Problemas - Adicionales - Mecánica - Cuántica - I Jaime Avendaño

Problemas de Mecánica Cuántica I Jaime Avendaño
96) Sea la matriz asociada al operador en una cierta base. ¿Cómo es la matriz asociada
al operador en la misma base?
97) Demuestre que dos matrices, y correspondientes a las variables dinámicas A y B

se pueden diagonalizar simultáneamente ellas conmutan, . Simultáneamente
significa aquí en la misma base, es la matriz nula.
98) Considere un sistema cuyo hamiltoniano y estado inicial son:
, tiene dimensiones de energía.
a) ¿Qué valores se obtendrán si medimos la energía?, ¿con qué probabilidad se

obtendrán cada uno de estos posibles valores?
b) Calcule el valor esperado de la energía en el estado inicial.
99) Considere un sistema cuyo hamiltoniano y una variable dinámica A tiene las siguientes
matrices asociadas:
,  tiene dimensiones de energía.
a) Si efectuamos una mediación de la energía, ¿qué valores obtendremos?

b) Supóngase que cuando medimos la energía, se obtiene el valor   .
Inmediatamente después medimos la variable dinámica A, ¿qué valores se
obtendrán para la variable dinámica A y ¿con qué probabilidad?.
c) Calcule la incertidumbre de la variable A.
100) En el problema de la partícula confinada en la región , considere que la

partícula se encuentra inicialmente (para ) en un estado que es la superposición del
estado base y el primer estado excitado.
i) Determine .
ii) Grafique para distintos tiempos para observar cómo evoluciona el estado
cuántico.
101) Demuestre que la paridad inicial de la función de onda se conserva.
102) Suponga una partícula en un pozo de potencial infinito, tal que ésta se encuentra en
una superposición del estado base y del primer estado excitado al tiempo
con
i) Encontrar para todo instante del tiempo posterior.
ii) Calcular .
iii) Calcular .
iv) Calcular el valor esperado de la energía como función del tiempo.
v) Verificar que se cumple el teorema de Ehrenfest .
103) Sean y operadores arbitrarios correspondientes a dos variables dinámicas, probar
que
,
donde .
104) Un sistema físico se encuentra inicialmente (para ) en un estado que

superposición de las eigenfunciones y del hamiltoniano, con energías propias E1 y
E 2 , respectivamente. El estado es tres veces más probable que el estado .
i) Escriba la función de onda más general posible, r,0 consistente con los datos
anteriores.
ii) Determine r, t   t  0 .
iii) ¿Se encuentra el sistema en un estado estacionario?
iv) ¿Posee este estado algunas propiedades físicas que no varían con el tiempo?
105) Un sistema de masa m se encuentra confinado en un pozo de potencial infinito de

longitud L, inicialmente (al tiempo t = 0) se encuentra en el estado
(a) Encuentre x, t  a cualquier tiempo t > 0. (b) Calcule la densidad de probabilidad y la
densidad de flujo de corriente en el punto x al tiempo t. (c) Verifique que se cumple la
ecuación de continuidad.
106) ¿Existirán estados cuánticos en los cuales tres variables dinámicas, A, B y C estén
libres de dispersión?
107) Considere que una partícula de masa m que se mueve en un pozo de potencial infinito
de longitud L, tiene una función de onda inicial al tiempo t = 0
A es una constante de normalización. (a) Encuentre A tal que x,0 esté normalizada. (b)
Si se lleva a cabo una medición de la energía, ¿Cuáles son los posibles valores que de ella
se pueden encontrar? y ¿con qué probabilidad? Calcule la energía promedio. (c) calcule la
función de onda a un tiempo t posterior, x, t  . (d) Determine la probabilidad de encontrar
al sistema al tiempo t en el estado
determine la probabilidad de encontrarlo en el estado
108) Un oscilador armónico se encuentra en el estado x, t   a0 x, t   b1 x, t  , donde
0 y 1 son los estados normalizados del oscilador armónico correspondientes al estado
base y al primer estado excitado. Calcular E 
, x 
y p 
y discutir la dependencia en
el tiempo para cada uno.
109) Buscar soluciones a la Ec. de Schrödinger para el potencial

 0 si x  0
V x    .
V0  0 si x  0
Si E  V0 , determine el coeficiente de transmisión y el de reflexión.
110) Buscar soluciones a la Ec. de Schrödinger para el potencial

