Teoría de colas.

Las colas (líneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar
un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un
paquete por correo, obtener comida en la cafetería, subir a un juego en la feria, etc. Nos
hemos acostumbrado a una considerable cantidad de esperas, pero todavía nos molesta
cuando éstas son demasiado largas.

La teoría de colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Utiliza los modelos de
colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas
de algún tipo) que surgen en la práctica.

El estudio de las colas tiene que ver con la cuantificación del fenómeno de esperar por medio
de medidas de desempeño representativas, tales como longitud promedio de la cola, tiempo
de espera promedio en la cola,y el uso promedio de la instalación.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta

se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un
"servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible
inmediatamente y el clientedecide esperar, entonces se forma la línea de espera.

Estructura básica de los modelos (Según no se quien en tal)

Proceso básico de colas

El proceso básico supuesto por la mayoría de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes
que requieren un servicio se generan en el tiempo en una fuente de entrada. Luego, entran al
sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola
para proporcionarle el servicio mediante alguna regla conocida como disciplina de la cola. Se
lleva a cabo el servicio que el cliente requiere mediante un mecanismo de servicio, y después
el cliente sale del sistema de colas.

Fuente de entrada (población potencial).

Una característica de la fuente de entrada es su tamaño y no es más que el número total de

clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de
clientes potenciales. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce
como población de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infi nito o finito (de modo que
también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Debido a que los cálculos son
mucho más sencillos en el caso del tamaño infi nito, este supuesto se hace a menudo aun
cuando el tamaño real sea un número fi jo relativamente grande, y debe tomarse como un
supuesto implícito en cualquier modelo en el que no se establezca otra cosa. Desde una
perspectiva analítica, el caso fi nito es más complejo puesto que el número de clientes que
conforman la cola afecta al número potencial de clientes fuera del sistema en cualquier
momento; pero debe hacerse este supuesto de fi nitud si la tasa a la que la fuente de entrada
genera clientes nuevos es afectada en forma signifi cativa por el número de clientes existentes
en el sistema de líneas de espera. También se debe especifi car el patrón estadístico mediante
el cual se generan los clientes en el tiempo. El supuesto normal es que se generan de acuerdo
con un proceso Poisson; es decir, el número de clientes que llegan hasta un momento específi
co tiene una distribución de Poisson. Como se analizará en la sección 17.4, este caso
corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta
tasa media fi ja y sin que importe cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño de la
fuente de entrada es infi nito). Un supuesto equivalente es que la distribuciónde probabilidad
del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. (En la sección 17.4
se describen las propiedades de esta distribución.) Se hace referencia al tiempo que transcurre
entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas. También debe especifi carse
cualquier otro supuesto no usual sobre el comportamiento de los clientes. Un ejemplo sería
cuando se pierde un cliente porque desiste o se rehúsa a entrar al sistema porque la cola es
demasiado larga.

Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar
el servicio en cuestión.

Cola

La cola es donde los clientes esperan antes de recibir el servicio. Una cola se caracteriza por el
número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser fi nitas o infi
nitas, según si dicho número es fi nito o infi nito. El supuesto de una cola infi nita es el estándar
de la mayoría de los modelos, incluso en situaciones en las que en realidad existe una cota
superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes, puesto que manejar
una cota así puede ser un factor que complique el análisis. En los sistemas de colas en los que
la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, es necesario suponer
una cola fi nita.

Disciplina de la cola

La disciplina de la cola se refi ere al orden en el que sus miembros se seleccionan para recibir el
servicio. Por ejemplo, puede ser: primero en entrar, primero en salir; aleatoria; de acuerdo con
algún procedimiento de prioridad o con algún otro orden. En los modelos de colas se supone
como normal a la disciplina de primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca
de otra manera.

La disciplina más común es la de primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS, por sus
siglas en inglés). Entre otras disciplinas esta último en llegar primero en ser atendido (LCFS, por
sus siglas en inglés) y la de servicio en orden aleatorio (SIRO, por sus siglas en inglés). Los
clientes también pueden ser seleccionados de entre la cola, con base en algún orden de
prioridad
Mecanismo de servicio

