Electrodinamica Notas
Electrodinamica Notas
Electrodinamica Notas
Rodolfo A. Diaz
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Fı́sica
Bogotá, Colombia
The Date
ii
Índice general
Introduction XI
1. Electrostática 3
1.1. Ley de Coulomb y campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Función delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Potencial y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Energı́a potencial electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Distribuciones contı́nuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Cálculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Teoremas de unicidad para campo vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8. Discontinuidades en el campo eléctrico y en el potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.1. Capa dipolar superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. Ecuación de Laplace 27
2.1. Expansión en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Propiedades de las soluciones de la Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Unicidad de la ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Ecuación de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.3. Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5. Ecuación de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6. Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2. Separación de variables para la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas . . . . . 44
2.6.3. Propiedades de Pl (cos θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.4. Esfera con φ = V (θ) en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.5. Cascarones concéntricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii
iv ÍNDICE GENERAL
3. Conductores electrostáticos 57
3.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capacitores . . . . . . . . . . 60
3.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1. El caso de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5. Ejemplos de cálculos de la matriz de capacitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6. Energı́a electrostática y matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.1. Simetrı́a de los Cij por argumentos de energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.2. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.3. Energı́a electrostática y capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4. Función de Green para exterior e interior de la esfera combinando imágenes con autofunciones 127
6.5. Función de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esféricos concéntricos con
G = 0 en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5.1. Solución general en el espacio entre dos cascarones esféricos . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.6. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.7. Condición de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.8. Carga superficial en semicı́rculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.9. Distribución poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10.Magnetostática 179
10.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2. Conservación de la carga eléctrica y ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.3. Ecuación de continuidad y régimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.4. Leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.5. Ecuaciones diferenciales de la magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.6. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
vi ÍNDICE GENERAL
16.Radiación 313
16.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
16.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
16.3. Ecuaciones de Jefimenko en el formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
16.4. Potenciales generados por cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
16.4.1. Potenciales de Liénard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
16.5. Campos eléctrico y magnético asociados a cargas puntuales móviles . . . . . . . . . . . . . . . 323
16.6. Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
16.7. Radiación de dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
16.8. Radiación de dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
16.9. Radiación generada por un distribución arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.10.Radiación de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
16.10.1.Radiación de Frenado (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
16.10.2.Radiación de Ciclotrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
viii ÍNDICE GENERAL
This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX field at the beginning of this
paragraph sets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does not
appear in the table of contents.
ix
x PREFACE
Introduction
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xi
xii INTRODUCTION
Parte I
1
Capı́tulo 1
Electrostática
Dicha fuerza es central, es decir actúa a lo largo de la lı́nea que une las cargas.
Solo hay dos tipos de electrización, partı́culas con electrizaciones semejantes se repelen en tanto que
si ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puede verse fácilmente con experimentos de
frotación.
q1 q2 (r2 − r1 )
Fq1 →q2 = Kc
|r2 − r1 |3
donde r1 , r2 son las posiciones de las cargas con respecto a algún sistema de referencia inercial, y K c es una
constante universal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido Fı́sico de la electrostática yace en la
ley de Coulomb y el principio de superposición. La escogencia de la constante de proporcionalidad determina
la unidad de carga. Nótese que la ley de Coulomb nos fija las dimensiones del producto K c q1 q2 pero no de
las cantidades Kc y q por aparte, por esta razón es posible fijar las dimensiones de K c para obtener en
consecuencia las dimensiones de q, o por otro lado fijar las unidades de q (como unidades independientes de
las unidades básicas de longitud tiempo y masa) con lo cual quedarı́an fijadas las unidades de K c . Esto nos
lleva a dos tipos de unidades que son las mas comúnmente usadas
Unidades electrostáticas (e.s.u): Basado en el sistema c.g.s. En este sistema fijamos las unidades de
Kc eligiendo Kc = 1 (adimensional) de modo que la carga queda con dimensiones de cm 3/2 g 1/2 s−1 .
3
4 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
A la cantidad q = 1cm3/2 g 1/2 s−1 lo denominamos una unidad electrostática o statcoulomb. En este
sistema de unidades, q = 1 cuando ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga idéntica colocada a
un centı́metro.
MKSA o sistema internacional SI: Este sistema fija a la carga como unidad independiente (coulombio)
en cuyo caso la constante Kc queda con unidades definidas. Se define a su vez la constante K c =
1/ (4πε0 ) con ε0 = 8,85 × 10−12 C 2 /N m2 . q = 1coulomb cuando dos cargas idénticas separadas un
1
metro experimentan una fuerza mutua de 4πε 0
N ewtons. 1Coul = 3 × 109 Statcoul.
Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece au-
tomáticamente la ley de acción y reacción. Por otra parte, si asumimos que la Mecánica Newtoniana es una
descripción adecuada de la naturaleza, el principio de superposición está contenido en la segunda ley de
Newton, de tal forma que la ley de Coulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecer
la segunda ley debe cumplir el principio de superposición. Efectivamente, en el dominio de la mecánica
clásica el principio de superposición está bien soportado a través de diversas pruebas experimentales 1 . No
obstante, en los dominios de la mecánica cuántica, se pueden observar pequeñas desviaciones debidas a
procesos como la dispersión luz por luz y la polarización del vacı́o. De igual forma, existe una fuerte base
experimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microscópico como en el macroscópico.
La ley de Coulomb también puede pensarse como la interacción de q 2 con el campo generado por q1 .
F
Definimos E1 ≡ q1q→q 2
= Kc|rq1 (r 2 −r1 )
3 de modo que F2 = q2 E1 . El campo ası́ definido solo depende de la
2 2 −r1 |
fuente y no de la carga de prueba. Análogamente, se puede definir el campo generado por q 2 .
El campo es un vector y satisface el principio de superposición, el cual es herencia directa del mismo
principio aplicado a las fuerzas. Si una partı́cula está ubicada en alguna posición dada por r 0 (respecto
a algún sistema de referencia inercial) entonces el campo eléctrico generado por ésta, evaluado en alguna
posición r viene dado por
q (r − r0 )
E (r) = Kc
|r − r0 |3
este campo es central y por tanto conservativo. Cuando tenemos una distribución de carga se usa el principio
de superposición para calcular el campo generado por dicha distribución en cualquier punto del espacio.
Experimentalmente, el campo eléctrico en una posición r se mide colocando una carga de prueba q 0 en r
y midiendo la fuerza que dicha carga experimenta. Formalmente la medición del campo requiere tomar el
lı́mite cuando la carga de prueba es arbitrariamente pequeña
F
E = lı́m
0q →0 q0
con el fin de asumir que q 0 no altera la distribución de carga original al aproximarse a tal distribución.
Esta definición formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad Fı́sica, puesto que no
podemos tener hasta el momento, valores de carga menores que la carga electrónica. No obstante, la carga
electrónica es muy pequeña cuando tratamos fenómenos macroscópicos y la ecuación anterior nos da una
buena descripción de la realidad. Pasando la carga a multiplicar queda
F = q0E
esta ecuación se puede tomar como definición alternativa de campo, y tiene la ventaja de independizar el
campo de sus fuentes. Si para dos distribuciones de carga diferentes el campo es el mismo en un determinado
punto, la fuerza que experimenta una carga de prueba en dicho punto será la misma aunque las fuentes de
cada campo sean muy distintas. Aunque esta redefinición parece a priori trivial, nos será de gran utilidad
cuando estudiemos la generación de campos eléctricos que no dependen de fuentes.
1
Nótese que el principio de superposición depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.
1.1. LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO 5
Discretas
n
X qi (r − ri )
E (r) = Kc
i=1
|r − ri |3
Contı́nuas Z
dq (r0 ) (r − r0 )
E (r) = Kc
|r − r0 |3
Las distribuciones contı́nuas pueden ser lineales λ, superficiales σ, o volumétricas ρ. También es posible
tener densidades mixtas.
Con esta distribución es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r 0 ) como una
densidad volumétrica equivalente
ρ (r) = qδ r0 − r0 (1.1)
esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el potencial que genera
Z Z
q = ρ r dV = q δ r0 − r0 d3 r 0
0 0
Z Z Z
dq (r0 ) ρ (r0 ) 3 0 q δ (r0 − r0 ) 3 0
φ (r) = Kc = K c d r = K c d r
|r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |
Kc q
φ (r) = (1.2)
|r − r0 |
2 ∞ si r = 0 R
Es usual definir la “función” delta de Dirac como δ (r) = y δ (x) dx = 1. Esta definición se basa en
0 si r 6= 0
una concepción errónea de la distribución delta de Dirac como una función. A pesar de ello, hablaremos de ahora en adelante
de la función delta de Dirac para estar acorde con la literatura.
6 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
finalmente, es inmediato ver que el campo eléctrico también se reproduce adecuadamente. Hay varias
sucesiones de distribuciones que convergen a la función Delta de Dirac (para mas detalles ver Métodos
matemáticos de Gabriel Téllez Acosta ediciones UniAndes) una de las mas utilizadas es la sucesión definida
por
n 2 2
fn (x − a) = √ e−n (x−a)
π
se puede demostrar que al tomar el lı́mite cuando n → ∞ se reproduce la definición y todas las propiedades
básicas de la distribución delta de Dirac. Nótese que todas las distribuciones gaussianas contenidas en esta
sucesión tienen área unidad y están centradas en a. De otra parte, a medida que aumenta n las campanas
gaussianas se vuelven más agudas y más altas a fin de conservar el área, para valores n suficientemente altos,
el área se concentra en una vecindad cada vez más pequeña alrededor de a. En el lı́mite cuando n → ∞,
toda el área se concentra en un intervalo arbitrariamente pequeño alrededor de a.
Algunas propiedades básicas son las siguientes:
R∞
1. −∞ δ (x − a) dx = 1
R∞
2. −∞ f (x) ∇δ (r − r0 ) dV = − ∇f |r=r0
1
3. δ (ax) = |a| δ (x)
4. δ (r − r0 ) = δ (r0 − r)
5. xδ (x) = 0
1
6. δ x2 − e 2 = 2|e| [δ (x + e) + δ (x − e)]
Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribución, la función delta de Dirac no tiene sentido
1
por sı́ sola, sino únicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que δ (ax) = |a| δ (x), no
estamos hablando de una coincidencia numérica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debe
aplicar al espacio vectorial de funciones en que estemos trabajando, es decir
Z c Z c
1
f (x) δ (ax) dx = f (x) δ (x) dx ∀ f (x) ∈ V y ∀ a ∈ R
b b |a|
Estrictamente, el mapeo también se puede hacer sobre los números complejos con propiedades análogas. En
este mismo espı́ritu, es necesario aclarar que la densidad volumétrica equivalente de una carga puntual (y
todas las densidades equivalentes que nos encontremos de aquı́ en adelante) es realmente una distribución.
Por ejemplo, la densidad descrita por (1.1), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como las
expresadas en (1.2). Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribu-
ciones. En sı́ntesis, lo que se construye con la densidad volumétrica equivalente es una distribución que me
produzca el mapeo adecuado para reproducir la carga total y el potencial 3 .
En más de R una dimensión la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales,
la propiedad δ (x) dn x = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus
(n)
volumen. Finalmente, la forma integral nos conduce a una forma diferencial con la cual se pueden abordar
casos más generales. De acuerdo con la figura ???, dado un origen de coordenadas O y un punto donde se
ubica la carga O 0 podemos construir un diferencial de flujo en la vecindad de la posición definida por el
vector r. El campo electrostático viene dado por
q (r − r0 )
E (r) = Kc
|r − r0 |3
y el flujo de un campo E (r) sobre un diferencial de superficie dS centrada en r está dado por
q (r − r0 ) · dS (r)
E (r) · dS (r) = Kc
|r − r0 |3
donde r0 define la posición de la carga que genera el campo (con respecto a O). Integrando sobre una
superficie cerrada, se obtiene
I I
(r − r0 ) · dS (r)
E (r) · dS (r) = Kc q
|r − r0 |3
es bien conocido que el integrando del miembro derecho define el diferencial de ángulo sólido subtendido por
el área dS tomando como vértice el punto O 0
I I
(r − r0 ) · dS (r)
= dΩ (1.3)
|r − r0 |3
donde I
4π si O 0 está dentro de la superf icie cerrada
dΩ = (1.4)
0 si O 0 está f uera de la superf icie cerrada
con lo cual resulta I I
E (r) · dS (r) = Kc q dΩ
y teniendo en cuenta (1.4), este resultado se puede expresar de manera equivalente ası́
I Z
0
1 si O 0 está dentro
E · dS = 4πKc q δ r − r dV = 4πKc q
0 si O 0 está f uera
apelando al principio de superposición esta ley se puede aplicar a cualquier distribución de cargas. Para el
flujo de campo solo contribuye la carga neta que está adentro (suma algebraica de cargas). Obsérvese que la
ley de Gauss se basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargas
puntuales, b) el principio de superposición, c) la naturaleza central de la fuerza.
La expresión (1.3) para el ángulo sólido nos permitirá desarrollar una importante identidad que será de
uso frecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la función |r − r 0 |−1
1 2 1
∇· ∇ ≡∇
|r − r0 | |r − r0 |
el operador ∇ se refiere a las coordenadas no primadas. Haciendo el cambio de variable r̄ = r − r 0 y teniendo
en cuenta que ∇r̄ = ∇ tenemos que
2 1 2 1
∇ = ∇r̄
|r − r0 | r̄
esto es equivalente a redefinir el origen en r 0 = 0. Olvidemos la notación r̄ y calculemos explı́citamente esta
cantidad para r 6= 0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esféricas vemos que solo
aparece la derivada con respecto a la coordenada r debido a la simetrı́a esférica de 1/r
2 1 1 ∂2 1
∇ = 2
r =0
r r ∂r r
8 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
pero para r = 0 esta expresión está indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expre-
sión bajo una integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0
Z
Z I
1 1 1
∇2 dV = ∇· ∇ dV = ∇ · n dS
V r r r
I h I
ri
= − 3 · dS = − dΩ = −4π (1.5)
r
donde hemos aplicado el teorema de Gauss y la Ec. (1.3). Vemos entonces que ∇ 2 1r = 0 para r 6= 0 en
tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4π, reasignando r → r − r 0 resulta entonces que
Z
2 1 1 si el volumen incluye al punto r0
∇ dV = −4π (1.6)
V |r − r0 | 0 si el volumen no incluye a r0
nótese que en (1.5) hemos usado el teorema de Gauss a pesar de que la función
no es bien comportada en
2 0 −1
el volumen en cuestión, esto es inconsistente si tomamos a ∇ |r − r | como una función ordinaria. Lo
que realmente estamos haciendo es considerando a ∇ 2 |r − r0 |−1 como una distribución y encontrando cual
es el mapeo que nos permite asignar un valor a la integral de volumen de modo que nos permita usar el
teorema de Gauss. Notemos que precisamente la Ec. (1.6) emula la propiedad fundamental de la delta de
Dirac en tres dimensiones de modo que
2 1
∇ = −4πδ r − r0 (1.7)
|r − r0 |
esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, superficial o puntual, ya que podemos construı́r una
densidad volumétrica equivalente, como veremos más adelante. Por otro lado el teorema de la divergencia
nos dice que
I Z
E · dS = (∇ · E) dV
∇ · E = 4πKc ρ (r)
Esta ecuación es válida para cualquier distribución estática de cargas, y me dice que las cargas positivas
(negativas) son fuentes (sumideros) de lı́neas de campo eléctrico. Sin embargo, veremos más adelante que
esta ecuación se extrapola al caso de campos dependientes del tiempo.
1.2. LEY DE GAUSS 9
queda Z Z
2 0
0
∇ φ (r) = −4πKc dq r δ r − r = −4πKc ρ r0 δ r − r0 dV 0 = −4πKc ρ (r)
Para un conjunto de cargas puntuales q i ubicadas en las posiciones ri , se puede definir una densidad
volumétrica equivalente que me permite usar la formulación en el contı́nuo, tal distribución equivalente
se describe por
N
X
ρ r0 = qi δ r0 −ri
i=1
Demostremos que el ρ equivalente para una distribución discreta nos da el potencial correcto
Z X Z δ (r0 −ri ) X qi
ρ (r0 ) 0
φ (r) = Kc 0
dV = Kc qi 0
dV 0 = Kc
|r − r | |r − r | |r − ri |
i i
y como los puntos A y B son arbitrarios (en virtud de la arbitrariedad de los lazos cerrados originales),
se deduce que la integral de lı́nea del campo eléctrico es independiente del camino y solo depende de
los extremos, es entonces un campo conservativo. Hay que tener especial cuidado con los campos mal
comportados. Como ejemplo, sea F (r) = (A/r) u θ , una fuerza restringida a dos dimensiones. El diferencial
de trabajo es dW = F · dr = (A/r) uθ · (dr ur + r dθ uθ ) = (A/r) r dθ calculemos el trabajo para varias
trayectorias
1) Trayectoria cuyos vectores posición inicial y final están a un ángulo θ 1 y θ2 respectivamente
Z
W = Adθ = A (θ2 − θ1 )
1.2. LEY DE GAUSS 11
independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el ángulo (no la distancia)
2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen
Z r2 Z r1
W = A dθ + A dθ = 0
r1 r2
Se puede verificar que ∇ × M = 0, y el potencial asociado se puede encontrar teniendo en cuenta que
(
(r − r0 ) 1
∇ 1
si n 6= 1
= n−1 |r−r0 |n−1
n+1
|r − r0 | ∇ ln |r − r0 | si n = 1
el signo menos proviene del hecho de que la fuerza se hace opuesta al campo. Dividiendo por la carga
Z b
Wa→b
= φ (b) − φ (a) = − E · dr
q a
De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidad
q puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo eléctrico.
Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = −∇φ deja
una constante arbitraria por definir en el potencial. φ 0 = φ + c describe la misma Fı́sica que φ. Esto se
llama una transformación Gauge o de calibración (transformación del campo). El campo y el trabajo son
invariantes Gauge. La forma más general del potencial es entonces
Z
ρ (r0 ) dV 0
φ (r) = Kc + φ0
|r − r0 |
12 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Para fijar la constante escojemos un punto de referencia para definir el cero de potencial. Tomemos el ejemplo
de la carga puntual; en coordenadas polares tenemos:
Z Z Z
b
1 b b
Q Q b
E · dr = Kc Q u · (dr ur + rdθ uθ ) = Kc
2 r
dr = −Kc
a a r a r2 r a
1 1
= Kc Q − = φ (a) − φ (b)
ra rb
de modo que
1 1
φ (a) = Kc Q − + φ (b)
ra rb
si hacemos ra = r, rb → ∞ tenemos que
Kc Q
φ (r) = + φ (∞)
r
la escogencia φ (∞) = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejos
siempre como puntuales. Cuando hay distribuciones de carga no localizadas como en el caso de un alambre
infinito, la escogencia del cero de potencial en el infinito conduce por lo general a divergencias.
Discusión: En general sı́ es posible definir el cero de potencial en un punto en el infinito incluso cuando
la carga no está localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto definir el potencial cero cuando r → ∞
(r distancia del punto a un origen de coordenadas). La razón para ello es que r → ∞ no define un punto
sino una superficie, y no debemos perder de vista que el potencial debe ser fijado en un punto y no en
una superficie. La pregunta natural es ¿porqué la definición del cero de potencial en r → ∞ es válida para
distribuciones localizadas?, la respuesta radica en el hecho de que para distancias suficientemente grandes, la
distribución se puede ver como una carga puntual, esto significa que para una esfera suficientemente grande
y “centrada” en la distribución, la superficie de dicha esfera es equipotencial, de modo que definir cero el
potencial en un punto de su superficie equivale a definirlo cero en todos los puntos de la superficie. Cuando
la distribución no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso alejándonos indefinidamente, por
tanto esta enorme esfera no define una superficie equipotencial.
Veamos el ejemplo especı́fico de un alambre infinito, si r i define la distancia del punto Pi al alambre,
tenemos que
Z P2
φ21 = − E · dS = −2λ ln r2 + 2λ ln r1 = −2λ ln r + const
P1
Escogemos φ (a) = 0 con a arbitrario (a 6= 0, a 6= ∞). Si elegimos el cero de potencial en un punto especı́fico
en el infinito (por ejemplo el punto (0, 0, z → ∞)), vamos a obtener potenciales infinitos en todo el espacio.
Sin embargo, las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables fı́sicos) van a continuar siendo
finitas. Hay que tener en cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.
De esta manera podemos asociar una energı́a potencial a una carga q, en cada punto r del espacio, y
será equivalente al trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial
1.3. ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA 13
es cero hasta el punto r en cuestión 6 . Para distribuciones localizadas de carga es usual definir el cero de
potencial en el infinito, en tal caso
W∞→r = qφ (r) = U (r) = energı́a potencial asociada a la carga q
Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribución estática de cargas puntuales.
Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera
carga es cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario para
traer la primera carga (denotado por W 1 ) es nulo. Al traer la segunda carga desde el infinito ésta ya se
mueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera un potencial φ 1 (r) entonces el
trabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una cierta posición r 2 es
q1 q2
W2 = q 2 φ1 = K c
r12
análogamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras
q1 q2 q1 q3 q2 q3
W3 = q3 (φ1 + φ2 ) = Kc q3 + = Kc +
r13 r23 r13 r23
si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es
q1 q2 q1 q3 q2 q3
WT = W 1 + W 2 + W 3 = K c + +
r12 r13 r23
esto sugiere que para n cargas la expresión sea
n−1
XX n
Kc qi qk
WT =
rik
i=1 k>i
se sugiere al lector demostrar la anterior expresión por inducción matemática. También se deja al lector la
tarea de demostrar que este trabajo total coincide con el valor de la energı́a potencial interna del sistema
Uint , es decir la energı́a potencial asociada con las fuerzas internas. Esta expresión se puede escribir como
n n
1 X X Kc qi qk
WT = Uint = (1.13)
2 rik
i=1 k6=i
donde el factor 1/2 se coloca debido al doble conteo de términos, además k 6= i lo cual implica que una
partı́cula no interactúa consigo misma. Por otro lado, si tenemos en cuenta que
n
X Kc qk
φi =
rik
k6=i
donde φi es el potencial asociado a la carga q i debido a su interacción con las otras cargas. La energı́a interna
se puede escribir como
n
1X
Uint = qi φi (1.14)
2
i=1
Esta expresión no contiene la autoenergı́a asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas ya
están armadas, esto se vé en el hecho de que φ i es el potencial debido a todas las cargas excepto la i − ésima.
Solo contiene los términos debidos a la interacción entre las cargas. Estas autoenergı́as son divergentes pero
se pueden renormalizar. Como veremos más adelante, cuando asumimos distribuciones contı́nuas de cargas
estos términos de autoenergı́a aparecen en la formulación sin dar divergencias (siempre y cuando la densidad
sea finita en todo el espacio).
6
Esto es análogo a la energı́a potencial asociada a una partı́cula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campo
gravitatorio constante la energı́a potencial es mgh donde h = 0 se define por ejemplo en el suelo. Esta energı́a potencial es
justamente el trabajo necesario para que una partı́cula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto con
altura h.
14 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
si la interacción entre las partı́culas es tan fuerte que revela su estructura interna, en cuyo caso tenemos
que abandonar la abstracción de partı́culas puntuales. Las autoenergı́as divergen debido a que se producen
singularidades para r → r1 y para r → r2 . El último término se debe a la interacción entre las dos partı́culas
y se puede calcular de la forma siguiente.
Z Z
q1 q2 (r − r1 ) · (r − r2 ) Kc q1 q2 1 1
Kc 3 3 dV = ∇ ·∇ dV
4π |r − r1 | |r − r2 | 4π |r − r1 | |r − r2 |
Z Z
Kc q1 q2 1 1 2 1 1
= ∇· ∇ dV − ∇ dV
4π |r − r1 | |r − r2 | |r − r2 | |r − r1 |
Z Z
Kc q1 q2 1 1 1
= ∇ · dS + 4π δ (r − r2 ) dV
4π |r − r1 | |r − r2 | |r − r1 |
Z
Kc q1 q2 (r − r2 ) 1
= · dS + 4π
4π |r − r1 | |r − r2 |3 |r2 − r1 |
como la carga es localizada, la superficie donde se define la primera integral es el infinito en el cual el
integrando decae como 1/r 3 en tanto que la superficie crece como r 2 de modo que esta integral de anula. El
término de interacción queda
Kc q1 q2
Uint =
|r2 − r1 |
el cual coincide con el cálculo ya realizado en el caso discreto, Ec. (1.14). Sin embargo, cuando se usa (1.14),
no resultan los infinitos de autoenergı́a como ya se discutió, la razón es que en el caso discreto el potencial φ i
excluye la contribución de autointeracción. En contraste, se puede ver que en el caso contı́nuo descrito por
(1.15), el potencial φ (r) sı́ incluye la contribución del diferencial de carga centrado en r. Cuando la densidad
es bien comportada, la inclusión de este término no afecta el resultado ya que es despreciable, pero para
puntos en donde la densidad tiene singularidades (como en cargas puntuales), estas contribuciones divergen
9.
————————————————-
Calculemos ahora la fuerza experimentada por la superficie de un conductor de carga superficial σ en
este caso la densidad y el campo eléctrico están relacionados de modo que
E2 2π 2
ε= = σ
8πKc Kc
ε∆V ∆F 2π 2
∆F = = ε∆A ⇒ =ε= σ
∆x ∆A Kc
este resultado también se puede derivar tomando εσ teniendo presente que el campo eléctrico debido al
elemento mismo debe ser excluı́do (Jackson second ed. pag. 48).
El conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo especifican el valor del campo salvo por un
factor adicional que serı́a el gradiente de una función escalar que satisfaga la ecuación de Laplace en todo
el espacio. Es decir si E es solución de estas ecuaciones vectoriales entonces E 0 también es solución si
pero si ∇2 ϕ = 0 en todo el espacio entonces ϕ puede ser a lo más una constante, de modo que E 0 = E. Sin
embargo, en la mayorı́a de problemas reales de la Fı́sica, conocemos la densidad ρ solo en una cierta región R
del espacio. En tal caso conocemos la divergencia y el rotacional del campo electrostático pero solo dentro
de la región R. Esto nos indica que ∇ 2 ϕ = 0 en la región R, pero no necesariamente en todo el espacio, lo
cual implica que la solución para ϕ puede ser no trivial y tenemos problemas con la unicidad de E. Desde
el punto de vista Fı́sico, esto es de esperarse puesto que el conocimiento de la densidad en cierta región del
espacio, no nos excluye de la influencia de las densidades externas, las cuales por principio de superposición
también afectarán el campo. Este sencillo argumento Fı́sico nos dice que hay infinitas soluciones para E
cuando solo se conoce la densidad en una cierta región del espacio. Esto indica que las ecuaciones anteriores
solo son útiles en alguno de los siguientes casos
La distribución de carga en R está lo suficientemente aislada de otras cargas, con lo cual asumir que la
densidad de carga es ρ (r) en el interior de R y cero fuera de R constituye una aproximación razonable.
Conocemos la densidad de carga en R e ignoramos la carga fuera de dicha región, pero en cambio
conocemos ciertas condiciones en la frontera de R que hacen que la solución de la ecuaciones anteriores
sean únicas.
Esta última posibilidad está inspirada en un argumento Fı́sico y otro Matemático. Fı́sicamente, sabemos
que en algunos sistemas como los conductores electrostáticos, aunque no conozcamos la distribución de carga
exterior, conocemos ciertos efectos netos que la interacción de la carga externa con la interna producen:
que la superficie del conductor sea un equipotencial. Desde el punto de vista matemático, sabemos que
las ecuaciones diferenciales parciales tienen solución única bajo cierto tipo especı́fico de condiciones en la
frontera.
Como ya vimos, las ecuaciones (1.19) se pueden sintetizar en una sola: la ecuación de Poisson (1.11),
que en el caso homogéneo se reduce a la ecuación de Laplace. Esta ecuación muestra de nuevo las ventajas
de trabajar con el potencial
1. La ecuación para el potencial (Poisson o Laplace) es una sola, en tanto que las ecuaciones de los
campos son dos (divergencia y rotacional).
2. Esta única ecuación se define sobre un campo escalar, y no sobre un campo vectorial.
H
3. Utilizando ley de Gauss E·dS = 4πKc q, aunque tiene validez general, solo es útil para casos especiales
con muy alta simetrı́a. Especı́ficamente, su utilidad se restringe al caso en el cual se conoce la forma
de las superficies equipotenciales. En caso contrario resulta ser una ecuación integral muy difı́cil de
resolver.
4. Método de imágenes: también aplicable solo bajo simetrı́as muy especiales. Requiere del conocimiento
de algunas superficies equipotenciales.
5. Usando las formas diferenciales ∇ 2 φ = −4πKc ρ, ó ∇2 φ = 0, junto con ciertas condiciones de frontera,
como veremos este es el método mas fructı́fero.
Con mucha frecuencia lo que conocemos es la distribución de carga en el interior y cierta condición sobre
la frontera, pero desconocemos la distribución de carga en el exterior y en la frontera. Es en estos casos en
donde la ecuación de Poisson con condiciones de frontera resulta provechosa.
Veamos un caso particular
Example 1 Placa plana conductora infinita que yace a potencial cero sobre el plano XY, y una carga q en
z = h. Al tratar de usar los métodos tradicionales se tiene
Z
ρ (r0 ) dV 0
φ (r) = Kc 0
+ φ0 ; ρ r0 = qδ r0 + ρ0 r0 = qδ r0 + σ r0 δ (z)
|r − r |
pero σ (r0 ) es desconocido y no se puede inferir fácilmente con la información sobre el potencial (φ = 0
en z = 0), lo máximo que podemos hacer es reducir la integral por medio de la delta de dirac usando
coordenadas cartesianas o cilı́ndricas (la simetrı́a indica en todo caso que las coordenadas cilı́ndricas son
mas apropiadas). También podemos decir que por simetrı́a la densidad en el plano es solo función de la
distancia al origen, con esto la integral triple se convierte en simple pero no es suficiente para realizar el
último paso.
En general, las formas integrales no pueden incluı́r fácilmente las condiciones de frontera. En este caso
particular conocemos fácilmente una superficie equipotencial del sistema (plano XY) y se puede usar el
método de imágenes, pero en casos mas complejos el método resulta inmanejable.
Ahora consideremos el uso de las formas diferenciales. La ecuación de Laplace se puede resolver por
separación de variables en 11 sistemas coordenados diferentes que incluyen prácticamente todos los sistemas
coordenados de interés fı́sico. Las constantes de integración usualmente se acoplan con facilidad a las condi-
ciones de frontera y las soluciones pueden generalmente expresarse con facilidad en términos de funciones
ortogonales. Por supuesto, tal ecuación solo es válida en regiones con ausencia de carga.
La ecuación de Poisson que nos permite solucionar el problema estático mas general, es una ecuación
inhomogénea y no admite separación de variables salvo en caso muy simples. Sin embargo, la técnica de
Green que veremos mas adelante, hace que el método sea mas manejable.
1.5. UNICIDAD DEL POTENCIAL CON CONDICIONES DE DIRICHLET Y NEUMANN 19
y tomando A = φ∇ψ, donde por el momento φ, ψ son campos escalares arbitrarios, reemplazando esta
expresión en el teorema de la divergencia
Z I
2
φ∇ ψ + ∇ψ · ∇φ dV = [φ∇ψ] · dS (1.20)
La Ec. (1.20) se conoce como primera identidad de Green. Escribiendo de nuevo esta identidad con el
intercambio ψ ↔ φ, y restando
Z I
2 2
φ∇ ψ − ψ∇ φ dV = [φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (1.21)
Esta expresión se conoce como segunda identidad de Green o teorema de Green. Nótese que es fundamental
que la superficie sea cerrada ya que partimos del teorema de la divergencia. Lo que se busca es demostrar
la unicidad de la solución de la ecuación de Poisson dentro de un volumen sujeto a condiciones de frontera
sobre S de Dirichlet o Neumann.
Para realizar esta demostración supongamos que existen dos soluciones φ 1 y φ2 que satisfacen la ecuación
de Poisson y las mismas condiciones de frontera.
1. Para Dirichlet: φ1 |S = φ2 |S = φS
1 ∂φ2
2. Para Neumann: ∂φ ∂n = ∂n =
∂φS
∂n
S S
1. US = φ2 |S − φ1 |S = 0 (Dirichlet)
∂US ∂φ2 ∂φ1
2. ∂n = ∂n − ∂n = 0 (Neumann).
S S
Estos resultados son lógicos ya que el conocimiento de φ en la superficie requiere de haber definido el
cero de potencial en tanto que el conocimiento de la derivada aún deja la constante arbitraria sin fijar.
En general la especificación de condiciones de Neumann y Dirichlet simultáneamente sobre una región de
la superficie conduce a contradicción. Sin embargo, la unicidad de la solución (salvo una posible constante),
se sigue cumpliendo si empleamos condiciones mixtas, en donde las regiones de Dirichlet y Neumann sean
disyuntas. Vale mencionar que estos teoremas de unicidad son teoremas matemáticos válidos para funciones
escalares arbitrarias φ y ρ que cumplan con la ecuación de Poisson, aunque estas funciones no tengan ninguna
relación con problemas electrostáticos.
Asumamos que en la región en cuestión la divergencia y el rotacional del campo vectorial V está dada
por
∇ · V = s ; ∇ × V1 = c (1.22)
a s usualmente se le llama un término de fuente (densidad de carga en nuestro caso) y a c una densidad
de circulación (densidad de corriente en nuestro caso). Asumiendo que conocemos V 1n en la superficie que
delimita la región, asumamos que existen dos soluciones V 1 y V2 definimos
W = V 1 − V2
W = −∇φ (1.24)
∇ · W = −∇ · ∇φ = 0 ⇒ ∇2 φ = 0
es decir ecuación de Laplace con condiciones de Neumann. Por los teoremas de la sección anterior, la solución
para φ es única salvo por una constante aditiva, por tanto su gradiente es único y W = 0 en toda la región
con lo cual V1 = V2 y el campo vectorial es único. Es necesario enfatizar que estos teoremas de unicidad
son válidos para campos escalares y vectoriales arbitrarios y no solo para el potencial o el campo eléctrico.
Como comentario final, para campos escalares el conocimiento de las condiciones en el potencial o su
derivada normal en la superficie, constituyen una condición de suficiencia pero no de necesidad, en realidad
existen múltiples condiciones posibles de unicidad. Un argumento similar se sigue para campos vectoriales.
A manera de ilustración de este hecho, en el apéndice A, se demuestra que dada una región equipotencial
cerrada S, dentro de la cual hay un conjunto de n conductores, el campo eléctrico está unı́vocamente
determinado en la región comprendida entre los conductores y la región encerrada por S, si se conocen (a)
la carga neta total de cada conductor Q i , i = 1, ..., n (b) la densidad de carga en la región comprendida
entre los conductores y el interior de S 10 . Por supuesto, si los conductores carecen de cavidades, se conoce
en principio el campo en casi todo el interior de S, puesto que en el interior de los conductores el campo es
cero. Los únicos puntos conflictivos para la evaluación del campo son los de la superficie de los conductores,
ya que la carga superficial produce un discontinuidad del campo en estos puntos.
Vamos a discutir ahora un teorema que será de gran utilidad cuando trabajemos campos dependientes
del tiempo pero que de nuevo es válido para campos vectoriales arbitrarios
∇·F = D
∇×F = C
dado que la divergencia de un rotacional de un función de clase C 2 debe ser cero, se tiene que por consistencia
el campo C (r) debe ser solenoidal. Escribiremos un ansatz para F de modo que quede la suma de un término
irrotacional y otro solenoidal
F = −∇U + ∇ × W (1.25)
Definamos las funciones
Z Z
1 D (r0 ) 1 C (r0 )
U (r) ≡ dV 0 ; W (r) ≡ dV 0 (1.26)
4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
donde las integrales se definen en todo el espacio. Nótese que estas funciones tienen estructura similar a los
potenciales. Calculemos la divergencia de F
Z Z
2 1 0
2 1 0
∇ · F = −∇ U = − D r ∇ 0
dV = D r0 δ 3 r − r0 dV 0 = D (r)
4π |r − r |
10
Es probablemente mas conveniente estudiar este teorema en detalle después del estudio del capı́tulo 3
22 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
hemos usado el hecho de que la divergencia de un rotacional es cero, y hemos tenido en cuenta que la
derivada es con respecto a las variables no primadas. La divergencia reproduce el valor adecuado. Veamos
lo que ocurre con el rotacional
∇ × F = ∇ × (∇ × W) = −∇2 W + ∇ (∇ · W)
hemos usado el hecho de que el rotacional de un gradiente es cero. Calculemos entonces cada término usando
la forma explı́cita de W
Z Z
2 1 0
2 1 0
−∇ W = − C r ∇ 0
dV = C r0 δ 3 r − r0 dV 0 = C (r) (1.27)
4π |r − r |
la Ec. (1.27) nos muestra que −∇2 W ya reproduce el valor correcto del rotacional. Es condición de suficiencia
(no de necesidad) que ∇ · W sea cero para que el ansatz (1.25) sea consistente 11 , evaluemos entonces esta
divergencia
Z Z
1 1 1 1
∇·W = C r0 · ∇ dV 0
= − C r 0
· ∇ 0
dV 0
4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
Z I
1 ∇0 · C (r0 ) 0 1 0 C (r0 )
∇·W = dV − ∇ · dV 0
4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
Z I
1 ∇0 · C (r0 ) 0 1 C (r0 )
∇·W = dV − · dS0 (1.28)
4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
El primer término integral de la derecha en (1.28) se anula porque C debe ser solenoidal. Ası́ mismo es
condición suficiente para la anulación de la segunda integral si imponemos que C vaya a cero con r → ∞
mas rápido que 1/r 2 . Adicionalmente, es necesario que las integrales (1.26) converjan para que las funciones
U y W existan. En el lı́mite r 0 → ∞, se tiene |r − r0 | ∼
= r 0 y las integrales adquieren la forma
Z ∞ Z ∞
X (r 0 ) 02 0
r dr = r0X r0 dr 0
r0
siendo X cualquiera de los campo D ó C. Nótese que si X (r 0 ) ∼ 1/r 02 la integral es aún logarı́tmica y puede
diverger, pero cualquier potencia de la forma 1/r 2+k con k > 0 permite la convergencia de esta integral. Por
tanto, es condición de suficiencia que D y C decrezcan más rápido que 1/r 2 en su régimen asintótico.
Se observa que si agregamos a F una función M tal que
F0 = F + M ; ∇ × M = ∇ · M = 0
la nueva F0 tiene la misma divergencia y rotacional que F. Pero si exigimos que F (r) → 0 cuando r → ∞
el campo M debe ser cero en el infinito con lo cual M = 0 en todo el espacio por unicidad y F es único.
Básicamente hemos agregado una condición de contorno para garantizar la unicidad de la solución.
Nótese que de este teorema se desprende un corolario interesante que se obtiene de las ecuaciones (1.25,
1.26):
Corollary 4 Cualquier función diferenciable F (r) que va a cero más rápido que 1/r cuando r → ∞ se
puede expresar como el gradiente de un escalar más el rotacional de un vector
Z Z
1 ∇0 · F (r0 ) 0 1 ∇0 × F (r0 ) 0
F (r) = ∇ − dV + ∇ × dV (1.29)
4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
11
Lo que se necesita es que ∇ (∇ · W) = 0 es decir que ∇ · W sea constante.
1.8. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO EL ÉCTRICO Y EN EL POTENCIAL 23
Una caso muy simple de aplicación de este corolario lo consituyen la electrostática y la magnetostática.
Si hacemos F → E (campo eléctrico y aplicamos (1.29) se tiene
Z Z
1 ∇0 · E (r0 ) 0 1 ∇0 × E (r0 ) 0
E (r) = ∇ − dV + ∇ × dV
4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
Z Z
1 4πKc ρ (r0 ) 0 Kc ρ (r0 ) 0
E (r) = − ∇ dV = −∇ dV = −∇φ (r)
4π |r − r0 | |r − r0 |
donde hemos tenido en cuenta que al ser la altura diferencial, las tapas y la superficie de la interfaz encerrada
son todas iguales. Adicionalmente, la altura diferencial junto con el hecho de que las tapas sean localmente
paralelas a la superficie nos garantizan que n 1 = −n2 .
Z Z
(E1 − E2 ) · n1 dS1 = 4πKc σ dS1
como esto es válido para cualquier tamaño y forma de la superficie de las tapas (siempre y cuando la
superficie no sea infinitesimal12 ), se concluye que
(E1 − E2 ) · n1 = 4πKc σ
Esta ecuación me indica que hay una discontinuidad de la componente normal del campo cuando consider-
amos una superficie con una cierta densidad superficial, pues debemos recordar que E 1 y E2 están evaluados
arbitrariamente cerca a la interface, aunque en lados opuestos.
Obsérvese que si existe además una densidad volumétrica (finita) en el entorno de la interfaz, el resultado
no se afecta. La razón es que la cantidad de carga volumétrica encerrada en la superficie gaussiana tenderı́a
a cero (al tender a cero el volumen), mas no la carga superficial encerrada (ya que la superficie que contiene
carga superficial es finita). Esto nos indica que la singularidad inherente a la naturaleza superficial de la carga
12
Nótese que si la superficie de las tapas fuera infinitesimal, no se podrı́a en general despreciar el flujo lateral.
24 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
formemos un lazo cerrado con dos lados perpendiculares a la superficie y de longitud diferencial, los otros dos
lados serán finitos y localmente paralelos a la superficie. Solo los lados paralelos contribuyen a la circulación
I Z Z Z Z
E · dr = 0 = E1 · dr1 + E2 · dr2 = E1 · dr1 + E2 · (−dr1 )
Z
0 = (E1 − E2 ) · dr1
y como la relación es válida para cualquier longitud y orientación localmente paralela del lazo, se concluye
que
E1,k = E2,k
veamos lo que ocurre con el potencial, si φ tuviera discontinuidades en algún punto, entonces en ese punto
tendrı́amos que |∇φ| → ∞ y la magnitud del campo no estarı́a acotada. Observemos sin embargo, que
el valor del campo está acotado aunque sea discontı́nuo, por lo tanto el potencial es contı́nuo en todas
partes, pero no es derivable en los puntos sobre la superficie, y esta no derivabilidad es la que produce la
discontinuidad en la componente normal del campo.
Como veremos en el capı́tulo 3, en el caso de un conductor perfecto donde la interfaz es cerrada y define
la superficie del conductor, se tiene que el campo en el interior es cero (digamos E 2 = 0) además el campo
es perpendicular a la superficie en la vecindad exterior a ésta, de modo que E 1 · n1 = E1 con lo cual la
discontinuidad queda
E1
E1 = 4πKc σ ⇒ σ =
4πKc
o en términos del potencial
E1 E1 · n 1 ∇φ · n1
σ= = =− (1.30)
4πKc 4πKc 4πKc
∇φ · n1 es la derivada direccional del potencial en la dirección normal hacia afuera del conductor.
1 ∂φ
σ=− (1.31)
4πKc ∂n1
Existen adicionalmente, casos en los cuales aparece discontinuidad del potencial, debidos a singularidades
“de orden superior” a la correspondiente a una distribución superficial de carga. Tal es el caso de distribu-
ciones lineales, puntuales o de capas dipolares. Analizaremos este último caso debido a su importancia
posterior en la interpretación de la formulación de Green para el potencial
1.8. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO EL ÉCTRICO Y EN EL POTENCIAL 25
este momento dipolar va en la dirección normal a la superficie y en el sentido desdes las cargas negativas a
las positivas. El cálculo del potencial se puede realizar de manera directa
Z Z
σ (r0 ) dA0 σ (r0 ) dA0
φ (r) = −
|r − r0 | |r − r0 + nd|
1 1 1
= q ≈q
|r − r0 + nd|
(r − r0 )2 + 2 (r − r0 ) · nd + d2 (r − r0 )2 + 2 (r − r0 ) · nd
1
= q
2(r−r0 )·nd
|r − r0 | 1 + |r−r0 |2
usando √ 1 ≈ 1 − x si x << 1.
1+2x
1 1 (r − r0 ) · nd
≈ 1 −
|r − r0 + nd| |r − r0 | |r − r0 |2
usando esta aproximación en el potencial
Z
σ (r0 ) 0 (r − r0 ) · nd
φ (r) = dA 1 − 1 +
|r − r0 | |r − r0 |2
Z Z
σ (r0 ) (r − r0 ) · nd 0 0
(r − r0 ) · ndA0
φ (r) = dA = σ r d
|r − r0 |3 | {z } |r − r0 |3
D(r0 ) | {z }
dΩ
Z
φ (r) = D r0 dΩ
el ángulo sólido se mide con respecto al origen de coordenadas. Si el ángulo θ entre el vector dA 0 y el vector
r − r0 es agudo, el ángulo sólido es positivo ya que desde el origen se ve la cara interna de la capa dipolar.
Si la densidad superficial de momento dipolar es uniforme, vemos que el potencial generado por la capa
dipolar depende solo del ángulo sólido con que se vé la superficie desde el punto de observación y no de la
forma especı́fica de la capa.
En este caso podemos ver una discontinuidad en el potencial, ya que si D (r 0 ) es constante, la integración
es únicamente sobre el ángulo sólido. Por simplicidad, asumamos que la capa dipolar es cerrada (por ejemplo
dos esferas concéntricas de radio muy similar) dicha integral es 4π si el punto de observación está dentro de
la capa y cero si estamos afuera, hay entonces una discontinuidad de 4πD en el potencial al atravesar las dos
capas (recordemos que la distancia entre ellas tiende a cero). Para entender esta discontinuidad observemos
que tenemos dos capas con densidad superficial que producen discontinuidad del campo al atravesar cada
capa. Sin embargo, el campo que hay entre las capas es en principio infinito debido a que σ (r 0 ) tiende a
infinito, por tanto en este caso el campo no está acotado y a esto se debe la discontinuidad en el potencial.
26 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
En ese sentido tenemos un “singularidad superior” a la simple presencia de densidad superficial, puesto que
además tenemos un campo eléctrico y una densidad superficial infinitos.
También podemos calcular este potencial como la superposición de potenciales de dipolo puntual, los
momentos dipolares diferenciales son dP = Dn dA 0 el potencial en r causado por un dipolo en r 0 es
dP · (r − r0 )
dφ r0 =
|r − r0 |3
en términos de θ
dP · (r − r0 ) Dn dA0 · (r − r0 ) cos θ dA0
= = = dΩ
|r − r0 |3 |r − r0 |3 |r − r0 |2
con dΩ el ángulo sólido subtendido por el área dA 0 desde el punto de observación O 0 .
Capı́tulo 2
Ecuación de Laplace
La ecuación de Laplace es una ecuación diferencial parcial, con frecuencia para solucionar problemas
relativos a estas ecuaciones se requieren expansiones en funciones ortonormales. Por tanto, es conveniente que
antes de discutir la naturaleza de sus soluciones, hagamos una rápida revisión de las funciones ortonormales
más utilizadas y sus propiedades.
se puede demostrar que la relación anterior cumple todas las propiedades de un producto interno. Como es
bien sabido, la definición de un producto interno nos induce automáticamente una norma para los vectores
Z b
kφ (x)k2 ≡ (φ, φ) = |φ∗ (x)|2 dx ≥ 0
a
un producto interno permite además definir la ortogonalidad entre elementos del espacio vectorial en
cuestión. φ es ortogonal con ψ cuando
Z b
(φ, ψ) = φ∗ (x) ψ (x) dx = 0
a
una función f (x) perteneciente a este espacio vectorial puede expandirse a través de una combinación lineal
de los elementos de la base (estos espacios vectoriales son en general de dimensión infinita)
X
f (x) = Cn Un (x)
n=1
27
28 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
retrocediendo en nuestros pasos vemos que la relación anterior nos garantiza que cualquier función arbitraria
dentro del espacio se puede expandir en términos del conjunto {U n (x)}. Por tanto a la Ec. (2.2), se le conoce
como relación de completez.
Por otro lado, también existen bases contı́nuas para ciertos espacios vectoriales de funciones. En tal caso
definimos los vectores unitarios de la base como {U (k, x)} donde k es una variable contı́nua definida en un
intervalo [c, d], que hace las veces de n en las bases discretas. Para estas bases contı́nuas la ortonormalidad
se plantea como
Z b
(Uk , Uk0 ) = U ∗ (k, x) U k 0 , x dx = δ k − k 0 (2.3)
a
veremos de aquı́ en adelante que esta definición de ortogonalidad reproduce los resultados anteriores para
el caso discreto. Expandiendo f (x) arbitraria como una combinación lineal contı́nua de la base
Z d
f (x) = C (k) U (k, x) dk
c
tenemos que
Z d Z d
(U , f ) =
k0 U , k0 C (k) U (k, x) dk = C (k) (Uk0 , Uk ) dk
c c
Z d
= C (k) δ k − k 0 dk = C k 0
c
vemos por tanto que en términos de producto interno, el cálculo de los coeficientes en una base contı́nua
Ec. (2.4) es igual que en el caso discreto Ec. (2.1), esto depende fuertemente de nuestra definición de
ortonormalidad en el contı́nuo Ec. (2.3) mostrando la consistencia de dicha definición.
2.1. EXPANSIÓN EN FUNCIONES ORTONORMALES 29
Veamos la completez
Z d Z d
f (x) = C (k) U (k, x) dk = (Uk , f ) U (k, x) dk
c c
Z d Z b
∗ 0
0
0
f (x) = U k, x f x dx U (k, x) dk
c a
Z b Z d
f (x) = U k, x U (k, x) dk f x0 dx0
∗ 0
a c
Rb
por otro lado f (x) = a δ (x − x0 ) f (x0 ) dx0 con lo cual resulta
Z d
U ∗ k, x0 U (k, x) dk = δ x − x0
c
que nos define la relación de completez para una base contı́nua {U (k, x)}. De lo anterior puede verse que las
relaciones de completez para bases contı́nuas o discretas, pueden interpretarse como representaciones de la
función delta de Dirac. Lo mismo ocurre con la relación de ortonormalidad pero solo para bases contı́nuas.
Al respecto vale la pena aclarar que una representación dada de la delta en un cierto espacio no puede ser
aplicada a otro espacio, por ejemplo es posible tener un P espacio vectorial r−dimensional de funciones V 1 con
una base Vn (x), que define una relación de completez rn=1 Vn∗ (x0 ) Vn (x) = δ1 (x − x0 ), pensemos en otro
espacio vectorial r + k dimensional que denotaremos por V 2 y tal que V2 ⊃ V1 , de modo que una base {Um }
de V2 incluye a la base anterior mas otros vectores linealmente independientes; la relación de completez es:
P r+k ∗ 0 0 0 0
n=1 Un (x ) Un (x) = δ2 (x − x ). ¿Cuál es la diferencia entre δ 1 (x − x ) y δ2 (x − x )?, la respuesta está en
el carácter de distribución de la mal llamada función delta de Dirac; la propiedad fundamental de esta
distribución me dice que para toda función f (x 0 ) que pertenece al espacio V1 tenemos que
Z " # Z
X
0
f (x) = f x Vn∗ 0
x Vn (x) dx = 0
f x0 δ1 x − x0 dx0
n
aparecen tanto la función seno como la coseno. La ortonormalidad se representa por la propiedad
Z nπ mπ
1 a
sin x sin x dx = δnm
a −a a a
Z nπ mπ
1 a
sin x cos x dx = 0
a −a a a
Z nπ mπ
1 a
cos x cos x dx = δnm
a −a a a
nπ
i a x
e√
Un (x) = 2a
ortonormal y completa en (−a, a). La ortonormalidad y completez se expresan como
Z ∞
1 a
i(n−m) πx 1 X i nπ (x−x0 )
e a dx = δnm ; e a = δ x − x0 (2.5)
2a −a 2a −∞
Ejemplos en el contı́nuo
eikx
U (k, x) = √
2π
con propiedades de ortonormalidad y completez:
Z ∞
1 0
ei(k−k )x dx = δ k − k 0
2π −∞
Z ∞
1 0
eik(x−x ) dk = δ x − x0
2π −∞
sin
√kx
U (k, x) = π
Z ∞
sin kx sin k 0 x dx = πδ k − k 0
Z−∞
∞
sin kx sin kx0 dk = πδ x − x0
−∞
Comentarios: Obsérvese que la ortonormalidad y completez de las funciones de la forma e ikx , tanto en el
discreto como en el contı́nuo, son la base para el análisis de Fourier para funciones periódicas y no periódicas
respectivamente. Por ejemplo una función definida en todos los reales se escribe
Z ∞
1
F (x) = √ C (k) eikx dk
2π −∞
los coeficientes de esta combinación lineal se calculan de la manera tradicional y se les conoce como trans-
formada de fourier Z ∞
1
C (k) = (Uk , F ) = √ F (x) e−ikx dx
2π −∞
con frecuencia se denota C (k) → Fe (k).
Si las funciones a expandir son de dos variables, la expansión queda
X
f (x, y) = Cmn Um (x) Vn (y)
m,n
con Z dZ b
∗
Cmn = Um (x) Vn (y) f (x, y) dx dy
c a
donde Um (x), Vm (y) son cada uno, un conjunto ortonormal y completo en cada variable, definidos en los
intervalos [a, b] y [c, d] respectivamente.
2.2. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACI ÓN DE LAPLACE 31
Figura 2.1: Si no hay carga en el interior ni en la superficie de la esfera, el valor del potencial φ c en el
centro de la esfera, coincide con el valor promedio del potencial evaluado sobre la superficie de la esfera.
∇2 φ = 0
Conocida como ecuación de Laplace, esta ecuación aparece con frecuencia no solo en la electrodinámica
sino en muchas teorı́as clásicas de campos, de modo que el estudio de sus soluciones es de importancia
mayor. Como ya mencionamos, esta ecuación admite separación de variables en 11 sistemas coordenados
diferentes. Las soluciones a esta ecuación se denominan funciones armónicas. Estas funciones poseen la
siguiente propiedad importante
Theorem 5 Si φ (x, y, z) satisface la ecuación de Laplace en una cierta región esférica (incluyendo la su-
perficie), el valor promedio de esta función sobre la superficie de la esfera coincide con el valor de φ en el
centro de ésta.
Este hecho se ilustra en la figura 2.1 y es válido para cualquier función armónica. En particular, es fácil
ver que el potencial electrostático cumple esta condición. Supongamos que tenemos una carga puntual q
y una esfera de radio a cargada uniformemente sobre la superficie con carga q 0 (aislante para que en todo
instante la carga permanezca uniformemente distribuida en la superficie). Asumamos que traemos la carga
puntual desde el infinito hasta una distancia R con respecto al centro de la esfera, con R > a. La energı́a
potencial necesaria para ensamblar el sistema en esa configuración es U A = Kc qq 0 /R ya que la esfera actúa
como el equivalente a una carga puntual.
Ahora procedemos al contrario, trayendo la esfera desde el infinito, en este caso el trabajo para ensamblar
el sistema se puede calcular de la siguiente manera: La energı́a potencial se puede calcular de la energı́a
potencial asociada al par de cargas q y dq 0 donde dq 0 se integrarı́a sobre toda la esfera 1 ,
Z Z
Kc q dq 0 q dq 0 q σdA0
dUB = ⇒ UB = Kc = Kc
|r| |r| |r|
donde |r| se refiere a la distancia entre q y dq 0 . Dado que σ es constante, la energı́a potencial queda
Z
σA q dA0
UB = K c
A |r|
donde A se refiere a la superficie de la esfera. K c q/ |r| es el potencial que la carga q genera sobre un punto
en la superficie de la esfera, lo denotaremos φ q .
Z
0 1 0
UB = q φq dA
A
claramente el término entre paréntesis corresponde al potencial promedio sobre la superficie de la esfera
generado por la carga puntual q. Por otro lado, el carácter conservativo de las fuerzas electrostáticas nos da
1
A priori uno podrı́a pensar que es necesario incluı́r el trabajo necesario para ensamblar las cargas primadas en la esfera. Sin
embargo, en ambos casos estamos considerando que la esfera ya está armada y por tanto ignoramos ese trabajo. Si decidimos
incluirlo aparecera igualmente en UA y en UB de modo que no altera el resultado que aquı́ se obtiene.
32 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
como resultado la igualdad de la energı́a potencial al usar ambos procedimientos de modo que
Z
Kc qq 0 0 1 0
UA = U B ⇒ =q φq dA
R A
Z
Kc q 1
⇒ = φq dA0
R A
el término de la izquierda es el valor del potencial generado por la carga puntual q en el centro de la esfera,
que resulta ser igual al promedio del potencial generado por la misma carga sobre la superficie de la esfera,
esto prueba la afirmación para una carga puntual. Para un sistema de cargas basta con apelar al principio de
superposición para el potencial. Esta demostración también se puede hacer por cálculo directo del potencial
promedio generado por una carga puntual sobre una esfera que no contiene a dicha carga (ver Ref. [7]). El
lector puede demostrar que esta propiedad también se cumple en una dimensión (tomando un intervalo)
y en dos dimensiones (tomando una circunferencia). El hecho de que el potencial en un punto sea igual
al promedio en una vecindad del punto, sirve como base para un método numérico para el cálculo de las
soluciones de la ecuación de Laplace, conocido como método de relajación (ver [1]).
Finalmente, una demostración alternativa se obtiene a partir del teorema de Green Ec. (1.21)
Z I
2 2
φ∇ ψ − ψ∇ φ dV = [φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (2.6)
obtenemos
Z I
0
0
0 0 r − r0
1 0 0
−4π φ r δ r−r dV = φ r 3 − |r − r0 | ∇ φ r · dS0
|r − r |0
V S
I
1 1 0 0
0
(r − r0 ) 0
φ (r) = 0|
∇ φ r − φ r 3 · dS
4π S |r − r |r − r | 0
I I
1 1 0 0
0 0
φ (r) = 0
∇ φ r · dS + φ r dΩ (2.7)
4π S |r − r | S
esto es válido en cualquier punto r siempre que la superficie S contenga a dicho punto (es decir r es interior
a V ) y la función φ cumpla con la ecuación de Laplace en la superficie S y en el volumen V . En particular,
es válido para una superficie esférica S centrada en r y de radio R en cuyo volumen y superficie sea válida la
ecuación de Laplace 2 . Por simplicidad, redefinamos el origen de coordenadas de modo que r = 0, de modo
que la esfera está centrada en el nuevo origen. De esta forma, es claro que la posición de un punto de S se
puede escribir como r0 = Rur . La Ec. (2.7) queda
I I I I
1 1 0 0
0 0
1 1 0 0
0 1 0
2
φ (0) = ∇ φ r · dS + φ r dΩ = ∇ φ r · dS + 2 φ r R dΩ
4π S |r0 | S 4π R S R S
2
Al ser r interior a V siempre existe una esfera que esté completamente contenida en V .
2.3. UNICIDAD DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE 33
que es lo que se querı́a demostrar. Como el origen elegido es arbitrario entonces se deduce que la relación
es válida para cualquier valor del punto r y del radio de la esfera centrada en tal punto, siempre que φ sea
armónica en el volumen y superficie de la esfera. Nótese que esta última demostración es mucho más general
ya que no presupone que la función armónica tenga que proceder de una configuración electrostática. El
resultado anterior nos conduce a un hecho muy importante:
Theorem 6 Ninguna configuración electrostática nos genera una configuración de equilibrio estable para
una carga de prueba en el espacio vacı́o (teorema de Earnshaw).
Veámoslo: para que una carga positiva en el punto P esté en equilibrio estable, es necesario que en cierta
vecindad alrededor de P , el potencial sea mayor que el potencial en P en todos los puntos, esto implica que
podemos construir una esfera contenida en esa vecindad, para la cual claramente el promedio en la superficie
serı́a mayor que su valor en el centro, de modo que la existencia de un punto de equilibrio estable nos
implicarı́a una violación del teorema 5. Para una carga negativa el argumento es similar. Matemáticamente
hablando, esto implica que
Theorem 7 Una función armónica (en nuestro caso el potencial electrostático) no puede tener máximos ni
mı́nimos locales dentro de la región en donde es válida la ecuación de Laplace.
La ausencia de máximos y mı́nimos locales en el volumen donde es válida la ecuación de Laplace también
se puede ver teniendo en cuenta que la existencia de un máximo local requiere que ∂ 2 ψ/∂x2i < 0, pero la
ecuación de Laplace nos dice que ∇2 ψ = 0, algo similar ocurre con la posible existencia de mı́nimos locales 3 .
Otra manera de probar la ausencia de puntos de equilibrio estable implica el uso del teorema de Gauss:
asumamos que existe un punto P de equilibrio estable y ubicamos una carga positiva en él, al ser estable
cualquier desplazamiento debe generar una fuerza restauradora que lo intente regresar a P , esto implica
que al construir una esfera alrededor de P el campo debe apuntar hacia el interior de la esfera en todas
direcciones; pero esto contradice la ley de Gauss ya que no hay cargas negativas en el interior (la carga q
es positiva y además no cuenta ya que estamos hablando del campo que generan las fuentes a las cuales
está sometida la carga de prueba, pues ciertamente su propio campo no actúa sobre ella). Similarmente al
poner una carga negativa no es posible que el campo apunte hacia afuera en la esfera alrededor de P . Por
tanto no hay equilibrio estable.
No obstante, es necesario aclarar que sı́ existen puntos de equilibrio electrostático, solo que no son esta-
bles. Sin embargo, campos magnéticos o campos electromagnéticos variables en el tiempo pueden mantener
una carga en equilibrio estable.
gracias a la propiedad de linealidad de la ecuación de Laplace. Asumamos que φ (x, y, z) es una solución de la
ecuación con ciertas condiciones de frontera, imaginemos que existe una segunda solución ϕ (x, y, z) con las
misma condiciones de frontera. Si ambas son soluciones, también lo es una combinación lineal de éstas,
en particular W (x, y, z) = φ (x, y, z) − ϕ (x, y, z). W (x, y, z) no satisface las condiciones de frontera ya que
en este caso al tomar los puntos en las fronteras φ (x, y, z) y ϕ (x, y, z) toman los mismos valores. W (x, y, z)
es la solución de otro problema electrostático con todas las superficies a potencial cero. Adicionalmente si W
es cero en todas las superficies, debe ser cero en todo el espacio donde no hay carga por la siguiente razón:
si el potencial no es nulo en todo el espacio vacı́o entonces deben haber al menos un punto que sea máximo
o mı́nimo local, pero como ya vimos, las soluciones armónicas no permiten estos extremos, de modo que W
debe ser cero en todo punto, y la solución es única 4 .
realizando separación de variables φ (x, y) = A (x) B (y) y dividiendo la ecuación por AB se obtiene
1 d2 A 1 d2 B
+ =0
A dx2 B dy 2
como el primer sumando solo depende de x y el segundo solo de y, entonces cada sumando debe ser igual a
una constante
1 d2 A 2 1 d2 B
= −α ; = α2
A dx2 B dy 2
la asignación de ±α, es arbitraria (se pudo haber hecho al contrario). Pero dado que α es en general complejo,
esto no supone ninguna limitación. Las soluciones en el caso α 6= 0 son
donde hemos redefinido adecuadamente las constantes, obsérvese que en particular, la constante que aparece
en la solución con α = 0, no se incluye explı́citamente. Sin embargo, un término constante aparece cuando
hacemos α = 0 en esta ecuación (recordemos que una constante puede ser relevante aquı́, puesto que con
condiciones de Dirichlet ya se ha fijado el cero de potencial y dicha constante ya no es arbitraria). Las
constantes están determinadas por las condiciones de frontera.
Discusión: las soluciones para α = 0,y para α 6= 0 son aparentemente excluyentes, de modo que no
tendrı́a sentido incluı́r los dos tipos de soluciones en una sola expresión. Sin embargo, si rotulamos estas
soluciones como φα (x, y) donde α ≥ 0, una superposición de ellas es también solución y en muchos casos
la superposición es obligatoria para obtener las condiciones de frontera (esta superposición puede ser sobre
el discreto o sobre el contı́nuo dependiendo de los valores posibles de α). Esto hace indispensable incluı́r la
solución con α = 0 como parte de la superposición.
2.4. ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES 35
Figura 2.2:
donde la constante A (y las constantes necesarias para armar el seno) se han absorbido en C y D. De
nuevo, estrictamente deberı́amos cambiar la notación a digamos C 0 , D 0 pero como estas constantes son aún
desconocidas, esto no hace ninguna diferencia.
b) φ = 0 en x = L ⇒
φ (L, y) = sin αL Ceαy + De−αy + aLy + bL = 0
como φ (L, y) = 0 para todo y tenemos que sin αL = 0, a = b = 0 de modo que α = α n = nπ/L. La solución
se reduce a
φ (x, y) = sin αn x Cn eαn y + Dn e−αn y
Y dado que la solución es válida para todo n entero (positivo o negativo), tenemos que la solución mas
general es una superposición de estos modos (linealidad en acción).
X
φ (x, y) = sin αn x Cn eαn y + Dn e−αn y
n
2
multiplicando la ecuación por L sin αm x dx e integrando entre 0 y L
Z ∞ Z ∞
2 L
2X L X
V (x) sin αm x dx = Dn sin αn x sin αm x dx = Dn δmn
L 0 L 0
n=1 n=1
Z L
2
Dm = V (x) sin αm x dx
L 0
con lo cual la expresión final para el potencial queda
∞ nπ Z nπ
2 X − nπ y L
φ (x, y) = e L sin x V x0 sin x0 dx0
L L 0 L
n=1
la suma solo sobrevive para términos impares de modo que hacemos n ≡ 2k + 1 quedando
∞ (2k+1)π
4V X e− L y (2k + 1) π
φ (x, y) = sin x
π 2k + 1 L
k=0
esta forma del potencial se puede llevar a una forma cerrada (ver Jackson y Sepúlveda)
" #
2V −1 sin Lπ x
φ (x, y) = tan π
π sinh L y
es importante hacer notar que la serie converge rápidamente para y & a/π, pero para valores mucho mas
pequeños que esta cantidad, se necesitan muchos términos para lograr una buena aproximación.
el primer término solo depende de ρ y el segundo depende exclusivamente de ϕ, de modo que cada uno de
ellos debe ser una constante, hacemos entonces
1 d2 Ψ (ϕ) 2 ρ d dR (ρ)
= −ν ; ρ = ν2
Ψ dϕ2 R dρ dρ
asumiendo ν 2 6= 0, la ecuación para Ψ (ϕ) es
d2 Ψ (ϕ) 2
iνϕ −iνϕ
+ ν Ψ (ϕ) = 0 ⇒ Ψ (ϕ) = Ce + De
dϕ2
y la ecuación para R (ρ) queda
d dR
ρ ρ − Rν 2 = 0 ⇒
dρ dρ
dR d2 R
ρ + ρ2 2 − Rν 2 = 0 (2.9)
dρ dρ
Esta ecuación es homogénea en ρ y se puede resolver con
dρ dµ 1
ρ = eµ ⇒ = eµ = ρ, = e−µ =
dµ dρ ρ
dR dµ dR 1 dR
= = ; (2.10)
dρ dρ dµ ρ dµ
d2 R d dR dµ d dR 1 d −µ dR
= = = e
dρ2 dρ dρ dρ dµ dρ ρ dµ dµ
2
d2 R 1 dR 1 −µ d R 1 dR 1 d2 R
= − e−µ + e = − + (2.11)
dρ2 ρ dµ ρ dµ2 ρ2 dµ ρ2 dµ2
reemplazando (2.10) y (2.11) en (2.9) resulta
1 dR 1 dR 1 d2 R
ρ + ρ2 − 2 + 2 − Rν 2 = 0
ρ dµ ρ dµ ρ dµ2
2
dR dR d R
− + − Rν 2 = 0
dµ dµ dµ2
2
d R
− Rν 2 = 0
dµ2
la solución es
La solución para ν 2 6= 0 es
φ (ρ, ϕ) = Aρν + Bρ−ν Ceiνϕ + De−iνϕ
para ν 2 = 0 las ecuaciones quedan
d2 Ψ
= 0 ⇒ Ψ = aϕ + b
dϕ2
2
d R
= 0 ⇒ R (µ) = (Eµ + F )
dµ2
38 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
pero ρ = eµ ⇒ µ = ln ρ
R (ρ) = E ln ρ + F
la solución para ν = 0 es
φ (ρ, ϕ) = (aϕ + b) (E ln ρ + F )
La solución general (para ν ≥ 0) es
φ (ρ, ϕ) = Aρν + Bρ−ν Ceiνϕ + De−iνϕ + (aϕ + b) (E ln ρ + F )
o alternativamente
φ (ρ, ϕ) = Aρν + Bρ−ν [C cos νϕ + D sin νϕ] + (aϕ + b) (E ln ρ + F ) (2.12)
La solución general es la superposición de todas las soluciones encontradas, los valores permitidos de ν (sobre
los cuales se hace la suma discreta o contı́nua) dependen del problema particular. En general las soluciones
con ν = 0 y con ν 6= 0 deben ser incluı́das por completez, al ignorar alguna de ellas es posible que no sea
posible ajustar las condiciones de frontera.
discusión: obsérvese que en la punta tenemos que el potencial tiende a V por un lado y a V 0 por el otro,
luego el campo deberı́a tener una divergencia, al menos si V 6= V 0 . Sin embargo, E y B deben ser cero ya
que aunque el campo puede en general diverger, el potencial sı́ se mantiene acotado.
1. En ϕ = 0, φ = V
φ (ρ, 0) = V = Cρν + b
solo es posible para todo ρ, si C = 0, y b = V
obsérvese que el coeficiente b es parte de la solución con ν = 0, si no hubiéramos incluı́do esta con-
tribución, no hubiese sido posible satisfacer las condiciones de frontera.
2. En ϕ = β, φ = V 0
φ (ρ, β) = V 0 = aβ + V + Dρν sin νβ
como esto debe ser válido ∀ρ ⇒ D = 0 ó sin νβ = 0 se puede ver que la primera alternativa no
soluciona las condic. de frontera. Con la segunda tenemos los valores permitidos para ν (con ν 6= 0)
mπ
ν = νm =
β
m es entero positivo o negativo, pero ρ ν produce divergencia en ρ → 0 cuando se toma m negativo,
por lo tanto m > 0 ⇒ ν > 0. y m es entero, como la solución ν = 0 ya ha sido incluı́da, entonces
m = 1, 2, 3, .... (efectivamente m = 0 nos deja solo con coeficientes que provienen de la solución con
ν = 0, para todo ρ y para todo ϕ). El potencial para ϕ = β queda
φ (ρ, β) = V 0 = aβ + V
2.4. ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES 39
con lo cual
V0 −V
a=
β
La solución es entonces la combinación lineal de la solución para cada m
0 X∞
V −V mπ/β mπ
φ (ρ, ϕ) = V + ϕ+ Dm ρ sin ϕ
β m=1
β
Los coeficientes Dm requieren conocer las condiciones de frontera que cierren el contorno, por ejemplo
sea φ (R, ϕ) = V (ϕ) y V = V 0
3.
∞
X
mπ/β mπ
φ (R, ϕ) = V (ϕ) = V + Dm R sin ϕ
β
m=1
multiplicando por sin nπ
β e integrando en ϕ ∈ (0, β) queda
Z β
2 mπ 0
Dm = R−mπ/β [V (ϕ) − V ] sin ϕ dϕ0
β 0 β
el potencial queda
∞
X Z β
2 −mπ/β mπ 0 0 mπ/β mπ
φ (ρ, ϕ) = V + R [V (ϕ) − V ] sin ϕ dϕ ρ sin ϕ
β 0 β β
m=1
se puede verificar que la condición φ (R, ϕ) = V (ϕ) se cumple. Por otro lado si todas las paredes son
equipotenciales i.e. V (ϕ) = V = V 0 se cumple que φ = V en el interior, este caso se darı́a por ejemplo
si la cuña define un conductor cerrado (o la cavidad de un conductor). En este problema, la superficie
equipotencial cerrada es simplemente un lugar geométrico.
Veamos lo que ocurre en el caso general para ρ pequeño, cuando aún no se ha evaluado D m . Dado que la
dependencia en ρ es de la forma ρmπ/β puede concluirse que cerca de ρ = 0, el potencial depende mayormente
del primer término en la serie (mas exactamente de los dos primeros con ν = 0 y el segundo con m = 1).
Asumamos V = V 0
X∞
mπ/β mπ π/β π
φ (ρ, ϕ) = V + Dm ρ sin ϕ ≈ V + D1 ρ sin ϕ
β β
m=1
queremos evaluar la densidad de carga en la vecindad de ρ = 0. La cual para un conductor viene dada por
1 1 ∂φ 1
σ=− n̂ · ∇ϕ = − = n̂ · E
4π 4π ∂n 4π
evaluemos el campo eléctrico
∂φ D1 π βπ −1 πϕ
Eρ = − =− ρ sin
∂ρ β β
1 ∂φ D1 π βπ −1 πϕ
Eϕ = − =− ρ cos
ρ ∂ϕ β β
observemos que para el conductor en ϕ = 0, el vector normal es −u ϕ en tanto que para el conductor en
ϕ = β se tiene que el vector normal es uϕ las densidades son
1 1 D1 πβ −1
σ0 = −
uϕ · E = − Eϕ = ρ
4π ϕ=0 4π ϕ=0 4β
1 1 D1 πβ −1
σβ =
uϕ · E = Eϕ = ρ
4π 4π
ϕ=β 4β ϕ=β
1. para ξ ≡ πβ − 1 > 0, con ρ pequeño, la densidad tiende a cero. No hay casi acumulación de carga en
las puntas. Especialmente si ξ es grande (β pequeño).
π D1
2. para β ≈ 2 ⇒ |σ| ≈ 2π ρ y también disminuye al acercarse a la punta
D1
3. para β ≈ π ⇒ |σ| ≈ 4π independiente de ρ, lo cual es de esperarse ya que se convierte en un plano
infinito.
3π D1 (−1/3)
4. para β ≈ 2 ⇒ |σ| ≈ 6π ρ tanto el campo como la densidad de carga son singulares en ρ = 0.
D1 (−1/2)
5. Para β ≈ 2π ⇒ |σ| ≈ 8π ρ . La carga se acumula en las puntas mas rápidamente que en el caso
anterior.
Como se ve la carga tiende a acumularse en las puntas en algunos casos. Estas acumulaciones de carga
producen campos muy intensos. En este sencillo principio se basa el pararrayos.
(Chequear esta afirmación) la diferencia entre β pequeño y β → 2π consiste en que en el segundo caso
la región que consideramos interior es casi todo el espacio en tanto que para β pequeño el interior es una
cuña muy estrecha.
(Chequear esta afirmación) La solución de la ecuación de Laplace en estos casos es para un volumen
delimitado por las condiciones de frontera en una superficie cerrada, si queremos solucionarla en el exterior
debemos asumir superficie entre las condiciones ya dadas y el infinito (es decir siempre formando un volumen
con una superficie cerrada). La solución general sigue siendo la que aquı́ se escribió, pero los coeficientes
pueden variar ya que no tendrı́amos las mismas condiciones de frontera que en el problema interior original).
el potencial debe ser el mismo en ϕ = 0 y en ϕ = 2nπ. Esto implica a = 0, y que ν debe ser entero. Por otro
lado E = B = 0 para evitar divergencias en ρ → 0. La solución queda
Z 2π ∞
X Z 2π
0 ν
V (ϕ) sin ν ϕ dϕ = R Dν sin νϕ sin ν 0 ϕ dϕ
0 ν=1 0
Z 2π
0
V (ϕ) sin ν 0 ϕ dϕ = πRν Dν 0
0
obteniendo Z 2π
1
Dν = V (ϕ) sin νϕ dϕ
πRν 0
similarmente se obtiene Cν al multiplicar por cos ν 0 ϕ
Z 2π
1
Cν = V (ϕ) cos νϕ dϕ
πRν 0
inquietud: no se está definiendo las condiciones de frontera sobre una superficie cerrada (no se definió el
potencial en las tapas del infinito), y sin embargo es soluble. Posible respuesta, un cilindro infinito es
topológicamente equivalente a un toro de radio infinito.
Para obtener la solución mas general debemos obtener todas las combinaciones con α, β, γ iguales a cero
o diferentes de cero, la solución más general requiere que α, β, γ sean complejos. En esta sección nos re-
stringiremos al caso en que estos parámetros son reales, en cuyo caso podemos tomar todos ellos con valores
no negativos.
α 6= 0, β 6= 0 α = 0, β = γ 6= 0 β = 0, α = γ 6= 0 α = 0, β = γ = 0
A (x) Aeiαx + Be−iαx ax + b Leiαx + M e−iαx ex + f
B (y) Ceiβy + De−iβy Geiβy + He−iβy cy + d gy + h
C (z) Eeγz + F e−γz Jeβz + Ke−βz N eαz + P e−αz jz + k
42 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
α, α0 , β, β 0 son positivos, aunque en esta expresión final pueden tomar el valor cero. Cuando todos ellos
toman el valor cero, se obtiene una constante por lo cual uno podrı́a remover la constante que aparece en la
expresión para el potencial, que es f hk.
La solución mas general implica sumatorias y/o integrales en α, α 0 , β, β 0 y las constantes están determi-
nadas por las condiciones de frontera.
