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    Aritmética Semestral Uni - Números Primos

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    Lennin Brayan Diaz Herrera
    Este documento trata sobre números primos y compuestos. Define números primos como aquellos que solo tienen dos divisores, y números compuestos como aquellos con más de dos divisores. Explica propiedades de números primos como que son infinitos y que el único par es 2. También cubre conceptos como números primos entre sí, funciones aritméticas, y teoremas como el fundamental de la aritmética, Fermat y Fermat-Euler.

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    Aritmética Semestral Uni - Números Primos

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    Lennin Brayan Diaz Herrera
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    Este documento trata sobre números primos y compuestos. Define números primos como aquellos que solo tienen dos divisores, y números compuestos como aquellos con más de dos divisores. Explica propiedades de números primos como que son infinitos y que el único par es 2. También cubre conceptos como números primos entre sí, funciones aritméticas, y teoremas como el fundamental de la aritmética, Fermat y Fermat-Euler.

    Descripción original:

    r

    Título original

    ARITMÉTICA SEMESTRAL UNI - NÚMEROS PRIMOS

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    de 7

    Curso:

    ARITMÉTICA

    Tema:
    NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

    Ciclo:
    Semestral I UNI
    NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Números Compuestos
    Definición.- Sean dos números enteros a y d Son aquellos números que tienen más de 2
    (diferente de cero), se dice que d es divisor de a divisores.
    si existe otro entero k, tal que a = dk. 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , ...
    Divisores Observación:
    24 1, 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 Siempre es posible encontrar “n” números
    consecutivos que sean compuestos.
    Divisores propios Por ejemplo, se muestran 1000 números
    Números Primos compuestos consecutivos:
    Son aquellos números que solo tienen 2 1001! + 2 , 1001! + 3 , 1001! + 4 , ... , 1001! + 1001
    divisores, el mismo número y la unidad.
    Números Simples
    2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13 , 17, ... Son aquellos números que tienen a lo más 2
    divisores.
    ➢ Los números primos son infinitos.
    1, 2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13 , 17 , ...
    ➢ El único número primo par es 2
    Número primos entre sí (PESI)
    ➢ Los únicos números consecutivos y primos a
    la vez son 2 y 3. También llamados primos relativos o coprimos.
    Se dice que dos o más números son PESI si
    ➢ Todo primo impar es 4ሶ ± 1 solo tienen como único divisor común a la
    unidad.
    ➢ Todo primo mayor que 3 es 6ሶ ± 1
    Ejemplo: En general: N = A x  B y  Cz ... (d.c)
    5 : 1, 5
    Son PESI Donde A, B y C son primos y diferentes y sus
    8 : 1, 2 , 4 , 8 exponente x, y, z son enteros positivos.
    9 : 1, 3 , 9 Son PESI dos a dos
    Funciones aritméticas
    6 : 1, 2 , 3 , 6 Se dice que F(x) es una función aritmética si
    Son PESI
    10 : 1, 2 , 5 , 10 para dos números coprimos a y b se cumple:
    No son PESI dos a dos
    15 : 1, 3 , 5 , 15 F(a  b) = F(a)  F(b)
    Observación: 1. Cantidad de divisores (CD)
    ➢ Dos números enteros consecutivos siempre
    son PESI. CD(N) = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
    ➢ Dos números impares consecutivos siempre
    son PESI. CD(N) = 1 + CDprimos + CDcompuestos
    ➢ Sean dos números PESI a y b, entonces a y
    (a ± b) son PESI. 2. Suma de divisores (SD)
    ➢ Sean dos números PESI a y b, entonces a.b
    y (a + b) son PESI. A x +1 − 1 B y +1 − 1 Cz +1 − 1
    SD(N) =  
    A −1 B −1 C −1
    Teorema fundamental de la aritmética
    Todo número entero positivo, a excepción del SD(N) = 1 + SDprimos + SDcompuestos
    uno, se puede expresar como el producto de
    factores primos de manera única sin tener en
    cuenta el orden (descomposición canónica).
    Ejemplo: Para el número 360 halle: N = 360 = 23  32  5
    a) Su cantidad de divisores, divisores primos y
    compuestos. CDimp = (2 + 1)(1 + 1) = 6
    b) Su cantidad de divisores múltiplos de 10.
    c) Su cantidad de divisores pares e impares. d) 360 = 23  32  5  112 = 24  7
    d) Su cantidad de divisores PESI con 112 pesi 112
    CD360 = (2 + 1)(1 + 1) = 6
    e) La suma de sus divisores.
    f) La suma de sus divisores múltiplos de 10. e) 360 = 23  32  5
    Solución:
    1 1 1
    N = 360 = 23  32  5
    2 3 5
    a) CD = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24
    4 9
    CDprimos = 3 8
    CDcomp = 24 − 3 − 1 = 20 15  13  6 = 1170
    b) 360 = 2  5 (22  32 ) (
    f ) 360 = 2  5 22  32 )
    10 10
    o
    1 1
    CD 10
    = (2 + 1)(2 + 1) = 9
    2 3
    c) 360 = 2 (2  3  5)
    2 2
    4 9
    2 10  7  13 = 910
    CDpares = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18
    3. Producto de divisores (PD) Aplicación: ¿Cuántos números menores o
    CD(N) iguales a 800 son coprimos con el?
    PD(N) = N
    800 = 25  52
    4. Suma de inversas de los divisores (SID)  1  1
    (800) = 800  1 −  1 −  = 320
     2  5 
    SD(N)
    SID(N) =
    N Sistema reducido de residuos respecto al
    modulo 10:
    Indicador de Euler (𝜑(𝑁) ) o
    10 + 1
    o
    10 + 3
    o
    10 + 7
    o
    10 + 9
    El indicador de Euler 𝜑(𝑁) indica la cantidad de 1 3 7 9
    números menores o iguales que N que son 11 13 17 19
    PESI con el. 80
    21 23 27 29
     1  1  1 términos
    (N) = N  1 −  1 −  1 − 
     A  B  C 
    791 793 797 799
    Algunos valores
    Sea S la suma de todos los números menores
    N 1 2 3 4 5 6 7 8 que N y coprimos con el.
    φ(N) 1 1 2 2 4 2 6 4 1
    S= N  (N)
    2
    Para todo número entero n mayor que 2, su
    indicador es par.
    Propiedades: Teorema de Wlison
    a) Sean dos números coprimos a y b, Para todos número natural primo p, se cumple:
    entonces:
    (a  b) = (a)  (b) o o
    (p − 1)!  p − 1 (p − 2)!  p + 1
    b) Sea “p” un número primo, entonces:
    • (p) = p − 1
    • (pn ) = pn −1(p − 1)

    c) La cantidad de números PESI con N entre


    dos múltiplos consecutivos de N es φ(N).
    Teorema de Fermat

    Sea a y p dos números naturales PESI, siendo p


    primo, se cumple:
    o o
    ap −1  p + 1 ap − a  p

    Teorema de Fermat - Euler


    Sea a y n dos números naturales PESI, se
    cumple:
    o
    a(n)  n + 1

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