REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”

Sede - Coro

DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADES
CONTINUAS

PROFESOR: ESTUDIANTES:
DAYBO GUERRERO MIRIANNIS COLINA 31.470.750

JOSÉ NELSON 30.800.136

ELIMAR ESTEILE 30.126.689
DANIEL CHIRINO
 Introducción
En el ámbito de la estadística y la probabilidad, existen varios conceptos
fundamentales que son esenciales para el análisis y la interpretación de datos.
Entre estos conceptos se encuentran la función de densidad de probabilidad
(FDP), la función de distribución acumulada (FDA), la distribución normal, el
teorema de Chebyshev y el cálculo de probabilidades normales. Además,
herramientas como Microsoft Excel juegan un papel crucial en la aplicación
práctica de estos conceptos.
 Función de densidad

La función de densidad de probabilidad (FDP) es un concepto fundamental en la

teoría de la probabilidad y la estadística, especialmente cuando se trabaja con
variables aleatorias continuas. La función de densidad de probabilidad, o
simplemente densidad, describe la probabilidad relativa de que una variable
aleatoria continua tome un valor específico. La probabilidad de que la variable
aleatoria caiga dentro de un intervalo específico se obtiene integrando la función
de densidad sobre ese intervalo.

Función de densidad acumulada

La función de distribución acumulada (FDA), también conocida como función de

densidad acumulada, es una herramienta fundamental en la teoría de la
probabilidad y la estadística. La función de distribución acumulada ( F(x) ) de una
variable aleatoria ( X ) es una función que describe la probabilidad de que ( X )
tome un valor menor o igual a ( x ). Matemáticamente
 Distribución normal

La distribución normal, también conocida como distribución de Gauss, es una de

las distribuciones de probabilidad más importantes en estadística y probabilidad.

La distribución normal es fundamental en la teoría de la probabilidad y la

estadística debido a su amplia aplicación en diversos campos como la economía,
la biología, la ingeniería y las ciencias sociales. Esta distribución describe cómo se
distribuyen los valores de una variable aleatoria continua que está influenciada por
muchos factores pequeños e independientes. La gráfica de su función de densidad
de probabilidad tiene una forma característica de campana, conocida como
la campana de Gauss.

La función de densidad de probabilidad (FDP) de una variable aleatoria ( X ) que

sigue una distribución normal con media ( \mu ) y desviación estándar ( \sigma )
está dada por:
f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x)=σ2π1e−2σ2(x−μ)2

donde:

● ( \mu ) es la media de la distribución.

● ( \sigma ) es la desviación estándar.
● ( e ) es la base del logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).

Representación gráfica de la distribución normal

La representación gráfica de la distribución normal es una herramienta visual

poderosa que nos ayuda a entender la distribución de una variable aleatoria
continua. Esta gráfica tiene una forma característica de campana, conocida como
la campana de Gauss. La distribución normal es una de las distribuciones más
importantes en estadística debido a su amplia aplicación en diversos campos. Su
representación gráfica no solo es estéticamente agradable, sino que también
proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los datos alrededor de la
media.

Características de la Gráfica

1. Forma de Campana: La gráfica de la distribución normal es simétrica y

tiene forma de campana. Esto significa que los valores se distribuyen de
manera uniforme alrededor de la media.
2. Simetría: La curva es simétrica respecto a la media ( \mu ). Esto implica
que la mitad de los valores se encuentran a la izquierda de la media y la
otra mitad a la derecha.
3. Pico Central: El punto más alto de la curva se encuentra en la media ( \
mu ), que también es la mediana y la moda de la distribución.
4. Asintótica: La curva se aproxima al eje ( x ) pero nunca lo toca. Esto
significa que siempre hay una pequeña probabilidad de observar valores
extremadamente altos o bajos.

Desviación Estándar: La anchura de la campana está determinada por la

desviación estándar ( \sigma ). Una desviación estándar mayor resulta en
una curva más ancha y baja, mientras que una desviación estándar menor
produce una curva más estrecha y alta.

teorema de chebyshev

El teorema de Chebyshev, también conocido como la desigualdad de

Chebyshev, es un resultado fundamental en la teoría de la probabilidad. Este
teorema proporciona una cota para la probabilidad de que una variable aleatoria
se desvíe de su media en más de un cierto número de desviaciones estándar.

El teorema de Chebyshev establece que para cualquier variable aleatoria ( X ) con

media ( \mu ) y varianza ( \sigma^2 ), y para cualquier ( k > 0 ):
P(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2P(∣X−μ∣≥kσ)≤k21
Esto significa que la probabilidad de que ( X ) se desvíe de su media en al menos (
k ) veces la desviación estándar es, como máximo, ( \frac{1}{k^2} ).

Ejemplo

Supongamos que tenemos una variable aleatoria con una media ( \mu = 50 ) y una
desviación estándar ( \sigma = 5 ). Queremos saber la probabilidad de que esta
variable se desvíe de su media en al menos 10 unidades (( k = 2 ) porque ( 10 =
2 \times 5 )).

