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CAPÍTULO 3: ECCIONES CÓNICAS
Objetivos específicos
El alumno al término de la unidad deberá:
1. Definir e inducir la ecuación de las cónicas, así como el establecer las diferentes relaciones que existen en
cada una de éstas. .
2. Generalizar el estudio a las cónicas de ejes oblicuos.
3. Aplicar correctamente las coordenadas polares al cálculo y a la geometría analítica.
Las tres curvas se estudiarán bajo el mismo esquema: definición, descripción y análisis. Lo hacemos de esta manera
para facilitar el aprendizaje del alumno y ver las relaciones que existen entre ellas. Se usará el método inductivo,
empezaremos con el estudio de éstas en su posición más particular y luego se procederá a generalizar el problema
de modo gradual, hasta llegar a la situación más general.
3.1. Definiciones
a) Si el plano secante es paralelo a la generatriz del cono, generamos la parábola. Fig. ( 3.1a )
b) Si el plano corta a una sola rama del cono, obtenemos la elipse. Un caso particular se tiene cuando el plano
es perpendicular al eje se tiene una circunferencia. Fig. (3.1 b )
Eje
Generatriz
Generatriz
Vértice
Vértice
Hipérbola
Elipse Circunferencia
Parábola
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3.2. La Parábola
3.2.1. Definición
Una parábola es el Lugar Geométrico de los puntos X = (x, y) que equidistan de una recta fija llamada directriz
“L” y de un punto fijo llamado foco “F””. (figura 4.2).
3.2.2. Descripción
Se sugiere al alumno que la lectura del texto vaya acompañado permanentemente, de la identificación del tema
en el esquema geométrico dado en la figura 3.2.
El esquema geométrico muestra a una parábola de vértice en el origen y eje sobre el eje XX, por tanto el vértice V =
(0, 0) y el eje tendrá como ecuación y = 0. Es importante tener en cuenta que el vértice V es el punto en donde el
eje corta a la parábola.
La distancia entre V y el F, esto es, //FV// se le denomina distancia focal y la hacemos //FV// = c, por tanto F =(c,
0), debido a la posición particular que tiene la parábola elegida.
El Lado Recto es la cuerda focal perpendicular al eje, esto es , pasa por el Foco y es perpendicular al eje de la
parábola. Sus extremos son los puntos R y R’, luego LR = //RR’//. En la figura aparece en línea de trazos.
Como vértice V pertenece a la parábola dicho punto debe equidistar del foco F y de la directriz L, por tanto, si I es
la intersección entre la directriz y el eje, entonces el vértice V es el punto medio entre F e I, en consecuencia:
La directriz “L” es una recta exterior a la parábola y perpendicular al eje, como se muestra en la figura y por lo
anterior pasa por I = (-c, 0 ) luego la ecuación de L será x = -c
La excentricidad “e”, se define como la relación que existe entre la distancia de un punto cualquiera de la cónica X
con el foco F y la distancia de ese mismo punto X a la directriz L, luego:
// FX //
Excentricidad = e =
d XL
Como //FX// = dXL, por definición, entonces la excentricidad en una parábola es igual a 1, esto es, e = 1. Por
tanto podemos afirmar que en toda parábola la excentricidad es igual a la unidad.
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La tangente a la parábola en el vértice, como se muestra en la figura, coincide con el eje YY’ y por tanto dicha
tangente tendrá como ecuación x = 0.
Para calcular dXL trazamos la perpendicular de X a L, de modo que el pie de dicha perpendicular sea Q, por tanto
dXL =//QX//, como Q pertenece a la directriz su abscisa será x = - c y su ordenada será la misma del punto X, es
decir y = y, por tanto Q = (-c, y).
Luego QX = X - Q = (x, y ) - ( -c, y) = (x + c, 0 ) en consecuencia //QX// = ( x c ) 2
Que corresponde a la ecuación de una parábola de Vértice en el Origen y Eje sobre el eje XX.
De la figura 4.2 se deduce que R y R’ son dos puntos simétricos respecto al eje, y se encuentran sobre la
perpendicular que pasa por el foco F = (c, 0), por tanto R y R’ tienen como abscisa x = c, conocida la ecuación de
la parábola, vemos que el LR se puede calcular determinando la ordenada del punto R y multiplicándola por dos,
esto es, 2/y/.
Si x = c y2 = 4c( c ) = 4c2 , luego / y/ = 2/c/ entonces y= ± 2c por tanto R = (c, 2c) y R’ = (c, -2c)
En consecuencia LR =2/y/ = 4/c/ , el valor absoluto se incluye debido a que LR es una norma y esta siempre es
positiva. Luego LR = 4/c/
Al observar la figura podemos ver que existe otra parábola, que satisface las condiciones geométricas iniciales,
pero que se abre hacia la izquierda. (en la figura 4.2 se muestra en línea de trazos). Vemos que la diferencia entre
éstas dos se da en el dominio, la parábola que se abre hacia la derecha tiene como dominio x 0, mientras que la
otra su dominio es x 0. Por tanto debemos estudiar el dominio de la parábola para poder determinar cuál es el
parámetro que nos permita diferenciar éstas dos alternativas posibles.
Si la ecuación de la parábola es y2 = 4cx, y queremos estudiar su dominio tenemos que explicitar la función, por
tanto: y = 4cx 4cx 0 dividiendo entre 4: cx 0 , luego esta desigualdad quedará satisfecha
cuando ambos sean positivos ó cuando ambos sean negativos.
Primer Caso: la parábola que se abre hacia la derecha tiene como dominio los x 0 , en consecuencia para
satisfacer cx 0 , c tiene que ser c > 0.
Segundo Caso: la parábola que se abre hacia la izquierda, tiene como dominio los x 0, por tanto para
satisfacer cx 0 , c tiene que ser c < 0.
d) Vamos a determinar ahora la ecuación de la parábola de vértice V = (0, 0) y Eje = YY, y lo vamos a realizar
haciendo una rotación de 90° de los ejes, de modo que lo que antes era y ahora será x, y al revés lo que antes era x
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ahora será y, esto es, hacemos x = y. Esto se realiza mediante un proceso de inversión, pero para que esto sea
posible la función tiene que ser inyéctiva, y nuestra expresión es una relación, por tanto debemos restringir el rango
y definir dos funciones derivadas de nuestra relación:
Función Inversa
1. y2 = 4cx si x 0 e y 0 x2 = 4cy si y 0 y x 0
2. y2 = 4cx si x 0 e y < 0 x2 = 4cy si y 0 y x < 0
e) Generalización
Las ecuaciones vistas hasta el momento nos permiten estudiar parábolas que tiene su vértice en el origen, esto
claramente es una limitación, por tanto es necesario encontrar la manera de que ganemos en libertad, de modo que
el vértice sea cualquier punto del espacio bidimensional. Para poder conseguir esto es necesario acudir a estudiar
la traslación de ejes, que a continuación exponemos:
Consideremos dos sistemas O y O’ paralelos entre si, de modo y’ y
que O medido desde O’ sea O = ( h, k), como se muestra en la Fig..