El mecanismo de servicio consiste en una o más estaciones de servicio, cada una de ellas con
uno o más canales de servicio paralelos, llamados servidores. Si existe más de una estación de
servicio, el cliente puede recibirlo de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En
una estación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio
completo. Los modelos de colas deben especifi car el arreglo de las estaciones y el número de
servidores (canales paralelos) en cada una de ellas. Los modelos más elementales suponen una
estación, ya sea con un servidor o con un número fi nito de servidores. El tiempo que
transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una estación se
llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de un sistema de colas
determinado debe especifi car la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio de
cada servidor (y tal vez de los distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma
distribución para todos los servidores (todos los modelos en este capítulo se basan en este
supuesto). La distribución del tiempo de servicio que más se usa en la práctica (por ser más
manejable que cualquier otra) es la distribución exponencial que se presenta en la sección
17.4, por lo que casi todos los modelos de este capítulo serán de este tipo. Otras distribuciones
de tiempos de servicio importantes son la distribución degenerada (tiempos de servicio
constantes) y la distribución Erlang (gamma) que se ilustran en los modelos de la sección 17.7.

El proceso de colas elemental

Como ya se ha señalado, la teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones.

El tipo que prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que a veces puede estar vacía)
se forma frente a una estación de servicio, dentro de la cual se encuentra uno o más
servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe el servicio de uno de los
servidores, quizá después de esperar un poco en la cola (línea de espera).

En la fi gura 17.2 se presenta un esquema del sistema de colas del que se habla. Observe que
el proceso que se ilustra en el ejemplo de la sección 17.1 es de este tipo. La fuente de entrada
genera clientes en la forma de casos urgentes que requieren cuidado médico. La sala de
urgencias es la instalación de servicio y los médicos son los servidores. Un servidor no tiene
que ser un solo individuo; puede ser un grupo de personas, por ejemplo, una cuadrilla de
reparación que combina fuerzas para realizar, de manera simultánea, el servicio que solicita el
cliente. Aún más, los servidores ni siquiera tienen que ser personas. En muchos casos puede
ser una máquina, un vehículo, un dispositivo electrónico, etc. En esta misma línea de ideas, los
clientes que conforman la cola no tienen que ser personas. Por ejemplo, pueden ser unidades
que esperan ser procesadas en cierto tipo de máquina, o automóviles que deben pasar por una
caseta de cobro. En realidad, no es necesario que se forme una línea de espera física delante
de una estructura material que constituye la estación de servicio. Los miembros de la cola
pueden estar dispersos en un área mientras esperan que el servidor venga a ellos, como las
máquinas que esperan reparación. El servidor o grupo de servidores asignados a un área
constituyen la estación de servicio de esa área. De todas maneras, la teoría de colas
proporciona, entre otros, un número promedio de clientes en espera —el tiempo promedio de
espera—, puesto que es irrelevante si los clientes esperan en grupo o no. El único requisito
esencial para poder aplicar la teoría de colas es que los cambios en el número de clientes que
esperan un servicio ocurran como si prevaleciera la situación física que se describe en la fi gura
17.2 (o una contraparte válida). Con excepción de la sección 17.9, todos los modelos de colas
que se presentan en este capítulo son del tipo elemental que se esquematiza en la fi gura 17.2.
Muchos de ellos se basan en el supuesto de que todos los tiempos entre llegadas y todos los
tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos. Por convención, estos
modelos se etiquetan de la siguiente manera:

D= distribución degenerada (tiempos constantes)

Ek= distribución Erlang (parámetro de forma = k)

G= distribución general (permite cualquier distribución arbitraria)

Terminología y notación
Cuando λn es constante para toda n, esta constante se denota por . Cuando la tasa media de
servicio por servidor ocupado es constante para toda n $ 1, esta constante se denota por

Pn = probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema.

