Probabilidad Aplicada y Procesos

Estocásticos

Clase #3: Modelo Probabilístico

DR. EDWIN COLLADO

CENTRO REGIONAL DE AZUERO
U N I V E R S I D A D T E C N O L Ó G I C A D E PA N A M Á
Introducción
TEORIA DE PROBABILIDAD
❑Proporciona las herramientas matemáticas necesarias para estudiar y analizar fenómenos
inciertos que ocurren en la naturaleza.
❑Establece el marco formal para comprender y predecir el resultado de un experimento
aleatorio.
❑Utilizada para modelar sistemas complejos y caracterizar procesos estocásticos
❑Instrumento en el diseño de soluciones eficientes a muchos problemas de ingeniería.
Modelo probabilístico
❑El modelo probabilístico es una descripción matemática de una situación incierta.
❑Existen dos elementos que definen un modelo probabilístico:
a) El espacio muestral, el cual es la colección de todos los posibles resultados de un
experimento.
b) La ley de la probabilidad, el cual asigna a un conjunto A de posibles resultados (llamado
evento) un número no negativo P(A) (llamado probabilidad de A) que codifica nuestro
conocimiento o creencia sobre la probabilidad colectiva de los elementos de A.
Espacio muestral Ley de probabilidad

Evento B P(B)
P(A)
Experimento
Evento A
Modelo probabilístico
❑El espacio muestral y la ley de probabilidad dependen del experimento considerado.
❑Un experimento es una ocurrencia aleatoria que produce uno de varios resultados.
• Ejemplos: Lanzar una moneda, lanzar n monedas, o lanzar una secuencia infinita de
monedas.
❑La colección de todas las posibles salidas del experimento es lo que se conoce como el espacio
universal o muestral.
❑Un subconjunto del espacio muestral, que es la colección de ciertos resultados es lo que se
conoce como evento.
❑Dos experimentos similares pueden tener diferentes espacios muestrales.
Modelo probabilístico
❑Ejemplo: En el lanzamiento de un dado el espacio muestral Ω correspondiente a este
experimento está dado por las seis caras del dado, entonces Ω={1,2,3,4,5,6}. El set de los
números primos menores o iguales a seis, es decir {2, 3, 5}, es uno de los muchos eventos
posibles . El número actual observado cuando se lanza el dado es el resultado del experimento.
Modelo probabilístico
¿CÓMO ESCOGER EL ESPACIO MUESTRAL?
❑Sus elementos deben ser distintos y mutuamente exclusivos.
❑Ejemplo: En el lanzamiento de un dado el 1 no puede ser tomado también como 3 o 4.
❑El espacio muestral debe ser colectivamente exhaustivo. Es decir, sin importar que
ocurra en el experimento siempre hay un resultado para eso.
❑El espacio muestral debe tener suficiente detalles para distinguir entre todos los
posibles resultados.
Modelo probabilístico
EJEMPLOS DE ESPACIOS MUESTRALES
a) Procesamiento de señales. En un sistema de radar, el voltaje de un forma de onda de ruido
en un tiempo t es visto como cualquier número real posible. El primer paso en modelar tal
voltaje de ruido es considerar el espacio muestral que consistiría de todos los números
reales, es decir Ω=(-∞,∞).
b) Memoria de computadoras. Suponga que guardamos una palabra de n bits que consiste de
puros 0s en una ubicación particular. Cuándo lo leemos de vuelta, podría ser que no
obtenemos puros 0s. De hecho, cualquier palabra de n bits puede ser leída si la ubicación de
la memoria es defectuosa. El conjunto de todas las posibles palabras de n bits puede ser
modelado como el espacio muestral, es decir Ω = {(b1,...,bn)|bi = 0 o 1}.
Modelo probabilístico
c) Sistema de comunicación óptica. Como la salida de un foto-detector es un número aleatorio
de fotoelectrones, el espacio muestral lógico son todos los enteros no negativos,
Ω={0,1,2,...}. Note que incluimos el 0 para tomar en cuenta la posibilidad de que ningún
fotoelectrón sea observado.
d) Tráfico de redes de computadoras. Si un enrutador tiene un búfer que puede almacenar
hasta 70 paquetes, y queremos modelar el número real de paquetes en espera de
transmisión, se utiliza el espacio muestral Ω= {0,1,2,...,70}. Note que incluimos el 0 para
tener en cuenta la posibilidad de que no hay paquetes que esperan ser enviados.
Modelo probabilístico
MODELOS SECUENCIALES
❑Muchos experimentos tienen una característica
secuencial.
❑Ejemplo: Lanzar una moneda 3 veces y verificar el
resultado.
❑Para este tipo de experimentos se puede utilizar una
descripción secuencial basada en árbol.
Modelo probabilístico
❑En el modelo probabilístico la probabilidad esta definida como la cardinalidad de un evento
entre la cardinalidad del espacio muestral. Si tenemos un evento A, entonces la probabilidad de
que A ocurra es
P(A) = |A|/|Ω|
donde la cardinalidad es la cantidad de elementos.
Probabilidad