De esta manera hemos ganado en libertad, con estas dos ecuaciones podemos estudiar parábolas de vértice en un
punto cualquiera del plano V = (h, k), pero los ejes serán paralelos a los ejes de coordenadas.
El caso más general se da cuando el vértice es un punto cualquiera de V2 y el eje una recta cualquiera. Para
estudiar estas parábolas no se tiene una ecuación, como en los casos anteriores, de modo que su cálculo se realiza
a partir de la definición de la parábola ó la de excentricidad, e = //FX// / dXL . Como en una parábola e = 1, solo
hace falta conocer el foco F y la recta directriz L, con esa información estamos en condiciones de definir totalmente
a la parábola de eje oblicuo. A continuación vamos a desarrollar un ejemplo que ilustre lo que estamos
mencionando.
Ejemplo 4.1.
Determinar totalmente a la parábola que tiene como directriz a la recta y = x y como foco F = (2, 5).
Si la directriz L está dada por y = x
5
Como el eje pasa por el foco, F = (2, 5) y es perpendicular a
L,su vector de dirección será el vector normal a L, N =
(1, -1),por tanto:
IX . N L
Como dXL =
NL
Operando y simplificando: x 2 2 xy y 2 8x 20 y 58 0
Es importante resaltar la presencia del término “xy” en la ecuación hallada, que viene a ser el factor que me indica
que la cónica tiene eje oblicuo. Además cabe añadir que cuando la parábola tiene eje oblicuo su ecuación contiene
a las dos variables x e y elevadas al cuadrado, esto es, aparecen x2 e y2 en la expresión.
Ejemplo 4.2:
Determinar la ecuación canónica de la parábola de vértice (2,1) y foco (2,4) (ver figura 3.5).
Ejemplo 4.3:
6
x 2 y 0 P( 2, 0 )
La tangente en el vértice: :
1 1 A ( 1, 1 ) y N ( 1, 1 )
FI
De la figura se deduce que V equidista de F e I por tan to V de mod o que I 2V F
2
Luego : I ( 2 , 2 ) ( 0 ,0 ) ( 2 , 2 ) por tan to la directriz L 2 , 2 t 1, 1
La ecuación de la parábola será :
// FX // x2 y 2
e 1 x 2 y 2 d XL
d XL d XL
XI . N L
d XL
NL
XI ( x 2 , y 2 ) XI .N L x 2 y 2 y x 4
yx4 yx4
d XL x2 y 2
2 2
Elevando al cuadrado : 2 x 2 y y 2 xy x 2 8 x 8 y 16
2 2 2
Luego : x 2 y 2 2 xy 8 x 8 y 16 0
Ejemplo 4.4:
x 0 y 1
La recta tangente se puede expresar
1 2
De modo que T= (0, 1) + t(1, 2) y NT =(2, -1)
//FX// = x 2, ) 2 ( y 3
2
y dXL = 2 x 28 / 5 y 3 / 5
5
Reemplazando en (1):
x 2, ) 2
(y 3
2
2 x 28 / 5 y 3 / 5
x 2 4 xy 4 y 2 40 x 40 y 40 0
5
7
Ejemplo 4.5:
Hallar la ecuación canónica de la parábola cuyo vértice es el origen y cuyo foco está en (0,2).
Solución:
Ejemplo 4.6
// FX // x2 y2 Eje
e 1 x 2 y 2 d XL
d XL d XL
XI . N L
d XL
NL x
XI ( x 2 , y 2 ) XI .N L x 2 y 2 y x 4 V
yx4 yx4 I
d XL x2 y2
2 2
T
Elevando al cuadrado :
L
2 x 2 2 y 2 y 2 2 xy x 2 8 x 8 y 16
Luego : x 2 y 2 2 xy 8 x 8 y 16 0
En los ejercicios 15-19, hallar las coordenadas de los vértices, la ecuación de la directriz, y la del eje de la
parábola. Dibujar cada una de las curvas:
15) (y -1)² = 12x - 6; 16) x²+ 8y = 0; 17) x + y² = 0; 18) (y + 1/2)² = 2(x - 5); 19) 4x - y² -2y -33 = 0.
En los Ejercicios 20-25, hallar las coordenadas de los vértices, la ecuación de la directriz, la del eje, y de la
parábola. Dibujar cada una de las curvas:
8
20) Foco en (0,-1/4), ecuación de la directriz, x = 1/4.
23) Partiendo de la definición, determinar totalmente a la parábola cuyo foco es el origen y cuya directriz es la
recta 2x + y = 10.
26) Hallar la ecuación de la parábola de directriz y = -2 y "latus rectum" que une los puntos (0,2) y (8,2).
27) Suponer un puente colgante cuyos cables tienen forma de parábola y están unidos a dos torres de 50 pies
de altura separadas por una distancia de 400 pies (ver figura 4.10). Si los cables tocan el punto medio de
la carretera entre los puntos; calcular una ecuación para la parábola que forma cada cable.
30) Hay una parábola que pasa por los puntos (-2,0), (-1,2), (0,3), (1,2), (2,0).
32) a) ¿Una parábola con eje paralelo al eje x es la gráfica de una función real de variable real? ¿Por qué?
b) ¿Una parábola con eje paralelo al eje y es la gráfica de una función real de variable real? ¿Es la gráfica
de una función univalente? ¿Por qué?
33) La cuerda de una parábola que pasa por el foco y que es perpendicular al eje se llama lado recto o “latus
rectum.”
b) Usando el mismo sistema de ejes en todos los casos, dibujar las gráfica de y² = 4cx para c = 1, 2, 3.
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35) F = (8,0), ecuación de la directriz: x = 1.
La forma general de la ecuación cartesiana de una parábola con eje paralelo al eje y es:
y = ax² + bx + c, a 0.
En los ejercicios 36-38, obtener una ecuación de esta forma de la parábola P que pasa por los puntos dados Q, S
y T.
39) Un arco parabólico de acero, tiene diez metros de altura, con el eje vertical y cuyos puntos de apoyo están
separados por 20m. ¿Está el foco de la parábola sobre el suelo o debajo de él, y a qué distancia de la
superficie está?
40) Se tiene un reflector parabólico, cuya forma se obtiene haciendo girar un arco de parábola que empieza en el
vértice, alrededor del eje de la parábola. Si el foco está a 9cm del vértice y el arco parabólico tiene 16cm de
profundidad, ¿cuál es la abertura del reflector?