 ∞ ∞

∑ n(Pn) ∑ n(Pn)
n=0 n=0
EJEMPLOS DE SISTEMAS DE COLAS REALES

Puede parecer que la descripción de los sistemas de colas de la sección 17.2 es algo abstracta
y que sólo es aplicable en situaciones prácticas bastante especiales. Por el contrario, los
sistemas de colas se aplican con sorprendente frecuencia en una amplia variedad de
contextos. Para ampliar el horizonte sobre sus aplicaciones, se mencionarán brevemente
varios ejemplos reales de sistemas de colas que pertenecen a varias categorías generales.
Después se describirán sistemas de colas en algunas compañías prominentes (y en una ciudad)
y los estudios premiados que se llevaron a cabo para diseñar estos sistemas. Algunas clases de
sistemas de colas Una clase importante de sistemas de colas que se encuentra en la vida diaria
es el sistema de servicio comercial, en donde los clientes externos reciben un servicio de una
organización comercial. Muchos de estos sistemas incluyen un servicio de persona a persona
en un local fi jo, como una peluquería (los peluqueros son los servidores), el servicio de una
cajera de banco, las cajas de cobro de un supermercado y una cola en una cafetería (canales de
servicio en serie). Sin embargo, muchos otros sistemas son de un tipo diferente, como la
reparación de aparatos domésticos (el servidor va hacia el cliente), una máquina de monedas
(el servidor es una máquina) y una gasolinera (los clientes son automóviles). Otra clase
importante es la de sistemas de servicio de transporte. En algunos de estos sistemas los
vehículos son los clientes, como los automóviles que esperan para pasar por una caseta de
cobro o un semáforo (el servidor), un camión de carga o un barco que esperan que una
cuadrilla 17.3 EJEMPLOS DE SISTEMAS DE COLAS REALES 713 17_HILLIER 17.indd 713 17
HILLIER 17 indd 713 15/12/09 20:19:19 15/12/09 20:19:19 714 CAPÍTULO 17 TEORÍA DE COLAS
les dé el servicio de carga o descarga y un avión que espera aterrizar o despegar en una pista
(el servidor). (Un estacionamiento es un ejemplo poco usual de este tipo, en el que los
automóviles son los clientes y los espacios son los servidores, pero no existe una cola porque si
un estacionamiento está lleno, los clientes se van a otro.) En otros casos, los vehículos son los
servidores, como los taxis, los camiones de bomberos y los elevadores. En años recientes, la
teoría de colas se ha aplicado más a los sistemas de servicio interno donde los clientes que
reciben el servicio son personal interno o parte de la organización. Los ejemplos incluyen
sistemas de manejo de materiales, en donde las unidades de manejo de materiales (los
servidores) mueven cargas (los clientes); sistemas de mantenimiento, en los cuales las brigadas
de mantenimiento (los servidores) reparan máquinas (los clientes) y puestos de inspección en
los que los inspectores de control de calidad (los servidores) inspeccionan artículos (los
clientes). Las instalaciones para empleados y los departamentos que les prestan servicio
también entran en esta categoría. Además, las máquinas se pueden ver como servidores cuyos
clientes son los trabajos que están procesando. Un ejemplo relacionado muy importante es un
centro de cómputo en el que la computadora se puede ver como el servidor. Existe un
reconocimiento creciente de que la teoría de colas también se puede aplicar a sistemas de
servicio social. Por ejemplo, un sistema judicial es una red de colas, donde las cortes son las
instalaciones de servicio, los jueces (o los jurados) son los servidores y los casos que esperan el
proceso son los clientes. Un sistema legislativo es una red de colas similar, en el cual los
clientes son los asuntos que el congreso va a tratar. Algunos sistemas de salud pública son
sistemas de colas. En la sección 17.1 se vio un ejemplo (la sala de urgencias de un hospital),
pero también las ambulancias, las máquinas de rayos X y las camas del hospital pueden actuar
como servidores en sus propios sistemas. En forma parecida, las familias en espera de
viviendas de interés social u otros servicios pueden ser clientes de un sistema de colas. Aun
cuando éstas son cuatro clases amplias de sistemas de colas, la lista todavía no se agota. En
realidad, la teoría de colas comenzó a principios de siglo con aplicaciones a ingeniería
telefónica (el fundador de la teoría de colas, A. K. Erlang, era empleado de la Danish Telephone
Company, en Copenhague), y la ingeniería telefónica constituye todavía una importante
aplicación. Lo que es más, cada individuo tiene sus propias líneas de espera personales: tareas,
libros que leer, etc. Estos ejemplos son sufi cientes para sugerir que los sistemas de colas sin
duda se presentan con toda frecuencia en muchas áreas de la sociedad.

