UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CALCULO VECTORIAL

RECTAS Y PLANOS EN R3

Profesor : Lic.  

Alumno(s) :

 Taipe parado Jino Aurelio




Fecha de entrega : 05-01-2016

HUAMANGA – AYACUCHO

2016

..
 INTRODUCCION

El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares e n el

espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie,
veremos formas de expresar un a superficie, esencialmente mediante
ecuaciones paramétricas o implícitas. También clasificaremos los
puntos de unas superficies según que sean regulares o singulares.

Además construiremos el vector normal a la superficie en un punto, y con

él la recta normal en ese punto. El sentido del vector normal permite fijar
la orientación, cuando la curva es orientable. Esta distinción hay que
hacerla, pues existen curvas no orientables, como la banda de M¨obius.
De hecho, la clasificación más elemental e importante de superficies es
en orientables y no orientables. Sólo trabajaremos con superficies
orientables.

También construiremos el plano tangente, usando una

parametrización o una ecuación implícita.
 Contenido
1. SUPERFICIES...............................................................................................................................1
1.1. SUPERFICIES DE REVOLUCION...........................................................................................1
1.1.1. El Catenoide...............................................................................................................2
1.2. SUPERFICIES CILINDRICAS..................................................................................................2
1.2.1. Cilindro elíptico recto...............................................................................................3
1.2.2. Cilindro sinusoidal......................................................................................................3
1.3. SUPERFICIES CUADRATICAS...............................................................................................3
1.3.1. Paraboloide elíptico...................................................................................................4
1.3.2. Paraboloide hiperbólico.............................................................................................4
1.3.3. Hiperboloide elíptico de un solo manto.....................................................................4
1.3.4. Hiperboloide elíptico de dos mantos.........................................................................5
1.3.5. Elipsoide.....................................................................................................................5
1.3.6. El cono........................................................................................................................5
2. ECUACION DE LA RECTA EN R3..................................................................................................6
2.1. ECUACION EN FORMA VECTORIAL.....................................................................................6
2.2. ECUACION EN FORMA CARTESIANA...................................................................................6
2.3. POSICION RELATIVA............................................................................................................7
3. ECUACIONES DEL PLANO.........................................................................................................10
3.1. Ecuación general del plano...............................................................................................10
3.1.1. Ecuación del plano en segmentos............................................................................10
3.1.2. Ecuación del plano, que pasa por un punto..............................................................11
3.1.3. Ecuación del plano, que pasa por tres puntos dados................................................11
3.2. Ecuación en forma vectorial.............................................................................................11
3.3. Ecuación en forma paramétrica.......................................................................................12
3.4. Ecuación normal...............................................................................................................12
4. DISTANCIA ENTRE RECTAS, RECTA Y UN PLANO Y PLANOS....................................................13
4.1. Distancia de un punto a una recta....................................................................................13
4.2. Distancia entre rectas.......................................................................................................14
5. RELACION ENTRE PLANOS Y RECTAS........................................................................................15
6. POSICIONES RELATIVAS...........................................................................................................17
6.1. POSICIONES RELATIVAS DE LAS RECTAS..........................................................................17
 6.1.1. Rectas coincidentes..................................................................................................17
6.1.2. Rectas paralelas........................................................................................................17
6.1.3. Rectas secantes........................................................................................................18
6.1.4. Rectas que se cruzan................................................................................................18
6.2. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO.....................................................18
6.2.1. Recta contenida en el plano.....................................................................................18
6.2.2. Recta y plano paralelos.............................................................................................19
6.3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS........................................................................19
6.4. HAZ DE PLANOS...............................................................................................................20
6.4.1. Haz de planos paralelos............................................................................................20
6.4.2. Haz de planos de eje r...............................................................................................20
 RECTAS Y PLANOS EN R3

1. SUPERFICIES

1.1. SUPERFICIES DE REVOLUCION

Definición. Supongamos el espacio tridimensional R 3 dotado del sistema de

coordenadas (x, y, z). Una superficie de revolución en este espacio es una superfi
cie generada al rotar una curva plana C alrededor de algún eje que esta´ en el
plano de la curva.

Un caso particular es cuando el eje de rotación es alguno de los ejes coordenados

y la curva C esta´ sobre alguno de los planos coordenados.