41) Cuando se arroja una piedra desde un punto A, la piedra viaja aproximadamente a lo largo de un arco
parabólico con eje vertical. Si se arroja la piedra en una dirección que forma un ángulo de 45° con la
horizontal, entonces el foco de la parábola está sobre una recta horizontal que pasa por A. Supongamos que
una piedra que se lanza con este ángulo de elevación llega a una altura máxima de 40m. ¿Qué distancia
recorre la piedra horizontalmente hasta el momento de alcanzar una altura igual a la del punto A?
b) Que pasa por el punto P = (10, 7), su directriz L es la recta x + 2y + 1 = 0 y su tangente en el vértice T es la
recta x + 2y – 4 = 0.
d) De foco F = (2, 0), pasa por el punto P = (8, 8) y un punto de la tangente en el vértice T es T = (0, 9)-
e) De foco F = (-2, 1), pasa por el punto P = (-8, -1) y siendo Q = (2, 9) un punto de su directriz L.
f) Que pasa por los puntos P =(4, 4) y Q = (10, 10) y su tangente en el vértice es la recta x – 2 = 0.
h) Cuyos extremos del Lado Recto son R = (3, -4) y R’ = (-1, 8).
i) De foco en F = (1, 2), pasa por un punto P = (7, 10) y su tangente en el vértice es x +1 = 0.
43) ¿Cuál es el Lugar Geométrico de los puntos medios de un haz de cuerdas que pasan por el foco de la parábola
y2 = 8x.?
44) Demostrar que todas las cuerdas PQ, vistas desde el vértice de una parábola y2 = 4px bajo un ángulo recto
son concurrentes.
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45) Se da un punto fijo A = (a, 0). Un punto móvil parte del origen O en dirección OY. Por A se traza una
perpendicular al segmento AB. definido por A y el extremo corresponde a la posición del móvil en un instante
dado. Y por B se traza una perpendicular al eje YY: Ambas perpendiculares se cortan en I. ¿Qué Lugar
Geométrico describe I? (figura 3.12a)
y
I
B
x
O A
46) Si M = (4, 2) es el punto medio de una cuerda AB de la parábola y2 = 6x. Hallar la ecuación del
diámetro que la biseca y la ecuación de la cuerda. Ver figura 3.12b
3.3. La elipse
3.3.1. Definición
Una elipse es el Lugar Geométrico de los puntos X = (x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados
focos es constante e igual a la longitud del eje transverso (2a) (ver figura 3.13).
3.3.2. Descripción
Vamos a iniciar nuestro estudio considerando el caso más simple, la de una elipse con centro en el origen y eje
sobre el eje XX, como se muestra en la figura 3.13.
En la figura 3.13 se muestra al eje transverso que coincide con el eje XX, y corta a la elipse en dos puntos llamados
vértices V y V’. La distancia entre vértices es la longitud del eje transverso y la hacemos igual a //VV’//= 2a,
también se le denomina diámetro mayor. Por la posición particular de la elipse tenemos que V = (a, 0) y
V’ = (-a, 0). El centro equidista de los vértices, luego C = (V + V’)/2
De modo análogo el eje conjugado coincide con el eje YY, y corta a la elipse en dos puntos, llamados también
vértices V1 y V1 ’. En donde la distancia entre éstos se denomina longitud del eje conjugado y la hacemos igual a
//V1 V1 ’// = 2b, también toma el nombre de diámetro menor. Por la razón anterior se tiene que V1 = (0, b) y V1 ‘=
(0, -b). El centro equidista de los vértices, luego C = (V1 + V1’)/2
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Los focos son dos puntos interiores a la elipse que se encuentran sobre el eje transverso, F y F’ y equidistan del
centro C, luego C = (F + F’)/2. La distancia entre los focos se denomina distancia focal y la hacemos igual a
//FF’// = 2c. Por lo dicho anteriormente F = ( c, 0 ) y F’ = ( -c, 0 ).
Las directrices L y L’ son dos rectas exteriores a la elipse, ortogonales al eje transverso y equidistantes entre si
respecto del centro C de la elipse.
El Lado Recto, es la cuerda focal perpendicular al eje, corta a la elipse en los puntos R y R’, de modo que
LR=//RR’//.
La excentricidad “e” se define como el cociente entre la distancia de un punto cualquiera X de la elipse al foco F
sobre la distancia de dicho punto a la directriz L, la expresión matemática correspondiente será:
FX
e , como vemos coincide con la definición vista en la parábola.
d XL
a) Ecuación de la cónica:
Tomamos un punto cualquiera de la curva, representado por X = (x, y) y trazamos sus distancias a los focos //FX//
y //F’X// respectivamente como se muestra en la figura 3.10, teniendo en cuenta la definición:
// FX // // F ' X // 2a
FX ( x , y ) ( c , 0 ) ( x c , y ) // FX // ( x c ) 2 y 2
F' X ( x , y ) ( c , 0 ) ( x c , y ) // FX ' // ( x c ) 2 y 2
Re emplazando en ( 1 ) : ( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2 a
Ordenando : ( x c )2 y 2 2 a ( x c )2 y 2
02 b2
Si V1 ( 0 , b ) : 1 b 2 a 2 c 2 a 2 b 2 c 2 , si observamos la figura podemos ver
a2 a2 c2
que // FV ' // a
x2 y2 C ( 0 , 0 )
Por tan to : 1
a 2 b2 Eje XX
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c) Cálculo del Lado Recto:
El cálculo se realiza de la misma manera como se hizo con la parábola, esto es calculando la ordenada de R y
multiplicándola por 2.
2 2
Como x = c : c y 1 c2 a2 c2 b4 b2
y 2 b 2 1 2 b 2 2 y
a2 b2 a a2 a a
Luego: R = ( c, b2 /a ) y R’ = ( c, - b2 /a )
c) Cálculo de la ecuación de la elipse de centro en el origen C = (0, 0) y Eje sobre el eje YY.
Para realizar este cálculo nos basaremos en el realizado en la parábola, en donde usamos el proceso de inversión,
pero para hacerlo, tendremos en primer lugar que dividir la ecuación de la elipse en cuatro funciones inyectivas.