Evento A P(A)

Espacio
muestral Ω
Modelo probabilístico
❑Para ilustrar el diseño de un modelo probabilístico vamos a considerar los siguientes ejemplos.
❑Ejemplo: Considere el experimento de lanzar una vez un dado de seis lados y anotar el
resultado mostrado. Nuestra intuición nos dice que la "probabilidad" de que la n-ésima cara se
muestre hacia arriba es 1/6 y que la "probabilidad" de que una cara con un número par de
puntos aparezca es 1/2.
•Paso 1: Definir el espacio muestral
El espacio muestral esta conformado por todos los posibles resultados del experimento. Este
ejemplo analiza el lanzamiento de un dado de seis lados, por lo que los posibles resultados
estarán representados por seis puntos que corresponden a los seis lados del dado. Entonces,
el espacio muestral del ejemplo es Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Modelo probabilístico
•Paso 2: Definir eventos
Digamos que estamos interesados en saber la probabilidad el lado muestre cualquier número
y la probabilidad que el lado sea número par. Estos eventos pueden ser definidos de la
siguiente manera:
Ai={i}, donde i=1,2,3,4,5,6. (evento donde se obtiene cualquier número)
B={2,4,6} (evento donde se obtiene número par)

•Paso 3: Asignar probabilidad

Utilizando la definición de probabilidad, podemos concluir los siguiente:
En el evento Ai tenemos que |Ai|=1 y |Ω|=6, entonces podemos decir que P(Ai)=1/6.
En el evento B tenemos que |B|=3 y |Ω|=6, entonces podemos decir que P(B)=3/6=1/2.
Modelo probabilístico
Ejemplo: Una carta es tomada aleatoriamente de una juego de cartas bien barajado. Encuentre la
probabilidad de sacar un as. También encuentre la probabilidad de sacar una carta con un rostro.
•Paso 1: Definir el espacio muestral
Un juego de cartas completo consta de 52 cartas diferentes, por lo que Ω={1,2,3,…,52}.
•Paso 2: Definir eventos
El evento de obtener un As esta dado por A={1,2,3,4}, ya que sólo existen 4 Ases en un juego
de cartas.
El evento de obtener una carta con rostro esta dado por A={1,2,3,…,12}, ya que existen 12
cartas con rostros en un juego de cartas.
•Paso 3: Asignar probabilidad
Utilizando la definición de probabilidad, podemos concluir los siguiente:
En el evento A tenemos que |A|=4 y |Ω|=52, entonces podemos decir que P(A)=4/52.
En el evento B tenemos que |B|=12 y |Ω|=52, entonces podemos decir que P(B)=12/52.
Modelo probabilístico
❑Las leyes de probabilidad asignan a un evento A un número no negativo P(A) (llamado
probabilidad) para determinar la ocurrencia de dicho evento.
❑Para ser consideradas válidas, las leyes de probabilidad deben satisfacer los “Axiomas de
Kolmogorov”:
a) El conjunto vacío ∅ se llama el evento imposible. La probabilidad del suceso imposible es
cero; es decir, P (∅) = 0.
b) Las probabilidades son no negativos; es decir, para cualquier evento A, P(A) ≥ 0.
c) (Normalización). La probabilidad del espacio muestral Ω es igual a uno, P(Ω)=1.
d) (Aditividad contable). Si A y B son eventos disjuntos, A∩B=∅, entonces la probabilidad de
su unión satisfice P(A∪B) =P(A) + P(B).
❑Si A1 , A2 , …, es una secuencia de eventos disjuntos y ∪∞
k=1 Ak es en sí mismo un evento
admisible, entonces
P ∪∞ ∞
k=1 Ak = ∑k=1 P(Ak ).
Modelo probabilístico
PROPIEDADES DE LOS AXIOMAS DE KOLMOGOROV
1. Uniones disjuntas finitas: Si tenemos un número finito de eventos, entonces
𝑃 ∪𝑁 𝑁
𝑘=1 𝐴𝑘 = ∑𝑘=1 𝑃(𝐴𝑘 ).
❑Ejemplo: Considere el experimento de lanzar un dado. Suponga estamos interesados en el
evento cuando el lado menor a 3 y el evento cuando el lado es mayor o igual a 3. Compruebe
la propiedad.
A= evento de obtener un número menor a 3.
B=evento de obtener un número mayor o igual a 3.
P(A ∪ B) = P({1,2,3,4,5,6}) = 1
P(A) + P(B) = 1/3 + 2/3 = 1
Modelo probabilístico
2. Complemento: Dado un evento A, siempre podemos decir que Ω = A ∪ Ac es una unión
disjunta. Por lo tanto, P( Ω) = P A ∪ Ac = P A + P Ac . Como P( Ω) = 1, entonces
concluimos que la probabilidad del complemento es
P Ac = 1 − P A .
❑Ejemplo: Considerando el mismo el experimento de lanzar un dado y obtener el evento de
obtener un número menor a 3 y el evento de obtener un número mayor o igual a 3.
Note que en este caso B= Ac , por lo que P(B) = P Ac = 1 − P A = 1 − 1/3 = 2/3.
3. Monotonicidad: Considere el caso cuando A ⊂ B. Esto implica que P(A) ≤ P(B).
Modelo probabilístico
De la figura podemos decir que B = A ∪ B ∩ Ac . Por lo tanto,
P B = P A ∪ P B ∩ Ac ≥ P A
porque P ≥ 0.