Ejemplo 1.1. Si el eje de rotación es el eje z y la curva plana C esta´ sobre el

plano X, Z con ecuación:

z = f (x) (1)

Tal que f es una función biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuación
de la superficie Σ de rotación tendrá´ ecuación:

z=f ( √ x 2+ y 2 ) (2)

Para deducir la ecuación anterior, tomemos dos puntos A y B sobre la superficie Σ

y un tercer punto M sobre el eje z. El punto A es un punto arbitrario de la
superficie. Consideremos la circunferencia α que contiene al punto A, tiene centro
en el punto M y esta´ sobre el plano z = z 1. Esta circunferencia corta el plano xz
en el punto B. Por lo tanto las coordenadas de los puntos son: A(x, y, z 1), B(x, 0,
z1), C (0, 0, z1). Pero el punto B pertenece a la generatriz C, por lo tanto sus

coordenadas las podemos escribir como B (f −1 (z1), 0, z1). Ahora la distancia

entre A y M es la misma que entre B y M pues son dos radios de la circunferencia.

18
 A (x, y, z1)

B (f −1 (z1), 0, z1) ⇒ |AM| = |BM| =⇒

M (0, 0, z1)

x 2 + y2 = [f −1 (z ]2 =⇒ z = f x2 + y2
1) 1
Pero A es arbitrario, por lo tanto z 1 = z. Observemos que en la deducción de la
fórmula anterior las variables x, y he z se colocan cuando esto se puede en
término de la variable fijada z1, que es la que define el plano z = z 1 donde esta´
la circunferencia α.

1.1.1. El Catenoide
Es una superficie de revolución obtenida al rotar sobre el eje x la curva z = cosh

x, y la ecuación que la representa es: y 2 + z2 = cosh2 x. Una parametrización

usada para graficarla es: x = u, y = cosh u cos v, z = cosh u sin v, con valores
de los parámetros −2 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π. Los ejes
coordenados están colocados en forma estándar. (Ver:
C.9.3).

El CATENOIDE, superficie de revolución obtenida al

girar la curva catenaria z = cosh x, sobre el plano xz,
alrededor del eje x.

Figura 1 Catenoide

1.2. SUPERFICIES CILINDRICAS

Definición: Supongamos el espacio tridimensional R 3 dotado del sistema de

coordenadas (x, y, z). Dada una recta y una curva plana C, una superficie

18
cilíndrica en este espacio es una superficie generada por una familia de rectas
paralelas a y que tienen un punto en C.

Un caso particular es cuando la recta es alguno de los ejes coordenados y la

curva C esta´ sobre alguno de los planos coordenados.

1.2.1. Cilindro elíptico recto

Es una superficie cilíndrica generada por una familia de
rectas paralelas a una recta (en este caso eje z) y que
pasan por una curva plana C

Fig
ura 2 Superficie cilíndrica

1.2.2. Cilindro sinusoidal

Es una superficie cilíndrica generada por una familia de rectas paralelas a una
recta (en este caso eje y) y que pasan por una curva plana C (en este caso la
elipse z = sin x), ubicada sobre un plano xz. La
ecuación que define esta superficie cilíndrica es: z =
sin x. Observemos que no aparece la variable x,
precisamente es el eje paralelo a la recta
generatriz.

Figura 3 Superficie cilíndrica

1.3. SUPERFICIES CUADRATICAS

Definición: Supongamos el espacio tridimensional R 3 dotado del sistema de

coordenadas (x, y, z). Una superficie cuadrática en este espacio es una
superficie asociada a una ecuación de segundo grado en las variables x, y, y z,
es decir una superficie cuadrática tiene como ecuación que la representa una
ecuación del tipo:

18
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 (12)

Las formas canónicas de las cuadráticas es la simplificación al máximo de la

ecuación (12) usando rotaciones y traslaciones apropiadas para llevarlas a uno de
los siguientes seis tipos:

1.3.1. Paraboloide elíptico

Es una superficie cuya ecuación en forma canónica es:

Donde a, b, c son números reales

diferentes de cero. En el caso que a = b se llama un
paraboloide circular y es además una superficie de
revolución. La orientación del paraboloide elíptico
depende del valor de c, si c > 0 es orientada hacia
arriba, y si c < 0 hacia abajo.

a ≠ b, c= 1 Figura 4. Paraboloide elíptico

1.3.2. Paraboloide hiperbólico

Comúnmente llamada silla de montar, es una superficie
cuya ecuación en forma canónica es:

Donde a, b y c son números

reales diferentes de cero

Figura 5. Paraboloide hiperbólico

1.3.3. Hiperboloide elíptico de un solo manto

Comúnmente llamada un hiperboloide de una hoja es una
superficie cuya ecuación en forma
canónica es:

18
 Donde a, b, c son números reales diferentes de cero.
Figura 6 . Hiperboloide elíptico de u n manto

1.3.4. Hiperboloide elíptico de dos mantos

Comúnmente llamada un hiperboloide de do hojas, es una
superficie cuya ecuación en forma canónica es:

Figura 7. Hiperboloide
elíptico de dos mantos

1.3.5. Elipsoide
Es una superficie cuya ecuación canónica es:

Donde a, b, c son números reales

diferentes de ce- ro. En el caso que a = b es una superfi cie de
revolución y si a = b = c = R, entonces tendremos una
esfera de radio R.