Debido a su posición tan particular éstas quedan situadas en los cuatro cuadrantes del sistema bidimensional, en
este caso hay necesidad de restringir el dominio y el rango de la relación, como se muestra en la tabla adjunta:
x2 y2 y2 x2
1 si 0 xa 0 yb 1 si 0 y a 0 xb
a2 b2 a2 b2
x2 y2 y2 x2
2 1 si a x 0 0 yb 1 si a y 0 0 yb
a2 b a2 b2
x2 y2 y2 x2
2 1 si a x 0 b y 0 1 si a y 0 b x 0
a2 b a2 b2
x2 y2 y2 x2
2 1 si 0 x a b y 0 1 si 0 y a b x 0
a2 b a2 b2
y2 x2 C ( 0 ,0 )
1 (figura3.14)
a2 b2 Eje YY
d) Cálculo de la excentricidad “e”, de la distancia del vértice a la directriz L “ dV L“ y la distancia del centro C
a la directriz L “dC L “ :
//FV // a c
e (1)
dVL dVL
// FV ' // a
Si V’ Elipse debe satisfacer la ecuación de la excentricidad: e (2)
dVL a dVL
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a c a
Por la transitiva: e a 2 ac adVL cdVL adVL
dVL a dVL
a 2 ac
De donde se deduce que: dVL (3)
c
Como las directrices son perpendiculares al Eje x este coincide con el eje XX, para determinar la directrices
bastaría conocer la abscisa de un punto de ella. En el esquema geométrico podemos ver que la directriz L corta al
eje XX en un punto I cuya abscisa coincide con “dCL“, y L’ lo hace en un punto que es simétrico a I respecto al
centro C, esto es, I’ luego: L: x = a2 / c y L’: x = - a2 / c
g) Generalización:
y’ y
De modo análogo al caso de la parábola, necesitamos ganar en
libertad, que el centro C sea un punto cualquiera de V2 , tal
como C = ( h, k ). Para conseguir esto hacemos una traslación
de ejes:Tenemos que para hacer una traslación; las ecuaciones
k C
x x' h O
x
que nos permiten hacerlo son: (1)
y y' k
En la figura tenemos una parábola que medida respecto a O x2 y2
2 2 2
1
x y a b2
tiene por ecuación 1 ,(2)
a 2 b2
Si queremos verla desde O’, reemplazamos (1) en (2): 0’ h x’
( x' h )2 ( y ' k )2 C ( h, k )
1
a2 b2 Eje // XX
( y' k )2 ( x' h )2 C ( h, k )
Haciendo lo mismo con la otra elipse: 2
2
1
a b Eje // YY
Con estas dos ecuaciones podemos calcular elipses de centro en cualquier punto de V2 , siendo sus ejes paralelos a
los ejes de coordenadas.
Ejemplo 4.7:
Hallar la ecuación canónica de la elipse con focos en (0,1) y (4,1) cuyo eje mayor tiene longitud 6 (ver figura 3.16).
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Ejemplo 4.8:
La Luna gira alrededor de la Tierra según una órbita elíptica con la Tierra en uno de los focos (ver figura 3.17). Si
las longitudes de los ejes mayor y menor son 774,000 km y 773,000 km respectivamente, ¿cuáles son las distancias
máxima y mínima (apogeo y perigeo) entre los centros de la Tierra y la Luna?
Cada una de las ecuaciones en los Ejercicios 42 y 43 representa una elipse. Hallar las coordenadas del centro,
los focos y los vértices, y dibujar cada curva. Determinar también la excentricidad.
y2 x2
42) 1
100 36
43)
En cada uno de los ejercicios del 44-48, hallar la ecuación cartesiana (en la forma canónica apropiada) para la
elipse que satisface las condiciones dadas. Dibujar cada curva.
46) Centro en (2,1), eje mayor paralelo al eje x, la curva pasa por los puntos (6,1) y (2,3).
47) Focos (0,5) y (0,-5), suma de las distancias a los focos desde un punto cualquiera de la elipse igual a 14.
48) Centro (1,2), eje mayor paralelo al eje y, la curva pasa por (1,6) y (3,2).
49) El "latus rectum" de una elipse es una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor.
Probar que su longitud es 2b²/a.
50) Probar que las excentricidades de las elipses (x²/a²) + (y²/b²) = 1, y (tx)²/a² + (ty)²/b² = 1 coinciden para
todo t real. Interpretar geométricamente este resultado.
51) Un segmento de 9 pulgadas de longitud se mueve de forma que uno de su extremos está siempre sobre el
eje x, mientras que el otro siempre está sobre el eje y. Hallar la ecuación de la curva que describe el punto
del segmento que está a una distancia de 6 pulgadas del extremo que se mueve sobre el eje y.
52) El satélite ruso Sputnik I fue puesto en órbita en octubre de 1957, de forma que sus distancias máxima y
mínima a la superficie de la Tierra eran 583 millas y 132 millas, respectivamente. ¿Cuál es la
excentricidad de esa órbita?
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Verdadero y falso.(Ejercicios 53-55)
53) Si 0 < p < q, entonces la excentricidad de la elipse (x²/a²) + (y²/b²) = q²; es mayor que la de la
elipse (x²/a²) + (y²/b²) = p².
54) Para todo valor de el punto (a sen , b cos ) yace sobre la elipse (x²/a²) + (y²/b²) = 1.
56) Encontrar una ecuación de cada uno de los siguiente conjuntos y dibujar:
a) Todos los puntos P = (x, y) tales que la distancia de P a (1, 2) es dos tercios de la distancia de P a la
recta y = 7.
b) Todos los puntos P = (x, y) tales que la suma de distancias de P a los puntos (-3, 2) y (-3, 6) es 6.
En los ejercicios 57 y 58, emplear la definición de elipse para obtener la ecuación cartesiana de la elipse E:
x2 y2
59) Demostrar que el ancho focal de una elipse E cuya ecuación es: 1 es igual a
a2 b2
c
2b 1 e 2 donde e .
a
3.3.6. La circunferencia
Luego: (x – h)2 + (y – k) 2 = a2
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La circunferencia es la curva que tiene infinitos ejes de simetría ya que todos los diámetros gozan de esta
propiedad. Esto hace que su definición y manejo sea relativamente simple. De modo que cualquier circunferencia
queda definida conociendo su centro y su radio.
2) Por un punto exterior P a una circunferencia de centro C = (h, k) y radio R, se pueden trazar dos
tangentes.
Conocidos los puntos T y T’, podemos calcular las ecuaciones de las tangentes, que serían:
T = { P + t (PT) } y T’ = { P + t(PT’)}
NOTA : El lector deberá tener en cuenta, que al resolver un sistema de dos ecuaciones bicuadradas, el camino
a seguir es distinto de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. El método a seguir es el
siguiente restará las dos ecuaciones bicuadradas de las circunferencias dando como resultado una
ecuación lineal en x e y, dicha ecuación corresponde a la recta secante que pasa por los puntos de
tangencia T y T’, luego interceptará dicha recta con la ecuación de cualquiera de las circunferencias.