PAPEL DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

En gran medida, las características operativas de los sistemas de colas están determinadas por
dos propiedades estadísticas, a saber, la distribución de probabilidad de los tiempos entre
llegadas y la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio. En los sistemas de colas
reales, estas distribuciones pueden tomar casi cualquier forma. (La única restricción es que no
pueden presentarse valores negativos.) Sin embargo, para formular un modelo de teoría de
colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de
cada una de estas distribuciones. Para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo
suficientemente realista como para que el modelo proporcione predicciones razonables, pero
al mismo tiempo debe ser lo sufi cientemente sencilla para que sea matemáticamente
manejable. Con estas consideraciones en mente, la distribución de probabilidad más
importante en la teoría de colas es la distribución exponencial. Suponga que una variable
aleatoria T representa ya sea los tiempos entre llegadas o los tiempos de servicio. (Se hace
referencia a los hechos que marcan el final de estos tiempos, de llegadas o de terminación de
un servicio, como eventos.) Se dice que esta variable aleatoria tiene una distribución
exponencial con parámetro si su función de densidad de probabilidad es
de manera que es más probable que el valor que tome T sea “pequeño” [esto es, menor que la
mitad de E(T)] que “cercano” a su valor esperado [es decir, no más alejado que la mitad de
E(T)], aun cuando el segundo intervalo tiene el doble de amplitud que el primero. ¿En realidad,
ésta es una propiedad razonable de T en un modelo de colas? Si T representa los tiempos de
servicio, la respuesta depende de la naturaleza general del servicio en cuestión, como se verá a
continuación. Si el servicio que se requiere es en esencia idéntico para cada cliente y el
servidor realiza siempre la misma secuencia de operaciones, entonces los tiempos de servicio
reales tienden a ser cercanos al tiempo esperado de servicio. Pueden ocurrir pequeñas
desviaciones de la media, pero por lo general se deben a variaciones menores en la efi ciencia
del servidor. Un tiempo de servicio tan pequeño que quede muy por debajo de la media es en
realidad imposible, puesto que se necesita cierta cantidad mínima de tiempo para realizar las
operaciones de servicio que se requieren, aunque el servidor trabaje a la mayor velocidad. Es
claro que la distribución exponencial no proporciona una aproximación cercana a la
distribución de tiempos de servicio en este tipo de situación. Por otro lado, considere el tipo de
situación en la que las tareas específi cas que tiene que realizar el servidor difi eren de un
cliente a otro. La naturaleza general del servicio puede ser la misma, pero la cantidad y tipo
específi co de servicio difi eren. Por ejemplo, éste es el caso en el problema de la sala de
emergencia del Hospital General que se presentó en la sección 17.1. El médico se enfrenta a
una gran variedad de problemas de su profesión. En la mayor parte de los casos puede
proporcionar el tratamiento que se requiere con bastante rapidez pero, en ocasiones, el
paciente necesita un cuidado más especializado. De igual manera, los supervisores de bancos y
supermercados son servidores de este tipo general, en donde el servicio que prestan suele ser
breve, pero en ocasiones se extiende. Parece posible una distribución exponencial de los
tiempos de servicio en este tipo de situación. Si T representa los tiempos entre llegadas, la
propiedad 1 descarta las situaciones en las que los clientes que llegan al sistema tienden a
posponer su entrada si ven que otro cliente entra antes que ellos. Por otro lado, es totalmente
congruente con el fenómeno común de las llegadas “aleatorias” que se describe con las
propiedades subsecuentes. Así, cuando se grafi can los tiempos entre llegadas contra el
tiempo, a veces tienen la apariencia de estar aglomerados con grandes separaciones entre
cada aglomeración, debido a la gran probabilidad de que los tiempos entre llegadas sean
pequeños y la poca probabilidad de que ocurran tiempos entre llegadas grandes, pero un
patrón tan irregular es exactamente parte de la verdadera aleatoriedad. Continuara…

MODELO DE COLAS GENERAL DE POISSON

Esta sección desarrolla un modelo de colas general que combina tanto llegadas como salidas
con base en la suposición de Poisson, es decir, los tiempos entre llegadas y los tiempos de
servicio siguen la distribución exponencial. El modelo es la base para la derivación de los
modelos de Poisson especializados en la sección 18.6. El desarrollo del modelo generalizado se
basa en el comportamiento a largo plazo o de estado estable de la situación de colas,
alcanzado después de que el sistema ha estado en operación durante un tiempo
suficientemente largo. Este tipo de análisis contrasta con el comportamiento transitorio (o de
calentamiento) que prevalece durante el inicio de la operación del sistema. (Una razón de por
qué no se analiza el comportamiento transitorio en este capítulo es su complejidad analítica.
Otra es que el estudio de la mayoría de las situaciones de colas ocurre en condiciones de
estado estable.) El modelo general asume que tanto las tasas de entrada como de salida
dependen del estado; lo que significa que dependen de la cantidad de clientes en la instalación
de servicio. Por ejemplo, en una caseta de cobro en una carretera, los encargados tienden a
acelerar el cobro de las cuotas durante las horas pico. Otro ejemplo ocurre en un taller donde
la tasa de descomposturas de las máquinas disminuye a medida que aumenta el número de
máquinas descompuestas (porque sólo las máquinas que están funcionando son capaces de
generar nuevas descomposturas).