Caja de lados a, b, c
Asumamos una caja de lados a, b, c en donde el potencial es cero en todas las caras excepto en la paralela
al plano XY, a una distancia c, en esta cara el potencial es V (x, y). Este problema se resuelve fácilmente
proponiendo una solución en funciones senoidales en x, y y una función libre en z (ver Jackson). Sin embargo,
aquı́ llegaremos a la solución partiendo de la expresión general (2.14), aunque el procedimiento es mucho
mas largo que el antes mencionado, nos dará cierta habilidad en el empleo de la fórmula general.
donde usaremos la notación a0 , b0 , c0 para los coeficientes en el potencial, a fin de no confundirlos con
las dimensiones del paralelepı́pedo. Como cada Φ i (y, z) es linealmente independiente, y además la
constante f hk se puede remover, entonces cada coeficiente que acompaña a los Φ i (y, z) se debe anular
A + B = 0 ; b0 = 0 ; (L + M ) = 0 ; f = 0
la solución queda
φ (x, y, z) = sin αx Ceiβy + De−iβy Eeγz + F e−γz
0 0
0 0
+x Geiβ y + He−iβ y Jeβ z + Ke−β z
0 0
+ sin α0 x c0 y + d N eα z + P e−α z
+x (gy + h) (jz + k)
2.5. ECUACIÓN DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 43
2. φ = 0, en y = 0
φ (x, 0, z) = sin αx (C + D) Eeγz + F e−γz
0 0
+x (G + H) Jeβ z + Ke−β z
0 0
+ sin α0 x (d) N eα z + P e−α z
+xh (jz + k)
C + D = 0 ; G + H = 0; d = 0, h = 0
estamos suponiendo que A y L de la expresión original son diferentes de cero. Puede chequearse que
si cualquiera de ellos se hace cero las condiciones de frontera no se cumplen (chequear). La solución
queda
0 0
φ (x, y, z) = sin αx sin βy Eeγz + F e−γz + x sin β 0 y Jeβ z + Ke−β z
0 0
+y sin α0 x N eα z + P e−α z + xy (jz + k)
3. φ = 0 en z = 0
conduce a
(E + F ) = (J + K) = (N + P ) = k = 0
quedando
4. φ = 0 en x = a
conduce a
sin αa = 0 ; J = 0 ; sin α0 a = 0, j = 0
quedando
φ (x, y, z) = En sin αn x sin βy sinh γz + Nk y sin α0k x sinh α0k z
con
nπ kπ
αn = ; α0k =
a a
5. φ = 0 en y = b
φ (x, b, z) = En sin αn x (sin βb) sinh γz + Nk b sin α0k x sinh α0k z
mπ
conduce a Nk = 0, β = βm = b
6. φ = V (x, y) en z = c
multiplicamos por sin αn0 x sin βm0 y e integramos con lo cual se obtiene
Z aZ b
4 V (x, y) sin αn x sin βm y
Enm = dx dy
ab 0 0 sinh γmn c
con
2 2 n2 m2
γmn =π + 2
a2 b
a manera de consistencia se puede ver que si V (x, y) = 0, el potencial en el interior nos da φ = 0. Este
serı́a el caso de un paralelepı́pedo conductor conectado a tierra.
esto implica que Ĵ2 y Jˆj admiten un conjunto común de funciones propias. Elijamos Jˆ3 para encontrar este
conjunto común, se cumple que:
El operador momento angular orbital clásico es L̂ = −ir × ∇ se puede ver que este operador cumple con las
propiedades de un momento angular, por otro lado la exigencia de periodicidad en 2π nos exige excluir los
valores semienteros de j. Es notable el hecho de que los valores propios solo depeden de la hermiticidad de
los operadores y de su álgebra de Lie, pero no de su forma explı́cita.
∇2 φ = 0
en coordenadas esféricas queda
1 ∂ 2 ∂φ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ
r + sin θ + =0
r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin2 θ ∂ϕ2
2.6. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS 45
utilizando la identidad
1 ∂ ∂φ 1 ∂2
r2 = (rφ)
r 2 ∂r ∂r r ∂r 2
escribimos
1 ∂2 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ
(rφ) + 2 sin θ + =0
r ∂r 2 r sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin2 θ ∂ϕ2
hacemos separación de variables de la forma
U (r)
φ (r, θ, ϕ) = Y (θ, ϕ) (2.15)
r
reemplazamos
1 ∂2U U (r) 1 ∂ ∂Y (θ, ϕ) U (r) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ)
Y (θ, ϕ) + sin θ + =0
r ∂r 2 r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r r 2 sin2 θ ∂ϕ2
y multiplicamos por r 3 / (U Y )
r 2 d2 U 1 ∂ ∂Y (θ, ϕ) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ)
+ sin θ + = 0
U (r) dr 2 sin θY (θ, ϕ) ∂θ ∂θ sin2 θY (θ, ϕ) ∂ϕ2
r 2 d2 U 1 1 ∂ ∂Y (θ, ϕ) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ)
+ sin θ + = 0
U (r) dr 2 Y (θ, ϕ) sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2
ahora bien, el término entre paréntesis es justamente el operador momento angular orbital clásico al cuadrado
(con signo menos)
2 2 1 ∂ ∂ 1 ∂2
L̂ = −ir × ∇ ⇒ L̂ = (−ir × ∇) = − sin θ + (2.16)
sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2
2 1 ∂ ∂Y (θ, ϕ) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ)
L̂ Y (θ, ϕ) = − sin θ + (2.17)
sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2
la ecuación se reduce a
r 2 d2 U L̂2 Y (θ, ϕ)
− =0
U (r) dr 2 Y (θ, ϕ)
| {z } | {z }
l(l+1) l(l+1)
d2 U dU
2
− − l (l + 1) U = 0
dµ dµ
denotando D como el operador derivada
2
D − D − l (l + 1) U = 0 ⇒ [D − (1 + l)] [D + l] U = 0
la soluciones son
U = e(1+l)µ = r l+1 ; U = e−lµ = r −l
46 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
separamos variables
Y (θ, ϕ) = P (θ) Q (ϕ) (2.18)
Q (ϕ) d dP (θ) P (θ) ∂ 2 Q (ϕ)
sin θ + + l (l + 1) P (θ) Q (ϕ) = 0
sin θ dθ dθ sin2 θ ∂ϕ2
multiplicamos por sin2 θ/ (P Q)
sin θ d dP (θ) 1 ∂ 2 Q (ϕ)
sin θ + l (l + 1) sin2 θ + =0
P (θ) dθ dθ Q (ϕ) ∂ϕ2
| {z } | {z }
m2 −m2
la solución en θ es
sin θ d dP (θ)
sin θ + l (l + 1) sin2 θ − m2 = 0
P (θ) dθ dθ
sustituyamos
dx
= − sin θ; sin2 θ = 1 − x2
x = cos θ ⇒ (2.20)
dθ
dP dx dP dP
= = − sin θ
dθ dθ dx dx
sustituyendo esta derivada en la ecuación
sin θ d dP
− sin θ sin θ + l (l + 1) sin2 θ − m2 = 0
P (θ) dθ dx
multiplicando por P
d dP
2 m2 P
1−x + l (l + 1) P − =0 (2.21)
dx dx (1 − x2 )
o equivalentemente
d2 P dP m2 P
1 − x2 − 2x + l (l + 1) P − =0 (2.22)
dx2 dx (1 − x2 )
2.6. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS 47
∞
X ∞
X
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2 − aj (j + α) (j + α − 1) xj+α
j=0 j=0
∞
X ∞
X
− 2aj (j + α) xj+α + l (l + 1) aj xj+α
j=0 j=0
= 0
∞
X
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2
j=0
∞
X
− [2aj (j + α) + aj (j + α) (j + α − 1) − aj l (l + 1)] xj+α = 0
j=0
——————-
∞
X
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2 − [(j + α) (2 + j + α − 1) − l (l + 1)] aj xj+α = 0
j=0
quedando finalmente
∞
X
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2 − [(j + α) (j + α + 1) − l (l + 1)] aj xj+α = 0
j=0
48 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
aj (j + α) (j + α − 1) = 0
aj (j + α) (j + α + 1) − l (l + 1) = 0
α (α − 1) = 0
(1 + α) α = 0
para cualquier otro j se obtiene la recurrencia
(α + j) (α + j + 1) − l (l + 1)
aj+2 = aj
(α + j + 1) (α + j + 2)
las relaciones para j = 0 y j = 1 son en realidad equivalentes de modo que podemos elegir a 0 6= 0 ó a1 6= 0,
pero no los dos al tiempo. Eligiendo a 0 6= 0 obtenemos que α = 0 ó α = 1. La relación de recurrencia muestra
que la serie de potencias tiene solo potencias pares (α = 0) o impares (α = 1).
α resulta ser cero o uno. Para ambos valores de α la serie converge para x 2 < 1, y diverge en x = ±1 a
menos que la serie sea truncada, convirtiéndose entonces en un polinomio, esto solo es posible si l es cero o
entero positivo. Adicionalmente, para l par (impar) se exige α = 0 (α = 1).
Los polinomios se normalizan de tal manera que valgan 1 en x = 1 y se denominan polinomios de
Legendre. En forma general estos polinomios están dados por
1 dl l
Pl (x) = l l
x2 − 1 (2.24)
2 l! dx
los cuales forman la solución de la función P (θ) definida en (2.18), i.e.
la solución de la parte angular con m = 0 se obtiene entonces reemplazando (2.19) y (2.25) en (2.18) usando
m = 0:
Ym=0 (θ, ϕ) = (aϕ + b) Pl (cos θ) (2.26)
y la solución a la ecuación de Laplace con m = 0 se obtiene reemplazando (??, 2.26) en (2.15) y teniendo
en cuenta que la superposición de soluciones también es solución.
∞
X Ul (r)
φ (r, θ, ϕ) = (aϕ + b) Pl (cos θ) (2.27)
r
l=0
si asumimos simetrı́a azimutal (i.e. independencia con respecto a ϕ), entonces a = 0, y la solución queda
∞
X
l Bl
φ (r, θ) = Al r + l+1 Pl (cos θ) (2.28)
r
l=0
puede verse efectivamente que las soluciones con m 6= 0 ya no tienen simetrı́a azimutal ya que tienen
soluciones no triviales en ϕ. Al , Bl se determinan con las condiciones de frontera.
Figura 2.3:
Evaluar φ en el interior de una esfera sin carga en su interior si φ = V (θ) en la superficie (ver Fig. 2.3).
∞
X
lBl
φ (r, θ) = Al r + l+1 Pl (cos θ)
r
l=0
para evitar divergencia en φ se hace B l = 0
∞
X
φ (r, θ) = Al r l Pl (cos θ)
l=0
en r = a ⇒ φ = V (θ)
∞
X
V (θ) = Al al Pl (cos θ)
l=0
multiplicamos por Pl0 (cos θ) sin θ dθ e integramos entre 0 y π.
Z π X∞ Z π
l
V (θ) Pl0 (cos θ) sin θ dθ = Al a Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) sin θ dθ
0 l=0 0
X∞ 0
2 2Al0 al
= Al al δll0 = 0
2l + 1 2l + 1
l=0
50 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
Z π
2l + 1
Al = V θ 0 Pl cos θ 0 sin θ 0 dθ 0
2al 0
∞
X Z π
2l + 1
φ (r, θ) = V θ Pl cos θ sin θ dθ r l Pl (cos θ)
0 0 0 0
2al 0
l=0
Z
2l + 1 r l
∞
X π
0
0
0 0
φ (r, θ) = Pl (cos θ) V θ Pl cos θ sin θ dθ
2 a 0
l=0
si se quiere calcular el potencial por fuera de la esfera basta con reemplazar (r/a) l → (a/r)l+1 .
V para 0 ≤ θ ≤ π/2 ;
0 para π/2 ≤ θ ≤ π
con φ = V0 en r = b ⇒
∞
X
lBl
V0 = Al b + l+1 Pl (cos θ)
b
l=0
para la parte negativa del eje i.e. θ = π, tenemos que introducir un factor (−1) l . Si el potencial en esta región
puede desarrollarse en series de potencias, entonces podemos encontrar los coeficientes ya mencionados por
comparación de la serie de potencias con la Ec. (2.31).
Para ilustrar este método, tomemos una esfera con potenciales ±V en las superficies de los hemisferios
norte y sur respectivamente (ver Fig ??? en la Pág. ???). Como veremos más adelante (sección 5.3.1), es
plausible obtener una solución al potencial generado en el exterior de la esfera evaluado sobre el eje de
simetrı́a (eje Z), y viene dado por la Ec. (5.18)
!
z 2 − a2
φ (z) = V 1 − √ ; z>a
z a2 + z 2
comparando las potencias de z se ve que a la derecha no hay potencias positivas de ésta. Por tanto A l = 0.
∞ ∞
" #
X 1 V X 1
j−1 2j − 2 Γ j − 2
1
1
Bl l+1 = √ (−1) a2j 2j
z π j! z
l=0 j=1
De esta expresión se ve que al lado izquierdo solo deben contribuir las potencias pares en l + 1, es decir
impares en l. De modo que Bl = 0 si l es par, por esta razón podemos escribir la suma de la izquierda con
l + 1 ≡ 2j, y dado que solo contribuyen los valores l = 1, 3, 5, 7, .. la suma se expresa como
∞ ∞
" #
X 1 V X 1
j−1 2j − 2 Γ j − 2
1
1
B2j−1 2j = √ (−1) a2j 2j
z π j! z
j=1 j=1
quedando
1 1
V 2j − Γ j−
B2j−1 = √ (−1)j−1 2 2
a2j
π j!
52 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
el valor B2j−1 es único y válido para todas las regiones de la esfera exterior aún fuera del eje, de modo que
la solución general para el potencial fuera de la esfera es
∞
X 1
φ (r, θ) = B2j−1 P2j−1 (cos θ)
r 2j
j=1
quedando
∞
" #
V X 2j − 1
Γ j − 1
1
φ (r, θ) = √ (−1)j−1 2 2
a2j 2j P2j−1 (cos θ)
π j! r
j=1
" #
V X
∞ 1 1 a 2j
j−1 2j − 2 Γ j − 2
φ (r, θ) = √ (−1) P2j−1 (cos θ) (2.33)
π j! r
j=1
Nótese que en realidad se usaron condiciones de Dirichlet para garantizar la unicidad, esto nos permite
asegurar que una vez encontrados Al y Bl por cualquier método, estos conducen a la solución (única) en
toda la región.
1
2.8. Expansión de |r−r0 | en polinomios de Legendre
1
Una importante aplicación de la técnica anterior nos posibilita expandir la función |r−r 0 | (la cual será muy
donde γ es el ángulo entre los vectores r y r 0 que en el caso de la rotación ya descrita coincidirı́a con θ de las
coordenadas esféricas. Naturalmente, A l y Bl son en general funciones de r0 . Examinemos las condiciones
de frontera
1
1. Para r < r 0 y con |r−r0 | 6= ∞, hay que evitar divergencia en r→0 se tiene que B l = 0 en (2.34)
X ∞
1
= Al r l Pl (cos γ)
|r − r0 |
l=0
a continuación introduciremos la siguiente notación: r > denota al mayor entre r y r 0 ; similarmente r<
simboliza al menor entre r y r 0 . En esta notación, la expansión anterior se escribe:
X ∞
1 l
= Al r< Pl (cos γ) (2.35)
|r − r0 |
l=0
1
2. Para r > r 0 con |r−r0 | 6= ∞, hay que evitar divergencia en r→∞ , entonces A l = 0 en (2.34)
X Bl∞
1
0
= P (cos γ)
l+1 l
(2.36)
|r − r | r> l=0
1
2.8. EXPANSIÓN DE |R−R0 | EN POLINOMIOS DE LEGENDRE 53
Una solución válida en ambas regiones se obtiene haciendo el producto entre los sumandos de (2.35)
con los de (2.36) y sumando sobre l 6 .
∞
!
1 X l
r<
= Cl Pl (cos γ)
|r − r0 | l+1
r>
l=0
para evaluar Cl consideramos el caso en que r y r0 son colineales i.e. γ = 0. Esto permite hacer
fácilmente una expansión en series de potencias. Para el caso r > r 0 la expansión adecuada es en r 0 /r
∞
!
1 1 X r<l
= = Cl Pl (cos 0◦ )
|r − r0 | (r − r 0 ) r l+1
>
l=0
∞ " 0 2 #
l
1 X r< 1 r0 r
= Cl Pl (1) = C0 + C 1 + C 2 + ...
r> r> r r r
l=0 r>r 0
Figura 2.4:
La expresión (2.37) se puede aplicar para evaluar potenciales. En particular la expresión (2.37) combinada
con los métodos de la sección 2.7 puede resultar muy fructı́fera como veremos en el ejemplo siguiente:
Consideremos un anillo cargado (ver Fig. 2.4), cuyo plano es paralelo al plano XY a una distancia b de
dicho plano, y el eje Z pasa por su centro, sea a el radio del anillo y c la distancia desde el origen a un punto
en el borde del anillo, el problema tiene claramente simetrı́a azimutal. Por otro lado, es muy fácil evaluar el
potencial sobre el eje el cual viene dado por
Z
Kc dq Kc q Kc q
φ (z) = q =q =√
a2 + (z − b)2 a2 + (z − b)2 a2 + b2 + z 2 − 2zb
Kc q Kc q
= √ =
2 2
c + z − 2cz cos α |z − c|
donde estamos expandiendo el potencial en el eje, el cual a su vez está dado por la Ec. (2.31) con A l = 0
para evitar divergencias
X∞
Bl
φ (z) =
z l+1
l=0
igualando
∞
X ∞
X
cl Bl
Kc q l+1
P l (cos α) =
Z z l+1
l=0 l=0
Bl = Kc qcl Pl (cos α)
de modo que el potencial para r > c es
∞
X cl
φ (r) = q Pl (cos α) Pl (cos θ)
r l+1
l=0
d2 P dP m2 P
1 − x2 − 2x + l (l + 1) P − =0
dx2 dx (1 − x2 )
Que nos brinda la solución más general para la función P (θ) definida en (2.18) que naturalmente depen-
derá ahora de l y m
P (θ) ≡ Plm (cos θ) (2.38)
Las soluciones finitas en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1, solo se pueden obtener con l = 0 o entero positivo y si m
toma valores entre −l, − (l − 1) , ..., 0, ..., l − 1, l. Lo cual concuerda con la ecuación de valores propios para
L̂2 y la exigencia de periodicidad en la función. La solución es conocida como función asociada de Legendre
Plm (x), con
m/2 dm (−1)m
2 m/2 d
l+m l
Plm (x) = (−1)m 1 − x2 m
P l (x) = l
1 − x l+m
x2 − 1
dx 2 l! dx
puede demostrarse que
(l − m)! m
Pl−m (x) = (−1)m P (x)
(l + m)! l
Los Plm forman un conjunto completo ortogonal para cada m, sobre el intervalo −1 ≤ x ≤ 1.
Z 1
2 (l + m)!
Plm (x) Plm
0 (x) dx = δll0
−1 2l + 1 (l − m)!
La solución más general para la parte angular de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas se
obtiene reemplazando (2.19) y (2.38) en (2.18) usando m 6= 0. Dicha solución angular genera (salvo factores
de normalización) unas funciones especiales conocidas como Armónicos Esféricos
s
2l + 1 (l − m)! m
Ylm (θ, ϕ) = P (cos θ) eimϕ (2.39)
4π (l + m)! l
Yl,−m (θϕ) = (−1)m Ylm
∗
(θ, ϕ) (2.40)
se puede ver de la forma explı́cita de los armónicos esféricos que aquellos armónicos con m = 0 solo dependen
de θ, efectivamente se reducen a los polinomios ordinarios de Legendre (chequear) que dan cuenta de los
casos con simetrı́a azimuthal.
La completez de los armónicos esféricos me permite expandir cualquier función F (θ, ϕ) como superposi-
ción de esta base numerable
X∞ X l Z
∗
F (θ, ϕ) = Alm Ylm (θ, ϕ) ; Alm = F (θ, ϕ) Ylm (θ, ϕ) dΩ
l=0 m=−l
De nuevo, las constantes Alm , Blm se evalúan a través de las condiciones de frontera.
1 d2 Q
= −ν 2 ⇒ Q ∝ e±iνϕ ν > 0
Q dϕ2
1 d2 Z
= k 2 ⇒ Z ∝ e±kz
Z dz 2
56 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE LAPLACE
se escoge −ν 2 en ϕ para obtener soluciones armónicas en la parte angular que son las únicas que garantizan
la continuidad en el potencial. La escogencia −k 2 también es posible para Z.
Para la parte radial se obtiene después del cambio de variable x = kρ la ecuación de Bessel
d2 R 1 dR ν2
+ + 1− 2 R=0
dx2 x dx x
las soluciones son series de potencias que dan como solución las funciones de Bessel de orden ν, donde ν
es cualquier número positivo. Se puede demostrar que si ν no es entero entonces J ν y J−ν son linealmente
independientes, pero si ν es entero ellas son linealmente dependientes de modo que cuando ν es entero hay
que completar la solución con una segunda solución que sı́ sea linealmente independiente de J ν . Esta segunda
solución es la función de Bessel de segunda clase o función de Neumann N ν (x) .
Las funciones de Bessel poseen relaciones de ortonormalidad y completez.
Dado que la parte Z posee dos tipos posibles de soluciones ello nos conduce a dos tipos de soluciones
generales. En el caso de Z = e±kz la solución radial conduce a las funciones de Bessel en tanto que para el
caso de Z = e±ikz la parte radial conduce a la ecuación de Bessel modificada
d2 R 1 dR ν2
+ − 1+ 2 R=0
dx2 x dx x
la cual se puede llevar a la forma de la ecuación de Bessel haciendo x → ix, las soluciones van a ser en
general combinaciones lineales complejas de J ν , Nν que definen las funciones modificadas de Bessel I ν , Kν .
Elegir cual de las dos soluciones generales se debe tomar depende del problema. Básicamente, si al tomar
una solución no podemos satisfacer las condiciones de frontera entonces tomamos la otra.
Capı́tulo 3
Conductores electrostáticos
Figura 3.1:
Un conductor ideal es aquél en el cual los portadores de carga que conducen, no interactúan con los
átomos o moléculas del material, excepto en cercanı́as a la superficie (puesto que los portadores no son
libres de abandonar el material). En sólidos la conducción es usualmente de electrones con interacción
despreciable con la red cristalina, en lı́quidos los portadores son generalmente iones. Aunque no existen
conductores ideales, existen materiales que se comportan muy aproximadamente como tales. En ese sentido
los portadores se pueden tratar en buena aproximación como un gas interactuante dentro de un contenedor,
puesto que las cargas no son libres de abandonar el material 1 . Existen conductores cargados que pueden
formar configuraciones estáticas de carga, para lo cual es necesario que el campo en el interior del conductor
sea cero, puesto que de lo contrario las cargas libres se moverı́an, abandonando la configuración estática. Esta
afirmación está respaldada por el hecho experimental de que un conductor en un campo eléctrico externo
y estático, produce una redistribución de sus cargas que apantalla completamente al campo en el interior
del conductor. El campo inducido que anula al externo es producido por la polarización de las cargas como
se aprecia en la figura (3.1). En dicha figura solo se muestran las lı́neas de campo externo las cuales al
superponerse con las lı́neas del campo inducido producen un apantallamiento del campo en el interior del
conductor. Es importante enfatizar que el campo es cero solo en el interior del conductor.
Por otra parte, la ley de Gauss aplicada al interior del conductor nos dice que ∇ · E (r) = 4πK c ρ = 0,
puesto que E (r) = 0. Esta ecuación tomada matemáticamente, nos dice que no podrı́a haber ninguna carga
en el punto matemático en donde se evalúa la divergencia. Sin embargo, una visión más Fı́sica es que las
ecuaciones de Maxwell locales solo son válidas para volúmenes suficientemente pequeños para considerar el
fenómeno como local, pero suficientemente grandes para contener una gran cantidad de átomos. Por tanto,
el significado real es que en promedio hay tanta carga positiva como negativa, en una vecindad alrededor
del punto.
Lo anterior trae como consecuencia que cualquier carga neta se distribuye en la superficie. Adicional-
mente, el hecho de que el campo sea nulo en el interior implica que el conductor sea equipotencial en su
interior. Es fácil ver que además, su superficie debe estar al mismo potencial que el interior, ya que de no ser
ası́ también habrı́a flujo desde el interior hacia la superficie o viceversa, lo cual es incompatible con la condi-
ción estática. Teniendo en cuenta que el campo eléctrico en el exterior del conductor no es necesariamente
nulo, se llega a que en las vecindades exteriores de la superficie las lı́neas de campo son perpendiculares a la
superficie del conductor. Para ver esto, podemos apelar nuevamente a la condición estática, ya que si hubiera
componente tangencial se provocarı́a movimiento de las cargas superficiales. Un argumento matemático al-
1
La interacción solo es significativa entre portadores, y es despreciable su interacción con el resto del material, excepto en
las vecindades de la superficie.
57
58 CAPÍTULO 3. CONDUCTORES ELECTROSTÁTICOS
ternativo consiste en recordar que E = −∇φ, y que el gradiente de una función escalar, es perpendicular en
r0 a la superficie definida por la ecuación φ = φ (r 0 ) = cte, es decir perpendicular a la superficie equipotencial
que pasa por el punto.
Dado que los portadores de carga son esencialmente libres de moverse en el material, ellos buscan su
configuración de mı́nima energı́a, se puede ver con algunos ejemplos concretos (e.g. una esfera uniformemente
cargada en su volumen o en su superficie), que la distribución superficial hace que la energı́a interna del
sistema de portadores sea menor que cuando se distribuye en el volumen 2 , lo cual es otra manera de ver
porqué los portadores que producen carga neta libre se acumulan en la superficie. Es importante añadir que
aunque hemos llegado por argumentos simples a que la distribución de carga neta en el conductor debe ser
superficial, no hay una forma simple de saber como es la forma funcional de dicha distribución.
Lo anterior nos proporciona otra manera de ver el efecto de carga inducida del conductor en presencia de
un campo externo. Inicialmente, el conductor está en su estado de mı́nima energı́a (en ausencia del campo),
la introducción del campo hace que la “curva” de energı́a potencial se modifique dejando al sistema fuera de
la configuración de mı́nimo local. Por tanto el sistema se redistribuye para volver al mı́nimo de energı́a. Por
supuesto, también se puede ver como un problema de equilibrio de fuerzas, teniendo presente que además de
la interacción eléctrica entre los portadores, también existen fuerzas de enlace con los átomos y moléculas que
impiden a las cargas escapar del material. En un conductor ideal estas últimas serı́an fuerzas estrictamente
superficiales.
Finalmente, vale la pena llamar la atención en el hecho de que la minimización de la energı́a interna con
distribución en la superficie es un efecto en solo tres dimensiones. Por ejemplo, en un disco bidimensional
conductor, la carga no se acumula solo en los bordes, y en una aguja conductora, la carga no se va toda
hacia las puntas.
Es importante enfatizar que aunque el conductor sea neutro como sucede en la mayorı́a de los casos,
pueden existir acumulaciones de carga locales por efecto de campos externos, la carga neta sigue siendo
cero pero se produce igualmente el campo inducido que anula el campo total en el interior. Por ejemplo, si
se acerca una carga puntual positiva a un conductor, las cargas negativas migran tratando de acercarse a
la carga puntual, en tanto que las cargas positivas se alejan ubicándose en el otro extremo 3 . Esto produce
un campo inducido como ya se comentó anteriormente, debido a la existencia del campo externo generado
por la carga, pero adicionalmente se produce un efecto neto de atracción entre la carga y el conductor,
puesto que las cargas negativas que producen atracción están mas cercanas y por tanto producen una fuerza
(atractiva) de mayor intensidad que las fuerzas (repulsivas) que producen las cargas positivas.
la contribución del campo generado por q cav se vé apantallado por el campo generado por la carga q cav ind
distribuı́da en la superficie de la cavidad. Aunque no es fácil visualizar la razón por argumentos fı́sicos
simples, es un hecho que este apantallamiento es total, de tal manera que la superposición de estos dos
campos es cero en el exterior de la cavidad (tanto en el interior como en el exterior del conductor). Por otro
lado, en el interior de la cavidad, la superposición de estos dos campos es en general diferente de cero.
Imaginemos ahora que tenemos un conductor neutro con una cavidad y que además hay distribuciones
de carga qcav , qext en el interior de la cavidad, y en el exterior del conductor respectivamente. Como ya
vimos, en el exterior de la cavidad (y en particular en el interior del conductor) los campos generados por
ind = −q
las cargas qcav y qcav cav que se encuentran en el volumen y la superficie de la cavidad respectivamente,
se anulan. De esto sale como consecuencia que para que el campo en el interior del conductor sea cero, es
necesario que el campo generado por la distribución exterior de carga q ext esté completamente apantallado
por la carga inducida en la superficie exterior del conductor (q ext ind = q
cav ya que el conductor es neutro). En
ind ind )=(q (a) , −q (b) , q
sı́ntesis, tenemos cuatro distribuciones de carga (q cav , qcav , qext , qext
(c) 4
cav cav ext , qcav ) , las cuales en
el interior del conductor, se anulan por pares. Mas aún, en el interior de la cavidad se anula la contribución
ind de manera que el campo resultante se debe solo a las cargas en el volumen y superficie
debida a qext , qext
de la cavidad. Similarmente, en el exterior del conductor no hay contribución del par q cav , qcav ind , y el campo
ind
resultante es debido solo a la pareja q ext , qext . De modo que el conductor aisla completamente a las dos
parejas de distribuciones. No hay lı́neas de campo generadas en la cavidad y su superficie que crucen el
conductor ni que lleguen al exterior. De la misma forma no hay lı́neas de campo generadas en el exterior
o la superficie exterior del conductor, que crucen el interior del conductor ni que lleguen al interior de la
cavidad. El conductor está actuando como escudo electrostático en ambas direcciones. Mas aún, se pueden
fabricar escudos electrostáticos muy efectivos incluso si el conductor no es cerrado sino que posee pequeños
huecos (jaulas de Faraday), el campo es muy atenuado en el interior excepto en las regiones cercanas a los
agujeros. Esto solo es válido para campos exteriores independientes del tiempo o que varı́an lentamente en
el tiempo (más adelante veremos que también hay efectos de apantallamiento de campos dependientes del
tiempo en el interior de los conductores).
De lo anterior es fácil ver que si la cavidad está libre de carga, el campo eléctrico en su interior es cero.
La manera mas sencilla de verlo, es tomando q cav → 0+ , en tal caso qcav ind → 0− , y la contribución de este
par al campo en el interior de la cavidad tiende a cero, y como ya vimos, las otras dos fuentes de campo
no contribuyen en el interior de la cavidad y obtenemos lo que se querı́a demostrar. Se demuestra además,
que no se induce carga en la superficie de la cavidad 5 . Otra manera de verlo es teniendo en cuenta que las
lı́neas de campo generadas en las eventuales cargas presentes en la superficie de la cavidad, deben comenzar
y terminar en la superficie de la cavidad (ya que ninguna lı́nea de campo le llega del exterior y por otro lado,
no hay cargas en el interior de la cavidad en donde pueda terminar una de estas lı́neas). Esto no es posible
si todas las cargas en la superficie fueran del mismo signo, es necesario que una lı́nea comience en una carga
positiva en la superficie y termine en una negativa también en la superficie. Podemos completar un lazo
cerrado con esta lı́nea continuándola de tal manera que el resto del lazo yace en el interior del conductor, este
complemento no produce contribución a la integral de lı́nea cerrada del campo ya que E = 0 en los puntos
interiores al conductor, esto conduce a que solo la lı́nea que pasa por el interior de la cavidad contribuye a
la integral cerrada, y dicha contribución es positiva (si tomamos el sentido que va de la carga positiva a la
negativa), ya que el campo se origina en una carga positiva y otra negativa, esto nos conduce a que este es
un campo electrostático no conservativo a menos que no exista carga neta en ningún punto de la superficie,
y el campo sea cero en el interior de la cavidad.
Finalmente, hay un argumento alternativo con base en el teorema de unicidad para la ecuación de
Laplace: en el interior de la cavidad (en ausencia de carga), se satisface la ecuación de Laplace con potencial
4
Los supraı́ndices (a) , (b) , (c) indican que aunque las cargas netas pueden ser iguales, su distribución es en general, totalmente
distinta.
5
Este es un hecho interesante, ya que en tal caso, aún con cargas en el exterior del conductor, la carga inducida en éste no se
distribuye sobre toda la superficie del conductor, puesto que la superficie que da a la cavidad también hace parte de la superficie
del conductor.
60 CAPÍTULO 3. CONDUCTORES ELECTROSTÁTICOS
constante en la frontera (ya que la superficie de la cavidad es parte de la superficie del conductor), una
solución posible es φ = cte =potencial en la frontera, y como la solución es única entonces el potencial es
constante en el interior, de modo que el campo es cero en esta región.
Una aclaración final: de lo anterior se sigue que para un conductor neutro, la carga neta inducida sobre
la superficie exterior, es igual en magnitud y signo a la carga neta que está en el interior de la cavidad
(digamos positiva). Esto no significa que se distribuya carga positiva a lo largo de toda la superficie exterior
del conductor. Es posible por ejemplo, que la carga exterior genere una polarización de tal forma que se
distribuye carga positiva y negativa en extremos opuestos de la superficie conductora, lo importante es que
la carga positiva polarizada es mayor que la negativa polarizada, en una cantidad igual a la magnitud de la
carga en el interior de la cavidad.
Example 8 Supongamos una esfera conductora neutra con una cavidad cuya posición y forma es arbitraria,
coloquemos una carga puntual q en el interior de la cavidad, y evaluemos el campo eléctrico resultante en
el exterior del conductor. En este caso, las cuatro distribuciones mencionadas arriba vienen dadas por
ind , q ind (a) (b) (c)
(qcav , qcav ext , qext )=(q , −q , 0, q ). En el interior del conductor las dos primeras se anulan, y como la
tercera es nula, es necesario que la distribución q ext ind produzca contribución nula al campo en el interior del
conductor. Por tanto, la carga qext ind = q debe estar uniformemente distribuı́da en la superficie de la esfera. El
campo resultante en el exterior es entonces el debido a esta última carga uniformemente distribuı́da, puesto
que las dos primeras se anulan entre sı́. Tenemos por tanto que el campo es
q
E = K c 2 ur
r
este campo es central sin importar la forma de la cavidad ni la posición de la cavidad o la carga. Lo único
que importa es el valor de la carga encerrada en la cavidad.
siendo A el área de cada placa, s la distancia entre placas y V la diferencia de potencial entre ellas. Nue-
vamente la cantidad denominada capacitancia resulta ser un factor exclusivamente geométrico. El siguiente
paso natural es tratar de extrapolar el concepto cuando hay en juego N conductores. Veremos que el concepto
de capacitancia resulta de mucha utilidad en la caracterización de sistemas de N conductores electrostáticos.
F = jN+1
SN+1
nN+1
F = ji
F = j1
Si
F = ji
ni F = jN
Figura 3.2: Sistema de N conductores internos con un conductor N + 1 que los encierra. Las normales n i
con i = 1, .., N + 1 apuntan hacia el exterior de los conductores y hacia el interior del volumen V ST . Las
superficies Si con i = 1, .., N son un poco mayores a las de los correspondientes conductores. En contraste,
la superficie SN +1 es ligeramente menor a la superficie del conductor externo.
donde Si es la superficie exterior que encierra al conductor i y que está arbitrariamente cercana y localmente
paralela a la superficie real del conductor (ver Fig. 3.2) 6 , ni es un vector normal a Si que apunta hacia el
exterior del conductor. Definamos la superficie total S T como
ST = S1 + . . . + SN + SN +1
y el volumen VST que encierra la superficie ST es aquél delimitado por la superficie exterior S N +1 y las
N superficies interiores Si . Claramente, el potencial φ en dicho volumen debe satisfacer la ecuación de
6
QN +1 no es necesariamente la carga total sobre el conductor externo, sino la carga acumulada sobre la superficie de la
cavidad que encierra a los otros conductores. El valor de la carga se calcula con la integral de superficie (3.2), la cual para el
caso de los conductores internos comprende toda su superficie, pero para el conductor externo es solo la superficie de la cavidad
que encierra a los otros conductores.
62 CAPÍTULO 3. CONDUCTORES ELECTROSTÁTICOS
φ (Si ) = ϕi ; i = 1, . . . , N, N + 1 (3.3)
donde fj son funciones que cumplen la ecuación de Laplace en el volumen V ST , y que deben cumplir con las
siguientes condiciones de frontera
de lo cual se vé claramente que los C ij son factores exclusivamente geométricos. Los coeficientes C ij
se pueden organizar en forma de una matriz de capacitancia la cual consiste en una generalización del
concepto de capacitancia planteado en la sección anterior. Podemos demostrar que la matriz C ij es simétrica
por medio de argumentos puramente geométricos. Partiendo de la definición de C ij en la Ec. (3.6) se tiene
I I
Cij = −ε0 ∇fj · ni dS = ε0 fi ∇fj · (−ni ) dS
Si ST
donde hemos usado el hecho de que fi = 1 en la superficie Si en tanto que fi = 0 en las otras superficies.
Del teorema de Gauss encontramos que
Z Z
Cij = ε0 ∇ · (fi ∇fj ) dV = ε0 ∇fi · ∇fj + fi ∇2 fj dV
VS T VS T
de la integración en la Ec. (3.2). Por otro lado, se puede ver por argumentos de unicidad que f j = δij en el
volumen de la cavidad Vic con lo cual ∇fj = 0 en dicho volumen, y por tanto Vic puede ser excluı́do de la
integral de volumen (3.7). En sı́ntesis ni S ic ni Vic contribuyen en este caso.
Esta situación es diferente si hay otro conductor en la cavidad. En este caso la superficie de la cavidad
contribuye en la Ec. (3.2). Similarmente, el volumen comprendido entre la cavidad y el conductor dentro
de ella contribuye en la integral (3.7). Estos argumentos se pueden extender para el caso de embebimientos
sucesivos de conductores en cavidades como muestra la Fig. 3.3 o para conductores con varias cavidades.
Figura 3.3: Ejemplo de un sistema en el cual hay embebimiento sucesivo de conductores. El volumen V ST
corresponde a la región en blanco. Las regiones correspondientes a cavidades vacı́as (y sus superficies y
volúmenes asociados) pueden ser excluı́dos sin afectar los cálculos. En esta figura la cavidad A está vacı́a,
de modo que su superficie y volumen no necesitan ser considerados en los cálculos.
y dado que F = 1 a lo largo de toda la superficie S T , vemos por unicidad que F = 1 en todo el volumen
VST de modo que se obtiene la identidad
N
X +1
fi = 1 (3.11)
i=1
adicionalmente si sumamos sobre j en la segunda de las ecuaciones (3.6) y teniendo en cuenta la Ec. (3.11),
encontramos
N
X +1
Cij = 0 (3.12)
j=1
N
X +1
Cij = 0 (3.13)
i=1
Las ecuaciones (3.12) y (3.13) implican que la suma de los elementos sobre cualquier fila o columna de
la matriz es nula. En el apéndice B.1 se obtienen algunas pruebas de consistencia para estas importantes
propiedades. Teniendo en cuenta la simetrı́a de la matriz de los C ij con dimensiones (N + 1) × (N + 1)
ası́ como las N + 1 ligaduras dadas por la Ec. (3.13), vemos que para un sistema de N conductores rodeados
por un conductor externo N + 1, el número de coeficientes de capacitancia independientes viene dado por
2 N (N + 1) N (N + 1)
NI = (N + 1) − − (N + 1) = . (3.14)
2 2
Otras propiedades importantes son las siguientes
64 CAPÍTULO 3. CONDUCTORES ELECTROSTÁTICOS
(a) (b)
Ñf i fi = 0 Ñf j fj = 1
fi = 1 ni ni
fj = 0
Si Si
C ii Sj C ij Sj
0 ≤ fj ≤ 1. (3.16)
y puesto que fj = 0 sobre las superficies Si con i 6= j, vemos que fj adquiere su valor mı́nimo sobre tales
superficies. En consecuencia, la función ∇f j debe apuntar hacia afuera con respecto al conductor i para
i 6= j. de modo que
ni · ∇fj ≥ 0 ; para i 6= j. (3.17)
sustituyendo la Ec. (3.17) en la Ec. (3.6) se obtiene que C ij ≤ 0 para i 6= j. Una demostración adicional
de la propiedad Cii ≥ 0 se puede obtener teniendo en cuenta que f i adquiere su valor máximo sobre la
superficie Si . La Fig. 3.4, muestra el comportamiento de estos gradientes en las vecindades de las superficies
conductoras.
Por otro lado, la Ecuación (3.13) la podemos reescribir como
N
X
Cij = −CN +1,j
j=1
Y a partir de la Ec. (3.15) tenemos que C N +1,j ≤ 0 para j = 1, . . . , N y CN +1,N +1 ≥ 0. Por tanto
N
X
Cij ≥ 0 (j = 1, . . . , N ) (3.18a)
i=1
N
X
Ci,N +1 ≤ 0. (3.18b)
i=1
Las siguientes propiedades se siguen de las Ecs. (3.8), (3.13), (3.15), (3.18a) y (3.18b)
N
X
|Cii | ≥ |Cij | (3.19a)
i6=j
donde i, j = 1, . . . , N .
3.5. EJEMPLOS DE CÁLCULOS DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIAS 65
Un caso particularmente interesante surge cuando el conductor externo está a potencial cero. En tal caso,
aunque los elementos de la forma CN +1,j no son necesariamente nulos, no aparecen en las contribuciones a
la carga de los conductores internos como se puede ver de la ecuación (3.6) haciendo ϕ N +1 = 0. Por esta
razón, la matriz de capacitancia usada para describir N conductores libres (es decir sin un conductor externo
que los rodee) tiene dimensiones N × N , ya que por unicidad, la solución para este problema es equivalente
a la solución del sistema de N conductores rodeados por un conductor externo conectado a tierra y cuyas
dimensiones tienden a infinito.
Q1 = C11 (ϕ1 − ϕ2 )
Q2 = −C11 (ϕ1 − ϕ2 ) = −Q1
Este último resultado es consistente con la Ec. (B.2) y nos muestra que la carga inducida en la superficie de
la cavidad del conductor 2 es opuesta a la carga del conductor 1, propiedad ya discutida en la sección 3.1.
De este caso se pueden derivar tres ejemplos que resumimos en la tabla (3.1). Las f j son las funciones
auxiliares que nos permiten calcular los coeficientes de capacitancia.
System f1 C11
ab 1 1
4πε0 ab
Spherical shell with radius b b−a r − b b−a
and concentric solid sphere
with radius a.
ln(r/b) 2πε0 L
Cylindrical shell with radius ln(a/b) ln(b/a)
b and concentric solid cylin-
der with radius a, both with
length L.
Two parallel planes with area x/d ε0 Ad
A at x = 0 and x = d (con-
ductor 1).
Cuadro 3.1: factores C11 y f1 para tres sistemas de dos conductores con a ≤ r ≤ b y 0 ≤ x ≤ d. Despreciamos
efectos de borde para los cilindros y planos.
Ai
fi = + Bi (3.20)
r
66 CAPÍTULO 3. CONDUCTORES ELECTROSTÁTICOS
por lo tanto, solo debemos calcular C 11 y C32 8 , los cuales están dados por
ab bc
C11 = 4πε0 , C23 = −4πε0
b−a c−b
con lo que obtenemos
ab bc a c
C12 = −4πε0 , C33 = 4πε0 , C22 = 4πε0 b +
b−a c−b b−a c−b
ab bc
Q1 = 4πε0 (ϕ1 − ϕ2 ) ; Q2 = −Q1 + 4πε0 (ϕ2 − ϕ3 )
b−a c−b
En el caso en que ϕ2 = ϕ3 , se llega a que Q1 = −Q2 y Q3 = 0. Se puede demostrar que las ecuaciones
(3.21) y (3.22) son válidas incluso si no tenemos conductores esféricos ni concéntricos, ya que estas ecuaciones
provienen de la primera de las Ecs. (3.6) ası́ como de las Ecs. (3.8) y (3.13), las cuales reflejan propiedades
generales independientes de geometrı́as especı́ficas.
Ejemplo 2 Consideremos dos conductores internos y el conductor externo conectado a tierra. Comence-
mos con los conductores internos inicialmente neutros i.e. Q 1 = Q2 = 0. Si transferimos carga desde uno de
los conductores internos al otro se mantendrá la condición Q 1 = −Q2 . A partir de la Ec. (3.6) y definiendo
V ≡ ϕ1 − ϕ2 encontramos
donde hemos usado la Ec. (3.13). Similarmente Q 2 = −C23 ϕ1 − C22 V , y usando de nuevo la Ec. (3.13)
encontramos
Q1 + Q2 = C33 ϕ1 + C32 V (3.25)
8
Si tenemos en cuenta que C13 es otro grado de libertad (aunque sea nulo), tenemos un total de tres grados de libertad, en
concordancia con la Ec. 3.14 para N = 2.
3.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA Y MATRIZ DE CAPACITANCIA 67
que nos muestra la forma de calcular la energı́a almacenada en el sistema de conductores, con base en los
coeficientes de capacitancia y los potenciales de éstos.
Capı́tulo 4
La naturaleza no homogénea de la ecuación de Poisson trae como consecuencia que sus soluciones no se
pueden construı́r por el método de separación de variables salvo en casos muy especiales. En realidad, este
es el caso para la mayor parte de las ecuaciones inhomogéneas. Por esta razón es necesario recurrir a otros
métodos, en particular trabajaremos el método de las funciones de Green. Es necesario enfatizar que aunque
en este texto trabajaremos la mencionada técnica para los casos particulares de la ecuación de Poisson
y la función de onda, el formalismo de Green es de mucha utilidad para muchas ecuaciones diferenciales
inhomogéneas y es también extendible al caso particular en que dichas ecuaciones se vuelven homogéneas.
El término a la derecha involucra φ (r 0 ) , ∂n0 ψ (r0 ) , ψ (r0 ) , ∂n0 φ (r0 ) evaluados en la superficie pero no sus
valores en el interior. Por lo tanto, esta integral podrı́a dar cuenta de las condiciones de frontera.
Tomemos φ como el potencial electrostático. La integral de volumen incluye a φ y a ∇ 02 φ, usando la
ecuación de Poisson reemplazamos ∇ 02 φ (r0 ) por −4πKc ρ (r0 ), ysolo quedarı́a por “despejar” φ (r ). Esto
0
se logra asignando ψ = |r − r0 |−1 y recordando la propiedad ∇02 |r − r0 |−1 = −4πδ (r − r0 ) con lo cual la
identidad de Green queda
Z I
02 −1 1 ∂ 1 1 ∂φ (r 0)
φ r ∇ r − r
0 0
− 0|
02
∇ φ r 0 0
dV = φ r 0
0 0|
− 0 | ∂n0
dS 0
V |r − r S ∂n |r − r |r − r
69
70 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
Ahora bien, si el punto r está dentro del volumen de integración, entonces la integración con la delta
de Dirac hace posible “despejar” φ (r).
Z I
ρ (r0 ) 0 0
∂ 1 1 ∂φ (r0 )
−4πφ (r) = −4πKc 0|
dV + φ r 0 0|
− 0 | ∂n0
dS 0
V |r − r S ∂n |r − r |r − r
con esta expresión tenemos en principio despejado el valor de φ (r) al menos para valores de r en el interior
del volumen, obsérvese que si r está fuera del volumen, la integral que permitió despejar al potencial se
anuları́a1 . La integral de volumen se realiza en el interior del volumen V .
con lo cual podemos hacer la analogı́a con el potencial de una capa dipolarR discutida anteriormente
φ
para lo cual se hace D = − 4π , la integral de superficie queda de la forma D dΩ que es el potencial
φ
generado por una capa dipolar con densidad de momento superficial D = − 4π .
3. Se puede ver que si la superficie avanza hacia el infinito y el potencial decrece más rápido que 1/R
(como por ejemplo en el caso de distribuciones localizadas), la integral en dS 0 se anula (o tiende a una
constante) obteniéndose Z
ρ (r0 )
φ (r) = Kc dV 0 + φ0
V R
que es la expresión para el potencial sin frontera (frontera en el ∞) cuando la distribución ρ (r 0 ) es
conocida en todo el espacio.
4. Esta ecuación requiere conocer ρ (r) en el volumen V y no en todo el espacio como se querı́a. Sin embar-
go, también requiere conocer φ y ∂n φ simultáneamente sobre la misma superficie, lo cual es en general
inconsistente o en el caso en que sea consistente es una sobredeterminación innnecesaria del problema.
Por tanto, este todavı́a no es un método práctico para evaluar φ. A continuación desarrollaremos un
formalismo para poder hacer uso real de las condiciones de frontera.
1
Si estamos justo en la frontera tampoco podemos aplicar este formalismo, puesto que el uso de las propiedades de la delta
solo es claro para puntos en el interior y exterior de la región. Sin embargo, el valor del potencial en la superficie es dado en el
caso de Dirichlet, y en el caso de Neumann se puede obtener recurriendo a la continuidad del potencial a menos que tengamos
cierto tipo de singularidades.
4.2. ECUACIÓN DE GREEN Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO 71
Z I 0 0
0
0
1
0
0 ∂φ (r )
0 ∂GN (r, r )
φ (r) = Kc ρ r GN r, r dV + GN r, r −φ r dS 0
V 4π S ∂n0 ∂n0
Z I 0
1
0 ∂φ (r ) 4π
φ (r) = Kc ρ r0 GN 0 0
r, r dV + GN r, r + φ r dS 0
0
4π S ∂n0 S
ZV I 0 I
1
0 ∂φ (r ) 1
φ (r) = Kc ρ r0 GN 0 0
r, r dV + GN r, r 0
0
dS + φ r0 dS 0
V 4π S ∂n S S
2
Obsérvese que si r está fuera del volumen V , la condición es compatible con el teorema de la divergencia, pero recordemos
que en este caso la solución para el potencial ya no es válida.
72 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
donde hφiS corresponde al valor promedio del potencial en la superficie, claramente este promedio es un
número (no una función) de modo que solo es una recalibración. De nuevo esta constante arbitraria aparece
debido a que las condiciones de Neumann no fijan el cero de potencial.
de modo que
GD (r2 , r1 ) = GD (r1 , r2 ) (4.5)
Para condiciones de Neumann no es automático pero se puede imponer.
Las expresiones para el potencial con condiciones de Neumann o Dirichlet Ecs. (4.3, 4.4), nos indican
que primero debemos encontrar la función de Green con las condiciones de frontera apropiadas. A priori
pareciera escasa la ganancia: hemos cambiado la ecuación de Poisson (1.11), por la ecuación de Green
(4.2), y las condiciones de frontera para el potencial las cambiamos por las condiciones de frontera para la
función de Green. No obstante, un análisis mas detallado nos muestra la ganancia: La ecuación de Poisson es
inhomogénea, y aunque la ecuación de Green también lo es, la ecuación para F (r, r 0 ) es homogénea ( y con
F encontramos G). Mas importante aún, para una determinada geometrı́a la ecuación de Poisson requerirı́a
un tratamiento diferente para diferentes formas de las distribuciones de carga y/o de las condiciones de
frontera (digamos de Dirichlet). En contraste, las condiciones de frontera de Green para una geometrı́a dada
3
Este uno no es adimensional y depende del sistema de unidades usado.
4.3. INTERPRETACIÓN DE LA FUNCIÓN DE GREEN EN ELECTROSTÁTICA 73
son las mismas, aunque la distribución de cargas en el volumen o de potenciales en la superficie, sea diferente
(digamos GS = 0 para Dirichlet sin importar la forma funcional de φ en la superficie, ni la distribución de
carga en el interior).
Para evaluar la función de Green podemos recurrir a la expansión de G en funciones ortonormales
apropiadas para la simetrı́a del sistema (ver sección 2.1), los coeficientes de la expansión se ajustan para
reproducir las condiciones de frontera. Por otro lado, la técnica de imágenes también nos puede proveer de
una solución muy elegante en ciertos casos especiales. Hay otros métodos tanto numéricos como analı́ticos
que no citaremos aquı́ [Ref. ????].
b−λ
y la función de Green asociada al operador O
h i
b − λ G r, r0 , λ = −δ r − r0
O
Las funciones propias linealmente independientes asociadas a un operador lineal hermı́tico forman una base
completa, además los valores propios son reales 4 . Usando la completez
X ∗ 0
δ r − r0 = ϕn r ϕn (r)
n
donde estamos asumiendo que los vectores propios están normalizados y ortogonalizados 5 . Aplicando com-
pletez a la función de Green
h i X
b − λ G r, r0 , λ = −
O ϕ∗n r0 ϕn (r)
n
X
0
G r, r , λ = Cn (λ) ϕ∗n r0 ϕn (r)
n
se obtiene X X
Cn (λ) [λn − λ] ϕ∗n r0 ϕn (r) = − ϕ∗n r0 ϕn (r)
n n
Esta solución de la función de Green no tiene en cuenta las condiciones de frontera, las cuales usualmente
se incluyen en las ϕnh. Esta expresión
i muestra la simetrı́a G (r, r 0 ) = G∗ (r0 , r). Este formalismo nos ayuda a
resolver la ecuación O b − λ ψ (r) = f (r) que es mas general que la ecuación de Poisson. También vale la
pena anotar que en la demostración solo requerimos que las funciones propias sean completas; el espectro
λn podrı́a ser complejo y el operador podrı́a no ser hermı́tico (pero si lineal).
d2 G (x, x0 )
2
= −4πδ x − x0
dx
veamos
d2 ξ 2
0 d ξ
2
= f (x) ⇒ G x, x 2
= G x, x0 f (x)
dx dx
por otro lado
d2 G (x, x0 ) 0
d2 G (x, x0 )
2
= −4πδ x − x ⇒ 2
ξ (x) = −4πξ (x) δ x − x0
dx dx
restando las dos últimas ecuaciones
d2 ξ d2 G (x, x0 )
G x, x0 2
− 2
ξ (x) = G x, x0 f (x) + 4πξ (x) δ x − x0
dx dx
intercambiando x ↔ x0 e integrando entre a y b en x0
Z b
d2 ξ (x0 ) d2 G (x0 , x)
G x0 , x 02
− ξ x0 02
− G x0 , x f x0 dx0
a dx dx
Z b
= 4πξ x0 δ x − x0 dx0
a
4.3. INTERPRETACIÓN DE LA FUNCIÓN DE GREEN EN ELECTROSTÁTICA 75
X∞
nπx X∞
nπx
G x, x0 = Cn x0 sin + Dn x0 cos
a a
n=1 n=0
nπx
recurriendo a la independencia lineal de sin a nos queda
nπ 2
0
4π nπx0
Cn x = sin
a a a
4a nπx0
Cn x0 = sin
n2 π a
P 0
nota: La simetrı́a G (x, x0 ) = G (x0 , x), puede sugerir la proposición G (x, x 0 ) = ∞ A
n=1 n sin nπx
a sin nπx
a
que simplifica un poco el problema.
2) Usando el teorema para funciones de Green enunciado en la sección (4.3.1), Ec. (4.6).
X ϕ∗ (r0 ) ϕn (r)
n
G r, r0 = 4π (4.7)
n
(λ − λn )
asociado a: b − λ G (r, r0 ) = −4πδ (r − r0 ) (en la demostración no aparece el factor 4π debido a que la
O
función de Green la definimos sin ese factor). Para nuestro caso Ob = d2 /dx2 , λ = 0
X ϕ∗ (r0 ) ϕn (r)
n
G r, r0 = −4π
n
λn
el conjunto √1 sin nπx
= ϕn (x) es un conjunto ortonormal de valores propios del operador d 2 /dx2 que
a a
cumplen las condiciones de frontera y es completo en el intervalo [0, a] 6 . Veamos cuales son los valores propios
nπx nπ 2 1 nπx
d2 1
√ sin = − √ sin
dx2 a a a a a
2
de modo que λn = − nπ a con lo cual la función de Green queda
h 0 i h i
X √1a sin nπx a
√1 sin nπx
a a
G r, r0 = −4π
nπ 2
n − a
X 0
nπx
0
4a 1 nπx
G r, r = sin sin
π n n2 a a
una solución válida para las dos regiones es el producto de las dos anteriores (recordemos que esta es la
motivación para introducir la notación de x > , x< ).
G x, x0 = Ga x, x0 Gb x, x0 = −A0 x0 A x0 x< (a − x> )
pero el factor −A0 (x0 ) A (x0 ) se puede absorber en una sola constante C (x 0 ) ≡ −A0 (x0 ) A (x0 ), y la función
de Green se escribe
G x, x0 = C x0 x< (a − x> )
sin embargo, debemos tener presente que la solución encontrada es solo para la parte homogénea (x 6= x 0 )
la constante C (x0 ) debe contener la información sobre la parte inhomogénea. Para tener en cuenta la parte
inhomogénea, integramos la ecuación diferencial entre x = x 0 − ε, y x = x0 + ε, después se hace ε → 0+ .
Z x=x0 +ε 2 Z x=x0 +ε
d G (x, x0 )
dx = −4π δ x − x0 dx
x=x0 −ε dx2 x=x0 −ε
0
dG (x, x0 ) x=x +ε
0 = −4π
dx x=x −ε
dG (x, x0 ) dG (x, x0 )
dx 0 − dx 0 = −4π
x=x +ε x=x −ε
dG(x,x0 )
Es decir que dx es discontinua en x = x0 . Reemplazando nuestra solución
d d
0
C x x< (a − x> ) − C x x< (a − x> )
0
= −4π
dx 0
x=x +ε dx x=x0 −ε
donde se ha tomado el lı́mite cuando ε → 0 + . De la última expresión se obtiene C = 4π/a en este caso C
resultó independiente de x0 . La solución para la función de Green es:
4π
G x, x0 = x< (a − x> ) (4.8)
a
podemos verificar la simetrı́a de G (x, x 0 ) en la expresión (4.8). Si por ejemplo x > x 0 entonces x = x> y
x0 = x< , en cuyo caso esta función queda
4π 0
G x, x0 = x (a − x) ; x > x0
a
no obstante, si intercambaimos a x, x 0 es claro que x sigue siendo el mayor y x 0 sigue siendo el menor, de
modo que G (x, x0 ) = G (x0 , x).
78 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
usemos las funciones propias ϕnm (r) = √1 sin αn x sin βm y, del operador ∇2 en dos dimensiones8 . Deter-
ab
minemos sus valores propios
∂2 ∂2 1
+ √ sin αn x sin βm y
∂x2 ∂y 2 ab
2 2
1
= − αn + βm √ sin αn x sin βm y
ab
Lo valores propios son − α2n + βm 2 . Ahora bien, para que las funciones propias satisfagan la condición de
frontera es necesario sin αn a = 0, sin βm b = 0, lo cual nos da αn a = nπ, βm b = mπ, de modo que
nπ mπ
αn = ; βm =
a b
la función de Green queda
h ih i
X √1 sin αn x0 sin βm y 0 √1 sin αn x sin βm y
0 ab ab
G r, r = 4π
n,m
(α2n + βm
2 )
0
4π X [sin αn x0 sin βm y 0 ] [sin αn x sin βm y]
G r, r =
ab n,m (α2n + βm 2 )
La parte en x, x0 es simétrica y satisface las condiciones de frontera. Nos queda por tanto evaluar F n (y, y 0 ),
a partir de la ecuación de Green
2
∂ ∂2 0 0
0
0
+ G x, x , y, y = −4πδ x − x δ y − y
∂x2 ∂y 2
"X ∞
#
∂2 ∂2 0 0
+ sin αn x sin αn x Fn y, y
∂x2 ∂y 2
n=1
"∞ #
4π X
= − sin αn x sin αn x δ y − y 0
0
a n=1
de modo que
∞
X
0 ∂ 2 Fn (y, y 0 )
sin αn x sin αn x −α2n Fn 0
y, y +
∂y 2
n=1
"∞ #
4π X
= − sin αn x sin αn x δ y − y 0
0
a n=1
∂ 2 Fn (y, y 0 ) 4π
−α2n Fn y, y 0 + 2
= − δ y − y0
∂y a
4π
∂y2 − α2n Fn y, y 0 = − δ y − y 0
a
De nuevo nos concentramos primero en la solución homogénea cuando y 6= y 0 , la cual tiene la forma general
Fn (y, y 0 ) = A (y 0 ) cosh αn y + B (y 0 ) sinh αn y
a) Si y < y 0 se cumple G = 0 en y = 0 ⇒ Fn1 = 0 en y = 0. de modo que Fn1 (y, y 0 ) = Bn1 (y 0 ) sinh αn y
que se puede escribir como
Fn1 y, y 0 = Bn1 y 0 sinh αn y<
b) Para y > y 0 G = 0 en y = b
Fn2 y, y 0 = Cn2 y 0 sinh αn (b − y)
Fn2 y, y 0 = Cn2 y 0 sinh αn (b − y> )
donde de nuevo hemos absorbido dos constantes en una. La constante C se evalúa de nuevo integrando la
ecuación diferencial en una vecindad de la región inhomogénea
Z y=y 0 +ε Z y=y 0 +ε
4π
∂y2 − α2n Fn y, y 0
dy = − δ y − y0 dy
y=y 0 −ε a y=y 0 −ε
Z y=y 0 +ε Z y=y 0 +ε Z y=y0 +ε
4π
∂y2 Fn dy − α2n Fn dy = − δ y − y0 dy
y=y 0 −ε y=y 0 −ε a y=y 0 −ε
si la función Fn (y, y 0 ) es continua y acotada la integral sobre la función tiende a cero cuando ε → 0 (no
ası́ la integral de su segunda derivada)
0 +ε 4π
∂y Fn |y=y
y=y 0 −ε = − a
80 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
válida para y 6= y 0 . Asumimos separación de variables: G = A (x, x 0 ) B (y, y 0 ) reemplazando y dividiendo por
AB
2
∂ ∂2
∂x 2 + ∂y 2 A (x, x0 ) B (y, y 0 )
= 0
h 2 i ABh i
∂ ∂2
∂x2
A (x, x0 ) B (y, y 0 ) + A (x, x0 ) ∂y 0
2 B (y, y )
= 0
AB
∂x2 A ∂y2 B
+ = 0
A B
∂x2 A ∂y2 B
=− = −α2
A B
donde α es una constante, las ecuaciones diferenciales quedan
∂x2 A x, x0 + αA x, x0 = 0 ; ∂y2 B y, y 0 − αB y, y 0 = 0
la segunda ecuación se puede escribir también como combinación lineal de senos y cosenos hiperbólicos, la
solución general es entonces
G x, x0 , y, y 0 = C1 x0 eiαx + C2 x0 e−iαx D1 y 0 exp (αy) + D2 y 0 exp (−αy)
y la función de Green es
G x, x0 , y, y 0 = C1 x0 eiαx + C2 x0 e−iαx K y 0 sinh αy< sinh α (b − y> )
Para determinar las constantes C1 (x0 ) , C2 (x0 ) tenemos en cuenta que G = 0 en x = 0 ⇒ C2 (x0 ) =
−C1 (x0 ); con G = 0 en x = a ⇒ sin αa = 0, la solución para x queda
nπ
An x, x0 = Cn x0 sin αn x ; αn =
a
y un conjunto de soluciones para la función de Green es
Gn x, x0 , y, y 0 = Cn x0 Kn y 0 sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> )
82 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
recordemos que por ahora estamos solucionando solo la parte homogénea, y recordando que la superposición
de soluciones es también solución (principio de superposición solo válido para la parte homogénea), entonces
la solución más general es una superposición de las soluciones ya encontradas
X
G x, x0 , y, y 0 = Cn x0 Kn y 0 sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> )
n
" #
X
−α2n Cn x Kn y sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> )
0 0
n
X
+ Cn x0 Kn y 0 sin αn x ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )]
n
∞
4π X
= − δ y − y0 sin αn x sin αn x0
a n=1
X
Cn x0 Kn y 0 sin αn x −α2n sinh αn y< sinh αn (b − y> ) + ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )]
n
∞
4π X
= − δ y − y0 sin αn x sin αn x0
a
n=1
de nuevo esta forma de la función de Green (al menos la parte en x) se pudo haber supuesto desde el principio
usando la simetrı́a G (x, x0 , y, y 0 ) = G (x0 , x, y, y 0 ) 10 . El factor Rn (y 0 ) contiene la información de la parte
10
Nótese sin embargo que estrictamente hablando, la simetrı́a nos dice que G (r, r0 ) = G∗ (r0 , r) que en realidad equivale a
invertir todas las coordenadas simultáneamente. Esto no nos garantiza que una función de Green real sea simétrica cuando se
invierte una coordenada solamente. Sin embargo, este ansatz es consistente en la mayorı́a de los casos
4.4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES 83
Rn y 0 −α2n sinh αn y< sinh αn (b − y> ) + ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )]
4π
= − δ y − y0
a
Z y=y 0 +ε Z y=y 0 +ε
0
−Rn y α2n sinh αn y< sinh αn (b − y> ) dy + Rn y 0
∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] dy
y=y 0 −ε y=y 0 −ε
Z y=y 0 +ε
4π
= − δ y − y0
a y=y 0 −ε
4π
Rn −αn sinh αn y 0 cosh αn b − y 0 − αn cosh αn y 0 sinh αn b − y 0 = −
a
0 0
0 0
4π
Rn αn sinh αn y cosh αn b − y + cosh αn y sinh αn b − y =
a
4π
Rn αn sinh αn b cosh2 αn y 0 − sinh2 αn y 0 =
a
4π
Rn αn sinh αn b =
a
resultando
4π
Rn =
a αn sinh αn b
y la función de Green se escribe
0
la proposición en la parte contı́nua de la forma e ik(x−x ) está inspirada en la propiedad G (x, x 0 , y, y 0 ) =
G∗ (x0 , x, y 0 , y) teniendo en cuenta que el intercambio y ↔ y 0 deja invariante a la función de Green de
acuerdo con la forma propuesta. Usamos las relaciones de completez
Z ∞
1
0
∞
ik(x−x0 ) 0
1X nπ
δ x−x = e dk ; δ y − y = sin βn y sin βn y 0 ; βn ≡
2π −∞ a n=1 b
Se deja al lector la tarea de encontrar una base de funciones propias del operador ∂ x2 + ∂y2 que posea una
parte discreta y otra contı́nua.
La solución es
Fn1 x, x0 = Cn eαn x< e−αn x> = Cn e−αn (x> −x< )
al integrar en la vecindad de la inhomogeneidad en la ecuación se obtiene
2π
Cn =
bαn
resultando
∞
2π X sin βn y sin βn y 0 e−αn (x> −x< )
G x, x0 , y, y 0 =
b αn
n=1
X∞ 0
2π sin βn y sin βn y 0 e−αn |x−x |
G x, x0 , y, y 0 =
b n=1
αn
Anotaciones generales
1. Hemos visto varias estrategias para calcular funciones de Green, que podemos numerar ası́:
2. Con fronteras en el infinito, es recomendable usar espectros contı́nuos de funciones base. En particular,
la representación exponencial contı́nua es de amplio uso en virtud del lema de Riemann-Lebesgue que
nos dice que
Z b
lı́m e±ikx F (k) dk = 0
x→∞ a
ası́ como la representación adecuada de la delta de Dirac en estas coordenadas. Para esto es necesario tener
en cuenta que la distribución debe cumplir la propiedad fundamental
Z
δ r − r0 d(n) r = 1
V
siempre que r0 esté dentro del volumen. n se refiere a la dimensión del espacio en cuestión que en nuestro
caso es n = 2, en coordenadas polares un diferencial de área d 2 r se escribe en la forma dS = ρ dρ dϕ.
Teniendo en cuenta que Z Z
δ ρ − ρ dρ = δ ϕ − ϕ0 dϕ = 1
0
podemos escribir
Z Z Z Z
0
0
1 = δ ρ − ρ dρ δ ϕ − ϕ dϕ = δ ρ − ρ0 δ ϕ − ϕ0 dρ dϕ
Z Z Z
δ (ρ − ρ0 ) 0
1 = δ ϕ−ϕ ρ dρ dϕ = δ r − r0 dS
ρ V
"∞ #
∂ X
sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0
∂ρ n=1
( "∞ #)
∂2 X 0 0
+ρ sin αn ϕ sin αn ϕ Fn ρ, ρ
∂ρ2
n=1
"∞ #
1 ∂ 2 X
0 0
+ sin αn ϕ sin αn ϕ Fn ρ, ρ
ρ ∂ϕ2
n=1
∞
4π X
= − δ ρ − ρ0 sin αn ϕ sin αn ϕ0
β
n=1
∞
X
sin αn ϕ sin αn ϕ0 ∂ρ Fn ρ, ρ0
n=1
X∞
+ ρ sin αn ϕ sin αn ϕ0 ∂ρ2 Fn ρ, ρ0
n=1
X∞
1 2
− αn sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0
n=1
ρ
∞
4π X
= − δ ρ − ρ0 sin αn ϕ sin αn ϕ0
β
n=1
∞
X
0 0
1
sin αn ϕ sin αn ϕ ∂ρ Fn ρ, ρ + ρ∂ρ2 Fn ρ, ρ − α2n Fn ρ, ρ0
0
ρ
n=1
∞
4π X
= − δ ρ − ρ0 sin αn ϕ sin αn ϕ0
β n=1
resultando
1 4π
∂ρ Fn ρ, ρ0 + ρ∂ρ2 Fn ρ, ρ0 − α2n Fn ρ, ρ0 = − δ ρ − ρ0
ρ β
1 4π
ρ∂ρ2 + ∂ρ − α2n Fn ρ, ρ0 = − δ ρ − ρ0
ρ β
88 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
1. Para ρ < ρ0 , G = 0 en ρ = 0 ⇒ Fn1 (ρρ0 ) = An1 (ρ0 ) ραn = An1 (ρ0 ) ρα<n
h αn i h αn i
α ρ> α n
2. Para ρ > ρ0 , G = 0 en ρ = R ⇒ Fn1 (ρρ0 ) = An2 (ρ0 ) Rρ n − Rρ = An2 (ρ0 ) R − R
ρ>
Esta solución abarca como casos particulares al sector circular recto (β = π/2) y al semicı́rculo (β = π).
Adicionalmente, si tomamos R → ∞ obtenemos
∞
0 0
2π X sin αn ϕ sin αn ϕ0 ρ< αn
G ρ, ρ , ϕ, ϕ =
β n=1 αn ρ>
que abarca en particular al cuadrante y al semiplano. A priori estarı́amos tentados a pensar que el cı́rculo
se puede generar con β = 2π, y el plano con β = 2π, R → ∞. Sin embargo, es importante enfatizar que ni
el cı́rculo completo ni el plano se pueden generar de esta forma, como se explica en el siguiente problema.
Problem 9 Cı́rculo de radio R. Evaluar G para condiciones de Dirichlet. En este caso no hay condiciones
de frontera para ningún valor de ϕ, por tanto el uso exclusivo de senos es inadecuado, por tanto es necesario
0
el uso de senos y cosenos, o equivalentemente, se puede usar e im(ϕ−ϕ ) con lo cual se propone
∞
X
0
G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0 = eim(ϕ−ϕ ) Fm ρ, ρ0
m=−∞
es inconsistente ya que G no es necesariamente cero en ρ = 0 puesto que este punto no hace parte de la
frontera. Se necesitan de nuevo senos y cosenos en ρ.
a cero cuando r → ∞ tenemos que esta es justamente la función de Green para espacio infinito (frontera
en el infinito). Recordemos que esta fué la primera función de Green que nos encontramos en el camino
ası́ como la más simple.
4.5. PROBLEMAS 89
Podemos encontrar un representación de fourier de esta función de Green usando la ecuación de Green
y suponiendo una solución de la forma
Z ∞
0
G r, r0 = A (k) eik·(r−r ) d3 k
−∞
Z ∞ Z ∞
2 ik·(r−r0 ) 3 1 0
k A (k) e d k = − 2 eik·(r−r ) d3 k ⇒
−∞ 2π −∞
1
A (k) =
2π 2 k 2
la función de Green queda
Z ∞ 0
1 eik·(r−r ) 3
G r, r0 = 2 d k
2π −∞ k2
Una integración por polos nos da que esta integral equivale a
1
G r, r0 =
|r − r0 |
lo cual muestra la consistencia del procedimiento.
4.5. Problemas
2
1) Considere una lı́nea recta infinita. Evalúe la función de Green a partir de la ecuación ddxG2 = −4πδ (x − x0 ).
Nótese que no es posible satisfacer las condiciones de frontera utilizando sumatoria en senos y cosenos pues
este sistema no es completo cuando el intervalo tiende a infinito, en tal caso se debe utilizar una expansión
contı́nua. Elijamos la expansión
Z ∞ Z ∞
0
ik(x−x0 ) 0
1 0
G x, x = g (k) e dk ; δ x − x = eik(x−x ) dk
−∞ 2π −∞
introduciendo estas expansiones en la función de Green
Z ∞ Z ∞
d2 G 2 ik(x−x0 ) 1 0
2
=− k g (k) e dk = −4π eik(x−x ) dk ⇒
dx −∞ 2π −∞
Z ∞ Z ∞
0 0
k 2 g (k) eik(x−x ) dk = 2 eik(x−x ) dk
−∞ −∞
la independencia lineal de las funciones nos permite igualar coeficientes
2
k 2 g (k) = 2 ⇒ g (k) =
k2
la función de Green queda Z
∞
0 2 ik(x−x0 )
G x, x = e dk
−∞ k2
la condición de frontera G → 0 cuando x → ±∞ se garantiza a través del lema de Riemann-Lebesgue
Z b Z b
±ikx
lı́m g (k) e dk = 0 si |g (k)| dk < ∞ y existe
x→±∞ −a −a
90 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
de modo que g (k) es absolutamente integrable y se cumple el lema. Esta integral se puede calcular por
polos.
——————————————————————-
2) Evalúe G para un paralelepı́pedode lados a, b, c con condiciones de Dirichlet, usando triple suma de
senos y doble suma de senos
a) Usando triple suma de senos
X
G x, x0 = Cmnl sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 sin γl z sin γl z 0
n,m,l
nπ mπ lπ
αn = , βm = , γl =
a b c
los valores de αn , βm , γl garantizan las condiciones de frontera para G. el laplaciano aplicado a G queda
X
∂2 ∂2 ∂2
+ + G x, x0 = − α2n + βm
2
+ γl2 Cmnl
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
n,m,l
× sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 sin γl z sin γl z 0
1X 1X
δ x − x0 = sin αn x sin αn x0 ; δ y − y 0 = sin βm y sin βm y 0
a n b m
1X
δ z − z0 = sin γl z sin γl z 0
c
l
definimos W ≡ sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 sin γl z sin γl z 0 e introduciendo las expansiones en la función
de Green
X 4π X
− α2n + βm
2
+ γl2 Cmnl W = − W
abc
n,m,l n,m,l
4π 4π
α2n + βm
2
+ γl2 Cmnl = ⇒ Cmnl = 2 + γ2
abc abc α2n + βm l
resultando 0
dFnm z=z +ε 4π dFnm dFnm 4π
=− ⇒ − =−
dz z=z 0 −ε ab dz z=z 0 +ε dz z=z 0 −ε ab
cuando z = z 0 + ε ⇒ z = z> y z 0 = z< . En el caso z = z 0 − ε ocurre lo contrario
d d 4π
ρnm sinh γnm z 0 sinh γnm (c − z) − ρnm sinh γnm z sinh γnm c − z 0 = −
dz dz ab
d [sinh γnm (c − z)]
0 d [sinh γnm z] 4π
ρnm sinh γnm z 0 0 − ρnm sinh γnm c − z 0 = −
dz z=z +ε dz z=z −ε ab
4π
−γnm ρnm sinh γnm z 0 cosh γnm c − z 0 − γnm ρnm sinh γnm c − z 0 cosh γnm z 0 = −
ab
0 0
0
0
4π
γnm ρnm sinh γnm z cosh γnm c − z + sinh γnm c − z cosh γnm z =
ab
donde hemos apelado a la continuidad de las funciones hiperbólicas para ignorar ε cuando este parámetro
tiende a cero. Usando identidades trigonométricas hiperbólicas
sinh a cosh (b − a) + sinh (b − a) cosh a = cosh2 a − sinh2 a sinh b = sinh b
92 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
4π
γnm ρnm sinh γnm c =
ab
quedando finalmente
4π
ρnm =
γnm ab sinh γnm c
Con esto ya tenemos la forma completa de la función de Green
X 4π sinh γnm z< sinh γnm (c − z> )
G x, x0 = sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0
n,m
γ nm ab sinh γ nm c
————————————————————-
3) Encontrar la función de Green para una región bidimensional definida por 0 ≤ ϕ ≤ β, y 0 ≤ ρ < ∞.
La ecuación para G en coordenadas polares es
∂ 2 G 1 ∂G 1 ∂2G 4π
+ + = − δ ρ − ρ0 δ ϕ − ϕ0
∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ρ
∂ G ∂G 1 ∂ 2 G
2
ρ 2 + + = −4πδ ρ − ρ0 δ ϕ − ϕ0
∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2
las condiciones de Dirichlet exigen que G = 0 en ϕ = 0, β y en ρ = 0 y ρ → ∞. La condición para ϕ puede
ser satisfecha para una serie de senos. Entonces escribimos G de la forma
∞
X nπ
G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0 = sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0 ; αn =
n=1
β
P
usando completez para expandir δ (ϕ − ϕ 0 ) = β1 ∞ 0
n=1 sin αn ϕ sin αn ϕ en introduciendo estas expansiones
en la ecuación de Green
∞
X 2 ∞
0 d Fn 1 dFn α2n 4π 0
X
sin αn ϕ sin αn ϕ + − F n = − δ ρ − ρ sin αn ϕ sin αn ϕ0
dρ2 ρ dρ ρ2 β
n=1 n=1
d2 Fn dFn α2n 4π
ρ + − Fn = − δ ρ − ρ 0 ⇒
dρ2 dρ ρ β
d dFn α2n 4π
ρ − Fn = − δ ρ − ρ 0
dρ dρ ρ β
4π 2π
2αn Cn = ⇒ Cn =
β αn β
por ser funciones contı́nuas en la vecindad de ρ 0 hemos evaluado ambas en ρ0 y no en ρ0 + ε cuando ε → 0.
La función de Green queda
∞
0 0
2π X sin αn ϕ sin αn ϕ0 ρ< αn
G ρ, ρ , ϕ, ϕ =
β αn ρ>
n=1
∂G X
= anm βm sin αn ϕ sin αn ϕ0 cos βm ρ sin βm ρ0
∂ρ n,m
∂2G X
2
= − anm βm sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin βm ρ sin βm ρ0
∂ρ2 n,m
∂2G X
= − anm α2n sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin βm ρ sin βm ρ0
∂ϕ2 n,m
4π X
=− sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin βm ρ sin βm ρ0 ⇒
βR n,m
94 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
X 4π X
βm cos βm ρ − α2n + βm
2
sin βm ρ anm sin βm ρ0 = − sin βm ρ sin βm ρ0
m
βR m
dado que el coseno y el seno son funciones linealmente independientes, no es posible encontrar una expresión
para el coeficiente anm que dependa exclusivamente de m y n como se propone al suponer la solución de G;
luego la solución propuesta es inconsistente.
La inconsistencia en la solución está relacionada con la singularidad asociada a la frontera en ρ → 0
(chequear).
—————————————————————
5) Para la cuña con R → ∞, ¿es posible escoger?
X∞ Z ∞
0
G= sin αn ϕ sin αn ϕ an (k) exp ik ρ − ρ0 dk ?
n=1 −∞
X∞ Z ∞
∂2G 0
2
= − sin αn ϕ sin αn ϕ k 2 an (k) exp ik ρ − ρ0 dk
∂ρ −∞
n=1
∞ Z ∞
2
1 ∂ G 1 X 2 0
2 2
= − 2 αn sin αn ϕ sin αn ϕ an (k) exp ik ρ − ρ0 dk
ρ ∂ϕ ρ −∞
n=1
La solución es en general compleja. Pero de acuerdo con esta ecuación, F k (ϕ, ϕ0 ) dependerı́a de ρ contradi-
ciendo la hipótesis. Por tanto la solución planteada es inconsistente.
——————————————————-
7) Sea un cı́rculo de radio R, evalúe G con condiciones de Dirichlet.