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3) Si dos circunferencias C y C’ de radios R y R’ respectivamente se cortan en T y T’, la recta que contiene a
los centros es la mediatriz del segmento TT’.
Demostración:
Mediatriz = { C + t (CC’)}
Ejemplo 4.9: Obtener la ecuación cartesiana de la circunferencia de radio 6 con centro en C = (4,-7).
Solución:
Solución:
Tenemos: x² + y² - 6x + 4y + 4 = 0 x² + y² - 6x + 4y = - 4
[ x² - 6x + (3)²] + [ y² + 4y + (2)² ] = - 4 + (3)² + (2)²
Por lo tanto el lugar geométrico, es una circunferencia de radio R = 3 con centro en el punto C = (3,-2).
Ejemplo 4.11: Obtener una ecuación cartesiana de la circunferencia cuyo centro es C= (5,4), si la recta cuya
ecuación es x + y = 3 es tangente a la circunferencia C.
Solución:
Nuestro problema, conocido el centro C = (5, 4), es determinar el radio. Realizando un esquema geométrico,
como el que se muestra en La figura 3.19, observamos que el radio de ésta coincide con la norma de la
proyección del vector IC sobre el vector normal de la tangente T.
En la ecuación x + y = 3 para T: x 3 y 0
1 1
De
NT
donde: T
IC = C - I = (5,4) – (3, 0) = (2, 4) 4 C
3
18
I x
O 3 5
0
O
0
IC . NT = (2, 4) . (1, 1) = 6 y // N // = 2
Remplazando en (1): IC . N T 6
R 3 2
NT 2
60) Se puede construir una circunferencia cuya longitud y la de su radio sean ambas racionales.
61) Si ax² + by² - cx + dy + e = 0, representa la ecuación de una circunferencia, demostrar que a y b han de
ser iguales.
63) Encontrar las ecuaciones de las siguientes circunferencias y dibujar sus gráficas:
a) { ( t, t + 5 ) }
d) La recta que pasa por el punto (0,6) paralela al vector (10,- 6).
En los ejercicios 65-67, obtener una ecuación cartesiana de la recta L que es tangente en el punto T a la
circunferencia cuya ecuación se da.
67) T = (2,-1), x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0
En los ejercicios 68-70, obtener la ecuación cartesiana de la circunferencia C cuyo centro S, y la ecuación de la
tangente son dados:
En los ejercicios 71 y 72, obtener la ecuación cartesiana de la circunferencia que satisface las condiciones dadas.
71) Pasa por los puntos S = (0, 0) y T = (6, 2) con centro sobre la recta 2x + y = 0.
19
72) Es tangente a la recta x-2y-3 = 0 en el punto S = (-1,-2), y tiene radio 5 . (Dos soluciones).
73) Una circunferencia C de centro y radio variables es tangente interiormente a la circunferencia ( x +1)²
+ y² = 9, y pasa por P = (1, 0). ¿Qué lugar geométrico describe su centro?.
3.4. La Hiérbola
3.4.1. Definición
El lugar geométrico de los puntos X = (x,y), tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F y F’
llamados focos es constante e igual a la longitud del eje transverso (2a). (figura 3.21).
3.4.2. Descripción
El lugar geométrico de los puntos X = (x,y), tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F y F’
llamados focos es constante e igual a la longitud del eje transverso (2a). (figura 4.18).elegimos una hipérbola de
centro C = (0, 0) y Eje sobre el eje XX.
El trazado del esquema geométrico debe seguir un orden, ya que de lo contrario es muy probable que el gráfico
salga distorsionado. Por ese motivo se recomienda al alumno seguir el orden que a continuación se señala: Se
sugiere al alumno leer cada paso detenidamente y verlo en el esquema que se le adjunta.
a) Trazamos los ejes de la hipérbola, que en este caso coinciden con los ejes coordenados, y las asíntotas A y A’,
sabiendo que los ejes son bisectrices de los ángulos que forman A y A’ entre si. Es importante indicar que tanto
los ejes como las asíntotas se cortan en el centro de la hipérbola.
b) Luego trazamos las tangentes a la hipérbola en los vértices, éstas cortan a las asíntotas A y A’, de modo que al
unir dichos puntos de corte se forma un rectángulo.
20
c) Con las tangentes y las asíntotas podemos hacer el trazado de la curva de modo muy aproximado debido a que
dichas rectas nos marcan la tendencia de la curva.
d) Con centro en el centro de la hipérbola y radio igual a la mitad de la diagonal del rectángulo, trazamos dos
arcos, hasta cortar al eje transverso, dichos puntos serán los focos F y F’.
e) Trazamos las dos directrices L y L’, que son rectas externas a la hipérbola y perpendiculares al eje transverso.
f) Trazamos el lado recto, que es la cuerda focal perpendicular al eje , que corta a la hipérbola en los puntos R y
R’.
- De manera similar que en la elipse, el eje transverso “ET” corta a la hipérbola, en dos puntos V y V’ llamados
vértices. A la distancia entre vértices se le denomina longitud del Eje Transverso y la hacemos igual a // VV’
// = 2a. Ahora debido a la posición tan particular de la hipérbola elegida V = ( a, 0 ) y V’ = (- a,0 ).
- De modo análogo el eje conjugado “EC”, corta a los lados paralelos del rectángulo formado, en B y B’ que
son los extremos del EC. A la distancia entre dichos puntos, se le denomina longitud del eje conjugado y la
hacemos igual a // BB’ // = 2b. De modo que B = (0, b) y B´ = (0, - b), por la misma razón anterior.
- A la distancia entre focos // FF’ // se denomina distancia focal y la hacemos igual a //FF’// = 2c. Por tanto los
focos serán F = ( c, 0) y F’ = ( - c, 0 ).
- El lado recto LR = // RR’ //, y de modo análogo al de la elipse y la parábola coincide con el doble de la
ordenada del punto R.
NOTA: es importante advertir al lector que tanto los vértices V y V’ como B y B’ y los focos F y F’ equidistan
del centro, por tanto se cumple que:
F’X = X – F’ = ( x + c, y ) // F' X // ( x c )2 y 2
FX = X – F = ( x - c, y ) // FX // ( x c )2 y 2
Reemplazando en (1):
( x c )2 y 2 - ( x c )2 y 2 = 2 a
( x c )2 y 2 = 2 a + ( x c )2 y 2
Ordenando: ( c2 - a2 ) x2 - a2 y2 = a2 ( c2 – a2 )
Reemplazando: C ( 0 ,0 )
x2 y2
2 1
a 2
b Eje XX
21
De modo análogo a lo realizado en la elipse, esta hipérbola la calcularemos mediante una inversión. Para poder
hacer esto es necesario dividir a nuestra relación en cuatro funciones inyectivas de modo similar a lo realizado con
la elipse. A modo de ayuda nos limitaremos a hacer una de ellas de modo que el alumno realice las otras tres.