Figura 8. Elipsoide

1.3.6. El cono
Es una superficie cuya ecuación canónica es:

Donde a, b, c son números

reales diferentes de ce- ro. En el caso que a = b es
una superficie de revolución.

18
 Figura 9. Cono

1. ECUACION DE LA RECTA EN R3

1. ECUACION EN FORMA VECTORIAL

La recta que pasa por el punto       y tiene por vector director

   es el conjunto de puntos       del espacio que verifican la

relación vectorial       con   

Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica que:

Si identificamos el punto       con el vector que va desde el origen de coordenadas

hasta el punto           ,   se tiene que   

18
Que se denomina ecuación vectorial de la recta.

2. ECUACION EN FORMA CARTESIANA

A partir de la ecuación forma continua de la recta podemos obtener las dos

ecuaciones siguientes:

Que se pueden reescribir de la forma:

Y que se conocen con el nombre de ecuación implícita o cartesiana de la recta.

(Recta como intersección de dos planos)

3. POSICION RELATIVA

Sean tres planos       y       y       de ecuaciones:

Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las
ecuaciones de los tres planos, cuyas matrices asociadas son:

18
Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden los siguientes casos que
pasamos a describir en la sección siguiente.

Casos que se pueden dar

Rango (A) = Rango (A | B) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, y tiene una única solución.

Los planos tienen sólo un único punto común. Los planos se cortan en un punto.

Asi, los planos

Se cortan en el punto       y

Rango (A) = 2,     Rango (A | B) = 3

El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solución. Los tres planos no

tienen ningún punto en común.

Pueden presentarse dos situaciones distintas:

Subcaso 2.1

Los planos se cortan dos a dos según rectas paralelas. Entre los planos
considerados no hay dos que sean paralelos. Por tanto, cada dos planos se cortan
según una recta.

Subcaso 2.2

Dos planos paralelos cortados por el tercero.

18
Analizando las posiciones relativas de cada par de planos se cortan según una
recta. Son planos.

Rango (A) = Rango (A | B) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, y tiene infinitas

soluciones. Los planos se cortan en una recta. Pueden presentarse en este caso
dos situaciones distintas:

Subcaso 3.1

Planos distintos.

Subcaso 3.2

Dos planos son coincidentes.

¿Cómo distinguir cada uno de estos subcasos? Analizando las posiciones

relativas de cada par de planos.
Rango (A) = 1,     Rango (A | B) = 2

El sistema de ecuaciones es incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto

en común.

Pueden presentarse dos situaciones distintas:

Subcaso 4.1

Los tres planos son paralelos.

Subcaso 4.2

Dos planos coinciden y el otro es paralelo. ¿Cómo distinguir cada uno de estos
subcasos?

Analizando las posiciones relativas de cada par de planos.

Rango (A) = Rango (A | B) = 1

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.

Los tres planos coinciden.

18
 2. ECUACIONES DEL PLANO

1. Ecuación general del plano

Cualquier plano se puede expresar como una ecuación del plano de la primera

forma A x + B y + C z + D= 0

Donde A, B y C no pueden ser 0 al mismo tiempo.

Como

En el determinante

La primera columna es combinación lineal de la segunda y de la tercera. Por tanto

dicho determinante es cero. Desarrollando el determinante, agrupando términos e
igualando a 0, nos queda una ecuación de la forma: 

Que es la ecuación en forma general, cartesiana o implícita del plano. (

   Son números reales).

1. Ecuación del plano en segmentos

Si el plano cruza los ejes OX, OY y OZ en los puntos con coordenadas (a, 0, 0),
(0, b, 0) y (0, 0, с), entonces puede calcularse, utilizando la fórmula de ecuación
del plano en segmentos

18
 x y z
 +   +   = 1
a b c

2. Ecuación del plano, que pasa por un punto, perpendicularmente

al vector normal:
Para formular ecuación del plano, sabiendo las coordenadas del punto del plano
M(x0, y0, z0) y vector normal del plano n= {A; B; C}
 Se puede utilizar la fórmula siguiente.
A(x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0

3. Ecuación del plano, que pasa por tres

Si hay dadas coordenadas de tres puntos A (x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3),
que están en plano, entonces ecuación del plano se puede calcular por la fórmula
siguiente.

x - x 1 y - y1 z - z1
x2 -  x 1 y2  - y1z2 - z1 = o
x3 -  x1 y3  - y1z3 - z1

2. Ecuación en forma vectorial

El plano       que contiene al punto       y tiene como vectores

directores los vectores       y       es el conjunto de puntos del espacio que
verifican la siguiente relación vectorial:

Con      

Teniendo en cuenta que     , resulta:

Expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.