Dado que no hay condiciones de frontera para ϕ (excepto por la exigencia de periodicidad 2π en ϕ) y
teniendo en cuenta que para R no hay condición de frontera en R = 0 puesto que este punto no es de la
frontera, no podemos hacer una expansión en senos ni podemos generarlo como caso particular de la cuña
con β = 2π. Usaremos entonces una expansión en senos y cosenos o equivalentemente en exp [im (ϕ − ϕ 0 )]
∞
X
G= Fm ρ, ρ0 exp im ϕ − ϕ0
m=−∞
m 0 m m
d
0 m ρ m R d m ρ R
ρ Cm ρ − − ρ Cm ρ − = −2
dρ R ρ ρ=ρ0 +ε dρ R ρ0 ρ=ρ0 +ε
0 m m
m mρm−1 mRm ρ R
ρCm ρ0 + − C m ρ − mρ m−1
= −2
Rm ρm+1 ρ=ρ0 +ε R ρ0 ρ=ρ0 +ε
" # " #
m (ρ0 )2m m m (ρ0 )2m m
Cm + mR − Cm − mR = −2
Rm Rm
96 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ÓN DE POISSON EN ELECTROSTÁTICA
1
2mCm Rm = −2 ⇒ Cm = −
mRm
la solución para G será entonces
∞
X m ρ m
0 0
ρm
< R >
G ρ, ρ , ϕ, ϕ = m
− exp im ϕ − ϕ0
m=−∞
mR ρ> R
———————————————————
8) Para el caso anterior, pruebe que las dos formas siguientes no son consistentes
∞
X ∞
X
G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0 = Amn sin βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0
n=1 m=−∞
X∞
G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0 = sin βm ρ sin βm ρ0 Fm ϕ, ϕ0
m=1
a) usando la primera forma y las expansiones para los deltas de Dirac, la ecuación de Green
1 ∂ ∂G 1 ∂2G
ρ + 2 2
= −4πδ ρ − ρ0 δ ϕ − ϕ0
ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
queda " ∞ ∞ #
1 ∂ X X
ρ βn Amn cos βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0
ρ ∂ρ n=1 m=−∞
(∞ ∞ ) ∞ ∞
1 X X 2 0
0
4π X X
− 2 Amn m sin βn ρ sin βn ρ exp im ϕ − ϕ =− sin βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0
ρ m=−∞
2πR m=−∞
n=1 n=1
entonces
∞
X ∞
X
1 1
βn Amn cos βn ρ − βn Amn sin βn ρ − 2 Amn m sin βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0
2 2
m=−∞
ρ ρ
n=1
∞ ∞
4π X X
=− sin βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0
2πR m=−∞ n=1
pero no podemos igualar coeficientes recurriendo a la independencia lineal en las funciones de ρ, ρ 0 debido a
la aparición del factor cos βn ρ, esto a su vez está ligado al hecho de que en coordenadas polares, el laplaciano
posee primeras derivadas en ρ lo cual no ocurre cuando utilizamos coordenadas cartesianas, una expresión
análoga se obtiene con la segunda forma de expandir G.
————————————————————-
9) La función de Green de Dirichlet para el espacio semiinfinito definido por −∞ < y < ∞, −∞ < z < ∞,
x ≥ 0. Está dada por
Z Z
1 ∞ ∞ sinh γx< exp {i [ky (y − y 0 ) + kz (z − z 0 )] − γx> }
G r, r0 = dky dkz
π −∞ −∞ γ
γ 2 ≡ ky2 + kz2
4.5. PROBLEMAS 97
con base en este resultado, calcule el potencial debido a una placa plana infinita a potencial V , asumiendo
que no hay cargas en x > 0.
El potencial dentro de la región donde ha sido calculado G viene dado por
Z I
1 ∂G (r, r0 )
φ (r) = ρ r0 G r, r0 d3 r0 − φ r0 0
dS 0
V 4π ∂n
S
en nuestro caso ρ (r0 ) = 0 debido a la ausencia de cargas en la región de interés. El potencial se reduce a
I 0
1
0 ∂G (r, r )
φ (r) = − φ r dS 0
4π ∂n0
S
la superficie que limita la región donde fué calculada G se puede pensar como una semiesfera de radio
infinito cuya base es el plano Y Z donde está la placa, y el eje X es el eje de simetrı́a de dicha semiesfera.
Sin embargo, solo la base o superficie donde se encuentra la placa contribuye a la integral de superficie, ya
que ∂G/∂n0 = 0 cuando alguna de las variables tiende a infinito, lo cual se puede chequear a través de las
derivadas parciales ∂G/∂xi . Luego solo S10 (el plano Y Z) contribuye a la integral. El vector n 0 es un vector
perpendicular a dicha superficie saliendo del volumen donde se calculó G, por tanto n 0 = −ux y la condición
de frontera en la derivada direccional se convierte en
∂G ∂G
=−
∂n0 ∂x0 x0 =0
como x0 = 0 a lo largo de toda la integración, se tiene que x 0 = x< puesto que x ≥ 0. De esta forma la
derivada direccional en la superficie es
Z ∞Z ∞
∂G 1 ∂ sinh γx0 exp {i [ky (y − y 0 ) + kz (z − z 0 )] − γx}
− 0 = − 0
dky dkz
∂x x0 =0 π ∂x −∞ −∞ γ 0
Z ∞Z ∞ x =0
∂G 1
− = − cosh γx0 exp i ky y − y 0 + kz z − z 0 − γx dky dkz
∂x0 x0 =0 π −∞ −∞ x0 =0
Z ∞Z ∞
∂G 1
− 0 = − exp i ky y − y 0 + kz z − z 0 − γx dky dkz
∂x x0 =0 π −∞ −∞
por otro lado φ (x0 ) = V sobre S10 y dS10 = dz 0 dy 0 , la expresión para el potencial queda entonces
Z ∞Z ∞Z ∞Z ∞
V 0
0
φ (r) = exp i k y y − y + k z z − z − γx dky dkz dz 0 dy 0
4π 2 −∞ −∞ −∞ −∞
Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞
V 0
0 0
0
φ (r) = exp −ikz z dz exp −iky y dy [exp {i [ky y + kz z] − γx}] dky dkz
4π 2 −∞ −∞ −∞ −∞
Z ∞ Z ∞ Z ∞
2πV 0
0
φ (r) = δ (kz ) exp −iky y dy [exp {i [ky y + kz z] − γx}] dky dkz
4π 2 −∞ −∞ −∞
y recordadno la definición de γ
Z ∞Z ∞ h n q oi
φ (r) = V δ (ky ) δ (kz ) exp i [ky y + kz z] − ky2 + kz2 x dky dkz
Z−∞∞
−∞
h q i
φ (r) = V δ (ky ) exp iky y − ky2 x dky
−∞
????????????????? es bueno revisar si es cierto que la integral de superficie sobre el resto de la semiesfera se
anula.
—————————————————-
10) Calcule G para el ortoedro de altura semi infinita (0 ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).
Si proponemos una solución de la forma
X nπ mπ
G= Fmn z, z 0 sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 ; αn = ; βm =
m,n
a b
esta solución garantiza las condiciones de frontera en X e Y . La ecuación de Green en coordenadas cartesianas
queda
X d2 Fmn
4π X
2
− γmn Fmn sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 = − δ z − z 0
2
sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0
m,n
dz ab m,n
d2 Fmn 2 4π 0
− γ mn F mn = − δ z − z
dz 2 ab
resolvemos la homogénea z 6= z 0 , su solución general es Fmn = A exp (γmn z) + B exp (−γmn z)
a) z < z 0 ⇒ G = 0 cuando z = 0 ⇒ Fmn = A1 sinh γmn z<
b) z > z 0 ⇒ G = 0 cuando z → ∞ ⇒ Fmn = A2 exp (−γmn z> )
la solución en ambos intervalos es
Fmn z, z 0 = Cmn sinh γmn z< exp (−γmn z> )
d d 4π
Cmn 0
sinh γmn z exp (−γmn z) − sinh γmn z exp −γmn z 0
= −
dz z=z 0 +ε dz z=z 0 −ε ab
n o 4π
Cmn −γmn sinh γmn z 0 exp (−γmn z)z=z 0 +ε − γmn cosh γmn z exp −γmn z 0 z=z 0 −ε = −
ab
0
0
4π
−Cmn γmn exp −γmn z sinh γmn z + cosh γmn z = −
ab
4π
Cmn γmn exp −γmn z 0 exp γmn z 0 =
ab
4π
Cmn =
abγmn
la función de Green es
4π X sinh γmn z< exp (−γmn z> ) sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0
G=
ab m,n γmn
esta es la solución para un orotedro de base (a, b) cuya base inferior está sobre el plano XY y con 0 ≤ z ≤ ∞.
Sin embargo, si la altura va desde −∞ ≤ z ≤ ∞ la solución de G toma otra forma.
——————————————-
9) Calcule G para el ortoedro de altura infinita (−∞ ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).
4.5. PROBLEMAS 99
Se podrı́a usar la misma forma funcional del problema anterior, la función F mn cumple la misma ecuación
diferencial pero con diferentes condiciones de frontera. En lugar de ello, usaremos la expansión
Z ∞
X 0
G x, x0 , y, y 0 , z, z 0 = sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 anm (k) eik(z−z ) dk
m,n −∞
2 2
α2n + βm
2
+ k 2 anm (k) = ⇒ a (k) = anm (k) = 2 2 + k2)
ab ab (αn + βm
y la función de Green queda finalmente
X Z ∞ 0
0 0 0
0 0 2eik(z−z ) dk
G x, x , y, y , z, z = sin αn x sin αn x sin βm y sin βm y
m,n −∞ ab (α2n + βm
2 + k2 )
resultando
αn 0 αn αn
ρ 0 αn a ρ R
Cn αn − 0
+
a ρ R ρ0
0 αn αn 0 αn αn
ρ a ρ R 4π
−Cn αn + − =−
a ρ0 R ρ0 β
simplificando αn
R a αn 4π 2π
2Cn αn − = ⇒ Cn = Cn = h i
a R β R αn a αn
βαn a − R
———————————————————————
10) Para la geometrı́a anterior, asumamos una densidad lineal de carga en un segmento de arco de radio
c. Los potenciales a lo largo de l1 , l2 , l3 , l4 son 0, V2 , V, V1 respectivamente. Encuentre el potencial en el
interior de la región.
La carga total viene dada por
β
q= (2πrλ) = βrλ = βcλ
2π
donde c es el radio de la cuña.
Z R Z 2π Z
dϕ qδ (r − c)
q=q δ (r − c) dr = (c dr dϕ)
a 0 2π 2πc
la densidad superficial equivalente es
qδ (r − c) βcλδ (r − c) βλδ (r − c)
σ= = =
2πc 2πc 2π
con esta densidad de carga y conociendo G y φ en la superficie se tiene
Z I
0
0
0 1 ∂G
φ (r) = ρ r GD r, r dV − φs r0 dS 0
4π ∂n0
en nuestro caso bidimensional, la primera integral será de superficie y la segunda de lı́nea
Z ∞ αn αn
βλδ (r 0 − c) X 0 ρ < αn a ρ > αn R
φ (r) = Kn sin αn ϕ sin αn ϕ − − r 0 dr 0 dϕ0
2π a ρ< R ρ>
n=1
Z Z Z Z I
1
0 ∂G 0 0
0 1
0 ∂G
− φ r dl 1 + + + G D r, r dV − φ s r dS 0
4π l1 ∂n0 l2 l3 l4 4π ∂n0
donde l1 es el segmento radial correspondiente a ϕ = 0. l 2 es el segmento de arco para r = R y l3 , l4
corresponden a segmento radial con ϕ = β y segmento de arco con r = a respectivamente. La integral sobre
l1 se anula puesto que ϕ0 = 0. Evaluamos primero la integral en ϕ 0
Z R ∞ Z β
βλδ (r 0 − c) X
[] . . . r 0 dr 0 Kn sin αn ϕ sin αn ϕ0 dϕ0
a 2π 0 n=1
la integral en ϕ0 es
∞ Z
X β ∞
X Kn sin αn ϕ
Kn sin αn ϕ sin αn ϕ0 dϕ0 = [1 − cos αn β] (4.12)
n=1 0 n=1
αn
4.5. PROBLEMAS 101
para hacer la integral en r 0 se parte el intervalo entre a y R en r 0 < r y r 0 > r. Para r < c ⇒se anula la
integral en el intervalo a ≤ r 0 ≤ r. Para r > c ⇒se anula la integral en el intervalo r < r 0 ≤ R.
a) Para r < c
Z R 0 αn αn
βλ h r αn a αn i 0 r R
δ r0 − c − r − 0
dr 0
a 2π a r R r
αn
βλ h r αn a αn i c αn R
= − c − (4.13)
2π a r R c
b) Para r > c
Z r 0 αn αn
βλ 0
r a αn 0 r αn R
δ r −c − 0 r − dr 0
a 2π a r R r
αn
βλ h c αn a αn i r αn R
= − c − (4.14)
2π a c R r
R ∂G
Calculemos φ (r0 ) ∂n
l2
0 0
0 dl2 . En tal caso r = R de modo que r > r
0
X h r αn a αn i 2α
∂G ∂G 0 n
0 = 0 = Kn sin αn ϕ sin αn ϕ −
∂n r0 =R ∂r r0 =R a r R
Z X ∞ h r αn a αn i 2α
n
= V2 Kn sin αn ϕ sin αn ϕ0 − R dϕ0
l2 n=1 a r R
Z
h r αn a αn i β X ∞
= 2V2 − Kn αn sin αn ϕ sin αn ϕ0 dϕ0
a r 0 n=1
en este caso dl = dr 0
Z Z RX αn αn
ρ < αn a ρ > αn R
=V αn sin αn ϕ cos αn β Kn − − dr 0
l3 a a ρ < R ρ >
luego el potencial para r > c es la suma de (4.17)+ (4.19) y para r > c es la suma de (4.18)+ (4.19).
Capı́tulo 5
Método de imágenes
103
104 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE IMÁGENES
donde F (r, r0 ) debe satisfacer la ecuación de Laplace, el primer término en la función de Green corresponde
al potencial de una carga unidad, en tanto que el segundo término es un potencial generado dentro del
volumen delimitado por la superficie debido a cargas externas a este volumen (ya que dentro del volumen
obedece a una ecuación de Laplace) de tal manera que hace que G (r, r 0 ) cumpla las condiciones de frontera.
La interpretación de la función F (r, r 0 ) nos proporciona otro punto de vista del método, ya que F (r, r 0 ) es
el potencial equivalente a imágenes colocadas en el exterior del volumen, de tal forma que junto con la carga
unidad (Kc q = 1) ubicada en una posición interior r 0 , nos dé un potencial cero en la superficie (o cualquiera
que sea la condición sobre la función de Green en la superficie).
las posiciones del punto donde se quiere evaluar el potencial, el punto donde se ubica la carga real y el punto
donde se ubica la carga imagen respectivamente. El potencial generado por el dipolo es
Kc q Kc q
φ (r) = q −q
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 (x + x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
Kc q Kc q
φ (r) = − (5.2)
|r − r0 | |r − r0i |
a partir del potencial es fácil calcular la distribución de carga sobre la superficie del conductor, usando la
relación (1.31) válida para conductores y usando coordenadas cilı́ndricas
1 ∂φ qd
σ (r) = − =−
4πKc ∂n1 2π (r 2 + d2 )3/2
siendo d la distancia del plano a la carga, y r la distancia del punto de evaluación al eje vertical al plano
que pasa por la carga. Si se integra esta cantidad obtenemos que la carga total inducida sobre el conductor
es −q, lo cual se puede ver por ley de Gauss 1 . La fuerza que el plano hace sobre la carga se puede calcular
de dos maneras: 1) calculando la fuerza que la distribución de carga en el plano hace sobre la carga puntual,
usando superposición, 2) calculando la fuerza entre la imagen y la carga real.
No obstante, es de anotar que aunque el problema del potencial en el interior del semiespacio (x > 0) y el
de la fuerza se pueden resolver de forma equivalente con la imagen, la energı́a interna del sistema carga real-
carga imagen es diferente (el doble) que la energı́a del sistema carga real-plano conductor. Hay dos maneras
de ver esta diferencia: a) Si se calcula la integral del campo al cuadrado Ec. (1.18), para el sistema de las dos
cargas contribuyen los dos semiespacios, por simetrı́a ambos semiespacios contribuyen igual. En contraste,
para el sistema carga-conductor, solo el semiespacio con x > 0 contribuye, ya que el otro semiespacio
tiene campo cero. b) Para calcular la energı́a interna del sistema carga conductor, solo hay que calcular el
1
Teniendo en cuenta que el conductor es neutro, el resto de la carga se acumula (en un conductor real) en los bordes de la
placa y en la superficie opuesta a la que da frente a la carga puntual.
5.2. CARGA FRENTE A UN PLANO EQUIPOTENCIAL 105
trabajo necesario para traer la carga puntual real desde el infinito hasta el punto donde se localiza 2 . En
contraste, para calcular la energı́a interna del dipolo, se pueden traer las dos cargas simultáneamente en
forma simétrica, en cuyo caso hay que hacer un trabajo igual al anterior pero sobre cada carga.
¿Porqué la fuerza sobre la carga real, sı́ es igual para los dos sistemas? se puede ver simplemente porque
la carga real está en el interior de la región en donde ambos producen el mismo potencial y por tanto el
mismo campo, y la fuerza es qE. La esencia de que la fuerza coincida en tanto que la energı́a no, es el
hecho de que la fuerza es una variable local (definida en un punto) que depende de otra variable local (el
campo) que coincide en ambas configuraciones. La energı́a en cambio es un concepto global que depende en
general de la configuración del campo en todo el espacio, y el método de las imágenes solo nos garantiza que
el campo es el mismo para ambas configuraciones en una cierta porción del espacio, la región exterior de
Dirichlet posee campos diferentes para ambas configuraciones. A pesar de ello, es posible calcular la energı́a
interna de un sistema de cargas en presencia de un conductor a través del método de las imágenes como
veremos en la sección 5.8.
Ahora estamos en capacidad de conectar el problema del sistema carga real-carga imagen con la función
de Green en el semiespacio x ≥ 0. Si hacemos K c q = 1 en la Ec. (5.2), lo que tenemos es una carga puntual
“unidad” ubicada en r0 y un sistema de cargas exteriores (la carga imagen) tal que la superposición de las
dos da potencial cero en la frontera, la carga real estarı́a generando el factor 1/ |r − r 0 |, y la carga imagen
está generando el factor F (r, r0 ). Es claro entonces que la asignación K c q = 1 en la Ec. (5.2) nos da la
función de Green para el semiespacio con x ≥ 0.
1 1
G r, r0 = − para semiespacio con x ≥ 0 (5.3)
|r − r | |r − r0i |
0
donde r, r0 , r0i vienen dados por la Ec. (5.1). Claramente la función de Green (5.3) cumple la condición de
Dirichlet en las fronteras (y, z → ±∞, x → ∞, ý x = 0). Donde
1
F r, r0 = −
|r − r0i |
La función de Green aquı́ calculada puede ser utilizada para calcular el potencial en x ≥ 0 para cualquier
condición de frontera en x = 0, con cualquier distribución de carga localizada y que esté encerrada en el
semiespacio determinado por x ≥ 0 (el hecho de que la carga esté localizada nos garantiza que el potencial
sea constante en el infinito definido por y, z → ±∞, x → ∞). No debemos olvidar que la formulación de
Green es para volúmenes cerrados, (aunque no necesariamente cerrados fı́sicamente) en donde el potencial
o su derivada normal se deben conocer en una superficie cerrada, que en este caso es como una “semiesfera
infinita”. Veamos un ejemplo de aplicación de la función de Green (5.3) para el semiespacio.
Calculando G para espacio semi-infinito Ec. (5.3), en coordenadas cartesianas y evaluando ∂G/∂n 0 :
∂G ∂G
= ∇G · n|x0 =0 = ∇G · (−i)|x0 =0 = − (∇G)x0 |x0 =0 = − 0 (5.5)
∂n0 x0 =0 ∂x x0 =0
∂G ∂ 1 1
− 0 = − 0 q −q
∂x x0 =0 ∂x 2 2 2 2 2 2
0 0
(x − x ) + (y − y ) + (z − z )0 0 0 0
(x + x ) + (y − y ) + (z − z ) 0 x =0
−2x
= q 3
2 0 2 0 2
x + (y − y ) + (z − z )
la integral de superficie en la semiesfera infinita, solo tiene contribución en el plano Y Z ya que el término
∂G/∂n0 se anula en la superficie semiesférica de radio infinito (∂G/∂n 0 → 0, con x → ∞, y/o con y, z → ±∞).
Reemplazando (5.4), (5.3) y (5.5) en (4.3) y usando coordenadas cartesianas se tiene
Z ∞ Z ∞ Z d+l
1
φ (r) = λδ z 0 δ y 0 q
−∞ −∞ d (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
1 dx0 dy 0 dz 0
−q
2 2 2
(x + x0 ) + (y − y 0 ) + (z − z 0 )
Z
1 −2x 0
− Va q 3 dS
4π
x2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
Z
q 1
φ (r) = λ
(x − x0 )2 + y 2 + z 2
1 dx0
−q
2
(x + x0 ) + y 2 + z 2
Z ∞ Z ∞
Va x 1 0 0
+ q 3 dy dz
2π −∞ −∞
x2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
Kc q Kc q 0 Kc q Kc q 0
φ (r) = + = p + p (5.6)
|r − r0 | |r − r” | (r − r0 ) · (r − r0 ) (r − r” ) · (r − r” )
en r = a se tiene que φ = 0. Cuando el vector posición de evaluación del potencial tiene magnitud a, lo
denotaremos como r =~a
Kc q Kc q 0
φ (~a) = p +p =0⇒
(~a−r0 ) · (~a−r0 ) (~a−r” ) · (~a−r” )
q2 q 02
= ⇒
(~a−r0 ) · (~a−r0 ) (~a−r” ) · (~a−r” )
q 2 ~a−r” · ~a−r” − q 02 ~a−r0 · ~a−r0 = 0
q 2 a2 − 2~a · r” + r”2 − q 02 a2 − 2~a · r0 + r 02 = 0
a2 q 2 − q 02 + q 2 r”2 − q 02 r 02 − 2~a · q 2 r” − q 02 r0 = 0 (5.7)
la cantidad 2~a · q 2 r” − q 02 r0 implica un cos θ arbitrario
en virtud de que ~a toma todas las direcciones
posibles de modo que es necesario que q 2 r” − q 02 r0 = 0 y como r0 y r” son paralelos se tiene que
q 2 r”
q 02 = (5.8)
r0
reemplazando este valor de q 0 en la expresión (5.7) se obtiene
2 2 q 2 r” q 2 r”
a q − 0 + q 2 r”2 − 0 r 02 = 0
r r
r”
a2 q 2 1 − 0 + q 2 r”2 − q 2 r”r 0 = 0
r
a r − r” + r 0 r”2 − r”r 02
2 0
= 0
a2 r 0 − r” + r 0 r” r” − r 0 = 0
a2 − r 0 r” r 0 − r” = 0
es obvio que (r 0 − r”) 6= 0 ya que el uno es interior (r” < a) y el otro es exterior (r 0 > a) de modo que
a2 0 qa
r” = ⇒ q = ⇒ q 0 = − qa (5.9)
r 0 r0 r0
donde hemos usado (5.8). Obsérvese que |q 0 | < |q|. Reemplazando (5.9) en (5.6), el potencial fuera de la
esfera queda
Kc q Kc q 0 Kc q Kc qa
φ (r) = + = −
0
|r − r | |r − r |” |r − r | r 0 r− a20 r00
0
r r
Kc q Kc qa
φ (r) = − (5.10)
|r − r0 | r 0 r− a2 r0
r 02
y la función de Green para r ≥ a, es este potencial con la carga real normalizada a uno (K c q = 1) i.e.
108 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE IMÁGENES
1 a
Gr>a r, r0 = − (5.11)
|r − r | r 0 r− a2 r0
0
r 02
Observemos que cuando la carga real se aproxima a la superficie, la magnitud de la carga imagen va
aumentando tendiendo a la magnitud de la carga real. Adicionalmente, la carga imagen también se acerca
a la superficie de la esfera y cuando la carga real está muy próxima a la esfera, la carga imagen tiende a
estar equidistante a ella, veamos: Sea r 0 = a + ε con ε/a << 1, la distancia de la carga real a la superficie
es ε y la distancia de la carga imagen a la superficie es a − r”
!
a2 a a h ε i
a − r” = a − 0 = a 1 − =a 1− ' a 1 − 1 −
r a+ε a 1 + aε a
hεi
a − r” ' a =ε
a
el hecho de que las cargas tiendan a ser iguales en magnitud y equidistantes a la superficie, se debe a que al
acercarse la carga real, ésta ve a la esfera como un plano infinito y el método de imágenes se reduce al de
una carga puntual enfrente de un conductor plano infinito.
Recordemos que la densidad superficial de carga inducida sobre la esfera conductora se puede evaluar a
partir de la discontinuidad de la componente perpendicular del campo eléctrico en la superficie y del hecho
de que el campo en el interior del conductor es cero, Ec. (1.31). Obteniéndose
1 ∂φ 1 ∂φ
σ=− =− (5.12)
4πKc ∂n S 4πKc ∂r r=a
asumamos por ejemplo que la carga está ubicada a lo largo del eje polar Z a una distancia r 0 > a. Evaluando
la densidad de superficie (5.12) usando el potencial (5.10) obtenemos
Kc q Kc qa Kc q Kc qa
φ (r) = − =p
− r
0
|r − r | r 0 r− a r0
2 0 0
(r − r ) · (r − r ) a2 0 a2 0
r 02 0
r r− r02 r · r− r02 r
Kc q Kc qa
= √ − q
r + r − 2rr 0 cos θ
2 02 a4 2
r r 2 +
0
r 02
− 2 ra02 rr 0 cos θ
Kc q Kc q
φ (r) = √ − q (5.13)
r + r − 2rr 0 cos θ
2 02
r 2
a 2
r
0
a + r0 − 2 rr0 cos θ
al integrar para obtener la carga se obtiene justamente la carga imagen. Esto último también se puede ver
por ley de Gauss, para lo cual podemos construir una superficie S cerrada que encierre tanto a la esfera como
a la carga real exterior, el flujo Φ debido al campo generado por el sistema esfera-carga real es exactamente
el mismo que generarı́a el sistema carga real- carga imagen, ya que la superficie Gaussiana esta toda en la
región del espacio en donde ya se probó que el potencial (y por tanto el campo eléctrico) son iguales para
ambas configuraciones. Como en ambos casos el flujo es el mismo, la ley de Gauss me dice que la carga neta
debe ser la misma en ambos casos, por lo cual la carga inducida en la esfera debe coincidir en magnitud y
signo con la carga imagen.
5.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA 109
La fuerza que la esfera ejerce sobre la carga q, se puede calcular a partir de la carga imagen
Kc qq 0 qa Kc qa Kc
F = u ρ = q − 2 u ρ = q − 0 uρ
L 2 0
r (r − r”)
0 r 2 2
r0 − a r0
−2
Kc q 2 a 3 a2
F = − 1 − uρ
a2 r0 r 02
con r 0 >> a (aproximación de carga lejana)
Kc q 2 a 3 a2 Kc q 2 a
F≈− 2 1 + 2 u ρ ≈ − uρ
a r0 r 02 r 03
si r 0 ' a (aproximación de carga cercana) es decir r 0 = a + ε con ε/a << 1 la magnitud de la fuerza queda
3 −2 !3 !−2
Kc q 2 a a2 Kc q 2 1 1
|F | = 1− = 2 1−
a2 a+ε (a + ε)2 a 1 + aε 1+ ε 2
a
1 1
G r, r0 = p − q
(5.15)
r + r − 2rr 0 cos γ
2 02
r 2 a 2
r 0 a + r0 − 2 rr0 cos γ
1 1
G r, r0 = p − q
(5.16)
r + r − 2rr 0 cos γ
2 02
rr 0 2
+ a2 − 2rr 0 cos γ
a
b
r = cos θuz + sin θuk = cos θuz + sin θ (cos ϕux + sin ϕuy )
r0 = cos θ 0 uz + sin θ 0 cos ϕ0 ux + sin θ 0 sin ϕ0 uy
b
r·b
cos γ = b r0 = sin θ cos ϕ sin θ 0 cos ϕ0 + sin θ sin ϕ sin θ 0 sin ϕ0 + cos θ cos θ 0
cos γ = sin θ sin θ 0 cos ϕ cos ϕ0 + sin ϕ sin ϕ0 + cos θ cos θ 0
r·b
cos γ = b r0 = sin θ sin θ 0 cos ϕ − ϕ0 + cos θ cos θ 0 (5.17)
Primero calculamos la derivada normal de G en la superficie de la esfera, ya que en la otra superficie (el
infinito) el potencial es cero y la integral de superficie no contribuye.
∂G ∂G r 2 − a2
= − 0 =−
∂n0 S 0 ∂r r0 =a a (r 2 + a2 − 2ar cos γ)3/2
Z "Z !
a2 V 2π π/2 r 2 − a2
φ (r) = 3/2
sin θ 0 dθ 0
4π 0 0 a (r 2 + a2 − 2ar cos γ)
Z ! #
π r2 − a2 0 0
− 3/2
sin θ dθ dφ0
π/2 a (r 2 + a2 − 2ar cos γ)
esta integral no es sencilla debido a la complicada dependencia del cos γ con respecto a θ 0 . Por ahora tomemos
5.4. CARGA PUNTUAL FRENTE A ESFERA CONDUCTORA CARGADA Y AISLADA 111
el caso particular del potencial sobre el eje Z. Con θ = 0 ⇒ cos γ = cos θ 0 y r = z. La integración nos da
" π/2 π #
aV z 2 − a2 −2
2
φ (z) = 2π √ + √
4π 2az 2 2
a + z − 2az cos θ 0 0 a + z − 2az cos θ π/2
2 2 0
" π/2 π #
V z 2 − a2 −1
1
φ (z) = √ + √
2 z 2 2
a + z − 2az cos θ 0 0 a + z − 2az cos θ π/2
2 2 0
V z 2 − a2 1 1
φ (z) = √ −√
2 z a2 + z 2 − 2az a2 + z 2
1 1
+ √ −√
a2 + z 2 + 2az a2 + z 2
V z 2 − a2 1 1 2
φ (z) = + −√
2z (z − a) (z + a) a + z2
2
!
V 2 z 2 − a2
φ (z) = (z + a) + (z − a) − √
2z a2 + z 2
!
z 2 − a2
φ (z) = V 1 − √ (5.18)
z a2 + z 2
este valor del potencial sobre el eje de simetrı́a fué el que se tomó en la sección 2.7 para obtener la solución
en todo el espacio, la cual está dada por la Ec. (2.33).
Los dos primeros términos corresponden a la esfera con potencial cero enfrente de una carga puntual que
ya se solucionó, el tercero es el término debido a la carga Q − q 0 = Q − (−aq/r 0 ), la cual al repartirse
uniformemente produce un potencial puntual equivalente en el exterior de la esfera.
La fuerza sobre la carga q se puede calcular con el mismo proceso. La fuerza debida a la esfera conectada
a tierra con carga q 0 ya se calculó como la fuerza entre q y q 0 ; a esto hay que sumarle la fuerza debida a la
carga Q − q 0 repartida uniformemente
−2
Kc q 2 a 3 a2 0 Kc q Q + aq
r0
F = − 2 1 − 02 b
r + r0
b
a r0 r r 02
" #
Kc q qa3 2r 02 − a2
F = Q − 0 02 r0
b
r 02 r (r − a2 )
112 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE IMÁGENES
si r 0 >> a, se reduce a la fuerza entre cargas puntuales Q, q como era de esperarse. Si Q y q tienen signos
opuestos (o si Q = 0), la interacción es siempre atractiva. Pero si son del mismo signo, la fuerza es atractiva
a cortas distancias y repulsiva a largas distancias. De aquı́ se deduce que debe existir un punto de equilibrio
(inestable como vimos en la Sec. 2.2). Los resultados anteriores nos llevan a concluı́r que si queremos remover
una carga del conductor hay que hacer trabajo para vencer la atracción a cortas distancias. Este trabajo
necesario para extraer una carga del conductor se conoce como función trabajo del metal y explica al menos
en parte, porqué las cargas en un conductor no son expulsadas a pesar de estar rodeadas de cargas del
mismo signo3 .
Por otra parte, el problema también se puede resolver por imágenes, ubicando dos cargas imágen: q 0 en
r00 y Q − q 0 en el centro de la esfera. La fuerza sobre la carga real se puede calcular como la debida a estas
dos cargas imagen. La interacción de estas tres cargas puede darnos una imagen mas clara de porqué la
interacción puede ser atractiva o repulsiva cuando Q y q son del mismo signo.
Finalmente, vale la pena mencionar que para este problema, la unicidad de la solución para el potencial
está garantizada gracias al teorema de unicidad explicado en el apéndice A, puesto que conocemos la carga
neta en el conductor, una superficie equipotencial (infinito) y la densidad de carga en la región exterior al
conductor e interior a la superficie equipotencial.
donde el primer término es debido a la carga puntual real, el segundo es debido a la carga imagen q 0 (a
potencial cero), y el tercero es debido a la carga adicional que hay que distribuir en la superficie para elevar
el potencial desde cero hasta V (si V < 0 este término es negativo). También se puede ver el tercer término
como la contribución de una carga imagen ubicada en el centro de la esfera, de tal forma que tenemos dos
cargas imagen y una real: QV en el origen, q 0 en r” y q ubicada en r0 . Se puede verificar que φ (~a) = V .
Finalmente, las expresiones para la fuerza sobre la carga (y su comportamiento asintótico) son muy
similares a las de la sección anterior, y se dejan como ejercicio al lector.
ya que θ ∼ 0. En el lı́mite Q → ∞, y R → ∞ con Q/R 2 constante, la aproximación se vuelve exacta. Sea una
esfera de radio a, ubicada en el origen. El potencial se puede pensar como debido a cuatro fuentes puntuales
±Q y ±q 0 , donde ±q 0 son imágenes de las cargas lejanas ∓Q.
Kc Q Kc Q
φ (r) = √ −√
r 2 + R2 + 2rR cos θ r 2 + R2 − 2rR cos θ
Kc Qa Kc Qa
− q + q
4 2 4 2
R r 2 + Ra 2 + 2aR r cos θ R r 2 + Ra 2 − 2aR r cos θ
al expandir para los radicales teniendo en cuenta que R >> r, y R >> a, obtenemos
Kc Q Kc Q
φ (r) = q − q
r 2 r r 2 r
R 1+ R +2 R cos θ R 1+ R −2 R cos θ
Kc Qa Kc Qa
− q 4 + q 4
r 2 a 2 r 2 a 2
R2 R + Ra + R
r
R cos θ R2 R + Ra − R
r
R cos θ
Kc Q Kc Q
φ (r) ' q − q
r r 2 r r 2
R 1+2 R cos θ + R R 1−2 R cos θ + R
Kc Qa Kc Qa
− q + q
r 2 r 2
R2 R R2 R
Kc Q Kc Q
φ (r) = q − q
r r 2 r r 2
R 1+2 R cos θ + R R 1−2 R cos θ + R
(" #
Kc Q r 1 r 2 3 r r 2 2
φ (r) = 1 − cos θ − + 2 cos θ +
R R 2 R 8 R R
" #)
r 1 r 2 3 r r 2 2
− 1 + cos θ − + −2 cos θ +
R 2 R 8 R R
Kc Q r 1 r 2 3 r 2 2
φ (r) = 1 − cos θ − + cos θ
R R 2 R 2 R
" #)
r 1 r 2 3 r r 2 2
− 1 + cos θ − + −2 cos θ +
R 2 R 8 R R
???????????/
2Kc Qr 2Kc Q a3
φ (r) = − cos θ + cos θ + ...
R2 R2 r 2
donde Q/R2 se ha considerado constante, de modo que el campo E = 2K c Q/R2 también lo es
a3
φ (r) = −E r cos θ − 2 cos θ
r
114 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE IMÁGENES
El primer término corresponde al campo uniforme E, el segundo es debido a la carga inducida sobre la
superficie conductora y cuya densidad es
1 ∂φ 3
σ=− = E cos θ
4π ∂r r=a 4π
R
Probar que σdA = 0, lo cual es lógico por simetrı́a (se puede observar desde el punto de vista de las cuatro
cargas ±Q, ±q 0 ).
El momento de dipolo inducido sobre la esfera es
Z Z π/2
3a3 E sin3 θ
p
~= σrdA ; pz = σa3 cos θ sin θ dθ dφ = = Ea3
4π 3 0
cargas mas el conjunto de cargas imágenes (ver Fig. 5.1). La razón por laR cual no es directo el cálculo de la
energı́a interna del sistema A basado en el sistema B es que la integral E2 dV no es la misma para ambas
configuraciones, puesto que en la región interior al conductor el campo eléctrico es diferente en cada sistema.
Para una forma y tamaño arbitrarios del conductor no hay una simetrı́a evidente que conecte las energı́as
de ambas configuraciones. Veremos a continuación la manera en que se puede calcular la energı́a interna del
sistema A basados en el sistema B.
System A System B
fs qc
qj qk
qj
rj rj
rk
Figura 5.1: El sistema A se define como el conjunto compuesto por el conductor y la distribución de cargas
{qj } fuera del conductor (izquierda). El sistema B consiste en la distribución de cargas {q j } más el conjunto
de cargas imágen {q̄k }, (derecha).
Queremos encontrar la energı́a potencial interna asociada con el sistema A que consiste en un conjunto
de cargas ubicadas en cierta región exterior a un conductor. Al conjunto de cargas (reales) lo denotaremos
por {qj }. Tomamos como punto de partida la expresión (1.15)
Z
(A) 1
Uint = ρ (r) φ (r) dV, (5.19)
2
donde ρ (r) , φ (r) denotan densidad de carga y potencial respectivamente. Como ya se discutió en la sección
1.3.1 la Ec. (5.19) conduce a divergencias cuando hay partı́culas puntuales presentes debido a la inclusión
de términos de autoenergı́a. Por supuesto los términos de autoenergı́a se pueden remover para obtener solo
resultados finitos. Extrayendo la autoenergı́a y teniendo en cuenta que la integral solo contribuye en regiones
donde hay carga presente, vemos que
M
(A) 1 1X
Uint = qc φs + qj φA (rj ) , (5.20)
2 2
j=1
donde (q̄k , r̄k ) denota el conjunto de imágenes y sus posiciones, ası́ mismo (q r , rr ) denota las cargas reales y
sus posiciones excluyendo a qj . Reemplazando (5.21), en (5.20) resulta
XM N
X XM
(A) 1 1 Kc q̄k Kc qr
Uint = qc φs + qj + . (5.22)
2 2 |r̄k − rj | |rr − rj |
j=1 k=1 r6=j
4
Una vez más, el autopotencial generado por la carga puntual qj en el punto rj ha sido extraı́do.
116 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE IMÁGENES
A partir de la ley de Gauss, se puede ver que la carga neta q c sobre la superficie del conductor, es la
suma algebraica de las cargas imágen. Similarmente, el potencial sobre la superficie del conductor es aquél
generado por el sistema B en cualquier punto de dicha superficie, por tanto obtenemos
N
X N
X NX Kc q̄k
Kc qj
qc = q̄k ; φs = + , (5.23)
|rj − rs | |r̄k − rs |
k=1 j=1 k=1
donde rs es la posición de cualquier punto en la superficie del conductor. Reemplazando (5.23) en (5.22),
encontramos la energı́a interna del sistema A en términos exclusivamente de los componentes del sistema B
"N # N N
M N M M
(A) 1 X X K q
c j
X K q̄
c m 1 X X Kc q̄k qj 1 X X Kc qr qj
Uint = q̄k + + + (5.24)
2 |rj − rs | |r̄m − rs | 2 |r̄k − rj | 2 |rr − rj |
k=1 j=1 m=1 j=1 k=1 j=1 r6=j
(A) 1 1 (B) {q }
Uint = qc φs + Uext + Uintj ,
2 2
XN M
X N
X
Kc qj Kc q̄m
qc = q̄k ; φs = +
|rj − rs | m=1 |r̄m − rs |
k=1 j=1
M X
X N X M M M
(B) Kc q̄k qj {q } 1 X X Kc qr qj
Uext ≡ = qj φ̄ (rj ) ; Uintj = (5.25)
|r̄k − rj | 2 |rr − rj |
j=1 k=1 j=1 j=1 r6=j
donde φ̄ (rj ) es el potencial generado por las imágenes en el punto r j donde se ubica la carga qj . Por tanto,
(B)
Uext representa la energı́a potencial externa asociada con la distribución de cargas reales cuando éstas están
{q }
inmersas en el campo generado por las imágenes. Finalmente U intj representa la energı́a interna asociada a
la distribución real de cargas {qj }, i.e. el trabajo necesario para ensamblar esta distribución si ésta estuviera
aislada (es decir en ausencia del conductor y/o las imágenes). Por supuesto, la distribución (y tal vez las
imágenes) pueden ser contı́nuas, en cuyo caso las sumas se convierten en integrales.
En muchos casos estaremos interesados en el trabajo necesario para traer la distribución de carga como
un todo, es decir {qj } se mueve como un cuerpo rı́gido inmerso en el campo generado por el conductor. En
{q }
tal caso el término Uintj deja de ser relevante puesto que no cambia en el proceso y podemos removerlo de
la formulación. Si adicionalmente el conductor se conecta a tierra, la energı́a interna adquiere una forma
particularmente simple,
(A) 1 (B)
Uint = Uext . (5.26)
2
En este punto conviene discutir brevemente acerca de la diferencia entre energı́a potencial externa e
interna. En primer lugar debemos precisar el sistema de partı́culas para el cual definimos los conceptos de
energı́a interna y externa. Una vez definido el sistema, la energı́a potencial interna es la energı́a potencial
asociada con las fuerzas internas y corresponde al trabajo necesario para ensamblar el sistema comenzando
con las partı́culas muy alejadas entre sı́ 5 . Por otro lado, la energı́a potencial externa es aquella asociada con
las fuerzas externas, y corresponde al trabajo necesario para traer el sistema como un todo desde el infinito
hasta su configuración final, inmerso en un campo de fuerzas generado por todas las fuentes exteriores al
(B)
sistema en cuestión. En nuestro caso, U ext representa la energı́a potencial externa asociada con el sistema
5
En algunos casos cuando el sistema está compuestos de subsistemas que actúan como cuerpos rı́gidos, la energı́a interna se
puede definir como la necesaria para ensamblar estos subsistemas comenzando con ellos muy lejos uno de otro. Esto implica
ignorar la energı́a necesaria para ensamblar los subsistemas, lo cual está justificado puesto que en el proceso la energı́a interna
asociada a cada subsistema no está cambiando y por tanto no es relevante en el problema. No obstante, debe tenerse presente
que si algunos subsistemas pueden cambiar su energı́a interna en el proceso, estas energı́as deben incluı́rse en el cálculo de la
energı́a interna total del sistema.
5.8. ENERGÍA INTERNA ELECTROSTÁTICA USANDO EL MÉTODO DE IMÁGENES 117
de cargas reales exteriores al conductor, las fuerzas externas son las generadas por el conjunto de cargas
(B)
imágen. En consecuencia, Uext es el trabajo necesario para traer la distribución {q j } como un todo desde
(A)
el infinito hasta su configuración final en presencia de las cargas imágen. Por otro lado, U int representa el
{q }
trabajo necesario para ensamblar el sistema A. Finalmente U intj es la energı́a necesaria para ensamblar al
(A)
conjunto de cargas reales en ausencia de fuerzas externas, vale decir que esta cantidad contribuye a U int
pero si el sistema de cargas se trae desde el infinito “ya ensamblado” y no se redistribuye en el proceso (es
decir se comporta como cuerpo rı́gido) dicha cantidad es irrelevante en el problema. Nótese que las energı́as
potenciales internas y externas son diferentes tanto conceptual como operativamente.
los valores de φis y φfs se pueden obtener de la Ec. (5.23) utilizando la configuración de imágenes al principio
118 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE IMÁGENES
y al final del proceso respectivamente 6 . Es claro que los valores de φfs , φis dependen de la geometrı́a del
conductor. Nótese sin embargo, que si la carga neta es nula, W ext se vuelve independiente de éstos potenciales
y el resultado tiene la misma forma que aquél en el cual el conductor está conectado a tierra (ver Ecs. 5.26,
5.25) sin importar cuál sea la geometrı́a del conductor 7 .
Ejemplo 3: Carga puntual q ubicada en r 0 con conductor conectado a una baterı́a que lo mantiene a un
potencial fijo V . En el proceso de traer q desde el infinito hasta r 0 , la baterı́a debe proporcionar una carga
∆Q al conductor para mantener constante su potencial, de tal modo que aplicando (5.22) al comienzo y al
final y haciendo la diferencia, obtenemos el cambio en la energı́a interna
X (f )
V 1 K q̄
(A)
∆Uint = ∆Q + c k q .
2 2 (f )
r − r̄ k 0 k
Nuevamente, hemos asumido que la configuración de imágenes está localizada a lo largo del proceso. De-
(i) (f )
notemos qc , qc a las cargas totales en la superficie del conductor al principio y al final del proceso respec-
tivamente. Usando la Ec. (5.23), el cambio en la energı́a interna es
" ! !#
X X X (f )
V 1 K q̄
(A)
∆Uint =
(f )
q̄k − (i)
q̄m + c k q . (5.28)
2 2 (f )
k m r − r̄ k 0 k
Este cambio en la energı́a interna es igual al trabajo neto externo sobre el sistema, el cual se puede separar
en dos términos: el trabajo hecho por la bateria sobre el conductor para suplir la carga ∆Q y el trabajo
hecho por la fuerza externa sobre q
(A)
∆Uint = Wext = Wbatt + WFext .
El trabajo hecho por la baterı́a es claramente
" ! !#
X (f )
X
(i)
Wbatt = V ∆Q = V q̄k − q̄m , (5.29)
k m
R
q2 q1 q
x
x1 x0
Figura 5.2: Carga puntual q en presencia de un conductor esférico de radio R. Las cargas q̄ 1 , q̄2 representan
la configuración de imágenes, y adquieren diferentes valores y posiciones de acuerdo con el caso estudiado.
Sin embargo, q̄2 está siempre en el origen y la configuración q̄ 1 , q̄2 , q yace sobre el eje X.
la esfera conectada a tierra se obtiene haciendo V = 0 (ó q̄ 2 = 0). Examinando la última lı́nea de la ecuación
(5.33) vemos que el primer término de W Fext es equivalente al trabajo para traer la carga q en presencia de
la imágen q̄2 (que es invariante durante el proceso). Vale la pena enfatizar que en este término el factor 1/2
no está presente debido a que la carga q̄ 2 es estacionaria y constante en magnitud en el proceso de traer q, de
modo que la fuerza externa necesaria para traer la carga es siempre de la forma K c q̄2 q/r 2 en la dirección de
movimiento. En contraste, el segundo término posee el factor 1/2 y tal término es equivalente a la mitad del
trabajo requerido para transportar la carga q en presencia de la imágen q̄ 1 si tal imágen estuviera siempre en
su posición final, y con su magnitud final. Este factor surge del hecho de que durante el proceso de traer q,
la carga imágen q̄1 tiene que cambiar su posición y magnitud, con el fin de mantener su rol de carga imágen.
Example 5: La esfera está aislada con una carga neta q c . De nuevo, la estructura de las imágenes ya ha
sido estudiada en la sección 5.4, y en la notación de la Fig. 5.2 está dada por
qR R2 qR
q̄1 = − ; x̄1 = ; q̄2 = qc − q̄1 = qc + ; x̄2 = 0 , (5.34)
x0 x0 x0
el potencial en la superficie del conductor cuando la carga yace en su posición final, es aquél generado por la
carga q̄2 solamente, puesto que los potenciales generados por q̄ 1 y q se cancelan mutuamente por construcción.
Por otro lado, el potencial en la superficie del conductor cuando q yace en el infinito, es claramente de la
forma Kc qc /R, y usando (5.34) los potenciales sobre la superficie del conductor al comienzo y al final del
proceso se escriben
qR
Kc q̄2 K c q c + x0 Kc qc
φfs = = ; φis = , (5.35)
R R R
reemplazando las expresiones (5.34, 5.35) en (5.27) encontramos
( " #)
qc qR 1 1
Wext = Kc q + − 2 .
x0 2 x20 x0 − R 2
En este caso, no hay trabajo sobre el conductor como ocurre en el caso de la esfera conectada a tierra (V = 0
en la Ec. 5.33). En particular, en el escenario con un conductor neutro i.e. q c = 0, el trabajo necesario para
120 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE IMÁGENES
traer la carga es mayor que en el caso de la esfera conectada a tierra en virtud de que una segunda carga
imágen localizada en el centro de la esfera y del mismo signo que q debe ser añadida, dicha imágen conduce
a una interacción repulsiva que requiere incrementar el trabajo externo.
z
-l l
-a a x
Figura 5.3: Alambre infinito con densidad lineal de carga constante λ, en frente de un conductor infinito
conectado a tierra. El alambre punteado es la correspondiente imágen.
Example 6: Consideremos un alambre infinito con densidad lineal uniforme λ, que yace a una distancia a
al lado derecho de un conductor plano infinito conectado a tierra, ver Fig. 5.3. En este caso la imágen consiste
de otro alambre infinito de densidad lineal −λ al lado izquierdo del plano. En este ejemplo la distribución
real y la configuración de imágenes son ambas distribuciones contı́nuas. Los potenciales eléctricos en un
punto r =xı̂ + ŷ+z k̂ (x > 0) debido al alambre y su imágen están dados por
p
Φ(r) = 2Kc λ ln (x − a)2 + y 2 + C1 ,
p
Φ̄(r) = −2Kc λ ln (x + a)2 + y 2 + C2 . (5.36)
Para asegurar que el potencial sobre el plano sea nulo (plano Y Z) debemos escoger las constantes
arbitrarias como C1 = −C2 = C de modo que el potencial total sobre el lado derecho del plano está dado
por
s
(x − a)2 + y 2
ΦT (r) = 2Kc λ ln ,
(x + a)2 + y 2
el cual satisface la condición ΦT (0, y, z) = 0. Nuestro propósito es calcular la energı́a interna electrostática
del sistema A, para el cual usamos la Ec. (5.25) con φ s = 0
Z
(A) 1 (B) (B)
Uint = Uext ; Uext ≡ Φ̄(a,0,0) dq (5.37)
2
donde la energı́a potencial externa asociada con el alambre real en el campo generado por el sistema virtual
(sistema B) puede ser escrito como
(B)
Uext
= Φ̄(a,0,0)λ,
L
con L la longitud de un trozo de alambre con densidad λ, de la Ec. (5.36) encontramos que
5.8. ENERGÍA INTERNA ELECTROSTÁTICA USANDO EL MÉTODO DE IMÁGENES 121
(B)
Uext
= −2Kc λ2 ln (2a) − Cλ.
L
Usando la Ec. (5.37) la energı́a potencial por unidad de longitud del alambre en presencia del conductor
plano conectado a tierra puede escribirse como
(A)
Uint Cλ
= −Kc λ2 ln (2a) − ,
L 2
y el trabajo externo por unidad de longitud para llevar el alambre (en presencia del conductor) desde la
distancia ai hasta la distancia af viene dada por:
i→f
Wext ai
= −Kc λ2 ln .
L af
122 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE IMÁGENES
Capı́tulo 6
Cuando tenemos en cuenta problemas con alguna simetrı́a esférica, es conveniente escribir la ecuación
de Green
∇2 G = −4πδ r − r0
en coordenadas esféricas, para lo cual se utiliza el Laplaciano en coordenadas esféricas que ya se empleó en
el capı́tulo anterior, ası́ como la función delta de Dirac en estas mismas coordenadas.
Z Z ∞ Z 2π Z π
0
0
0
0
⇒ δ r−r dV = 1 = δ r − r dr δ ϕ−ϕ dϕ δ cos θ − cos θ sin θ dθ
0 0 0
Z
δ (r − r 0 ) δ (ϕ − ϕ0 ) δ (cos θ − cos θ 0 ) 2
= r dr sin θ dθ dϕ
r2
Z
δ (r − r 0 ) δ (ϕ − ϕ0 ) δ (cos θ − cos θ 0 )
= dV
r2
123
124CAPÍTULO 6. FUNCIÓN DE GREEN Y ECUACIÓN DE POISSON EN COORDENADAS ESFÉRICAS
Para ajustar esta función de Green a problemas con simetrı́a esférica, es conveniente expandir la solución
en armónicos esféricos
∞ X l
0
X ∗
G r, r = Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 Flm r, r 0 (6.1)
l=0 m=−l
la inclusión de ∗
Ylm (θ 0 , ϕ0 )
se debe a que la función de Green debe satisfacer G (r, r 0 ) = G∗ (r0 , r). Utilizando
la completez de los armónicos esféricos
∞ X
l
X
δ ϕ − ϕ0 δ cos θ − cos θ 0 = ∗
Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0
l=0 m=−l
ahora teniendo en cuenta que los armónicos esféricos son funciones propias del operador L̂2 con valor propio
l (l + 1), y teniendo en cuenta que este operador es solo función de θ, ϕ y no de θ 0 , ϕ0 se obtiene
∞ X
X l
∗
1 d2
Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 2
rFlm r, r 0
r dr
l=0 m=−l
∞ l
1 X X ∗
− 2 l (l + 1) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 Flm r, r 0
r
l=0 m=−l
∞ l
4πδ (r − r 0 ) X X ∗ 0 0
= − Y lm (θ, ϕ) Y lm θ , ϕ
r2
l=0 m=−l
igualando coeficientes
1 d2 0
1 0
4πδ (r − r 0 )
rF lm r, r − l (l + 1) F lm r, r = −
r dr 2 r2 r2
multiplicando por r 2
d2 0
0
0
r
rF lm r, r − l (l + 1) F lm r, r = −4πδ r − r (6.2)
dr 2
0
la solución para r 6= r ya la hemos estudiado cuando solucionamos la ecuación de Laplace
Blm
Flm r, r 0 = Alm r l + l+1
r
6.2. FUNCIÓN DE GREEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS 125
l
Flm = Alm r<
Blm
Flm = l+1
r>
d 2
0
la primera integral se soluciona fácilmente por partes con u = r, dv = dr 2 [rFlm (r, r )] dr ⇒ du = dr,
d 0
v = dr [rFlm (r, r )]. Asumimos Flm acotada y contı́nua de modo que la integral sobre la función tiende a
cero cuando ε → 0.
r0 +ε
d
r (rFlm ) − rFlm = −4π
dr r 0 −ε
" ! # " ! #
l
r< l
r< r<l r<l
d d
Clm r r l+1
− r l+1 − Clm r r l+1 − r l+1 = −4π
dr r> r> 0
dr r > r > 0
r +ε r −ε
" ! #
d (r 0 )l (r 0 )l d r l r l
Clm r r l+1 − r l+1 − Clm r r 0(l+1) − r 0(l+1) = −4π
dr r r 0
dr r r r 0 −ε
r +ε
4π
Clm =
2l + 1
La función de Green queda
∞ X
X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l
1 Ylm (θ, ϕ) Ylm r<
G r, r0 = 0
= 4π l+1
(6.3)
|r − r | 2l + 1 r>
l=0 m=−l
A partir de esta función de Green se puede calcular el potencial debido a cualquier distribución localizada
y estática de cargas en el espacio libre. Como en tal caso tanto la función de Green como el potencial son
cero en el infinito, la integral de superficie se anula y solo queda la integral de volumen.
∞ X
X l Z l
Ylm (θ, ϕ) ∗ 0 0 r<
φ (r) = 4πKc ρ r0 Ylm θ , ϕ l+1 r 02 dr 0 dΩ0 (6.4)
2l + 1 r>
l=0 m=−l
esta expresión es la base para la expansión del potencial en multipolos esféricos como veremos en la sección
8.1.2.
126CAPÍTULO 6. FUNCIÓN DE GREEN Y ECUACIÓN DE POISSON EN COORDENADAS ESFÉRICAS
∞ X
X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l ∞
X l
1 Ylm (θ, ϕ) Ylm r< r<
= 4π = P l (cos γ)
|r − r0 | 2l + 1 l+1
r> l+1
r>
l=0 m=−l l=0
l
X ∗ (θ 0 , ϕ0 )
Ylm (θ, ϕ) Ylm
Pl (cos γ) = 4π (6.5)
2l + 1
m=−l
resultado que se conoce como teorema de adición de los armónicos esféricos. En particular, si θ = θ 0 ,
ϕ0 = ϕ ⇒ γ = 0
l
X |Ylm (θ, ϕ)|2
Pl (cos 0) = Pl (1) = 1 = 4π
2l + 1
m=−l
∞ X
X l Z l
Ylm (θ, ϕ) ∗ 0 0 r<
φ (r) = 4πKc ρ r0 Ylm θ , ϕ l+1 r 02 dr 0 dΩ0
2l + 1 r>
l=0 m=−l
X∞ X l Z Z a l
Ylm (θ, ϕ) ∗ 0 0
0 r< 02 0
= 4πρKc Ylm θ , ϕ dΩ l+1
r dr
2l + 1 0 r>
l=0 m=−l
X∞ X l
Ylm (θ, ϕ) h√ i Z a rl
< 02 0
= 4πρKc 4πδl0 δm0 l+1
r dr
2l + 1 0 r >
l=0 m=−l
√ Z a r< 0
02 0
= 4πρKc Y00 4π 0+1 r dr
0 r>
Z a
1 02 0
φ (r) = 4πρKc r dr
0 r>
a) Para r < a
Z a Z r Z a
1 02 0 1 02 0 1 02 0
r dr = r dr + r dr
r> r r
0
Z0 r > Z ar >
1 02 0 1 02 0
= r dr + 0
r dr
0 r r r
1
= 3a2 − r 2
6
6.4. FUNCIÓN DE GREEN PARA EXTERIOR E INTERIOR DE LA ESFERA COMBINANDO IM ÁGENES C
En r = a ambos potenciales coinciden, como debe ocurrir en la interface. El potencial afuera coincide con el
de una carga puntual situada en el centro de la esfera con carga Q. En el interior el potencial es el generado
por la carga interior con respecto al punto.
1 1
≡ −
0
|r − r | k − k0
como el segundo término es semejante al primero, es fácil hacer la expansión del segundo término en
0 0 0
armónicos esféricos, solo tenemos que saber cual de los términos rar ó ar r 0 (o k, k ) tiene mayor magni-
tud
0
a) Problema exterior, en este caso tanto r como r 0 son mayores que a, de modo que rr 0 > a2 ⇒ rar >
0 0
a ⇒ rar > ar 1
r 0 de modo que aplicando la Eq. (6.3) la expansión para r 0 r ar0 es
a
− r0
l
l
∞ X r0 a
X ∗ (θ 0 , ϕ0 )
Ylm (θ, ϕ) Ylm r0
0
G2 r, r = 4π
2l + 1 rr 0 l+1
l=0 m=−l a
rr 0 ar 0
< 0
a r
de modo que
l
∞ X
l rr 0
X ∗ (θ 0 , ϕ0 )
Ylm (θ, ϕ) Ylm a
G2 r, r0 = 4π
2l + 1 r 0 a l+1
l=0 m=−l r 0
128CAPÍTULO 6. FUNCIÓN DE GREEN Y ECUACIÓN DE POISSON EN COORDENADAS ESFÉRICAS
las funciones de Green interior y exterior se pueden considerar como un caso particular del siguiente problema
Figura 6.1: Problema de Dirichlet para la región comprendida entre dos cascarones esféricos.
Resolveremos la ecuación de Green para la región mostrada en la Fig. 6.1. Partiendo de ∇ 2 G (r, r0 ) =
−4πδ (r − r0 ). Siguiendo el procedimiento usual encontramos
B
F r, r 0 = Ar l + l+1
r
a) Para r < r 0 → f = 0 en r = a !
l a2l+1
f = Al r< − l+1
r<
b) si r > r 0 → f = 0 en r = b !
l b2l+1
f = Bl r> − l+1
r>
el F que cumple ambas es " #" #
l a2l+1 l b2l+1
f = Clm r< − l+1 r> − l+1
r< r>
evaluamos Clm con el proceso usual para obtener
∞ X
l
" #" #
X ∗ (θ 0 , ϕ0 )
Ylm (θ, ϕ) Ylm a 2l+1 1 r l
0 h l
i r< >
G r, r = −4π − l+1 l+1
− 2l+1 (6.7)
2l+1 r r b
l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b) < >
con b → ∞ obtenemos el problema exterior para la esfera de radio a. Nótese que (r > r< )2l+1 = (rr 0 )2l+1
Con a → 0 se obtiene el problema interior para esfera de radio b. Si además se hace b → ∞, se obtiene
Green para espacio infinito.
asumiremos el caso general donde las superficies definidas por r = a y r = b están a potenciales φ a (θ, ϕ) y
φb (θ, ϕ) respectivamente. Calculemos primero la derivada normal de la función de Green
∂G ∂G 1 ∂G 1 ∂G
= ∇G · (−ur ) = −
0 ur + 0 0 uθ + 0
0 0 uϕ · u r 0
0
∂n0 r0 =a ∂r 0 r ∂θ r sin θ 0 ∂ϕ0
∂ X X Ylm (θ, ϕ) Ylm
∞ l ∗ (θ 0 , ϕ0 )
∂G ∂G
= − = −4π h i
∂n0 r0 =a ∂r 0 r0 =a ∂r 0 2l+1
l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b)
" # )
0 l a2l+1 1 rl
× r − −
(r 0 )l+1 r l+1 b2l+1 0 r =a
r0
donde hemos tenido en cuenta que para = a, se tiene que < r r0
" #
X ∞ X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) 2l+1 l
∂G Ylm (θ, ϕ) Ylm a 1 r
= −4π h i l r 0 l−1 + (l + 1) −
∂n0 r0 =a 2l+1 (r 0 )l+2 r l+1 b2l+1
l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b)
r 0 =a
X l
∞ X ∗ (θ 0 , ϕ0 )
∂G Ylm (θ, ϕ) Ylm 1 rl
= −4π h i [l + (l + 1)] l+1 − 2l+1 al−1
∂n0 r0 =a 2l+1 r b
l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b)
X∞ X l ∗ 0 0
∂G Ylm (θ, ϕ) Ylm (θ , ϕ ) 1 r l
l−1
= −4π h i − a
∂n0 r0 =a 1 − (a/b)2l+1 r l+1 b2l+1
l=0 m=−l
De la misma manera
" #
∗ (θ 0 , ϕ0 ) 2l+1
∂ X X Ylm (θ, ϕ) Ylm 0 )l
∞ l
∂G ∂G a 1 (r
= = 4π 0 h i r l − l+1 − 2l+1
∂n0 r0 =b ∂r 0 r0 =b ∂r (2l + 1) 1 − (a/b) 2l+1 r (r 0 )l+1 b
l=0 m=−l
r 0 =b
X∞ X
l ∗ (θ 0 , ϕ0 )
∂G Ylm (θ, ϕ) Ylm l a2l+1 1 bl−1
= 4π h i r − l+1 − (l + 1) l+2 − l 2l+1
∂n0 r0 =b 2l+1 r b b
l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b)
r 0 =b
X ∗ (θ 0 , ϕ0 )
1
∞ X l
∂G Ylm (θ, ϕ) Ylm l a2l+1
= 4π h i r − l+1 [− (2l + 1)] l+2
∂n0 r0 =b (2l + 1) 1 − (a/b)2l+1 r b
l=0 m=−l
1
X∞ X l ∗ 0 0
∂G Ylm (θ, ϕ) Ylm (θ , ϕ ) l a 2l+1
= −4π h i r −
∂n0 r0 =b 1 − (a/b)2l+1 r l+1 bl+2
l=0 m=−l
reemplazando en el potencial
" #" #
Z
r>
X∞ X l ∗ 0 0 2l+1 l
Ylm (θ, ϕ) Ylm (θ , ϕ ) a 1
φ (r) = −4πKc ρ r0 h i r< l
− l+1 l+1
− 2l+1
sin θ 0 r 02 dr 0 dθ 0 dϕ
2l+1 r r b
l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b) < >
Z X∞ X l ∗ 0 0 l
Ylm (θ, ϕ) Ylm (θ , ϕ ) 1 r
+ φa θ 0 , ϕ 0 h i l+1
− 2l+1
a l−1
a2 sin θ 0 dθ 0 dϕ0
S1 l=0 m=−l 1 − (a/b) 2l+1 r b
Z
X∞ X l
Y (θ, ϕ) Y ∗ (θ 0 , ϕ0 ) 2l+1 1
lm a
+ φb θ 0 , ϕ 0 h lm i r l − l+1 l+2
b2 sin θ 0 dθ 0 dϕ0
S2 1 − (a/b) 2l+1 r b
l=0 m=−l
130CAPÍTULO 6. FUNCIÓN DE GREEN Y ECUACIÓN DE POISSON EN COORDENADAS ESFÉRICAS
simplificando
" #
Z ∞ X
l
0
X Ylm (θ, ϕ) Ylm ∗ (θ 0 , ϕ0 )
l a 2l+1
φ (r) = −4πKc ρ r h i r< − l+1
2l+1 r<
l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b)
" #)
l
r>
1
× l+1 − 2l+1 sin θ 0 r 02 dr 0 dθ 0 dϕ0
r> b
X∞ X l al+1 rl+1 1 rl
− b2l+1 Z
∗ 0 0
+ Ylm (θ, ϕ) φa θ 0 , ϕ0 Ylm θ , ϕ sin θ 0 dθ 0 dϕ0
2l+1
l=0 m=−l 1 − (a/b) S1
X∞ X l
2l+1
r l − arl+1 Z
∗ 0 0
+ Ylm (θ, ϕ) φb θ 0 , ϕ0 Ylm θ , ϕ sin θ 0 dθ 0 dϕ0
l 2l+1
l=0 m=−l b 1 − (a/b) S2
definiendo
R
(1) S1 φa (θ 0 , ϕ0 ) Ylm
∗ (θ 0 , ϕ0 ) sin θ 0 dθ 0 dϕ0
Hlm (a, b) ≡ h i
1 − (a/b)2l+1
R
(2) S2 φb (θ 0 , ϕ0 ) Ylm
∗ (θ 0 , ϕ0 ) sin θ 0 dθ 0 dϕ0
Hlm (a, b) ≡ h i
1 − (a/b)2l+1
tenemos que
" #
Z ∞ X
l
X
Ylm (θ, ϕ) Ylm
0
∗ (θ 0 , ϕ0 )
l a2l+1
φ (r) = −4πKc ρ r h i r< − l+1
(2l + 1) 1 − (a/b) 2l+1 r<
l=0 m=−l
" #)
l
r>
1
× l+1 − 2l+1 sin θ 0 r 02 dr 0 dθ 0 dϕ0
r> b
∞ X
X l
1 rl (1)
+ al+1 l+1 − 2l+1 Ylm (θ, ϕ) Hlm (a, b)
r b
l=0 m=−l
∞ X
X l
l a2l+1 1 (2)
+ r − l+1 Ylm (θ, ϕ) Hlm (a, b)
r bl
l=0 m=−l
Z ∞ X
l
" (2)
#
X Hlm (a, b) al+1 (1)
0 0 l
φ (r) = −4πKc ρ r GdV + r Ylm (θ, ϕ) l
− 2l+1 Hlm (a, b)
b b
l=0 m=−l
∞
X l
X
Ylm (θ, ϕ) l+1 (1) a2l+1 (2)
+ a H lm (a, b) − Hlm (a, b)
r l+1 bl
l=0 m=−l
definiendo
(2)
Hlm (a, b) al+1 (1) l+1 (1) a2l+1 (2)
Alm ≡ − H (a, b) ; B lm ≡ a H (a, b) − Hlm (a, b)
bl b2l+1 lm lm bl
Z ∞ X
X l
0
0
0 l Blm
φ (r) = −4πKc ρ r G r, r dV + Ylm (θ, ϕ) Alm r + l+1
r
l=0 m=−l
6.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE 131
La solución general posee una integral de volumen que depende de la distribución de carga ρ (r) pero
que además posee un factor modulador G asociado a la geometrı́a de las fronteras, cuando la frontera es el
infinito este término queda como en el caso del potencial de distribución localizada que ya conocı́amos. Para
otras geometrı́as el término modulador da cuenta de la forma en que las condiciones de frontera afectan la
contribución de la distribución volumétrica. La integral de superficie, es la que contiene la información ex-
plı́cita sobre las condiciones de frontera; dichas condiciones son generadas por las cargas interiores exteriores
y superficiales de la región de Dirichlet.
Discusión (chequear) El potencial solo se puede evaluar estrictamente dentro del volumen de Dirichlet
cuando uno usa las funciones de Green, la carga superficial alojada sobre la superficie de Dirichlet no está en
el interior de modo que su influencia está incluı́da indirectamente en la integral de superficie. Con frecuencia
el potencial es contı́nuo en las interfaces (a menos que haya cargas puntuales o singularidades de algún tipo)
de modo que al resolver el problema interior podemos tomar el lı́mite cuando se tiende a la frontera y el
potencial obtenido será el correcto para la superficie (debe tender a las condiciones de frontera), recordemos
que la componente perpendicular del campo si puede tener discontinuidad.
La integral de superficie es solución de la ecuación de Laplace ????. Los coeficientes A lm , Blm están
determinados por las condiciones de frontera.
Podemos chequear que en los casos a) a → 0, b) b → ∞, c) a → 0, b → ∞, los potenciales se reducen a
lo que se espera.
utilizamos la propiedad
Z π Z 2π π r
0
0
0 0 ∗ 0 0 2l + 1
f θ δ cos θ sin θ dθ = f ; Ylm , ϕ dϕ = 2π Pl (0) δm0
2 0 2 4π
∞ X
l r "Z #
X Ylm (θ, ϕ) 2l + 1 a l
r<
2 0 0
φ (r) = 8π σ Pl (0) δm0 l+1
r dr
2l + 1 4π 0 r>
l=0 m=−l
∞
"Z #
X Y (θ, ϕ) a
r l
φ (r) = 8π 2 σ p l0 Pl (0) < 0 0
l+1
r dr
l=0
4π (2l + 1) 0 r >
132CAPÍTULO 6. FUNCIÓN DE GREEN Y ECUACIÓN DE POISSON EN COORDENADAS ESFÉRICAS
r
2l + 1
Yl0 (θ, ϕ) = Pl (cos θ)
4π
∞
"Z #
X a
r<l
0 0
φ (r) = 2πσ Pl (cos θ) Pl (0) l+1
r dr
l=0 0 r >
de modo que
"Z #
hr a i ∞
X a l
r<
φ (r) = 2πσP1 (cos θ) P1 (0) + r ln + 2πσ Pl (cos θ) Pl (0) l+1
r 0 dr 0
| {z } 3 r 0 r>
=0 l=0,l6=1
b) r > a
Z Z
a l
r< a
(r 0 )l 0 0 al+2 1
l+1
r 0 dr 0 = r dr =
0 r> 0 r l+1 l + 2 r l+1
1. φ es singular en r = 0
Se puede hacer b → ∞, con a → ∞ (pero manteniendo b < a), y V = 0. Para obtener el potencial
generado por la varilla semi-infinita.
hay que tener presente que la integral volumétrica de carga solo varı́a entre [0, π] para la variable ϕ. Con
esto se obtiene
134CAPÍTULO 6. FUNCIÓN DE GREEN Y ECUACIÓN DE POISSON EN COORDENADAS ESFÉRICAS
s
X Xl
2iYlm (θϕ) 2l + 1 (l − m)! m Yl0 (θ, ϕ) π
φ (r) = 4πσ r
Pl (0) + √ √
l6=1
(2l + 1) m
m=−l
4π (l + m)! 2l + 1 4π
impar
" r #
1 1 r l−1 1
X Y1m (θ, ϕ) 2i 3 m Y10 (θ, ϕ) a
+ 1− + 4πσ P1 (0) + √ π r ln
l−1 l+2 a 3 m 8π 12π r
m=−1
Si la carga cubre el ángulo completo en ϕ, la expresión es mucho más simple debido a la simetrı́a azimuthal
y es
X
1 1 r l−1
φ (r) = σ 2π Pl (cos θ) Pl (0) + r 1−
l−1 l+2 a
l6=1
Z Z Z Z
π
N
X N
X δ (r − a) 2 2πn
ρdV = q= qk = qk δ cos θ − cos sin θ dθ r dr δ ϕ−
2 r2 N
k=1 k=1
N
δ (r − a) X 2πn
⇒ ρ = δ (cos θ) qk δ ϕ −
r2 N
k=1
el potencial es
∞ X
X l Z l
Ylm (θ, ϕ) ∗ 0 0 r<
φ (r) = 4π ρ r0 Ylm θ , ϕ l+1 r 02 dr 0 dΩ0
2l + 1 r>
l=0 m=−l
XN X ∞ X l Z
Ylm (θ, ϕ) ∗ 0 0
0
0 2πn 0
= 4π qk Ylm θ , ϕ δ cos θ δ ϕ − dΩ
2l + 1 N
k=1 l=0 m=−l
Z l
δ (r 0 − a) r<
× r 02 dr 0
r 02 l+1
r>
Capı́tulo 7
La base natural para expansiones en coordenadas cilı́mdricas son las funciones de Bessel. Por tanto,
podemos encontrar la función de Green para espacio infinito en términos de funciones de Bessel, de la
misma forma es conveniente calcular la función de Green para el espacio entre dos cilindros. Lo cual nos
permite calcular fácilmente potenciales (de la ec. de Poisson) cuando tenemos problemas que involucran esta
simetrı́a.
135
136 CAPÍTULO 7. FUNCIONES DE GREEN EN COORDENADAS CIL ÍNDRICAS
Capı́tulo 8
Multipolos eléctricos
Es bien sabido que cuando tenemos una distribución localizada de cargas, para puntos muy lejanos
a la distribución, el campo observado se asemeja al de una carga puntual. Nos podemos preguntar ¿que
pasa cuando la carga neta de la distribución es cero?, ciertamente el campo aún en puntos lejanos no es
necesariamente cero, debido a que las cargas individuales que componen a la distribución, están a diferentes
distancias y orientaciones relativas con respecto al punto de observación. La forma mas obvia de proceder
consiste en la aplicación directa del principio de superposición. No obstante, para distribuciones complejas
existen alternativas simplificadoras que si bien son solo aproximadas, nos pueden dar una visión más sencilla
del problema. El propósito del presente capı́tulo es desarrollar estos métodos de aproximación para campos
lejanos. En particular, veremos más adelante que la presente formulación adquiere notable importancia en
los casos en que no se conoce la distribución de carga de manera detallada, como ocurre por ejemplo cuando
estudiamos campos en la materia. En dicha situación no es posible una aplicación directa del principio de
superposición.
1 −1 p −1
−1/2
= r − r0 = (r − r0 ) · (r − r0 ) = r 2 + r 02 − 2r · r0
|r − r0 |
( " 0 2 #)−1/2 02 −1/2
r r · r 0 1 r r · r0
2
= r 1+ −2 2 = 1+ 2 −2 2
r r r r r
" 02 2 #
1 1 r r · r0 − 12 − 12 − 1 r 02 r · r0
= 1− −2 2 + −2 2 + ...
r 2 r2 r 2! r2 r
" ! #
1 1 r 02 r · r0 3 r 04 (r · r0 )2 r 02 r · r0
= 1− −2 2 + +4 −4 2 2 + ...
r 2 r2 r 8 r4 r4 r r
137
138 CAPÍTULO 8. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
h i
Realizaremos la expansión que está en el paréntesis cuadrado, hasta orden O (r 0 /r)2 . Por ejemplo, el
término (r · r0 ) /r 2 = (rr 0 cos θ) h/r 2 = (ri0 /r) cos θ es del orden O [r 0 /r]; el término (r · r0 )2 /r 4 = r 2 r 02 cos2 θ /r 4 =
r 02 /r 2 cos2 θ es del orden O (r 0 /r)2 . La expansión hasta segundo orden del término entre paréntesis
cuadrados nos da entonces
" ! #
1 1 1 r 02 r · r0 3 (r · r0 )2
= 1− −2 2 + 4 + ...
|r − r0 | r 2 r2 r 8 r4
" #
1 1 1 r · r0 1 1 r 02 3 1 (r · r0 )2
= + − + 4 + ...
|r − r0 | r r r2 2 r r2 8r r4
1 1 r · r0 1 r 02 3 (r · r0 )2
= + 3 − + + ...
|r − r0 | r r 2 r3 2 r5
y factorizando potencias iguales en r 0 , la expansión queda
1 1 r · r0 1
0
= + 3 + 5 3 r · r0 r · r0 − r 2 r 02 + . . . (8.2)
|r − r | r r 2r
reemplazando (8.2) en (8.1) el potencial queda
Z
0
1 r · r0 1 0
φ (r) = Kc ρ r + 3 + 5 3 r · r r · r − r r + . . . dV 0
0 2 02
r r 2r
Z Z Z
Kc r Kc r
φ (r) = ρ r0 dV 0 + Kc 3 · r0 ρ r0 dV 0 + 5 · 3r0 r0 − I r 02 ρ r0 dV 0 · r + . . . (8.3)
r r 2r
nótese que las integrales que aparecen en (8.3) no dependen del punto r de evaluación del potencial, sino solo
de la distribución de carga como tal. Si sintetizamos estos términos integrales adecuadamente los podemos
escribir de la siguiente manera
Kc q Kc (p · r) Kc
φ (r) = + 3
+ 5 r·Q·r + . . . (8.4)
r r 2r
Z Z Z
0
0 0
0
q ≡ ρ r dV dV ⇒ pi = ρ r 0 x0i dV 0
; p≡ rρ r 0
(8.5)
Z Z
Q ≡ 3r r − I r ρ r dV ⇒ Qij = ρ r0 3x0i x0j − r 02 δij dV 0
0 0 02 0 0
(8.6)
Las Ecs. (8.5, 8.6) nos definen los 3 primeros multipolos cartesianos. La Ec. (8.4) la podemos reescribir en
la forma
Kc q Kc (p·b r) Kc
φ (r) = + 2
+ 3b r·Q·br + ...
r r 2r
siendo br ≡ r/r, de esta expresión se vé que cada término integral (multipolo) lo definimos de acuerdo con
la potencia de 1/r que lo acompaña: q ≡momento de monopolo eléctrico (carga, escalar), su contribución al
potencial es de la forma 1/r; p ≡momento de dipolo eléctrico (vector), su contribución al potencial es de la
forma 1/r 2 . Q ≡momento de cuadrupolo eléctrico (Diada), contribución al potencial ∼ 1/r 3 .