Función: x2 y2 si x a y 0
1
a2 b2
Inversa: y2 x2 si y a x 0
1
a2 b2
Generalización de la hipérbola:
Mediante una traslación de ejes, se tiene de modo análogo que en la elipse las ecuaciones de una hipérbola de
centro en C = (h, k) y ejes paralelos a los ejes coordenados:
( x h )2 ( y k )2 C ( h, k ) ( y k )2 ( x h )2 C ( h, k )
1 y 1
a2 b2 Eje // XX a2 b2 Eje // YY
c2 y2 b2 b2
Si x = c :
1 y LR 2
a2 b2 a a
c) Cálculo de dVL , e y d CL :
Igualando y operando:
dVL = (a c – a2 ) / c = a( c – a ) / c
Por tanto: d CL = a2 / c
Como las directrices son ortogonales al ET y este coincide con el eje XX, basta conocer la abscisa de un punto de
ella para determinar su ecuación, ahora como el centro C coincide con el origen la distancia d CL coincide con
la abscisa del punto en donde L corta al eje, por tanto las ecuaciones de las directrices serán:
L: x = a2 / c y L’: x = - a2 / c
22
e) Cálculo de las asíntotas A y A’:
x2 y2 x y x y
1
a2 b2 a b a b
x y
u
Haciendo : a b y reemplazando estos valores en la ecuación tenemos:
x y
v
a b
uv = 1 que corresponde a la ecuación de una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas tienen como ecuación u = 0
y v = 0.
x y b x y b
Regresando a nuestras variables iniciales: 0 y x y 0 y x
a b a a b a
b b
Luego : A será y x y A' será y x
a a
Solución:
Mediante la expresión para el punto medio, deducimos que el centro de la hipérbola es (2,2). Además c = 3 y a = 2,
y por tanto: b² = 3² - 2² = 9 - 4 = 5
23
Así la ecuación de la hipérbola es: x 22 y 22 1
4 5
Ejemplo 4.13: Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices (3,-5) y (3,1), cuyas asíntotas son y =
2x - 8 e y = -2x + 4.
Solución:
El centro de la hipérbola C = (3,-5) + (3,1)/ 2 = (3,-2). Además, el eje transversal es vertical debido a que los
vértices tienen la misma abscisa x = 3. Como la distancia entre vértices es 2a, tenemos que VV’ = V’ – V = (3,-5) -
(3,1),= (0, -6 ), luego la //VV’// = 6 = 2a , entonces a = 3.
y 22 x 32 1
9 94
Operando: y 22
4x 3
2
1
9 9
Ejemplo 4.14:
Una explosión es registrada por dos micrófonos separados entre sí una milla de distancia. El sonido es recibido en
el micrófono A 2 segundos antes que en el micrófono B. ¿Dónde se produjo la explosión?
Solución:
Como la velocidad del sonido es 1100 pies/s, sabemos que la explosión sucedió 2200 pies más lejos de B que de A
(ver Figura 3.24). El lugar geométrico de los puntos que están 2200 pies más cerca de A que de B es, por definición
una rama de hipérbola:
x2 y2
2
1
a b2
5280
siendo c 2640
2
2200
a 1100
2
b² = c² - a²= 5759,600
x2 y2
1
1210000 5759600
24
Ejemplo 4.15:
Dada la cónica que tiene por directriz la recta que pasa por P’ simétrico a P =(3,-5) respecto a y – x = 3 y es
perpendicular a la recta y = 2x - 4. Y su foco es la intersección de y = x con x + y = -4; siendo su
excentricidad e = 5. Se pide determinar:
x 0 y 3 P ( 0, 3 ))
La ecuación de la recta dada, se puede expresar: L1 : de donde 1
1 1 A1 ( 1, 1 )
P’ = (-8, 6) J
y x
Como el foco es la intersección de dos rectas, resolviendo el sistema tenemos que y = x = -2 por
x y 4
tanto F = (-2, -2)
Como el Eje Transverso pasador el Foco y es perpendicular a la Directriz: ET = {(-2, -2) + t(1, 2)}
P' X .N L
Y dXL = (2)
NL
P’X = X – P’ = (x, y) – (-8, 6) = (x + 8, y – 6)
P’X : NL = (x + 8, y – 6).(1, 2) = x + 2y – 4
// NL // = √ 5
x2y 4
Reemplazando en (2): dXL =
5
25
x 2y 4
Remplazando en (1): ( x 2 )2 ( y 2 )2 = 5 x 2y 4
5
Elevando al cuadrado y operando: 3 y2 + 4xy – 12x – 20 y + 8 = 0
V ε ET: Para facilitar el cálculo buscamos otro punto de paso para ET, haciendo t = 1 se tiene P = (-1, 0),
luego ET = {(-1, 0) + t(1, 2)} luego: V = (t – 1, 2t)
1 5 5 1
VV’ = V’ – V = , 3 5 - , 3 5 = (-√5, -2√5) = -√5(1, 2)
2 2
// VV’ // = 5 luego a = 5/2
Como e = c/a entonces c = ae = 5√5/2 → c = 5√5/2
26
g) Los extremos del eje conjugado B y B’
Los extremos del EC se encontrarán en la intersección entre dicho eje y una circunferencia de centro en el
centro de la cónica y radio R = b = 5.
(2t) 2 + (-t) 2 = 25 → t = ± √5
h) El gráfico aproximado:
Cada una de las ecuaciones de los ejercicios 73-78 representa una hipérbola. Hallar las coordenadas del centro,
los focos y los vértices. Dibujar cada curva y mostrar las posiciones de las asíntotas. Calcular también la
excentricidad.
y2 x2
73) 1
100 64
En cada uno de los ejercicios 79-85, hallar la ecuación cartesiana (en la forma canónica adecuada) para la
hipérbola que satisface las condiciones dadas. Dibujar cada curva y las asíntotas.
79) Centro en (0, 0), un foco en (4, 0), un vértice en (2, 0).
81) Centro en (2, -3), eje transverso paralelo a uno de los ejes coordenados, la curva pasa por (3,-1) y (-1, 0).
82) Las asíntotas de una hipérbola son las rectas 2x - y = 0, y 2x + y = 0. Hallar la ecuación cartesiana de la
curva si pasa por el punto (3, -5).
27
Verdadero y falso (Ejercicios 86 y 87).
x2 y2 y2 x2
86) Las hipérbolas 1 1
a2 b2 b2 a2
tienen las mismas asíntotas.