18
 3. Ecuación en forma paramétrica

Desarrollando la ecuación vectorial expresada en componentes, resulta:

Expresión que se conoce como ecuación en forma paramétrica.

4. Ecuación normal

Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del

mismo y un vector normal al plano.

Sea       un punto dado del plano       y sea       un

vector normal a     . Entonces, para cualquier punto       del plano     

, el vector       es perpendicular a     , de manera que

Expresión que recibe el nombre de ecuación normal del plano. A partir de la

ecuación normal del plano se puede obtener muy fácilmente su ecuación general:

Donde     .

18
 3. DISTANCIA ENTRE RECTAS, RECTA Y UN PLANO Y PLANOS

1. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del

segmento perpendicular a la recta, trazada desde el
punto.

Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x +

4 y = 0.

Distancia al origen de coordenadas

Ejemplo: Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.

2. Distancia entre rectas

18
 Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto
cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

Ejemplos:  Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

2  Hallar la distancia entre las rectas:

4. RELACION ENTRE PLANOS Y RECTAS

El método que estamos proponiendo es el denominado "sistema directo", aunque
para su aclaración usemos unas perspectivas caballeras convencionales. La
diferencia entre este método directo, y el más común de la geometría descriptiva,

18
consiste en que aquel emplea el sistema cónico, y desde él, con sus propios
recursos, se resuelven los problemas del espacio; en tanto que el "sistema
indirecto" pasa por la representación previa en sistema diédrico de las formas, que
se transfieren luego a la perspectiva cónica.

DEFINICION: El plano, como en cualquier sistema geométrico, se define por

elementos de menos dimensiones que le pertenecen:

 Por tres puntos no alineados

en recta;

 Por dos rectas que se cortan;

 Por una recta y un punto;

 Por dos rectas paralelas.

En el sistema cónico el medio más directo e intuitivo es por sus trazas (rectas de
intersección con los planos del sistema) Diversas posiciones de planos definidos
por sus trazas: Traza vertical (Tv) traza con el cuadro. Traza horizontal (Th) traza
con el geometral. Traza límite (Tl) traza con el infinito.

DEFINICION: Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados, sin ningún

tramo curvo, que no tiene ni principio ni fin.

Cualquier recta viene determinada por 2 puntos, ya que por 2 puntos tan sólo
puede pasar una recta.

18
La recta tan sólo tiene una dimensión (largo), mientras que el plano tiene 2 (largo y
ancho).

Las rectas pueden ser:

Paralelas: son 2 rectas que están en el mismo plano y por mucho que se
prolonguen hacia el infinito nunca se cortan.

Secantes: son 2 rectas que están en el mismo plano y que se cortan, o bien
aunque no se corten si se prolongan terminarían cortándose.

Perpendiculares: son 2 rectas que están en el mismo plano y que se cortan

formando cuatro ángulos rectos.

Rectas que se cruzan: son 2 rectas que están en planos distintos.

5.

5. POSICIONES RELATIVAS

1. POSICIONES RELATIVAS DE LAS RECTAS

Si la recta r viene determinada por y y la recta s por

18
 y , la posición relativa de r y s viene dada por la

posición de .

Si hay dos posibilidades:

1. Rectas coincidentes:

2. Rectas paralelas:

Si hay otras dos posibilidades:

3. Rectas secantes:

18
 4. Rectas que se cruzan:

2. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Sea una recta definida por el punto A y el vector . y un plano cuyo rector normal

es . Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición A
Recta contenida en el
=0 π
plano
Recta y plano paralelos = 0 π
Recta y plano secantes ≠0  

1. Recta contenida en el plano

2. Recta y plano paralelos

18
 3. Recta y plano secantes

3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Dados los planos:

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'  

Secantes 2 2

Paralelos 1 2

Coincidentes 1 1

4. HAZ DE PLANOS

18
 1. Haz de planos paralelos

Dos planos son paralelos si los coeficientes x, y, z de sus ecuaciones son

proporcionales; pero no lo son sus términos independientes.

Todos los planos paralelos a uno dado admiten una ecuación de la forma:

Ejemplo: Hallar el plano que pasa por el punto (3, −1, 2) y es paralelo a

2. Haz de planos de eje r

Se llama haz de planos de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a
la recta r.

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:

la ecuación del haz de planos de eje r nieve dada por la igualdad:

18
Si dividimos por λ y hacemos , la ecuación del haz resulta:

18