Cuando se toman todos los términos de la expansión, el resultado es exacto siempre que r > r 0 (no serı́a
estrictamente necesario que fuera mucho mayor). Sin embargo, la utilidad práctica de estas expansiones se
da usualmente en el régimen de campo lejano (r >> r 0 ), en el cual es posible tomar solo unos pocos términos,
aunque existen excepciones a esta regla (ver sección 8.1.4).
Para el cuadrupolo se puede observar que
3
X
Qii = tr [Q] = 0 ; Qij = Qji
i=1
8.1. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROST ÁTICO 139
es decir que es un tensor de segundo rango, simétrico y de traza nula. Esta diada solo tiene en consecuencia,
5 componentes independientes (sin tener en cuenta las posibles simetrı́as adicionales de la distribución de
carga). Estos multipolos también se pueden obtener tomando la expansión de |r − r 0 |−1 en polinomios de
Legendre Ec. (2.37) y reemplazándola en el potencial (8.1), teniendo en cuenta que cos γ = b r0 y que r > r 0
r ·b
de modo que r 0 = r< , r = r> .
Finalmente resulta útil tener en cuenta que el potencial (8.4) se puede generar a partir de la siguiente
densidad volumétrica equivalente
1
ρ (r) = qδ (r) − p · ∇δ (r) + Q : ∇∇δ (r) + . . . (8.7)
6
∞ X
X l Z
4πKc Ylm (θ, ϕ) ∗ 0 0 0 l 02 0
φ (r) = l+1
ρ r0 Ylm θ , ϕ r r dr dΩ0
2l + 1 r
l=0 m=−l
de nuevo, la integral depende solo de la distribución de cargas, y no del punto de evaluación del potencial,
con lo cual podemos absorber este término en un coeficiente.
∞ X
X l
4πKc Ylm (θ, ϕ)
φ (r) = qlm (8.8)
2l + 1 r l+1
l=0 m=−l
teniendo en cuenta la forma explı́cita de los primeros armónicos esféricos, ası́ como las siguientes relaciones
se obtiene
Z r Z r
1 0
0 q 3 0 0
0
0 3
q00 = √ ρ r dV = √ ; q11 = − x − iy ρ r dV = − (px − ipy )
4π 4π 8π 8π
r Z r
3 3
q10 = z 0 ρ r0 dV 0 = pz
4π 4π
r Z r
1 15 0 0
0 2 0
0 1 15
q22 = x − iy ρ r dV = (Q11 − 2iQ12 − Q22 )
4 2π 12 2π
r Z r
15 0 0 0
0
0 1 15
q21 = − z x − iy ρ r dV = − (Q13 − iQ23 )
8π 3 8π
r Z r
1 5 02 02
0
0 1 5
q20 = 3z − r ρ r dV = Q33 (8.10)
2 4π 2 4π
Las Ecs. (8.10), muestran la relación que hay entre los multipolos esféricos y los cartesianos.
En la expansión multipolar en armónicos esféricos, las funciones en base a las cuales se hizo la expansión
son ortogonales en l y en m. De modo que los coeficientes q lm son independientes para cada valor de l y m.
A cada valor de l, le corresponden 2l + 1 multipolos. En contraste, la expansión en serie de Taylor no nos
da términos ortogonales entre sı́, de modo que no conforma una base, por tanto los coeficientes (multipolos
cartesianos) no tienen porqué ser independientes 1 . Hay (l+1)(l+2)
2 multipolos cartesianos de orden l, pero
solo 2l + 1 son independientes. Por ejemplo, el cuadrupolo esférico (l = 2) tiene 5 componentes (todas
independientes), en tanto que el cuadrupolo cartesiano posee 9. Sin embargo, el hecho de que el tensor
cartesiano es simétrico y de traza nula hace que solo tenga 5 componentes independientes.
El octupolo esférico (l = 3) tiene 7 componentes; el cartesiano tiene 10, pero dado que es un tensor de
tres ı́ndices
P puede ser construı́do de modo que además de ser completamente antisimétrico, tenga “trazas”
nulas ( πiij = 0, j = 1, 2, 3) lo que reduce el número de componentes independientes a 7.
Como ya vimos antes, los multipolos dependen fuertemente de la escogencia del origen de coordenadas.
Imaginemos que los multipolos qlm son nulos para todo l < l0 , de modo que l0 es el menor valor de l para
el cual los multipolos esféricos son no nulos. Puede demostrarse que
Theorem 10 Si los multipolos qlm son nulos para todo l < l0 , pero los multipolos con l = l0 no son nulos,
entonces los 2l0 + 1 multipolos ql0 m son independientes del origen de coordenadas. Sin embargo los
multipolos de orden más alto (l > l0 ), dependen en general del origen.
Exercise 11 Veamos la manera en que transforma el momento dipolar cuando se hace un cambio de origen.
Para ello escribamos el momento dipolar enfatizando en el origen de coordenadas utilizado
Z
pA = rA ρA (rA ) d3 rA
sea r0 el vector posición del nuevo origen B con respecto al antiguo origen A. Llamando r B a las nuevas
coordenadas de posición con respecto a B, se tiene que r B = rA − r0 y el momento dipolar visto por B es
Z Z Z
pB = rB ρB (rB ) d3 rB = (rA − r0 ) ρB (rB ) d3 (rA − r0 ) = (rA − r0 ) ρB (rB ) d3 rA
Adicionalmente, para un valor fijo de r A se tiene que ρA (rA ) = ρB (rB ) ya que lo que estamos midiendo
es la densidad de la misma distribución en el mismo punto del espacio, vista por diferentes sistemas de
referencia en reposo relativo. Por tanto
Z Z Z
pB = (rA − r0 ) ρA (rA ) d rA = rA ρA (rA ) d rA − r0 ρA (rA ) d3 rA
3 3
pB = p A − r 0 Q
1
Esto se puede ver también por el comportamiento de los tensores multipolares ante rotaciones. Los tensores cartesianos son
reducibles en tanto que los esféricos son irreducibles.
8.1. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROST ÁTICO 141
esto nos da la manera en que el dipolo de la distribución transforma cuando cambiamos el origen. En
particular si la carga neta de la distribución se anula nos queda que p B = pA ; de modo que cuando el
monopolo es nulo, el dipolo es independiente del origen, lo cual es un caso particular del teorema 10.
qd cos θ p·r
V (r) ' Kc 2
= Kc 3 ; p ≡ qd
r r
donde d es un vector que va desde la carga negativa hacia la positiva. El potencial se comporta como 1/r 2
de forma idéntica al término que llamamos dipolo en la Ec. (8.4). El potencial decrece mas rápidamente que
una carga puntual lo cual era de esperarse debido al efecto de apantallamiento de las cargas. Similarmente
si colocamos cuatro cargas ±q y ∓q en los vértices de un cuadrado de tal forma que las cargas iguales
están diagonalmente opuestas, podemos ver que el potencial se comporta como 1/r 3 es decir disminuye mas
rápido que en el dipolo2 . Este comportamiento es el que corresponde a un cuadrupolo, tercer término en la
expansión (8.4).
Finalmente, examinaremos una configuración de 4 cargas q y 4 cargas −q, ubicadas en los vértices de
un cubo de tal manera que dos vértices conectados por una diagonal principal tienen cargas opuestas, y los
vértices que conectan las diagonales de una cara son del mismo signo. Esto implica colocar dos cuadrupolos
en contraposición, se puede ver que el potencial decrece como 1/r 4 y el término se denomina octupolo, serı́a
el siguiente término (no indicado) en la expansión (8.4).
Es necesario aclarar sin embargo que en cada uno de estos sistemas realmente contribuyen todos los
multipolos (en la carga puntual otros multipolos contribuyen si la colocamos fuera del origen), lo único
que podemos afirmar es que el multipolo no nulo de menor orden en cada caso son el monopolo, dipolo,
cuadrupolo, etc. De acuerdo con el teorema descrito en la sección anterior, el monopolo, dipolo, cuadrupolo,
y octupolo son independientes del origen para las configuraciones aquı́ descritas de una, dos, tres, cuatro y
ocho cargas respectivamente.
Bajo ciertos casos lı́mite podemos construı́r a partir de las configuraciones reales, ciertos multipolos
puros, por ejemplo la carga ubicada en el origen es un monopolo puro (d → 0 siendo d la distancia al
origen), el sistema de dos cargas ±q, forman un dipolo puro en el lı́mite r → ∞, o en el lı́mite q → ∞, d → 0
con qd = cte siendo q la magnitud de las cargas y d la separación entre éstas. En tal caso, solo el término
dipolar contribuye al potencial. De forma análoga, un cuadrupolo puro se obtiene colocando dos dipolos p
y −p a una distancia d y haciendo d → 0 de tal forma que p d = cte en este caso el cuadrupolo es el único
que contribuye.
donde r es el punto donde se evalúa el potencial, y r 0 el punto donde se ubica el momento dipolar.
A continuación examinaremos una importante propiedad del campo eléctrico debido a una distribución
de carga localizada. Haremos la integral de volumen del campo generado por la distribución evaluada en el
interior de una esfera de radio R, tomando el origen en el centro de la esfera
Z Z
E (r) dV = − ∇φ (r) dV
r<R r<R
es posible demostrar (ver apéndice C) que esta integral viene dada por
Z Z
4πKc R2 r< 0 0
0 0 r0
E (r) dV = − 2 n ρ r dV ; n ≡ (8.12)
r<R 3 r> r0
donde r< (r> ) es el menor (mayor) entre R y r 0 . Obsérvese que la integración en las variables primadas se
realiza en toda la región en donde hay carga, sin importar si esta región es interior o exterior a la esfera.
La expresión (8.12), es válida para cualquier tamaño y ubicación de la esfera, siempre que coloquemos el
origen en el centro de ésta. En particular, tomemos el caso en el cual la esfera encierra toda la carga de la
distribución. En tal caso, R = r> , r 0 = r< en (8.12) de lo cual se obtiene
Z Z
4πKc R2 0r
0 4πKc
E (r) dV = − 2
r 0
ρ r0 dV 0 = − p (8.13)
r<R 3R r 3
donde p es el momento dipolar de la distribución tomando el origen en el centro de la esfera. Obsérvese que
el resultado es independiente del tamaño de la esfera siempre y cuando encierre toda la carga. También es
notable el hecho de que esta igualdad es exacta, ya que no hemos tomado ningún tipo de aproximación para
el cálculo de E (r) (no estamos tomando por ejemplo aproximación dipolar).
Tomemos un segundo caso particular en el cual la esfera no encierra a ningún elemento de carga de la
distribución, tomando el origen de nuevo en el centro de la esfera. En tal caso R = r < , r 0 = r> y la expresión
(8.12) queda: Z Z
4πKc R3 1 0
E (r) dV = − 02
n ρ r0 dV 0
r<R 3 r
la integral claramente se reconoce como la evaluación del campo eléctrico en el centro de la esfera excepto
por algunos factores multiplicativos
Z
4πR3
E (r) dV = E (0) ⇒
r<R 3
Z
1
E (r) dV = E (0) (8.14)
Vesf r<R
lo cual nos indica que el valor promedio del campo eléctrico tomado sobre el volumen de la esfera es igual al
valor del campo evaluado en el centro de la misma. Este resultado es independiente del tamaño y ubicación
de la esfera siempre que ésta no contenga carga 3 .
Por otro lado asumiendo aproximación dipolar del campo Ec. (8.11) y realizando la integral sobre una
esfera que contiene al dipolo, vemos que no se reproduce la Ec. (8.13), esto ocurre debido a una serie de
aspectos
3
Obsérvese la analogı́a de este resultado con el que se obtiene para el potencial (ver sección 2.2), salvo que en el caso del
potencial el promedio se toma sobre la superficie y no sobre el volumen. Por otro lado, de los resultados aquı́ expresados se
vé que el promedio del campo sobre el volumen de la esfera vienen dado por −Kc p/R3 en el caso en el cual la esfera contiene
a toda la carga de la distribución.
8.1. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROST ÁTICO 143
La aproximación dipolar y en general la expansión multipolar requiere que r > r 0 para garantizar la
convergencia de la serie. Sin embargo, en este caso al evaluar la integral de volumen descrita arriba,
estamos tomando puntos cercanos en donde la serie multipolar no necesariamente converge.
En particular en el punto donde está ubicado el dipolo r 0 , la integral diverge en su componente radial.
Se puede ver en general que la integración angular se anula en tanto que la radial diverge.
La expresión (8.13) es válida para el campo exacto y no para la aproximación dipolar del campo.
Es notable sin embargo que podemos hacer compatibles las integrales de volumen agregando un término
a la aproximación dipolar (8.11) de la siguiente forma
3n (p · n) − p 4π
E (r) = Kc − pδ (r − r0 ) (8.15)
|r − r0 |3 3
Con este término la integral de volumen del campo en (8.15) coincide con el valor obtenido en (8.13).
Un procedimiento interesante para encontrar el término adicional se puede ver en Griffith tercera edición
problema 3.42. Obsérvese que la delta de Dirac no contribuye en regiones de campo lejano de modo que no
altera la contribución dipolar para r > r 0 . Para analizar la utilidad de (8.15), podemos ver que la integral
(8.13) fué realizada sobre una distribución real de cargas en tanto que la integral de volumen realizada con
(8.15) se hace en principio sobre un dipolo puntual. El hecho de que ambas integrales coincidan no indica
que ambos campos sean iguales en cada punto, pero sı́ significa que sus promedios coinciden en un cierto
volumen. Con frecuencia cuando tomamos campos en la materia debemos realizar los cálculos basados en
promedios macroscópicos, para cuyos efectos el campo real se puede emular muy bien a través de (8.15)
puesto que ambos reproducen el mismo promedio. Obsérvese en particular que en este caso estamos usando
la aproximación dipolar en un régimen muy cercano a la distribución, para el cual la expansión multipolar
original queda fuera de rango. El primer término en (8.15) es la contribución de un dipolo puntual, en
tanto que el segundo es un término efectivo que me da cuenta de los efectos adicionales producidos por la
distribución real de cargas. Como veremos más adelante, los momentos dipolares magnéticos admiten un
tratamiento similar.
ρ r0 = qδ x0 δ y 0 δ z 0 − a
monopolo
Z
q= ρ r0 dV 0
dipolo
Z Z
0
0 0
p = ρ r r dV = q δ x0 δ y 0 δ z 0 − a x0 ux + y 0 uy + z 0 uz dx0 dy 0 dz 0
p = qauz
144 CAPÍTULO 8. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
cuadrupolo
Z Z
0
0 0 02
0
Q = ρ r 3r r − r I dV ; Qij = ρ r0 3x0i x0j − r 02 δij dV 0
Qxx = −a2 q
Z
Qyy = q δ x0 δ y 0 δ z 0 − a 2y 02 − x02 − z 02 dx0 dy 0 dz 0 = −a2 q
Z
Qzz = q δ x0 δ y 0 δ z 0 − a 2z 02 − x02 − y 02 dx0 dy 0 dz 0 = 2a2 q
Z Z
0
0
0
0 0 02
0
Qxy = q δ x δ y δ z −a 3x y − r δ12 dV = q δ x0 δ y 0 δ z 0 − a 3x0 y 0 dV 0 = 0
Z Z
0
0
0
0 0 02
0
Qxz = q δ x δ y δ z −a 3x z − r δ13 dV = q δ x0 δ y 0 δ z 0 − a 3x0 z 0 dV 0 = 0
Z
Qyz = q δ x0 δ y 0 δ z 0 − a 3y 0 z 0 dV 0 = 0
b) Multipolos esféricos
q
ρ r0 = 2
δ r 0 − a δ cos θ 0 − 1
2πa
Z Z
0
∗ 0q 0
0 l 0
∗ l
qlm = ρ r Ylm
θ , ϕ r dV = 2
δ r 0 − a δ cos θ 0 − 1 Ylm θ 0 , ϕ0 r 0 r 02 dr 0 sin θ 0 dθ 0 dϕ0
2πa
l+2 Z Z
qa 0
∗ 0 0 0 0 0 qal ∗
qlm = 2
δ cos θ − 1 Ylm θ , ϕ sin θ dθ dϕ = Ylm 0, ϕ0 dϕ0
2πa 2π
∗ (θ 0 , ϕ0 ), y evaluando en θ 0 = 0 se obtiene
apelando a la definición (2.39) de Y lm
s Z 2π
qal 2l + 1 (l − m)! m
qlm = P (1) eimϕ
2π 4π (l + m)! l 0
s r r !
qal 2l + 1 (l − m)! m 2l + 1 0 2l + 1
qlm = P (1) (2πδmo ) = qal δmo Pl (1) = qal δmo
2π 4π (l + m)! l 4π 4π
si a = 0 solo q00 existe (o solo el monopolo cartesiano). Efectivamente, para carga puntual en el origen solo
contribuye el monopolo. Los multipolos con m 6= 0 se anulan lo cual es lógico por la simetrı́a azimutal.
De un modo similar se puede demostrar que para un par de cargas puntuales q, −q situadas en r 0 y r1
respectivamente, sus momentos multipolares se pueden escribir como
h i
qlm = q r0l Ylm
∗
(θ0 , φ0 ) − r1l Ylm
∗
(θ1 , φ1 )
8.1. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROST ÁTICO 145
estos tres momentos dipolares son independientes de la elección del origen de coordenadas (aunque sı́ de-
penden de la posición relativa entre las cargas), y son los momentos multipolares no nulos con l más bajo,
es decir cumplen el teorema discutido en la sección 8.1.2.
Para el caso de una sola carga puntual, el momento monopolar es el multipolo no nulo con l mas bajo
(l = 0) y efectivamente es el único que es independiente del origen.
Z
2δ (r 0 ) δ (r 0 − a) δ (cos θ 0 − 1) δ (r 0 − a) δ (cos θ 0 + 1)
qlm = q − −
4πr 02 2πa2 2πa2
∗
l
×Ylm θ 0 , ϕ0 r 0 dV 0
Z Z Z
2δ (r 0 ) 0 l 0 ∗
δ (r 0 − a) 0 l+2 0
= q r dr Ylm θ 0 , ϕ0 dΩ0 − q r dr
4π 2πa2
Z
∗
× Ylm θ 0 , ϕ0 δ cos θ 0 − 1 sin θ 0 dθ 0 dϕ0
Z Z
δ (r 0 − a) 0 l+2 0 ∗
−q 2
r dr Ylm θ 0 , ϕ0 δ cos θ 0 + 1 sin θ 0 dθ 0 dϕ0
2πa
qal+2 Z
2q √ ∗
qlm = δl0 4πδl0 δm0 − 2
Ylm 0, ϕ0 dϕ0
4π 2πa
l+2 Z
qa ∗
− 2
Ylm π, ϕ0 dϕ0
2πa
ls Z 2π
2q l qa 2l + 1 (l − m)! m 0
qlm = √ (δl0 δm0 ) a − Pl (1) eimϕ dϕ0
4π 2π 4π (l + m)!
|0 {z }
2πδmo
s Z 2π
qal 2l + 1 (l − m)! m 0
− P (−1) eimϕ dϕ0
2π 4π (l + m)! l
|0 {z }
2πδmo
h i r r
2q l l 2l + 1 0 l 2l + 1 0
qlm = √ δm0 (2l + 1) a δl0 − qa Pl (1) δm0 − qa Pl (−1) δm0
4π | {z } 4π 4π
=δl0
r
2l + 1
qlm = qal δm0 [2δl0 − Pl (1) − Pl (−1)]
4π
146 CAPÍTULO 8. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
donde R es un punto de la superficie de esta cuasi esfera. Evaluemos de nuevo los multipolos esféricos
Z Z R(θ 0 ,ϕ0 )
∗
qlm = ρ r 0l Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 r 02 dr 0 dΩ0
Ω0 0
Z "Z #
R(θ 0 ,ϕ ) 0
= ρ r 0l+2 dr 0 Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0
Ω0 0
Z " #
[R (θ´, ϕ0 )]l+3 ∗
= ρ Ylm θ 0 , ϕ0 dΩ0
Ω0 l+3
l+3
Z 2
X
R0l+3 ∗
= ρ Ylm θ0, ϕ 0 1 + α2µ Y2µ θ 0 , ϕ 0
dΩ0
l+3 µ=−2
Z 2
X
∼ R0l+3 ∗
= ρ Ylm θ0, ϕ 0 1 + (l + 3) α2µ Y2µ θ 0 , ϕ0 dΩ0
l+3
µ=−2
8.2. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DE LA ENERGÍA 147
donde esta aproximación se justifica en virtud de que |α 2µ | << 1. De nuevo podemos usar ortogonalidad de
los armónicos esféricos
Z 2 Z
∗ ∼ R l+3
∗ 0
Y00 (θ 0 , ϕ0 )
0 0 R0l+3 (l + 3) X ∗
qlm = ρ 0 Ylm θ ,ϕ √ dΩ + ρ α2µ Ylm θ 0 , ϕ0 Y2µ θ 0 , ϕ0
l+3 4π l+3 µ=−2
2
X
R0l+3 l+3
= ρ δl0 δm0 + ρR0 α2µ δl2 δmµ ⇒
l+3
µ=−2
ρR03
qlm ∼
= δl0 δm0 + ρR05 α∗2m δl2
3
por tanto los únicos multipolos que contribuyen, al menos en esta aproximación son el monopolo l = 0 y el
cuadrupolo l = 2
ρR03
q00 ∼
= ; q2m = ρR05 α∗2m
3
de la Ec. (8.16) se puede ver que el hecho de que el monopolo y el cuadrupolo sean las contribuciones
dominantes (los otros no son estrictamente nulos cuando no se toma la aproximación), está relacionado con
el hecho de que la geometrı́a de la superficie es la suma de dos términos, uno constante (es decir proporcional
a Y00 ) y otro cuya contribución proviene de los armónicos con l = 2.
Estos resultados tienen muchas aplicaciones en Fı́sica nuclear, ya que la presencia de momentos multi-
polares no monopolares nos indica la existencia de deformación en los núcleos.
debemos anotar que este valor no corresponde a la energı́a necesaria para ensamblar la distribución. En
realidad, se está suponiendo que dicha distribución ya está armada y que se comporta como un cuerpo
rı́gido a fin de que su energı́a interna (energı́a para ensamblarla) no sea relevante en el problema. Con el
valor de Uext de la ecuación (8.17) conocemos la energı́a potencial asociada a las fuerzas externas (interacción
de las cargas con el campo externo), y con ella podemos calcular el trabajo necesario para que la distribución
como un todo se transporte de un lugar a otro dentro del campo en el que se encuentra inmerso.
Si suponemos que φext (r) varı́a suavemente en las regiones en las cuales ρ no es despreciable, podemos
hacer una expansión de Taylor del potencial alrededor de un cierto origen r 0 . Por brevedad definamos
x = r − r0
1 XX ∂ 2 φext
φext (r) = φext (r0 ) + x · ∇φext (r0 ) + xi xj (r0 ) + . . .
2 ∂xi ∂xj
i j
por brevedad, usaremos convención de suma sobre ı́ndices repetidos, eliminaremos el subı́ndice “ext” y
denotaremos
∂2φ
xi xj (r0 ) ≡ xx : ∇∇φ (r0 )
∂xi ∂xj
∂Ej
= −xx : ∇E (r0 ) ≡ −xi xj (r0 )
∂xi
148 CAPÍTULO 8. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
Donde hemos tenido en cuenta que E = −∇φ. La notación de dos puntos : es una extensión natural de la
notación de producto punto a · b = ai bi en el caso en el cual hay suma sobre dos ı́ndices independientes.
Con esta notación, el potencial queda
1
φ (r) = φ (r0 ) − x · E (r0 ) − xx : ∇E (r0 ) + . . .
2
Ahora debemos tener en cuenta que el potencial φ (r), corresponde al potencial debido a las fuentes remotas
únicamente. Es decir, no corresponde al potencial total generado en el punto r, el cual serı́a la superposición
del potencial generado por las cargas remotas (cuya distribución denotaremos por ρ̄ (r)) y el generado por
las cargas de la distribución que estamos considerando (que denotaremos como ρ (r)). La razón por la cual
φ (r) no es el potencial total en el punto r, es que en la Ec. (8.17) estamos evaluando la energı́a asociada a
fuerzas externas al sistema ρ (r), y las fuerzas internas han sido excluı́das de la formulación. De la misma
forma, E (r) no es el campo resultante en r, sino el campo producido exclusivamente por las cargas remotas
ρ̄ (r), por lo tanto ∇ · E (r0 ) = 0, siempre y cuando no haya presencia de carga remota en r 0 , incluso si en
dicho punto hay carga ρ (r0 ) de la distribución bajo estudio. Asumiendo por tanto que no hay carga remota
en r0 tenemos que
∂i Ei (r0 ) = 0 ⇒ δij ∂i Ej (r0 ) = 0 (8.18)
ó en la notación que hemos desarrollado
I : ∇E (r0 ) = 0, (8.19)
2
multiplicando esta expresión por el escalar (r − r 0 ) se obtiene
(r − r0 )2 I : ∇E (r0 ) = 0 (8.20)
adicionando este término nulo al tercer término en la expansión del potencial, y recordando que x ≡ r − r 0 se
obtiene
1h i
φ (r) = φ (r0 ) − (r − r0 ) · E (r0 ) − 3 (r − r0 ) (r − r0 ) − (r − r0 )2 I : ∇E (r0 ) + . . .
6
al reemplazar en (8.17) resulta
Z
1h 2
i
Uext = ρ (r) φ (r0 ) − (r − r0 ) · E (r0 ) − 3 (r − r0 ) (r − r0 ) − (r − r0 ) I : ∇E (r0 ) + . . . dV
6
separando las integrales que solo dependen de las distribuciones, queda
Z
Uext = qφ (r0 ) − ρ (r) (r − r0 ) dV · E (r0 ) +
Z h i
1 2
− ρ (r) 3 (r − r0 ) (r − r0 ) − (r − r0 ) I dV : ∇E (r0 ) + . . . (8.21)
6
los cuales identificamos como los multipolos cartesianos Ecs. (8.5, 8.6)
1
Uext = qφ (r0 ) − p · E (r0 ) − Q : ∇E (r0 ) + . . . (8.22)
6
1
Uext = qφ (r0 ) − pi Ei (r0 ) − Qij ∂i Ej (r0 ) + . . . (8.23)
6
estos momentos multipolares son los correspondientes a la distribución de carga ρ (r) colocada en el campo
externo, y se evalúan con respecto a r 0 . Es importante insistir en que r0 debe estar ausente de carga remota
i.e. ρ̄ (r0 ) = 0, aunque puede estar presente carga de la distribución ρ (r). De acuerdo con esta expresión
los diferentes multipolos interactúan de diferente manera con el campo externo: La carga interactúa con el
potencial, el dipolo con el campo E, el cuadrupolo con el gradiente del campo E, etc.
8.2. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DE LA ENERGÍA 149
Obsérvese que los multipolos dependen del origen pero la energı́a no. Esto tiene que ver con el hecho de
que el teorema de Taylor permite hacer la expansión alrededor de cualquier punto en donde la función sea
analı́tica, pero la expansión completa no depende del punto elegido. No obstante, es más conveniente elegir
un punto cercano a la distribución de carga externa, ya que de esa manera la serie converge más rápido 4 .
Como caso particular, puede verse que para φ = cte, E = 0 y solo contribuye el monopolo dando energı́a
potencial externa constante como era de esperarse. Para campo eléctrico uniforme contribuye hasta el dipolo,
para campo eléctrico con gradiente todos los multipolos en general pueden contribuı́r. De acuerdo con la
discusión sobre la forma en que cada multipolo se acopla al campo, vemos que la expansión cuadrupolar es
importante cuando tenemos campos de alto gradiente, tal es el caso de los campos en las vecindades de un
núcleo atómico, en donde los momentos multipolares pueden revelar aspectos de la estructura nucleónica
y de la forma del núcleo. En el caso de campos en la materia en el cual los campos se calculan a nivel
macroscópico, la aproximación dipolar será usualmente suficiente.
Un caso de gran interés es el del cálculo de la energı́a potencial externa de un dipolo debida al campo
generado por otro dipolo, para lo cual podemos usar las Ecs. (8.22, 8.15) y se obtiene
p1 · p2 − 3 (n · p1 ) (n · p2 ) r1 − r 2
U= 3 ; n≡
|r1 − r2 | |r 1 − r2 |
donde se asume que r1 6= r2 . Esta energı́a también se puede interpretar como la energı́a potencial interna
del sistema de los dos dipolos, es decir su energı́a de interacción. La interacción entre dipolos es repulsiva
o atractiva dependiendo de la orientación relativa de los dipolos. Cuando la orientación y separación de los
dipolos está fija, el valor de esta interacción promediado sobre las posiciones relativas es nulo. Si los momentos
dipolares son paralelos la fuerza es atractiva (repulsiva) cuando dichos momentos están orientados de tal
forma que la lı́nea que une sus centros es paralela (perpendicular) a los momentos dipolares. Efectivamente,
sin los momentos dipolares son paralelos entre sı́ y a su vez paralelos al vector relativo unitario n, la energı́a
interna que se obtiene es
que corresponde a interacción atractiva. Similarmente, si ambos momentos dipolares van en una dirección
n1 perpendicular a n esta energı́a es positiva, como corresponde a una interacción repulsiva. Se deja al lector
verificar lo que ocurre cuando los momentos dipolares son antiparalelos entre sı́ y uno de ellos es paralelo
(perpendicular) a n.
Dado que con frecuencia se puede asumir aproximación dipolar en las distribuciones de carga presentes en
la materia, la interacción entre dipolos se puede ver como una interacción efectiva entre porciones diferentes
de distribuciones, en particular cuando el tamaño de las porciones que definen el multipolo es mucho menor
que la distancia entre dichas porciones, ya que en este caso estarı́amos evaluando campo lejano 5 .
Finalmente, reemplazando (8.8) en (8.17), podemos calcular la energı́a potencial externa en términos de
multipolos esféricos
Z "∞ l #
X X 4πKc Ylm (θ, ϕ)
Uext = ρ (r) qlm dV
2l + 1 r l+1
l=0 m=−l
Sin embargo, de aquı́ no se puede ver fácilmente la forma caracterı́stica en que cada multipolo interactúa
con el campo externo, esto se debe a que aquı́ no se realiza una expansión de Taylor que nos muestre las
sucesivas derivadas del potencial en forma explı́cita.
4
Estrictamente, al truncar la serie estamos haciendo que la energı́a dependa del origen elegido, se espera que esta dependencia
sea suave si los términos convergen rápidamente.
5
Nótese que esta suposición es cierta en una gran variedad de materiales, ya que por lo general las distancias entre atómos
o moléculas son mucho mayores que los tamaños tı́picos de los átomos o moléculas.
150 CAPÍTULO 8. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
Example 12 Para dipolo Fı́sico en campo externo, la energı́a potencial externa se puede calcular en forma
directa. Asumiendo que las cargas −q, q están en las posiciones r 0 , r1 respectivamente tenemos que la carga
volumétrica equivalente es
ρ (r) = q [−δ (r − r0 ) + δ (r − r1 )] (8.24)
reemplazando esta densidad en (8.17) se obtiene
esta expresión es exacta. Cuando los vectores posición de ambas cargas están muy próximos entre sı́ podemos
hacer una expansión a primer orden en ∆r ≡ r 1 − r0 para obtener
el dipolo puntual se obtiene haciendo ∆r → 0 con q ∆r = p = cte con lo cual la energı́a externa para
configuración de dipolo puntual se escribe
Por otro lado, podemos calcular esta energı́a (en forma aproximada) por medio de la expansión multipolar
Ecs. (8.21, 8.22) y la densidad (8.24) con respecto a r 0 se tiene
Z
Uext = qtotal φ (r0 ) − ρ (r) (r − r0 ) dV · E (r0 )
Z
Uext = − q [−δ (r − r0 ) + δ (r − r1 )] (r − r0 ) dV · E (r0 )
en el lı́mite (r1 −r0 ) → 0, con q (r1 −r0 ) = cte ≡ p, se obtiene de nuevo la energı́a externa para el dipolo
puntual Ec. (8.26). Naturalmente, en el lı́mite de dipolo puntual la expresión (8.26) se considera exacta.
Nótese que la expansión se ha hecho tomando como origen a r 0 punto en el cual hay una carga puntual
localizada, sin embargo recordemos que esta carga pertenece a la distribución bajo estudio ρ (r) y no a la
distribución remota ρ̄ (r), por lo cual el campo E (r 0 ) es bien comportado pues este se debe solo a ρ̄ (r).
Example 13 Calcular la energı́a potencial de la distribución de tres cargas (q, −2q, q) alineadas sobre el
eje X e inmersas en el campo generado por una carga Q. La carga −2q está en el origen y las cargas q
están en (±a, 0, 0), finalmente la carga Q está en (0, 0, −R). El potencial y los multipolos se expandirán
alrededor de O 0 el punto donde se ubica la carga −2q, el cual será nuestro origen. La densidad volumétrica
de la distribución bajo estudio (q, q, −2q) es
es necesario tener claro qué cálculos requieren la distribución bajo estudio ρ (r) y qué cálculos requieren la
distribución remota ρ̄ (r0 ) que genera el campo. Primero calculamos los multipolos para lo cual se requiere
la distribución ρ (r)
qtotal = q + q − 2q = 0 ; p =qaux − qaux + (0) · 2qux = 0
8.2. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DE LA ENERGÍA 151
Z
Q11 = ρ (r) 3xx − x2 + y 2 + z 2 δ11 dV
Z
Q11 = [−2qδ (x) δ (y) δ (z) + qδ (x − a) δ (y) δ (z) + qδ (x + a) δ (y) δ (z)]
× 3x2 − x2 + y 2 + z 2 dV
Z
Q11 = [qδ (x − a) δ (y) δ (z) + qδ (x + a) δ (y) δ (z)] 2x2 − y 2 − z 2 dV
similarmente
Q22 = Q33 = −2qa2 ; Q12 = Q23 = Q31 = 0
en forma sintética se puede escribir
Qij = 2qa2 δij [3δi1 − 1] (8.27)
no hay suma sobre ı́ndices repetidos. Por otro lado, la expansión multipolar requiere también el campo
eléctrico generado únicamente por la distribución remota, quedando
Z Z
ρ̄ (r0 ) (r − r0 ) 0 δ (x0 ) δ (y 0 ) δ (z 0 + R) (x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) 0 0 0
E (r) = Kc dV = K c Q h i3/2 dx dy dz
|r − r0 |3 (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
(x, y, z + R)
E (r) = Kc Q h i3/2
x2 + y 2 + (z + R)2
y como el cuadrupolo es el primer multipolo que contribuye, también debemos calcular el gradiente del campo
eléctrico
∂Ex ∂ x
= Kc Q h i3/2
∂x ∂x x2 + y 2 + (z + R)2
h i3/2 h i1/2
x2 + y 2 + (z + R)2 − 32 x x2 + y 2 + (z + R)2 · 2x
= Kc Q h i3
x2 + y 2 + (z + R)2
∂Ey ∂ y
= Kc Q h i3/2 =0
∂x r=0 ∂x
x2 + y 2 + (z + R)2
r=0
∂Ey
= 0
∂z r=0
∂Ey ∂ y
= K c Q h i
∂y r=0 ∂y
x2 + y 2 + (z + R)2
3/2
r=0
h i3/2 h i1/2
x2 + y 2 + (z + R)2 − 32 y x2 + y 2 + (z + R)2 · 2y
= Kc Q h i3
x2 + y 2 + (z + R)2
r=0
∂Ey Kc Q
=
∂y r=0 R3
∂Ez ∂ z+R
= Kc Q h i3/2
∂x r=0 ∂x
x2 + y 2 + (z + R)2
h i1/2
3 2 2
− 2 · 2x x + y + (z + R) 2
(z + R)
= Kc Q h i3 =0
x2 + y 2 + (z + R)2
∂Ez
= 0
∂y r=0
∂Ez ∂ z+R
= Kc Q h i3/2
∂z r=0 ∂z
x2 + y 2 + (z + R)2
r=0
h i3/2 h i1/2
2 2
x + y + (z + R) 2 3 2 2
− 2 · 2 (z + R) x + y + (z + R) 2
(z + R)
= Kc Q h i3
x2 + y 2 + (z + R)2
r=0
3
∂Ez R − 3R3 2Kc Q
= Kc Q =−
∂z r=0 R6 R3
∂Ei Kc Q
[∇E (0)]ij = (0) = δij [1 − 3δi3 ] (8.28)
∂xj R3
no hay suma sobre ı́ndices repetidos, vemos por tanto que el cuadrupolo es en este caso, el primer multipolo
no nulo en la expansión. Reemplazando (8.27) y (8.28) en (8.23) y teniendo en cuenta que en (8.23) sı́ hay
8.3. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DE LA FUERZA 153
suma sobre ı́ndices repetidos, solo los elementos diagonales sobreviven de modo que
1 1
Uext = − Qij ∂i Ej (r0 ) + . . . = − Qii ∂i Ei + . . .
6 6
1
Uext = − {Q11 ∂1 E1 + Q22 ∂2 E2 + Q33 ∂3 E3 } + . . .
6
1 2
Kc Q 2
Kc Q 2
Kc Q
Uext = − 4qa + −2qa + −2qa −2 3
6 R3 R3 R
2
Kc Qqa
Uext = −
R3
haciendo el cálculo de la energı́a de modo directo, se calculan los acoples de las tres cargas externas con la
carga remota
K Qq Kc Qq 2Kc qQ 2Kc qQ 2Kc qQ
Uext = √ c +√ − =− + q 2
2
R +a 2 2
R +a 2 R R
R 1 + Ra
2
∼ 2K c qQ 1 a
= − 1−1+ + ... ⇒
R 2 R2
Kc qa2 Q
Uext = − + ...
R3
vemos en consecuencia que la aproximación de cuadrupolo puntual, coincide con el método directo cuando
expandimos hasta orden (a/R) 2 . Visto desde el punto de vista de los multipolos esféricos, el cuadrupolo
(l = 2) corresponde en este ejemplo al multipolo no nulo con l más bajo y se puede observar que efectivamente
es independiente del origen. Una imagen interesante consiste en ver la carga −2q como dos cargas −q y
−q muy cercanas entre sı́. Esto nos permite ver al sistema de tres partı́culas como dos dipolos alineados
antiparalelamente con lo cual los momentos dipolares se anulan como se vé en el cálculo. Por otro lado, la
expansión de Taylor que se hace a partir de la expresión exacta de U ext , nos muestra que la aproximación
cuadrupolar solo es razonable si a << R, es decir que para que la aproximación tenga sentido, es necesario
que las fuentes que llamamos remotas sean verdaderamente remotas.
siendo E (r) el campo eléctrico debido solo a las fuentes remotas, es decir no es el campo resultante sobre r.
Recurrimos entonces a la expansión de Taylor del campo eléctrico externo, usamos la notación x ≡ r − r 0 ,
y suma sobre ı́ndices repetidos
1 ∂Ei (r0 )
Ei (r) = Ei (r0 ) + xj ∂j Ei (r0 ) + xj xk + ...
2 ∂xj ∂xk
en notación tensorial
1
E (r) = E (r0 ) + (r − r0 ) · ∇E (r0 ) +
(r − r0 ) (r − r0 ) : ∇∇E (r0 ) + . . .
2
donde las contracciones se hacen con respecto a las componentes del gradiente y no con respecto a las
componentes del campo. Tomando esta expansión en la expresión de la fuerza
Z Z
F= ρ (r) dV E (r0 ) + ρ (r) (r − r0 ) dV · ∇E (r0 )
154 CAPÍTULO 8. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
Z
∇∇E (r0 )
+ ρ (r) (r − r0 ) (r − r0 ) dV : + ...
2
En regiones donde no hay carga remota se tiene que ∇ 2 φ (r) = 0, incluso si hay presencia de la carga bajo
estudio. De modo que
este término nulo puede incluı́rse en la última integral con el fin de completar el cuadrupolo, de lo cual se
obtiene Z Z
F= ρ (r) dV E (r0 ) + ρ (r) (r − r0 ) dV · ∇E (r0 )
Z h i
2 ∇∇E (r0 )
+ ρ (r) 3 (r − r0 ) (r − r0 ) − (r − r0 ) I dV : + ...
6
la expansión multipolar de la fuerza queda finalmente
1
F = qE (r0 ) + p (r0 ) · ∇E (r0 ) + Q (r0 ) : ∇∇E (r0 ) + . . . (8.31)
6
vamos a reescribir el término p (r0 ) · ∇E (r0 ). La componente k−ésima de este término es p i ∂i Ek . Por otro
lado, examinando componente a componente la ecuación ∇ × E = 0, válida para el campo electrostático
podemos ver que ∂i Ek = ∂k Ei para k 6= i, trivialmente esta relación también se cumple para k = i.
Adicionalmente, debemos tener en cuenta que los multipolos dependen del origen elegido pero no de la
posición, por tanto son constantes. Usando estos dos hechos se tiene
[p · ∇E]k = pi ∂i Ek = p1 ∂1 Ek + p2 ∂2 Ek + p3 ∂3 Ek
= p1 ∂k (E1 ) + p2 ∂k (E2 ) + p3 ∂k (E3 )
= ∂k (p1 E1 ) + ∂k (p2 E2 ) + ∂k (p3 E3 )
[p · ∇E]k = ∂k (p · E) = [∇ (p · E)]k
se llega a la identidad
p · ∇E = ∇ (p · E) (8.32)
el lector podrı́a a primera vista pensar que la identidad (8.32), es trivial dado que p no depende de la
posición y puede simplemente introducirse dentro del gradiente, esta peligrosa conclusión nos llevarı́a a que
(8.32) es válida para cualquier campo vectorial E. Sin embargo, es necesario tener presente el significado
de las contracciones a cada lado de la igualdad en (8.32), escrito en componentes esta igualdad nos dice
que pi ∂i Ek = ∂k (pi Ei ) lo cual no se obtiene simplemente introduciendo p i en el operador diferencial, la
propiedad adicional ∇ × E = 0 es necesaria para garantizar la validez general de (8.32).
Con un procedimiento similar transformamos el término cuadrupolar en (8.31). Teniendo en cuenta que
Qij es constante, se tiene
3
X 3 X
X 3
= ∂i (Qi1 ∂k E1 + Qi2 ∂k E2 + Qi3 ∂k E3 ) = ∂i (Qij ∂k Ej )
i=1 i=1 j=1
se llega a la identidad
[Q : ∇∇E] = [∇ (Q : ∇E)] (8.33)
finalmente, reemplazamos las identidades (8.32, 8.33) en la expansión multipolar de la fuerza (8.31) para
obtener
Q (r0 ) : ∇E (r0 )
F = −q∇φ (r0 ) + ∇ [p (r0 ) · E (r0 )] + ∇ + ...
6
Q (r0 ) : ∇E (r0 )
F = −∇ qφ (r0 ) − p (r0 ) · E (r0 ) − + ... (8.34)
6
pero la expresión entre paréntesis, es justamente la expansión multipolar de la energı́a potencial externa
asociada a la distribución, Ec. (8.22), y se concluye que
F = −∇Uext (8.35)
De acuerdo con la expresión (8.29), F es la fuerza externa total sobre la distribución. Por tanto la Ec. (8.35),
muestra la consistencia entre ambas expansiones. La Ec. (8.35) nos permite entender porqué la condición,
∇ × E = 0, es necesaria para garantizar las identidades (8.32, 8.33), ya que estas últimas nos conducen a la
conservatividad de F (manifestada en F = −∇U ext ) la cual en realidad proviene de la conservatividad del
campo (que se manifiesta en ∇ × E = 0)6 .
De la expansión (8.31) se puede ver en particular, que un dieléctrico neutro en un campo E uniforme,
no experimenta fuerza externa neta. Esto refuerza el hecho de que el monopolo interactúa con el campo, el
dipolo con su gradiente y ası́ sucesivamente.
denotando
∂
xl ≡ (r − r0 )l ; ∂l ≡
∂xl
y agrupando los términos que dependen de la distribución
Z Z Z
1
~τ = r0 × ρ (r) dV E (r0 ) + r0 × ρ (r) xl dV ∂l E (r0 ) + r0 × ρ (r) xl xm dV ∂l ∂m E (r0 )
2
Z Z Z
1
+ ρ (r) x dV × E (r0 ) + ρ (r) x× [xl ∂l E (r0 )] dV + ρ (r) x × [xl xm ∂l ∂m E (r0 )] dV (8.36)
+ ...
2
desarrollemos la penúltima integral
Z
A≡ ρ (r) x× [xl ∂l E (r0 )] dV (8.37)
ρ (r) {x× [xl ∂l E (r0 )]}i = ρ (r) εijk xj [xl ∂l E (r0 )]k = ρ (r) εijk xj [xl ∂l Ek (r0 )] = ρ (r) εijk xj xl ∂l Ek (r0 )
(8.38)
usando la conservatividad de E (r0 ) como campo electrostático tenemos
Z Z
1 1
Ai = ρ (r) [3εijk xj xl ∂l Ek (r0 )] dV = ρ (r) [3εijk xj xl ∂l Ek (r0 ) − εijk δjl xm xm ∂l Ek (r0 )] dV
3 3
Z hε i
εijk ijk 1
Ai = ρ (r) [3xj xl − δjl xm xm ] dV ∂l Ek (r0 ) = Qjl ∂l Ek (r0 ) = εijk [Qjl ∂l ] Ek (r0 )
3 3 3
1
Ai = εijk [Q · ∇]j Ek (r0 )
3
Z
1
⇒ A ≡ ρ (r) x× [xl ∂l E (r0 )] dV = (Q · ∇) × E (r0 ) (8.40)
3
finalmente, puede verse que el integrando de la última integral en (8.36) es de la forma
de modo que aparece una triada de la forma x j xl xm que corresponderı́a al momento octupolar. Como
estamos interesados en expansión hasta cuadrupolo, ignoraremos este término. Reemplazando (8.40) en
(8.36), recordando las definiciones de los multipolos y agregando un cero de la forma (8.30) en la tercera
integral de esta ecuación resulta
Z
1
~τ = qr0 × E (r0 ) + r0 × [pl ∂l E (r0 )] + r0 × ρ (r) (3xl xm − xn xn δlm ) dV ∂l ∂m E (r0 )
6
1
+p × E (r0 ) + (Q · ∇) × E (r0 ) + . . . (8.41)
3
queda finalmente
r0 1
~τ = qr0 × E (r0 ) + r0 × (p · ∇) E (r0 ) + × (Q : ∇∇) E (r0 ) + p × E (r0 ) + (Q · ∇) × E (r0 ) + . . . (8.42)
6 3
Capı́tulo 9
9.1. Polarización
9.1.1. Materiales dieléctricos
La gran mayorı́a de materiales pertenecen a dos grandes grupos, caracterizados por sus propiedades
eléctricas: conductores y aislantes (o dieléctricos). En los dieléctricos no existen portadores de carga que
puedan moverse con facilidad a lo largo de todo el material, más bien cada electrón está ligado a un núcleo
especı́fico con fuertes interacciones de enlace. Por supuesto que campos eléctricos lo suficientemente intensos
pueden ionizar éstos materiales, pero para la mayorı́a de campos tı́picos macroscópicos podemos despreciar
este fenómeno.
Sin embargo, aunque no puede haber un desplazamiento macroscópico de las cargas, los materiales
dieléctricos sufren desplazamientos de cargas a nivel atómico y molecular, bien sea en forma espontánea o
por presencia de campos eléctricos externos. En el primer caso hablamos de polarizabilidad permanente y
en el segundo caso hablamos de polarización inducida. Estudiaremos en algún detalle ambos casos
157
158 CAPÍTULO 9. ELECTROSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
orden de magnitud que el cociente entre el campo externo y los campos generados por el átomo mismo en
sus vecindades, lo cual nos da
∆z E
≈
a e/a2
para campos tı́picos de laboratorio este cociente serı́a menor que una parte en 10 3 , el momento dipolar del
átomo distorsionado serı́a de la forma
p = e∆z ≈ a3 E
dado que el átomo era esféricamente simétrico en ausencia del campo, se espera que en el momento en que
se activa el campo, esta simetrı́a esférica se rompa para dejar una simetrı́a cilı́ndrica cuyo eje de simetrı́a es
paralelo al campo, esto trae como consecuencia que el desplazamiento ∆z y por lo tanto el momento dipolar,
sean paralelos a E, el factor que relaciona al campo con el momento dipolar se conoce como polarizabilidad
atómica.
p = αE (9.1)
de acuerdo con los estimativos anteriores, se espera que α sea del orden del volumen atómico. Pero el valor
de este observable para un átomo en particular depende de la estructura de carga detallada. Por ejemplo,
los átomos alcalinos presenta alta polarizabilidad en tanto que los gase nobles son muy poco polarizables.
Como es natural, las moléculas también exhiben polarizabilidad inducida por campos eléctricos externos.
Por ejemplo, la polarizabilidad eléctrica de la molécula de metano CH 4 es α = 2,6×10−24 cm3 , si sumáramos
las polarizabilidades individuales del carbono y los cuatro hidrógenos (medidas experimentalmente) se ob-
tiene αT = 4,1 × 10−24 cm3 , mostrando que la estructura atómica está siendo afectada por los enlaces. La
polarizabilidad molecular es un observable muy útil para caracterizar la estructura molecular. En general el
comportamiento de las moléculas en campos externos es mucho más complejo debido a su mayor variedad en
formas geométricas, por ejemplo el CO 2 es una molécula lineal cuya polarizabilidad es 4,5 × 10 −40 C 2 · m/N
para campos aplicados a lo largo de la cadena molecular, en tanto que para campos perpendiculares a la
cadena, la polarizabilidad es 2 × 10−40 C 2 · m/N . En general para campos no muy intensos la relación lineal
se conserva, pero no el paralelismo entre E y P obteniéndose una relación de la forma
p = αij E
donde αij es un tensor de nueve componentes simétrico. En virtud de su simetrı́a, siempre se pueden
encontrar ejes principales que diagonalicen este tensor.
Es importante anotar que en el presente análisis hemos dejado de lado muchos aspectos relacionados con
la estructura del material, como es la interacción de los átomos o moléculas con sus vecinos, las fluctuaciones
térmicas, posibles estructuras cristalinas anisotrópicas, etc.
En el caso del átomo de hidrógeno se dijo que aunque podrı́an (en una imagen clásica) tener dipolo neto
en un instante de tiempo, este dipolo se anula cuando se realiza un promedio temporal. Sin embargo, en el
caso de las moléculas se tiene que el tiempo que requiere una molécula para interactuar con sus alrededores,
es tı́picamente menor que el tiempo en el cual se anula el momento dipolar cuando se toma el promedio, por
tanto el momento dipolar neto logra tener efecto en los alrededores.
La molécula de agua es un ejemplo de una molécula de muy alta polarizabilidad (1,84 × 10 −18 esu-cm),
esta gran polarizabilidad es en gran parte responsable de las propiedades del agua como solvente.
Finalmente, es necesario destacar que estos momentos dipolares son aleatorios en ausencia de campos
externos por lo cual no hay momento dipolar neto a nivel macroscópico. No obstante, cuando se activa un
campo eléctrico estos momentos se alinean para dar una contribución neta mucho mayor a la de los dipolos
inducidos. Como la mayorı́a de moléculas son polares, y estos momentos permanentes son los dominantes,
es necesario estudiar el comportamiento de materiales polares en presencia de campos eléctricos externos.
Un material dieléctrico ideal es aquel que no posee en su estado natural (neutro) cargas libres. De modo
que en presencia de un campo eléctrico externo los únicos movimientos son: a) la separación de sus portadores
de carga y b) la reorientación de sus dipolos permanentes. Como ya se discutió, en la mayorı́a de los casos
en ausencia de campo eléctrico externo los momentos de dipolo se anulan estadı́sticamente, incluso cuando
las moléculas son polares.
La redistribución de carga en el material crea un campo eléctrico, el campo generado por el dieléctrico.
Asumiremos que dicho campo se debe solo a momentos dipolares y despreciaremos la contribución de mul-
tipolos de mayor orden. Ası́, un material polarizado produce en su interior y exterior un campo que debe
ser superpuesto al campo externo, el campo inducido en general tiende a cancelar el campo externo, lo cual
se vé por la forma en que se produce la migración de cargas o la rotación de los dipolos permanentes.
Si las moléculas del material tienen momento dipolar permanente, el campo eléctrico tiende a reorientarlos
de modo que el material presenta una polarización neta no nula. El campo rompe la aleatoriedad de los
momentos de dipolo permanentes creando un momento dipolar promedio que va en la dirección del campo si
el medio es isótropo, por otro lado la migración de cargas puede crear dipolos inducidos los cuales también
en promedio tienden a orientarse en dirección al campo cuando el medio es isótropo. La agitación térmica
no permite que todos los dipolos se orienten de la misma manera pero lo que interesará macroscópicamente
es el momento dipolar promedio.
Es posible definir una cantidad que describe P el momento de dipolo promedio por unidad de volumen:
El vector de Polarización P (r) ≡ dp(r) dV = i Ni hpi i. Donde asumiendo la existencia de diversos tipos
de moléculas o átomos hpi i nos da el momento dipolar promedio de moléculas o átomos del tipo i, N i es la
densidad volumétrica de este tipo de molécula o átomo. El vector de polarización incluye la contribución tanto
de la reorientación de los dipolos permanentes como de la creación de dipolos inducidos por la redistribución
de carga. El promedio hpi i se toma en un volumen macroscópicamente pequeño (lo suficientemente pequeño
para considerar al vector de polarizacı́on como una cantidad local) pero lo suficientemente grande como
para que contenga un gran número de moléculas con los cuales tenga sentido la estadı́stica, y se puedan
despreciar las fluctuaciones. El vector de polarización es en general función de la posición cuando el material
es inhomogéneo. Por otro lado, no debemos perder de vista que el material puede ser anisotrópico en cuyo
caso no necesariamente ocurre la alineación de los dipolos con el campo y la respuesta del dieléctrico puede
depender de la orientación del campo externo.
Nos ocuparemos de evaluar el campo producido por los momentos dipolares permanentes e inducidos en
el material. No nos preocuparemos por el campo externo (el cual simplemente debe superponerse al anterior)
y simplemente asumiremos que el material ya está polarizado. Asumiremos que conocemos el valor del vector
de polarización (experimentalmente o a través de algún modelo fenomenológico) en todo el dieléctrico y por
tanto debemos escribir el potencial en términos de él. El potencial en r debido al dipolo diferencial dp
contenido en el volumen dV está dado por
dp · (r − r0 ) P (r0 ) · (r − r0 ) 0
dφ (r) = Kc = K c dV r
|r − r0 |3 |r − r0 |3
Z Z
P (r0 ) · (r − r0 ) 0
0
0 1
φ (r) = Kc 3 dV r = Kc P r · ∇ 0|
dV 0 (9.3)
|r − r |0 |r − r
Z Z
P (r0 ) ∇0 · P (r0 ) 0
= K c ∇0 · dV 0
− K c dV
|r − r0 | |r − r0 |
Z Z
P (r0 ) 0 −∇0 · P (r0 ) 0
φ (r) = Kc · n dS + K c dV (9.4)
|r − r0 | |r − r0 |
estas integrales tienen la forma Z Z
σ (r0 ) dS 0 ρ (r0 ) dV 0
Kc + Kc
|r − r0 | |r − r0 |
es decir análogo al potencial debido a una distribución superficial y una distribución volumétrica de carga.
Decimos entonces que el campo debido al dieléctrico polarizado es equivalente al producido por distribu-
ciones de carga con densidades efectivas
σp r0 = P r0 · n ; ρp r0 = −∇0 · P r0
S
(9.5)
Estas densidades de carga de polarización son cargas ligadas ya que no se pueden mover a través del material.
Estas cargas deben ser tales que la carga total en el dieléctrico debe ser cero si estaba inicialmente neutro.
Veamos:
Z Z Z Z
0
Q = ρp dV = P r · n dS −
σp dS + ∇0 · P r0 dV
Z Z
= P r · n dS − P r0 · n dS = 0
0
De momento, estas densidades de polarización aparecen como un artificio para realizar los cálculos consis-
tentemente y además provienen de cantidades estadı́sticas. Sin embargo, veremos más adelante, que esta
expresiones son atribuı́bles a la forma en que se organizan las cargas reales en el dieléctrico. Usualmente a las
cargas de polarización se les denomina también cargas ligadas, no obstante es importante mencionar que
estas no son necesariamente las únicas cargas ligadas. Por ejemplo si el material posee moléculas ionizadas
hay contribución monopolar, pero si el exceso de carga no se puede mover en el material tenemos otro tipo
de cargas ligadas, además de las cargas efectivas de polarización.
Por otro lado, a partir de la expresión (9.3)
Z
0
P (r0 ) · (r − r0 ) 0
φ r = Kc dV
|r − r0 |3
y usando
1 (r − r0 )
∇ =−
|r − r0 | |r − r0 |3
se puede obtener una expresión alternativa para el potencial que también se escibe en términos del vector
de polarización, de lo anterior se sigue
Z Z
0
1 0 P (r0 )
φ (r) = −Kc P r · ∇ dV = −Kc ∇ · dV 0
|r − r0 | |r − r0 |
Z
~ e ~ e P (r0 )
φ (r) = −∇ · Π ; Π ≡ Kc dV 0 (9.6)
|r − r0 |
donde Π~ e se conoce como vector de Hertz eléctrico. Nótese que la evaluación de cada componente del
vector de Hertz eléctrico es semejante a la evaluación del potencial electrostático en el vacı́o, donde cada
162 CAPÍTULO 9. ELECTROSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
componente es el análogo de la densidad. Es importante recordar que los potenciales (9.4, 9.6) no incluyen
la contribución de cargas libres (contribuciones monopolares) ni la contribución asociada al campo externo.
Dado que el vector de Hertz está escrito exclusivamente en términos del vector de Polarización es en general
más fácil de evaluar que la expresión original para el potencial, ya que ésta incluye densidades de carga
libres y de polarización.
como esto es válido para cualquier volumen macroscópico en el interior del dieléctrico, se tiene que al menos
en promedio se debe cumplir la relación
ρp = −∇ · P
que coincide con la expresión (9.5).
2
El análisis que se realizó para el dieléctrico completo se puede hacer idéntico para un volumen macroscópico en su interior
para estimar una densidad superficial en tal volumen.
9.3. CAMPO EN EL INTERIOR DE UN DIELÉCTRICO 163
el asumir que el vector de polarización es constante dentro de la esfera es consistente con el resultado (9.9),
ya que se puede demostrar que para una esfera uniformemente polarizada, el campo eléctrico en el interior
de la esfera es uniforme y viene dado justamente por (9.9). El potencial eléctrico promedio total en el centro
de la esfera se puede escribir como
Z Z
(r − r0 ) · Pint 0 (r − r0 ) · Pext 0
φ̄int (r) + φ̄ext (r) = Kc dV + K c dV
int |r − r0 |3 ext |r − r0 |3
Z
(r − r0 ) · P 0
φ̄int (r) + φ̄ext (r) = Kc dV
V |r − r0 |3
donde la última integral se hace sobre todo el volumen del dieléctrico. Esta expresión para el potencial
promedio coincide con la que se usó para campo exterior, como se vé en la Ec. (9.3). En conclusión: el
potencial en el interior del dieléctrico se calcula con la misma expresión que se usa para el
potencial en el exterior de dicho dieléctrico.
donde hemos incluı́do posibles cargas libres y asumimos que las cargas ligadas son solo cargas de polarización.
E (r)
∇ · E (r) = 4πKc [ρf − ∇ · P (r)] ⇒ ∇ · + P (r) = ρf
4πKc
E (r)
D≡ +P (9.10)
4πKc
se obtiene
∇ · D (r) = ρf (r) (9.11)
expresión que se conoce como ley de Gauss para dieléctricos.
Obsérvese que el rol del vector desplazamiento eléctrico es el de parametrizar nuestra “ignorancia” sobre
el verdadero campo eléctrico y lo reemplaza por un promedio estadı́stico. Si conociéramos en detalle como
se distribuyen todas las cargas libres y ligadas en el material, este formalismo no serı́a en principio necesario
(al menos no en una aproximación clásica al problema). Hay que tener presente que la definición de D asume
que solo hay contribución dipolar. Si introducimos otras contribuciones multipolares, su definición serı́a más
compleja. La aproximación dipolar está justificada por el hecho de que las moléculas se comportan muy
bien como dipolos puntuales a escala macroscópica. La pregunta crucial es: ¿cuál es la ventaja de plantear
4
En realidad, no existen en la naturaleza campos electrostáticos microscópicos, ya que cuando se trabaja a nivel atómico
o molecular, las cargas tienen movimientos traslacionales, rotacionales y vibracionales muy fuertes. El concepto de campo
electrostático como una buena descripción de los fenómenos tiene su mejor escenario en el mundo macroscópico.
5
Como ya mencionamos, también pueden existir cargas ligadas que no son de polarización, como son por ejemplo los excesos
de carga en átomos y moléculas en un plasma. Estas cargas son ligadas en el sentido de que no son libres de salir de su núcleo,
sin embargo para efectos operativos estas cargas se pueden adicionar a ρf , con lo cual un nombre mas adecuado para ρf serı́a
el de “densidad monopolar”.
9.5. SUSCEPTIBILIDAD ELÉCTRICA 165
una ecuación como (9.11)?, en realidad debe tenerse en cuenta que lo que mejor se puede controlar o medir
experimentalmente es la carga libre, la carga de polarización es justamente una respuesta del dieléctrico a
la presencia (con frecuencia controlada) de carga libre.
Esta ley de Gauss se interpreta de la siguiente forma: Las lı́neas de campo D comienzan o terminan en
cargas libres6 ; en tanto que las lı́neas de E comienzan o terminan en cargas libres y de polarización. En el
E(r)
vacı́o D = 4πK c
ya que P = 0 puesto que clásicamente el vacı́o no es polarizable. Es necesario enfatizar en
el hecho de que en general D NO es conservativo y por tanto no se puede generar de un potencial.
válida para medios lineales e isótropos. ε se conoce como permitividad del dieléctrico, también se puede
definir la constante adimensional ε r ≡ 4πKc ε = 1 + χl conocida como constante dieléctrica. En el vacı́o se
tiene que χl = 0, εr = 1. En general εr ≥ 1 reflejando el efecto de apantallamiento que el dieléctrico produce
sobre el campo eléctrico externo. Para medios no lineales, anisótropos e inhomogéneos se puede escribir en
general:
3
X 3
X
Pi = aij (r) Ej + bijk (r) Ej Ek + . . .
j=1 i,j=1
El primer término a la derecha es lineal pero revela anisotropı́a del medio ya que cada a ij es en general
diferente, también revela inhomogeneidad (dependencia con r). El segundo término es no lineal (cuadrático)
anisotrópico e inhomogéneo. Por otro lado, cuando el medio es lineal, isótropo y homogéneo
donde n12 es el vector unitario perpendicular a la interfase que apunta desde el medio 1 hacia el medio 2.
Como esto es válido para una superficie arbitraria en tamaño forma y ubicación entonces
(D2 − D1 ) · n12 = σf (9.14)
lo cual nos dice que hay una discontinuidad en la componente normal de D en la interfase debido a la
presencia de cargas libres superficiales.
Por otro lado, teniendo en cuenta que el campo electrostático E es conservativo i.e. ∇ × E = 0, podemos
usar una integral de lı́nea con un rectángulo con dos lados localmente paralelos a la superficie y dos lados (de
longitud infinitesimal) localmente perpendiculares. Solo intervienen en la integral cerrada los lados paralelos
ya que los perpendiculares son infinitesimales.
Z
E · dl = 0 ⇒ (E2 − E1 ) · dl = 0 (9.15)
lo cual nos indica que la componente tangencial de E es contı́nua a través de la interfase. Esto también se
puede expresar con (E2 − E1 ) × n12 = 0. Nótese que la integral sobre la misma trayectoria cerrada, serı́a no
nula si la evaluamos con D, esto en virtud de la diferencia entre las permitividades de ambos medios. Este
hecho nos muestra la no conservatividad de D. Usando las Ecs. (9.14, 9.15) se pueden resolver problemas
que involucran a la frontera entre dos medios dieléctricos diferentes.
Finalmente, nótese que para un medio lineal, homogéneo e isotrópico, la densidad de carga volumétrica
de polarización ρp es proporcional a la carga libre ρf
χl χl
ρp = −∇ · P = −∇ · Kc D =− ρf
4πε 1 + χl
9.6. CONDICIONES DE FRONTERA EN LA INTERFASE ENTRE DIEL ÉCTRICOS 167
donde estamos usando un sistema coordenado en el cual el eje z es perpendicular a la interfase y pasa por
la carga.
b) Continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico.
∂φ1 ∂φ2
E1T |z=0 = E2T |z=0 ⇒ = (9.17)
∂ρ z=0 ∂ρ z=0
Como el problema
tiene simetrı́a azimutal para el sistema coordenado propuesto, no hay condición no trivial
∂φ
sobre ∂ϕ .
z=0
El potencial en el medio 1 debe satisfacer la ecuación de Poisson ∇ 2 φ1 = − 4πq 0
ε1 δ (r − r ) ası́ como las
condiciones de frontera (tanto en la frontera dieléctrica como en la frontera de Dirichlet). Asumamos una
carga imagen localizada simétricamente respecto a z = 0 y de magnitud q 0 . Las condiciones que se piden
para el potencial generado por q 0 son las siguientes:
1) El potencial debido a q 0 debe satisfacer la ecuación de Laplace en z > 0, a fin de que el potencial total
en el medio 1 (debido a q y q 0 ) siga cumpliendo la misma ecuación de Poisson que antes de la introducción
de la carga imagen. Esta condición se cumple dado que la carga imagen está fuera de la región donde se
evalúa el potencial.
2) La introducción de la carga imagen debe mantener las condiciones de frontera de Dirichlet originales
(teorema de unicidad). Esto es inmediato ya que la condición de Dirichlet en este caso es potencial cero en
el infinito, condición que no se vé alterada porque la nueva distribución sigue siendo localizada.
3) El potencial generado en los medios 1 y 2 (debido a q y q 0 ) debe satisfacer las condiciones de frontera
en la interface dieléctrica Ecs. (9.16, 9.17). Para ello escribamos la forma explı́cita del potencial en el medio
1 (z > 0 con constante dieléctrica ε 1 ):
Kc q Kc q 0
φ1 (r) = +
ε1 |r − r | ε1 |r − r0i |
0
Kc q Kc q 0
φ1 (r) = q + q (9.18)
ε1 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2 ε1 (ρ − ρ0 )2 + (z + z 0 )2
donde de nuevo se ve la simetrı́a azimuthal. Sin embargo el cumplimiento de esta tercera condición requiere
conocer el potencial en el medio 2 evaluado en la frontera. Para evaluar el potencial en el medio 2 tengamos
en cuenta que no hay carga en este hemisferio y por tanto φ 2 obedece la ecuación de Laplace. Localizamos
168 CAPÍTULO 9. ELECTROSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
entonces una carga imagen q” en r0 (en z > 0 en el mismo punto donde está ubicada la carga real q), de
modo que el potencial en z < 0 solo sea generado por q” 8 .
Kc q”
φ2 (r) = q (9.19)
ε2 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2
∂ q K c q K c q0
ε1 + q
∂z
ε1 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2 ε1 (ρ − ρ0 )2 + (z + z 0 )2
z=0
∂ Kc q”
= ε2 q
∂z
ε2 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2
z=0
h i−1/2 h i−1/2
−q (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2 (z − z 0 ) −q 0 (ρ − ρ0 )2 + (z + z 0 )2 (z + z 0 )
ε1 h i + ε1 h i
ε1 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2 ε1 (ρ − ρ0 )2 + (z + z 0 )2
z=0
h i−1/2
0 2 0 2
−q” (ρ −hρ ) + (z − z ) (z − z 0 )
= ε2 i
ε2 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2
z=0
al evaluar en z = 0
h i−1/2 h i−1/2
(ρ − ρ 0 )2 + z 02 z 0 (ρ − ρ 0 )2 + z 02 z0
0
q−q h i = q” h i
(ρ − ρ0 )2 + z 02 (ρ − ρ0 )2 + z 02
resultando
q” = q − q 0 (9.20)
∂ Kc q Kc
q0
q + q
∂ρ 0 2 0 2 0 2 0 2
ε1 (ρ − ρ ) + (z − z ) ε1 (ρ − ρ ) + (z + z )
z=0
∂ Kc q”
= q
∂ρ
ε2 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2
z=0
h i−1/2 h i−1/2
−q (ρ − ρ0 ) 2 + (z − z 0 )2 (ρ − ρ0 ) −q 0 0 2
(ρ − ρ ) + (z + z )0 2 0
(ρ − ρ )
h i + h i
ε1 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2 ε1 (ρ − ρ0 )2 + (z + z 0 )2
z=0
h i−1/2
−q” (ρ − + (z ρ 0 )2 − z 0 )2
0
(ρ − ρ )
= h i
ε2 (ρ − ρ0 )2 + (z − z 0 )2
z=0
h i−1/2 h i−1/2
−q (ρ − ρ0 ) 2 + z 02 (ρ − ρ0 ) −q 0 (ρ − ρ 0 )2
+ z 02 (ρ − ρ0 )
h i + h i
ε1 (ρ − ρ0 )2 + z 02 ε1 (ρ − ρ0 )2 + z 02
h i−1/2
−q” (ρ − ρ0 )2 + z 02 (ρ − ρ0 )
= h i
ε2 (ρ − ρ0 )2 + z 02
q” q + q0
= (9.21)
ε2 ε1
las expresiones (9.20, 9.21) nos dan un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas que al resolver nos da
ε2 − ε 1 2ε2
q 0 = −q ; q” = q (9.22)
ε2 + ε 1 ε2 + ε 1
Reemplazando (9.22) en (9.18) y (9.19), escribimos entonces q” y q 0 (cargas imágen) en términos de q (carga
real). De lo cual el potencial en ambos medios se escribe como
Kc q (ε2 − ε1 ) Kc q 2Kc q
φ1 (r) = 0
− 0 ; φ2 (r) = (9.23)
ε1 |r − r | ε1 (ε1 + ε2 ) |r − ri | (ε2 + ε1 ) |r − r0 |
Kc q
φ1 = φ 2 =
ε |r − r0 |
volviendo al caso general, el potencial en todo el espacio se puede escribir en forma mas compacta
Kc q 1 (ε2 − ε1 ) 2Kc q
φ (r) = − θ (z) + θ (−z) (9.24)
ε1 |r − r0 | (ε1 + ε2 ) |r − r0i | (ε2 + ε1 ) |r − r0 |
siendo θ (z) la función paso o escalón. La densidad volumétrica de polarización en ambos medios está dada
por
ρp1 = −∇ · P1 , ρp2 = −∇ · P2
170 CAPÍTULO 9. ELECTROSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
por otro lado, cada medio produce una densidad de carga de polarización superficial con lo cual se puede
calcular la carga de polarización superficial total que yace en la interfase z = 0:
ε1 − 1 − (ε1 − 1) ε2 − 1 − (ε2 − 1)
P1 = E1 = ∇φ1 ; P2 = E2 = ∇φ2
4π 4π 4π 4π
recuérdese que aunque φ es contı́nuo, el gradiente no necesariamente lo es. La carga neta resulta
(ε1 − ε2 )
σp = ∇φ
4π
φ es el campo debido a la distribución ρ (r 0 ) en z > 0. En particular, para carga puntual q en r 0
q (ε1 − ε2 ) z 0
σp = h i3/2 (9.25)
2πε1 (ε1 + ε2 ) (ρ − ρ0 )2 + z 02
Vemos que aunque no hay cargas libres sobre la interface, sı́ se acumulan cargas de polarización. Un resultado
muy interesante se vé en el lı́mite en el cual ε 2 >> ε1 ya que en este caso el campo eléctrico en el medio
2 (medio exterior a la carga) se apantalla fuertemente, y la densidad superficial en (9.25) se aproxima al
valor que adquirirı́a una superficie conductora. El comportamiento global del medio 2 se asemeja al de un
conductor, mostrando que los dieléctricos también pueden bajo ciertas condiciones actuar como escudos
electrostáticos.
En resumen, lo que tenemos es el potencial generado por una carga puntual en z > 0 en presencia de
una interfase que separa dos medios dieléctricos. En consecuencia, si hacemos K c q = 1 en (9.24) se obtiene
una función de Green
0
1 1 (ε2 − ε1 ) 2
Gε1 ,ε2 r, r = − θ (z) + θ (−z) (9.26)
ε1 |r − r0 | (ε1 + ε2 ) |r − r0i | (ε2 + ε1 ) |r − r0 |
que corresponde a la función de Green para todo el espacio (ya que la región de Dirichlet es todo el espacio)
con dieléctricos semiinfinitos separados por una interfase en z = 0, y con carga unidad solo en z > 0. Por lo
tanto, la función de Green (9.26) nos permite calcular el potencial generado por cualquier distribución de
carga localizada ubicada en z > 0, en presencia de medios dieléctricos ε 1 en z > 0 y ε2 en z < 0,
Z
φε1 ,ε2 (r) = ρf r0 Gε1 ,ε2 r, r0 dV 0
z>0
Nota: Es importante diferenciar entre las condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann, y las condi-
ciones de frontera entre medios dieléctricos. Las primera son condiciones relacionadas con el conocimiento del
potencial o de su derivada normal, en tanto que las segundas son condiciones relacionadas con el conocimien-
to de la constante dieléctrica a ambos lados de la frontera. Por ejemplo, las Ecs. (9.16) son condiciones en
la derivada normal del potencial. No obstante, estas NO son condiciones de Neumann ya que en esta in-
terfase no conocemos el valor especı́fico de esta derivada, solo sabemos que hay una relación entre dichas
9.7. FUNCIÓN DE GREEN PARA ESPACIO INFINITO CON SEMIESPACIOS DIEL ÉCTRICOS 171
derivadas a ambos lados de la superficie. Adicionalmente, las superficies entre dieléctricos no tienen que ser
cerradas para garantizar la unicidad del potencial. En el caso que hemos resuelto la condición de frontera en
el potencial es de tipo Dirichlet, con superficie que encierra a todo el espacio y condición de potencial cero
en el infinito. La condición de frontera dieléctrica en cambio está definida sobre el plano XY . No obstante,
ambas condiciones de frontera son necesarias para definir el potencial.
————————————
Asociada al potencial que es solución de ∇ 2 φ (r) = − 4πε ρf existe una función de Green definida por
4π
∇2 G r, r0 = − δ r − r0
ε
para cada región en donde ε es constante. Para el problema de Dirichlet el potencial es
Z Z
1 ∂G (r, r0 )
φ (r) = ρf r0 G r, r0 dV 0 − φ r0 dS 0
4π S ∂n0
La región encerrada (con superficie donde G = 0) puede ser finita o infinita y puede contener dieléctricos de
diferente ε. ¿Es factible definir G (r, r 0 ) si ε = ε (r)?. ¿De que modo?.
Algunos potenciales y funciones de Green se pueden evaluar de forma inmediata.
1) Para espacio infinito ocupado por dieléctrico ε y una carga puntual q:
q 1
φε (r) =
0
; Gε r, r0 =
ε |r − r | ε |r − r0 |
R
Ası́, para distribución arbitraria φ (r) = ρ (r0 ) G (r, r0 ) dV 0
2) Para espacio semi-infinito ocupado por dieléctrico y con condiciones de Dirichlet
1 1
G r, r0 = −
ε |r − r | ε |r − r0i |
0
4π
∇2 G1 r, r0 = − δ r − r0 z<0
ε1
4π
∇2 G2 r, r0 = − δ r − r0 z>0
ε2
mas sintéticamente
2
0
0
0
0
θ (−z 0 ) θ (z 0 )
0
∇ G1 r, r θ −z + G2 r, r θ z = −4πδ r − r +
ε1 ε2
Descomponiendo en Fourier para x, y con
Z
0 0
G1,2 = ei[kx (x−x )+ky (y−y )] f1,2 z, z 0 dkx dky
hasta aquı́ las soluciones son exactamente iguales, pero esta igualdad deja de ser cierta cuando demandamos
las condiciones de frontera. Al tener en cuenta que f 1,2 → 0 cuando z → ∓∞ respectivamente, las funciones
quedan
f1 (z) = eγz< Aeγz> + Be−γz> ; f2 (z) = e−γz> Ceγz< + De−γz<
Las condiciones de frontera son
∂G1 ∂G2
ε1 = ε2
∂z z=0 ∂z z=0
∂G1 ∂G2
=
∂x z=0 ∂x z=0
Naturalmente existe una condición de frontera asociada a la derivada parcial en y pero no da información
adicional, lo cual se vé de la simetrı́a azimuthal. Con estas condiciones se obtienen las siguientes ecuaciones
0
e−2γz 0
A − B = ε2 (C − D) ; A + B = e−2γz (C + D)
ε1
por integración de las ecuaciones diferenciales para f 1 y f2 se obtiene
1 1
B= ; C=
2πε1 γ 2πε2 γ
de lo cual resulta finalmente
1 h 0
i 1
A = 2ε1 e−2γz + ε1 − ε2
2πε1 γ ε1 + ε 2
1 h 0
i 1
D = 2ε2 e−2γz + ε2 − ε1
2πε2 γ ε1 + ε 2
En el lı́mite ε1 = ε2 = ε se obtiene el resultado esperado
Z Z i[kx (x−x0 )+ky (y−y0 )+γ(z< −z> )]
0
1 e
G r, r = dkx dky
π εγ
1 ∂ 2 (2) l (l + 1) (2) 4π 0
rf − f = − δ r − r (9.28)
r ∂r 2 r2 ε2
9.8. ESFERA DIELÉCTRICA DE RADIO A COLOCADA EN DIELÉCTRICO ∞. CARGA PUNTUAL EN R 0
quedando
∞ X
X l
0
∗
G1 r, r = Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 C r0 r l
l=0 m=−l
0
∞ X
X l
∗
h i
G2 r, r = Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 −l−1
r> l
Ar< −l−1
+ Br<
l=0 m=−l
donde hemos tenido en cuenta que la carga está fuera i.e. r 0 > a, de modo que si r = a ⇒ r = r< . Igualando
estas expresiones
n h io
−l−1
ε1 l C r0 al−1 = ε2 r0 lAal−1 − (l + 1) Ba−l−2 ⇒
n h io
−l−1
ε1 l C r0 = ε 2 r0 lA + (l + 1) Ba−2l−1
h i
−l−1
C r0 al = r0 Aal + Ba−l−1 ⇒
h i
−l−1
C r0 = r0 A + Ba−2l−1
174 CAPÍTULO 9. ELECTROSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
resultan dos ecuaciones con tres incógnitas, con un poco de álgebra vemos que
el coeficiente A se puede evaluar integrando la ecuación diferencial (9.28) para f (2) , de lo cual se obtiene
A = 4π/ (2l + 1) ε2 . Finalmente
∞ X l
(
4π X Y lm (θ, ϕ) Y ∗ (θ 0 , ϕ0 )
(r 0 )−l−1 (2l + 1) ε2 r l
G r, r0 = lm
θ (a − r)
ε2 2l + 1 [ε1 (l + 1) + ε2 l]
l=0 m=−l
! )
−l+1
−l−1 l (l + 1) (ε2 − ε1 ) a2l+1 r<
+r> r< + θ (r − a) (9.29)
[ε1 (l + 1) + ε2 l]
∞ l
(
0
4π X X Ylm (θ, ϕ) Ylm ∗ (θ 0 , ϕ0 )
(r 0 )−l−1 (2l + 1) εr l
G r, r = θ (a − r)
ε 2l + 1 [ε (l + 1) + εl]
l=0 m=−l
o
−l−1 l
+r> r< θ (r − a)
∞ l
(
0
4π X X Ylm (θ, ϕ) Ylm ∗ (θ 0 , ϕ0 )
(r 0 )−l−1 (2l + 1) εr l
G r, r = θ (a − r)
ε 2l + 1 ε (2l + 1)
l=0 m=−l
o
−l−1 l
+r> r< θ (r − a)
∞ l
(
0
4π X X Ylm (θ, ϕ) Ylm ∗ (θ 0 , ϕ0 )
rl
G r, r = θ (a − r)
ε
l=0 m=−l
2l + 1 (r 0 )l+1
)
r<l
+ l+1 θ (r − a)
r>
ahora teniendo en cuenta que θ (a − r) solo es no nulo cuando r < a, y asumiendo que solo hay carga en
el exterior es decir r 0 > a, se tiene que r 0 = r> y r = r< con lo cual
∞ l
" #
0
4π X X Ylm (θ, ϕ) Ylm ∗ (θ 0 , ϕ0 )
r<l l
r<
G r, r = θ (a − r) + l+1 θ (r − a)
ε 2l + 1
l=0 m=−l (r> )l+1 r>
∞ l
4π X X Ylm (θ, ϕ) Ylm
∗ (θ 0 , ϕ0 )
r<l
G r, r0 = (9.30)
ε
l=0 m=−l
2l + 1 (r> )l+1
lo cual reproduce la función de Green para espacio infinito en el vacı́o cuando ε = 1, Ec. (6.3). Es importante
enfatizar que para llegar de (9.29) a (9.30) con ε 1 = ε2 = ε, fué necesario usar además el hecho de que la
carga libre es exterior a la esfera.
del infinito como es usual. Sin embargo, a diferencia del caso en el cual el dieléctrico está ausente, la presencia
del dieléctrico induce un campo adicional que se agrega al campo de la distribución de carga. Por tanto al
traer una nueva carga, dicha carga tiene que vencer el campo generado por la superposición del campo de
las cargas más el campo inducido en el dieléctrico. En últimas podemos decir que el trabajo realizado no
solo debe armar la configuración sino que también debe polarizar el dieléctrico.