❑Ejemplo: Considere el experimento de lanzar un dado. Suponga que hay dos eventos A={2,3} y
B={1,2,3,4}. Compruebe la propiedad.
P(A) = P(A = {2,3}) = 2/6 = 1/3
P(B) = P(B = {1,2,3,4}) = 4/6 = 2/3
P(B) ≥ P A
Modelo probabilístico
4. Inclusión y exclusión: Dado los eventos A y B , siempre podremos obtener
P A∪B =P A +P B −P A∩B
Observe de estas figuras que
a) Si A ∪ B = A ∪ Ac ∩ B , entonces
P A ∪ B = P A + P Ac ∩ B
b) B = (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B), entonces P B = P(A ∩ B) + P Ac ∩ B
c) Si reemplazamos P Ac ∩ B de (b) en (a), tenemos que
P A∪B =P A +P B −P A∩B
Modelo probabilístico
5. Límite: Las siguientes propiedades de límite de probabilidad son esenciales para responder a
las preguntas acerca de la probabilidad de que algo sucede siempre o que algo nunca ocurre.
Usando los axiomas (i) - (iv), las siguientes fórmulas se pueden derivar. Para cualquier
secuencia de eventos 𝐴𝑛,

En particular, observe que si 𝐴𝑛 están aumentando en el sentido de 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑛 ⊂ 𝐴𝑛 + 1 para

todo n, entonces la unión finita es reducida a 𝐴𝑁. Similarmente, si 𝐴𝑛 están disminuyendo en
el sentido de que 𝐴𝑛 + 1 ⊂ 𝐴𝑛 para todo n, entonces la intersección finita es reducido a un 𝐴𝑁.
Por tanto, las expresiones anteriores se convierten en:
Modelo probabilístico
En particular, observe que si 𝐴𝑛 están aumentando en el sentido de 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑛 ⊂ 𝐴𝑛 + 1 para
todo n, entonces la unión finita es reducida a 𝐴𝑁. Similarmente, si 𝐴𝑛 están disminuyendo en
el sentido de que 𝐴𝑛 + 1 ⊂ 𝐴𝑛 para todo n, entonces la intersección finita es reducido a un 𝐴𝑁.
Por tanto, las expresiones anteriores se convierten en:

Las fórmulas anteriores son llamadas propiedades secuenciales continuas y juntas implican
que para cualquier secuencia 𝐴𝑛

Esta fórmula se conoce como “Union Bound”.

