo nunca su
efecto, a diferencia de lo que ocurre en el modelo GARCH (1,1). Además la varianza no muestra
reversión a la media, por lo que transcurren periodos largos antes que la varianza vuelva a tomar
su valor promedio.
El proceso puede escribirse también,
y2t = ϖ + σ2 t – 1 + α (y2t – 1 - σ2 t – 1) + (y2t - σ2 t), t = 1, 2, …
en este modelo al reparametrizarlo como antes llegamos a un interesante resultado:
el modelo IGARCH(1,1) es una serie que posee una raíz unitaria en la varianza condicional,
Los procesos IGARCH(p,q) pueden ser expresados de la forma:
Los modelos hasta ahora vistos recogen adecuadamente las propiedades de distribución de
colas gruesas y el agrupamiento de volatilidades, pero son simétricos. En ellos, la varianza
condicional depende de la magnitud de las innovaciones retardadas, pero no de su signo.
En 1993 Engle y Ng definieron la curva de impactos asimétricos, en la cual hacen notar
que en el mercado de capitales no repercuten igual las buenas noticias que las malas noticias, los
movimientos a la baja en el mercado vienen con mayores volatilidades que los movimientos al
alza. Cuando el rendimiento cae por abajo de lo esperado nos lleva a un escenario donde las
noticias son malas, esto viene asociado a la observación de que la volatilidad se incrementa y por
otra parte cuando las noticias son buenas la volatilidad disminuye.
Para recoger los efectos apalancamientos observados por Engle y Ng se idearon modelos
asimétricos que permitían capturar el efecto más fuerte que tienen los rendimientos negativos en
la volatilidad.
Dentro de la familia de modelos con varianza condicional variable hay dos modelos que se
utilizan para modelar esta característica asimétrica observada en series financieras: EGARCH y
TARCH.
En 1990 Pagan y Schwert y luego Nelson10 (1991) introdujeron el Modelo EGARCH o
exponencial GARCH, el cual permite que la volatilidad condicional sea una función asimétrica
del pasado de los datos, su forma funcional puede ser escrita como:
El modelo EGARCH permite que las noticias buenas o malas (shocks), afecten a la
volatilidad de diferentes maneras. Hay que notar que el lado izquierdo de la ecuación es el
logaritmo de la varianza condicional. Esto implica que el efecto leverage es exponencial más que
cuadrático.
La persistencia en la volatilidad viene indicada por el parámetro β, mientras que α1 mide la
magnitud del efecto apalancamiento. La hipótesis del efecto apalancamiento se testea con la
significatividad de α1, si este coeficiente es distinto de cero significa que el impacto es
asimétrico. En este modelo se espera que α1 < 0, lo que implicaría que innovaciones negativas
tuviesen un mayor impacto sobre la volatilidad que innovaciones positivas de igual tamaño.
Este modelo tiene la propiedad de ser un proceso que aparentemente, por su gráfica, se ve
estacionario en covarianza, sin embargo, arroja pocas observaciones pero extremadamente
9
NELSON, Daniel B. “Conditional Heterocedasticity in asset returns: a New Approach" en Econométrica nº 59,
(Wisconsin, 1991), págs 347/370.Cit. por DE ARCE, Rafael, Introducción a los Modelos Autorregresivos con
Heterocedasticidad Condicional (España, Instituto LR KLEIN, 1998), pág 10.
10
NELSON, Daniel: Op. Cit.
largas, o sea su varianza sorpresivamente da saltos muy largos. por lo que la varianza viene
definida exponencialmente, de allí su nombre.
El modelo estándar GARCH detallado anteriormente tiene una curva de impacto de
noticias de forma simétrica y centrada. Esto implica que tanto shocks positivos como negativos
van a responder de la misma manera sobre la volatilidad del activo. Además que un shock de
gran magnitud debería de crear una mayor volatilidad que una tasa proporcional al cuadrado del
tamaño del impacto. Pero como el modelo GARCH se encuentra definido de forma simétrica
entonces ante un shock negativo el modelo va sub-predecir la cantidad de volatilidad y sobre-
predecir ante un evento positivo.