Supongamos que ya hemos traı́do una cierta cantidad de carga, de modo que el dieléctrico ya está polar-
izado. El campo resultante en cierto punto sobre una carga dq 0 es la suma de los dos campos ya explicados.
Cuando traemos más carga el dieléctrico se polariza aún más de modo que el campo de polarización al igual
que el generado por las cargas, es variable en el proceso.
En particular, el campo que tiene que vencer la partı́cula viniendo desde el infinito hasta un punto, es
menor que si solo existiera la distribución de cargas, y el trabajo necesario para armar la distribución es
menor en presencia de un dieléctrico. Es importante enfatizar que el trabajo necesario para armar las cargas
en presencia del dieléctrico corresponde a el cambio en la energı́a interna del sistema cargas-dieléctrico y
no del sistema de cargas solamente (ya que con este trabajo no solo se reorganizan las cargas libres del
sistema sino también las cargas de polarización del dieléctrico). El cálculo del proceso es análogo al caso sin
dieléctrico Z Z
1 1
W = ρf (r) φ (r) dV = ρf (r) φ (r) dV
2 V ol. de la distribución 2 T odo el espacio
la extrapolación a todo el espacio es posible siempre que el dieléctrico no posea cargas libres. Con ρ f =
1
4π ∇ · D ⇒
Z Z Z
1 1 1
W = φ∇ · D dV = ∇ · (φD) dV − D · ∇φ dV
8π 8π 8π
Z Z
1 1
= φD · dS + D · E dV
8π 8π
Si la distribución está localizada la integral de superficie desaparece quedando
Z
1
W = D · E dV
8π todo el espacio
este resultado es válido incluso si el medio dieléctrico es no lineal, anisótropo, e inhomogéneo ya que solo de-
pende de la ecuación ∇·D = 4πρf . Pero sı́ depende de que hagamos aproximación dipolar para el dieléctrico.
Obsérvese que aquı́ como antes se pueden definir varias densidades de energı́a, todas ellas diferentes.
Z Z Z
1 1 1
W = E · D dV = E · D dV + E · D dV
8π todo el espacio 8π b≤r≤a 8π r≥a
2
q 1 1 1 1
= − +
2 ε b a a
176 CAPÍTULO 9. ELECTROSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
q2
W0 =
2b
−q 2 1 − ab (ε − 1)
W − W0 = <0
2εb
2
Por otro lado si a → ∞ ⇒ W − W0 = − q (ε−1) 2εb = WD
La cantidad WD nos da el incremento de energı́a del dieléctrico al ser colocado alrededor de q. (este
incremento es negativo).
Es importante mencionar que en este problema las fuentes libres del campo han sido mantenidas fijas.
Al introducir dieléctrico el campo de polarización se opone al campo original y lo disminuye. Ası́, el trabajo
para mover una carga es ahora menor, esto es consecuente con el hecho de que W D sea negativo.
Si en el anterior problema, en vez de q fija tenemos V constante en el cascarón obtendremos para radio
infinito
W = 2πεbV 2
W − W0 = 2πbV 2 (ε − 1) > 0
W0 = 2πbV 2
En este caso la fuente de potencial suministra energı́a para hacer fluı́r cargas al cascarón
Example 14 Condensador de placas paralelas con carga fija en las placas: (q, −q) en este caso D = 4πσ f ⇒
εE = 4πσf , la energı́a viene dada por
Z Z
1 1 4πσf 2πσf2
Uε = (D · E) dV = (4πσf ) · dV = Ad ⇒
8π 8π ε ε
2πσf2 Ad 2πσ 2 Ad (ε − 1)
Uε = ⇒ U ε − U ε0 = − <0
ε ε
El campo dentro de las placas es menor cuando hay dieléctrico, esto hace que V sea menor en presencia de
éste y por tanto también es menor el trabajo necesario para desplazar una carga positiva de la placa negativa
a la positiva.
E · D − E0 · D0 = E · D0 − E0 · D + (E + E0 ) · (D − D0 )
Z
1
W − W0 = [E · D0 − E0 · D + (E + E0 ) · (D − D0 )] dV
8π
A continuación veremos que la integral del último término es nula si la carga y el dieléctrico son localizados
∇ × [E + E0 ] = 0 ⇒ E + E0 = −∇φ
Z Z
= ∇ · [(D − D0 ) φ] dV − φ∇ · [(D − D0 )] dV
Z Z
= (D − D0 ) φ · dS − φ [4π (ρf − ρf )] dV
la primera integral también se anula cuando hacemos tender la superficie a infinito. Continuamos calculando
W − W0 Z Z
1 1
W − W0 = [E · D0 − E0 · D] dV = [E · E0 − E0 · D] dV
8π 8π
nótese que el integrando se anula en las regiones fuera del dieléctrico ya que en el exterior de éste se tiene
que D = E, por tanto la integral se puede restringir al volumen interior al dieléctrico y en dicha región se
cumple que D = εE
Z Z
1 1
W − W0 = [E · E0 − εE0 · E] dV = − (ε − 1) E · E0 dV
8π int diel 8π int diel
Magnetostática
179
180 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
está creando o destruyendo carga neta de manera espontánea. La carga que sale por unidad de tiempo del
volumen V es Z
J · dS
S
y esta cantidad debe ser igual a la disminución de carga en el interior por unidad de tiempo
Z
dqint
J · dS = −
S dt
el signo menos se puede entender teniendo en cuenta que cuando la carga sale (entra) el signo de la integral
de superficie es positivo (negativo), esto implica que la carga en el interior debe disminuir (aumentar) es decir
debe ser una función decreciente (creciente) del tiempo y por lo tanto su derivada debe ser negativa (positiva).
Por tanto, el signo menos garantiza que ambos miembros tengan el mismo signo en ambas circunstancias.
La carga en el interior se puede escribir en la forma
Z
dqint d
− =− ρ dV
dt dt
donde la integral de volumen se realiza en un instante fijo de tiempo y la derivada depende de este valor
evaluado en t y en t + dt. Sin embargo, el volumen y un cierto punto x, y, z dentro de éste son fijos en el
proceso, de modo que esta es realmente una derivada parcial en el tiempo.
Z Z Z
dqint ∂ρ ∂ρ
− = − dV ⇒ J · dS = − dV
dt ∂t S ∂t
Z
∂ρ
⇒ ∇·J+ dV = 0
∂t
∂ρ
∇·J+ =0 (10.1)
∂t
esta ecuación diferencial se conoce como ecuación de continuidad y expresa la conservación de la carga
eléctrica en procesos generales donde existen corrientes que pueden incluso depender del tiempo. Cuando
fluye una cierta cantidad de carga hacia afuera (adentro) del volumen, la cantidad de carga disminuye
(aumenta) a la misma rata en que tal carga sale (entra). Vale decir que la ecuación diferencial es extrapo-
lable para expresar la conservación de muchas cantidades escalares que puedan desplazarse como un fluı́do
(corrientes generalizadas).
∇·J =0 (10.2)
10.4. LEYES DE AMPERE Y BIOT-SAVART 181
que de acuerdo con la ecuación de continuidad (10.1) implica que la densidad de carga no depende explı́cita-
mente del tiempo
∂ρ
=0
∂t
Adicionalmente la corriente que atravieza cierta superficie S
Z
I = J (r) · dS
será claramente constante en el tiempo. Las corrientes serán en consecuencia constantes en el régimen
estacionario. Una vez definido el régimen estacionario y sus implicaciones, procedemos a desarrollar el
formalismo de fuerzas campos y potenciales cuando tenemos corrientes estacionarias.
Esta expresión nos da la fuerza ejercida por el circuito a sobre el b. dl a , dlb tienen las direcciones de las
corrientes ia e ib , respectivamente y rab es el vector posición trazado desde el segmento dl a hasta el segmento
dlb . La integral es sobre lazos cerrados. La corriente eléctrica es i = dq/dt sus unidades en el cgs son el
statamperio (statcoulomb/seg) y en MKS el amperio (coulombio/seg). En la expresión (10.3) se considera
válido el principio de superposición (formalismo Newtoniano), puesto que se asume que la fuerza de a
sobre b es la suma (integral) de la fuerza de a sobre cada elemento diferencial de b.
En condiciones estacionarias se espera que la fuerza entre circuitos satisfaga la ley de acción y
reacción, pero esto no es evidente de la expresión (10.3), para que se vea explı́citamente manipularemos la
expresión matemáticamente.
dlb × (dla × b
rab ) = (dlb · b
rab ) dla − (dlb · dla ) b
rab
con lo cual queda
I I
1 (dlb · b
rab ) dla − (dlb · dla ) b
rab
Fa→b = 2
ia ib 2
c a b rab
I I I I
1 (dlb · brab ) dla (dlb · dla ) b
rab
= i i
a b 2 − 2
c2 a b rab a b rab
I I I I
1 (dlb · brab ) (dlb · dla ) b
rab
= ia ib dla 2 − 2
c2 a b rab a b rab
En la primera integral cada elemento diferencial de corriente i a dla aparece interactuando con el circuito b.
De modo que en la integral sobre b el origen de r permanece fijo, y por tanto dl b = drab , de donde
I I I 2
dlb · b
rab drab · b
rab 1 1
= = d √ = √
b
2
rab b
2
rab b rab ·rab rab ·rab 1
esta integral se anula para lazos cerrados, también se anula si la corriente se extiende desde −∞ hasta ∞.
La fuerza resulta Z Z
1 (dlb · dla ) b
rab
Fa→b = − 2 ia ib 2
c a b rab
182 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
de aquı́ si es clara la ley de acción y reacción. En condiciones no estacionarias la tercera ley no se satis-
face. Esto se debe a que en condiciones no estacionarias, ya no podemos considerar a la interacción como
instantánea y parte del momento es transportado por los campos
Esta misma interacción se puede escribir en términos de campos. Podemos ver la fuerza del circuito a
sobre el b como la interacción del campo generado por a con el circuito b. Para lograr esta visión, debemos
separar las fuentes de las corrientes de prueba. Retornando a la Ec. (10.3) podemos separar las fuentes de
la siguiente manera
I I
1 dlb × (dla × b rab )
Fa→b = 2 ia ib 2
c a b r
I I ab
ib 1 dla × brab
= dlb × ia 2
c b c a rab
el término entre paréntesis depende solo del circuito a (fuente). Con lo cual podemos definir el vector
inducción magnética B como I
ia dla × brab
Ba = 2 (10.4)
c a rab
expresión conocida como ley de Biot Savart. La fuerza queda entonces
I
1
Fab = ib dlb × Ba (10.5)
c b
expresión conocida como ley de Ampere que nos da la interacción del circuito b con el campo generado
por el circuito a. De la ley de Biot Savart se vé que dado que b rab y dla son polares, su producto cruz es
axial. En contraste, el campo eléctrico es un vector polar, por este motivo, ningún observable vectorial en
electrodinámica es de la forma E + B. Por otro lado, cuando tenemos varios circuitos actuando sobre otro
circuito se verifica experimentalmente que la fuerza y también B satisfacen el principio de superposición.
Usando el vector densidad de corriente J es decir la densidad de flujo de carga eléctrica (carga/area*
tiempo) y con
dq dl
idl = dl = dq = dq v
dt dt
ahora, haremos la extrapolación de que las expresiones (10.4), (10.5) se pueden extender al caso volumétrico
arbitrario, de modo que dq → ρ dV en tal caso
idl → ρv dV = J dV (10.6)
y para el torque sobre un circuito colocado en un campo B a , con respecto a un cierto origen
Z
1
~τ = r× (Jb × Ba ) dV (10.8)
c
La expresión aquı́ encontrada permite obtener B a conociendo la corriente en todo el espacio (análogo a las
fórmulas originales de la electrostática). Sin embargo, al igual que en el caso electrostático a veces conocemos
la corriente solo en cierta región junto con ciertas condiciones de frontera, en cuyo caso hay que usar formas
más convenientes. Haremos además una extrapolación extra, la expresión original Ec. (10.3) es válida para
corrientes unidimensionales que recorren lazos cerrados. De aquı́ en adelante asumiremos que las expresiones
(10.7, 10.8) son válidas para corrientes volumétricas arbitrarias que además no necesariamente recorren un
10.5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA MAGNETOST ÁTICA 183
circuito cerrado (por esta razón omitimos el sı́mbolo de integral cerrada en las Ecs. 10.7 y 10.8). Esta
extrapolación tiene su base en la confrontación experimental.
Por otro lado, aunque tenemos expresiones para evaluar el campo magnético con base en las corrientes,
debemos recordar que una de las ventajas del concepto de campo se obtiene cuando el valor del campo se
puede obtener independientemente de la distribución de sus fuentes. Análogamente al caso electrostático,
la idea serı́a poder colocar una carga puntual en el punto donde se quiere evaluar el campo y medir éste a
través de la fuerza que experimenta dicha carga, para esto necesitamos conocer la forma en que una carga
puntual interactúa con B.
Example 17 Sea una carga puntual con velocidad v inmersa en un campo magnético B. La densidad de
corriente equivalente es se tiene
Jb = ρv = qvδ (r − r0 (t))
donde hemos enfatizado que la posición de la carga r 0 (t) es función del tiempo. Aplicando la Ec. (10.7)
resulta
q (v × B)
F = v (r0 ) × B (r0 ) , ~τ = qr×
c c
Esta derivación es por supuesto altamente sospechosa ya que el tratamiento que hemos desarrollado hasta
aquı́ (y en particular la ley de Biot-Savart), son válidas solo en el régimen estacionario y una carga puntual
en movimiento claramente NO genera una corriente estacionaria. Es notable sin embargo, que el resultado
aquı́ derivado se cumple muy bien experimentalmente. En realidad veremos mas adelante que la ley de Biot
Savart se puede utilizar hasta cierto punto en un régimen no estacionario para derivar otros resultados, la
razón para esta inesperada extrapolación solo resultará mas clara en la sección (16.2). La expresión para la
fuerza ejercida por el campo B sobre una carga puntual, se conoce como fuerza de Lorentz. Si además
existe un campo eléctrico (cuya fuente sigue siendo en el caso estacionario las densidades de carga) tenemos
q
F = qE + v × B (10.9)
c
cuando solo existe campo magnético, basta con conocer la velocidad de la carga y la fuerza que experimenta
para medir B.
esta integral se hace sobre todo el espacio e incluye todas las fuentes. Estas son ecuaciones integrales, y
permiten en principio calcular el campo cuando conocemos la distribución de corrientes en todo el espacio,
sin embargo para problemas que involucren algún tipo de condición de frontera y el conocimiento de la
corriente solo en cierta región del espacio, las ecuaciones diferenciales son más adecuadas. Como en el caso
electrostático (o el de cualquier otro campo vectorial), es necesario conocer la divergencia y el rotacional del
campo (y la componente normal en la frontera) para determinar unı́vocamente su solución (ver teorema 2, pag
20). Para encontrar la divergencia y el rotacional del campo magnético, exploraremos algunas propiedades
vectoriales de B.
Z
1 (r − r0 ) 1 0
1
∇ =− ; B (r) = − J r ×∇ dV 0
|r − r0 | |r − r0 |3 c |r − r0 |
184 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
J (r0 ) 1 ∇ × J (r0 )
∇× =∇ × J r0 +
|r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |
| {z }
=0
∇ · B (r) = ∇ · [∇ × A (r)] = 0
ya que la divergencia del rotacional de cualquier función vectorial es cero si dicha función vectorial es de
clase C 2 (para una interpretación geométrica ver Ref. [1] problema 2.16).
∇·B =0 (10.11)
vale decir que aunque estrictamente partimos de la ecuación para la fuerza entre dos circuitos unidimen-
sionales, la fórmula anterior es de validez general incluso en el caso volumétrico y no estacionario. Esta
ecuación nos dice que el flujo por unidad de volumen de B en cualquier punto es nulo. Usando el teorema
de la divergencia en un volumen arbitrario
Z Z
∇ · B dV = 0 = B · dS (10.12)
S
En el caso del campo eléctrico la divergencia es cero si no hay fuentes ni sumideros (o si éstos se cancelan)
cuando hay fuentes y/o sumideros en el volumen, hay lı́neas de campo que empiezan o terminan dentro del
volumen de modo que no salen todas las lı́neas que entran, y/o viceversa. Pero para el campo magnético las
lı́neas de campo no empiezan ni terminan en ningún punto ya que de lo contrario tendrı́amos al menos un
punto con divergencia no nula. Es decir las lı́neas de campo magnético no tienen fuentes ni sumideros 1 , no
hay cargas magnéticas, de modo que las lı́neas de B deben cerrarse sobre sı́ mismas o ir hasta el infinito 2 .
Ahora que hemos determinado la divergencia de B, debemos calcular también su rotacional. Para ello,
empleamos otra identidad vectorial
∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ · A) − ∇2 A (10.13)
1
Por supuesto las corrientes son fuentes pero en otro sentido. Cuando hablamos de fuentes y sumideros aquı́, nos referimos
a puntos donde comienza o termina una lı́nea de campo.
2
Nótese que no serı́a permisible una lı́nea semi infinita, ya que esta posee un extremo.
10.5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA MAGNETOST ÁTICA 185
calculemos ∇2 A
Z Z
1 2 J (r0 ) 1 2 1
∇2 A = ∇ dV 0
= J r 0
∇ dV 0
c |r − r0 | c |r − r0 |
Z
4π
= − J r0 δ r − r0 dV 0
c
4π
∇2 A = − J (r) (10.14)
c
Calculemos la divergencia de A
Z Z
1 J (r0 ) 0 1 J (r0 )
∇·A = ∇· dV = ∇· dV 0
c |r − r0 | c |r − r0 |
Z Z
1 1 1 1
= J r0 · ∇ dV 0
= − J r 0
· ∇ 0
dV 0
c |r − r0 | c |r − r0 |
Z
1 0 J (r0 ) 0 ∇0 · J (r0 ) 0
= − ∇ · dV − dV
c |r − r0 | |r − r0 |
La conservación de la carga para corrientes estacionarias nos lleva a que ∇ · J = 0. Y utilizando el teorema
de la divergencia
Z
1 J (r0 )
∇·A = · dS 0 = 0 (10.15)
c |r − r0 |
expresión válida para corrientes localizadas, ya que en ese caso J = 0 en el infinito 3 . Reemplazando, (10.14)
y (10.15) en (10.13) se obtiene
4π
∇×B = J (10.16)
c
ahora integrando sobre una superficie abierta S delimitada por un lazo cerrado C, se encuentra que
Z Z
4π
(∇ × B) · dS = J · dS
c
I
4π
B · dl = i (10.17)
c
C
donde la integral de lı́nea es sobre el lazo cerrado que expande a la superficie, e “i” es la corriente que
atraviesa la trayectoria cerrada (o que cruza la superficie que expande la trayectoria). Esta expresión se
conoce como ley circuital de Ampere. Estableciendo un análogo con la electrostática, la ley de Biot-
Savart es el equivalente de la ley de Coulomb, en tanto que la ley circuital de Ampere es el equivalente de la
ley de Gauss4 . En virtud de esta equivalencia, la forma integral de la ley circuital de Ampere es también útil
para calcular campos magnéticos con alta simetrı́a, en particular su utilidad es evidente cuando la corriente
posee una configuración como las siguientes: lı́neas infinitas, planos infinitos, solenoides infinitos y toroides
(ver [7]). Veamos algunos ejemplos
Example 18 ?**
3
Recordemos que las integrales de volumen están definidas sobre la región en donde hay corrientes, pero se puede extender
al volumen de todo el espacio como en el caso de la electrostática.
4
La ley de Coulomb conduce a la ley de Gauss y a ∇ × E = 0. Por otro lado, la ley de Biot-Savart conduce a la ley circuital
de Ampere y a la Ec. (10.12) o equivalentemente a ∇ · B = 0. No debe confundirse la ley de Ampere (10.5) con la ley circuital
de Ampere (10.17).
186 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Enfatizamos de nuevo que la ecuación (10.16) fué construı́da para ser compatible con la conservación de
la carga en el caso estacionario ya que ∇ · (∇ × B) = 0 = 4π c ∇ · J. Adicionalmente, la Ec. (10.14) nos
muestra que A satisface la ecuación de Poisson, escrita en componentes cartesianas
∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax 4πJx
2
+ 2
+ 2
=−
∂x ∂y ∂z c
y similarmente para las otras componentes.
A0 ≡ A + ∇ψ (10.18)
tenemos que aún se cumple que ∇ × A0 = B, la transformación descrita por (10.18) se conoce como
una transformación gauge o recalibración del potencial A. Se dice que el vector B es invariante ante esta
transformación gauge de su potencial asociado.
Esto nos indica que hay cierta arbitrariedad en la definición de A. La definición dada en la Ec. (10.10) es
por tanto solo una forma posible para el potencial vectorial. Un campo vectorial se especifica completamente
si se conoce su componente normal en la frontera ası́ como su divergencia y su rotacional. En este caso solo
conocemos el rotacional de A y su divergencia queda en principio indeterminada, esto nos da la libertad de
escoger la divergencia siempre que se pueda encontrar una solución para ψ. Una posibilidad interesante y
que simplifica muchos cálculos consiste en imponer la condición
∇ · A0 = 0 (10.19)
este gauge especı́fico se denomina gauge de Coulomb. Nótese que la imposición de este gauge no conduce
todavı́a a un valor único de A ya que aún es necesario especificar las condiciones de frontera. El poten-
cial vectorial magnético definido en (10.10) cumple con esta condición (implı́citamente también estamos
definiendo su valor en la frontera i.e. A = 0 en el infinito ya que asumimos que la corriente es localizada).
El gauge de Coulomb junto con A0 = A + ∇ψ implica
∇ · A0 = ∇ · A + ∇ 2 ψ = 0 ⇒
∇2 ψ = −∇ · A (10.20)
volviendo al caso de la definición en (10.10) tenemos que para este caso ∇ · A = 0 y por tanto ∇ 2 ψ = 0. Por
otro lado, calculando ∇ × B teniendo en cuenta que B = ∇ × A, se obtiene
∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ · A) − ∇2 A = ∇ ∇ · A0 − ∇ψ − ∇2 A0 − ∇ψ
= ∇ ∇ · A0 − ∇2 ψ − ∇2 A0 + ∇2 (∇ψ)
= ∇ ∇ · A0 − ∇ ∇2 ψ − ∇2 A0 + ∇2 (∇ψ)
∇ × (∇ × A) = ∇ ∇ · A0 − ∇2 A0 = ∇ × ∇ × A0
con lo cual se llega a que ∇ × (∇ × A) = ∇ × B es invariante gauge, lo cual es de esperarse ya que éste
es un observable. Es claro que no necesariamente ∇ · A = 0, pero sı́ podemos recalibrar para que el nuevo
A0 cumpla ∇ · A0 = 0. En adelante solo usaremos la notación A (sin primar), incluso si estamos en el
gauge de Coulomb, ya que una vez hecha la recalibración adecuada es irrelevante usar la notación primada.
Recordando que ∇ × B = 4π c J resulta
4π
∇ × B = ∇ (∇ · A) − ∇2 A ⇒ ∇ (∇ · A) −∇2 A = J
c
10.7. RANGO DE VALIDEZ DE LA FORMULACI ÓN 187
4π
−∇2 A = J (10.21)
c
con lo cual cada componente del potencial vectorial obedece una ecuación de Poisson, cuyas fuentes son
las componentes del vector densidad de corriente. Es importante enfatizar que la relación (10.21) es válida
solo en el gauge de Coulomb. La ecuación (10.21), muestra una de las ventajas de la inclusión del
potencial vectorial, ya que en principio hemos sintetizado las dos ecuaciones de B (su divergencia y su
rotacional) en una sola, similar al caso electrostático. Adicionalmente, tenemos una ecuación de Poisson
(aunque vectorial), de tal manera que con las extensiones adecuadas podemos emular el formalismo seguido
en el caso electrostático (ver por ejemplo la sección 10.8).
Para espacio infinito con gauge de Coulomb, tenemos que
Z
1 J (r0 )
A (r) = dV 0 + ∇ψ con ∇2 ψ = 0 (10.22)
c |r − r0 |
Sin embargo, debemos recordar que en virtud de las propiedades de la Ecuación de Laplace ψ no puede
tener máximos ni mı́nimos locales en V . Si exigimos además que A sea nulo en el infinito, tendremos que
∇ψ = 0. Estos dos hechos nos llevan a que ψ debe ser constante 5 .
Si ψ es solución a ∇2 ψ = 0 en una región V limitada por una superficie S (infinita en este caso), entonces
ψ no puede tener máximos ni mı́nimos en V .
En el caso en que −∇ · A = ∇2 ψ 6= 0, ψ no es constante. No obstante, si fijamos el valor de ∇ · A y
asumimos que A = 0 en el infinito, entonces tendremos definido unı́vocamente el valor de A ya que habremos
especificado la divergencia, el rotacional y la componente normal (nula) en la superficie infinita.
4π
∇·B=0 ; ∇×B= J
c
son en principio solo válidas en el régimen estacionario. Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo
veremos que la primera ecuación es de validez general aún fuera del régimen estacionario, en tanto que la
segunda requerirá una modificación para ser compatible con el principio de conservación de la carga.
Un ejemplo interesante para enfatizar en el rango de validez de la ley de Biot Savart, se da cuando
intentamos aplicar este formalismo para calcular el campo generado por una carga puntual en movimiento,
fácilmente se obtiene
µ0 qv × (r − r0 )
B (r) =
4π |r − r0 |3
este valor es solo aproximado y se aplica en el rango no relativista (v << c), la razón es que una carga puntual
en movimiento no genera una corriente estacionaria y por tanto la ley de Biot Savart no es aplicable en este
caso6 .
5
Por ejemplo una función lineal permite que ∇2 ψ = 0 sin que haya máximos ni mı́nimos, pero la función ψ no estarı́a acotada
en el infinito y ∇ψ 6= 0.
6
Nótese sin embargo que la expresión para la fuerza de Lorentz sı́ se obtiene a partir de la ley de Biot Savart y aplicado a la
corriente generada por una carga puntual, como se aprecia en el ejemplo 17. Sin embargo, esto no constituye una demostración
de la expresión para la fuerza de Lorentz, la cual se considera una ley empı́rica fundamental.
188 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
la función de Green tiene como argumentos G = G (r, r 0 ). Integrando sobre variables primadas tenemos
Z Z
0
02 0
0
02 0
A r ∇ G r, r − G r, r ∇ A r dV = dS0 · ∇0 G r, r0 A r0 − G r, r0 ∇0 A r0
0
δ (r 0 − a)
J r0 = Iδ cos θ 0 u ϕ0 = J ϕ0 u ϕ0
a
teniendo en cuenta que uϕ0 = −ux sin ϕ0 + uy cos ϕ0 y sustituyendo G en armónicos esféricos en la ec. (10.10)
queda
s
∞ l
4π 2 I X X Ylm (θ, ϕ) (2l + 1) (l − m)! m
A (r) = Pl (0)
ca 2l + 1 4π (l + m)!
l=0 m=−l
Z ∞ l
r< 02 0 0
h ux i
× l+1
r dr δ r − a − (δ m,1 − δ m,−1 ) + u y (δ m,1 + δ m,−1 )
0 r> i
usando
(l − 1)! 1
Pl−1 = − ∗
P , Yl,−1 = −Yl,1
(l + 1)! l
∞
πI X 2Pl1 (0) (l − 1)!
A (r) = −ux sin ϕ0 + uy cos ϕ0
ca (l + 1)! | {z }
l=1
u ϕ0
Z ∞ l
r<
× l+1
r 02 dr 0 δ r 0 − a · Pl1 (cos θ)
0 r>
Después de integrar en r se obtiene
∞
X P 1 (0) (l − 1)! l
4πI r<
A (r) = uϕ l
Pl1 (cos θ) l+1 = A ϕ uϕ
c (l + 1)! r>
l=1
∞
"
4πI X Pl1 (0) (l − 1)! ur l
r<
B (r) = l (l + 1) Pl (cos θ) l+1
c (l + 1)! r r>
l=1
( l #
r (l+1)
uθ si r < a
− Pl1 (cos θ) al+1
al
r −l l+1 si r > a
r
190 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
válido para corriente localizada (J = 0 en el infinito) y para caso estacionario (se supuso que ∇ · J = 0). En
consecuencia el primer término de la expansión (monopolo) no existe.
∇ · (JXi Xj Xk ) = Xi Xj Xk ∇ · J + (J · ∇Xi ) Xj Xk
+ (J · ∇Xj ) Xi Xk + (J · ∇Xk ) Xi Xj
= J i Xj Xk + X i Jj Xk + X i Xj Jk
queda entonces
∇ · Jrr 2 = r 2 J + 2 (J · r) r ⇒ r 2 J = ∇ · Jrr 2 − 2 (J · r) r
de lo cual la segunda integral de volumen a la izquierda de (10.29) queda
Z Z Z
2 1 2 2
JIr dV = JIr dV + JIr dV
2
Z Z
1
= JIr 2 dV + ∇ · JIrr 2 − 2 (JI · r) r dV
2
Z Z Z
1 2 2
= JIr dV − 2 (J · r) rI dV + dS · JIrr
2
donde Q define el momento de cuadrupolo magnético y es una triada o tensor de tercer rango. En compo-
nentes el cuadrupolo se escribe
Z
1
Qijk = 3 (Ji Xj Xk − Xi Jj Xk − Xi Xj Jk ) − r 2 Ji δjk + 2Jl Xl Xi δjk dV
c
P
la traza con respecto a jk es nula 3j=1 Qijj = 0. Cuantos elementos independientes tiene Q ijk ?.
El potencial vectorial se escribe
m×r 1
A (r) = 3
+ 5 Q : rr + . . .
r 4r
(m × r)i 1
Ai (r) = 3
+ 5 Qijk Xj Xk
r 4r
el campo magnético en aproximación dipolar se obtiene tomando el rotacional del término dipolar en A
3b r · m) − m
r (b
B (r) =
r3
Este término es idéntico en forma al campo dipolar electrostático, no obstante en el caso de dipolos Fı́sicos, los
dipolos eléctrico y magnético difieren fuertemente en su estructura en el caso de campos cercanos. En forma
análoga al caso electrostático sección (8.1.4), podemos aquı́ encontrar la corrección que este término dipolar
requiere para poder ser usado estadı́sticamente en regiones cercanas a las corrientes. Para ello requerimos
que el campo corregido reproduzca el promedio obtenido en la Ec. (10.30), este campo corregido es
3b r · m) − m 8π
r (b
B (r) = + m δ (r)
r3 3
el término extra es necesario para calcular el valor de la constante hiperfina de los átomos.
Por último, si bien es un arreglo mas ien artificial, conviene hacernos una idea de lo que es un dipolo
magnético puro: lazo cerrado con todas sus dimensiones infinitesimales, ubicado en el origen y de tal forma
que m = Ia sea constante de modo que el área a tiende a cero y la corriente tiende a infinito.
los multipolos magnéticos esféricos tienen propiedades similares a los multipolos eléctricos esféricos. Por
ejemplo, el primer multipolo no nulo es independiente del origen.
Z I
1 i
m= r × J dV = r × dl
2c 2c
Para calcular el valor de esta integral separamos el vector posición r = r 0 + r0 . Donde r0 va desde el origen
hasta un punto fijo que pasa por el plano de la espira y que está encerrado por el lazo cerrado; r 0 es un
vector que va desde el punto fijo en cuestión hasta el borde de la espira, es decri hasta el extremo de r.
I I I I
i i i i
m= r0 + r0 × dl = r0 × dl + r0 × dl = r0 × dl = (Area de la espira) n
2c 2c 2c c
H
donde hemos tenido en cuenta que dl = 0. En particular para espira plana
i
m= Area n
c
donde n estarı́a definido por la regla de la mano derecha.
N
X N
X
J (r) = ρi vi = qi δ (r − ri ) vi
i=1 i=1
si la relación carga masa es la misma para todas las partı́culas, el momento dipolar magnético se simplifica
qL
m=
2mc
esta es la relación clásica entre el momento angular y el momento dipolar magnético. Tal relación es modi-
ficada en mecánica cuántica por la introducción del momento angular intrı́nseco.
dq 1 1 1
dF = (v × B) = ρ (v × B) dV = (ρv × B) dV = (J × B) dV
c c c c
Por tanto, la fuerza que una distribución de corriente J experimenta cuando está inmersa en un campo B
es Z
1
F= (J × B) dV
c
10.11. PROMEDIO VOLUMÉTRICO DEL CAMPO MAGNÉTICO 195
En analogı́a con el procedimiento realizado para la fuerza eléctrica (Sec. 8.3, p. 153), realizamos una expan-
sión de B alrededor de algún punto r 0 cercano a la distribución J.
Z
1
F = J (r) × [B (r0 ) + (r − r0 ) · ∇B (r0 ) + (r − r0 ) (r − r0 ) : ∇∇B + . . .] dV
c
Z Z
1 1
= J (r) dV × B (r0 ) + J (r) × [(r − r0 ) · ∇B (r0 )]
c c
Z
1
+ J (r) × [(r − r0 ) (r − r0 ) : ∇∇B] + . . .
c
El primer término se anula ya que corresponde al monopolo magnético, calculando los términos dipolares y
cuadrupolares se obtiene
∇
F = ∇ (m · B) + (Q : B) + . . .
6
Para el torque, se tiene
Z Z
1
~τ = r × dF = r × (J × B) dV
c
calculando solo el dipolo queda
~τ = m × B
que define el torque sobre un dipolo magnético puntual. Al igual que en el caso electrostático, este torque
tiende a alinear al dipolo en dirección paralela al campo, es decir, es de carácter restaurador.
La expansión de la fuerza hasta orden dipolar nos lleva a definir un valor de la energı́a potencial de la
forma U = −m · B. Sin embargo, es fácil ver que esta no es la energı́a total del sistema ya que para traer al
dipolo m a su posición final en el campo externo, es necesario hacer trabajo para mantener a la corriente
J de la distribución que se trae, de tal forma que mantenga a m constante. Sin embargo, este valor de la
energı́a es útil para el cálculo los efectos que un campo magnético tiene sobre los átomos como es el caso del
efecto Zeeman, la estructura fina y la estructura hiperfina. Nótese finalmente que esta energı́a U depende
de la velocidad ya que m depende de la densidad de corriente que a su vez depende de la velocidad.
donde r> es el mayor entre r 0 y R, con el origen en el centro de la esfera. La integración en las variables
primadas se realiza en toda la región en donde hay corriente, sin importar si esta región es interior o exterior
a la esfera. La expresión (??), es válida para cualquier tamaño y ubicación de la esfera. En particular, si
toda la densidad de corriente está contenida en la esfera, entonces r 0 = r< quedando
Z
8π
B dV = m (10.30)
r<R 3
donde Z
1
m≡ r × J dV
2c
196 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
es el dipolo magnético y es el primer término en la expansión multipolar del potencial vectorial, como vimos
en la sección (10.9). Si por otro lado, la esfera es totalmente externa a la carga se tiene
Z
1
B dV = B (0) (10.31)
Vesf era r<R
vale la pena mencionar que estos resultados son exactos, y no dependen de la aproximación dipolar del
campo, en analogı́a con lo que ocurre con los campos electrostáticos.
q~ −r/a0
J = uϕ e r sin θ
32ma50
evaluar A (r).
Debemos hallar A (r), para todo el espacio. La expresión para A (r) con condiciones de Dirichlet es
Z I
1 0
0
0 1 ∂G
A (r) = J r G r, r dV − 0
A r0 dS 0
c V 4π ∂n
si las fornteras están en el infinito,G es la función de Green para espacio infinito, y la integral de superficie
se anula obteniéndose Z Z
1 0
0
0 1 J (r0 )
A (r) = J r G r, r dV = dV 0 (10.32)
c V c V |r − r0 |
utilizando el diferencial de volumen en coordenadas esféricas y la expansión de G en armónicos esféricos
(6.3), se obtiene
Z " X ∞ X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l
#
1 q~ −r0 /a0 0 Y lm (θ, ϕ) Y r <
A (r) = uϕ e r sin θ 0 4π lm
r 02 dr 0 dΩ0
c V 32ma50 2l + 1 r l+1
>
l=0 m=−l
∞ l Z "Z #
4π q~ X X Ylm (θ, ϕ) r l
0
< 03 −r /a0
A (r) = uϕ sin θ 0 Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0 r e dr 0 (10.33)
c 32ma50 2l + 1 r l+1
>
l=0 m=−l
recordando la expresión para el vector unitario u ϕ = −ux sin ϕ0 + uy cos ϕ0 y utilizando las expresiones
0 0 0 0
eiϕ − e−iϕ eiϕ + e−iϕ
sin ϕ0 = ; cos ϕ0 =
2i 2
se tiene
Z Z " 0 0
! 0 0
!#
2π π
eiϕ − e−iϕ eiϕ + e−iϕ
AΩ = −ux + uy sin θ 0 Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0
0 0 2i 2
Z 2π Z π " 0
!# Z 2π Z π " −iϕ0
!#
eiϕ e
AΩ = −ux sin θ 0 Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0 + ux sin θ 0 Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0 +
0 0 2i 0 0 2i
Z 2π Z π " 0
!# Z 2π Z π " 0
!#
eiϕ 0 ∗ 0 0
0 e−iϕ
uy sin θ Ylm θ , ϕ dΩ + uy sin θ 0 Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0
0 0 2 0 0 2
10.12. PROBLEMAS RESUELTOS DE MAGNETOST ÁTICA 197
definiendo
Z 2π Z π Z 2π Z π
iϕ0 0 ∗ 0 0
0 0
AΩ1 ≡ e sin θ Ylm θ ,ϕ dΩ ; AΩ2 ≡ e−iϕ sin θ 0 Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0
0 0 0 0
obtenemos
uy ux
AΩ = (AΩ1 + AΩ2 ) − (AΩ1 − AΩ2 )
2 2i
en lo que sigue serán útiles las siguientes expresiones
r
3
Y11 (θ, ϕ) = −sin θ eiϕ ; Yl,−m (θ, ϕ) = (−1)m Ylm
∗
(θ, ϕ) (10.34)
8π
p
calculemos AΩ1 , de las anteriores indentidades tenemos que sin θ e iϕ = − 8π/3Y11 (θ, ϕ) sustituyendo esto
en la expresión para AΩ1
r Z 2π Z π
r
8π 0 0
∗ 0 0
0 8π
AΩ1 ≡ − Y11 θ , ϕ Ylm θ ,ϕ dΩ = − δl1 δm1
3 0 0 3
p
calculamos ahora AΩ2 . Conjugando la identidad p antes usada se tiene sin θ e −iϕ = − 8π/3Y11 ∗ (θ, ϕ), y
usando la segunda identidad (10.34), sin θ e −iϕ = 8π/3Y1,−1 (θ, ϕ), sustituyendo en la expresión para A Ω2
r Z 2π Z π
r
8π ∗ 0 0
0 8π
AΩ2 ≡ Y1,−1 (θ, ϕ) Ylm θ ,ϕ dΩ = δl1 δm,−1
3 0 0 3
∞ l
(r ) "Z
4π q~ X X Ylm (θ, ϕ) 2π r<l
0
A (r) = 5 δl1 [uy (−δm1 + δm,−1 ) − iux (δm1 + δm,−1 )] l+1
r 03 e−r /a0
c 32ma0 2l + 1 3 r>
l=0 m=−l
r 1 Z
4π 2π q~ X Y1m (θ, ϕ) r< 03 −r0 /a0 0
A (r) = {uy (−δm1 + δm,−1 ) − iux (δm1 + δm,−1 )} 2 r e dr
c 3 32ma50 m=−1 2 + 1 r>
r 1
4π 2π q~ X
A (r) = [uy Y1m (θ, ϕ) (−δm1 + δm,−1 ) − iux Y1m (θ, ϕ) (δm1 + δm,−1 )] Ar
3c 3 32ma50
m=−1
r
π 2π q~
A (r) = {uy [−Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ)] − iux [Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ)]} Ar (10.35)
24c 3 ma50
donde hemos definido Z
r< 03 −r0 /a0 0
Ar = 2 r e dr
r>
198 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
debemos ahora evaluar la integral radial A r , para lo cual partimos la integral entre [0, r], y (r, ∞)
Z Z r 0 Z ∞
r< 03 −r0 /a0 0 r 03 −r0 /a0 0 r 03 −r0 /a0 0
Ar = 2 r e dr = 2
r e dr + r e dr
r> 0 r r r 02
Z Z ∞
1 r 04 −r0 /a0 0 0
Ar = 2
r e dr + r r 0 e−r /a0 dr 0
r 0 r
Z ∞
−x −r/a0 r
Ar1 = x e dx = e 1+
r/a0 a0
Ar2 se puede hacer por partes en forma sucesiva, comenzando con u 1 = x4 , dv1 = e−x dx, para las siguientes
integrales se tiene u2 = x3 , dv2 = e−x dx y ası́ sucesivamente
Z Z Z
4 −x 4 −x 3 −x 4 −x 3 −x 2 −x
x e dx = −x e + 4 x e dx = −x e + 4 −x e + 3 x e dx
Z
4 −x 3 −x 2 −x −x
= −x e + 4 −x e + 3 −x e + 2 xe dx
Z
= −x4 e−x − 4x3 e−x − 12x2 e−x + 24 xe−x dx
Z " 4 3 2 #
r/a0
r r r r
Ar2 = x4 e−x dx = 24 − e−r/a0 +4 + 12 + 24 + 24
0 a0 a0 a0 a0
factorizando adecuadamente
( " 3 2 #) " 4
4
a50 −r/a0 r/a0 r r r r a 5
0 −r/a0 r 3 r
Ar = 2
e 24e − +4 + 12 + 24 + 24 + 2e +
r a0 a0 a0 a0 r a0 a0
( )
a50 −r/a0 r/a0 r 3 r 2 r
Ar = 2
e 24e − 3 − 12 − 24 − 24
r a0 a0 a0
( 3 2 )
3a5 r r r
Ar = − 20 e−r/a0 −8er/a0 + +4 +8 +8
r a0 a0 a0
( 2 )
3a50 −r/a0 r 3 r r
Ar = − 2 e +4 +8 + 8 1 − er/a0 (10.38)
r a0 a0 a0
———————–
———————–
2) Sepúlveda pag 201. Evaluar A y B para un sistema de dos anillos con corrientes i 1 e i2 y radios a y
b, separados una distancia 2h. Los planos de los anillos son paralelos y concéntricos.
Primero calculamos la densidad volumétrica equivalente J = J 1 + J2
√
δ r 0 − h2 + a2 δ cos θ 0 − √ h
h2 +a2
⇒ J1 = I1 a u ϕ0
h2 + a 2
para la otra corriente (debajo del plano XY), el ángulo θ 2 viene dado por θ2 = π − α0 , donde α0 es el ángulo
agudo entre el eje Z negativo y la posición de un punto en el alambre 2 de modo que
h
cos θ2 = cos (π − α0 ) = − cos α0 = − √
h2 + b2
200 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
evaluamos la integral sobre un solo alambre ya que el resultado se extrapola fácilmente para el otro
Z X∞ X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l " #
1 I1 a δ (r 0 − R1 ) δ (cos θ 0 − cos θ1 ) Ylm (θ, ϕ) Ylm r<
A1 (r) = 4π u ϕ0 r 02 dr 0 dΩ0
c V R12 2l + 1 r l+1
>
l=0 m=−l
∞ l Z " Z #
4πaI1 X X Ylm (θ, ϕ) r l
<
A1 (r) = δ cos θ 0 − cos θ1 uϕ0 Ylm∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0 r 02 δ r 0 − R1 dr 0
cR12 2l + 1 r l+1
>
l=0 m=−l
∞ l
4πaI1 X X Ylm (θ, ϕ)
A1 (r) = Aθ Ar (10.39)
cR12 2l + 1
l=0 m=−l
Z Z l
0
∗ 0 0
0 r<
Aθ ≡ δ cos θ − cos θ1 uϕ Ylm θ , ϕ dΩ ; Ar ≡
0
l+1
r 02 δ r 0 − R1 dr 0
r>
Z 0 0
!s
2π
eiϕ − e−iϕ 2l + 1 (l − m)! m 0
Aθ = −ux Pl (cos θ1 ) e−imϕ dϕ0
0 2i 4π (l + m)!
Z 0 0
!s
2π
eiϕ + e−iϕ 2l + 1 (l − m)! m 0
+uy Pl (cos θ1 ) e−imϕ dϕ0
0 2 4π (l + m)!
10.12. PROBLEMAS RESUELTOS DE MAGNETOST ÁTICA 201
s Z 0 0
!
2π
2l + 1 (l − m)! m eiϕ − eiϕ 0
Aθ = −ux P (cos θ1 ) e−imϕ dϕ0
4π (l + m)! l 0 2i
s Z 0 0
!
2π
2l + 1 (l − m)! m eiϕ + eiϕ 0
+uy P (cos θ1 ) e−imϕ dϕ0
4π (l + m)! l 0 2
s
2l + 1 (l − m)! 2π m
Aθ = P (cos θ1 ) [iux (δm1 − δm,−1 ) + uy (δm1 + δm,−1 )]
4π (l + m)! 2 l
"s s #
2l + 1 (l − 1)! 1 2l + 1 (l + 1)! −1
Aθ = πiux P (cos θ1 ) δm1 − P (cos θ1 ) δm,−1
4π (l + 1)! l 4π (l − 1)! l
"s s #
2l + 1 (l − 1)! 1 2l + 1 (l + 1)! −1
+πuy P (cos θ1 ) δm1 + P (cos θ1 ) δm,−1
4π (l + 1)! l 4π (l − 1)! l
usando la identidad
(l − 1)! 1
Pl−1 (cos θ) = − P (cos θ)
(l + 1)! l
"s s #
2l + 1 (l − 1)! 1 2l + 1 (l + 1)! (l − 1)! 1
Aθ = πiux P (cos θ1 ) δm1 + P (cos θ1 ) δm,−1
4π (l + 1)! l 4π (l − 1)! (l + 1)! l
"s s #
2l + 1 (l − 1)! 1 2l + 1 (l + 1)! (l − 1)! 1
+πuy P (cos θ1 ) δm1 − P (cos θ1 ) δm,−1
4π (l + 1)! l 4π (l − 1)! (l + 1)! l
s
2l + 1 (l − 1)! 1
Aθ = π P (cos θ1 ) [iux (δm1 + δm,−1 ) + uy (δm1 − δm,−1 )]
4π (l + 1)! l
s
1 (2l + 1) π 1
Aθ = P (cos θ1 ) [iux (δm1 + δm,−1 ) + uy (δm1 − δm,−1 )]
2 l (l + 1) l
reemplazando en (10.39)
∞ l
4πaI1 X X Ylm (θ, ϕ)
A1 (r) =
cR12 2l + 1
l=0 m=−l
( s )
1 (2l + 1) π 1
× P (cos θ1 ) [iux (δm1 + δm,−1 ) + uy (δm1 − δm,−1 )] Ar
2 l (l + 1) l
∞ r
2πaI1 X π
A1 (r) = 2 × Ar
cR1 (2l + 1) l (l + 1)
l=1
×Pl1 (cos θ1 ) {iux [Yl,1 (θ, ϕ) + Yl,−1 (θ, ϕ)] + uy [Yl,1 (θ, ϕ) − Yl,−1 (θ, ϕ)]}
202 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
obsérvese que la suma sobre l comienza desde 1 y no desde cero, ya que como los únicos valores permitidos
de m son ±1, el término l = 0, estarı́a prohibido. Por otro lado
∗
Yl,1 (θ, ϕ) + Yl,−1 (θ, ϕ) = Yl,1 (θ, ϕ) − Yl,1 (θ, ϕ) = 2iRe [Yl,1 (θ, ϕ)]
s
2l + 1 (l − 1)! 1
= 2i P (cos θ) cos ϕ
4π (l + 1)! l
s
2l + 1
= i P 1 (cos θ) cos ϕ
πl (l + 1) l
∗
Yl,1 (θ, ϕ) − Yl,−1 (θ, ϕ) = Yl,1 (θ, ϕ) + Yl,1 (θ, ϕ) = 2Im [Yl,1 (θ, ϕ)]
s
2l + 1
= P 1 (cos θ) sin ϕ
πl (l + 1) l
ahora evaluamos el campo eléctrico, para lo cual tendremos en cuenta que para A = Au ϕ el rotacional
vendrá dado por
ur ∂ uθ ∂
∇×A= (A sin θ) − (rA)
r sin θ ∂θ r ∂r
∞
2πur X ∂
sin θ Pl1 (cos θ)
∂θ aI1 Pl1 (cos θ1 ) bI2 Pl1 (cos θ2 )
∇×A = Fl (r, R1 ) + Fl (r, R2 )
cr sin θl (l + 1) R1 R2
l=1
∞
2πuθ X Pl1 (cos θ) aI1 Pl1 (cos θ1 ) ∂ bI2 Pl1 (cos θ2 ) ∂
− [rFl (r, R1 )] + [rFl (r, R2 )]
cr l (l + 1) R1 ∂r R2 ∂r
l=1
utilizamos la identidad
dPl1 (cos θ)
= Pl2 (cos θ) + cot θ Pl1 (cos θ) ⇒
dθ
∂
sin θ Pl1 (cos θ) = 2 cos θ Pl1 (cos θ) + sin θ Pl2 (cos θ)
∂θ
toda la contribución angular en θ para la componente u r se puede escribir como
∂
1
∂θ sin θ Pl (cos θ)
= 2 cot θ Pl1 (cos θ) + Pl2 (cos θ)
sin θ
por otro lado las derivadas radiales se escriben
r l l+1
∂ R
[rF (r, R)] = (l + 1) Θ (R − r) − l Θ (r − R)
∂r R r
si a = b se obtienen los anillos de Helmholtz, en tal caso R 1 = R2 , cos θ1 = − cos θ2 . Vamos a suponer
adicionalmente que i1 = i2 , usando la relación Pl (−x) = (−1)l Pl (x) se puede ver que
de modo que
4πaI1 ur X Zl (θ) h 1 i
∞
Bh = Pl (cos θ1 ) + (−1)l Pl (cos θ1 ) Fl (r, R1 )
crR1 l (l + 1)
l=1
Pl1 (cos θ) h 1 i
∞
4πaI1 uθ X
− Pl (cos θ1 ) + (−1)l Pl (cos θ1 ) Hl (r, R1 )
crR1 l (l + 1)
l=1
11.1. Magnetización
En la materia existen corrientes microscópicas (electrones y tal vez iones en movimiento). Estas cor-
rientes microscópicas dan lugar a dipolos magnéticos microscópicos cuando el material se sumerge en un
campo magnético B; por reorientación surgen entonces efectos macroscópicos. No obstante, la forma en que
responden los cuerpos a un campo magnéticos nos lleva a tres grandes tipos de materiales: paramegnéticos,
diamagnéticos y ferromagnéticos. Los dos primeros tienen usualmente una respuesta lineal y no dependen de
la historia del material, por el contrario el ferromagnetismo es un fenómeno no lineal que además depende
de la historia del material, diferiremos la discusión de estos últimos para el final del capı́tulo. Aunque la ex-
plicación mas satisfactoria de todos estos fenómenos yace en la mecánica cuántica, haremos un acercamiento
cualitativo clásico o semiclásico a estos fenómenos.
11.1.1. Paramagnetismo
En la sección (10.10) vimos que el torque generado por un dipolo magnético viene dado por
~τ = m × B
esta forma funcional del torque es idéntica a la que se encontró para el caso electrostático Ec. (9.2), donde
~τ = p × E. Y al igual que en el caso electrostático, este torque es de tipo restaurador, de modo que tiende
a alinear a los campos en la dirección paralela al campo B. Cuando los materiales alinean sus momentos
dipolares (en promedio) en la dirección paralela al campo se habla de materiales paramagnéticos. Por
otro lado, el movimiento electrónico en los átomos produce un momento dipolar 1 , que genera esta clase
de torque restaurador en presencia de un campo B externo. Sin embargo, la mayor contribución a m la
da el momento dipolar intrı́nseco (momento magnético de espı́n µ s ), y dado que el principio de exclusión
de Pauli en mecánica cuántica “organiza” a los electrones en pares con valor opuesto de µ s , existe una
cancelación de estos torques a menos que el número de electrones sea impar. De esta forma, el fenómeno
del paramagnetismo se observa generalmente en átomos con número impar de electrones. Por supuesto, la
alineación no es perfecta dados los efectos térmicos y las interacciones con átomos vecinos.
11.1.2. Diamagnetismo
Aún una discusión clásica del diamagnetismo requiere de la ley de inducción de Faraday, por lo cual
haremos una breve discusión que será complementada cuando lleguemos a campos dependientes del tiempo.
1
Se podrı́a decir que el electrón como partı́cula no produce una corriente estacionaria. Sin embargo, si reemplazamos esta
visión por la de una nube electrónica podemos ver al electrón mas como una esfera rotante de carga, que por tanto puede en
promedio mantener una corriente estacionaria.
205
206 CAPÍTULO 11. MAGNETOSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
Podemos ver los dipolos magnéticos en la materia como una serie de espiras cerradas de corrientes mi-
croscópicas (usualmente de electrones). Consideremos la corriente microscópica producida por un electrón
con enorme frecuencia orbital, en tal caso se puede tomar la corriente del electrón como si fuera estacionar-
ia. Si este lazo de corriente se introduce en un campo B, y este campo depende del tiempo, se produce
un fenómeno de inducción debido al cambio del flujo en la espira, este fenómeno de inducción también se
puede producir si el campo es no uniforme y la espira se mueve inmersa en el campo. Como veremos más
adelante, este fenómeno de inducción produce un cambio en el momento dipolar que se opone al campo i.e.
∆m = −KB, este fenómeno de inducción sobre la espira microscópica da lugar al diamagnetismo el cual
es tı́picamente de menor magnitud que el paramagnetismo, sin embargo, el paramagnetismo se vé usualmente
muy apantallado en átomos con número par de electrones como ya se discutió, en tal caso el diamagnetismo
se vuelve un fenómeno importante.
Como comentario final, es bien sabido que en la vida diaria conocemos la interacción magnética por medio
de objetos ferromagnéticos (imanes, brújulas etc.), la razón es que los fenómenos diamagnético y param-
agnético, son mucho más débiles y por tanto la materia ordinaria no produce un fenómeno de imanación
apreciable macroscópicamente, salvo con instrumentos muy sensibles.
11.1.3. Ferromagnetismo
Este fenómeno al igual que el paramagnetismo, se debe a la alineación de espines en electrones desaparea-
dos. Pero la diferencia con éste, consiste en que existen fuertes correlaciones entre los momentos magnéticos
vecinos de manera que un dipolo tiende a alinearse paralelamente a sus vecinos. El origen de esta correlación
es mecánico cuántica. Sin embargo esta alineación solo ocurre en pequeñas regiones conocidas como do-
minios magnéticos, pero los dominios sı́ estan aleatoriamente orientados de modo que se anula el campo
macroscópico generado. Sin embargo, colocando una pieza de este material en un campo magnético intenso
se genera un torque que tiende a alinear a los dipolos a lo largo del campo, pero la mayorı́a de los dipolos
se resisten al cambio en virtud de las fuertes correlaciones. No obstante, en la frontera entre dos dominios
hay tensiones entre los dipolos de uno u otro dominio debido a que están orientados de forma diferente, y el
torque tiende a favorecer al lado de la frontera en donde los dipolos tienen una dirección más cercana a la
del campo, de modo que se modifican las fronteras de los dominios tal que crecen los dominios paralelos al
campo en tanto que los otros decrecen. Cuando el campo es muy intenso, un dominio puede ocupar todo el
material y se llega a una saturación.
El fenómeno anterior no es completamente reversible, si ahora se apaga el campo, aunque se recupera
parte de la aleatoriedad de los dominios, sigue existiendo una preponderancia de los dominios en la dirección
del campo que se apagó. El objeto permanece magnetizado o imanado.
Una forma de producir un imán permanente es usando una bobina e introduciendo un núcleo de
hierro en ella. Cuando se aumenta la corriente (y por lo tanto el campo) se mueven los dominios y crece
la magnetización (M), hasta alcanzar un punto de saturación en el cual todos los dipolos están alineados
y un incremento en la corriente ya no tiene efecto sobre M. Si ahora reducimos la corriente, también se
reduce la magnetización pero no volvemos sobre el mismo camino, en particular al pasar por I = 0, todavı́a
hay magnetización es decir predominan los dominios paralelos al campo. Ahora aumentamos la corriente
pero en la dirección contrario (campo en dirección contraria al original) hasta anular la magnetización,
y si seguimos aún aumentado esta corriente, encontramos una corriente de saturación y la magnetización
aquı́ ya no aumenta más (y va en dirección contraria a la magnetización original). Una vez que llegamos a la
saturación disminuı́mos el valor de la corriente hasta llegar a cero encontrando aún una magneitzación (de
nuevo contraria en dirección a la magnetización original que obtuvimos con I = 0), de nuevo aumentando
la corriente (en la dirección original) podemos anular en un cierto punto la magnetización y si seguimos
aumentando llegamos de nuevo a un punto de saturación completando un lazo de Histéresis, de modo que
la magnetización no depende solo del campo aplicado sino de la historia del material. Adicionalemente, es
un fenómeno altamente no lineal.
Es lógico pensar que al aumentar la temperatura la alineación de los dominios se destruya por la agitación
11.2. CAMPO GENERADO POR OBJETOS MAGNETIZADOS 207
térmica. No obstante, existe además una tempreatura crı́tica (temperatura de Curie) a la cual ocurre una
transición de fase y el material abruptamente se vuelve paramagnético.
∇ × (Mf ) = f ∇ × M − M × ∇f
Z Z
M (r0 ) ∇ × M (r0 ) 0 M (r0 )
A (r) = ∇× − dV = ∇ × dV 0
|r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |
208 CAPÍTULO 11. MAGNETOSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
donde hemos tenido en cuenta que ∇ × M (r 0 ) = 0 ya que ∇ actúa sobre las coordenadas r. Definiendo el
vector de Hertz magnetostático
Z
M (r0 )
Π̃m (r) ≡ dV 0 ⇒ A (r) = ∇ × Π̃m (r)
|r − r0 |
Conocido M, el vector de Hertz es en general más fácil de evaluar que la ecuación original para A. Además
debe tenerse en cuenta que la magnetización es usualmente mas fácil de medir que las corrientes. Otro
método alternativo para encontrar A (r) en función de la magnetización M es el siguiente:
Z Z
M (r0 ) × (r − r0 ) 0 0
0 1
A (r) = 3 dV = M r × ∇ 0|
dV 0 (11.3)
0
|r − r | |r − r
Z 0
∇ × M (r0 ) 0 M (r0 )
A (r) = − ∇ × dV 0 (11.4)
|r − r0 | |r − r0 |
Utilizando la identidad Z Z
(∇ × A) dV = dS × A
S
se encuentra que Z Z
∇0 × M (r0 ) M (r0 ) × n
A (r) = dV 0 + dS 0
|r − r0 | |r − r0 |
Esta ecuación tiene la forma
Z Z
1 JM (r0 ) 1 ~σM
A (r) = dV 0 + dS 0 (11.5)
c |r − r0 | c |r − r0 |
dl dl ib
t
= ib
t
~σ = i 0
=
dS dl dl dl0
esto nos define la corriente por unidad de longitud transversal a la corriente.
que se vé como una corriente que recorre toda el área lateral. Estimemos el valor de esta corriente superficial.
Cada lazo cerrado tiene un área a, y un espesor d, su momento dipolar es m = M V = M ad. Por otro lado
m = Ia para una espira de corriente, y el valor de la corriente circulante neta es igual al valor (promedio)
de las corrientes microscópicas en los lazos cerrados, por tanto la corriente efectiva macroscópica se escribe
como I = m/a = M ad/a = M d, y como la densidad superficial de corriente ~σ M es corriente por unidad de
longitud, se tiene que σM = I/d = M d/d resultando σM = M . Finalmente, se puede ver que la dirección
correcta de esta densidad de corriente viene dada por
~σM = M × n
esta expresión además nos dice que no hay corrientes superficiales en las “tapas” del contorno, puesto que
en esas regiones M y n son paralelos. Esto coincide con el hecho de que esta región es interior y allı́ se
cancelan las corrientes.
Por otro lado, si la magnetización no es uniforme, la cancelación entre los lazos contı́guos de corriente en
el interior del contorno ya no es exacta. En realidad en ese caso, los lazos pueden estar orientados en diversas
direcciones de modo que podemos ver la circulación como la superposición de tres circulaciones paralelas
a los planos XY, XZ, y YZ. Por ejemplo, si los lazos contı́guos van a lo largo de la dirección x, hay una
corriente neta sobre la superficie lateral común a los dos lazos, que va también en dirección x (superposición
de circulaciones paralelas al plano XY)
∂Mz
Ix = [Mz (y + dy) − Mz (y)] dz = dy dz
∂y
∂Mz ∂My
(JM )x = −
∂y ∂z
JM = ∇ × M
ambos resultados coinciden con los que se obtuvieron analı́ticamente en la sección anterior.
aproximación dipolar sea buena. Por supuesto, también es posible la presencia de corrientes libres J f . Bajo
la existencia de corrientes libres en el material tenemos que
4π 4π
∇×B = (Jf + JM ) = (Jf + c∇ × M)
c c
4π
∇ × (B − 4πM) = Jf
c
definimos el vector intensidad de campo magnético
H ≡ B − 4πM
Lo cual nos da la ley cicuital de Ampere para medios materiales con corrientes libres. Dicha ley es válida
incluso para medios no lineales, anisótropos, e inhomogéneos, pero bajo la aproximación dipolar.
Para materiales diamagnéticos y paramagnéticos (lineales) se cumple experimentalmente que
M = χM H
H = B − 4πχM H ⇒ B = (1 + 4πχM ) H
B = µH ; µ ≡ 1 + 4πχM
∇·B =0 (11.7)
la relación ∇ · H = 0 es válida también si tenemos medios iśotropos, homogéneos lineales (bajo la aproxi-
mación dipolar). Pero la ec. (11.7) es válida en general, incluso sin la aproximación dipolar.
Hay un aspecto práctico importante a señalar, el campo H es el que en general se puede determinar
experimentalmente, debido a que las corrientes libres son manipuladas externamente, o se miden con facili-
dad, en tanto que el campo B depende de las corrientes libres y de polarización, es decir del material y su
estructura. Por otro lado, en el campo eléctrico ocurre en general lo contrario, es más fácil determinar E
experimentalmente debido a que en general lo que se puede medir son voltages i.e. los potenciales y se aplica
la relación E = −∇φ, pero las cargas libres normalmente no se pueden medir en forma directa, además el
campo D depende de la estructura del material 2 . Sin embargo, el campo D es útil en ciertas situaciones
altamente simétricas en donde la ley de Gauss es aplicable.
2
Recuérdese que aunque ∇ · D = 4πρf , el campo D depende tanto de las cargas libres como de las de polarización.
11.5. ECUACIONES DE CAMPO EN MEDIOS MAGNETIZABLES 211
Por otro lado, de manera semejante al caso electrostático, se tiene que para medios lineales, homogéneos
e isotrópicos la corriente volumétrica de magnetización es proporcional a la corriente libre
JM = ∇ × M = ∇ × (χM H) = χM Jf
con lo cual en la ausencia de corriente volumétrica libre, la corriente de magnetización será únicamente
superficial.
de lo cual resulta
(B1 − B2 ) · n = 0 ⇒ B1n = B2n (11.8)
ahora tomemos un lazo cerrado, los lados perpendiculares a la superficie son de longitud infinitesimal, los
lados localmente paralelos a la superficie son de longitud arbitraria pero finita
Z I Z
4π
(∇ × H) · nl da = H · dl = Jf · nl da
c s
donde nl es perpendicular a la superficie delimitada por el lazo cerrado, el sentido de circulación en el lazo
cerrado se define a través de nl y la regla de la mano derecha. Solo las lı́neas localmente paralelas contribuyen
a la integral cerrada
I I I Z
4π
H1 · dl1 + H2 · dl2 = (H1 − H2 ) · dl1 = Jf · nl da
c s
donde S es cualquier superficie delimitada por el loop. Tomemos por simplicidad, la superficie plana encer-
rada por el lazo. Observemos que una densidad de corriente volumétrica darı́a una contribución nula a la
integral de superficie, puesto que la superficie plana ya mencionada tiene un área que tiende a cero. En
cambio, una densidad de corriente superficial ~λf puede dar una contribución finita.
I Z
4π ~
(H1 − H2 ) · nl1 dl1 = λf · nl dl1
c s
es fácil ver que vectorialmente se cumple que
n l × n l1 = n ; n l1 × n = n l ; n × n l = n l1 (11.9)
recordemos que n es perpendicular a la interfase, n l1 va en la dirección de dl1 y nl es perpendicular a la
superficie que delimita el lazo, con el sentido regido por la regla de la mano derecha para la circulación 3 .
Con estas relaciones se tiene
I Z
4π ~
(H1 − H2 ) · (n × nl ) dl1 = λf · nl dl1
c s
3
Es importante mencionar que las identidades vectoriales (11.9), solo son válidas si se toma una superficie plana delimitada
por el lazo cerrado cuasi rectangular. Sin embargo, como en el teorema de Stokes puede tomarse cualquier superficie delimitada
por el lazo, las identidades son válidas para esta superficie en particular.
212 CAPÍTULO 11. MAGNETOSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
[(H1 − H2 ) × n]⊥ = 0
que denota la componente perpendicular a ~λf del vector (H1 − H2 )×n, la cual se obtiene con la componente
paralela a ~λf de (H1 − H2 ) de modo que4
(H1 − H2 )k = 0
[(H1 − H2 ) × n]k = λf
de modo que
(H1 − H2 )⊥ = λf
En conclusión, el campo B es contı́nuo en su componente normal a la superficie, en tanto que la componente
paralela a la superficie de H, se puede dividir a su vez en dos componentes, la componente paralela a la
densidad superficial de corriente que es contı́nua, y la componente perpendicular a la densidad superficial de
corriente que sufre una discontinuidad. Todos estos resultados se resumen vectorialmente en las expresiones
(11.8, 11.11)
(B1 − B2 ) · n = 0
4π ~
n × (H2 − H1 ) = λf
c
con ~λf definido como densidad de corriente superficial libre. Se puede ver que en este caso obtenemos lo
contrario al caso electrostático, continuidad en la componente normal a la superficie, y discontinuidad en la
componente transversal a la superficie. Esto es natural ya que en el caso electrostático tenı́amos ∇ · D 6= 0,
∇ × E = 0, en el caso magnetostático es todo lo contrario ∇ · B = 0, ∇ × H 6= 0. De nuevo, la discontinuidad
se debe a las corrientes superficiales, las corrientes volumétricas no contribuyen a la discontinuidad.
Formalismo de Green
Para distribuciones de corriente libres J f en el vacı́o o en medios materiales se tiene que B = ∇ × A, tal
que, en el caso particular de medios lineales, isótropos y homogéneos
B 1 1 4π
∇×H=∇× = ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ · A) − ∇2 A = Jf
µ µ µ c
donde la función de Green para espacio infinito |r − r 0 |−1 se puede escribir en te’rminos de una representación
apropiada para la simetrı́a del problema.
∇ × H = 0 ⇒ H = −∇φM
∇ · B = ∇ · (H + 4πM) = ∇ · (−∇φM + 4πM) = −∇2 φM + 4π∇ · M = 0
de lo cual resulta
∇2 φM = 4π∇ · M ≡ −4πρM
donde ρM es la densidad volumétrica de “carga” de magnetización, insisitimos en que esto es solo un término
efectivo pero no algo fı́sicamente real.
Calculemos la “carga” total de magnetización, se sigue que
Z Z Z Z
ρM dV = − ∇ · M = − M · n dS = − σM dS
de modo que Z Z
ρM dV + σM dS = 0
214 CAPÍTULO 11. MAGNETOSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
con σM ≡ M · n. De modo que también hay “carga” superficial de magnetización (nótese la diferencia en
notación entre densidad de “carga” superficial de magnetización σ M y densidad de corriente superficial de
magnetización ~σM ).
La solución a la ecuación ∇2 φM = −4πρM debe incluı́r la presencia de “cargas” superficiales, como en
el problema de Green electrostático.
Z Z Z Z
ρM 0 σM 0 ∇0 · M (r0 ) 0 M (r0 ) · n0 0
φM = dV + dS = − dV + dS
|r − r0 | |r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |
donde la integral volumétrica corresponde a la solución homogénea en tanto que la integral de superficie es
la solución inhomogénea. Al continuar desarrolando esta expresión queda
Z Z Z
0 M (r0 ) 0 0
0 1 0 M (r0 ) · n0 0
φM = − ∇ · dV + M r · ∇ dV + dS
|r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |
aplicando teorema de la divergencia
Z Z Z
M (r0 ) · n0 0 0
0 1 0 M (r0 ) · n0 0
φM = − dS + M r · ∇ dV + dS
|r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |
Las integrales de superficie se anulan entre sı́ (si las corrientes están localizadas, se tiene además que cada
una es cero por aparte) y queda
Z Z
0
0 1 0 0
1
φM = M r ·∇ dV = − M r · ∇ dV 0
|r − r0 | |r − r0 |
Z Z
M (r0 ) 0 M (r0 )
= − ∇· dV = −∇ · dV 0
|r − r0 | |r − r0 |
φM = −∇ · ΠM = φM
obsérvese que lejos de la región donde se localizan las corrientes |r − r 0 |−1 ' |r|−1 y el potencial escalar
queda Z
1 m·r
φM ' −∇ · M r0 dV 0 = 3
r r
donde m es el momento magnético total. En electrostática, este es el potencial escalar de un dipolo eléctrico,
en donde m (momento dipolar magnético) está haciendo las veces de p (momento dipolar eléctrico). En
sı́ntesis, el potencial escalar de una distribución localizada se comporta asintóticamente como un dipolo
eléctrico.
Un ejemplo sencillo lo constituye el dipolo puntual magnético ubicado en un punto r 0
ρM r0 = −∇ · (mδ (r − r0 )) = −m · ∇δ (r − r0 ) = m · ∇0 δ (r − r0 ) ; σM = 0
Z Z
ρM 0 m·∇0 δ (r − r0 ) 0 m
φM = dV = dV = −∇ ·
|r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |
1 m· (r − r0 )
= −m · ∇ =
|r − r0 | |r − r0 |3
que de nuevo, coincide con la forma funcional de un dipolo eléctrico. También se puede evaluar primero Π M
y luego φM .
Vector de Hertz
Una tercera estrategia consiste en usar el vector de Hertz magnético
Z Z Z
∇0 × M (r0 ) 0 M (r0 ) × n0 0 M (r0 )
A (r) = dV + dS = ∇ × dV 0 = ∇ × ΠM
|r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |
11.6. PROBLEMAS RESUELTOS DE MAGNETOST ÁTICA EN MEDIOS MATERIALES 215
sintetizando
X∞ X l Z l
~M Ylm (θ, ϕ) r<
Π = 4πM Z Fl (r) ; Fl (r) ≡ l+1
r 02 dr 0 (11.14)
2l + 1 r>
l=0 m=−l
Z
∗ 0 0
Z ≡ ux sin θ 0 cos ϕ0 + uy sin θ 0 sin ϕ0 + uz cos θ 0 Ylm θ , ϕ dΩ0
y la componente z
Z r Z
0 ∗ 0 0
0 4π
Zz = cos θ Ylm θ ,ϕ dΩ = Y10 θ 0 , ϕ0 ∗
Ylm θ 0 , ϕ0 dΩ0
3
r
4π
Zz = δl1 δm0
3
en sı́ntesis Z se escribe como
r
2π n √ o
Z≡ δl1 ux [(δm,−1 − δm1 )] + uy [i (δm1 + δm,−1 )] + uz 2δm0
3
y reemplazando en la expresión para (11.14)
r
2π X X Ylm (θ, ϕ) n o
∞ l
√
~M
Π = 4πM δl1 ux [(δm,−1 − δm1 )] + uy [i (δm1 + δm,−1 )] + uz 2δm0 Fl (r)
3 2l + 1
l=0 m=−l
r
2π X Y1m (θ, ϕ) n o
1
√
~M
Π = 4πM ux [(δm,−1 − δm1 )] + uy [i (δm1 + δm,−1 )] + uz 2δm0 F1 (r)
3 2 (1) + 1
m=−1
r
~M 2π 1 n √ o
Π = 4πM ux [Y1,−1 (θ, ϕ) − Y1,1 (θ, ϕ)] + iuy [Y1,−1 (θ, ϕ) + Y1,1 (θ, ϕ)] + uz 2Y10 (θ, ϕ) F1 (r)
3 3
teniendo en cuenta las identidades
r
3
Y1,1 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) = 2iIm [Y11 (θ, ϕ)] = −2i sin θ sin ϕ (11.15)
8π
r
3
Y1,1 (θ, ϕ) − Y1,−1 (θ, ϕ) = 2Re [Y11 (θ, ϕ)] = −2 sin θ cos ϕ (11.16)
8π
usando los resultados (11.15) y (11.16) se obtiene
r ( " r # " r # r !)
2π 1 3 3 √ 3
~ M = 4πM
Π ux 2 sin θ cos ϕ + iuy −2i sin θ sin ϕ + uz 2 cos θ F1 (r)
3 3 8π 8π 4π
r r
~ 2π 1 3
ΠM = 8πM {ux [sin θ cos ϕ] + uy [sin θ sin ϕ] + uz cos θ} F1 (r)
3 3 8π
~ M = 4π M F1 (r) ur
Π
3
en este caso observamos que −∇ · M 6= 0, y por tanto ρ M 6= 0, de modo que hay que considerar una “carga”
volumétrica de magnetización (ya que u r no es constante en el espacio). Calculemos la integral radial
Z
r< 02 0
F1 (r) ≡ 2 r dr
r>
partimos en intervalos
a) r < a
Z a Z r Z a
r< 02 0 r 03 0 r 02 0 r4 3
F1 (r) ≡ 2 r dr = dr + r dr = + r (a − r) = r a − r
0 r> 0 r2 r r 02 4r 2 4
b) r > a Z Z
a a
r< 02 0 r 0 02 0 a4
F1 (r) ≡ 2 r dr = r dr =
0 r> 0 r2 4r 2
11.6. PROBLEMAS RESUELTOS DE MAGNETOST ÁTICA EN MEDIOS MATERIALES 217
en sı́ntesis
3 a4
F1 (r) = r a − r Θ (a − r) + 2 Θ (r − a)
4 4r
~ M queda
el vector de Hertz Π
~M 4π 3 a4
Π = M r a − r Θ (a − r) + 2 Θ (r − a) ur
3 4 4r
evaluemos el potencial escalar magnético en regiones donde no hay corriente
~M
φM = −∇ · Π
~ M = ΠM ur la divergencia en coordenadas esféricas queda
para Π
~M 1 ∂ 2 1 ∂ 2
∇·Π = r sin θ ΠM = 2 r ΠM ⇒
r2
sin θ ∂r r ∂r
~ 4π ∂ 3 3 a4
φM = −∇ · ΠM = − 2 M r a − r Θ (a − r) + Θ (r − a)
3r ∂r 4 4
de modo que el potencial escalar queda
φM = 4πM Θ (a − r)
es decir, en el exterior de la esfera se anula el potencial escalar magnético. Recuérdese que el formalismo del
potencial escalar solo es útil en ausencia de corrientes libres, aunque existan corrientes de polarización. Al
tomar el gradiente de φM obtenemos la intensidad de campo magnético H
∂φM
H = −∇φM = − ur = −4πM ur Θ (a − r)
∂r
adicionalmente, tomando la relación entre B y H para medios lineales, isótropos y homogéneos
H = B − 4πM
y teniendo en cuenta que M = M ur Θ (a − r), ya que la magnetización se anula fuera de la esfera. Se tiene
que B = 0, dentro y fuera de la esfera.