88) Encontrar la ecuación para cada uno de los siguientes conjuntos. Dibujar cada uno de ellos:
a) Todos los puntos P = (x, y) tales que la distancia de P a (1, 2) es igual a tres medios de la distancia de
P a la recta y = 7.
b) Todos los puntos P = (x, y) tales que la diferencia de las distancias de P a los puntos (-3, 2) y (-3,6) es
±3.
89) La cuerda focal de una hipérbola que pasa por un foco y es perpendicular al eje transverso se llama lado
recto o cuerda focal. Demostrar que la longitud del lado recto de la hipérbola es 2b²/a.
La ecuación general de las cónicas de ejes paralelos a los ejes coordenados, se obtiene al desarrollar cada una de
las ecuaciones halladas anteriormente. La observación de la forma que adoptan cada una de ellas nos permite
deducir que todas quedan representadas con la ecuación siguiente.
Como se ha visto en los apartados anteriores la forma más conveniente de una cónica de estas características es su
forma canónica, debido a la información que contiene. Como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 4.16:
Por comparación a la ecuación, (x – h)2 /a2 + (y – k)2/b2 = 1, de una elipse de centro en C = (h, k) de eje paralelo
al eje XX y de ecuación y = k , de eje conjugado paralelo al eje YY y de ecuación x = h, su radio mayor a y radio
menor b y por tanto c = √a2 -b2. Sus vértices vienen dados por V = (h ± a, k); sus focos F = (h ± c, k) y sus otros
vértices V1’=( h, k ± b) , su excentricidad e = c/a, su LR = 2b2/a, y su dCL = a2/c. Las directrices L: x = h ± a2/c.
Luego en nuestro ejemplo tendríamos una elipse, de centro en C = (2, 3), ET de ecuación y = 3, EC de ecuación x =
2, radio mayor a = 3 y radio menor b = 2, y por tanto c = √a2- b2.= √9 - 4 = √5. Su excentricidad e =√5/3, el lado
recto LR = 8/3. La distancia del centro a la directriz dCL = 9/√5 = 9√5/5, por tanto sus directrices tendrán como
28
ecuación x = 2 ± 9√5/5. Sus vértices V = (2±3, 3): V = (5, 3) y V’ = (-1, 3); V1 = (2, 3±2): V1 =(2, 5) y V1’= (2, -
1). Sus focos F = (2 ± √5, 3).
Tenemos nuestra elipse (x – 2)2/9 + (y – 3)2/4 = 1, y la vamos a trasladar a un nuevo sistema de modo que su
centro se encuentre en el nuevo origen, usando las ecuaciones para realizar esto tenemos que x’ = x – 2 e y ‘ = y –
3 reemplazando en la ecuación (a) del ejemplo anterior tendríamos: x’2/9 + y’2/4 = 1, que corresponde a una elipse
de centro en el origen O’ = (0, 0) y eje sobre el eje XX, como se muestra en la figura 3.27. Teniendo la elipse en
esta situación nos será mucho más fácil estudiarla.
Tendrá como ET al eje XX luego su ecuación será y’ = 0, como EC al eje YY luego su ecuación será x’ = 0. Su
radio mayor a = 3 y su radio menor b = 2, por tanto c = √ 9 - 4 = √5. Su excentricidad e = √5./3, su lado recto LR
= 2.22/3 = 8/3. Sus vértices V = (3, 0) y V’ = (-3, 0), V1=(0, 2) y V1’=( 0, -2), sus focos F = (√5., 0) y F’ = (-√5.,
0). Su distancia dCL =a2/c = 9/√5.= 9√5./5, luego sus directrices L y L’ tendrán como ecuación x = ±9√5./5.
Si comparamos ambos estudios podemos ver que el segundo es mucho más sencillo que el primero
Retomando el hilo de nuestro estudio, nuestro problema consiste en aprender a pasar de la forma general de las
cónicas de ejes paralelos a la forma canónica. Como se trata de un proceso mecánico su asimilación es muy
sencilla ya que hay que seguir los pasos que se ilustran en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.16
Dada la siguiente ecuación en forma general se pide definirla totalmente, 4x2 –9y2 -16x + 54y -101 = 0
2) Se saca como factor de cada paréntesis el coeficiente de los términos x2 e y2: 4(x2 - 4x ) – 9(y2 -6y) -101= 0
3) Se completan cuadrados en cada paréntesis, sumándole y restándole el número real que haga del paréntesis un
cuadrado perfecto: 4 (x2 - 4x + 4 - 4) – 9(y2 -6y + 9 - 9) - 101 = 0
4) Se aplica el binomio de Newton: 4( x - 2)2-16 –9(y – 3)2+81 -101 = 0 de donde 4( x - 2)2 – 9(y – 3)2= 36
Que corresponde a una hipérbola, de centro en C = (2, 3), eje transverso paralelo al eje XX y de ecuación y = 3,
su eje conjugado es paralelo al eje YY y su ecuación es x = 2.
29
Lado recto: LR = 2b2/a = 8/3 la distancia del centro a la directriz dCL =9√13/13
Se sugiere al alumno hacer con la hipérbola lo mismo que se hizo con la elipse del ejemplo anterior.
Como se ha podido apreciar en los ejemplos resueltos y propuestos, la ecuación de las cónicas de ejes oblicuos se
diferencia de la de ejes paralelos a lo EE. CC. en que aparece el término XY, y tiene la siguiente forma:
donde A, B y C son distintos de cero. A diferencia del caso anterior la identificación de la cónica es más compleja,
y no se puede hacer mediante una simple inspección.
Nos encontramos ahora en la situación contrario al proceso empleado en el estudio de las cónicas el inductivo,
ahora tenemos la ecuación general de las cónicas y queremos llevarla a la situación más particular, por la
sencillez que ofrece su estudio. Por tal motivo vamos a estudiar los instrumentos necesarios para conseguir este
objetivo.
El hecho de expresar una cónica en su forma canónica, para su mejor estudio, nos obliga a eliminar el término xy,
y por ende a realizar una rotación.
De la figura se puede deducir que i . I = //i// //I// cos θ = cos θ dado que las normas de i e I son iguales a 1.