Aplicando el teorema de Chebyshev:

P(∣X−50∣≥10)≤122=14=0.25P(∣X−50∣≥10)≤221=41=0.25

Esto nos dice que, como máximo, el 25% de los valores estarán a 10 unidades o
más de la media.

Cálculo de probabilidades normales

El cálculo de probabilidades en una distribución normal es un proceso esencial en

estadística que nos permite entender la distribución de datos y tomar decisiones
informadas. Utilizando la estandarización y herramientas como tablas o
calculadoras, podemos determinar fácilmente las probabilidades asociadas con
intervalos específicos.

Pasos para el Cálculo de Probabilidades

1. Estandarización: Si la variable aleatoria ( X ) sigue una distribución normal
con media ( \mu ) y desviación estándar ( \sigma ), primero se convierte
( X ) en una variable normal estándar ( Z ) usando la fórmula:
 Z=X−μσZ=σX−μ
Esto transforma la distribución normal en una distribución normal estándar
con media 0 y desviación estándar 1.
2. Uso de Tablas o Calculadoras: Una vez estandarizada la variable, se
utilizan tablas de la distribución normal estándar o calculadoras en línea
para encontrar el área bajo la curva. Esta área representa la probabilidad
acumulada hasta el valor ( Z ).

Ejemplo

Supongamos que queremos calcular la probabilidad de que una variable aleatoria

( X ) con distribución normal ( N(100, 15^2) ) tome un valor menor o igual a 120.
1. Estandarización:
Z=120−10015=2015≈1.33Z=15120−100=1520≈1.33
2. Uso de Tablas o Calculadoras: Consultamos una tabla de la distribución
normal estándar o usamos una calculadora en línea para encontrar ( P(Z \
leq 1.33) ). Según la tabla, esta probabilidad es aproximadamente 0.9082.

Por lo tanto, la probabilidad de que ( X \leq 120 ) es aproximadamente 0.9082, o el

90.82%.

Aplicaciones del software Excel

Microsoft Excel es una herramienta extremadamente versátil y poderosa que se

utiliza en una variedad de campos para diferentes propósitos.

Excel es un programa de hoja de cálculo desarrollado por Microsoft que permite a

los usuarios realizar cálculos, análisis de datos y presentaciones gráficas. Es una
herramienta fundamental en el mundo empresarial y académico debido a su
capacidad para manejar grandes cantidades de información de manera
organizada y eficiente.

Aplicaciones Comunes de Excel

1. Análisis y Manipulación de Datos:
o Tablas Dinámicas: Permiten resumir y analizar grandes conjuntos
de datos de manera interactiva.
o Funciones y Fórmulas: Excel ofrece una amplia gama de funciones
matemáticas, estadísticas y financieras que facilitan el análisis de
datos complejos.
2. Contabilidad y Finanzas:
o Registro de Gastos e Ingresos: Los contadores pueden utilizar
Excel para llevar un registro detallado de las transacciones
financieras.
o Presupuestos y Análisis Financieros: Permite la creación de
presupuestos y la realización de análisis financieros detallados.
3. Gestión de Proyectos:
o Planificación y Seguimiento: Excel se utiliza para crear planes de
proyecto, programar tareas y hacer seguimiento al progreso.
o Gráficos de Gantt: Proporcionan una vista visual del progreso del
proyecto y las tareas pendientes.
4. Educación:
o Registro de Calificaciones: Los profesores pueden utilizar Excel
para llevar un registro de las calificaciones y el progreso de los
estudiantes.
o Análisis de Datos Educativos: Permite analizar datos relacionados
con el rendimiento académico y otras métricas educativas.
5. Visualización de Datos:
o Gráficos y Tablas: Excel permite la creación de gráficos y tablas
para presentar la información de manera visualmente atractiva y fácil
de entender.
 o Minigráficos y Formato Condicional: Facilitan la identificación de
tendencias y patrones en los datos.
6. Automatización de Tareas:
o Macros: Permiten automatizar tareas repetitivas mediante la
grabación de secuencias de comandos.
o Integración con Otros Programas: Excel se puede integrar con
otras herramientas como Power BI y Power Query para análisis de
datos más avanzados.

Ejemplo de Práctica

Problema: Supongamos que las puntuaciones de un examen siguen una

distribución normal con una media (( \mu )) de 75 y una desviación estándar (( \
sigma )) de 10. Queremos encontrar la probabilidad de que un estudiante
seleccionado al azar obtenga una puntuación entre 70 y 85.