—————————
—————————–
Problema Sepúlveda, pag 219. Apantallamiento magnético: sea un cascarón esférico de radio
interno a y radio externo b. Inmerso en un campo externo H 0 . Asumimos que todas las corrientes libres son
lejanas de modo que en todos los sectores podemos utilizar el formalismo del potencial escalar magnético
∇2 φ1 = ∇ 2 φ2 = ∇ 2 φ3 = 0
los valores de los potenciales escalares en las tres regiones vienen dados por
XX XX 0
Blm
φ1 = Ylm Alm r l : φ2 = Ylm A0lm r l + l+1 (11.17)
r
XX 00
Blm
φ3 = Ylm A00lm r l + l+1 (11.18)
r
ahora utilizamos las condiciones de frontera
∂φ1 ∂φ2
B1n |r=a = B2n |r=a ⇒ =µ (11.19)
∂r r=a ∂r r=a
∂φ2 ∂φ3
B2n |r=b = B3n |r=b ⇒ µ = (11.20)
∂r r=b ∂r r=b
218 CAPÍTULO 11. MAGNETOSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
∂φ1 ∂φ2
H1T |r=a = H2T |r=a ⇒ = (11.21)
∂ϕ r=a ∂ϕ r=a
∂φ2 ∂φ3
H2T |r=b = H3T |r=b ⇒ = (11.22)
∂ϕ r=b ∂ϕ r=b
teniendo en cuenta que cos θ = P10 (cos θ), este lı́mite se puede escribir como
XX
lı́m φ3 (r) = −H0 rP10 (cos θ) = − H0 Plm (cos θ) eimϕ r l δl1 δm0 (11.23)
r→∞
por tanto s
4π (l + m)!
−H0 δl1 δm0 = A00lm (11.25)
(2l + 1) (l − m)!
de (11.19) y (11.17) se deduce
XX XX
B 0 (l + 1)
Ylm Alm lr l−1 = µ Ylm A0lm lr l−1 − lm l+2
r=a r r=a
XX XX 0 (l + 1)
B
Ylm Alm lal−1 = µ Ylm A0lm lal−1 − lm l+2
a
resultando
0 µ (l + 1)
Blm
Alm lal−1 = µA0lm lal−1 − ⇒
al+2
Alm la2l+1 = µA0lm la2l+1 − Blm
0
µ (l + 1) (11.26)
y finalmente de (11.22)
0
Blm 00
Blm
A0lm bl + = A 00 l
lm b + ⇒
bl+1 bl+1
A0lm b2l+1 + Blm0
= A00lm b2l+1 + Blm
00
(11.29)
los coeficientes quedan completamente determinados con el sistema 5 × 5, descrito por las Ecs. (11.25, 11.26,
11.27, 11.28, 11.29)
s
4π (l + m)!
−H0 δl1 δm0 = A00lm (11.30)
(2l + 1) (l − m)!
Alm la2l+1 = µA0lm la2l+1 − Blm
0
µ (l + 1) (11.31)
µlA0lm b2l+1− µ (l + 1) Blm0
= lA00lm b2l+1 − (l + 00
1) Blm (11.32)
Alm a2l+1 = A0lm a2l+1 + Blm 0
(11.33)
A0lm b2l+1 + Blm
0
= A00lm b2l+1 + Blm
00
(11.34)
recordando (11.30) se ve que A00lm 6= 0, solo si l = 1,m = 0. Por otro lado, la ecuación (11.37) muestra que
si A00lm = 0 ⇒ A0lm = 0 y por (11.36) se tendrı́a Blm 0 = 0. Al chequear el resto de las ecuaciones, se vé que
todas las soluciones quedan triviales, por tanto A 00lm 6= 0 y l = 1, m = 0; en tal caso (11.37) queda
" #
(µ + 2) (2µ + 1) b 3 − 2 (µ − 1)2 a3
3A0010 b3 = A010 ⇒
(2µ + 1)
3b3 (2µ + 1) A0010
A010 = (11.38)
(µ + 2) (2µ + 1) b3 − 2 (µ − 1)2 a3
y de (11.33)
Blm0
Alm = A0lm + (11.39)
a2l+1
y para l = 1,m = 0 en esta última ecuación
(µ − 1)
A10 = A010
1+ ⇒
2µ + 1
3µ
A10 = A010 (11.40)
2µ + 1
220 CAPÍTULO 11. MAGNETOSTÁTICA DE MEDIOS MATERIALES
recordando la expresión general de φ 1 dada por (11.17) y teniendo en cuenta que solo contribuye A 10 :
r
3
φ1 = Y10 (θ, ϕ) A10 r = cos θ A10 r (11.43)
4π
al sustituir (11.42) en (11.43)
9µH0 r cos θ
φ1 = − h 3 i
(2µ + 1) (µ + 2) − 2 ab (µ − 1)2
esta expresión coincide con la que se obtiene en Sepúlveda. Los potenciales en las otras dos regiones se
pueden hallar, calculando el resto de coeficientes.
Parte II
221
Capı́tulo 12
Ecuaciones de Maxwell
223
224 CAPÍTULO 12. ECUACIONES DE MAXWELL
campo inducido es tal que cancela al campo eléctrico E 0 en el interior del conductor, tal como ocurre con
los conductores en presencia de campos electrostáticos. El observador F 0 ve un campo total que es cero en
el interior del conductor (pero no en el exterior) y que corresponde a la superposición de E 0 y el campo
inducido por la redistribución de carga. El campo magnético B 0 existe para F 0 pero no influye en la condición
estacionaria (si nos preguntamos por la condición transitoria, el campo magnético juega un papel ya que
durante ese breve instante de redistribución de cargas e’stas se están moviendo).
Si colocamos una espira que forma un lazo cerrado moviéndose a velocidad constante en este mismo
campo magnético uniforme, ocurre un fenómeno de polarización similar al de la varilla. Mas interesante
es el caso en el cual dicha espira se mueve inmersa en un campo B que no es uniforme. Por simplicidad
asumiremos que B es estacionario, de modo que es función de la posición pero no del tiempo. Movamos la
espira a velocidad constante en el campo generado por un solenoide finito. Sea B 1 el campo en el segmento
más cercano de la espira y B2 el campo en el segmento más lejano. En el segmento cercano las cargas se
mueven tendiendo a circular en la dirección antihoraria visto desde arriba, en el segmento más lejano las
cargas se mueven tendiendo a circular en la dirección horaria, pero dado que el campo es más intenso en el
segemento cercano, la circulación neta se hara en dirección antihoraria.
Es por tanto interesante calcular el trabajo que se realizarı́a sobre una carga q en la espira al girar
en sentido antihorario dando la vuelta completa. En los segmentos paralelos a la velocidad de la espira
el desplamiento de q y la fuerza son perpendiculares, de modo que no contribuyen al trabajo. Tomando
entonces solo la contribución de los segmentos más cercano y más lejano se tiene
I
qv
f · dr = (B1 − B2 ) w
c
(ver Berkeley Cap 7). Donde w es el ancho de la espira, B 1 es el campo en el segmento mas cercano a la
espira y B2 en el lado opuesto. Esta fuerza de origen magnético es claramente no conservativa. Se define la
fuerza electromotriz como el trabajo por unidad de carga para hacer el lazo cerrado.
Z
1 vw
ε= f · dr = (B1 − B2 )
q c
Se puede calcular el flujo de campo magnético a través de la espira como la integral de B sobre una superficie
limitada por el lazo cerrado (el hecho de que ∇·B = 0 nos garantiza que este flujo no depende de la superficie
particular que se elija). El cambio de flujo en un lapso de tiempo dt se puede calcular como
dΦ = − (B1 − B2 ) wv dt
Se pueden hacer tres experimentos claves con una espira y una bobina
1) Alejar la espira mientras la bobina posee corriente constante. Se detecta una corriente en la espira.
2) Ahora se aleja la bobina en la dirección contraria, se detecta la misma corriente lo cual es consistente
con el principio de relatividad.
3) Dejamos quietos ambos elementos y hacemos que la corriente en la bobina varı́e en el tiempo de modo
que B decrezca en el tiempo (en el loop) de la misma forma que en los experimentos I y II. Localmente esta
situación es idéntica a la anterior, y se obtiene la misma corriente en la espira.
De aquı́ se obtiene la llamada ley de Lenz, que nos dice que la fuerza electromotriz inducida se opone al
cambio en el flujo del campo magnético sobre la espira. Esto significa que una variación del flujo magnético
con el tiempo produce una corriente que circula en la espira y que produce un flujo que se opone al cambio
del flujo original.
Es importante mencionar que la corriente inducida puede calentar el material. Este calentamiento lo
provee un patrón externo. Para verlo, basta con observar que cuando la espira se mueve a velocidad constante
en el campo del solenoide finito, la fuerza neta del campo magnético externo sobre la espira, es tal que se
opone al movimiento. En consecuencia, es necesario que se haga trabajo sobre la espira para mantenerla en
movimiento constante.
La ley de inducción de Faraday requiere una abstracción adicional, los experimentos anteriores requirieron
la presencia de un lazo conductor cerrado, a través del cual pasa un flujo de campo magnético. Podemos
preguntarnos que pasa si tenemos un lazo imaginario que forma una curva C, pero sin que haya necesaria-
mente algo material en el lazo. Ciertamente, aún tiene sentido el concepto de flujo de campo magnético, y
si extrapolamos el caso anterior cuando no hay necesariamente algo Fı́sico en el lazo, obtenemos la ley de
inducción de Faraday: Si tenemos una curva cerrada C, estacionaria e cierto sistema de referencia inercial
y si S es una superficie que expande a C, y B (x, y, z, t) , E (x, y, z, t) son los campos eléctrico y magnético
medidos en la posisción x, y, z para cierto tiempo t, entonces para un valor fijo de t se tiene que
I Z
1d
ε = E·dr = − B · dS
c dt S
C
En este punto debe enfatizarse la diferencia entre la ley de inducción de Faraday y la ley de Lenz. La
ley de Lenz asume la existencia de una espira conductora real en tanto que para la ley de inducción solo
tenemos que tomar una curva cerrada real o imaginaria, sin que necesariamente haya algo Fı́sico en dicha
curva.
Es importante recalcar que bajo las condiciones de la ley, la fuerza electromotriz solo se debe al campo
eléctrico. Esto se debe a que la curva se asume estacionaria respecto al sistema de referencia, recordemos
que cuando el lazo cerrado está en movimiento, la fuerza electromotriz puede deberse al campo magnético
como lo vimos en el caso de la espira conductora. Un segundo aspecto es que esta fuerza electromotriz se
calcula como una integral cerrada en donde cada elemento diferencial se calcula en el mismo instante de
tiempo, por ejemplo dos pequeñas contribuciones E 1 (x1 , y1 , z1 , t) ·dr1 y E2 (x2 , y2 , z2 , t) ·dr2 se calculan en el
mismo tiempo t. Esto implica que esta integral cerrada no es estrictamente el trabajo que realizarı́a una carga
unidad real para realizar el circuito, ya que si el campo es función del tiempo, un diferencial de este trabajo
deberı́a calcularse usando el valor del campo en el punto espacio temporal donde se ubica la partı́cula, dos
pequeñas contribuciones de este trabajo real serı́an de la forma E 1 (x1 , y1 , z1 , t1 ) ·dr1 y E2 (x2 , y2 , z2 , t2 ) ·dr2 .
Por supuesto en el caso de campos cuasi estáticos y partı́culas que circulan rápidamente por el lazo, esta
diferencia resultarı́a insignificante (cuando hicimos el ejemplo de la espira conductora, se hizo implı́citamente
esta aproximación).
Otro punto fundamental a discutir es el de la naturalea del campo eléctrico que aparece en la ley de
inducción. Este campo eléctrico inducido claramente no proviene de fuentes de carga. En el ejemplo de
la espira, este campo aparece como la transformación relativista del campo magnético uniforme que veı́a
el sistema de referencia F en el cual la espira tenı́a velocidad constante. En el caso general, este campo
inducido se debe a la transformación relativista de los campos que vé el sistema F cuando hacemos un boost
226 CAPÍTULO 12. ECUACIONES DE MAXWELL
para pasar al sistema F 0 con espira estacionaria. Se vé adicionalmente que la integral de lı́nea cerrada de
este campo no es cero, por lo cual no puede ser un campo electrostático, ya que no es conservativo 1 .
Otra aclaración al respecto, obsérvese que el campo eléctrico proveniente de cargas cumple la condición
∇ × Ecargas = 0 en todo el espacio. En electrostática aprendimos que esto es condición necesaria y suficiente
para la conservatividad del campo. Sin embargo, para el caso de cargas en movimiento, en el cual E es
función explı́cita del tiempo, la nulidad del rotacional
Rr solo nos garantiza que E = −∇φ (r, t) lo cual a su vez
implica que al realizar un trabajo virtual q rAB E · dr = q [φ (rA , t) − φ (rB , t)] este trabajo es independiente
de la trayectoria ya que no variamos el tiempo. Sin embargo, en una trayectoria real el trabajo puede
depender de la trayectoria puesto que el tiempo varı́a. La conclusión es que ∇ × E = 0 en todo el espacio,
solo me garantiza conservatividad del campo en el sentido de trabajos virtuales, por supuesto que en el caso
electrostático los trabajos virtuales coinciden con los reales y la conservatividad es real.
Cabe finalmente preguntarse, porqué llamar ¿campo eléctrico al campo generado por la ley de induc-
ción?, después de todo no es conservativo ni se origina en las cargas. Sin embargo, si observamos la principal
motivación para construı́r el concepto de campo, resultó ser un concepto útil independiente de la naturaleza
de sus fuentes, para el campo eléctrico encontramos que si tenemos un campo de esa naturaleza (haciendo
caso omiso de las fuentes) la fuerza que experimenta una carga q debida a este campo cuando está inmersa
en él, es de la forma F = qE. La fuerza que experimenta una carga inmersa en este campo inducido tiene
esta misma expresión; es decir, aunque sus fuentes son diferentes, cumple la misma propiedad local que
definió originalmente al campo eléctrico.
La integral cerrada del campo eléctrico es la fuerza electromotriz. Es posible generar un campo eléctrico
independiente del tiempo si dΦ/dt = cte. Según la ley de inducción lo que importa es el cambio con el tiempo
del flujo. De modo que los campo eléctricos se pueden inducir de varias formas
Tomemos el ejemplo de dos espiras, 1 y 2 y asumamos que por al espira 1, circula una corriente i. En
los siguientes casos aparecerá una corriente en la espira (2) (cargas libres de conducción son puestas en
movimiento por el campo inducido.
a) Si i varı́a con el tiempo, con ambas espiras fijas.
b) Acercando o alejando la espira (2) manteniendo la otra fija (y la corriente constante). esto se puede
entender sin ley de inducción teniendo en cuenta que la fuerza de Lorentz actúa sobre las cargas de la espira
2.
c) Acercando o alejando la espira (1) dejando fija la espira (2) con corriente constante. Este efecto es
equivalente al anterior en virtud del principio de relatividad. pero no puede ser entendido directamente con
la fuerza de Lorentz sino con la ley de inducción.
d) Cambiando con el tiempo la forma de la espira o su orientación relativa.
En cualquiera de estos casos se obtiene un cambio de flujo magnético a través de la espira (2).
En la ley de inducción se toma la convención de la regla de la mano derecha para dr y dS. El signo menos
indica que la dirección del campo ele´ctrico inducido es tal que genera una corriente que con su campo B,
trata de oponerse al cambio de flujo magnético (ley de lenz).
El efecto se presenta incluso con una sola espira: El cambio de flujo sobre la propia espira da lugar a una
corriente sobre ella que con su campo se opone al cambio de flujo. Fenómeno conocido como autoinducción.
1
Podrı́a pensarse en la posibilidad de que este campo se deba a cargas eléctricas en movimiento, lo cual explicarı́a la
dependencia temporal explı́cita y la no conservatividad. Sin embargo, debemos observar que la integral cerrada del campo
eléctrico se realiza para un mismo instante de tiempo. Para un campo que proviene de cargas eléctricas en movimiento, la
integral cerrada del campo eléctrico debe ser cero si la calculamos en el mismo instante de tiempo para todo tramo, ya que
instantáneamente un campo eléctrico proveniente de cargas es la superposición de campos centrales conservativos. Por supuesto,
el campo magnético generado por las cargas en movimiento podrı́a generar una fuerza electromotriz virtual diferente de cero,
pero en la ley de Faraday esta FEM solo aparece debida al campo eléctrico. La no conservatividad de campos originados por
cargas en movimiento la da el hecho de que la integral debe ser realizada sobre una trayectoria real, en la cual la partı́cula ocupa
diferentes posiciones en diferentes instantes. En ese sentido, la integral cerrada de la ley de Faraday no es la cantidad correcta
para evaluar conservatividad, excepto bajo ciertas aproximaciones.
12.1. LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY 227
El cálculo anterior podrı́a sugerirnos errróneamente que el campo magnético realiza el trabajo necesario
para que se induzca una corriente en la espira. Sin embargo, la forma de la fuerza de Lorentz es tal que
la fuerza magnética no puede realizar trabajo sobre la carga q por arbitraria que sea la trayectoria. ¿por
qué la integral anterior no es entonces nula?, la respuesta requiere de nuevo tener en cuenta que la FEM
es un trabajo virtual. Esto implica que debe ser un agente externo quien realiza el trabajo real, necesario
para generar la corriente, lo cual se puede ver teniendo en cuenta que se requiere una fuerza externa en la
dirección uy para mantener a la espira a velocidad constante. Calculemos entonces, el trabajo real teniendo
en cuenta el movimiento de la espira. La velocidad real de la espira es igual a la suma vectorial w = v + u,
siendo u la velocidad de la carga con respecto a la espira (en la dirección u x ). La fuerza magnética sobre
toda la espira tiene una componente neta en la dirección −u y y por tanto debe ser compensada por una
fuerza externa en dirección uy . En el tramo de ancho w inmerso en el campo se tiene que sobre una carga,
el campo magnético ejerce una fuerza qvBu x − quBuy , la componente X es la que genera la corriente en
tanto que la Y debe ser compensada por una fuerza externa de modo que F ext = quBuy , la trayectoria real
a lo largo del ancho w, tiene una longitud w/ cos θ, siendo θ el ángulo entre u y w. La fuerza magnética
es perpendicular al desplazamiento real y por tanto no contribuye como ya se anticipó. El trabajo real por
unidad de carga sobre una trayectoria cerrada en la espira será
I I w π
1 1
ε= (Fmag + Fext ) · dl = Fext · dl = (uB) cos − θ = vBw = ε
q < q < cos θ 2
obsérvese que el cálculo real aunque involucra en principio a las mismas fuerzas, implica una trayectoria
muy diferente a la trayectoria virtual, por lo cual la contribución de cada una de estas fuerzas al trabajo
resulta muy diferente en cada caso. Sin embargo, los dos resultados coinciden de modo que la FEM coincide
con el trabajo real por unidad de carga.
dΦ
ε = −Kind
dt
el valor de la constante Kind no es una constante empı́rica determinada experimentalmente, como se puede
ver de los casos particulares que emplean la ley de Lorentz 2 . Veremos además que esta constante se puede
2
Aunque los caso que se derivan de la ley de Lorentz son particulares, la ley general debe incluı́r la misma constante que
aparece en estos casos particulares.
228 CAPÍTULO 12. ECUACIONES DE MAXWELL
determinar exigiendo invarianza Galileana a la ley de inducción. Para ello usaremos la derivada convectiva,
que es una forma muy conveniente de escribir una derivada total en el tiempo
d ∂ dB ∂B ∂B
= +v·∇ ⇒ = + (v · ∇) B = + ∇ × (B × v) + v (∇ · B)
dt ∂t dt ∂t ∂t
dB ∂B
⇒ = − ∇ × (v × B)
dt ∂t
donde v se trata como un vector fijo en la diferenciación. En la ley de inducción, el lugar geométrico del lazo
cerrado debe ser estacionario con respecto al sistema de referencia, con el fin de que solo el campo eléctrico
contribuya a la FEM3 . La derivada temporal del flujo queda
Z Z
d dB
B · n da = · n da
dt S S dt
este paso implica que el lazo y la superficie que lo delimita, son estáticos en el tiempo
Z Z Z
d ∂B
B · n da = da − [∇ × (v × B)] da
dt S S ∂t S
este serı́a el equivalente de la ley de inducción para un circuito que se mueve a velocidad v. Pero por otro
lado, para un sistema de referencia que se mueve con esta velocidad, de modo que tanto el lazo como la
superficie que lo delimita son estacionarios se tiene
I Z
0 ∂B
E · dl = −Kind · n da
S ∂t
la invarianza galileana implica que los dos sistemas de referencia deben ver la misma Fı́sica y por lo tanto
E0 = E − Kind (v × B)
de modo que entre lo extremos aparece una diferencia de potencial inducida por el movimiento o fem que
se escribe como Z b Z
v×B vBl
E · dr = · dr = −
a c c
al calcular el flujo se obtiene Z
ΦB = B · dS = BlX
de lo cual se ve
dΦB d dX
= (BlX) = Bl = Blv
dt dt dt
de lo cual se deduce que Z
1 dΦB
E · dr = −
c dt
de modo que para cambio de área la ley de inducción se sigue cumpliendo y la fuerza de Lorentz da el mismo
resultado. El campo ele´ctrico que vé el observador que se mueve con la varilla es experimentalmente real y
se deb a las transformaciones relativistas de los campos.
Lo último nos da como consecuencia el hecho de que el campo inducido aparece incluso en ausencia
de espiras sobre las cuales se puedan inducir corrientes (aquı́ la ley de inducción es más general que la ley
de lenz). La variación del área de la espira no está incluı́da en la ley de inducción ya que esta se supone
estacionaria, sin embargo, con base en la fuerza de Lorentz vemos que aún en este caso se cumple la ley de
inducción. (lo mismo ocurre con áreas rotantes).
cuando el lazo cerrado tiende a cero en dimensiones. Debemos tener en cuenta que tanto el lazo cerrado
como la superficie que lo delimita están fijos en el espacio (hay muchas superficies que delimitan a dC pero
aquı́ estamos tomando una fija) pues el lazo y la superficie están construı́dos alrededor de un punto fijo. Por
tanto, la derivada total del flujo se convierte en parcial ya que no hay variación en el espacio (ni de el lazo,
ni de la superficie ni de los campos) solo hay variación en el tiempo. Tenemos entonces
1 ∂ (B·dS) 1 ∂B
(∇ × E) · dS = − =− ·dS
c ∂t c ∂t
230 CAPÍTULO 12. ECUACIONES DE MAXWELL
12.1.4. Inductancia
Supongamos que tenemos dos lazos cerrados de alambre, y que por uno de ellos (lazo 1) circula una
corriente I1 , que genera un campo B1 . Este campo produce un flujo sobre el lazo cerrado 2, para calcular
este flujo apelaremos primero a la ley de Biot Savart, con el fin de encontrar el campo B 1
I
µ0 dl1 × (r2 − r1 )
B1 = I1
4π |r2 − r1 |3
la ley de Biot Savart nos dice que este campo es proporcional a la corriente. Por otro lado, el flujo sobre el
lazo 2 del campo generado por el lazo 1 es
Z Z I
µ0 dl1 × (r2 − r1 )
Φ2 = B1 · dS2 = I1 · dS2 ⇒
4π |r2 − r1 |3
Φ2 = M21 I1
Φ1 = L 1 I1
12.1. LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY 231
la cantidad L1 es un factor de proporcionalidad geométrico que depende de la forma y tamaño del alambre,
y se denomina autoinductancia, o simplemente inductancia. Cuando la corriente cambia en el tiempo,
la fem inducida es
dI
ε = −L
dt
la inductancia se mide en Henrios (H) que equivale a Volt-Seg/amp.
La inductancia al igual que la capacitancia, son positivas. De acuerdo con lo anterior, hay una oposición
al cambio de corriente en el alambre debido a la fem inducida por el alambre sobre sı́ mismo, esta oposición
hace que a esta cantidad usualmente se le denomine contrafem. En este sentido la inductancia juega un
papel similar a la masa en mecánica, ya que ası́ como en mecánica a mayor masa hay mayor oposición al
cambio en la velocidad, de la misma forma a mayor inductancia mayor oposición al cambio de corriente.
Veamos la energı́a necesaria para establecer una corriente en un circuito. Si inicialmente no hay corriente,
será necesario aumentar esta desde cero hasta el valor en cuestión para lo cual habrá que vencer la contrafem,
el trabajo hecho por unidad de carga en una vuelta completa del circuito será −ε, (el signo menos indica
que el trabajo es hecho por un agente externo para contrarrestar la contrafem). Por otro lado, la cantidad
de carga por unidad de tiempo que pasa por el alambre es I y el trabajo total por unidad de tiempo es
dW dI
= −εI = LI
dt dt
comenzando con corriente cero el trabajo se obtiene integrando entre 0 e I (valor final de la corriente)
Z Z
1
dW = L I dI ⇒ W = LI 2
2
esta expresión refuerza la analogı́a entre la masa y la inductancia (ası́ como entre la corriente y la velocidad).
Es de anotar que esta cantidad no depende del ritmo con el cual se aumente la corriente, y que es una energı́a
recuperable (diferente por ejemplo al caso de la energı́a disipada en una resistencia). Mientras la corriente
esté presente es una energı́a latente en el circuito, pero se recupera cuando se apaga dicha corriente.
por lo tanto I
LI = A · dl
el trabajo para llevar la corriente desde cero hasta un valor I, viene dado por
I I
1 2 1 1
W = LI = I A · dl = A · (I dl)
2 2 2
como ya vimos anteriormente, la generalización volumétrica se obtiene haciendo I dl → J dV
I
1
W = (A · J) dV (12.3)
2
esta expresión es análoga a la Ec. (1.15), y nos muestra como si la energı́a residiera en las corrientes.
Veremos otra expresión análoga a (1.18) que muestra como si la energı́a residiera en el campo. Usando la
ley de Ampere, ∇ × B = µ0 J, podemos escribir la expresión del trabajo en términos del campo
I
1
W = [A · (∇ × B)] dV
2µ0
232 CAPÍTULO 12. ECUACIONES DE MAXWELL
La última ecuación nos dice que el campo magnético es originado por cargas en movimiento, y por
tanto su existencia depende del sistema de referencia. Esta ecuación no expresa la posibilidad de campos
magnéticos inducidos por los eléctricos que varı́en en el tiempo. Esta posibilidad tendrı́a sentido ya que estos
campos tampoco tendrı́an fuentes y se mantiene entonces que ∇ · B = 0 y que las lı́neas de B se cierran
sobre sı́ mismas.
La ley fundamental de la conservación de la carga nos conduce a la ecuación de continuidad
∂ρ
∇·J+ =0
∂t
Es importante examinar si las ecuaciones anteriores son compatibles con dicha ecuación de continuidad, en
particular, las ecuaciones que involucran fuentes, veamos
1 ∂E ∂ρ
∇ · E = 4πρ ⇒ ∇· = ;
4π ∂t ∂t
4π 4π
∇×B = J ⇒ ∇ · (∇ × B) = (∇ · J) ⇒ 0 = (∇ · J)
c c
vemos por tanto que la ecuación (∇ × B) = 4π c J solo es compatible con la ecuación de continuidad si
no hay acumulación o pérdida de carga en ninguna región, es decir en el caso estacionario en el cual
∇ · J = 0 = ∂ρ
∂t , pero es claramente incompatible en el caso dependiente del tiempo. Por otro lado la ecuación
∇·E = 4πρ no presenta ninguna cotradicción aparente, puesto que el valor de ∂E ∂t nos es desconocido hasta el
momento, si bien tampoco podemos ver su compatibilidad con la ecuación de continuidad. Adicionalmente, la
experiencia muestra que las ecuaciones que involucran las divergencias de los campos se pueden extrapolar
al caso dependiente del tiempo. Por tanto, es natural intentar modificar la ecuación del rotacional del
campo magnético, colocando un término adicional que vuelva esta ecuación compatible con la ecuación de
continuidad.
Otra forma de ver mas fenomenológicamente la violación de la conservación de la carga si la ley de
Ampére no se modifica: Sea un circuito RC para descarga de condensador, la corriente se interrumpe entre
las armaduras, allı́ justamente hay acumulación de carga (pérdida en este caso) tomemos una curva cerrada
C alrededor de uno de los alambres suficientemente lejos del condensador el teorema de la divergencia nos
da Z Z
B · dl = (∇ × B) · dS
tomemos dos superficies que están acotadas por la misma C. Una la del plano generado por C, la otra de tal
forma que se alargue y atrape a la armadura mas cercana. La primera encierra una corriente I, quedando
Z Z
4π
B · dl = J · dS
c S
con J la densidad de corriente que atravieza a S. Básicamente el campo magnético es el de un alambre.
Sobre la superficie S 0 en cambio no fluye ninguna corriente pues ninguna carga atraviesa esta superficie, esto
nos indicarı́a que Z Z
J · dS 6= J · dS0
S S0
lo cual contradice el teorema de stokes, o el hecho de que divB = 0 (chequear). Amba situaciones una formal
y la otra fenomenoĺogica nos induce a pensar que algo falta en la ecuación última
4π c
∇×B = J + R ⇒ (∇ × B − R) = J
c 4π
usandola ecuación de continuidad
4π
∇ · (∇ × B) = ∇·J+∇·R
c
234 CAPÍTULO 12. ECUACIONES DE MAXWELL
4π
0 = ∇·J+∇·R
c
c
∇·J = − ∇·R
4π
1
pero de ρ = 4π ∇ ·E
∂ρ 1 ∂
= (∇ · E)
∂t 4π ∂t
las dos últimas ecuaciones se reemplazan en la Ec. de continuidad
c 1 ∂
− ∇ · R+ (∇ · E) = 0
4π 4π ∂t
c 1 ∂E
∇ · − R+ = 0
4π 4π ∂t
si tomamos
1 ∂E
R=
c ∂t
es condición suficiente para satisfacer ec. de continuidad (no es necesaria ya que ∇·V = 0 no implica V = 0).
Un argumento interesante es que esta igualdad le da simetrı́a a las ecuaciones.
Este nuevo término soluciona el problema ya que el teorema de stokes nos dice ahora
Z Z
4π 1 ∂E
B · dl = J+ · dS
c S c ∂t
como el campo E está disminuyendo en intensidad con el tiempo (pues se está descargando el condensador)
su derivada apunta en la dirección contraria al campo, este término produce entonces un flujo hacia el
interior de la superficie S0 de modo que este ya no serı́a nulo. Para ver que el flujo es el mismo por S y
S 0 obse’rvese que los dos forman una superficie cerrada y que el flujo sobre esta superficie cerrada es cero
(justamente por conservación de carga).
La ecuación corregida queda
4π 1 ∂E
∇×B= J+
c c ∂t
ecuación de Ampere Maxwell. Maxwell la sacó por razones teóricas sin justificación experimental, fué nece-
sario esperar hasta la detección de ondas electromagnética por H. Hertz para comprobarlo. El término
adicional se denominó corriente de desplazamiento pues parece darle continuidad a la corriente que se inter-
rumpió en las placas.
∇ · E = 4πρ , ∇ · B = 0
1 ∂B 4π 1 ∂E
∇×E = − , ∇×B= J+
c ∂t c c ∂t
hemos obtenido un par de ecuaciones en las cuales A y φ aparecen acoplados. El desacople se puede lograr
gracias a la simetrı́a gauge. Dado que hay cierta libertad para escoger la divergencia de A podemos hacer
diversas escogencias relativas a esta divergencia. Recordemos en todo caso que aún la especificación de
la divergencia de A no conduce a un valor único de éste, en virtud de que la unicidad requiere también
de condiciones de frontera. En particular, esto implicará que las escogencias que haremos aquı́ (gauge de
Lorentz y de Coulomb) no son en general excluyentes, es decir el potencial vectorial puede eventualmente
satisfacer las condiciones impuestas por ambos gauges.
1 ∂φ
∇·A+ =0 (12.10)
c ∂t
conocida como gauge de Lorentz. Con este gauge las Ecs. (12.8, 12.9) quedan
2 1∂ 1 ∂φ 1 ∂2φ
∇ φ− = −4πρ ⇒ ∇2 φ − 2 2 = −4πρ
c ∂t c ∂t c ∂t
2
1 ∂ A 4π
∇2 A− 2 2 = − J
c ∂t c
quedando
1 ∂2φ
∇2 φ − = −4πρ (12.11)
c2 ∂t2
1 ∂2A 4π
∇2 A− 2 2 = − J (12.12)
c ∂t c
los potenciales se han desacoplado y han quedado en términos de sus propias fuentes (escalar con carga,
vectorial con corriente). Ademas hemos obtenido una ecuación de onda para ambos potenciales y ambos se
propagarı́an a la velocidad c (mas adelante se verá que corresponde a la velocidad de la luz).
Es importante demostrar que la condición de Lorentz siempre se puede satisfacer. Supongamos que A, φ
no satisfacen la condición de Lorentz, utilicemos un gauge que nos lleve a dicha condición
1 ∂φ0 1 ∂ 1 ∂ψ
∇ · A0 + = 0 = ∇ · (A + ∇ψ) + φ−
c ∂t c ∂t c ∂t
1 ∂φ 2
1 ∂ ψ
0 = ∇·A+ + ∇2 ψ − 2 2
c ∂t c ∂t
de modo que los nuevos potenciales satisfacen la condición de Lorentz si ψ satisface la ecuación
2 1 ∂2ψ 1 ∂φ
∇ ψ− 2 2 =− ∇·A+
c ∂t c ∂t
1 ∂2ψ
∇2 ψ − =0
c2 ∂t2
∇2 φ = −4πρ (12.13)
2 1 ∂2A 4π 1 ∂φ
∇ A− 2 2 = − J + ∇ (12.14)
c ∂t c c ∂t
La primera es una ecuación de Poisson para φ la cual tiene como solución para frontera en espacio infinito
R 0 ,t)
φ (r, t) = ρ(r 0
|r−r0 | dV . De modo que este campo φ se propaga instantáneamente, en tanto que A obedece a
una ecuación de onda inhomogénea (que acopla los dos campos) y que se propaga con velocidad finita. La
acción instantánea contradice a priori los postulados de la relatividad especial. Sin embargo, no debemos
olvidar que son los campos y no los potenciales, los que tienen sentido Fı́sico, los últimos como hemos
visto portan una arbitrariedad en su definición. Al observar las ecuaciones de los campos en función de los
potenciales vemos que son las variaciones espacio temporales de estos campos las que tienen sentido Fı́sico,
y puede probarse que estas variaciones si se propagan con velocidad c en el vacı́o. En este gauge, A, φ no
están desacoplados aunque se puede escribir para frontera en el infinito
Z
2 1 ∂2A 4π 1 ∂ ρ (r0 , t) 0
∇ A− 2 2 = − J + ∇ dV
c ∂t c c ∂t |r − r0 |
una simplificación importante puede hacerse si tenemos en cuenta que todo vector se puede descomponer
en una parte longitudinal y otra transversal tal que
J = J l + Jt ∇ × Jl = 0, ∇ · Jt = 0
∇ × ∇ × Jl = ∇ (∇ · Jl ) − ∇2 Jl ⇒ ∇2 Jl = ∇ (∇ · Jl ) = ∇ (∇ · J)
| {z }
=0
1
queda una ecuación de Poisson para J l con “densidad de carga” 4π ∇ (∇ · J) de modo que la solución para
espacio infinito queda Z Z
1 ∇0 (∇0 · J0 ) 0 1 (∇0 · J0 ) 0
Jl = − dV = − ∇ dV
4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
para Jt
∇ × (∇ × Jt ) = ∇(∇ · Jt ) − ∇2 Jt ⇒
| {z }
=0
∇2 Jt = −∇ × (∇ × Jt ) = −∇ × (∇ × J)
1
ecuación de Poisson con densidad equivalente − 4π ∇ × (∇ × J)
Z Z
1 ∇0 × (∇0 × J0 ) 0 1 J0 0
Jt = − dV = ∇× ∇× dV
4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
12.5. ECUACIONES DE MAXWELL EN LA MATERIA 239
Es importante enfatizar que Jl y Jt existen en todo el espacio aunque J esté localizado. Teniendo en cuenta
la solución para el potencial escalar y la ecuación de continuidad
Z Z Z
∂φ (r, t) ∂ ρ (r0 , t) dV 0 dV 0 ∂ρ (r0 , t) dV 0
= = = − ∇0 · J 0
∂t ∂t |r − r0 | |r − r0 | ∂t |r − r0 |
Z
∂φ (r, t) dV 0
∇ = −∇ ∇0 · J0 = 4πJl
∂t |r − r0 |
la ecuación para A toma la forma
1 ∂2A 4π 1 ∂φ
∇2 A − = − J+ ∇
c2 ∂t2 c c ∂t
4π 4π
= − J+ Jl
c c
1 ∂2A 4π
∇2 A − = − Jt
c2 ∂t2 c
el potencial obdece a una ecuación de onda que solo está determinada por la parte transversal de la densidad
de corriente. Por este motivo también se le suele llamar gauge transverso.
Haciendo una separación similar para el potencial vectorial
A = A l + At ∇ × Al = 0 ⇒ Al = −∇η ; ∇ · At = 0 ⇒ At = ∇ × b
en este gauge
∇ · A = 0 = ∇ · A l + ∇ · A t = ∇ · A l = ∇2 η
de donde se concluye que
∇2 η = 0
en todo el espacio. Ya se habı́a discutido que esta solución conduce a η = 0 en todo el espacio y ası́. A = A t
resultando
1 ∂ 2 At 4π
∇2 At − 2 2
= − Jt ; A l = 0
c ∂t c
Obsérvese que en ausencia de fuentes (campo libre)
2 2 1 ∂2A 1 ∂φ
∇ φ = 0 ; ∇ A− 2 2 = ∇
c ∂t c ∂t
la solución φ = 0, nos lleva a
1 ∂2A
∇2 A− =0
c2 ∂t2
con ∇ · A = 0. En condiciones estacionarias se obtiene lo que ya conocı́amos
4π
∇2 φ = −4πρ ; ∇2 A = − J
c
Veamos las limitaciones de esta formulación. No hay un principio de conservación para las cargas de po-
larización, de por sı́ estas pueden ser creadas (destruı́das) con la creación (destrucción) de dipolos en el
material. Por ejemplo si los campos oscilantes llegan a ser muy intensos pueden disociar o ionizar moléculas,
destruyendo cargas de polarización y creando cargas libres. Si cargas de polarización pueden ser creadas el
principio de conservación de la carga debe estar asociada a la suma de cargas libres mas las de polarización.
Obsérvese además que incluso si los dipolos no se crean ni se destruyen sino que solo se reorientan, es posi-
ble que la carga de polarización no se conserve ya que el vector de polarización como promedio estadı́stico
también puede cambiar en este caso. Por tanto es necesario que los campos no sean muy intensos en ningún
instante y además varı́en suavemente en el tiempo 4 .
Las corrientes de magnetización también satisfacen una ecuación de continuidad bajo condiciones seme-
jantes al caso de la polarización.
∂ρM ∂
∇ · JM + = ∇ · (c∇ × M) + (0) = 0
∂t ∂t
ya que no existen cargas magnéticas (no se deben confundir estas cargas magnéticas con aquellas “cargas
”que se definieron para el potencial escalar, pues estas no están ligadas a la corriente de magnetización)
(chequear).
———————————————–
Como ya vimos, la presencia de campos eléctricos en la materia genera cargas de polarización y la pres-
encia de campos magnéticos genera corrientes de magnetización. Como en los casos estático y estacionario,
resulta benéfico reescribir las ecuaciones de Maxwell de tal manera que solo aparezcan explı́citamente las
cargas y corrientes libres, que son las que más se pueden controlar experimentalmente.
En el caso dependiente del tiempo, las cargas de polarización y corrientes de magnetización obedecen
a expresiones similares a los casos estáticos y estacionarios de las Ecs. (9.5, 11.6). Sin embargo, en el caso
dependiente del tiempo aparece un nuevo tipo de corriente ligada que surge de la variación temporal del
vector de polarización. Para ver esto, tomemos un trozo de columna del material de tal modo que la columna
va en la dirección de P. Como ya se discutió en la sección (9.2.1) la polarización produce una carga superficial
en los extremos del material de valores ±σ p tal que |σp | = P . Si P aumenta hay una aumento también en
las densidades superficiales, lo cual da una corriente neta de la forma
∂σp ∂P
dI = da⊥ = da⊥
∂t ∂t
la densidad vectorial es entonces
∂P
Jp = (12.15)
∂t
esta corriente de polarización debe ser agregada a la corriente libre J f y a la corriente de magnetización JM .
Obsérvese que a diferencia de las corrientes de magnetización (que se produce por circulaciones microscópicas
cerradas) esta corriente está asociada a movimiento lineal de carga, que surge cuando la polarización cambia
con el tiempo.
4
Variaciones rápidas aún con campos débiles inducen campos magnéticos fuertes que pueden afectar la distribución de cargas
en el material (chequear).
12.5. ECUACIONES DE MAXWELL EN LA MATERIA 241
En relación con lo anterior, es necesario verificar que la ecuación (12.15) que define a la densidad de
corriente de polarización, es consistente con la ecuación de continuidad.
∂P ∂ ∂ρp
∇ · Jp = ∇ · = (∇ · P) = −
∂t ∂t ∂t
de modo que la ecuación de continuidad se cumple, en realidad puede verse que en el caso dependiente del
tiempo, la conservación de la carga ligada requiere de la existencia de esta corriente de polarización 5 .
Podrı́a pensarse que la variación temporal de la magentización produce una carga o corriente adicional.Sin
embargo, este no es el caso y la variación de la magnetización solo genera cambios en la corriente de
magnetización JM = ∇ × M. Por lo tanto, en la materia definimos dos tipos de densidad de carga: densidad
de carga libre y de polarización
ρ = ρ f + ρp = ρf − ∇ · P
en tanto que la corriente se divide en tres partes
∂P
J = J f + JM + Jp = Jf + ∇ × M +
∂t
la ley de Gauss se escribe
∇ · E = 4πKc (ρf − ∇ · P)
E
∇ · D = 4πKc ρf ; D ≡ +P
4πKc
por otro lado la ley de Ampere Maxwell se reescribe como
∂P Ka ∂E
∇ × B = 4πKa Jf + ∇ × M+ +
∂t Kc ∂t
B ∂ E
∇× −M = Jf + P+
4πKa ∂t 4πKc
∂D B
∇ × H = Jf + ; H≡ −M
∂t 4πKa
la definición de H es la misma que en el caso estacionario, sin embargo la corriente de desplazamiento en
la materia (que aparece solo en el caso dependiente del tiempo), contiene la información de la corriente de
desplazamiento en el vacı́o mas la contribución debida a las corrientes de polarización. Las ecuaciones de
Maxwell restantes (∇ · B = 0, y la ley de inducción de Faraday) no contienen a las fuentes de modo que no
sufren modificaciones, las ecuaciones de Maxwell quedan
∇ · D = 4πKc ρf ∇·B =0
∂B ∂D
∇×E = − ; ∇ × H = Jf +
∂t ∂t
las ecuaciones de Maxwell en la materia tienen la ventaja de estar escritas en términos de las corrientes
y cargas libres, pero tienen la desventaja de mezclar los campos en la materia y en el vacı́o. Por esta
razón, las ecuaciones de Maxwell en la materia deben ser complementadas con relaciones constitutivas que
determinen completamente a D y H en términos de E y B. Para medios isotrópicos lineales y homogéneos
estas relaciones constitutivas están determindas por
P = ε 0 χe E ; M = χM H
B
D = εE H=
µ
5
Recuérdese que en general lo que se tiene que conservar es la carga total definida como la carga ligada mas la carga libre.
En realidad es posible que la carga libre se convierta en carga ligada y viceversa, pero en la mayorı́a de los casos ambos tipos
de carga se conservan por aparte.
242 CAPÍTULO 12. ECUACIONES DE MAXWELL
las condiciones de frontera en presencia de cargas y corrientes superficiales se pueden calcular usando la
forma integral de las ecuaciones de Maxwell, y con un procedimiento análogo al descrito en las secciones
(9.6, 11.5.1), estas condiciones vienen dadas por
Leyes de conservación
Las ecuaciones de Maxwell describen la dinámica de los campos eléctricos y magnéticos generados por
cargas y corrientes, describe la generación y propagación de ondas y permite describir los campos en medios
materiales bajo ciertas consideraciones estadı́sticas.
Sin embargo, estas ecuaciones no pueden describir el movimiento de una carga o distribución de cargas
inmersa en un campo electromagnético, para lo cual hay que recurrir a la ecuación de la fuerza de Lorentz 1 .
Asumiremos que la expresión F = q (E + v × B/c), es también válida para campos que varı́an con el
tiempo. Si la distribución es volumétrica podemos aplicar esta expresión sobre un elemento diferencial
dF = dq (E + v × B/c) con dq = ρ dV y ρv = J, podemos definir f = dF/dV como la densidad volumétrica
de fuerza, con lo cual
dF dq
= (E + v × B/c) ⇒ f = ρ (E + v × B/c)
dV dV
J×B
f = ρE + ρv × B/c ⇒ f = ρE + (13.1)
c
En mecánica Newtoniana se obtienen unos principios de conservación para sistemas aislados (energı́a, mo-
mento lineal, momento angular). En lo que sigue definiremos sistemas aislados de cargas y campos que nos
conduzcan a estos mismos principios de conservación, para lo cual será necesario redefinir las cantidades de
energı́a, momento lineal, y momento angular 2 . En el formalismo original de la mecánica Newtoniana, todas
estas cantidades estaban asociadas a las partı́culas, no obstante es necesario postular que los campos pueden
transportar estas cantidades para poder conciliar los postulados de la relatividad especial, y la causalidad
con los principios de conservación.
1
En la discusión sobre la ley de inducción de Faraday se utilizó la fuerza de Lorentz para derivar el principio de inducción
sobre un lazo conductor cerrado. Sin embargo, la ley de inducción de Faraday extrapola el mecanismo de creación de un campo
eléctrico inducido, al caso en el cual el loop puede ser cualquier lugar geométrico cerrado (incluso en el vacı́o), al hacer esta
extrapolación, ya no se puede derivar la ley de inducción de la fuerza de Lorentz, de modo que esta última no está en general
contenida en la ley de inducción de Faraday.
2
Una forma más natural de redefinir estas cantidades consiste en observar las variables cı́clicas del lagrangiano de Maxwell y
sus momentos canónicamente conjugados. Desde el punto de vista del teorema de Noether se puede ver a su vez, que si exigimos
la invarianza de este lagrangiano ante traslaciones temporales, espaciales y rotaciones, los momentos canónicamente conjugados
corresponderán a la energı́a, el momento, y el momento angular respectivamente.
243
244 CAPÍTULO 13. LEYES DE CONSERVACIÓN
donde hemos tenido en cuenta que J = ρv, de lo cual se deduce que (J × B) · v = 0, de modo que el campo
magnético no realiza trabajo sobre la distribución de cargas. Este es un diferencial de segundo orden ya
que la trayectoria serı́a infinitesimal, ası́ como la carga sobre la cual se realiza trabajo. El trabajo realizado
por unidad de tiempo sobre la carga infinitesimal dq (potencia suministrada por el campo a la distribución
confinada al volumen dV ) es
dW 0
= ρE · v dV = J · E dV
dt
y la potencia suministrada por el campo a la distribución de cargas confinada en un cierto volumen V es
Z Z
dW
= ρE · v dV = J · E dV (13.2)
dt V V
esta potencia representa la transformación de energı́a eléctrica a mecánica o térmica y debe ser balanceada
por un decrecimiento en la energı́a del campo dentro del volumen V 3 . Con el fin de escribir esta potencia en
términos exclusivamente de los campos, despejamos J de la ecuación ∇ × B = 4πJ 1 ∂E
c + c ∂t y reemplazamos
4
Z Z
dW c 1 ∂E
= J · E dV = ∇×B− · E dV
dt 4π c ∂t
∇ · (A × B) ≡ ∂i (A × B)i = ∂i (εijk Aj Bk )
Z
dW c 1 ∂E
= (∇ × B) · E − · E dV
dt 4π c ∂t
Z
dW c 1 ∂B 1 ∂E
= −∇ · (E × B) − B · − · E dV
dt 4π c ∂t c ∂t
Z Z
dW 1 1 ∂
= −∇ · (cE × B) − B2 + E 2 dV = J · E dV
dt 4π 2 ∂t
si la expresión es válida para un volumen arbitrario se concluye que
c ∂ B2 + E 2
∇· E×B + = −J · E
4π ∂t 8π
quedando
∂ε
∇·S+= −J · E (13.3)
∂t
donde definimos 2
c B + E2
S≡ E×B ; ε≡ (13.4)
4π 8π
la ecuación (13.3) es una ecuación de continuidad con fuentes. Comparando con la ecuación de continuidad
asociada a la conservación de la carga, S es el análogo a la densidad de corriente, en tanto que ε es el
equivalente de la densidad de carga. Recordando que la magnitud de la densidad de corriente representa la
cantidad de carga por unidad de área por unidad de tiempo que atraviesa la superficie, y que su dirección
describe la dirección de propagación de las cargas, entonces es lógico interpretar a S (vector de Poynting),
como un vector cuya magnitud representa la energı́a (asociada a los campos) por unidad de área por unidad
de tiempo que atraviesa la superficie, y su dirección es la dirección en la cual esta energı́a se propaga.
Similarmente ε representa la densidad de energı́a asociada a los campos.
En virtud de que tenemos una ecuación de continuidad inhomogénea para la energı́a asociada a los
campos, se deduce que dicha energı́a no se conserva, ¿significa esto que se viola el principio de conservación
de la energı́a? un examen mas cuidadoso nos muestra el origen del término inhomogéneo (fuente o sumidero
de energı́a), el término inhomogéneo surge de la presencia de partı́culas cargadas, lo cual simplemente nos
indica que éstas pueden intercambiar energı́a con el campo electromagnético. En sı́ntesis, la inhomogeneidad
se debe a que la energı́a que hemos definido no tiene en cuenta a todos los subsistemas que pueden almacenar
e intercambiar energı́a. Sin embargo, la energı́a total (tomando todos los sistemas que la pueden almacenar
e intercambiar) debe cumplir una ecuación de continuidad homogénea, de lo contrario habrı́a una auténtica
violación de este principio de conservación. En el caso en el cual no hay cargas, de modo que tenemos un
campo puro de radiación o campos confinados en una región donde no hay cargas, se tiene que ∇ · S + ∂ε ∂t = 0
y la energı́a del campo se conserva, puesto que el flujo de energı́a está implicando un cambio en su densidad,
en tal caso la ecuación de continuidad no tiene fuentes para la energı́a.
Retornado al caso general, integramos en el volumen
Z Z Z
∂ε
(∇ · S) dV + dV = − (J · E) dV
∂t
I Z Z
d
S · da + εdV = − (J · E) dV
dt
I Z Z
d
− S · da = (J · E) dV + εdV (13.5)
dt
teniendo en cuenta
H que S es la energı́a por unidad de área por unidad de tiempo que cruza la superficie, se
tiene que − S · da es la energı́a por unidad de tiempo que entra al volumen (dado R que da apunta hacia
6
afuera del volumen). Por otro lado, de acuerdo con la ecuación (13.2), la expresión (J · E) dV representa
6
R
Obsérvese que el término (J · E) dV no contribuye en las regiones donde hay ausencia de cargas o donde las cargas están
en reposo. Efectivamente, si las cargas están en reposo, ellas pueden contribuı́r a Ep pero no a su variación temporal.
246 CAPÍTULO 13. LEYES DE CONSERVACIÓN
el trabajo por unidad de tiempo que el campo hace sobre la distribución de cargas, o en otras palabras
la potenciaR absorbida por las partı́culas. Finalmente, dado que ε es la densidad de energı́a del campo, R
d
el término εdV representa la energı́a asociada al campo contenido en el volumen V , por tanto dt εdV
representa la variación de la energı́a asociada al campo dentro del volumen V . En sı́ntesis, la ecuación (13.5)
se convierte en
dET otal dEp dEc
= +
dt dt dt
donde hemos interpretado H Ep como la energı́a asociada a las partı́culas, E c es la energı́a asociada a los
campos y dET /dt ≡ − S · da representa el flujo de energı́a hacia adentro del volumen, lo cual equivale a la
rata de aumento de energı́a total (estamos asumiendo que no entran ni salen partı́culas al volumen V ) 7 .
Adicionalmente, si la superficie es lo suficientemente grande para contener todo el campo, S será cero en
la frontera ya que no hay flujo de campo a través de la superficie, de modo que
dET
= 0 ⇒ E = Ec + Ep = cte
dt
cualquier disminución (aumento) en la energı́a del campo E c se traduce en un aumento (disminución) en la
energı́a asociada a las cargas Ep . De modo que escribimos
Z
dEc
= (J · E) dV
dt
Adicionalmente, si definimos la densidad de energı́a asociada a las partı́culas ε p (energı́a mecánica), ten-
dremos que Z Z
dEc ∂ ∂εp
= (J · E) dV = εp dV ⇒ J · E =
dt ∂t V ∂t
y reemplazamos la última expresión en (13.3)
∂ε ∂εp ∂ (ε + εp )
∇·S+ =− ⇒∇·S+ =0
∂t ∂t ∂t
como ya anticipamos, al tener en cuenta todos los agentes que almacenan o intercambian energı́a, se debe
llegar a una ecuación de continuidad homogénea 8 . Como prueba de consistencia el lector puede demostrar
que para el campo electrostático 12 mv 2 + qφ = cte.
J×B
reemplazando en f = ρE + c
1 1 ∂E
f = E (∇ · E) + (∇ × B) × B − ×B
4π c ∂t
1 1∂ 1 ∂B
f = E (∇ · E) − B × (∇ × B) − (E × B) + E ×
4π c ∂t c ∂t
usando la ley de inducción de Faraday ∂B∂t = −c∇ × E, y agregando un cero de la forma B (∇ · B), esta
ecuación queda muy simétrica en los campos E y B.
1 1 ∂ 1
f = E (∇ · E) − B × (∇ × B) − (E × B) + E × (−c∇ × E) + B (∇ · B)
4π c ∂t c
1 1 ∂
f = E (∇ · E) − E × (∇ × E) + B (∇ · B) − B × (∇ × B) − (E × B)
4π c ∂t
usando
1
∇ (E · E) = (E · ∇) E + E × (∇ × E) ⇒
2
1
E × (∇ × E) = ∇ (E · E) − (E · ∇) E
2
y similarmente para B, con lo cual obtenemos
1 1
f = E (∇ · E) − ∇ (E · E) + (E · ∇) E+
4π 2
1 1 ∂
+B (∇ · B) − ∇ (B · B) + (B · ∇) B − (E × B)
2 c ∂t
y teniendo en cuenta que
1 1
∇ · EE − I (E · E) = E (∇ · E) − ∇ (E · E) + (E · ∇) E
2 2
y análogamente para B, se llega a
" #
EE + BB − 12 I E2 + B2 ∂ E×B
f =∇· −
4π ∂t 4πc
lineal asociada a los campos (flujo vectorial de momento por unidad de área por unidad de tiempo). El
tensor de segundo rango T se denomina tensor de tensiones de Maxwell, el cual en componentes se escribe:
1 1 2 2
Tij = Ei Ej + Bi Bj − δij E + B = Tji (13.9)
4π 2
P
adicionalmente I ≡ 3k=1 uk uk representa la diada identidad. La interpretación que hemos dado nos sugiere
la razón por la cual es llamado tensor de tensiones, ya que al ser un flujo de momento por unidad de área
y de tiempo es como una fuerza por unidad de área (presión) pero por su carácter vectorial (la presión no
es un vector) adquiere el carácter de tensión. Vale decir sin embargo, que esta presión o tensión no son
ejercidas necesariamente sobre un objeto fı́sico ya que la superficie cerrada puede ser simplemente un lugar
geométrico (lo mismo aplica para la conservación de la energı́a). No obstante, veremos más adelante que en
el caso en el cual hay una superficie fı́sica, podemos calcular la presión ejercida por la radiación a través de
este tensor de tensiones. En virtud de su simetrı́a, el tensor de tensiones de Maxwell solo tiene 6 componentes
independientes. En ocasiones es conveniente escribir este tensor en forma matricial.
T11 T12 T13
T = T21 T22 T23
T31 T32 T33
donde hemos usado la convención de suma sobre ı́ndices repetidos.R En virtud de que hemos obtenido una
ecuación de continuidad con fuentes, se tiene que el momento lineal g dV del campo electromagnético no se
conserva cuando hay cargas presentes. De modo que parte de este momento ha sido absorbido o transmitido
por las cargas. Esto se puede ver con claridad integrando en un cierto volumen
Z Z Z
∂g
∇ · (−T) dV + dV = − f dV
∂t
recordando que f es la densidad de fuerza que los campos ejercen sobre la distribución de cargas, entonces
la integral sobre este término corresponde a la fuerza total ejercida sobre las cargas en ese volumen
Z
dPp
f dV = F =
dt
donde Pp corresponde al momento lineal total asociado a las partı́culas que están dentro del volumen V .
Aplicando el teorema de la divergencia, la integral de volumen de la ecuación de continuidad con fuentes
queda Z Z
d
− T· dA + g dV + Pp = 0
dt
Z Z
d
g dV + Pp = T· dA
dt
R
de modo que la integral T· dA debe darnos el flujo hacia adentro de momento lineal por unidad de tiempo.
Lo cual se puede ver componente a componente teniendo en cuenta que el vector dA = n dA apunta hacia
afuera del volumen, y que (−T) es la densidad de flujo de momento lineal. Se deduce entonces que T· n nos
da la componente normal hacia adentro de la densidad de flujo de momento lineal.
13.2. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL 249
Si la integración se toma sobre todo el volumen que contiene los campos, el tensor se anula en la superficie
y queda
Z
d
g dV + Pp = 0
dt
Z
g dV + Pp = cte
de lo cual se ve que la conservación del momento lineal exige considerar g como la densidad de momento
lineal del campo electromagnético. Adicionalmente, vemos que g va en la dirección de propagación de la
energı́a (que es la dirección de S de acuerdo con la interpretación de la sección anterior), esto coincide con
la caracterı́stica del momento mecánico de las partı́culas, el cual apunta en la dirección de propagación de
éstas. Todo ello nos induce a pensar que S además de determinar la dirección de propagación del momento
y la energı́a nos debe definir la dirección de propagación de la onda, lo cual se verá más adelante cuando se
estudien algunas soluciones a la ecuación de onda.
La ecuación ∇·(−T)+ ∂g ∂t = −f proviene de considerar una distribución de cargas y corrientes inmersa en
un campo que previamente es generado por otras cargas y corrientes. Sin embargo, en virtud de la naturaleza
local de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, en un punto dado se debe considerar la densidad y la
corriente en ese punto, de modo que en general para un punto dentro de la distribución inmersa, los campos
se deben a las contribuciones de las fuentes lejanas mas las de las propias partes de la distribución inmersa 9 .
En consecuencia en T aparecen los campos totales debidos a las fuentes originales y la distribución inmersa.
El campo en un punto P se debe a toda la distribución. Si queremos calcular la fuerza sobre una cierta
distribución confinada dentro de un cierto volumen, integramos sobre el volumen que la contiene
Z Z
∇ · T dV = F = T·dA
en virtud de la ausencia de cargas en este volumen. Esta integral de volumen se puede escribir como
Z Z Z
(∇ · T) dVAA = (∇ · T) dVA − (∇ · T) dVA = 0
0 0
de lo cual se tiene
Z Z
(∇ · T) dVA0 = (∇ · T) dVA ⇒
Z Z
0
T · dA = T · dA
R
lo cual nos indica que la integral T · dA se puede elegir en una superficie arbitraria que encierre la
distribución que nos interesa, siempre y cuando no encierre otras cargas fuera de dicha distribución. Con
9
Para un pequeño volumen dentro de la distribución inmersa, el rotacional y la divergencia solo requieren de los valores
locales de las fuentes. Sin embargo, dado que la solución completa requiere de condiciones de frontera e iniciales (o por otro
lado el conocimiento detallado de todas las fuentes en todo el espacio) las fuentes no locales también se requieren para conocer
el valor de los campos en tal volumen.
10
Dicho de otra forma, todo el momento que atraviesa las paredes de la superficie hacia adentro (afuera) es absorbido (emitido)
por las partı́culas. En particular, esto es válido para la condición estacionaria.
250 CAPÍTULO 13. LEYES DE CONSERVACIÓN
esta salvedad, la superficie se puede escoger a conveniencia. De nuevo enfatizamos que dado que el tensor
de tensiones depende de los campos totales, esta fuerza también depende de los campos totales.
Como ejemplo, calculemos la fuerza entre dos cargas puntuales utilizando el tensor de tensiones de
Maxwell. Calculemos la fuerza ejercida sobre la carga −q, la forma mas sencilla consiste en construir una
esfera centrada en la carga con radio r → 0. Tomaremos no obstante, otra geometrı́a mas ilustrativa
Tomemos una superfice semiesférica A, hacemos tender su radio a infinito de modo que el tensor se anula
en la parte esférica y solo sobrevive en el plano z = a. La contribución al campo eléctrico debido a todas las
cargas (q y −q) sobre este plano viene dada por
2q
E= uz cos θ
r2
el campo magnético es nulo, el tensor de tensiones queda
1 1 2 2
1 1 2
Tij = Ei Ej + Bi Bj − δij E + B = Ei Ej − δij E
4π 2 4π 2
2q
y con Ei = δ
r 2 i3
cos θ
" 2 2 #
1 2q 1 2q
Tij = cos θ δi3 δj3 − δij cos θ
4π r2 2 r2
q2 2 1
Tij = cos θ δi3 δj3 − δij
πr 4 2
teniendo en cuenta que en este caso particular el diferencial de área sobre el plano es −dA u z escribimos
dAi = −δi3 dA y dA3 = −dA
q2 2 1
Tij dAj = cos θ −δ i3 dA + δ i3 dA
πr 4 2
q2
Tij dAj = − cos2 θδi3 dA
2πr 4
q2
el vector T · dA, tiene como componentes(T · dA) i = − 2πr 2
4 cos θδi3 dA es decir solo sobrevive la tercera
componente
q2
T · dA = − uz cos2 θ dA
2πr 4
teniendo en cuenta que todos los elementos de área en el plano están orientados en la misma dirección,
podemos definir diferenciales vectoriales de área con cualquier partición diferencial de la magnitud del área.
Usando la coordenada ρ cilı́ndrica, tenemos que un diferencial conveniente es el definido por un anillo de
radio interior ρ y exterior ρ + dρ.
dA = 2πρ dρ (−uz ) = −dA uz
reemplazando
q2
T · dA = − uz cos2 θ (2πρ dρ)
2πr 4
13.3. PRESIÓN EJERCIDA POR EL CAMPO 251
2
pero cos2 θ = a2 /r 2 = a2 / ρ2 + a2 , r 4 = ρ2 + a2
q2 a2
T · dA = − 2 uz ρ dρ
(ρ2 + a2 ) (ρ2 + a2 )
ρ
T · dA = −q 2 a2 uz dρ
(ρ2 + a 2 )3
Z Z ∞
2 2 ρ
T · dA = −q a uz dρ
0 (ρ2 + a 2 )3
Z
1
T · dA = −q 2 a2 uz
4a4
Z
q2
T · dA = − uz
(2a)2
que es el resultado esperado.
dF = −T · dA = −T · n dA
y la componente de la fuerza normal a la superficie (que es la que contribuye a la presión), viene dada por
n·dF = −n · T · n dA
dF
n· = −n · T · n
dA
y esta última expresión es precisamente la presión ejercida por los campos sobre el elemento de área dA.
P = −n · T · n
1 2
T ≡ E uy uy + E 2 uz uz − (ux ux + uy uy + uz uz ) E 2
4π
E2
T ≡ − ux ux
4π
La presión se escribe como
E2
−n · T · n = −ux · T · ux = ux · (ux ux ) · ux
4π
E2 E2
−n · T · n = (ux · ux ) (ux · ux ) =
4π 4π
se puede ver que el valor promedio de la presión coincide con el promedio de la densidad de energı́a.
1
hP i = hεi = 8π E 2 . Implı́citamente hemos asumido que la superficie es perfectamente absorbente (ninguna
parte de la onda se refleja ni se transmite). Para superficie perfectamente reflectora el momento absorbido
es doble y por tanto se duplica la presión.
con lo cual
1
hReE × ReHi = {E1 × H1 + E2 × H2 }
2
por otro lado, dado que el promedio no depende del factor armónico, y que los campos E y B tienen la misma
variación armónica, podemos tratar de obtener este promedio como un producto de los campos complejos
en donde se anule dicho factor armónico, lo cual nos induce a utilizar un campo con el complejo conjugado
del otro. Calculemos Re (E × H∗ )
la parte real es
Re (E × H∗ ) = E1 × H1 + E2 × H2
1
ε= (ReE · ReD + ReB · ReH)
8π
su promedio temporal está dado por
1
hεi = hReE · ReD + ReB · ReHi
8π
con un procedimiento análogo podemos encontrar que
Re
hεi = (E · D∗ + B · H∗ ) (13.12)
16π
estos dos resultados provienen del siguiente resultado general: Para cualquier par de campos complejos F y
G con la misma variación armónica temporal, el promedio temporal de su producto está dado por
1 1
hReF ⊗ ReGi = RehF ⊗ G∗ i = Re (F∗ ⊗ G) (13.13)
2 2
donde ⊗ denota producto escalar o producto vectorial. Si queremos calcular cantidades análogas para el
momento lineal tales como el promedio temporal de la densidad de momento lineal hgi, y el promedio
temporal de la densidad de flujo de momento lineal hTi es necesario desarrollar relaciones análogas para
diadas.
Se puede demostrar que hRe (E × H)i = RehE × Hi = 0 de modo que estas cantidades no sirven para
describir hSi.
¿Como plantear el anterior teorema para campos complejos no monocromáticos?.
254 CAPÍTULO 13. LEYES DE CONSERVACIÓN
1 1
εe = (E · D∗ ) ; εm = (B · H∗ )
16π 16π
consistentes con (13.12), con estas definiciones del vector de Poynting y las densidades de energı́a, la Ec.
(13.16) queda en la forma
Z Z
1
(J∗ · E) dV = [−∇ · S − 2iω (εe − εm )] dV
2 V V
Esta ecuación expresa la conservación de la energı́a para un promedio temporal de campos armónicos y
es análoga a la ecuación que resultarı́a de tomar el promedio temporal en (13.5), y asumiendo variación
armónica en el tiempo. La parte real está relacionada con la conservación de la energı́a para la media
temporal de las magnitudes involucradas, en tanto que la parte imaginaria está relacionada con la energı́a
almacenada o reactiva y su flujo alternante???. En el caso en que ε e y εm son reales (e.g. conductores
perfectos, dieléctricos sin pérdidas etc.) la parte real de (13.17) es
Z I
1 ∗
Re (J · E) dV + Re (S · n) da = 0
2 V
el primer término es el promedio temporal del trabajo por unidad de tiempo realizado por el campo sobre
las cargas dentro de V , en tanto que el segundo corresponde al flujo medio de potencia hacia adentro del
volumen V . Este es el resultado que se obtendrı́a con el uso del teorema original de Poynting Ec. (13.5)
asumiendo que la densidad de energı́a ε posee una parte estacionaria y una parte armónica en el tiempo, ya
que al aplicar el promedio sobre la parte armónica de la energı́a se anula la contribución de ε. En el caso en
que existen pérdidas o acumulaciones en los componentes del sistema (e.g. cuando asumimos que también
pueden entrar o salir partı́culas del volumen, o cuando tenemos medios como condensadores o inductancias
que pueden almacenar energı́a eléctrica o magnética), el segundo término en (13.17) tiene una parte real
(que corresponde a la parte imaginaria de ε e − εm en virtud del número i que aparece multiplicando a la
expresión).
Es muy importante reiterar que el teorema de Poynting para campos complejos expresado en la Ec.
(13.17) solo es válido para promedios temporales y no para medidas instantáneas de energı́a o flujo 11 . Tam-
bién es importante mencionar que el teorema se basa en que los campos tengan una componente estacionaria
y una componente armónica en el tiempo.
El teorema de Poynting complejo puede usarse para definir la impedancia de entrada entre las terminales
de un sistema electromagnético pasivo, lineal con dos terminales. Imaginemos un sistema electromagnético
confinado al volumen V , limitado por la superficie S, y del cual asoman solo dos terminales. La corriente y
la tensión de entrada (complejas) son V i e Ii . De nuevo tomando el resultado (13.13), la potencia compleja
de entrada se puede escribir como 12 Ii∗ Vi . Esta potencia se puede escribir en función del vector de Poynting
usando (13.17), pero aplicándolo al espacio exterior a S, quedando
I
1 ∗
I Vi = − (S · n) da (13.18)
2 i
Si
donde n es el vector normal dirigido hacia afuera de V . Además se ha supuesto que el flujo de entrada de
potencia se da solo a través de la superficie S i (sección transversal por donde atraviesan los terminales).
11
Estrictamente, lo que es válido no es la ecuación (13.17), sino el promedio temporal de la ecuación.
256 CAPÍTULO 13. LEYES DE CONSERVACIÓN
Ahora bien, utilizando (13.17), definido en el volumen V delimitado por la superficie S. El miembro
derecho en (13.18) se puede escribir en términos de las integrales en los campos definidos en el interior de V
Z Z I
1 ∗ 1 ∗
I Vi = (J · E) dV + 2iω (εe − εm ) dV + (S · n) da = 0 (13.19)
2 i 2 V V S−Si
donde hemos supuesto que el flujo de potencia saliente a través de S, es real. El segundo término del miembro
derecho en (13.20), corresponde a la resistencia de radiación que es usualmente importante a frecuencias
elevadas. A bajas frecuencias se puede considerar que la disipación óhmica es el único efecto apreciable de
pérdida de energı́a, en cuyo caso la impedacia se simplifica
Z Z
1 2 4ω
R' σ |E| dV ; X ' (εm − εe ) dV
|Ii |2 V |Ii |2 V
donde σ es la conductividad real y las densidades de energı́a también se consideran reales. La resistencia
como se representa usualmente en los circuitos es una cantidad que solo nos da cuenta de las pérdidas
óhmicas por calor en el circuito. En el caso de una bobina, la energı́a almacenada es básicamente magnética
de modo que la reactancia X es positiva (X = ωL). Por otro lado, en un condensador la energı́a almacenada
es mayoritariamente eléctrica de modo que la reactancia es negativa (X = −1/ωC). de una manera similar
se pueden definir la conductancia y susceptancia de una admitancia compleja Y = G − iB de una red pasiva
lineal de dos terminales, esto se logra tomando la parte compleja de (13.17), a bajas frecuencias donde se
pueden despreciar las pérdidas por radiación se tiene
Z Z
1 2 4ω
G' σ |E| dV ; B ' − (εm − εe ) dV
|V1 |2 V |V1 |2 V
Capı́tulo 14
∂ψ (r, 0)
ψ (r, 0) = f1 (r) ; = f2 (r)
∂t
ψ (r, t)|S = h (r, t) (14.2)
las dos primeras ecuaciones corresponden a condiciones iniciales, la tercera es una condición de frontera
definida en alguna superficie cerrada S. Por otro lado, el valor inicial de la función de onda sobre la frontera
se puede determinar tanto con las condiciones de frontera como con las condiciones iniciales, esto nos lleva
a una ecuación de compatibilidad
ψ r, 0+ S = h r, 0+ = f1 (r)|S
257
258 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
la primera de estas ecuaciones nos dice que U (r, t) es nula para t = 0 en todo el espacio, de modo que el
gradiente evaluado en t = 0 nos da cero también, ya que dicho operador no mueve la coordenada temporal.
De manera similar, puesto que U (r, t) definido en la frontera es cero para todo tiempo, la derivada parcial
respecto al tiempo definida en la frontera es cero.
∂U (r, t)
∇U (r, 0) = 0 ; =0 (14.6)
∂t S
1 ∂2U
U̇ ∇2 U − U̇ = 0⇒
c2 ∂t2
1 ∂ U̇
U̇ ∇ · (∇U ) − 2 U̇ = 0
c ∂t!
1 ∂ U̇ 2
∇ · U̇ ∇U − ∇U̇ · ∇U − 2 = 0
c ∂t 2
" #
1 ∂ U̇ 2
∇ · U̇ ∇U − (∇U )2 + 2 = 0
2 ∂t c
la segunda de las ecs. (14.6) nos dice que U̇ es cero en la frontera. Por tanto la integral de superficie se anula
Z " #
d 2 U̇ 2
(∇U ) + 2 dV = 0
dt c
la integral no depende de las variables espaciales ya que éstas han sido integradas, tampoco depende del
tiempo puesto que la derivada temporal es cero, por tanto
Z " #
2 U̇ 2
(∇U ) + 2 dV = k
c
donde k es constante en el espacio y el tiempo, como esto es válido para todo tiempo, se concluye que el
integrando es constante en el tiempo " #
2 U̇ 2
(∇U ) + 2 = c (r)
c
donde c (r) es independiente del tiempo. En particular, su valor es el mismo si evaluamos este integrando
en t = 0.
U̇ 2
(∇U )2 + 2 = c (r)
t=0 c
t=0
14.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE ONDA HOMOGÉNEA 259
pero la primera de las Ecs. (14.6) nos dice que ∇U = 0 en t = 0. Además la segunda de las Ecs. (14.5) nos
dice que U̇ = 0 en t = 0. De lo cual queda
c (r) = 0
de lo cual se deduce que U = cte en el espacio y el tiempo. Finalmente la primera de las Ecs. (14.5) nos dice
que U (r, 0) = 0 de modo que dicha constante vale cero. Por tanto ψ 1 = ψ2 y la solución es única.
En conclusión, la ecuación inhomogénea (14.1) tiene solución única si se especifican las condiciones
iniciales y de frontera dadas en la ec. (14.4).
Se pueden especificar condiciones de Newmann en donde en lugar de ψ (r, t)| S se conoce ∂ψ ∂n S lo cual
(r,t)
conduce a la condición ∂U∂n = 0. La integral de superficie definida en (14.7) también se anuları́a y el
S
resto del procedimiento es similar.
Discusión (chequear) para garantizar la unicidad hemos supuesto que la frontera define una superficie
cerrada, que delimita un volumen, de lo contrario no podemos usar el teorema de la divergencia. También
está implı́cito que dicha superficie es fija en el tiempo. Si esta superficie es finita solo podemos garantizar
unicidad en el interior de ella. Pues la unicidad proviene de resolver la ecuación en el interior del volumen
definido por la superficie. Cuando la onda cruza esta superficie debido a su evolución temporal, serán
necesarias nuevas condiciones de frontera para resolver el problema para tiempos posteriores.
El dominio de la solución es una región en el espacio-tiempo 3+1 dimensional. La unicidad requiere la
aplicación de condiciones de cauchy con frontera abierta en la dirección temporal (futuro)
Nota: (chequear) la frontera temporal deja de ser abierta si la onda puede cruzar la superficie donde se
define la frontera de acuerdo con la discusión anterior.
Es importante notar que la inclusión de la coordenada temporal nos introduce un concepto nuevo hasta
el momento, causalidad. Pues esta coordenada tiene una flecha de propagación, a diferencia de las
coordenadas espaciales. Esto tendrá profundas implicaciones en las soluciones.
∂ 2 X (x) 1 ∂ 2 T (t)
T (t) − X (x) =0
∂x2 c2 ∂t2
dividiendo por X (x) T (t)
X” T̈ X” T̈
− 2 =0⇒ = 2 = −k 2
X c T X c T
X” + k 2 X = 0 ; T̈ + (kc)2 T = 0
la solución es
también es posible que k = 0 aunque estas soluciones no son de tipo ondulatorio. En general y dependiendo
de las condiciones iniciales y de frontera, el valor de k puede depender de uno o mas ı́ndices discretos o
260 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
contı́nuos (y por tanto, también las constantes A, B, C, D). En tal caso, la solución más general será la
superposición en donde se barran todos los valores posibles de éstos ı́ndices. Esto último debido a que las
soluciones de esta ecuación lineal y homogénea obedecen a un principio de superposición.
Nota: (chequear) Hemos asumido la hipótesis de separación de variables. Con base en esta hipótesis,
hemos encontrado que existen soluciones y en general, dado que la ecuación es lineal y homogénea la
superposición de las soluciones también es solución. Por tanto, si hallamos todas las soluciones posibles una
superposición arbitraria de todas ellas es la solución más general. Sin embargo, es necesario demostrar que
no existen otras soluciones linealmente independientes de las que se obtienen por separación de variables 2 .
A priori ¿es posible pensar en que existieran soluciones de la ec. de Laplace, linealmente independientes de
las que se obtienen por separación de variables?.
Example 19 Encontrar la forma especı́fica de ψ (x, t) para las siguientes condiciones iniciales y de frontera
∂ψ (x, 0)
ψ (0, t) = ψ (L, t) = 0, ψ (x, 0) = f (x) , =0
∂t
reemplazando las condiciones de contorno en la solución general
ψ (0, t) = (A + B) Ceikct + De−ikct = 0
ψ (L, t) = AeikL + Be−ikL Ceikct + De−ikct = 0
y como esto debe ser válido para todo tiempo, se tiene que A = −B y
nπ
A eikL − e−ikL = 0 ⇒ sin kL = 0 ⇒ kn =
L
la otra solución, A = 0 es trivial y se puede ver que no satisface las otras condiciones a menos que f (x) = 0.
La solución es de la forma
ψn (x, t) = Cn eikn ct + Dn e−ikn ct sin kn x
∂ψ (x, t) X
∞
= ikn c Cn eikn ct − Dn e−ikn ct sin kn x
∂t n=1
∞
X Z L Z L
1 1
Cn sin kn x sin km x dx = f (x) sin km x dx
L −L L −L
n=1
∞
X Z L
1
Cn δnm = f (x) sin km x dx
n=1
L −L
Z L
1
Cm = f (x) sin km x dx
L −L
la solución queda
∞ Z
1X L
ψ (x, t) = f (x) sin km x dx cos kn ct sin kn x
L −L
n=1
debemos tener en cuenta que f (x) solo está definido en el intervalo [0, L].
