Numeros Reales

1- ¿Qué son los números reales?
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números
irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el
símbolo:
El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de
números que definiremos a continuación:
- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar
= {1, 2, 3, 4,...}
- Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen a los
negativos y el cero.
- El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos

los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita
semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está compuesto por
todos los números que pueden ser escritos como una fracción cuyo numerador y
denominador (distinto de cero) son números enteros.
Ejemplo:
= {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
- El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de
todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.
Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden
ser representados como un número racional, se dice que los números reales son la
unión de los números racionales y los irracionales.
2- Propiedades
2.1- Propiedades de la suma:
a) Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
∀ a, b ∈ R : a + b ∈ R
Ejemplo:
2 ∈ R, 4/5 ∈ R → 2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R

-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R
b) Propiedad Asociativa:
Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si
a, b y c son tres números reales:
(a + b) +c = a + (b + c)
Ejemplos:
0.021 + (0.014 + 0.033) = (0.021 + 0.014) + 0.033
c) Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no altera la suma.
∀ a, b ∈ R : a + b = b + a
Ejemplos:
3 ∈ R, 4 ∈ R → 3 + 4 = 4 + 3
√3 ∈ R, 9 ∈ R → √3 + 9 = 9 + √3
15,87∈ R, –2.35 ∈ R →15.87 + (–2.35) = –2.35 + 15.87
d) Existencia del elemento neutro aditivo:

El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el
mismo número.
∀ a ∈ R, 0 + a = a + 0 = a
Ejemplos:
0 + 13 = 13 + 0 = 13
8763.218 + 0 = 8763.218
0 + (–56.41) = –56.51
e) Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso:

Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el
número y su inverso, el resultado es 0.
a + ( -a) = -a + a = 0 , ∀ a ∈ R
Ejemplos:
10 + (-10) = 0
2/7 + ( -2/7) = 0
87.36 + (–87.36) = 0
–4.13 + 4.13 = 0
2.2- Propiedades de los reales en la resta o sustracción
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los

signos:
a) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el

sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.
Ejemplo:
28.7 – 11.2 = 17.5
b) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el

sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.
Ejemplo:
11.2 – 28.7 = –17.5
c) Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de

ambos números y al resultado se le pone el signo menos.
Ejemplo:
–28.1 – 11.2 = –39.3
d) Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.
Ejemplo:
28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

e) Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.
Ejemplo:
28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3
f) La resta no tiene todas las propiedades de la suma:
La resta no es una operación conmutativa:
Ejemplo:
52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2
2.3- Propiedades de la multiplicación
La multiplicación tiene las siguientes propiedades:
a) Propiedad interna:
El producto de los números reales, es un número real.
∀ a, b ∈ R→ a • b ∈ R
Ejemplos:
4 • 9 = 36 ∈ R
3/4 • 5/7 = 15/28 ∈ R
b) Propiedad asociativa:
Esta propiedad dice que cuando se multiplican tres reales dados o más, el resultado
es el mismo independientemente de como se agrupen y se multipliquen.
Si a, b, c, ∈ R → (a • b) • c = a • (b • c)
Ejemplos:
2 • (3 • 4) = 24 → (2 • 3) • 4 = 24
c) Propiedad conmutativa:
De acuerdo con esta propiedad, cuando dos números reales se multiplican en
diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo.
Si a, b ∈ R → a • b = b • a
Ejemplos:
3 • (-8) = (-8) • 3
(-2 / 3) • (1/4) = (1/4) • (-2 / 3)
d) Elemento neutro multiplicativo:

De acuerdo con esta propiedad de los números reales, el producto de cualquier
número real con elemento neutro o de identidad "1" es el mismo número real.
a•1 =a
Ejemplos:
1/2 • 1 = 1/2
(−5) · 1 = (−5)
e) Propiedad distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
a • (b + c) = a • b + a • c
Ejemplos:
π • ( 7/3 + 0,5) = π • 7/3 + π • 0,5
(−2) • (3 + 5) = (−2) • 3 + (−2) • 5
f) Elemento inverso u opuesto

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el
elemento unidad.
a • (1/ a ) = 1
Ejemplos:
5 (1/5) = 1
π (1 / π)
g) Factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en
producto extrayendo dicho factor.
a • b + a • c = a • (b + c)
Ejemplos:
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

π • 3/5 + π • 0.3 = π • (3/5 + 0,3)
2.4- Propiedades de la división
- La división no es conmutativa, pues al cambiar el orden de sus términos el resultado

también cambia.
Ejemplos:
10 : 2 = 5 pero 2: 10 = 0,2
40:8 = 5 pero 8:40 = 0,2
- La división No es asociativa: (8 ÷ 4) ÷ 2 = 1 pero 8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

- Cero dividido entre cualquier númeo da cero 0: 4 = 0
- No se puede dividir por cero 8:0= no existe
- Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la
multiplicación.
- El cuociente no varía si se multiplica o se divide tanto el dividendo como el divisor
por el mismo número. (amplificación o simplificación)
- La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades

de conmutatividad y asociatividad; cada operación tiene un elemento neutro y
cada número real tiene su elemento inverso, tanto aditivo como multiplicativo
(excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).
- Es un conjunto denso, esto es, entre dos números reales siempre hay otro número
real.
Los números racionales, cuando se escriben como números decimales, son finitos,
infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Sin embargo, los números
irracionales son siempre números decimales infinitos pero no periódicos.
Considerando su representación en la recta numérica, los números reales ocupan la
recta numérica por completo, ya que los números irracionales completan todos los
espacios dejados por los racionales en la recta numérica.

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1- ¿Qué son los números reales?

- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar

- El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos

2.1- Propiedades de la suma:

2 ∈ R, 4/5 ∈ R → 2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R

0.021 + (0.014 + 0.033) = (0.021 + 0.014) + 0.033

15,87∈ R, –2.35 ∈ R →15.87 + (–2.35) = –2.35 + 15.87

d) Existencia del elemento neutro aditivo:

e) Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso:

2.2- Propiedades de los reales en la resta o sustracción

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los

a) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el

28.7 – 11.2 = 17.5

b) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el

11.2 – 28.7 = –17.5

c) Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de

–28.1 – 11.2 = –39.3

d) Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3

f) La resta no tiene todas las propiedades de la suma:

La resta no es una operación conmutativa:

52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2

2.3- Propiedades de la multiplicación

La multiplicación tiene las siguientes propiedades:

3/4 • 5/7 = 15/28 ∈ R

(-2 / 3) • (1/4) = (1/4) • (-2 / 3)

d) Elemento neutro multiplicativo:

π • ( 7/3 + 0,5) = π • 7/3 + π • 0,5

(−2) • (3 + 5) = (−2) • 3 + (−2) • 5

f) Elemento inverso u opuesto

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

2.4- Propiedades de la división

- La división no es conmutativa, pues al cambiar el orden de sus términos el resultado

- La división No es asociativa: (8 ÷ 4) ÷ 2 = 1 pero 8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

- La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades

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