Pasos para Resolver el Problema

1. Estandarización:
o Primero, convertimos las puntuaciones a la variable normal estándar
( Z ) usando la fórmula:
Z=X−μσZ=σX−μ
o Para ( X = 70 ):
Z1=70−7510=−510=−0.5Z1=1070−75=10−5=−0.5
o Para ( X = 85 ):
Z2=85−7510=1010=1Z2=1085−75=1010=1
2. Uso de Tablas o Calculadoras:
 o Consultamos una tabla de la distribución normal estándar o usamos
una calculadora en línea para encontrar las probabilidades
acumuladas correspondientes a ( Z_1 ) y ( Z_2 ).
o Según la tabla, ( P(Z \leq -0.5) \approx 0.3085 ) y ( P(Z \leq 1) \
approx 0.8413 ).
3. Cálculo de la Probabilidad:
o La probabilidad de que la puntuación esté entre 70 y 85 es la
diferencia entre las dos probabilidades acumuladas:
P(70≤X≤85)=P(Z≤1)−P(Z≤−0.5)=0.8413−0.3085=0.5328P(70≤X≤85)
=P(Z≤1)−P(Z≤−0.5)=0.8413−0.3085=0.5328
o Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante obtenga una
puntuación entre 70 y 85 es aproximadamente 0.5328, o el 53.28%.

Distribución normal estandarizada

La distribución normal estandarizada, también conocida como la distribución

normal estándar, es una versión especial de la distribución normal donde la
media (( \mu )) es 0 y la desviación estándar (( \sigma )) es 1. Esta transformación
facilita el cálculo de probabilidades y la comparación entre diferentes
distribuciones normales.

Proceso de Estandarización

Para convertir una variable aleatoria ( X ) que sigue una distribución normal con
media ( \mu ) y desviación estándar ( \sigma ) a una variable normal estándar ( Z ),
utilizamos la siguiente fórmula:
Z=X−μσZ=σX−μ
Ejemplo

Supongamos que tenemos una variable aleatoria ( X ) con una distribución normal
( N(100, 15^2) ). Queremos encontrar la probabilidad de que ( X ) sea menor o
igual a 120.
1. Estandarización:
Z=120−10015=2015≈1.33Z=15120−100=1520≈1.33
2. Uso de Tablas o Calculadoras:
o Consultamos una tabla de la distribución normal estándar o usamos
una calculadora en línea para encontrar ( P(Z \leq 1.33) ). Según la
tabla, esta probabilidad es aproximadamente 0.9082.

Por lo tanto, la probabilidad de que ( X \leq 120 ) es aproximadamente 0.9082, o el

90.82%.

Distribución normal no estandarizada

La distribución normal no estandarizada es la forma general de la distribución

normal, donde la media (( \mu )) y la desviación estándar (( \sigma )) pueden
tomar cualquier valor. Esta distribución es fundamental en estadística y
probabilidad debido a su capacidad para modelar una amplia variedad de
fenómenos naturales y sociales.

La distribución normal no estandarizada se utiliza para describir variables

aleatorias continuas que se distribuyen de manera simétrica alrededor de una
media. La forma de la curva es una campana, conocida como la campana de
Gauss, y es simétrica respecto a la media. Esta distribución es crucial en muchos
campos, incluyendo la economía, la biología, la ingeniería y las ciencias sociales.
 Conclusión

En el estudio de la estadística y la probabilidad, hemos explorado varios

conceptos fundamentales que son esenciales para el análisis y la interpretación de
datos. La función de densidad de probabilidad (FDP) nos permite entender
cómo se distribuyen los valores de una variable aleatoria continua y calcular la
probabilidad de que esta tome un valor dentro de un intervalo específico.
La función de distribución acumulada (FDA), por otro lado, nos proporciona la
probabilidad acumulada de que una variable aleatoria sea menor o igual a un valor
dado, facilitando el cálculo de probabilidades y la descripción de la distribución de
datos.

La distribución normal, con su característica forma de campana, es una de las

distribuciones más importantes y ampliamente utilizadas en estadística. Su versión
estandarizada simplifica el cálculo de probabilidades y permite comparaciones
entre diferentes conjuntos de datos. El teorema de Chebyshev nos ofrece una
herramienta poderosa para acotar la probabilidad de desviaciones significativas de
la media, aplicable a cualquier distribución con varianza finita.

El cálculo de probabilidades normales es un proceso esencial que nos permite

determinar la probabilidad de que una variable aleatoria normal tome un valor
dentro de un rango específico. Este proceso es fundamental para el análisis de
datos y la toma de decisiones informadas.

Finalmente, el uso de Microsoft Excel como herramienta de análisis y

manipulación de datos es indispensable en muchos campos. Excel facilita la
realización de cálculos complejos, la visualización de datos y la automatización de
tareas, convirtiéndose en una herramienta esencial para profesionales y
estudiantes.
La comprensión y aplicación de estos conceptos y herramientas nos permiten
abordar una amplia variedad de problemas y desafíos en diversos campos, desde
la economía y la ingeniería hasta las ciencias sociales y la educación. Con una
base sólida en estos temas, estamos mejor equipados para analizar datos, tomar
decisiones informadas y contribuir de manera significativa en nuestros respectivos
campos.