Tres dimensiones
La ecuación queda
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂2
+ + − ψ (x, y, z, t) = 0
∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t2
ψ = X (x) Y (y) Z (z) T (t)
∂ 2 X (x) ∂ 2 Y (y) ∂ 2 Z (z)
Y (y) Z (z) T (t) + X (x) Z (z) T (t) + X (x) Y (y) T (t)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
1 ∂ 2 T (t)
− X (x) Y (y) Z (z) =0
c2 ∂t2
dividiendo por X (x) Y (y) Z (z) T (t)
X” Y” Z” T”
+ + − 2 = 0
X
|{z} Y
|{z} Z
|{z} c T
|{z}
−α2 −β 2 −γ 2 −k 2
−α2 − β − γ − −k
2 2 2
= 0 ⇒ −γ 2 = α2 + β 2 − k 2
hemos elegido que todas las soluciones sean armónicos como corresponde a un movimiento ondulatorio
(chequear) en todo caso de nuevo las constantes α, β, γ, k pueden depender de ı́ndices y la solución es
superposición de ondas planas, esta superposición se vuelve completa incluso para funciones no periódicas
si aparecen ı́ndices contı́nuos.
Hay que añadir la posibilidad de que alguno de los parámetros se vuelva cero, ya que estas soluciones hacen
parte de la superposición general. Ver un análisis semejante en la sección 2.5.
262 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
2 1 ∂2
∇ − 2 2 ψ (r, t) = 0 ⇒
c ∂t
1 ∂ 2 ∂ψ 1 ∂ ∂ψ 1 ∂2ψ 1 ∂2ψ
r + sin θ + − =0
r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin2 θ ∂ϕ2 c2 ∂t2
Usando separación de variables
ψ (r, t) = R (r) Y (θ, ϕ) T (t)
y dividiendo la ecuación por esta misma cantidad
1 d 2 dR 1 ∂ ∂Y 1 ∂2Y T̈
r + 2 sin θ + 2 − = 0
2
r R dr dr r Y sin θ ∂θ ∂θ r Y sin2 θ ∂ϕ2 c2 T
1 d 2 dR 1 b2 T̈
r + −L Y − = 0
r 2 R dr dr r2 Y c2 T
por otro lado el cociente c2T̈T es el único que depende de la variable temporal, los otors factores dependen
de las coordenadas espaciales de modo que
T̈
= −k 2 ⇒ T̈ + k 2 T = 0 ⇒ T = Ceikct + De−ikct
c2 T
y la ecuación queda
b2
1 d 2 dR L Y
2
r − 2 + k2 = 0
r R dr dr r Y
b2
1 d dR L Y
r2 − + k2 r2 = 0
R dr dr Y
reemplazamos en la ecuación
2
1 dµ µ 1 d µ µ 1 dµ
− √ − +√ + 2−
2r r dr 2r r dr 2 2r 2r dr
2 1 dµ µ l (l + 1) µ k 2 µ
+ √ − − √ + √ =0
r r dr 2r r2 r r
√
multiplicando por r
2
1 dµ µ d µ µ 1 dµ 2 dµ µ l (l + 1) µ
− − + 2
+ 2− + − − + k2µ = 0
2r dr 2r dr 2r 2r dr r dr 2r r2
organizando
d2 µ 1 1 2 dµ 1 1 1 l (l + 1) 2
+ − − + + + − − +k µ = 0
dr 2 2r 2r r dr 4r 2 2r 2 r 2 r2
d2 µ 1 dµ 1 l (l + 1) 2
+ + − 2− +k µ = 0
dr 2 r dr 4r r2
" #
1
d2 µ 1 dµ + l (l + 1)
+ + k2 − 4 µ = 0
dr 2 r dr r2
" #
1 2+l
d2 µ 1 dµ + l
+ + k2 − 4 µ = 0
dr 2 r dr r2
" 2 #
d2 µ 1 dµ 2 l + 12
+ + k − µ=0 (14.8)
dr 2 r dr r2
Esta última corresponde a una ecuación de Bessel cuya solución se escribe
µ = AJl+ 1 (kr) + BNl+ 1 (kr)
2 2
los coeficientes se evalúan a través de las condiciones iniciales y de frontera. La solución mas general podrı́a
contener a su vez una superposición sobre diferentes valores permitidos de k 2 , estos valores permitidos
podrı́an estar en el contı́nuo o en el discreto, también es necesario incluı́r explı́citamente la posibilidad de
que k 2 sea cero.
En particular si hay simetrı́a esférica se hace l = m = 0, y la función de ondas se reduce a
h ih i
(1) (2)
ψ (r, t) = A0 h0 (kr) + B 0 h0 (kr) Ceikct + De−ikct
describe la propagación de un campo con velocidad c, asumiendo que no existe dispersión (o que la onda
asociada es monocromática). f (r, t) es una distribución de fuentes que se asume conocida. A dicha ecuación
se le puede definir una función de Green asociada
1 ∂2
∇ − 2 2 G r, r0 , t, t0 = −4πδ r − r0 δ t − t0
2
c ∂t
A esta solución debemos ponerle una restricción de causalidad. Esto se hace mediante el requerimiento de
que G = 0 para t < t0 .
G (r, r0 , t, t0 ) describe entonces la propagación de una perturbación originada en r 0 , t0 . Para t < t0 no hay
propagación y para t > t0 hay un frente único propagándose esféricamente ??? a velocidad c.
Asumiendo que se ha obtenido de algún modo la función de Green asociada, calculemos la función de
onda que es solución de la ecuación inhomogénea
1 ∂2
∇ − 2 02 ψ r0 , t0 = −4πf r0 , t0
02
c ∂t
integrando en dV 0 dt0 (la integral en t0 va desde t0 = t0 hasta t0 = t1 con t1 > t esto es necesario para que en
la expresion que contiene al ψ (r0 , t0 ) el intervalo temporal pase por el polo t = t 0 ),
Z
1 ∂ ∂ψ ∂G
∇0 · ψ∇0 G − G∇0 ψ + 2 0 G 0 − ψ 0 dV 0 dt0
c ∂t ∂t ∂t
Z
= −4π δ r − r0 δ t − t0 ψ r0 , t0 dV 0 dt0
Z
+4π f r0 , t0 G r, r0 , t, t0 dV 0 dt0
quedando
Z
0
0 1 ∂
0
∂ψ ∂G
∇ · ψ∇ G − G∇ ψ + 2 0 G 0 − ψ 0 dV 0 dt0
c ∂t ∂t ∂t
Z
= −4πψ (r, t) + 4π f r0 , t0 G r, r0 , t, t0 dV 0 dt0
Z
ψ (r, t) = f r0 , t0 G r, r0 , t, t0 dV 0 dt0
Z
1
+ G∇0 ψ − ψ∇0 G · dS0 dt0
4π
Z 0
1 ∂G ∂ψ t =t1
+ ψ 0 −G 0 dV 0
4πc2 ∂t ∂t 0
t =t0
Z
ψ (r, t) = f r0 , t0 G r, r0 , t, t0 dV 0 dt0
Z Z t0 =t1
1 ∂ψ ∂G
+ G 0 − ψ 0 dS 0 dt0
4π t0 =t0 ∂n ∂n
Z t0 =t1
1 ∂G ∂ψ
+ ψ − G dV 0
4πc2 ∂t0 ∂t0 t0 =t0
La causalidad me exige que G = 0 para t 0 > t entonces G|t0 =t1 >t = 0, con lo cual el término correspondiente
al lı́mite superior en la última integral se anula de modo que
Z
ψ (r, t) = f r0 , t0 G r, r0 , t, t0 dV 0 dt0
Z Z t0 =t1
1 ∂ψ (r0 , t0 )
+ G r, r0 , t, t0
4π t0 =t0 ∂n0
0 0
∂G (r, r , t, t )
−ψ r0 , t0 dS 0 dt0
∂n0
Z 0 0
1
0 0 ∂G (r, r , t, t )
+ ψ r , t
4πc2 ∂t0
∂ψ (r0 , t0 )
−G r, r0 , t, t0 dV 0 (14.9)
∂t0 0
t =t0
la integración temporal continúa siendo en principio desde t 0 hasta t1 > t, sin embargo dado que G = 0 en
t0 > t 3 podemos partir este intervalo en t0 , t y t, t1 en el segundo intervalo no hay contribución justo por
esta condición de causalidad, de modo que la integración se puede hacer en el intervalo t 0 , t.
Tanto ψ como G obedecen ecuaciones de onda inhomogéneas, las cuales tienen solución única bajo
las condiciones iniciales y de frontera que ya se discutieron. Para la función de onda debemos conocer en
consecuencia
∂ψ (r, t) ∂ψ (r, t)
ψ (r, t)|t0 , , ψ (r, t)|S ó
∂t t0 ∂n S
por razones similares al caso estático, no se pueden especificar condiciones de Dirichlet y Neumann si-
multáneamente, debemos trabajar con condiciones de Dirichlet (G S = 0) o de Neumann ( ∂G 4π
∂n S = − S ).
Una vez conocida G, son calculables las derivadas que se requieren para determinar ψ (r, t) de modo que
suponiendo conocido el término inhomogéneo f (r, t), podemos evaluar ψ (r, t) por medio de la Ec. (14.9).
Comenzando con
1 ∂2
∇2 − ψ (r, t) = −4πf (r, t)
c2 ∂t2
y tomando las transformadas de fourier de la función de ondas y de la función f (r, t) 4
Z ∞ Z ∞
1 −iωt 1
ψ (r, t) = √ Ψ (r, ω) e dω ; f (r, t) = √ F (r, ω) e−iωt dω (14.10)
2π −∞ 2π −∞
la ecuación de onda queda
Z ∞ Z ∞
2 1 ∂2 −iωt
∇ − 2 2 Ψ (r, ω) e dω = −4π F (r, ω) e−iωt dω
c ∂t −∞ −∞
Z ∞ Z ∞
Z ∞
2
−iωt 1 ∂ 2 −iωt
∇ Ψ (r, ω) e dω − 2 Ψ (r, ω) 2
e dω = −4π F (r, ω) e−iωt dω
−∞ c−∞ ∂t −∞
Z ∞ Z Z ∞
2 −iωt ω2 ∞
∇ Ψ (r, ω) e dω + 2 Ψ (r, ω) e−iωt dω = −4π F (r, ω) e−iωt dω
−∞ c −∞ −∞
Z ∞ 2
Z ∞
ω
∇2 Ψ (r, ω) + 2 Ψ (r, ω) e−iωt dω = −4π F (r, ω) e−iωt dω
−∞ c −∞
obsérvese que hemos llegado de nuevo a una función de green que solo depende de la posición pues la
dependencia con ω es solo paramétrica. Cambiando ∇ 2 → ∇02 y las coordenadas por las primadas
∇02 + k 2 Ψ r0 , ω = −4πF r0 , ω
∇02 + k 2 Ğ r, r0 , ω = −4πδ r − r0
5 donde hemos usado la simetrı́a de la función de Green y de la delta de Dirac. Multiplicando estas ecuaciones
por Ğ y Ψ
02
∇ + k 2 Ψ r0 , ω Ğ r, r0 , ω = −4πF r0 , ω Ğ r, r0 , ω
h i
∇02 + k 2 Ğ r, r0 , ω Ψ r0 , ω = −4πδ r − r0 Ψ r0 , ω
4
Recordemos que esto básicamente equivale a hacer una expansión de estas funciones en una base completa (ondas planas
temporales) en donde los coeficientes son los pesos asociados a cada vector unitario.
5
Duda: en principio la función de Green cumple la propiedad G (r, r0 ) = G∗ (r, r0 ). En la ecuación ∇2 + k2 Ğ (r, r0 , ω) =
−4πδ (r − r0 ) podemos intercambiar variables primadas con no primadas y se obtiene ∇02 + k2 Ğ (r0 , r, ω) = −4πδ (r0 − r)
y finalmente ∇02 + k2 Ğ∗ (r, r0 , ω) = −4πδ (r0 − r). En esta ecuación debe aparecer el conjugado. Al conjugar esta ecuación
resulta la ecuación ∇02 + k2 Ğ∗ (r, r0 , ω) = −4πδ (r0 − r) ????.
268 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
restando
h i
∇02 + k 2 Ψ Ğ − ∇02 + k 2 Ğ Ψ = −4πF Ğ + 4πδ r − r0 Ψ r0 , ω
02 h i
∇ Ψ Ğ + k 2 ΨĞ − ∇02 Ğ Ψ − k 2 ĞΨ = −4πF Ğ + 4πδ r − r0 Ψ r0 , ω
02 h i
∇ Ψ Ğ − ∇02 Ğ Ψ = −4πF Ğ + 4πδ r − r0 Ψ r0 , ω
h i
∇0 · ∇0 Ψ Ğ − ∇0 Ğ Ψ = −4πF Ğ + 4πδ r − r0 Ψ r0 , ω
Z
+4π δ r − r0 Ψ r0 , ω dV 0
Z h i Z
∇ Ψ Ğ − ∇ Ğ Ψ · dS + 4π F Ğ dV 0 = 4πΨ (r, ω)
0 0 0
quedando finalmente
Z " ! #
1 ∂Ψ (r0 , ω) ∂ Ğ (r, r0 , ω)
Ψ (r, ω) = 0
Ğ r, r0 , ω − Ψ r0 , ω dS 0
4π ∂n ∂n0
Z
+ F r0 , ω Ğ r, r0 , ω dV 0 (14.11)
Z ∞ Z ∞ Z
1 ∂ψ (r0 , t0 )
ψ (r, t) = Ğ r, r0 , ω
8π 2
−∞ −∞ ∂n 0
! # )
∂ Ğ (r, r0 , ω) 0
− 0
ψ r0 , t0 dS 0 e−iω(t−t ) dt0 dω
∂n
Z ∞ Z ∞ Z
1 0
+ f r , t Ğ r, r , ω dV e−iω(t−t ) dt0 dω
0 0 0 0
(14.13)
2π −∞ −∞
14.3. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE ONDA INHOMOGÉNEA 269
definiendo Z ∞
0 1 0
0
G r, r , t, t = Ğ r, r0 , ω e−iω(t−t ) dω
2π −∞
nos queda
Z ∞ Z
1 ∂ψ (r0 , t0 ) 0 0
∂G (r, r0 , t, t0 )
ψ (r, t) = G r, r , t, t − ψ r , t dS dt0
0 0 0
4π −∞ S ∂n0 ∂n0
Z ∞ Z
0 0
0 0
0
+ f r , t G r, r , t, t dV dt0 (14.14)
−∞ V0
Hay varias diferencias entre las Ecs. (14.9) y (14.14). Por ejemplo en (14.14) no aparece la integral
Z
1 0 0
0 0 ∂G (r, r , t, t ) 0
0 0
0 ∂ψ (r , t )
2
ψ r ,t 0
− G r, r , t, t 0 0 dV 0 .
4πc ∂t ∂t t =t0
Por otro lado, la integración temporal en (14.14) se hace entre −∞, ∞ 6 ; en tanto que en la ecuación (14.9)
la integración temporal se realiza en el intervalo t 0 y t1 , esto explica la falta del término integral, puesto que
si la integral temporal en (14.9) se extendiera hasta −∞ la última integral desaparecerı́a.
Z
ω2 0 0
g (k, ω) −k2 + 2 ei[k·(r−r )−ω(t−t )] d3 K dω
c
Z
1 0 0
= − 3 ei[k·(r−r )−ω(t−t )] d3 k dω
4π
6
La integración entre −∞, ∞ es indispensable para garantizar la completez en la transformada de Fourier.
270 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
donde definimos θ el ángulo entre R y k, y colocamos el eje Z a lo largo de R. Esta escogencia particular
de eje Z, le da simetrı́a azimutal al integrando (para esta integración r y r 0 son fijos, de modo que no hay
contradicción en esta escogencia). Integrando en ϕ
Z i[kR cos θ−ωτ ]
1 e
G r, r0 , t, t0 = 2 h i k 2 dk sin θ dθ dω
2π 2 ω2
k − c2
Z Z
0 0
c2 e−iωτ
G r, r , t, t = e dµ k 2 dk dω
µ
2π 2 iR k [ω 2 − k 2 c2 ]
Z h i
c2 e−iωτ µ µf
G r, r0 , t, t0 = e | µ0 k dk dω
2π 2 iR [ω 2 − k 2 c2 ]
Z θ=π
c2 e−iωτ ikR cos θ
G r, r0 , t, t0 = e k dk dω
2π 2 iR [ω 2 − k 2 c2 ] θ=0
Z h i
c2 e−iωτ
G r, r0 , t, t0 = e −ikR
− e ikR
k dk dω
2π 2 iR [ω 2 − k 2 c2 ]
debemos tener presente que hemos escrito k · R = kR cos θ, de tal modo que k está en coordenadas esféricas,
y por tanto dicha variable va entre 0 e infinito
Z ∞ Z ∞ Z ∞
0 0
c2 e−iωτ −ikR e−iωτ ikR
G r, r , t, t = 2 e k dk − e k dk dω
2π iR −∞ 0 [ω 2 − k 2 c2 ] 0 [ω 2 − k 2 c2 ]
14.3. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE ONDA INHOMOGÉNEA 271
Z ∞ Z ∞ Z 0
c2 e−iωτ e−iωτ
G r, r0 , t, t0 = e−ikR k dk + eikR k dk dω
2π 2 iR −∞ 0 [ω 2 − k 2 c2 ] ∞ [ω 2 − k 2 c2 ]
haciendo k → −k en la segunda integral
Z ∞ Z ∞
0 0
c2 e−iωτ
G r, r , t, t = e−ikR k dk +
2π 2 iR −∞ 0 [ω 2 − k 2 c2 ]
Z 0
e−iωτ
+ h i e−ikR (−k) d (−k) dω
−∞ ω 2 − (−k)2 c2
Z ∞ Z ∞
c2 e−iωτ dω
G r, r0 , t, t0 = e−ikR k dk
2π 2 iR −∞ −∞ [ω 2 − k 2 c2 ]
R∞ e−iωτ dω
la integral −∞ posee dos polos simples en ω = ±kc, y puede evaluarse pasando al plano complejo
[ω 2 −k 2 c2 ]
y desplazando los polos de z = ±kc a z = ± (kc + iγ) con el fin de evitar que los polos queden sobre la
trayectoria de integración. Con esta extensión al plano complejo se tiene
donde la segunda integral se ejecuta en el semicirculo con radio infinito, primero demostraremos que esta
integral es cero, escribamos z = Aeiξ esta integral está evaluada en A → ∞, por otro lado, dz = iAe iξ dξ ⇒
dz = izdξ
Z Z −izτ Z Z π
h e
−izτ dz e
dz π −izτ
≤
−izτ
e dξ
i ≤
=
e i dξ
C z 2 − (kc + iγ)2 C z 0 0
basta con demostrar que la última integral se va a cero (ver Kreyszig vol II pag 327, versión española de la
6 Ed. del inglés).
Por tanto la integral de lı́nea cerrada con radio infinito coincide con la integral que necesitamos
I Z ∞
e−izτ dz e−iωτ dω
h i= h i
z 2 − (kc + iγ)2 −∞ ω 2 − (kc + iγ)2
en este caso, únicamente el polo z = −kc − iγ está contenido en el loop, de modo que
I
e−izτ dz
h i = −2πi res (z = −kc − iγ)
z 2 − (kc + iγ)2
el menos se debe a que la integral de lı́nea se está haciendo en el sentido de las agujas del reloj, este polo es
simple ya que
e−izτ e−izτ
h i=
z 2 − (kc + iγ)2 [z − (kc + iγ)] [z + (kc + iγ)]
e−izτ
lı́m {z − [− (kc + iγ)]} = f inito
z→−(kc+iγ) [z − (kc + iγ)] [z + (kc + iγ)]
272 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
I
e−izτ dz e−izτ
h i = −2πi lı́m [z + (kc + iγ)]
z 2 − (kc + iγ)2 z→−(kc+iγ) [z − (kc + iγ)] [z + (kc + iγ)]
e−izτ ei(kc+iγ)τ
= −2πi lı́m = πi
z→−(kc+iγ) [z − (kc + iγ)] (kc + iγ)
Z
e−izτ dz ei(kc+iγ)τ eikcτ
lı́m h i = πi lı́m = πi
γ→0 (kc + iγ) kc
γ→0
z 2 − (kc + iγ)2
quedando finalmente
Z ∞
e−iωτ dω eikcτ
= πi
−∞ [ω 2 − k 2 c2 ] kc
con τ > 0, lo cual se ha supuesto a lo largo de toda la integración (la integral sobre el semicı́rculo infinito
solo se anula cuando τ > 0). Recordemos que la condición τ > 0 indica causalidad.
Volviendo a la función de Green, tenemos que
Z ∞
c2 eikcτ
G r, r0 , t, t0 = e −ikR
πi k dk
2π 2 iR −∞ kc
Z ∞
c
G r, r0 , t, t0 = e−ik(R−cτ ) dk
2πR −∞
c 1 R
G r, r0 , t, t0 = δ (R − cτ ) = δ τ −
R R c
se le conoce como función de Green causal o retardada. Esta función corresponde a propagación de un frente
de onda esférico con centro en r0 , t0 y moviéndose a velocidad c.
0|
En el espacio tiempo la función de Green existe solo sobre la superficie determinada por t − t 0 − |r−r
c .
Es fácil ver que con R = |r − r0 | finito, G → 0 para t → ∞, y con t − t0 finito G → 0 para r → ∞.
Otra solución matemáticamente aceptable se obtiene desplazando los polos en la forma z → ± (kc − iγ)
y con τ < 0. Se obtiene (demostrar)
δ τ + Rc
G=
R
conocida como función de Green avanzada (τ < 0). Esta función de Green tiene cierto interés en Fı́sica
teórica pero no arroja soluciones fı́sicas en este contexto debido a que viola causalidad.
reemplazando en (14.9) y tomando t0 → −∞ (lo que hace desaparecer la última integral, ya que G → 0 en
t → ±∞) se obtiene
Z " R
#
0 0 δ τ + c
ψ (r, t) = f r ,t dV 0 dt0
R
Z t0 =t1 Z (
1 δ τ + Rc
+ ∇0 ψ r0 , t 0
4π t0 =−∞ S R
" #)
R 0 (t0 − t + R/c)
R δ τ + δ
−ψ r0 , t0 c
− · dS0 dt0 (14.15)
R R2 Rc
Z Z t0 =t1 Z (
f (r0 , t − R/c) 0 1 δ τ + Rc
ψ (r, t) = dV + ∇0 ψ r0 , t 0
R 4π t0 =−∞ S R
" #)
R
0 0 R δ τ + c δ 0 (t0 − t + R/c)
−ψ r , t − · dS0 dt0 (14.16)
R R2 Rc
0
si ψ (r0 , t0 ) = ψ (r0 ) e−iωt , introduciendo esta expresión
Z Z Z t0 =t1
f (r0 , t − R/c) 0 1 1 0 0
0 −iωt0 R
ψ (r, t) = dV + ∇ ψ r · dS e δ τ+ dt0
R 4π S R t0 =−∞ c
Z Z t0 =t1
1
0 R 0 −iωt0 R
− ψ r · dS e δ τ+ dt0
4π S R3 t0 =−∞ c
Z Z t0 =t1
1 0
R 0 0
+ ψ r 2
· dS e−iωt δ 0 t0 − t + R/c dt0 (14.17)
4π S R c t0 =−∞
274 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
Z t0 =t1
−iωt0 0 0
0 d −iωt0 0
e δ t − t + R/c dt = − e = iωe−iωt 0
t0 =−∞ dt0 t0 =t−R/c t =t−R/c
= iωe−iω(t−R/c)
Z Z
f (r0 , t − R/c) 0 1 1 0
ψ (r, t) = dV + ∇ ψ r · dS e−iω(t−R/c)
0 0
R 4π S R
Z Z
1
0 R 0 −iω(t−R/c) 1 0
R
− ψ r · dS e + ψ r · dS iωe−iω(t−R/c)
0
(14.18)
4π S R3 4π S R2 c
Z Z
f (r0 , t − R/c) 0 1 ∇0 ψ (r0 )
0 R 0
R
ψ (r, t) = dV + −ψ r + iωψ r e−iω(t−R/c) · dS0 (14.19)
R 4π S R R3 R2 c
Z Z
f (r0 , t − R/c) 0 1 ∇0 ψ (r0 ) R 0
1 iω
ψ (r, t) = dV + − 2ψ r − e−iω(t−R/c) · dS0 (14.20)
R 4π S R R R c
si f (r0 , t0 ) está localizada, desde puntos suficientemente lejanos aparecerá como una fuente puntual, teniendo
ψ, por tanto, la misma forma espacial que G, esto es si G ∼ 1/R también ψ ∼ 1/R para puntos lejanos.
Este comportamiento ya aparece en la primera integral, de modo que para S → ∞, la segunda integral debe
anularse7 , es decir
∂ψ (r) 1 iω
− − ψ (r) → 0 para r → ∞ (i.e. R → r)
∂n r c
∂ψ (r) 1 iω
→ − ψ (r)
∂r r c
esta última ecuación se conoce como condición de radiación. Integrando esta ecuación
e ikr e i(kr−ωt)
ψ (r) r−−→
−−→
∞ f (θ, ϕ) ó ψ (r, t) r−−→
−−→
∞ f (θ, ϕ)
r r
∇2 + α2 Ğ r, r0 , ω = −4πδ r − r0
si queremos resolver esta cuación para espacio infinito
Z
0
1 0
δ r−r = 3 eik·(r−r ) d3 k
(2π)
Z
0
Ğ r, r0 , ω = g (k) eik·(r−r ) d3 k
quedando
Z 0
1 eik·(r−r ) 3
Ğ r, r0 , ω = d k
(2π)2 k 2 − α2
integrando en ϕ y haciendo µ = ikR cos θ
Z Z Z
0
eikR cos θ k 2 sin θ dk dθ dϕ
Ğ r, r , ω =
k 2 − α2
Z ∞ −ikR Z ∞
1 e − eikR 1 eikR
Ğ r, r0 , ω = k dk = k dk
iπR 0 k 2 − α2 iπR −∞ k 2 − α2
como antes, esta integral se evalúa pasando al plano complejo y desplazando los polos de k = ±α hasta
z = ± (α + iγ). La integral sobre la semicircunferencia con radio infinito se anula y queda
Z ∞ Z
eikR eizR z dz eizR z
k 2 dk = = 2πi = πiei(α+iγ)R
−∞ k − α
2
z 2 − (α2 + iγ)2 z + (α + iγ) z=α+iγ
eiαR
Ğ r, r0 , ω = (14.21)
R
lo cual corresponde a una onda esférica debida a una fuente puntual monocromática (onda saliente).
Ahora reemplazamos en la función de onda dada en (14.13) para lo cual calculamos
!
∂ iα|r−r0 |
0 0
eiα|r−r | ∂ Ğ ∂ eiα|r−r | 1 iα|r−r0 | ∂ 1
Ğ = ⇒ 0 = 0 = e +e
|r − r0 | ∂r ∂r |r − r0 | |r − r0 | ∂r 0 ∂r 0 |r − r0 |
0
iαeiα|r−r | ∂
0 iα|r−r0 | ∂ 1
= r−r +e
|r − r0 | ∂r 0 ∂r 0 |r − r0 |
!
iαeiα|r−r | ∂ p 2
0
iα|r−r 0| ∂ 1
= r + r 02 − 2rr 0 cos η + e p
|r − r0 | ∂r 0 ∂r 0 r 2 + r 02 − 2rr 0 cos η
276 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
0
" # " #
∂ Ğ iαeiα|r−r | r 0 − r cos η iα|r−r0 | r cos η − r 0
= p +e
∂r 0 |r − r0 | r 2 − 2rr 0 cos η + r 02 (r 2 − 2rr 0 cos η + r 02 )3/2
0
∂ Ğ iαeiα|r−r | 0 eiα|r−r0 | 0
= 2 r − r cos η + 3 r cos η − r
∂r 0 0
|r − r | |r − r |0
1 0 eiα|r−r0 |
= iα − r − r cos η
|r − r0 | |r − r0 |2
0
1 0 r0 eiα|r−r |
= iα − r − r·
|r − r0 | r 0 |r − r0 |2
1 0 0
eiα|r−r0 |
= iα − r −n ·r
R |r − r0 |2
como estos términos se evalúan en una superficie que tiende a infinito
0 0
eiα|r−r | eiαr
lı́m Ğ r, r0 , ω = lı́m =
0
r →∞ r →∞ |r − r0 |
0 r0
( )
∂ Ğ (r, r0 , ω) 1 0 0
eiα|r−r0 |
lı́m = 0lı́m iα − r −n ·r
0
r →∞ ∂r 0 r →∞ R |r − r0 |2
( iαr0 ) ( )
1 e e iαr 0 e iαr 0
= 0lı́m iα − 0 r 0 02 = iα 0 − 02
r →∞ r r r r
0
∂ Ğ (r, r0 , ω) eiαr
lı́m = iα 0
r0 →∞ ∂r 0 r
ahora sı́ reemplazamos en la función de onda dada en (14.13)
Z ∞ Z ∞ Z
1 ∂ψ (r0 , t0 )
ψ (r, t) = 2 0
Ğ r, r0 , ω
8π −∞ −∞ ∂n
! # )
∂ Ğ (r, r0 , ω) 0
− ψ r , t dS e−iω(t−t ) dt0 dω
0 0 0
∂n0
Z ∞ Z ∞ Z
1 0
+ f r , t Ğ r, r , ω dV e−iω(t−t ) dt0 dω
0 0 0 0
2π −∞ −∞
Z
1 eiαR −iω(t−t0 ) 0 0
ψ (r, t) = f r0 , t 0
e dV dt dω
2π R
Z ∞ Z ∞ (Z " 0
# )
1 1 eiαr ∂ψ (r0 , t0 ) 0
iαeiαr0 −iω(t−t0 ) 0
+ 0
− ψ r ,t 0
e dS dt0 dω
4π 2π −∞ −∞ 0
S →∞ r ∂r r
2 1 ∂2 1 2
0 ∂ ψh (r, t)
∇ − 2 2 G = θ t − t0 ∇2 ψh (r, t) − θ t − t
c ∂t c2 ∂t2
1 d 2 ∂ψh (r, t)
− 2 ψh (r, t) δ t − t0 − 2 δ t − t0
c dt c ∂t
1 ∂2 1 ∂2
∇2 − G = θ t − t0 ∇2 − ψh (r, t)
c2 ∂t2 c2 ∂t2
1 d 2 ∂ψh (r, t)
− 2
ψh (r, t) δ t − t0 − 2 δ t − t0
c dt c ∂t
n o
1 ∂2
pero por definición ∇2 − c2 ∂t2 ψh (r, t) = 0 por tanto
1 ∂2
2 1 d 2 ∂ψh (r, t)
∇ − 2 2 G=− 2
ψh (r, t) δ t − t0 − 2 δ t − t0
c ∂t c dt c ∂t
278 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
ambos términos solo contribuyen cuando t = t 0 . De modo que se puede escribir como
2 1 ∂2 1
dδ (t − t0 ) 2
0 ∂ψh (r, t)
∇ − 2 2 G = − 2 ψh (r, t) − 2δ t − t 0
c ∂t c t=t0 dt c ∂t t=t
esto se cumple si
1 dδ (t − t0 )
− 2 ψh (r, t) = 0
c t=t0 dt
2
0 ∂ψh (r, t)
− 2δ t − t 0 = −4πδ r − r0 δ t − t0
c ∂t t=t
finalmente
ψh (r, t)|t=t0 = 0
∂ψh (r, t)
0 = 2πc2 δ r − r0
∂t t=t
Por tanto, es suficiente determinar ψ (ó ∂ψ/∂n) sobre la frontera espacial 8 ; ya que usando G (r, r0 , t, t0 ) =
ψh (r, t) θ (t − t0 ) se obtiene
G r, r0 , t, t0 S = ψh (r, t)|S θ t − t0
ó
∂G (r, r0 , t, t0 ) ∂ψh (r, t)
= θ t − t0
∂n S ∂n S
0
eiαr
tal que si se quiere G = 0 sobre la superficie se hará ψ h |S = 0. Si se propone G ∼ r0 en r 0 → ∞, también
0
eiαr
se tiene que ψh ∼ r0
Para resumir: la función de Green se puede determinar solucionando la ecuación homogénea de ondas
con las condiciones de frontera e iniciales requeridas ψ h (r, t). Con esta solución se propone
G r, r0 , t, t0 = ψh (r, t) θ t − t0
obsérvese que estas no son condiciones iniciales, 8aunque estas también las debe cumplir la solución ho-
mogénea). Solucionada la ecuación homogénea con estas condiciones se tiene
G r, r0 , t, t0 S = ψh (r, t)|S θ t − t0
8
Las condiciones iniciales han sido absorbidas en la solución de la parte homogénea.
14.3. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE ONDA INHOMOGÉNEA 279
b 2 es el cuadrado del operador momento angular. Como es usual expandamos Ğ en armónicos esféricos.
L
∞ X
l
X
Ğ r, r0 , ω = ∗
Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 flm r, r0
l=0 m=−l
1 X X h b2 i
b 2 Ğ ∞ l
L ∗
− = − L Y lm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 flm r, r0
r2 r 2
l=0 m=−l
∞
X l
X
∗
flm (r, r0 )
= − [l (l + 1) Ylm (θ, ϕ)] Ylm θ 0 , ϕ0
r2
l=0 m=−l
también se exige que en r → ∞, G represente frentes de onda viajando hacia afuera (“outgoing waves”). Es
fácil ver que de
eiαr e−iαr
lı́m fl r, r0 = A0 + B0
r→∞ αr αr
se sigue que B 0 = 0. Por tanto,
(1)
fl r, r0 = Cjl (kr< ) hl (kr> ) (14.23)
Para evaluar C tomamos la ecuación inhomogénea (14.22)
0
1 d 2 dflm (r, r ) flm (r, r0 ) 2 0
δ (r − r0 )
r − l (l + 1) + k f lm r, r = −4π
r 2 dr dr r2 r2
Z r 0 +ε Z r 0 +ε
2 2 0
+k r flm r, r dr = −4π δ r − r0 dr
r 0 −ε r 0 −ε
asumiendo que la función flm (r, r0 ) es integrable en este intervalo, solo sobrevive el primer término de la
izquierda cuando ε → 0.
0
0 r=r +ε
2 dflm (r, r )
r
dr 0 = −4π
r=r −ε
y tomando (14.23)
d h ir=r0 +ε=r>
(1)
Cr jl (kr< ) hl (kr> )
2
= −4π
dr r=r 0 −ε=r<
h i
2 d 0
(1) d h (1) 0
i
Cr jl kr hl (kr) − jl (kr) hl kr = −4π
dr dr
d h (1) i
(1) d
Cr 2 jl kr 0 hl (kr) − hl kr 0 [jl (kr)] = −4π
dr dr
se puede demostrar que C = 4πik (ver Sepúlveda pags. 270-271) resulta entonces
(1)
fl r, r0 = 4πik jl (kr< ) hl (kr> )
La función de Green es
∞ X
X l
(1)
Ğ r, r0 , ω = 4πik ∗
jl (kr< ) hl (kr> ) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0
l=0 m=−l
como una aplicación de gran utilidad, obtengamos la expansión de una onda plana en armónicos esféricos
realizando una expansión de |r − r0 | para r 0 >> r, con lo cual r = r< , r 0 = r> resulta
r
2 0
r − r0 = r0 − r = n0 r 0 − r = r 0 n0 − r = r 0 1 + r − 2n ·r
r r0 r 02 r0
0 0
r − r0 ' r 0 1 − 2n ·r ' r 0 1 − n ·r = r 0 − n0 ·r
r0 r0
2n0 ·r
la expansión es válida ya que n0 ·r ≤ r << r 0 ⇒ r0 << 1
de modo que con r 0 >> r
0 0 0 0 0
eik|r−r | eik(r −n ·r) eikr e−ikn ·r
' '
|r − r0 | r 0 − n0 ·r r0
y definiendo k = kn0 resulta
0 0
eik|r−r | eikr e−ik·r
'
|r − r0 | r0
(1) (1) ikr 0
además, hl (kr> ) = hl (kr 0 ) → (−i)l+1 ekr0
con estas aproximaciones, la relación asintótica para la ecuación (14.24) queda
0 ∞ X
X l 0
eikr e−ik·r l+1 eikr ∗ 0 0
= 4πik (−i) jl (kr) Y lm (θ, ϕ) Y lm θ , ϕ
r0 kr 0
l=0 m=−l
∞ X
X l
e −ik·r
= 4π (−i)l jl (kr) Ylm (θ, ϕ) Ylm
∗
θ 0 , ϕ0
l=0 m=−l
recordemos que θ 0 , ϕ0
se asocian a r0
y por otro lado k va en la dirección de n 0 . Por lo tanto θ, ϕ están
asociados a r en tanto que θ 0 , ϕ0 están asociados a k. También se puede escribir
∞ X
X l
e −i(k·r−ωt)
= 4π (−i)l jl (kr) Ylm (θ, ϕ) Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 eiωt
l=0 m=−l
14.3.9. Resumen
Para espacio infinito, la función de onda se puede escribir como
Z ∞Z Z
1 0
ψ (r, t) = f r0 , t0 Ğ r, r0 , ω e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0
2π −∞
la integral espacial se realiza sobre el volumen de las fuentes. La función Ğ (r, r0 , ω) puede expresarse en
cualquiera de sus representaciones e ikR /R, fourier, armónicos esféricos etc.
Recordemos además que los potenciales φ (r, t) y A (r, t) satisfacen la ecuación de onda inhomogénea
cuando usamos el gauge de Lorentz. Además, cada potencial tiene como fuentes para la parte inhomogénea
las cargas y las corrientes.
1 ∂2
∇2 − 2 2 φ (r, t) = −4πρ (r, t)
c ∂t
2 1 ∂2 4π
∇ − 2 2 A (r, t) = − J (r, t)
c ∂t c
la solución para espacio infinito es
Z ∞Z Z
1 0
φ (r, t) = ρ r0 , t0 Ğ r, r0 , ω e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0
2π −∞
Z ∞Z Z
1 0
A (r, t) = J r0 , t0 Ğ r, r0 , ω e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0
2πc −∞
282 CAPÍTULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
δ (r 0 )
ρ r0 , t = q
4πr 02
evaluaremos el potencial escalar usando la función de Green para todo el espacio, expandida en armónicos
esféricos.
Z
1 0
φ (r, t) = ρ r0 , t0 Ğ r, r0 , ω e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0
2π
Z
1 δ (r 0 ) 0
φ (r, t) = q 02
Ğ r, r0 , ω e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0
2π 4πr
Z ∞ l
4πiq δ (r 0 ) X X (1)
φ (r, t) = jl (kr< ) hl (kr> ) ×
2π · 4π r 02
l=0 m=−l
0
×Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 e−iω(t−t ) k dω dt0 dV 0
∗
debido a la delta de Dirac, r 0 solo contribuye para r 0 → 0, se tiene entonces que r 0 = r<
Z Z (X ∞ X l Z
iq δ (r 0 ) 0
(1)
φ (r, t) = j l kr hl (kr)
2π r 02
l=0 m=−l
0
o
∗
× Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 dV 0 e−iω(t−t ) k dω dt0
Z Z (X
∞ X
l
)
iqc (1) −ikc(t−t0 )
φ (r, t) = hl (kr) δl0 e k dk dt0
2π
l=0 m=−l
Z Z
iqc (1) −ikc(t−t0 ) 0
φ (r, t) = h0 (kr) e dt k dk
2π
Z Z
iqc (1) 0
φ (r, t) = h0 (kr) e−ikct eikct dt0 k dk
2π
14.3. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE ONDA INHOMOGÉNEA 283
Z Z 0
iqc (1) −ikct ik(ct0 ) d (ct )
φ (r, t) = h0 (kr) e e k dk
2π c
Z
iqc eikr −ikct 2πδ (k)
φ (r, t) = (−i) e k dk
2π kr c
Z
q n ikr −ikct o
φ (r, t) = e e δ (k) dk
r
q
φ (r, t) =
r
Z Z Z
1 p0 0 1 dδ (r 0 ) δ (r 0 ) −iω0 t0
φ (r, t) = − cos θ − 2 03 e
2π 4π r 02 dr 0 r
( ∞ X l
)
X (1) 0
∗
× 4πik jl (kr< ) hl (kr> ) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0
l=0 m=−l
Z Z Z
ip0 0 1 dδ (r 0 ) δ (r 0 )
φ (r, t) = − cos θ − 2 03
2π r 02 dr 0 r
(∞ l )
X X (1) 0 0
∗
× jl (kr< ) hl (kr> ) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 dV 0 k e−iω(t−t ) dω e−iω0 t dt0
l=0 m=−l
Z Z
ip0 0 0
φ (r, t) = − IV k e−iω(t−t ) dω e−iω0 t dt0
2π
∞ X
X l Z
1 dδ (r 0 ) δ (r 0 ) (1)
IV = Ylm (θ, ϕ) − 2 jl (kr< ) hl (kr> ) r 02 dr 0
r 02 dr 0 r 03
l=0 m=−l
Z
cos θ 0 Ylm
∗
θ 0 , ϕ0 dΩ0
recordando que
r
4π
cos θ = Y10 (θ, ϕ)
3
tenemos que estas integrales solo sobreviven para r 0 → 0 de modo que r 0 = r< .
r ∞ l Z
4π X X (1) 1 dδ (r 0 ) δ (r 0 )
IV = Ylm (θ, ϕ) hl (kr) 02 0
− 2 03
jl kr 0 r 02 dr 0
3 r dr r
l=0 m=−l
Z
∗ 0 0
Y10 θ 0 , ϕ0 Ylm θ , ϕ dΩ0
r∞ l Z
4π X X (1) 1 dδ (r 0 ) δ (r 0 )
IV = Ylm (θ, ϕ) hl (kr) 02 0
− 2 03 (δl1 δm0 ) jl kr 0 r 02 dr 0
3 r dr r
l=0 m=−l
r Z
4π (1) dδ (r 0 ) δ (r 0 )
IV = Y10 (θ, ϕ) h1 (kr) 0
− 2 0
j1 kr 0 dr 0
3 dr r
14.3. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE ONDA INHOMOGÉNEA 285
recordando que
Z
d df (x)
f (x) δ (x − x0 ) dx = −
dx dx x=x
0
1 d sin x d sin x
j1 (x) = −x =−
x dx x dx x
1
j1 (x) = (sin x − x cos x)
x2
dj1 (kr 0 ) d 1 0 0 0
= sin kr − kr cos kr
dr 0 dr 0 k 2 r 02
dj1 (kr 0 ) 1
= 2kr 0 cos kr 0 − 2 sin kr 0 + k 2 r 02 sin kr 0
dr 0 2
k r 03
tenemos
(1)
IV = cos θ h1 (kr) ×
1 0 0 0 2 02 0
1 0 0 0
× lı́m − 2 03 2kr cos kr − 2 sin kr + k r sin kr − 2 2 03 sin kr − kr cos kr
r 0 →0 k r k r
(1)
IV = cos θ h1 (kr) ×
− 2kr 0 cos kr 0 − 2 sin kr 0 + k 2 r 02 sin kr 0 − 2 (sin kr 0 − kr 0 cos kr 0 )
× lı́m
r 0 →0 k 2 r 03
(1) −k 2 r 02 sin kr 0
IV = cos θ h1
(kr) lı́m
r 0 →0 k 2 r 03
(1) sin kr 0
IV = − cos θ h1 (kr) lı́m
r 0 →0 r0
(1)
IV = −k cos θ h1 (kr)
reemplazando en el potencial
Z Z h i
ip0 (1) 0 0
φ (r, t) = − −k cos θ h1 (kr) k e−iω(t−t ) dω e−iω0 t dt0
2π
Z Z
ip0 2 (1) −iω(t−t0 ) 0
φ (r, t) = cos θ k h1 (kr) e dω e−iω0 t dt0
2π
Z Z
ip0 2 (1) −iω(t−t0 ) −iω0 t0 0
φ (r, t) = cos θ k h1 (kr) e e dt dω
2π
Z Z
2 (1) −iωt 1 i(ω−ω0 )t0 0
φ (r, t) = ip0 cos θ k h1 (kr) e e dt dω
2π
Z
(1)
φ (r, t) = ip0 cos θ k 2 h1 (kr) e−iωt δ (ω − ω0 ) dω
ix
(1) 1 d e d eix
h1 (x) = −i (−1) x =i =
x dx x dx x
eix ieix eix i
− − 2 = − 1+
x x x x
" i( ω 0 r ) !#
ω02 e c i
φ (r, t) = ip0 cos θ − ω0 1 + ω0 e−iω0 t
c2 c r c r
ω 1 ic
r
e−iω0 (t− c )
0
φ (r, t) = −ip0 cos θ + 2
c r ω0 r
ω0 i r
φ (r, t) = −ip0 cos θ + 2 e−iω0 (t− c )
rc r
el espectro es monocromático con frecuencia ω 0 (l = 1, m = 0). Es interesante analizar algunos casos lı́mite
2. En la aproximación de campo lejano es decir con r >> λ, es decir k 0 r >> 1 se tiene que
ω0 ω0 1
r > >1⇒ >> 2 ⇒
c rc r
ip0 cos θ r
φ (r, t) ≈ − ω0 e−iω0 (t− c )
cr
nótese que aún para el campo de radiación lejano no hay simetrı́a esférica debido al factor cos θ, esto se
debe a que el momento dipolar rompe esta simetrı́a aún cuando el dipolo sea puntual. Efectivamente,
θ está midiendo el ángulo entre el momento dipolar y el vector de observación r.
∂P (r, t)
J (r, t) = = −iωp0 e−iω0 t
∂t
con lo cual se obtiene
1 ∂A (r, t)
E = −∇φ (r, t) − ; B = ∇ × A (r, t)
c ∂t
dichos campos toman la forma
14.4. TRANSFORMADA DE FOURIER DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL 287
2 2iω0
E (r, t) = p0 er − cos θ
r3 cr 2
1 iω0 ω02
+eθ − 2 − 2 sin θ e−iω0 (t−r/c)
r3 cr c r
iω0 p0 1 iω0
B (r, t) = −eϕ − sin θ e−iω0 (t−r/c)
cr r c
de nuevo se puede apreciar que en el lı́mite ω 0 → 0, se obtiene el dipolo puntual eléctrico, y el campo
magnético tiende a cero. También se puede observar que el campo eléctrico tiene componente radial, pero
no B, de modo que el campo de dipolo eléctrico es transverso magnético (TM). Por otro lado en la zona de
radiación (campo lejano) se tiene que E r << Eθ y el campo llega a ser TEM. Finalmente, se puede verificar
que los campos E y B son ortogonales.
y reemplazando ∂E
∂t de la otra ecuación rotacional
c 1 ∂2B c 2
1 ∂2B 2 µε ∂ 2 B
⇒∇× ∇×B + = 0 ⇒ ∇ (∇ · B) − ∇ B + = 0 ⇒ −∇ B + =0
µε c ∂t2 µε c ∂t2 c2 ∂t2
quedando finalmente
1 ∂2B c
∇2 B − =0 ; v≡√
v 2 ∂t2 µε
Con un procedimiento similar se encuentra la ecuación de onda para E, en sı́ntesis
2 µε ∂ 2 E (r, t)
∇ − 2 2
c ∂t B (r, t)
con E0 , B0 constantes complejas, de modo que un posible factor de fase constante se absorbe en este término.
Estas soluciones de tipo sinusoidal son de gran importancia ya que aunque no son las más generales, se sabe
que cualquier solución de la ecuación de onda es una superposición de éstas (análisis de Fourier). Por este
289
290 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
motivo nos concentraremos en las expresiones (15.1) en lo que sigue. Las soluciones (15.1) corresponden a
una única frecuencia ω por lo cual describen ondas monocromáticas. Al introducir estas soluciones en las
ecuaciones de Maxwell se encuentra
1 ∂2 ω2
∇2 − 2 2 E0 exp [ik · r − ωt] = − k 2 − 2 E0 exp [ik · r − ωt] = 0
v ∂t v
por lo tanto ω = kv. El frente de onda para un instante fijo de tiempo, está constituı́do por los puntos con la
misma fase k · r − ωt. Al ser el tiempo fijo, lo que obtenemos es el conjunto de puntos donde k · r = cte, donde
cada valor de la constante equivale a un frente distinto. La ecuación k · r = cte, con k un vector constante,
es la ecuación de un plano perpendicular al vector k 1 . Por tanto, la solución (15.1), representa una onda
plana viajando en la dirección k. Es fácil demostrar de nuestras soluciones complejas (tomando la solución
real Fı́sica) que los puntos de fase constante son también de amplitud constante. Adicionalmente aunque
toda solución de las ecuaciones de Maxwell es solución de la ecuación de onda, lo recı́proco no es cierto.
En particular, las expresiones (15.1) son soluciones de la ecuación de onda, pero para que sean soluciones
de las ecuaciones de Maxwell deben cumplir condiciones adicionales relacionadas con las ecuaciones con
divergencia2 h i
∇ · E0 ei(k·r−ωt) = 0 ⇒ k · E0 ei(k·r−ωt) = 0 ⇒ k · E = 0
similarmente para el campo B
k · E = 0, k · B = 0
lo cual significa que tanto E como B son perpendiculares a la dirección de propagación (onda transversal).
Las ecuaciones rotacionales nos dan información complementaria
1 ∂B 1
∇×E+ = 0 ⇒ εijk ∂j Ek = − ∂t Bi
c ∂t c
calculando las derivadas de Ek , Bi de acuerdo con (15.1), resulta
h i h i
∂j Ek = ∂j E0k ei(k·r−ωt) = E0k ∂j ei(k·r−ωt) = E0k ei(k·r−ωt) ∂j (kn xn − ωt)
h i
∂j Ek = E0k ei(k·r−ωt) kn δjn = E0k ei(k·r−ωt) kj = iEk kj
similarmente h i
∂t Bi = ∂t B0i ei(k·r−ωt) = −iωBi
con lo cual
1 ω
εijk kj Ek = − (−ωBi ) ⇒ (k × E)i = Bi
c c
c
B = k×E
ω
√
por conveniencia, definamos el ı́ndice de refracción n ≡ c/v. Como v = c/ εµ y ω = kv ⇒
√ nω
n= εµ ; k =
c
la expresión anterior queda
ck b
B= k×E=n kb×E (15.2)
ω
1
Aquı́ de nuevo enfatizamos que estamos suponiendo k = cte independiente de la frecuencia. Cuando esto no ocurre, el frente
de onda cambia y ya no serı́a en general un plano.
2
Obsérvese que para obtener la ecuación de onda se usaron las ecuaciones rotacionales y se combinaron en una sola, razón
por la cual una de las ecuaciones rotacionales nos da información no trivial. Por otro lado, se usaron las condiciones ∇ (∇ · B) =
∇ (∇ · E) = 0, las cuales son mas débiles que las condiciones ∇ · B = ∇ · E = 0, por este motivo las ecuaciones de Maxwell con
divergencia aportan información adicional sobre la solución (15.1).
15.1. CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DE UNA ONDA PLANA 291
de lo cual se vé que E y B son perpendiculares entre sı́, y los vectores k, B, y E forman un sistema ortogonal.
Esto nos indica que las ondas electromagnéticas asociadas a campos sin fuentes son de naturaleza transversal.
Nótese que con k real, la ecuación anterior nos garantiza que E y B tienen la misma fase. Si k es complejo,
la fase asociada a k hace que las fases de los dos campos ya no coincidan, y como veremos más adelante
el conjunto de vectores k, B, y E ya no necesariamente forma un sistema ortogonal. Por otro lado, la Ec.
(15.2) también nos da una relación entre las amplitudes de B y E
b
kBk =
n k × E
⇒ B0 = nE0 (15.3)
finalmente, el lector puede verificar que la ecuación de Ampére Maxwell, no provee ninguna restricción
adicional sino solo una prueba de consistencia para la solución.
S b
εF k εF
g= 2
= = 2v
c nc c
no obstante, teniendo en cuenta que la luz tı́picamente tiene una longitud de onda muy corta (∼ 10 −7 m), y
un periodo muy corto (∼ 10−15 seg) con relación a las mediciones macroscópicas, usualmente no nos interesan
las mediciones instantáneas de momento y energı́a, sino los promedios realizados sobre un ciclo completo. De
acuerdo con las expresiones (15.1), una onda plana es una forma particular de variación armónica temporal
de los campos, por lo tanto podemos aplicar los resultados de la sección (13.4). Al evaluar los promedios
temporales hSi, hεF i
c c c h c i
hSi = Re (E × H∗ ) = Re (E × B∗ ) = Re E × k∗ × E ∗
8π 8πµ 8πµ ω
c h c b i 2
c k h i
hSi = Re E × k k × E∗ = b− E·k
Re (E · E∗ ) k b E∗
8πµ ω 8πµω
cn 2b cn 2b
hSi = |E| k = |E0 | k (15.5)
8πµ 8πµ
292 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
el promedio del vector de Poynting apunta en la dirección de propagación que es la dirección del vector de
Poynting instantáneo. Calculemos ahora hε F i
1 1
hεF i = Re (E · D∗ + B · H∗ ) = |E0 |2
16π 8π
de lo cual se obtiene
hSi = vhεF i ; v = c/n
es decir la misma relación que se obtiene para sus valores instantáneos. Al valor promedio hSi se le conoce
como intensidad de la onda. Adicionalmente, si usamos g = S/c 2 donde g es la densidad de momento lineal
de la onda, tenemos
v
hgi = 2 hεF i
c
q −1
2 v2
de acuerdo con la dinámica relativista asociada a una partı́cula E = γmc , p = γmv con γ = 1 − c2 .
De estas relaciones se obtiene que para una partı́cula p = vE/c 2 . Por otro lado, para sistemas contı́nuos
en donde todos los subsistemas viajan a la misma velocidad, el análogo de esta relación es g = vε F /c2 . Al
comparar esta relación con la obtenida para los campos, se vé que hay una analogı́a entre la propagación del
sistema contı́nuo de partı́culas y la propagación de energı́a de una onda electromagnética. Este constituye
un punto de partida para la proposición del fotón (aunque todos nuestros supuestos son clásicos). Hay otro
hecho que resulta consistente con la teoria de Einstein para el efecto fotoeléctrico, Einstein postula cuantos
de onda electromagnética (fotones) con energı́a ~ω, la densidad de energı́a del fotón en el volumen V es
~ω
w=
V
si p es el momento del fotón la densidad de momento será
p S wk ~ω/c k ~k
g= = 2 = = =
V c ck V k V
de modo que p = ~k. Por tanto, si la onda plana está contenida en el volumen V , y requerimos que esta
onda plana represente un cuanto de energı́a con energı́a ~ω, la electrodinámica nos dice que el momento del
cuanto debe ser p = ~k conocido como relación de de Broglie.
Un comentario final, hemos resuelto el problema de propagación de ondas planas en materiales dieléctricos
en ausencia de cargas y corrientes libres. Sin embargo, pueden existir cargas y corrientes de polarización
y magnetización. Desde el punto de vista matemático esto solo repercutió en la modificación de algunas
constantes, sin embargo desde el punto de vista fı́sico microscópico el paso de la onda produce polarización de
cargas ligadas y magnetización de corrientes ligadas, estas se manifiestan en forma de dipolos oscilantes que
crean su propia onda. Lo que se vé macroscópicamente es la superposición de la onda original con la creada
por los dipolos oscilantes en la materia. La superposición es tal que crea una onda de la misma frecuencia
que la original pero con diferente velocidad. Este hecho es responsable del fenómeno de transparencia y es
una consecuencia de la linealidad del medio (Am. J. Phys. 60, 309 (1992)).
X” Y” Z” T”
+ + − 2 = 0
X
|{z} Y
|{z} Z
|{z} v T
|{z}
−e
kx2 −e
ky2 −e
kz2 ω 2 /v 2
−e
e e 2 e2
ω
kx2 + e
ky2 + e
kz2 = ≡k (15.6)
v2
donde la notación e enfatiza en la posibilidad de considerar valores complejos para estas cantidades (en la
sección 14.2.1, se consideraron reales todas estas variables). De nuevo tomamos una solución exponencial
compleja, de la misma forma anterior pero con extensiones complejas para las variables k, ω
e e
E (r, t) = E0 ei(k·r−eωt) ; B (r, t) = B0 ei(k·r−eωt) (15.7)
definimos
e≡e
k kne
b (15.8)
la primera es una relación entre las magnitudes de los vectores reales n R y nI , en tanto que la segunda es
una relación entre sus direcciones (ortogonalidad). La primera relación se asemeja a una relación entre senos
y cosenos hiperbólicos de modo que es natural definir
nR = u1 cosh θ ; nI = u2 sinh θ ; u1 · u2 = 0
donde u1 y u2 son vectores reales y unitarios. El vector unitario complejo se puede escribir como
e
b = u1 cosh θ + iu2 sinh θ
n (15.9)
h i n o
∇ · E = iE0,i exp i e e
b·r−ω
kn e t ∂i e kne
b·r−ω et
n h io n o
∇ · E = i E0,i exp i e e
b·r−ω
kn et ∂i e e
b j xj − ω
kn et
h i h i
∇ · E = iE0,i e
kne
bj δij exp i e e
b·r−ω
kn e t = iE0,i ekne
bi exp i e e
b·r−ω
kn et
h i
∇ · E = ie
k exp i e kne
b·r−ω et e
b · E0
n
E0 = A 1 u1 + A 2 u2 + A 3 u3
tenemos
e cosh θ
b · E0 = 0 = A1 cosh θ + iA2 sinh θ ⇒ A2 = iA1
n
sinh θ
lo cual nos permite reescribir E0 = A1 u1 +A2 u2 +A3 u3 = A1 u1 +iA1 cosh θ
sinh θ u2 +A3 u3 . Redefiniendo constantes
complejas A1 → iA01 sinh θ nos queda
e ≡ ω + iγ ; e
sustituyendo (15.11, 15.8, 15.9) en (15.7) y usando ω k ≡ k + iβ
h i n h io
E0 exp i ke·r−ω e t = A01 (i sinh θ u1 − cosh θ u2 ) + A3 u3 exp i e e
b · r − (ω + iγ) t
kn (15.12)
finalmente, a partir de la relaciones (15.6) se puede establecer una dependencia entre los parámetros de la
onda
(ω + iγ)2 ω 2 − γ 2 + 2iωγ
e
k2 = e 2 /v 2 ⇒ (k + iβ)2 =
ω ⇒ k 2
− β 2
+ 2ikβ =
v2 v2
ω2 − γ 2 ωγ
⇒ k2 − β 2 = ; kβ = 2 (15.14)
v2 v
de la solución (15.13), conocida como ondas planas no homogéneas, podemos extraer las siguientes
conclusiones.
La onda tiene un término oscilatorio (fase imaginaria) y un término de amortiguamiento (fase real)
que puede representar un crecimiento o decrecimiento exponencial en ciertas direcciones, y a través
del tiempo (esto depende de los signos de k, β, γ).
Las ondas se propagan en el plano XY . Para mirar en detalle la dirección de propagación, se puede
reescribir la fase imaginaria en la forma
Se puede ver que las superficies de fase y amplitud constantes siguen siendo planas, pero ya no son
paralelas entre sı́.
15.2. POLARIZACIÓN DE ONDAS PLANAS 295
e
b , lo cual se puede ver comparando
Obsérvese que E0 (y por tanto E) tienen componentes a los largo de n
(15.13) con (15.9). Esto puede ser a priori sorprendente debido a la relación (15.10). Sin embargo,
debemos recordar que el carácter complejo de ne
b y E0 puede hacer que existan componentes de E 0 a
e
b aunque n
lo largo de n e 4
b · E0 = 0 . La existencia de estas componentes significa que hay componente
longitudinal de campo. La onda no es netamente transversal.
con lo cual se obtiene una onda que se propaga en x, y que está amortiguada en esa misma dirección
e
b ). Se puede ver que en este caso la onda sı́ es transversal ya que
(que en este caso es la dirección de n
e
b · E0 = u1 · E0 = 0.
n
Veamos ahora el lı́mite en el que e e
b, ω
k es real i.e. β = 0, pero n e son complejos. Usando (15.14), con
β = 0 (e
k real), resulta que γ = 0 (e
ω también es real), y la onda se reduce a
E = A01 (i sinh θ u1 − cosh θ u2 ) + A3 u3 exp {−ky sinh θ} exp {i [kx cosh θ − ωt]} (15.15)
se observa que la onda se propaga en la dirección x, pero se amortigua en la dirección y. En este caso
hay componente longitudinal, puesto que E 0 tiene componente no nula a lo largo de la dirección de
e
b real), la
propagación u1 . Finalmente, se vé que si en la ecuación anterior tomamos el lı́mite θ = 0 ( n
onda plana se reduce al caso de ondas planas homogéneas como era de esperarse.
E1 , E2 son cantidades complejas y su diferencia de fase nos da diferentes formas de polarización, usando
E1 = E01 eiα , E2 = E02 eiβ , el campo eléctrico se puede reescribir como
E = ua E01 eiα + ub E02 eiβ exp [i (k · r − ωt)]
h i
E = ua E01 + ub E02 ei(β−α) exp [i (k · r − ωt + α)]
h i
E = ua E01 + ub E02 eiδ exp [i (k · r − ωt + α)]
4 e e
b · E0 , no define una proyección de E0 sobre n
De nuevo esto está asociado al hecho de que n b debido a que esta operación no
define un producto interno para vectores complejos.
296 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
con δ ≡ β − α. Veamos algunos casos particulares de esta diferencia de fase, asumiendo que u a = ux = u1 y
que ub = uy = u2 es decir que las ondas linealmente polarizadas tienen polarizaciones perpendiculares entre
sı́.
1. δ = ±nπ ⇒ eiδ = e±nπ = cos nπ ± i sin nπ = (−1)n ; tomando la parte real de las componentes del
campo, nos queda
En el caso de la polarización circular, si tomamos un punto fijo en el espacio, se vé que las componentes
son tales que el campo es constante en módulo, y gira en un cı́rculo con frecuencia angular ω. Para δ = π/2,
el campo eléctrico gira en sentido antihorario cuando el observador mira hacia la onda que incide, se dice
que la onda tiene helicidad positiva, ya que la proyección del momento cinético sobre el eje de propagación
(eje z), es positiva. Para δ = −π/2, el campo eléctrico invierte su sentido de giro y la helicidad es negativa.
Por otro lado, una vez conocido el campo eléctrico, el campo magnético se puede hallar a través de la
c
relación B = nk × E = µH. El promedio temporal del vector de Poynting se escribe hSi = 8π Re (E × H∗ ) =
cn εE 2
2 2 2 2
8πµ E k, donde E = E01 + E02 y hεF i = 8π de donde resulta que hSi = vhε F i.
En la formulación anterior hemos usado ondas planas homogéneas linealmente polarizadas como base
para generar cualquier onda plana homogénea. Sin embargo, las ondas planas homogéneas de polarización
circular sirven igualmente como base para la descripción de un estado cualquiera de polarización, definiendo
los vectores unitarios complejos ortogonales εb± = u1 ± iu2 la onda circularmente polarizada se puede
reescribir como
E = E0 εb± exp [i (kz − ωt)]
para ondas con helicidad positiva (negativa). Los vectores de polarización circular poseen las siguientes
propiedades
εb∗± · εb∓ = 0, εb∗± · εb3 = 0 , εb∗± · εb± = 1
15.3. REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS PLANAS CUANDO SE CAMBIA DE MEDIO DIEL ÉCTRI
Dado el campo eléctrico y la dirección de propagación, el campo magnético queda determinado por la
ecuación (15.2)
h i
BI (z, t) = n1 kbI × EI = n1 uz × E0I ei(kI z−ωt) ux = n1 E0I ei(kI z−ωt) uz × ux
cuando esta onda incide sobre la superficie genera una onda que se refleja y otra que se transmite al otro
medio
Nota: es fácil caer en el error de creer que el valor de E R debe invertir su signo dado que se trata de la
onda reflejada. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la dirección de propagación la dictamina k y no la
dirección del campo eléctrico. En todo caso, puesto que E 0I y E0R son dos números complejos diferentes,
sus diferencias de fase son en principio arbitrarias y podrı́an generar por ejemplo una inversión del campo
cuando se refleja.
Aplicando la relación k = ω/v y teniendo en cuenta que la rapidez de la onda reflejada es la misma que
√
la incidente puesto que está en el mismo medio i.e. v = c/ µ1 ε1 , y que además ω también es la misma, se
concluye que kR = kI de modo que
se puede verificar que efectivamente el vector de Poynting asociado a la onda reflejada va en dirección
contraria al vector de Poynting de la onda incidente. Por otro lado, la onda que se transmite viene dada por
ahora aplicando las condiciones de frontera (15.17) para z = 0, se observa que las condiciones asociadas a
las componentes perpendiculares resultan triviales puesto que los campos no poseen componentes perpen-
diculares a la superficie6 . La condición sobre la componente paralela del campo eléctrico se escribe
k k
E1 − E 2 = 0 ⇒ {[EI (0, t) + ER (0, t)] − ET (0, t)} · ux = 0
⇒ E0I e−iωt +E0R e−iωt − E0T e−iωt = 0
resultando
E0I + E0R = E0T (15.18)
la condición sobre la componente paralela al campo magnético es
1 1
{[BI (0, t) + BR (0, t)]} · uy = BT (0, t) · uy
µ1 µ2
n1 n2
{[EI (0, t) − ER (0, t)]} · uy = ET (0, t) · uy
µ1 µ2
n1 n2
[E0I − E0R ] = E0T
µ1 µ2
que mas sintéticamente se escribe
µ1 n2 µ1 v1
[E0I − E0R ] = βE0T ; β ≡ = (15.19)
µ2 n1 µ2 v2
las Ecs. (15.18, 15.19), nos permiten escribir las amplitudes reflejada y transmitida en términos de la incidente
1−β 2
E0R = E0I ; E0T = E0I (15.20)
1+β 1+β
6
Estrictamente, hemos supuesto desde el principio que las ondas reflejada y transmitida no cambian de dirección respecto a
la onda incidente, lo cual es razonable por simetrı́a. No obstante, si asumimos que dichas ondas se propagan en una dirección
diferente, formando ángulos θ, φ con el eje Z, las condiciones sobre las componentes perpendiculares ya no serı́an triviales y nos
llevan a que θ = φ = 0, siempre y cuando haya un solo haz reflejado y un solo haz transmitido.
15.3. REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS PLANAS CUANDO SE CAMBIA DE MEDIO DIEL ÉCTRI
si β < 1, el factor 1−β
1+β es positivo con lo cual E0R y E0I están en fase y solo difieren en su magnitud. Si
por el contrario β > 1 se tiene que
1 − β 1 − β iπ
E0R = − E0I ⇒ E0R =
1 + β e E0I
1 + β
1 − β
E0R e iδR
= E0I ei(δI +π)
1 + β
luego δR = δI + π de modo que la onda reflejada estarı́a en antifase con la incidente. Finalmente, el vector
de onda kT se relaciona con kI teniendo en cuenta que los dos están asociados a la misma frecuencia
ω ω v1 v1
kT = = = kI ⇒
v2 v1 v2 v2
v1 n2
kT = kI = kI
v2 n1
Un punto interesante consiste en averiguar como se reparte la intensidad incidente entre las ondas
reflejada y transmitida. Para ello usaremos la medida de intensidad tomada como promedio temporal del
vector de Poynting, usando la expresión (15.5) calculamos el promedio temporal del vector de Poynting para
cada onda
2
cn1 E0I
cn1
hSI i = |E0I |2 uz = uz
8πµ1 8πµ1
cn1 2
2
cn1 E0R 1 − β 2 cn1 2
hSR i = − |E0R | uz = − uz = − E uz
8πµ1 8πµ1 1+β 8πµ1 0I
2 2 2
cn2 2 cn2 E0T 2 cn2 E0I
hST i = |E0T | uz = uz = uz
8πµ2 8πµ2 1+β 8πµ2
definimos el coeficiente de reflexión como el cociente entre la intensidad de la onda reflejada sobre la inten-
sidad de la onda incidente. Análogamente se define el coeficiente de transmisión
IR |hSR i| 1−β 2
R ≡ = =
II |hSI i| 1+β
2 2
IT µ1 n2 2 2
T ≡ = =β
II n1 µ2 1 + β 1+β
naturalmente se cumple que R+T = 1, que equivale a la conservación de la energı́a. El balance de intensidad
promedio se puede escribir como
lo cual nos dice que la energı́a incidente es igual a la suma de la energı́a reflejada mas la transmitida. De las
Ecs. (15.20), se vé que si β ≈ 1, la onda reflejada es casi nula en tanto que la transmitida queda prácticamente
como la incidente, lo cual es de esperarse ya que al ser los dos medios casi idénticos, el fenómeno se asemeja
a la propagación en un solo medio dieléctrico. Si por otro lado, β >> 1, la onda transmitida está muy
atenuada en tanto que la reflejada tiene prácticamente las mismas caracterı́sticas que la incidente, salvo su
dirección de propagación. Adicionalemente la onda reflejada estarı́a en antifase con la incidente, formando
una interferencia casi perfectamente destructiva en el campo eléctrico (y casi perfectamente constructiva en
el campo magnético) generando una onda cuasiestacionaria ?* (chequear).
Por otra parte, dado que para la mayor parte de materiales se tiene que µ 1 ≈ µ2 ≈ µ0 , la condición
β < 1 (> 1) se traduce en n2 < (>) n1 . Los coeficientes de reflexión y transmisión quedan
n1 − n 2 2 4n1 n2
R= ; T =
n1 + n 2 (n1 + n2 )2
300 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
Por ejemplo, cuando la luz pasa del aire (n 1 = 1) al vidrio (n2 = 1,5), R = 0,04 y T = 0,96 es decir casi
toda la luz se transmite como era de esperarse.
?* Si comparamos el problema anterior con el de la transmisión de una onda sobre dos cuerdas en donde
el nudo tiene masa despreciable y donde µ 01 , µ02 denota sus densidades lineales, se tiene (bajo el supuesto de
que µ1 ≈ µ2 ≈ µ0 ) que las relaciones entre las amplitudes incidente reflejada y transmitida son idénticas
cuando estos coeficientes se escriben en términos de la velocidad, la condición n 1 ≈ n2 equivale a la condición
µ01 ≈ µ02 y n2 >> n1 equivale a µ02 >> µ01 ambos equivalentes son razonables ya que el primero implica
que se pasa a un medio casi idéntico al inicial por lo cual se espera un reflejo débil y una transmisión casi
perfecta. Por otro lado la condición mecánica µ 02 >> µ01 equivale a tener una cuerda de masa enorme al otro
lado con lo cual se espera que la transmisión sea casi nula. ¿que pasa con el caso β << 1?.
en el caso en el cual no hay cargas ni corrientes libres superficiales en la interfase entre dos medios dieléctricos,
las condiciones de frontera tienen la siguiente forma genérica
donde los factores AI , AR , AT no dependen de la posición ni el tiempo, estas condiciones se tienen que
cumplir en las vecindades de z = 0 para todo x, y, t. En particular, cuando lo aplicamos para todo tiempo
se llega a que
ω1 = ω 2 = ω 3 ≡ ω (15.22)
que es la condición ya mencionada de que las frecuencias de las ondas incidente reflejada y transmitida son
todas iguales. Esto a su vez nos lleva a una relación entre los tres números de onda de la forma
v2 n1
kI v1 = k R v1 = k T v2 = ω ⇒ k I = k R = kT = kT (15.23)
v1 n2
Que coincide con las relaciones ya encontradas para el caso de incidencia frontal. De otro lado, los
términos espaciales de la exponencial deben cumplir
y recordando que por convención kI yace sobre el plano XZ se tiene que las componentes en Y son nulas,
por tanto todos los vectores de onda yacen en el plano XZ a este plano también pertenece el vector normal
a la superficie (en la dirección ±uz ) y se obtiene la
15.3. REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS PLANAS CUANDO SE CAMBIA DE MEDIO DIEL ÉCTRI
Primera ley: Los vectores de onda de las ondas incidente, reflejada y transmitida ası́ como el vector
normal a la superficie, están todos contenidos en un mismo plano (el plano de incidencia).
Adicionalmente, a partir de la primera ley y de la igualdad en las componentes X de los vectores de
onda se concluye que
kI sin θI = kR sin θR = kT sin θT (15.26)
donde hemos definido a θI , θR , θT con respecto a la normal n. El ángulo de transmisión θ T es más conocido
como ángulo de refracción. Vale la pena enfatizar que las relaciones (15.26) dependen del hecho de que todos
los vectores de onda y la normal estén en el mismo plano, es decir dependen de la primera ley. A partir de
(15.26) y de las relaciones (15.23) se obtienen dos leyes adicionales. Con k I = kR se obtiene que θI = θR ; y
con kI = nn12 kT se obtiene que n1 sin θI = n2 sin θT
Segunda ley: El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión
Tercera ley (ley de Snell o de refracción):
sin θT n1
= (15.27)
sin θI n2
es notable el hecho de que la extracción de las tres leyes fundamentales de la óptica geométrica solo dependen
de la forma genérica de las condiciones de frontera y no de dichas condiciones en forma especı́fica. También
de esta forma genérica se extrae el hecho de que las tres ondas deben tener la misma frecuencia.
Sin embargo, la extracción del valor de las amplitudes reflejada y transmitida ası́ como el cálculo de los
coeficientes IR , IT dependen de la forma especı́fica de las condiciones de frontera. Dado que una onda plana
homogénea con polarización arbitraria se puede escribir como una superposición de dos ondas polarizadas
linealmente, analizaremos dos casos de polarización lineal:
a) Onda incidente con vector de polarización perpendicular al plano de incidencia.
b) Onda incidente con vector de polarización paralelo al plano de incidencia.
Después de estudiar los dos casos separadamente se hace una combinación lineal de las dos polarizaciones
para obtener cualquier onda plana homogénea. Manteniendo la condición de que el plano de incidencia es
el plano XZ, asumiendo que no hay cargas ni corrientes superficiales libres en z = 0 y teniendo en cuenta
que las exponenciales se cancelan en las condiciones de frontera debido a (15.22, 15.24), las condiciones de
frontera (15.17) en componentes se simplifican a
Al ser la polarización perpendicular a XZ, el campo eléctrico incidente se puede escribir como
las Ecs. (15.22, 15.24), nos dicen que las fases de todas las ondas son iguales y por tanto se factorizan de
las condiciones de frontera, de modo que toda información adicional estará contenida en las amplitudes,
podrı́amos decir que las tres leyes fundamentales de la óptica geométrica ya extrajeron toda la información
contenida en la exponenciales. Asumiendo que los campos eléctricos reflejado y transmitido son también
perpendiculares a XZ y recordando que solo necesitamos los coeficientes de los campos (sin el exponencial)
se obtienen los siguientes valores de los coeficientes para los campos eléctricos y magnéticos (ver apéndice
302 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
D.1)
y los ángulos θI , θR , θT son todos positivos y medidos respecto a la normal a la superficie. Las condiciones
de frontera aplicadas a estos coeficientes nos da
una de las condiciones resulta trivial porque los campos no tienen componente Z 7 y la otra reproduce la
primera condición arriba escrita (ver apéndice D.1).
Asumiendo µ1 ∼ = µ2 ∼
= µ0 , estas condiciones conducen a
cos θI − (n2 /n1 ) cos θT
E0R = E0I
cos θI + (n2 /n1 ) cos θT
2 cos θI
E0T = E0I
cos θI + (n2 /n1 ) cos θI
conocidas como ecuaciones de Fresnel para polarización perpendicular al plano de incidencia. Nótese que la
reflejada puede estar en fase o antifase con la incidente, en tanto que la transmitida siempre está en fase
con esta última.
y la segunda queda
r 2
n1
1− sin2 θI
cos θT n2
E0I + E0R = αE0T ; α≡ =
cos θI cos θI
las ecuaciones de Fresnel para las amplitudes quedan
α−β 2
E0R = E0I ; E0T = E0I
α+β α+β
de aquı́ se puede ver que la onda trasmitida siempre está en fase con la incidente, en tanto que la reflejada
esta en fase (antifase) si α > (<) β.
Se puede ver que con incidencia normal θ I = 0, se reduce todo correctamente. Cuando la incidencia es
paralela a la superficie i.e. θI = π/2, α diverge y la onda es totalmente reflejada. Adicionalmente hay un
ángulo intermedio en el cual la onda reflejada se extingue completamente, (ángulo de Brewster θ B ), que
ocurre cuando α = β i.e.
1 − β2
sin2 θB =
(n1 /n2 )2 − β 2
las intensidades incidente, reflejada y transmitida vienen dadas por la magnitud del valor promedio del
vector de Poynting
1 2 1 2
II = ε1 v1 E0I cos θI ; IR = ε1 v1 E0R cos θR
2 2
1 2
IT = ε2 v2 E0T cos θT
2
en este caso se ha tenido en cuenta que el área subtendida por la superficie es oblı́cua es decir subtiende un
ángulo con respecto al frente de onda, de lo cual surgen los cosenos
2 2
α−β 2
R= ; T = αβ ; R+T =1
α+β α+β
R + T expresa la conservación de la energı́a ya que la energı́a por unidad de tiempo que incide sobre una
porción de área debe ser igual a la energı́a por unidad de tiempo que sale de esta porción (repartida entre la
onda reflejada y transmitida), asumiendo que no hay absorción en la superficie. Nótese que para polarización
perpendicular no existe ángulo de Brewster, y el único caso en que no hay onda reflejada es el caso trivial
en el que β = 1, de modo que los dos medios son ópticamente indistinguibles.
—————–
Usando µ1 = µ2 las ecuaciones de Fresnel para polarización paralela se pueden escribir como
tan (θI − θT ) 2 cos θI sin θT
E0R = E0I ; E0T = E0I
tan (θI + θT ) sin (θI + θT ) cos (θI − θT )
se pueden ver los lı́mites de anulación del rayo reflejado, el trivial (θ I = θT donde n1 = n2 ) y el de Brewster
θI + θT = π/2 vemos que si existiera el vector de onda k R serı́a perpendicular al trasmitido. En el caso de
polarización paralela el rayo reflejado se anula de modo que k R no existe.