 0 si x  0
V x    .
V0  0 si x  0
Si E  V0 , determine el coeficiente de transmisión y el de reflexión.
111) Un sistema cuántico de masa m sometido a un potencial de oscilador armónico, se

encuentra en el estado
, para alguna constante A .

i) ¿Cuál es el valor esperado de la energía?
ii) Para algún valor del tiempo T , la función de onda es
, para algún valor de la constante B ,

¿cuál es el menor valor posible de T ?
112) Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadrado de anchura 2a y

profundidad  V0 . ¿Qué condición debe cumplir la profundidad, V0 , para que dentro del
pozo existan exactamente n estados pares.

pozo existan exactamente n estados impares.

pozo existan exactamente 5 estados pares y 5 estados impares.
115) Determine las energías de resonancia para un pozo de potencial de profundidad  V0 y

anchura igual a 2a
116) Dado el siguiente potencial V x    g x  ,  x  es la delta de Dirac, g  0 .

a) Demostrar que la derivada de la función de onda es discontinua al cruzar este potencial,
y determine el salto en esta discontinuidad.
b) Obtenga el espectro de energía.
c) Obtenga sus eigenfunciones.
117) Obtenga el espectro de energía y los eigenestados de una partícula en un pozo de

potencial infinito, partiendo de los resultados para una partícula en un pozo de potencial
finito de profundidad V0 al pasar al límite V0   . Verificar que los resultados son los
mismos que los obtenidos en clase. Sugerencia: Medir todas las energías desde el fondo del
pozo antes de proceder al límite.
118) Una partícula confinada en un pozo de potencial infinito de ancho  se encuentra en

su estado base, repentinamente las paredes del pozo desaparecen quedando como
consecuencia la partícula libre. Calcular la probabilidad de que la partícula tenga un
momento comprendido entre p y p  dp .
119) Demuestre que la matriz de transferencia en 1-D para un potencial de barrera

rectangular de altura V0 y anchura 2a tiene la siguiente expresión
donde
cuando se cumple que E  V0 .
120) Demuestre que el coeficiente de transmisión para una barrera de potencial de altura V0
y ancho igual a 2a es continuo para toda   E /V0 .
121) Determine las energías de resonancia para la barrera de potencial del problema
anterior. ¿Cuál es la primera resonancia?
122) Para el potencial V x   g x  ,   x  es la delta de Dirac, g  0 . Determinar la

matriz de transferencia y el coeficiente de transmisión correspondiente.
123) Una partícula se encuentra ligada en un potencial dado por V x    g x  , encuentre

el valor de x 0 tal que la probabilidad de encontrar a la partícula en la región  x0 , x0  es
exactamente 1 2 .
124) Una partícula se encuentra ligada en un potencia dado por V x    g x  , si ahora

adicionalmente se añade el potencial V1 x   ,  x  a ,
i) Encuentre la modificación al estado base cuando la pared de potencial infinito se
encuentra muy lejos.
ii) ¿Cuál es la condición para g y a para que exista al menos un estado ligado.
125) Considere el potencial dado por

  si x   ,0

V x    0 si x  0, a 
V  0 si x  a,  
 0
encuentre sus eigenfunciones y eigenvalores para E  V0 . Haga una gráfica cualitativa de
alguna de sus eigenfunciones.
126) Una partícula de masa m se mueve en el potencial V x    g x     x   ,

g  0 . Encuentre la eigenfunción del estado base y su correspondiente energía.
127) Una partícula de masa m se mueve en el potencial V x   g1 x    g 2 x   ,

donde g1   g 2  g  0 . Encuentre el espectro ligado (eigenvalores y eigenfunciones).
128) (i) Muestre que
satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, a es una constante, ¿qué

unidades tiene?.
(ii) Encuentre x,t  , y describa el movimiento de este paquete de onda.
2
(iii) Calcule x 
y p 
y compruebe que se satisface el teorema de Ehrenfest.
129) Una partícula está sometida a un potencial de oscilador armónico de frecuencia ω, al

tiempo t = 0 encontrándose en su estado base, la fuerza armónica repentinamente
desaparece. Calcular
a) x,0
b) x, t  para t  0 .
c) La posición promedio al tiempo t > 0.
d) Calcular la probabilidad de que la partícula tenga un momento comprendido entre p y
p  dp a cualquier tiempo t.
130) Establezca el método de los operadores de ascenso y descenso para el oscilador