Otras limitaciones del modelo GARCH son las desigualdades que tienen que cumplir los
parámetros, estas restricciones eliminan el comportamiento al azar-oscilatorio que pueda
presentar la varianza condicional. En cambio en un modelo EGARCH no hay restricciones en los
parámetros.
El caso general es
Porque al ser una combinación lineal entre x y desviaciones sobre su valor absoluto,
garantiza una respuesta asimétrica por parte de la varianza condicional ante los movimientos de
x. Se considera que los episodios de crack en los mercados asociados con elevada volatilidad, sus
estimaciones de α1 y α1 son prácticamente la unidad indicando una enorme persistencia que tiene
cada shock sobre la varianza condicional.
Los modelos que son capaces de producir efectos asimétricos son los llamados modelos
TARCH, (Threshold Heteroskedastic Autoregresive Models) son modelos que dependen de un
umbral (threshold) por medio del cual definen su reacción. Este modelo fue introducido por
primera vez por Glosten, Jagannathan y Runkle 11quienes consideraron una especificación para
la varianza condicional distinta a las planteadas anteriormente.
En este modelo las malas noticias son interpretadas como valores negativos de los residuos
de la regresión y las buenas como valores de residuos positivos. Note con cuidado que si la
innovación es negativa el umbral esta prendido por lo que el efecto sobre la varianza condicional
es mayor, por una contribución. Mientras que si la innovación es positiva el umbral esta apagado
y no hay contribución a la varianza condicional.
11
GLOSTEN, L., JAGANNATHAN, R. Y RUNKLE, D., “On the Relation Between the Expected Value and the
Volatility of the Normal Excess Return on Stocks” en Journal of Finance Nº 48 (Amsterdan, 1993), págs. 1779/1801.
Este modelo incluye un caso particular al modelo GARCH (1,1) cuando δ = 0. En
cambio, cuando δ ≠ 0 el modelo explica posibles asimetrías en la varianza de yt. Por lo que δ
mide el peso que tienen las malas noticias, si es cero no hay efecto asimétrico, este punto es vital
para decidir si un modelo pertenece a esta familia puesto que se hace la estimación y se procede
a realizar la prueba de hipótesis δ = 0 utilizando el estadístico t-student común y corriente.
En resumen, el efecto que hay sobre la varianza condicional es que las buenas noticias
tienen un impacto de magnitud α mientras que eventos negativos tendrán un impacto que pesa
α + δ. Si δ > 0, se puede decir que el efecto “leverage” existe, es decir si es diferente a cero el
impacto de noticias será asimétrico.
12
GARRIGA SUÁREZ, Pablo Marcelo; Dir BALACCO, Hugo, “Volatilidad en Mercados Financieros: un Análisis
Econométrico” (Mendoza, U.N. Cuyo, 2006) Págs. 42.
La primera ecuación describe el componente transitorio (σ t - qt) el que converge a cero
2
donde:
σ2: es la variable condicional
ϖ: es la variable incondicional
α y β: son los parámetros especificados en el modelo
ε: son los términos de error
λ: es el coeficiente de asimetría
En 1976, G.E. Box y G.M. Jenkins abrieron un camino al uso masivo de técnicas
econométricas proponiendo un método general para abordar las aplicaciones de estos temas, de
tal modo que la estrategia ha demostrado ser de enorme importancia.
El método de Box-Jenkins consiste en construir un modelo en varias etapas, ellos proponen
las siguientes etapas:
1º - Postular una clase general de modelos.
2º - Identificar tentativamente el modelo.
3º - Estimar los parámetros de modelo tentativo.
4º - Validar del modelo, con pruebas de diagnóstico.
5º - Preguntarse si ¿es el modelo adecuado?,
6º - Si la respuesta es NO: buscar una nueva formulación.
7º - Si la respuesta es SI es adecuado: pasar a realizar un pronóstico
En el próximo capítulo se propondrán algunos test que ayudan a contrastar los modelos y
las hipótesis implicadas. También se desarrollarán algunas expresiones analíticas para el cálculo
de la predicción k-periodos hacia delante. A través de estos tests se puede contar con elementos
que ayuden a seleccionar aquel modelo que mejor explique el presente y el futuro.
13
“Modelos Financieros Econometricos” en www. ciberconta.unizar.es. Pág 9