Modelo probabilístico
❑Ejemplo: Una urna contiene 990 bolas azules y 10 bolas rojas. Cada una de cinco personas
escoge una bola al azar. Deseamos calcular la probabilidad de que al menos una persona toma
una bola roja.
Probabilidad de tomar una bola roja es P(A)=10/1000=1/100. Entonces,
5
𝑃 ∪5𝑘=1 𝐴𝑘 = ∑5𝑘=1 𝑃(𝐴𝑘 ) = ෍ 1/100 = 1/20
𝑘=1
Si buscamos la probabilidad exacta de este experimento obtenemos 0.0491 ≈ 1/20.
Modelo probabilístico
DISCRETO VS. CONTINUO
❑Para espacios muestrales finitos y contables infinitos se utiliza el modelo probabilístico
discreto, el cual esta basado en la sumatoria de los resultados individuales.
❑Para espacios muestrales contables infinitos se utiliza el modelo probabilístico continuo, el cual
difiere del discreto porque la leyes de probabilidad no pueden ser especificadas necesariamente
por las probabilidades de los resultados de un solo elemento.
❑Esta dificultad surge de la gran cantidad de elementos contenidos en el espacio de muestra.
❑Muchos subconjuntos de Ω no tienen una representación finita o contable, y como tal, el
cuarto axioma de probabilidad no se puede aplicar para relacionar las probabilidades de estos
eventos a las probabilidades de los resultados individuales.
❑A pesar de estas dificultades aparentes, modelos probabilísticos con espacios muestrales
infinitos incontables son muy útiles en la práctica.
Modelo probabilístico
❑Consideremos el caso continuo sencillo donde un elemento se elige al azar de este intervalo,
con forma de ponderación uniforme.

❑Una vez más, tenga en cuenta el intervalo abierto (a,b) donde 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ 1, la probabilidad
de que el resultado caiga en este intervalo es igual a
b
P ((a, b)) = b − a =  a 
dx = dx
( a ,b )
❑Para este ejemplo, parece que la probabilidad de un evento admisible A viene dado por la
integral
P ( A) = dx 
A

❑Este método de cálculo de probabilidades se puede extender a problemas más complicados.

Modelo probabilístico
❑Para algunos experimentos, el número de resultados posibles es más que infinito numerable.
Los ejemplos incluyen:
a) Duración de una llamada de teléfono celular
b) Tensión de ruido en un receptor de comunicación
c) Tiempo en que se inicia una conexión de Internet.
❑En estos casos, P se define generalmente como una integral

P ( A) = 
A
f ( )d A  

❑Para una función no negativa f. Note que f debe satisfacer 


f ( )d = 1
Modelo probabilístico
❑Ejemplo: Considere el siguiente modelo para la duración de una llamada de teléfono celular.
Para el espacio muestral tomamos los números no negativos, Ω= [0, ∞), y escribimos

P ( A) = A
f ( )d

donde por ejemplo f(ω)= e−ω . Entonces la probabilidad de que la duración de la llamada es
entre 5 y 7 unidades de tiempo es
7
P ([5,7]) = 
5
e − d = e −5 −e −7  0.0058
Modelo probabilístico
❑Ejemplo: Un seminario de probabilidad en línea está programado para comenzar a las 9:15. Sin
embargo, el seminario comienza realmente al azar en el intervalo de 20 minutos de 9:05-9:25.
Encuentre la probabilidad de que el seminario comienza en punto o después de su hora de inicio
programada.
Solución. Para este caso Ω = [5, 25], y escribimos
P ( A) = 
A
f ( )d
El término "al azar" en el enunciado del problema por lo general se considera que significa f(ω) ≡
constante. Con el fin de que P(Ω)=1, tenemos que elegir la constante como 1 / longitud (Ω) =
1/20. Representamos el escenario de que el seminario comienza a partir de o después de las 9:15
(hora de inicio programada) con el evento L=[15, 25]. Entonces
1 25 1 25 − 15 1
P ( L) = 
L
f ( )d = 
[15, 25 ] 20
d = 
15 20
d =
20
=
2
Modelo probabilístico
MODELOS PROBABILSITICOS Y LA REALIDAD
❑Analizar problemas con incertidumbres usando probabilidad normalmente requiere de dos
etapas:
1. Primero construimos el modelo probabilístico al especificar una ley de probabilidad que
sea adecuada para un espacio muestral definido.
• No existe una manera única de resolverlo.
• Muchas veces utilizan soluciones menos exactas para reducir complejidad.
• Aquí el objetivo es conectar el mundo real con las matemáticas.
2. En la segunda parte se trabaja dentro de un modelo probabilístico bien definido, donde se
derivan las probabilidades de eventos y se deducen propiedades del problema.
• Todas las posibles preguntas del modelo deben tener una solución.
• Esta parte esta regulada por la lógica y los axiomas de probabilidad.