armónico, a partir de su descripción en el espacio de los momentos.
131) i) Determine la función de onda x, t  , ii) la densidad de probabilidad

para el caso en que la función de onda inicial (al tiempo t  0 ) es
.
iii) Determinar la constante de normalización A.
iv) Determine la función de onda x, t 
~  p, t  .
v) Determinar la función de onda en el espacio de los momentos 
vi) Calcular el valor promedio de la energía.
vii) Calcular la desviación cuadrática media de la energía.
132) Demostrar que en el caso de una partícula libre, para un paquete de ondas arbitrario, se
cumple
p
x t  x t  t  t 0  .
0
m
Hacerlo:
i) En el espacio de los momentos.
ii) En el espacio de configuración
133) Una partícula de masa m moviéndose en un potencial V x  se encuentra en su estado

base,  0 x  . Suponer conocida  0 x  aunque no esté normalizada.
i) Dar una expresión para la probabilidad de que la medición del momento de la partícula
tenga un valor entre p y p  dp .
ii) Dar una expresión para la probabilidad de que la medición de la energía cinética de la
partícula tenga un valor entre K y K  dK .
134) Sea la función de onda independiente del tiempo para partícula libre dada por
 x   Ae bx ,
2
donde b es una constante, encuentre el valor de A para que la función de onda esté
normalizada.
135) Considerar que la función de onda independiente del tiempo asociada a una partícula
libre es:
 Nxe  x x  0
 x   
 0 x0
i) Determine el valor de la constante para que la función de onda esté normalizada.
ii) Determinar el valor de x para el cual la densidad de probabilidad, , alcanza su
máximo valor.
iii) Calcular el valor promedio de la posición, x .
iii) Calcular el valor promedio del momento, p .
136) Suponga que la función de onda independiente del tiempo para un sistema cuántico
libre es
 x   Ae  x  x
0 2 / 2b 2
i) Calcular A para que la función de onda esté normalizada.

ii) Calcular la posición promedio x  .

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97) Demuestre que dos matrices, y correspondientes a las variables dinámicas A y B

98) Considere un sistema cuyo hamiltoniano y estado inicial son:

, tiene dimensiones de energía.

a) ¿Qué valores se obtendrán si medimos la energía?, ¿con qué probabilidad se

,  tiene dimensiones de energía.

a) Si efectuamos una mediación de la energía, ¿qué valores obtendremos?

100) En el problema de la partícula confinada en la región , considere que la

101) Demuestre que la paridad inicial de la función de onda se conserva.

104) Un sistema físico se encuentra inicialmente (para ) en un estado que

105) Un sistema de masa m se encuentra confinado en un pozo de potencial infinito de

determine la probabilidad de encontrarlo en el estado

109) Buscar soluciones a la Ec. de Schrödinger para el potencial

110) Buscar soluciones a la Ec. de Schrödinger para el potencial

111) Un sistema cuántico de masa m sometido a un potencial de oscilador armónico, se

, para alguna constante A .

, para algún valor de la constante B ,

112) Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadrado de anchura 2a y

113) Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadrado de anchura 2a y

114) Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadrado de anchura 2a y

115) Determine las energías de resonancia para un pozo de potencial de profundidad  V0 y

116) Dado el siguiente potencial V x    g x  ,  x  es la delta de Dirac, g  0 .

117) Obtenga el espectro de energía y los eigenestados de una partícula en un pozo de

118) Una partícula confinada en un pozo de potencial infinito de ancho  se encuentra en

119) Demuestre que la matriz de transferencia en 1-D para un potencial de barrera

122) Para el potencial V x   g x  ,   x  es la delta de Dirac, g  0 . Determinar la

123) Una partícula se encuentra ligada en un potencial dado por V x    g x  , encuentre

124) Una partícula se encuentra ligada en un potencia dado por V x    g x  , si ahora

125) Considere el potencial dado por

126) Una partícula de masa m se mueve en el potencial V x    g x     x   ,

127) Una partícula de masa m se mueve en el potencial V x   g1 x    g 2 x   ,

128) (i) Muestre que

satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, a es una constante, ¿qué

129) Una partícula está sometida a un potencial de oscilador armónico de frecuencia ω, al

130) Establezca el método de los operadores de ascenso y descenso para el oscilador

131) i) Determine la función de onda x, t  , ii) la densidad de probabilidad

133) Una partícula de masa m moviéndose en un potencial V x  se encuentra en su estado

i) Calcular A para que la función de onda esté normalizada.

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