De modo análogo se pueden calcular todos lo demás, reduciéndose cada uno de estos al valor del coseno del
ángulo que forman dichos vectores, de la figura se deduce entonces que:
j .I = cos(π/2 - θ)= sen θ, que i.J = cos(π/2 + θ) = - senθ y j .J = cos θ
X x cos ysen (6 )
Luego reemplazando estos valores en (5): Y xsen y cos
(7 )
Podemos obtener el otro par de ecuaciones explicitando de (6) y (7) x e y:
(6)cos θ – (7)sen θ: Xcos θ - Ysen θ = xcos2 θ + ysen θcos θ – (-xsen2 θ + ycos θsen θ) = xcos2 θ + xsen2θ = x
x X cos Ysen ( 8 )
Operando de modo análogo determinamos y, de modo que tendríamos: y Xsen Y cos ( 9 )
Desarrollando y ordenando vamos a obtener una ecuación del tipo: A’X2 + B’XY + C’Y2 + D’X + E’Y + F’ = 0 en
donde los nuevos coeficientes estarán dados por:
Como la cónica medida bajo el sistema XY tiene eje paralelo al eje XX entonces B’ = 0
Con esta ecuación se determina θ, y con este valor se calculan los coeficientes A’, C’, D’, E’ y F’, de modo que
la ecuación tomaría la forma: A’X2 + C’Y2 + D’X + E’Y + F’ = 0 que corresponde a una de ejes paralelos a los
ejes coordenados
31
Solución: Como
AC cot 2 1
cot( 2 ) y cot( 2 )
B 2 cot
4 4 2 cot
6 cot θ = 4 cot² θ - 4
0 = 4 cot² θ - 6 cot θ - 4
0 = (2 cot θ - 4)(2 cot θ + 1)
2 cot θ = 4
cot θ = 2
θ 26.6°
Luego:
2 2
A' = A cos² θ + B cos θ.sen θ + C sen² θ 2 2 1 1 484
4 4 0
5 5 5 5 5
2 2
C' = A sen² θ - B cos θ.sen θ + C cos² θ 1 2 1 2 1 8 16
4 4 5
5 5 5 5 5
1
D' = D cos θ + E sen θ 1
0 5 5 5
5
E' = -D sen θ + E cos θ 0 5 5 2 10
5
F' = F = 1
Esto implica que el gráfico es una parábola con vértice (4/5,-1) y eje paralelo al eje XX en el sistema XY (figura
3.31).
32
3.6.2. El discriminante
Hemos visto que, si los ejes coordenados giran un ángulo θ, la ecuación general de las cónicas dada por :
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey+ F = 0, se transforma en A’X2 +B’XY + C’Y2 + D’X + E’Y + F’ = 0 , en donde:
Usando las tres primeras relaciones de (b) es posible demostrar que B’2 – 4A’C’ = B2 – 4AC, esta expresión al no
depender de θ, no cambia y por esta razón se le llama Invariante por rotación.
1. Como sabemos que si A’ o C’ son iguales a cero tendremos una parábola, luego -4A’C’ = 0, luego la
condición para el discriminante será B2 – 4AC = 0.
2. Si A’ y C’ tienen igual signo estamos frente a una elipse, en este caso -4A’C’ < 0, luego la condición para el
discriminante será: B2 – 4AC < 0.
3. Si A’ y C’ difieren de signo estamos frente a una hipérbola, en este caso -4A’C’ > 0, luego la condición para el
discriminante será: B2 – 4AC > 0.
“Luego se puede afirmar que la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey+ F = 0, me representa una parábola, una
elipse o una hipérbola si el discriminante B2 – 4AC, es cero, negativo o positivo respectivamente.”
En los ejercicios 90-92, girar los ejes para eliminar el término en xy. Representar el gráfico de la ecuación resul-
tante, mostrando ambos sistemas de ejes.
90) x² - 10xy + y² + 1 = 0.
93) Cada una de las ecuaciones siguientes describe una cónica no degenerada. Usar el discriminante
(B²-4AC) para determinar el tipo de cónica.
b) x² - 4xy - 2y² - 6 = 0.
33
96) Por medio de una rotación de coordenadas reducir cada una de las siguientes formas cuadráticas a forma
diagonal (sin término xy):
a) 23x² + 4 5 xy + 22y² = 0.
c) 2 6 xy - y² = 0.
Dados una recta L y un punto F no perteneciente a L y un número positivo e, designamos con d(X,L) la
distancia de X a L. El conjunto de todos los puntos que satisfacen la relación:
║X-F║ = e.d(X,L)
| ( X - P ).N U |
d(X, L) = P
|| N U || F
║N U ║ = 1
X - F = e ( X - P ).NU
Teorema 4.6.4.1: Sea C una cónica con excentricidad e, foco F y directriz L. Si NU es un vector Normal
unitario y F está en el semiplano negativo, entonces C es el conjunto de todos los puntos que satisfacen:
X - F = e ( X - P ).N U , siendo "d" la distancia entreF F y P.
L
// FX //
Por definición de excentricidad sabemos que e = C
d XL
NU
X
Luego: //FX// = e dXL dXL
//X – F//
Por otro lado podemos observar que el vector PF es paralelo al vector NU, luego:
98) Hallar la ecuación cartesiana de una hipérbola que pasa por el origen, y que sus asíntotas
son
las rectas y = 2x+1 e y = -2x+3.
99) Considerar el lugar geométrico de los puntos P del plano para los que la distancia de P al punto (2,3) es
igual a la suma de las distancias de P a los dos ejes coordenados.
a) Demostrar que la parte de ese lugar situada en el primer cuadrante es parte de una hipérbola. Situar
las asíntotas y hacer un dibujo.
100) Demostrar que el lugar de los centros de una familia de circunferencias, que pasan todas por un punto
dado y son tangentes a una recta dada, es una parábola.
101) Demostrar que el lugar de los centros de una familia de circunferencias, que son todas tangentes
(externamente) a una circunferencia dada y a una recta dada, es una parábola. (El ejercicio 100 puede
considerarse como un caso particular.)
102) Dos puntos P y Q se llaman simétricos respecto a una circunferencia si P y Q están alineados con el
centro, si el centro no está entre ellos, y si el producto de sus distancias al centro es igual al cuadrado del
radio. Si Q describe la recta x + 2y - 5 = 0, hallar el lugar del punto P simétrico de Q respecto a la
circunferencia x² + y² = 4.
103) La elipse tal que la suma de distancias desde sus puntos a (0,0) y (4,5) es 10.
104) La hipérbola tal que el valor absoluto de la diferencia de distancias desde sus puntos a (4,0) y (-4,0) es 4.
106) Supuesto a diferente de cero ( a ≠ 0), si las dos parábolas y2 = 4p(x – c) y x2 = 4qy son tangentes entre
sí, , probar que la abscisa del punto de contacto está determinado sólo ´por a.
107) Si P es un punto cualquiera de la parábola y2 = x (excepto el vértice), sea α el ángulo que forma la
tangente a la parábola y el vector OP, y θ el ángulo que forma el vector OP y el eje XX. Expresar α en
función de θ.
35
108) Dos parábolas tienen el mismo foco y el mismo eje, pero sus vértices están situados en lados opuestos
respecto al foco. Probar que las parábolas se cortan ortogonalmente (es decir, sus tangentes son
ortogonales en el punto de intersección).
36