Polarización arbitraria
Las ecuaciones de Fresnel para polarización paralela y perpendicular se pueden combinar en una sola
expresión escogiendo un par de vectores unitarios que por comodidad escogeremos ası́: u 1 (antiparalelo a Y )
304 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
calculando kT · r
esta expresión nos indica que la onda trasmitida (o refractada) se propaga sin amortiguamiento en la dirección
−ux y se propaga con amortiguamiento en la dirección u z . Finalmente, hay una forma muy conveniente de
reescribir la fase oscilante de esta onda
ωt
kT xw + ωt = kT w x + = kT w (x + vt)
kT w
Jf = σE
en este caso las ecuaciones de Maxwell para medios lineales isótropos y homogéneos asumen la siguiente
forma
ρf ∂B
∇·E = ; ∇×E=− (15.29)
ε ∂t
∂E
∇·B = 0 ; ∇ × B = µJf + µε (15.30)
∂t
Es fácil demostrar que estas ecuaciones de Maxwell conducen a las siguiente ecuaciones de onda inhomogéneas
para los campos E, B
εµ ∂ 2 E 4πµ ∂Jf
∇2 E − = 4π∇ρf +
c2 ∂t2 c2 ∂t
εµ ∂ 2 B 4π
∇2 B − 2 = − (∇ × Jf ) (15.31)
c ∂t2 c
Por otro lado la ecuación de continuidad para las cargas y corrientes libres nos da
∂ρf
∇ · Jf = −
∂t
306 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
lo cual significa que cualquier carga libre que esté inicialmente presente, se disipará con un tiempo carac-
terı́stico dado por τ = ε/σ. Este hecho implica que aún en presencia de campos dependientes del tiempo,
la carga libre en el interior del conductor tiende a emigrar a la superficie de éste. Para un conductor ideal
σ → ∞, y τ → 08 . Una forma mas realista de hablar de un buen conductor es comparando τ con cualquier
otro tiempo caracterı́stico del sistema (por ejemplo con 1/ω donde ω es una frecuencia de oscilación car-
acterı́stica del sistema). Teniendo en cuenta que los tiempos de disipación de carga libre son muy cortos
(∼ 10−14 s) esta fase transitoria es usualmente despreciable y no la consideraremos en lo que sigue de modo
que la ley de Gauss en (15.29) resulta en una ecuación homogénea. Usando la ley de Ohm se tiene que
σ ∂B ∂Jf ∂E
∇ × Jf = σ∇ × E = − ; =σ
c ∂t ∂t ∂t
con ρf = 0, y los resultados anteriores, las ecuaciones de onda (15.31) resultan
εµ ∂ 2 E
4πµσ ∂E
∇2 E − =
c2 ∂t2c2 ∂t
εµ ∂ 2 B
4πµσ ∂B
∇2 B − 2 =
c ∂t2 c2 ∂t
2 εµ ∂ 2 4πµσ ∂ E (r, t)
∇ − 2 2− 2 =0 (15.32)
c ∂t c ∂t B (r, t)
el término extra en esta “ecuación de onda modificada” actúa como un amortiguamiento (similar al amor-
tiguamiento en fluı́dos que es usualmente proporcional a la primera derivada de la posición). Es natural
preguntarse si la solución de onda plana es todavı́a una solución a esta ecuación diferencial y en caso afirm-
tivo, cuáles son las diferencias con respecto a la solución no amortiguada. Si introducimos una solución tipo
onda plana de la forma
h i h i
E (r, t) = E0 exp i ke · r − ωt ; B (r, t) = B0 exp i k e · r − ωt
e=k
donde hemos parametrizado al vector k be b es un vector unitario real y e
k donde k k es complejo9 . Ahora
parametrizamos
e
k ≡ α + iβ (15.34)
8
Por supuesto, cualquier modelo realista impone lı́mites a este tiempo por efectos relativistas. Por otro lado para tiempos
caracterı́sticos menores que el tiempo promedio entre colisiones τc , el tiempo tı́pico de disipación de carga libre está dado por
τC y no por τ . En realidad esto ocurre para la mayorı́a de buenos conductores.
9
Nótese que esta no es la forma más general de parametrizar un vector complejo, ya que con esta parametrización se
está asumiendo que todas las componentes complejas del vector poseen la misma fase. No obstante, tal parametrización nos
brinda una solución consistente para la Ec. (15.33)
15.4. ABSORCIÓN Y DISPERSIÓN 307
b · r y escribimos
finalmente definimos ξ ≡ k
la parte compleja de k nos da el factor de amortiguamiento. De una forma similar al caso con vector de
onda real, es posible encontrar una relación entre E y B. Reemplazando la forma de la onda plana en la ley
de Faraday se obtiene
ce
k
B= b k×E
ω
con lo cual tenemos una extensión natural compleja para el ı́ndice de refracción
ce
k
eb
B=nk×E ; n
e≡
ω
debido al factor complejo en n
e, los campos E y B están en general en desfase. Para calcular la diferencia de
fase entre ambos basta con extraer la fase del vector de onda complejo
e iφ p 2 β
k = e k e = α + β 2 eiφ ; tan φ =
α
2 tan φ 2β 2αβ 4πσ
tan 2φ = 2 = = 2 2
=
1 − tan φ 2
α 1 − αβ 2 α −β ωε
1 4πσ
⇒ φ = arctan
2 ωε
y
p √ " 2 #1/4
e ω µε 4πσ
k = α 2 + β 2 = 1+
c ωε
con lo cual la expresión para B en función de E resulta
" #1/4
√ 4πσ 2
B = µε 1 + eiφ bk×E
ωε
el campo magnético está “atrasado” en una fase φ con respecto al campo eléctrico. Recurriendo a las
ecuaciones de Maxwell con divergencia se llega de nuevo a que los campos son transversales, la relación
anterior nos muestra que también son perpendiculares entre sı́ ya que k b es un vector real. La ecuación de
Ampere Maxwell no da información adicional.
Volviendo a la expresión original para e k 2 Ec.(15.33) vemos que la parte real proviene de la corriente
de desplazamiento en tanto que la parte imaginaria proviene de la corriente de conducción. Como la parte
imaginaria es la que nos da la desviación con respecto al caso con vector de onda real, usaremos como
parámetro de desviación el cociente entre ellos es decir 4πσ/ (ωε), con lo cual se distinguen dos casos
1) 4πσ/ (ωε) << 1, lo cual corresponde a malos conductores o buenos conductores a muy altas frecuen-
cias, expandiendo α y β de (15.35), en términos de este cociente, se obtiene
" # r
ω√ 1 2πσ 2 2πσ µ
α≈ µε 1 + ; β≈
c 2 ωε c ε
308 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
asumiendo que σ, ε, µ son independientes de ω de modo que no se presenta dispersión, se tiene que el
amortiguamiento β también es independiente de ω.
En el caso de malos conductores β ∼ 0, la atenuación es pequeña como era de esperarse ya que nos
acercamos alcaso de vector de onda real. También son válidas para malos conductores las siguientes aprox-
imaciones ω√
e √
k ' µε ; φ ' 0 ; |B| ' µε |E|
c
de modo que los campos están aproximadamente en fase como era de esperarse.
Por otro lado, podemos calcular la velocidad de fase
c
αξ − ωt = α (ξ − ωt/α) = α (ξ − vt) ; v = ω/α = √ h i
2πσ 2
µε 1 + 12 ωε
Lo anterior nos indica que la densidad de energı́a es mayormente magnética, en el caso lı́mite ω → 0, la energı́a
se vuelve puramente magnética lo cual nos dice que un campo electrostático es totalmente apantallado en
el interior de un conductor como era de esperarse.
Es interesante calcular de nuevo la velocidad de fase y la velocidad de grupo
r r
ω c ωε
v (ω) ' c =√ <c
2πµσ µε 4πσ
r
dω c 2ωε
vg (ω) = =√ << c
dα µε πσ
vemos que para el caso de medios disipativos las velocidaes de fase y de grupo son función e la frecuencia.
En el factor de amortiguamiento e−iβξ se puede definir β ≡ 1/δ donde δ tiene unidades de longitud. En
realidad δ define el parámetro de penetración o piel del conductor, que para una frecuencia dada nos da la
longitud que recorre la onda para decrecer en un fator 1/e con respecto a su valor en la superficie.
En un buen conductor la corriente de conducción domina sobre la corriente de desplazamiento, con lo
cual la ecuación de onda se puede aproximar de la siguiente forma
4πσµ ∂E
∇2 E − =0
c2 ∂t
y usando Jf = σE
4πσµ ∂Jf
∇2 Jf − =0
c2 ∂t
ambas ecuaciones tienen la forma de una ecuación de difusión, de modo que es de esperarse que sus soluciones
decaigan con la distancia, como ya se ha visto en la solución general.
10
En la mayorı́a de los metales σ/ε ≈ 108 tal que la condición se cumple para frecuencias debajo de 1017 s−1 , es decir de la
región de rayos X hacia abajo.
15.4. ABSORCIÓN Y DISPERSIÓN 309
Es útil escribir e
kT en términos de la longitud de penetración Ec. (15.34)
e i
kT = α + (15.37)
δ
e las relaciones de Fresnel para el caso µ 1 = µ2 = 1 quedan
y teniendo en cuenta la definición de β,
(1 + i) (λ/δ) − n1 2n1
E0R = E0I ; E0T = E0I
(1 + i) (λ/δ) + n1 (1 + i) (λ/δ) + n1
siendo λ la longitud de onda y δ la longitud de penetración. Los coeficientes de reflexión y transmisión se
escriben
[1 − (δ/λ) n1 ]2 + 1
R= ; T = 1−R (15.38)
[1 + (δ/λ) n1 ]2 + 1
310 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
para un conductor perfecto σ = ∞, y por tanto tomando βe = ∞, en (15.36) o δ = 0 en (15.38) se vé que
para conductores perfectos el coeficiente de reflexión es igual a la unidad. Las superficies conductoras son
buenas reflectoras. Mas fenomenológicamente se requiere que (δ/λ) n 1 << 1 para una buena reflexión.
Como las relaciones entre amplitudes son ahora coeficientes complejos, hay diferencias de fase entre
las ondas reflejada y transmitida con respecto a la incidente. En particular, para conductores perfectos se
encuentra que toda la onda incidente se refleja con un desfase de π respecto a la onda incidente,
de modo
e
que los buenos conductores hacen buenos espejos, lo cual se puede visualizar tomando β → ∞ en (15.36).
De lo anterior se vé que para buenos conductores se puede hacer la aproximación E 0I ≈ E0R , de modo
que el campo total en el medio 1 viene dado por
h i
E = EI + ER ≈ E0I e−iωt eikI z − e−ikI z ux
2δ n1
E0T ≈ E0I ⇒ ET = ux E0T e−z/δ ei[(z/δ)−ωt]
(1 + i) λ
una onda electromagnética el electrón es sometido a una “fuerza aplicada” de la forma qE. La fuerza total
sobre el electrón será entonces modelada de la siguiente forma:
d2 x dx
m 2
+ mγ + mω02 x = qE0 cos ωt (15.39)
dt dt
donde ω0 serı́a la frecuencia natural del sistema y ω la frecuencia aplicada (frecuencia de la onda que incide).
La fase estacionaria de la solución se obtiene fácilmente a través de la extensión compleja de esta ecuación
d2 x
e de
x q
2
+γ + ω02 x
e = E0 e−iωt
dt dt m
y recordando que en esta clase de problemas el sistema termina vibrando con la frecuencia aplicada, postu-
lamos
x e0 e−iωt
e (t) = x
que al insertarlo en la Ec. (15.39) nos da
q/m
x
e0 = E0
ω02 − ω 2 − iγω
q 2 /m
pe (t) = qe
x (t) = E0 e−iωt
ω02 − ω 2 − iγω
la parte imaginaria en el denominador nos dice que p tiene un retraso de fase con respecto a E, el lector
puede demostrar que esta diferencia de fase viene dada por
γω
arctan 2
ω0 − ω 2
esta diferencia de fase es muy pequeña para ω << ω 0 y tiende a π cuando ω >> ω0 .
En general los electrones en una molécula pueden experimentar diferentes frecuencias naturales y amor-
tiguamientos12 . si fj es el número de electrones con frecuencia y amortiguamiento ω j , γj en cada molécula
y adicionalmente N es la densidad de moléculas, el vector de polarización P viene dado por la parte real de
2 X
e = Nq
P
fj Ee
m ω 2 − ω 2 − iγ ω
j j j
por otro lado, hemos definido previamente la susceptibilidad eléctrica de la forma P = ε 0 χe E. Debido a
e yE
las diferencias de fase las partes reales de P e no definen una relación de proporcionalidad, es decir el
medio no es estrictamente lineal, pero dado que esta proporcionalidad sı́ se cumple para la parte compleja,
es natural definir la susceptibilidad compleja como
e = ε0 χ
P e
ee E
12
Es natural pensar que si el amortiguamiento se debe a la pérdida por radiación debida a la vibración del electrón, entonces
el amortiguamiento debe ser función de la frecuencia natural, en este modelo simplificado ignoramos tal efecto.
312 CAPÍTULO 15. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS
la parte imaginaria es usualmente despreciable salvo en las regiones en las cuales ω se acerca a una de las
frecuencias de resonancia.
En un medio dispersivo la ecuación de onda tiene una solución tipo onda plana de la forma
e 0 ei(ekz−ωt)
e =E
E
la onda es atenuada, esto se puede ver de el hecho de que un oscilador amortiguado forzado debe absorber la
misma energı́a que pierde a fin de mantener oscilaciones estacionarias. De otra parte, dado que la intensidad
depende de E 2 y por tanto de e−2κ la cantidad
α ≡ 2κ
se define como el coeficiente de absorción. La fase oscilatoria define la velocidad de la onda y el ı́ndice de
refracción
ω ck
v= ; n=
k ω
√
para gases el segundo término en (15.40) es pequeño y se puede expandir 1 + ε ' 1 + 12 ε y se obtiene
ω p ω N q 2 X f
e j
k = εer ' 1 + 2 − ω 2 − iγ ω
c c 2mε0 ω j j
j
f ω 2 − ω2
ck Nq X
2 j j
n = '1+ 2
ω 2mε0 2
j ωj − ω 2 + γj2 ω 2
N q2 ω2 fj γj
α = 2κ ' 2
mε0 c
ωj2 − ω 2 + γj2 ω 2
Capı́tulo 16
Radiación
cuando trabajamos el caso no estático, debe tenerse en cuenta que la señal electromagnética viaja a la
velocidad de la luz. Por lo tanto, si queremos evaluar los potenciales en un tiempo t en una cierta posición r,
no es el estado de la fuente en el tiempo t el que realmente cuenta, sino su condición en un cierto tiempo
anterior tr (llamado el tiempo retardado), en el cual el “mensaje” fué enviado. Como el mensaje viaja
una distancia R a una velocidad c, el retardo es R/c con lo cual
R
tr = t −
c
de modo que una generalización inmediata de (16.3) en el caso de fuentes no estáticas serı́a
Z Z
1 ρ (r0 , tr ) 0 µ0 J (r0 , tr ) 0
φ (r, t) = dV ; A (r, t) = dV (16.4)
4πε0 R 4π R
donde ρ (r0 , tr ) corresponde a la densidad de carga que hay en el punto r 0 cuando se mide en el tiempo tr .
Estos potenciales se conocen como potenciales retardados, en virtud de que se evalúan en el tiempo de
retardo. Hay que tener en cuenta que para fuentes extensas, este tiempo de retardo a su vez es función de
la posición ya que no todos los puntos en la fuente están a la misma distancia del punto en que se desea
313
314 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
evaluar el potencial. Estos potenciales se reducen de forma natural a los que se obtienen en el caso estático
en cuyo caso las cargas y corrientes son independientes del tiempo.
Sin embargo, por el momento estos potenciales retardados son solo un ansatz razonable para tener en
cuenta la finitud con que se propaga la señal, pero no hemos demostrado que estos potenciales sean solución
de las ecuaciones fundamentales del potencial. A continuación demostraremos que los potenciales definidos
por las Ecs. (16.4) satisfacen las ecuaciones de onda inhomogéneas (16.1, 16.2) ası́ como la condición (12.10)
que define al gauge de Lorentz1 . Es necesario entonces tener en cuenta que las soluciones retardadas
dadas por (16.4) solo serán válidas en el gauge de Lorentz. Vale la pena decir de paso que un ansatz
similar para los campos eléctrico y magnético nos llevan a un respuesta equivocada, de modo que
Z Z b
1 ρ (r0 , tr ) b µ0 J (r0 , tr ) × R
E (r, t) 6= R dV 0 ; B (r, t) 6= dV 0
4πε0 R2 4π R 2
lo cual se esperarı́a haciendo una extensión de las leyes de Coulomb y Biot Savart. Mas adelante veremos
cuales son los valores correctos de estos campos. De momento, demostremos que los potenciales (16.4)
satisfacen las ecuaciones de onda inhomogéneas (16.1, 16.2).
Comencemos con el potencial escalar. En primera instancia, calculamos el Laplaciano teniendo en cuenta
que el integrando del potencial retardado depende de r en dos formas: explı́citamente a través de el factor
R ≡ |r − r0 | e implı́citamente a través del tiempo retardado t r = t − R/c, el gradiente queda entonces
Z
1 1 1
∇φ (r, t) = (∇ρ) + ρ∇ dV 0
4πε0 R R
y
∂ρ ∂tr
∂i ρ =
∂tr ∂xi
ρ̇
∇ρ r0 , tr = ρ̇∇tr = − ∇R (16.5)
c
ρ̇ denota diferenciación con respecto al tiempo, nótese que ∂ t = ∂tr ya que tr = t−R/c, y R es independiente
del tiempo puesto que r y r0 se refieren a posiciones fijas (lugares geométricos). Usaremos también las
identidades
1 b
R
b
∇R = R ; ∇ =− 2 (16.6)
R R
con lo cual el gradiente queda
Z " b b
#
1 ρ̇ R R
∇φ (r, t) = − − ρ 2 dV 0 (16.7)
4πε0 cR R
con las identidades (16.5, 16.6, 16.8), el Laplaciano del potencial queda
Z (" b ·R
b
# "
b
#)
1 1 ρ̇ ρ̈ R 1 R
∇2 φ (r, t) = − − + 4πρδ 3 (R) − ρ̇ 2 · ∇R dV 0
4πε0 c R 2 c2 R c R
Z
2 1 ρ̇ ρ̈ 3 ρ̇ b b
∇ φ (r, t) = − − + 4πρδ (R) − R · R dV 0
4πε0 cR2 c2 R cR2
Z Z
2 1 ρ̈ 3 0
0 1 1 ∂ 2 ρ (r0 , tr ) 0 ρ (r)
∇ φ (r, t) = − 4πρδ r − r dV = dV −
4πε0 c2 R 4πε0 c2 R ∂t2 ε0
quedando finalmente
1 ∂ 2 φ (r, t) ρ (r)
∇2 φ (r, t) = 2 −
c ∂t2 ε0
2
1 ∂ ρ (r)
∇2 − 2 2 φ (r, t) = −
c ∂t ε0
de modo que el potencial retardado escalar definido en (16.4) es solución de la Ec. de onda (16.1). Ahora
debemos demostrar que cumple la condición gauge (12.10) para ello se usa primero la identidad
J 1 1 0 0 J (r0 , tr )
∇· = (∇ · J) + ∇ ·J −∇ ·
R R R R
1 1
∇ · J = − J̇ · (∇R) ; ∇0 · J = −ρ̇ − J̇· ∇0 R
c c
y usando estas identidades para calcular la divergencia de A se llega a la condición que fija el gauge de
Lorentz Ec. (12.10).
Es notable el hecho de que si cambiamos el tiempo retardado por el tiempo avanzado t a ≡ t + R/c
en las Ecs. 16.4 obtenemos los potenciales avanzados que también son solución a las ecuaciones de onda
inhomogéneas (16.1, 16.2) y son enteramente consistentes con las ecuaciones de Maxwell, no obstante estas
soluciones avanzadas violan el principio de causalidad, puesto que indican que fuentes ubicadas en el
futuro pueden afectar en el pasado. El hecho de que los potenciales avanzados también sean solución se
puede ver teniendo en cuenta que la ecuación de onda es invariante ante inversión temporal y por tanto no
distingue pasado de futuro. Esta distinción se introduce cuando asumimos que los potenciales retardados
son los que describen los fenómenos en lugar de los avanzados. Aunque los potenciales avanzados son de
cierto interés (soluciones taquiónicas?*) en fı́sica teórica, no tienen una interpretación fı́sica directa.
esta es la generalización del campo de Coulomb para campos dependientes del tiempo, en el caso estático
los dos últimos términos desaparecen y en el primero la dependencia temporal desaparece de la densidad de
carga.
Ahora calculamos el campo magnético a través del rotacional de A
Z
µ0 1 1
∇×A= (∇ × J) − J × ∇ dV 0
4π R R
pero
∂Jk ∂tr ∂tr 1 ∂R
(∇ × J)i = εijk ∂j Jk ; ∂ j Jk = = J˙k = − J˙k ⇒
∂tr ∂xj ∂xj c ∂xj
1 1 1h i
(∇ × J)i = − εijk J˙k ∂j R = εikj J˙k ∂j R = J̇ × ∇R
c c c i
b
y recordando que ∇R = R
1 b
∇ × J = J̇ × R
c
b 2 el campo magnético queda
usando esta expresión junto con ∇ (1/R) = − R/R
Z " #
µ0 J (r0 , tr ) J̇ (r0 , tr ) b dV 0
B (r, t) = + ×R (16.10)
4π R2 cR
esta es la generalización de la ley de Biot-Savart para el caso dependiente del tiempo, y se reduce a ésta
cuando nos reducimos al caso estacionario con J independiente del tiempo. Estas expresiones se conocen como
ecuaciones de Jefimenko, y nos proveen las soluciones de las ecuaciones de Maxwell cuando conocemos en
forma explı́cita las fuentes. En general estas ecuaciones son de utilidad muy limitada en los cálculos prácticos,
ya que suele ser más sencillo evaluar los potenciales retardados y diferenciarlos para obtener los campos. Sin
embargo, son un instrumento interesante para observar la consistencia de la teorı́a. En particular, obsérvese
que aunque los potenciales se obtuvieron a partir del caso estacionario tan solo reemplazando el tiempo
por el tiempo retardado, los campos no se obtienen con este simple reemplazo ya que aparecen términos
adicionales que involucran a ρ̇ y a J̇.
Por otro lado, estas ecuaciones nos sirven para examinar el rango de validez de la aproximación cuasi-
estacionaria, supongamos que la densidad de corriente cambia lentamente de tal manera que podemos en
buena aproximación ignorar los términos de orden 2 en la expansión de Taylor
se deja como ejercicio al lector que una interesante cancelación en la Ec. (16.10) nos lleva a la expresión
Z b
µ0 J (r0 , t) × R
B (r, t) = dV 0
4π R2
es decir, la ley de Biot-Savart aún se mantiene con J evaluado en el tiempo no retardado t. Esto nos indica
que la aproximación cuasi-estática es válida en un rango más allá del esperado, debido a que los dos errores
que implican ignorar el tiempo de retardo y la omisión del segundo término en (16.10) se cancelan entre
sı́ a primer orden. Este hecho permite explicar porqué el valor de la fuerza electromotriz en la Ec. (12.2)
está en buen acuerdo con los experimentos a pesar de que dicha ecuación fué derivada de la Ec. (12.1) que
proviene de la ley de Biot Savart (régimen estacionario), junto con la ley de inducción de Faraday (régimen
no estacionario).
Z (" # )
1 J (r0 , t0 ) J̇ (r0 , t0 )
B (r, t) = 3
+ 2
× R δ t0 − t + R/c dV 0 dt0
c R cR
quedando finalmente
Z (" # )
1 J (r0 , tr ) J̇ (r0 , tr )
B (r, t) = + × R dV 0 (16.21)
c R3 cR2
R
tr ≡ t − (16.22)
c
Expresión que coincide con la Ecuación de Jefimenko (16.10). Derivemos ahora el campo eléctrico
1 ∂A (r, t)
E (r, t) = −∇φ (r, t) −
c ∂t
la correspondiente transformada de Fourier de esta ecuación se escribe
iω ~
E~ (r, ω) = −∇Φ (r, ω) + A (r, ω) (16.23)
c
y reemplazando (16.11) y (16.12) en (16.23) resulta
Z Z
eikR iω eikR
~
E (r, ω) = −∇ % r ,ω0 0
dV + J~ r0 , ω dV 0
R c R
Z
1 iω iω ~ 0 ikR
~
E (r, ω) = 0
% r ,ω − R + 2 J r ,ω e dV 0
R3 cR2 c R
Z
~ % (r0 , ω) iω% (r0 , ω) iω ~ 0 ikR
E (r, ω) = − R + 2 J r ,ω e dV 0
R3 cR2 c R
16.4. POTENCIALES GENERADOS POR CARGAS PUNTUALES 319
utilizando (16.18) y una expresión análoga para iω% (r 0 , ω), ası́ como la transformada inversa de % (r 0 , ω) (el
análogo de 16.17),la transformada del campo queda
Z Z Z
1 1 iωt0 0 iω 1 iωt0 0
~
E (r, ω) = √ 0 0
ρ r , t e dt − − √ 0 0
ρ̇ r , t e dt R
R3 2π cR2 iω 2π
Z
iω 1
+ 2 − √ J̇ r0 , t0 eiωt dt0 eikR dV 0
c R iω 2π
Z
1 R R 1 0
~
E (r, ω) = √ 0 0
ρ r ,t + 0 0
ρ̇ (r, t) − 2 J̇ r , t ei(ωt +kR) dV 0 dt0 (16.24)
R 3 cR 2 c R
2π
y usando la transformada de Fourier del campo
Z
1
E (r, t) = √ E~ (r, ω) e−iωt dω (16.25)
2π
y reemplazando (16.24) en (16.25) resulta
Z Z
1 R 0 0
R 1 0 0
i(ωt0 +kR) 0 0
E (r, t) = ρ r ,t + ρ̇ (r, t) − 2 J̇ r , t e dV dt e−iωt dω
2π R3 cR2 c R
Z
1 R 0 0
R 1 0 0
h iω(t0 −t+R/c) i
E (r, t) = ρ r ,t + ρ̇ (r, t) − 2 J̇ r , t e dω dV 0 dt0
2π R3 cR2 c R
Z
R 0 0
R 1 0 0
E (r, t) = 3
ρ r ,t + 2
ρ̇ (r, t) − 2 J̇ r , t δ t0 − t + R/c dV 0 dt0
R cR c R
quedando finalmente
Z
R 0
R 1 0
E (r, t) = ρ r , t r + ρ̇ (r, t r ) − J̇ r , t r dV 0 (16.26)
R3 cR2 c2 R
|r − w (tr )| = c (t − tr ) (16.27)
ya que a la izquierda tenemos la distancia que la señal debe viajar y (t − t r ) es el tiempo que emplea la
señal para hacer el viaje. Denominaremos a w (t r ) como la posición retardada de la carga, R es el vector
que va desde la posición retardada hasta el punto de evaluación r
R ≡ r − w (tr ) (16.28)
Nótese que a diferencia del R definido en (16.3), el factor R definido en (16.28) sı́ depende del tiempo ya
que r0 es un lugar geométrico del espacio, en tanto que w (t r ) es la posición de una partı́cula. Es importante
notar que a lo más un punto sobre la trayectoria de la partı́cula está en “comunicación” con r para cualquier
tiempo particular t (ver Fig. ???). Para verlo supongamos que hay dos puntos con tiempos retardados t 1 y
t2 tales que
R1 = c (t − t1 ) ; R2 = c (t − t2 )
320 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
por lo tanto R1 − R2 = c (t2 − t1 ), de tal manera que la velocidad promedio de la partı́cula en la dirección
de r serı́a c, y por otro lado no estamos teniendo en cuenta posibles componentes de la velocidad de la
carga en otras direcciones. Dado que ninguna carga puede viajar a la velocidad de la luz, se sigue que solo
un punto retardado contribuye a los potenciales en un tiempo dado. Por esta misma razón un
observador en r ve a la partı́cula en solo un lugar a la vez. En contraste, es posible escuchar a un objeto
en dos lugares al tiempo, si una fuente sonora a cierta distancia del observador emite un pulso y viaja a la
velocidad del sonido en dirección al observador, y emite otro pulso justo cuando llega al observador, éste
último detectará ambos pulsos al mismo tiempo que provienen de diferentes lugares aunque hay una sola
fuente 2 .
A priori uno podrı́a pensar que la fórmula
Z
1 ρ (r0 , tr )
φ (r, t) = dV 0
4πε0 R
se puede integrar para obtener simplemente el potencial retardado de una carga puntual en la forma
1 q
4πε0 R
es decir, análogo al caso estático salvo por el hecho de que R es la distancia a la posición retardada de la
carga. Sin embargo, esto NO es cierto, y esto se debe a un hecho muy sutil: es cierto que para una carga
puntual el denominador puede salir de la integral
Z
1
φ (r, t) = ρ r0 , tr dV 0 (16.29)
4πε0 R
pero la integral que queda NO es la carga total de la partı́cula, esto se debe a que para obtener la carga de
la partı́cula ρ debe ser integrado sobre la distribución completa en el mismo instante de tiempo. En el caso
de fuentes extendidas, el retardo t r = t − R/c, nos obliga a evaluar a ρ en tiempos diferentes para diferentes
partes de la configuración. Si la configuración se mueve, esto nos dará una imagen distorsionada de la carga
total. A priori podrı́a pensarse que este problema no aparece para cargas puntuales debido a su falta de
tamaño. Sin embargo, no es ası́, puesto que en el formalismo de Maxwell una carga puntual se debe ver
como el lı́mite de una carga extendida cuando su tamaño tiende a cero. Y para una carga extendida que se
mueva no importa cual sea su tamaño, el volumen aparente V 0 con respecto al volumen real V de la carga
está dado por
V
V0 = (16.30)
1−R b · v/c
demostremos este hecho antes de continuar. El efecto es puramente geométrico y lo ilustraremos con el
ejemplo de un tren que se aproxima. El observador verá que el tren que se aproxima tiene una longitud
mayor de la que realmente tiene. Esto se debe a que la luz que el observador recibe de la parte trasera
ha partido antes que la luz que recibe el observador simultáneamente de la locomotora, y en este tiempo
anterior el tren estaba más lejos. Tomemos el origen en el punto en donde parte el rayo de la parte trasera,
y el tiempo de partida de dicho rayo lo tomamos también como t = 0 (ver Fig. ???). Ahora sean t y L 0
el tiempo (posterior) y posición en los cuales parte el rayo de la locomotora que llegará simultáneamente
al observador. Para que ambos rayos lleguen simultáneamente es necesario que el rayo de la parte trasera
esté pasando en el tiempo t por la posición L 0 . Si L es la longitud del tren, entonces en este tiempo el tren
ha recorrido una distancia L0 − L por tanto el tiempo t se puede evaluar como
L0 L0 − L
t= =
c v
2
Cuando la luz viaja en un medio, es posible que las cargas viajen a velocidades mayores o iguales que la luz en dicho medio
(partı́culas Cerenkov), de modo que este fenómeno y otros análogos que aparecen en el sonido tales como el estampido sónico
pueden surgir para los fenómenos electromagnéticos.
16.4. POTENCIALES GENERADOS POR CARGAS PUNTUALES 321
claramente L0 es la longitud aparente del tren, y es mayor que la longitud real L en un factor de (1 − v/c) −1 .
Se puede demostrar en forma similar que si el tren se aleja del observador, su longitud aparente es menor por
un factor de (1 + v/c)−1 . En el caso más general en el cual la velocidad del tren hace un ángulo θ con la lı́nea
de visión del observador, la longitud aparente es mas difı́cil de calcular, haremos la suposición simplificadora
de que la longitud del tren es mucho menor que la distancia del tren al observador en todos los instantes
de tiempo considerados (ver Fig. ???), de este modo la lı́nea que une el origen con el observador se puede
considerar paralela a la lı́nea que une la posición L 0 con el observador, en este caso la distancia extra que
debe recorrer la luz que parte del extremo trasero es L 0 cos θ. En el tiempo L0 cos θ/c el tren recorre una
distancia L0 − L de modo que
L0 cos θ L0 − L L
= ⇒ L0 =
c v 1 − (v cos θ) /c
nótese que este efecto no distorsiona las dimensiones perpendiculares al movimiento (el ancho y la altura
del tren), puesto que no hay movimiento en dicha dirección, estas dimensiones se ven iguales que si el tren
estuviera totalmente en reposo. El volumen aparente solo se modifica entonces en una de sus dimensiones
con lo cual
V
V0 = (16.31)
1− R b · v (tr ) /c
siendo Rb un vector unitario desde el tren hacia el observador. Nótese que la velocidad del tren es aquella
comprendida entre los tiempos de partida de los rayos, si la longitud del tren es muy pequeña respecto a la
distancia al observador, podemos definir sin ambigüedad a este tiempo como el tiempo retardado (ya que
el retardo entre la partida de los dos rayos serı́a mucho menor que el retardo para que estos rayos lleguen
al observador), la velocidad está entonces evaluada en el tiempo retardado. Nótese que para nuestra carga
puntual este cálculo para el volumen aparente se vuelve exacto puesto que las dimensiones de la carga se
hacen tender a cero y son entonces mucho menores que cualquier distancia al punto de evaluación.
Una aclaración importante, este efecto no tiene nada que ver con el efecto relativista de contracción de
Lorentz. Por ejemplo, L es la longitud del tren en movimiento y la longitud propia del tren no juega ningún
papel. Nótese incluso que en este caso puede ocurrir contracción o expansión. El fenómeno guarda mayor
semejanza con el efecto Doppler. Vemos por ejemplo que aquı́ no hay dos sistemas de referencia involucrados
(como sı́ ocurre en la contracción de Lorentz) y la longitud que medimos es la longitud aparente en tanto
que la longitud que mide cada observador en el efecto de contracción de Lorentz es la longitud real para cada
observador (en el sentido de que los fotones de la parte trasera y delantera deben partir simultáneamente y
NO llegar simultáneamente al ojo del observador).
Volviendo ahora a la evaluación de nuestro potencial retardado para una carga puntual, en la integral
(16.29) el integrando es evaluado en el tiempo retardado, de modo que el volumen es afectado por el factor
definido por (16.31), sustituyendo (16.30) en (16.29) resulta
" #
1 q 1 qc
φ (r, t) = = (16.32)
4πε0 R 1 − R b · v/c 4πε0 [Rc − R · v (tr )]
donde v (tr ) es la velocidad de la partı́cula en el tiempo retardado y R es el vector desde la posición retardada
hasta el punto de evaluación r de los campos, Ec. (16.28). Adicionalmente, dado que la corriente se puede
escribir como ρv, tenemos que el potencial vectorial retardado se puede escribir como
Z Z
µ0 ρ (r0 , tr ) v (tr ) µ0 v (tr )
A (r, t) = dV 0 = ρ r0 , tr dV 0
4π R 4π R
322 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
quedando finalmente
µ0 qcv (tr ) v
A (r, t) = dV 0 = 2 φ (r, t) (16.33)
4π Rc − R · v (tr ) c
las expresiones (16.32, 16.33) se conocen como potenciales de Liénard-Wiechert para una carga en
movimiento.
Example 20 Como ejemplo sencillo encontremos los potenciales asociados a una carga puntual con veloci-
dad constante. Por simplicidad, asumamos que la carga pasa por el origen en t = 0, por tanto
w (t) = vt
|r − vtr | = c (t − tr )
elevando al cuadrado
r 2 − 2r · vtr + v 2 t2r = c2 t2 − 2ttr + t2r
resolviendo para tr q
c2 t − r · v ± (c2 t − r · v)2 + (c2 − v 2 ) (r 2 − c2 t2 )
tr = (16.34)
c2 − v 2
para elegir el signo consideremos el lı́mite v → 0
r
tr = t ±
c
en cuyo caso la carga está en reposo en el origen, y el tiempo retardado debe ser t − r/c por lo tanto el signo
menos es el correcto. La otra solución es la solución avanzada que como ya vimos siempre aparece como
solución matemática adicional. Ahora usando (16.27) y (16.28)
R = c (t − tr ) b = r − vtr
; R
c (t − tr )
por lo tanto
b · v/c v (r − vtr ) v · r v2
R 1−R = c (t − tr ) 1 − · = c (t − tr ) − + tr
c c (t − tr ) c c
1 2
= c t − r · v − c2 − v 2 tr
cq
1
= (c2 t − r · v)2 + (c2 − v 2 ) (r 2 − c2 t2 )
c
en el último paso se usó (16.34) con el signo menos. El potencial escalar (16.32) queda entonces
1 qc
φ (r, t) = q
4πε0
(c2 t − r · v)2 + (c2 − v 2 ) (r 2 − c2 t2 )
R = r − w (tr ) ; v = ẇ (tr )
|r − w (tr )| = c (t − tr ) (16.36)
de modo que tr es en sı́ mismo función de r y t. Comencemos con el gradiente de φ, para lo cual partimos
de (16.32) y usamos la segunda de las Ecs. (16.6)
qc −1
∇φ (r, t) = ∇ (Rc − R · v) (16.37)
4πε0 (Rc − R · v)2
dado que R = c (t − tr )
∇R = −c∇tr (16.38)
en cuanto al segundo término, usamos la identidad
∇ (A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇) B + (B · ∇) A (16.39)
se tiene
∇ (R · v) = (R · ∇) v + (v · ∇) R + R× (∇ × v) + v × (∇ × R) (16.40)
evaluemos cada uno de estos términos
∂vi ∂tr
[(R · ∇) v]i = (Rk ∂k ) vi = Rk (∂k vi ) = Rk = Rk v̇i ∂k tr
∂tr ∂xk
[(R · ∇) v]i = ai R · (∇tr ) ⇒
(R · ∇) v = a (R · ∇tr )
(v · ∇) R = (v · ∇) r − (v · ∇) w
[(v · ∇) R]i = (vk ∂k ) xi − (vk ∂k ) wi = vk (∂k xi ) − vk (∂k wi )
∂wi ∂tr
[(v · ∇) R]i = vk δki − vk = vi − vk vi ∂k tr = vi (1 − vk ∂k tr )
∂tr ∂xk
[(v · ∇) R]i = vi (1 − v · ∇tr )
quedando finalmente
(v · ∇) R = v (1 − v · ∇tr )
evaluemos
dvk ∂tr
[∇ × v]i = εijk ∂j vk = εijk = εijk v̇k ∂j tr = εijk ak ∂j tr = εijk (∂j tr ) ak
dtr ∂xj
∇ × v = (∇tr ) × a (16.41)
324 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
para completar el cálculo debemos calcular ∇t r para lo cual tomamos el gradiente a partir de la ecuación
de definición (16.36), lo cual ya se hizo en (16.38), expandiendo ∇R obtenemos
√ 1
−c∇tr = ∇R = ∇ R · R = √ ∇ (R · R)
2 R·R
1
= [(R · ∇) R + R × (∇ × R)]
R
donde hemos usado la identidad (16.39), por procedimientos similares a los ya calculados se tiene que
(R · ∇) R = R − v (R · ∇tr ) ; ∇ × R = (v × ∇tr )
con lo cual
1
−c∇tr = [R − v (R · ∇tr ) + R × (v × ∇tr )]
R
1
−c∇tr = [R − v (R · ∇tr ) + v (R · ∇tr ) − (R · v) ∇tr ]
R
1
−c∇tr = [R − (R · v) ∇tr ]
R
despejando ∇tr se obtiene finalmente
R
∇tr = − (16.44)
Rc − R · v
sustituyendo este resultado en (16.43) se obtiene
1 qc
∇φ = 3 (Rc − R · v) v − c2 − v 2 + R · a R (16.45)
4πε0 (Rc − R · v)
q R 2
E (r, t) = 3 c − v 2 u + R× (u × a) (16.47)
4πε0 (R · u)
b −v
u ≡ cR
16.5. CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO ASOCIADOS A CARGAS PUNTUALES M ÓVILES 325
para calcular el campo magnético debemos calcular ∇ × A, el cual se puede escribir como
1 1
B (r, t) = ∇ × A = 2
∇ × (φv) = 2 [φ (∇ × v) − v × (∇φ)]
c c
ya hemos calculado ∇ × v y ∇φ Ecs. (16.41, 16.45), teniendo en cuenta además la expresión (16.44) para el
∇tr se obtiene
1 q 1
B (r, t) = − 3 R × c2 − v 2 v + (R · a) v + (R · u) a (16.48)
c 4πε0 (u · R)
la cantidad entre paréntesis cuadrados se asemeja mucho a (16.47). En especial si en esta última reem-
plazamos el factor R× (u × a) por la identidad (R · a) u − (R · u) a
q R 2 2
E (r, t) = c − v u + (R · a) u − (R · u) a (16.49)
4πε0 (R · u)3
la principal diferencia consiste en que los dos primeros términos contienen a v en lugar de u. En reali-
dad, puesto que ambos están en produto cruz con R podemos cambiar estos v 0 s en u0 s, el extratérmino
proporcional a Rb desaparece en el producto cruz y se sigue que
1b
B (r, t) = R × E (r, t) (16.50)
c
evidentemente, el campo magnético de una carga puntual es siempre perpendicular al campo eléctrico, y
también es perpendicular al vector que va desde la posición retardada hasta el punto de evaluación del
campo.
El primer término de E en la Ec. (16.47) proporcional a c2 − v 2 u, decae como el inverso cuadrado
de la distancia a la partı́cula. Si la velocidad y la aceleración son ambas cero, este término es el único que
sobrevive y se reduce al caso electrostático normal. Por esta razón, este primer término se llama usualmente
el campo generalizado de Coulomb; por otro lado, dado que este término no depende de la aceleración
también se le denomina campo de velocidades). El segundo término proporcional a R× (u × a) decae
como el inverso de la primera potencia de R y es por tanto, el dominante a largas distancias. Como veremos
más adelante, este es el término responsable de la radiación electromagnética y por tanto se le denomina
el campo de radiación; por otro lado, dado que es proporcional a a se le denomina también campo de
aceleraciones. La misma terminologı́a se aplica para el campo magnético.
Por otro lado, es muy útil encontrar la fórmula para la fuerza que una carga hace sobre otra (con ambas
en movimiento arbitrario). Esta expresión, junto con el principio de superposición, contendrı́a a toda la teorı́a
de la electrodinámica clásica. Claramente, ahora estamos en posición de escribir tal expresión tomando los
campos (16.47, 16.50) y la ley de fuerza de Lorentz
qQ R 2 V h i
F= c − v 2
u + R × (u × a) + × b × c2 − v 2 u + R × (u × a)
R (16.51)
4πε0 (R · u)3 c
q 1 − v 2 /c2 Rb
E (r, t) = 2 ; R ≡ r − vt
4πε0 1 − v2 sin2 θ R
c2
1
B (r, t) = v×E
c2
326 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
es notable el hecho de que E apunta a lo largo de la lı́nea que parte de la posición presente (ver Fig.
???). Esta es una gran coincidencia puesto que la señal partió de la posición retardada. Debido al término
con sin2 θ en el denominador, el campo de una carga que se mueve muy rápidamente se comprime en la
dirección perpendicular
al movimiento ver Fig ???. En las direcciones adelante atrás E se reduce en un
2 2
factor 1 − v /c con respecto al campo que se obtiene con carga en reposo, en la dirección perpendicular
−1
se fortalece por un factor 1 − v 2 /c2 . Las lı́neas de campo magnético circulan alrededor de la lı́nea de
desplazamiento de la carga como muestra la figura ???, los cı́rculos decrecen (para un instante dado de
tiempo) a medida que nos alejamos de la carga hacia adelante o hacia atrás.
En el lı́mite v 2 /c2 << 1 estos campos se reducen a
1 q b µ0 q b
E (r, t) = R ; B (r, t) = v × R
4πε0 R2 4π R2
la primera es esencialmente la ley de Coulomb, y la segunda es la ley de Biot Savart para una carga puntual.
La primera era de esperarse, pero la segunda es sorprendente ya que la ley de Biot Savart solo es válida en
principio para corriente estacionarias y una carga puntual NO forma una corriente estacionaria. Una vez
más, la ley de Biot Savart parece ser aplicable en un rango mucho mas allá de su formulación original.
16.6. Radiación
Hemos discutido hasta ahora el fenómeno de transporte de ondas planas en diferentes medios, ası́ como
el transporte de energı́a y momento por parte de una onda, pero hemos hecho caso omiso de las fuentes de
dichas ondas. Las fuentes de toda onda electromagnética son cargas y corrientes. Pero una carga en reposo
o una corriente estacionaria no generan ondas electromagnéticas. Se requieren cargas aceleradas y corrientes
que cambian como ya veremos.
Una vez generadas, las ondas electromagnéticas en el vacı́o se propagan hacia el infinito llevando energı́a
con ella. El fenómeno de radiación consiste en el flujo irreversible de energı́a que se aleja de la fuente.
Asumiremos que las fuentes son localizadas y están cercanas al origen (nótese que el concepto mismo de
radiación es problemático para fuentes no localizadas). Imaginemos una superficie esférica gigantesca de
radio r “centrada” en la distribución de cargas y corrientes, la potencia total que cruza esta superficie
esférica es la integral de superficie del vector de Poynting
I I
1
P (r) = S·da = (E × B) ·da (16.52)
µ0
donde hemos usado la Ec. (13.4) para el vector de Poynting. Si tomamos ahora el lı́mite cuando r → ∞ en la
expresión anterior obtendremos la energı́a por unidad de tiempo que se transporta hacia el infinito y nunca
regresa.
Por otro lado, el área de la esfera es 4πr 2 de modo que para que exista radiación el vector de Poynting
tiene que decrecer para valores grandes de r a un ritmo no mayor que 1/r 2 , ya que si decreciera a un ritmo
mayor, digamos 1/r 3 entonces P (r) irı́a como 1/r y el lı́mite cuando r → ∞ se irı́a para cero de modo
que no habrı́a radiación. Los campos electrostáticos de cualquier fuente localizada van como 1/r 2 o incluso
mas rápido si la distribución no tiene carga neta. Por otro lado, la ley de Biot Savart nos dice que los
campos magnetostáticos lejanos se comportan como 1/r 2 o incluso pueden decrecer más rápido. De esta
forma el vector de Poynting S decrece como 1/r 4 para configuraciones estacionarias. De esto se concluye
que las fuentes estacionarias no radı́an. No obstante, las ecuaciones de Jefimenko (16.9, 16.10) indican
que los campos dependientes del tiempo incluyen términos (que involucran a ρ̇ y J̇) que se comportan
asintóticamente como 1/r, y estos términos son los responsables de la radiación electromagnética.
En conclusión, el estudio de la radiación consiste en tomar las partes de los campos que van como 1/r
a grandes distancias de la fuente, de modo que se construye con éstos el término de Poynting que va como
1/r 2 , para integrarlos sobre la superficie esférica cuyo radio posteriormente se lleva al infinito. Naturalmente,
no es necesario que la superficie sea esférica, pero es la geometrı́a más simple para los cálculos.
16.7. RADIACIÓN DE DIPOLO ELÉCTRICO 327
Por otro lado, cuando las fuentes no tienen simetrı́a esférica la radiación no es isotrópica, es posible que
para ciertas franjas de ángulo sólido haya mayor potencia disipada que para otras. Por lo tanto es útil definir
una cantidad que defina la distribución angular de la potencia radiada, para ello tenemos en cuenta que
para una esfera de radio r la potencia radiada sobre un elemento de la superficie esférica está dado por
dP = S·da = S · nr 2 dΩ = S · ur r 2 dΩ
donde hemos asumido que las fuentes están “centradas en el origen” y por tanto la esfera también estarı́a
centrada en el origen. Definimos entonces la potencia radiada por ángulo sólido
dP
= S · ur r 2 (16.53)
dΩ
como ya hemos dicho, el vector de Poynting se comporta como 1/r 2 para los campos radiativos, de modo
que es de esperarse que la potencia P ası́ como dP/dΩ sean independientes del radio de la esfera cuando se
toma el lı́mite r → ∞.
Tomaremos los casos más simples de radiación de dipolo oscilante eléctrico y magnético para estudiar
posteriormente el caso mas complejo de la radiación de cargas puntuales
Figura 16.1:
Supongamos un par de esferas metálicas pequeñas separadas una distancia d conectadas por un alambre
muy delgado (ver Fig. 16.1). En el tiempo t la carga de la esfera superior es q (t) y la de la carga inferior
es −q (t). Supongamos que la carga total del sistema fluye de un lado a otro de tal modo que siempre la carga
neta es cero y no se acumula carga neta en el alambre en ningún momento (aunque sı́ circula una corriente),
de tal modo que en todo tiempo la carga de ambas esferas tiene la misma magnitud y signo opuesto, pero
esta magnitud oscila de la forma
q (t) = q0 cos ωt (16.54)
el resultado es un dipolo oscilante
p (t) = p0 cos ωt uz ; p0 = q0 d
p0 es el máximo valor del momento dipolar. Podrı́a pensarse que este sistema es muy artificial, y pensar que
es mas natural definir dos cargas constantes montadas sobre un “resorte” de tal manera que lo que oscila
328 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
es la distancia d. Aunque este sistema conduce a los mismos resultados, requiere del cálculo (mas sutil) del
potencial retardado de una carga en movimiento que trataremos más adelante.
El potencial escalar retardado (16.4) es el correspondiente a dos cargas puntuales oscilantes aunque con
el efecto de retardación. Asumiremos que para t r = 0 la carga que está a una distancia R + del punto de
evaluación adquiere el valor +q0
1 q0 cos [ω (t − R+ /c)] q0 cos [ω (t − R− /c)]
φ (r, t) = − (16.55)
4πε0 R+ R−
donde por la ley de cosenos q
R± = r 2 ∓ rd cos θ + (d/2)2
siendo r la distancia del origen al punto de evaluación y θ el ángulo entre r y u z . Ahora debemos convertir
este dipolo fı́sico en un dipolo puntual tomando los lı́mites apropiados
Primera aproximación: d << r, sin embargo d 6= 0 para que exista el potencial. Por tanto esta
condición la traducimos en una expansión a primer orden en d/r.
s 2 s 2
d d ∼ d d
R± = r 1 ∓ cos θ + = r 1 ∓ cos θ +
r 2r r 2r
∼ d
R± = r 1∓ cos θ ⇒ (16.56)
2r
1 ∼ 1 d
= 1± cos θ (16.57)
R± r 2r
usando (16.56) se tiene que
R± r d r d
t− =t− 1∓ cos θ =t− ± cos θ
c c 2r c 2c
con lo cual también se pueden expandir las funciones trigonométricas en (16.55)
∼ ωd
cos [ω (t − R± /c)] = cos ω (t − r/c) ± cos θ
2c
ωd ωd
= cos [ω (t − r/c)] cos cos θ ∓ sin [ω (t − r/c)] sin cos θ
2c 2c
en el lı́mite de dipolo puntual perfecto también se debe cumplir que d sea mucho menor que la longitud de
onda emitida, con λ = 2πc/ω esto se puede traducir en:
Aproximación 2: d << ωc . Con esta condición podemos escribir
ωd
cos [ω (t − R± /c)] ∼
= cos [ω (t − r/c)] ∓ cos θ sin [ω (t − r/c)] (16.58)
2c
sustituyendo (16.57) y (16.58) en (16.55) se obtiene el potencial retardado para un dipolo puntual o perfecto.
1 q0 ωd 1 d
φ (r, t) = q0 cos [ω (t − r/c)] − cos θ sin [ω (t − r/c)] 1+ cos θ
4πε0 2c r 2r
q0 ωd 1 d
− q0 cos [ω (t − r/c)] + cos θ sin [ω (t − r/c)] 1− cos θ
2c r 2r
1 1 d q0 ωd 1
φ (r, t) = 2q0 cos [ω (t − r/c)] cos θ − 2 cos θ sin [ω (t − r/c)]
4πε0 r 2r 2c r
q0 d cos θ 1 ω
φ (r, t) = cos [ω (t − r/c)] − sin [ω (t − r/c)]
4πε0 r r c
16.7. RADIACIÓN DE DIPOLO ELÉCTRICO 329
p0 cos θ ω 1
φ (r, θ, t) = − sin [ω (t − r/c)] + cos [ω (t − r/c)] (16.59)
4πε0 r c r
en el lı́mite estático ω → 0 el segundo término reproduce la fórmula que ya conocemos para el potencial de
un dipolo estacionario.
p0 cos θ
φ (r) =
4πε0 r 2
no obstante, este no es el término que nos interesa, en realidad nos interesan los campos que sobreviven a
grandes distancias a partir de la fuente, en la llamada zona de radiación.
Aproximación 3: r >> ωc es decir distancias al dipolo mucho mayores que la longitud de onda emitida.
Nótese que las aproximaciones 2 y 3 conducen a la aproximación 1 ya que tomadas juntas conducen a
d << λ << r. La aproximación 3 no concierne a la naturaleza del dipolo como las anteriores, sino a la zona
en donde interesa calcular el potencial (en la zona de radiación, r es mucho mayor que todas las dimensiones
caracterı́sticas del sistema que en este caso son la distancia d y la longitud de onda λ). Esta aproximación
implica que 1/r << ω/c, por lo tanto solo conservaremos el primer término en el potencial (16.59) y el
potencial en la zona de radiación se reduce a
p0 ω cos θ
φ (r, θ, t) = − sin [ω (t − r/c)] (16.60)
4πε0 c r
por otra parte, el potencial vectorial se determina por la corriente que fluye en el alambre
dq
I (t) = uz = −q0 ω sin (ωt) uz (16.61)
dt
de acuerdo con la figura ???. El potencial vectorial se puede escribir
Z
µ0 d/2 −q0 ω sin [ω (t − r/c)] uz
A (r, t) = dz
4π −d/2 R
dado que la integración como tal introduce un factor d, podemos a primer orden, reemplazar el integrando
por su valor en el centro con lo cual queda
µ0 (q0 d) ω sin [ω (t − r/c)]
A (r, t) ∼
= − uz
4πr
µ0 p0 ω
A (r, t) ∼
= − sin [ω (t − r/c)] uz (16.62)
4πr
obsérvese que los argumentos para llegar a (16.62), no requieren de la tercera aproximación. A partir de los
potenciales, se calculan los campos en forma directa. Usando (16.60) se tiene que
∂φ 1 ∂φ
∇φ = ur + uθ
∂r r ∂θ
p0 ω 1 ω sin θ
∇φ = − cos θ − 2 sin [ω (t − r/c)] − cos [ω (t − r/c)] ur − 2 sin [ω (t − r/c)] uθ
4πε0 c r cr r
p0 ω 1 ω sin θ
∇φ = − cos θ − sin [ω (t − r/c)] − cos [ω (t − r/c)] ur − sin [ω (t − r/c)] uθ
4πε0 cr r c r
∼ p0 ω 2 cos θ
∇φ = cos [ω (t − r/c)] ur (16.63)
4πε0 c2 r
donde el primer y el último término se desprecian en consistencia con la tercera aproximación i.e. 1/r << ω/c.
Similarmente
∂A µ0 p0 ω 2
=− cos [ω (t − r/c)] (cos θ ur − sin θ uθ ) (16.64)
∂t 4πr
330 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
recordemos que la expresión para A Ec. (16.62), fué calculada sin la aproximación 3, es decir el campo
magnético que surge no solo es válido en la zona de radiación
1 ∂ ∂Ar
∇×A = (rAθ ) − uφ
r ∂r ∂θ
∼ µ0 p0 ω ω sin θ
B = − sin θ cos [ω (t − r/c)] + sin [ω (t − r/c)] uφ
4πr c r
sin embargo, el segundo término se despreció de nuevo por la aproximación 3. Por tanto ahora sı́ tenemos
que el campo resultante solo es válido en la zona de radiación
µ0 p0 ω 2 sin θ
B=− cos [ω (t − r/c)] uφ (16.66)
4πc r
Las Ecs. (16.65) y (16.66) representan ondas monocromáticas de frecuencia ω viajando en dirección radial
a la velocidad de la luz. E y B están en fase, son mutuamente perpendiculares y transversales. El cociente
entre las amplitudes es E0 /B0 = c, propiedades que se cumplen para las ondas electromagnéticas planas en el
espacio vacı́o tal como vimos en la sección 15.1. No obstante, estas ondas son esféricas, y su amplitud decrece
como 1/r a medida que se propagan, pero para valores grandes de r los frentes de onda son aproximadamente
planos para pequeñas regiones.
La energı́a radiada por un dipolo eléctrico oscilante está determinada por el vector de Poyinting Ec.
(13.4).
2
1 µ0 p0 ω 2 sin θ
S= (E × B) = cos [ω (t − r/c)] ur
µ0 c 4π r
la intensidad se obtiene haciendo el promedio en el tiempo sobre un ciclo completo como se explicó en la
sección 13.4
µ0 p20 ω 4 sin2 θ
hSi = ur
32π 2 c r2
La potencia total radiada se calcula con la integral de superficie de la intensidad sobre la esfera de radio r.
Z Z Z
µ0 p20 ω 4 sin2 θ 2
µ0 p20 ω 4 sin2 θ 2
hP i = hSi · da = u r · u r r dΩ = r sin θ dθ dφ
32π 2 c r2 32π 2 c r2
µ0 p20 ω 4
hP i = (16.67)
12πc
Finalmente, calculamos la distribución angular de la potencia radiada promediada sobre un ciclo, Ec. (16.53)
dhP i 2 µ0 p20 ω 4 sin2 θ
= hSi · ur r = 2 2
ur · ur r 2
dΩ 32π c r
2 4
dhP i µ0 p0 ω
= sin2 θ
dΩ 32π 2 c
como se anticipó, las cantidades P y dP/dΩ son independientes del radio de la esfera como se esperarı́a de
la conservación de la energı́a, pues con la aproximación 3, nos estamos anticipando a tomar el lı́mite cuando
r → ∞. Nótese que no hay radiación a lo largo del eje del dipolo (sin θ = 0); el perfil de intensidad tiene la
forma de un toroide, con su máximo en el plano ecuatorial (sin θ = 1).
16.8. RADIACIÓN DE DIPOLO MAGNÉTICO 331
Figura 16.2:
I (t) = I0 cos ωt
puesto que la espira no tiene carga neta, el potencial escalar es cero. El potencial vectorial retardado
vendrá dado por
Z
µ0 I0 cos [ω (t − R/c)] 0
A (r, t) = dl
4π R
para un punto r colocado directamente sobre el eje X (i.e. en el plano ZX), la simetrı́a nos sugiere que
A debe apuntar en la dirección Y , puesto que las componentes X de dos fragmentos dl 1 y dl2 colocados
simétricamente a uno u otro lado del eje X se cancelarán, además tales fragmentos no tienen componente
Z. Por lo tanto
Z 2π
µ0 I0 b I0 cos [ω (t − R/c)]
A (r, t) = uy cos φ0 dφ0 (16.68)
4π 0 R
donde el cos φ0 extrae la componente Y de dl0 . Por la ley de cosenos
p
R= r 2 + b2 − 2rb cos ψ
de esto se deduce
p
R= r 2 + b2 − 2rb sin θ cos φ0
de nuevo, queremos resolver el problema para dipolo puntual o perfecto, de modo que la aproximación
natural es
332 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
en el cálculo de B se ha usado la aproximación 3. Como en el caso del dipolo eléctrico, los campos están
en fase, son mutuamente perpendiculares y transversales a la dirección de propagación u r , el cociente entre
sus amplitudes es E0 /B0 = c. Es notable la similaridad en estructura de estos campos con los del dipolo
puntual eléctrico oscilante Ecs. (16.65, 16.66), salvo que en este caso B apunta en dirección u θ , y E apunta
en la dirección uφ , lo cual es opuesto al caso del dipolo puntual eléctrico.
Para calcular la radiación del dipolo magnético oscilante, calculamos primero el flujo de energı́a asociado
a los campos (16.73, 16.74)
2
1 µ0 m0 ω 2 sin θ
S= (E × B) = cos [ω (t − r/c)] ur
µ0 c 4πc r
la intensidad es
µ0 m20 ω 4 sin2 θ
hSi = ur
32π 2 c3 r2
la potencia total radiada es
µ0 m20 ω 4
hP i = (16.75)
12πc3
de nuevo, el perfil de intensidad tiene la forma de un toroide, y la potencia radiada va como ω 4 . Hay sin
embargo una diferencia muy importante con respecto al dipolo eléctrico: Para configuraciones con dimen-
siones comparables, la potencia radiada por el dipolo eléctrico es mucho mayor. Haciendo el cociente entre
las potencias radiadas por ambos dipolos Ecs. (16.67, 16.75)
2
Pmag m0
=
Pelect p0 c
para efectuar la comparación recordemos que m 0 = πb2 I0 y p0 = q0 d. Por otro lado, teniendo en cuenta la Ec.
(16.61), tenemos que la amplitud de la corriente en el caso eléctrico viene dada por I 0 = q0 ω . Finalmente,
sustituyendo d ∼ πb (lo cual nos dice que ambos dipolos tienen dimensiones comparables) este cociente se
reduce a 2
Pmag ωb b 2
∼ =
Pelect c c/ω
pero esta cantidad es muy pequeña de acuerdo con la aproximación 2 en cualquiera de los dipolos, adicional-
mente aquı́ aparece elevada al cuadrado. Por lo tanto, es de esperarse que la radiación de dipolo eléctrico
domine, a menos que la configuración del sistema sea tal que la contribución eléctrica sea excluı́da por algún
mecanismo, que es el caso tratado aquı́ ya que asumimos que el lazo cerrado es neutro en todos sus puntos
(el dipolo eléctrico es neutro pero tiene acumulaciones locales de carga) y por tanto el potencial escalar se
anula.
la región de interés es de nuevo la zona de radiación en la cual el punto de evaluación de los campos está muy
lejos con respecto a las dimensiones de la fuente
334 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
Aproximación 1: r 0 << r para todo r 0 en donde exista carga y/o corriente. Expandiendo a primer
orden en r 0 /r resulta
∼ r · r0 1 ∼1 r · r0
R = r 1− 2 ; = 1+ 2 (16.77)
r R r r
r b r · r0
ρ r0 , t − R/c ∼= ρ r 0
, t − +
c c
adicionalmente, expandimos ρ como una serie de Taylor en t alrededor del tiempo de retardo en el origen
r
t0 ≡ t − (16.78)
c
con lo cual ρ a primer orden queda
br · r0 1 r · r0 2
b 1 ... br · r0 3
ρ r0 , t − R/c ∼= ρ r 0
, t 0 + ρ̇ r 0
, t 0 + ρ̈ + ρ + ... (16.79)
c 2 c 3! c
el punto significa derivación en el tiempo. Haremos entonces la siguiente aproximación
Aproximación 2:
c c c
r 0 << , ... 1/2 , .... ...1/3 , . . .
|ρ̈/ρ̇| ρ/ρ̈ ρ /ρ
para un sistema oscilante cada uno de estos cocientes corresponde a c/ω lo cual corresponde a nuestra
antigua aproximación 2. Aunque en el caso más general es más difı́cil interpretar esta aproximación, se
puede ver que esta aproximación junto con la primera dan cuenta de el hecho de mantener solo términos a
primer orden en r 0 . Tomando (16.77) y los dos primeros términos a la derecha de (16.79) y sustituyéndolos
en (16.76) resulta
Z Z Z
1 b
r b
r d
∼
φ (r, t) = 0 0 0 0
ρ r , t0 dV + · r ρ r , t0 dV + · 0 0 0
r ρ r , t0 dV 0
(16.80)
4πε0 r r c dt
la primera integral es simplemente la carga total Q evaluada en t 0 . Sin embargo, dado que la carga se
conserva, Q es independiente del tiempo. Las otras dos integrales representan el momento dipolar eléctrico
evaluado en t0 . Por tanto
∼ 1 Q b r · p (t0 ) br · ṗ (t0 )
φ (r, t) = + + (16.81)
4πε0 r r2 rc
en el caso estático, los dos primeros términos son las contribuciones monopolar y dipolar a la expansión del
potencial y el tercer término se anula.
Para el potencial vectorial se tiene
Z
µ0 J (r0 , t − R/c)
A (r, t) = dV 0
4π R
como veremos en un momento, a primer orden en r 0 es suficiente reemplazar R por r en el integrando
Z
µ0
∼
A (r, t) = J r0 , t0 dV 0
4πr
el lector puede demostrar que la integral de J es la derivada temporal del momento dipolar
µ0 ṗ (t0 )
A (r, t) ≡ (16.82)
4π r
ahora se vé porqué razón no es necesario llevar la aproximación de R mas allá del orden cero (R ∼
= r). p ya
es de primer orden en r 0 , y cualquier refinamiento serı́a una corrección de segundo orden.
16.9. RADIACIÓN GENERADA POR UN DISTRIBUCIÓN ARBITRARIA 335
Ahora debemos calcular los campos para lo cual utilizaremos de nuevo solo la zona de radiación, es decir
los campos que sobreviven a grandes distancias de la fuente, por lo tanto solo conservaremos los términos
que vayan como 1/r
Aproximación 3: Omitiremos los términos de la forma 1/r 2 en los campos E y B.
Por ejemplo el término de Coulomb
1 Q
E= ur
4πε0 r 2
que proviene del primer término en (16.81) no contribuye a la radiación electromagnética. De hecho, la
radiación proviene completamente de aquellos términos en los cuales diferenciamos el argumento t 0 . A
partir de (16.78) se tiene
1 1
∇t0 = − ∇r = − ur
c c
con lo cual
∼ 1 b r · ṗ (t0 ) ∼ 1 r · p̈ (t0 )
b 1 [b r · p̈ (t0 )]
∇φ (r, t) = ∇ = ∇t0 = − 2
ur
4πε0 rc 4πε0 rc 4πε0 c r
similarmente
µ0 µ0 µ0
∇×A ∼
= [∇ × ṗ (t0 )] = [∇ (t0 ) × p̈ (t0 )] = − r × p̈ (t0 )]
[b
4πr 4πr 4πrc
y
∂A ∼ µ0 p̈ (t0 )
=
∂t 4π r
con lo cual el campo eléctrico queda
µ0 µ0
E (r, t) ∼
= r · p̈) b
[(b r − p̈] = r × (b
[b r × p̈)] (16.83)
4πr 4πr
donde p̈ se evalúa en t0 = t − r/c. El campo magnético queda
µ0
B (r, t) ∼
=− r × p̈ (t0 )]
[b (16.84)
4πrc
dado que la radiación usualmente se calcula sobre una enorme esfera, es conveniente escribir los campos
(16.83, 16.84), en coordenadas esféricas. Por comodidad haremos que p̈ (t 0 ) esté sobre el eje Z
∼ µ0 p̈ (t0 ) sin θ ∼ µ0 p̈ (t0 ) sin θ
E (r, θ, t) = uθ ; B (r, θ, t) = uφ
4π r 4πc r
Otro ejemplo interesante lo constituye la carga puntual cuyo momento dipolar se puede escribir como
donde d es la posición de la carga con respecto al origen y a es la aceleración de dicha carga. La potencia
radiada es
µ0 q 2 a2
P =
6πc
que corresponde a la fórmula de Larmor, la cual nos dice que la potencia radiada por una carga puntual
es proporcional al cuadrado de su aceleración.
Básicamente hemos realizado una expansión multipolar de los potenciales retardados, al orden más bajo
en r 0 que puede producir radiación electromagnética, es decir campos que se comportan como 1/r en la
zona de radiación. El término más bajo que puede radiar es el dipolar, esto se debe a que en virtud de la
conservación de la carga, el término monopolar no puede radiar. Si la carga no se conservara el primer
término en (16.81) serı́a de la forma
1 Q (t0 )
Vmono =
4πε0 r
y producirı́a un término monopolar radiante (ya que se comporta como 1/r)
1 Q̇ (t0 )
Emono = ur
4πε0 c r
por ejemplo, podrı́a pensarse a priori que una esfera cuyo radio oscila deberı́a radiar, sin embargo este no es
2
el caso, puesto que el campo afuera (y en particular en la zona de radiación) es exactamente Q/ 4πε0 r ur ,
sin importar la fluctuación del tamaño. vale la pena enfatizar que en el análogo acústico los monopolos
sı́ radı́an.
Si el momento dipolar eléctrico (o su segunda derivada) se anulan, no hay radiación de dipolo eléctrico,
y debemos mirar el siguiente término, es decir términos de segundo orden en r 0 . Dichos términos de segundo
orden contienen dos partes, una relacionada con el dipolo magnético de la fuente y la otra relacionada con el
cuadrupolo eléctrico, si estos a su vez se anulan debemos considerar términos de orden r 03 que corresponden
a cuadrupolo magnético y octupolo eléctrico etc.
en el tiempo tr , pintamos una enorme esfera de radio R, centrada en la posición de la partı́cula en el tiempo
tr , el tiempo t en el cual la radiación incide en la superficie de la esfera viene dado por
R
t − tr =
c
y en este tiempo t se integra el vector de Poynting sobre la superficie. El tiempo t r es efectivamente el
tiempo de retardo para todos los puntos sobre la esfera en el tiempo t. Dado que la superficie crece como
R2 solo contribuyen términos en S que decrezcan como 1/r 2 , las potencias cúbicas y cuárticas inversas no
contribuyen en el lı́mite cuando R → ∞. Por lo tanto, solo los campos de aceleración contribuyen a la
radiación y por eso se les denominan también campos de radiación como ya habı́amos anticipado.
q R
Erad = [R× (u × a)] (16.88)
4πε0 (R · u)3
los campos de velocidad transportan energı́a pero tal energı́a es arrastrada por la carga en su movimiento.
Dado que Erad es perpendicular a R el segundo término en (16.87) se cancela y el vector de Poynting se
simplifica
1 2 b
Srad = E R (16.89)
µ0 c rad
b que al reemplazarlo en (16.88) queda:
si la carga está en reposo instantáneo en el tiempo t r entonces u = cR,
q R h i q 1 R h i
Erad = 3 b ×a =
R× cR (R · a) b − R·R
R b a
4πε0 b 4πε0 c2 R3
R · cR
q (µ0 ε0 ) h b b b b i qµ0 h b b i
Erad = R R · a R − R R · R a = R · a R − a
4πε0 R2 4πR
y la componente radiante del vector de Poynting (16.89) queda
2
1 qµ0 2 2
b
b
b b
Srad = a −2 R·a R·a + R·a R
µ0 c 4πR
1 µ0 q 2 2 b 2 b 1 µ0 q 2 1 2 2 2
b
Srad = a − R·a R= a − a cos θ R
µ0 c 4πR µ0 c 4π R2
µ0 q 2 a2 sin2 θ b
Srad = R (16.90)
16π 2 c R2
siendo θ el ángulo entre R b y a. No se genera radiación en la dirección de la aceleración (si el movimiento
es rectilı́neo esto significa que no hay radiación en las direcciones adelante y atrás). La radiación se emite
en un toroide que se forma alrededor de la aceleración instantánea, como se vé en la Fig. 16.3. La potencia
total radiada es
I Z
µ0 q 2 a2 sin2 θ 2
P = Srad · da = R sin θ dθ dφ
16π 2 c R2
µ0 q 2 a2
P =
6πc
que corresponde de nuevo a la fórmula de Larmor obtenida por otro método. Aunque esta relación se
derivó con v = 0 en realidad se mantiene con buena aproximación para el caso no relativista con v << c.
El caso v 6= 0 es mas difı́cil en primer lugar porque la expresión para E rad es más complicada, y en
segundo lugar por el hecho (más sutil) de que S rad la rata de energı́a a la cual la energı́a pasa a través de
la esfera no es igual a la rata de energı́a que abandona a la partı́cula. Para ilustrarlo, supongamos que un
tirador móvil dispara una corriente de balas hacia un blanco fijo. La rata N t a la cual las balas golpean el
338 CAPÍTULO 16. RADIACIÓN
Figura 16.3:
blanco estacionario no es igual a la rata N g a la cual las balas abandonan la pistola debido al movimiento
del tirador. Se puede verificar fácilmente que N g = (1 − v/c) Nt si el carro se mueve hacia el blanco (siendo
c la rapidez de las balas con respecto a tierra) y para una dirección arbitraria v del tirador móvil se obtiene
!
b ·v
R
Ng = 1 − Nt
c
donde R b es el vector unitario desde el tirador hasta el blanco. Nótese que este es un factor puramente
geométrico que no está asociado a las transformaciones relativistas y es muy análogo al efecto Doppler.
En nuestro caso, si dW/dt es la rata a la cual la energı́a pasa a través de la esfera de radio r, entonces
la rata a la cual la energı́a abandona la carga dW/dt r está dada por:
!
dW b · v dW
R
= 1− (16.91)
dtr c dt
donde hemos usado (16.89). Teniendo en cuenta que u r = R, b la potencia radiada por la partı́cula en una
2 2
sección de área R dΩ = R sin θ dθ dφ sobre la esfera, está dada por
dP R·u 1 2
= E R2
dΩ Rc µ0 c rad
y usando el valor del campo eléctrico de radiación Ec. (16.88)
2
dP R·u 1 q R
= 3 [R× (u × a)] R2
dΩ Rc µ0 c 4πε0 (R · u)
b ·u 2 2
dP RR R2 1 1 q b 2
= 6 2 R R × (u × a) R
dΩ R b µ 0 c 4πε 0
RR · u
2 2
dP 1 1 q b
= 5 (µ0 ε0 ) R × (u × a)
dΩ b · u µ0 4πε0
R
quedadno finalmente 2
b
dP q2 R × (u × a)
= 5 (16.94)
dΩ 16π 2 ε0 b ·u
R
b pero no
siendo dΩ el ángulo sólido en el cual se radı́a esta potencia. Nótese que esta expresión depende de R
de R, lo cual es de esperarse ya la distribución de la radiación depende de la dirección pero no del tamaño
de la esfera, siempre que ésta sea suficientemente grande con respecto a todas las dimensiones del sistema.
Integrando sobre θ y φ se obtiene la potencia total radiada,
2
Z Z b
dP q 2 R × (u × a)
dΩ = 5 sin θ dθ dφ
dΩ 16π 2 ε0 b
R·u
donde hemos definido el eje Z en la dirección de la velocidad instantánea y R b es el vector que se barre
b
en todas las direcciones, θ es entonces el ángulo entre v y R. Teniendo en cuenta la simetrı́a azimuthal la
integración en φ es inmediata
2
Z 2 Z Rb × (u × a)
dP q
dΩ = 5 sin θ dθ
dΩ 8πε0 b ·u
R
el resultado es " #
µ0 q 2 γ 6 2 v × a 2 1
P = a − ; γ≡q
6πc c 1− v2
c2
esta es la generalización de Liénard para la fórmula de Larmor, que claramente se reduce a esta última
cuando v c. El factor γ 6 nos indica que la potencia radiada se incrementa enormemente cuando la partı́cula
se acerca a la velocidad de la luz.
Figura 16.4:
Relatividad especial
??????????????????????
??????????????????????
x01 = x1 ; x02 = x2
vx3
x − vt t − v
p3
2
x03 = ; t0 = p c ; β≡ (17.1)
1 − β2 1 − β2 c
siendo c la velocidad de la luz en el vacı́o. Estas leyes de transformación cumplen con las propiedades que
las inspiraron. En particular, cumple con los postulados de la relatividad especial. Por ejemplo, la velocidad
de la luz es la misma en ambos sistemas. Supongamos que con respecto al sistema S se emite una onda
esférica desde el origen en t = 0, la ecuación del frente de onda vista por S es
xi xi = c 2 t2
Usando las transformaciones de Lorentz (17.1) vemos que la ecuación para el frente de onda transformado
(es decir visto por S 0 ) es también esférico y se propaga también con velocidad c
x01 = x1 ; x02 = x2
1 2 β 1
x03 ≈ (x3 − vt) 1 + β + . . . ; t ≈ 0
t − x3 1 + β2 + . . .
2 c 2
x01 = x1 ; x02 = x2
x03 ≈ x3 − vt ; t0 ≈ t
con lo cual se obtienen las transformaciones de Galileo. Al ser el movimiento a lo largo de x 3 las coordenadas
x1 y x2 no se vén afectadas como es de esperarse en virtud de la isotropı́a del espacio. Las ecuaciones de
343
344 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
transformación son lineales lo cual se puede demostrar a partir del requerimiento del principio de relatividad
restringida, pues si el movimiento uniforme en S debe transformarse en movimiento uniforme en S 0 las
transformaciones entre tales sistemas deben ser lineales. Como la transformación debe ser igualmente válida
para pasar desde S 0 hacia S se puede ver que la inversa de la transformación debe ser tal que T −1 (v) =
T (−v) lo cual se puede verificar invirtiendo las transformaciones de Lorentz.
La parte espacial de las transformaciones de Lorentz se puede escribir en forma vectorial teniendo en
cuenta que v va en la dirección x3
! !
x 3 − vt x 3 − vt
x01 , x02 , x03 = x1 , x 2 , p = x1 , x 2 , x 3 − x 3 + p
1 − β2 1 − β2
!
x3 − vt
x01 , x02 , x03 = (x1 , x2 , x3 ) + 0, 0, p − x3
1 − β2
!
x 3 − vt
r0 = r + p − x 3 u3
1 − β2
y definiendo
v 1
β≡ ; γ≡p
c 1 − β2
se obtiene
(β · r) β
r0 = r + (γ − 1) − βγct (17.2)
β2
y para la transformación de la coordenada temporal
0 t − vx2
3
v · r
t = p c =γ t− 2
1 − β2 c
γ
t0 = γt − (β · r) (17.3)
c
dado que no hay nada especial en la dirección x 3 elegida (por la isotropı́a del espacio) las ecuaciones
vectoriales (17.2, 17.3) son válidas para direcciones arbitrarias de v siempre que los ejes de S y S 0 sean
paralelos.
17.1. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 345
Las Ecs. (17.2, 17.3) definen transformaciones lineales en 4 componentes, por tanto podemos utilizar el
formalismo matricial para describir estas transformaciones. Un artificio ideado por Minkowski nos permite
construir un sistema coordenado cartesiano con cuatro ejes en el cual el cuarto eje coordenado se elije como
x4 ≡ ict. El cuadrado del módulo de un vector en este espacio se escribe como
recordemos que esta cantidad es invariante debido a la exigencia de que la velocidad de la luz sea invari-
ante. En consecuencia debemos usar transformaciones ortogonales en cuatro dimensiones 1 , por tanto la
transformación de Lorentz es una transformación ortogonal en el espacio de Minkowski.
Dado que la cuarta coordenada es imaginaria, los elementos de la matriz de transformación pueden ser
complejos. La representación matricial se puede obtener de las ecuaciones vectoriales (17.2, 17.3). Represen-
tando por L a la matriz de transformación de Minkowski se tiene que
x0 = Lx (17.5)
siendo Lµν un elemento genérico. Las letras griegas representarán a las cuatro coordenadas en tanto que las
letras latinas representarán solo coordenadas espaciales. Las ecuaciones vectoriales (17.2, 17.3) en compo-
nentes se escriben como
βj βk xk
x0j = xj + (γ − 1) + iβj γx4 (17.6)
β2
x04 = −iβk xk γ + γx4 (17.7)
Con lo cual se pueden determinar los elementos de L para una dirección arbitraria de β
0 βj βk
xj = δjk + 2 (γ − 1) xk + iβj γx4
β
0
x4 = −iβk γxk + γx4 (17.8)
En el caso particular en el cual v va dirigida a lo largo de x 3 tenemos que βj = βδj3 y L adopta la forma
β 2 δj3 δk3
Ljk = δjk + (γ − 1) = δjk + δj3 δk3 (γ − 1) ; Lj4 = iβδj3 γ
β2
L4k = −iβδk3 γ ; L44 = γ (17.11)
ya hemos visto que en una matriz ortogonal la inversa es igual a la traspuesta. Veamos que ocurre al hacer
la traspuesta de la matriz L (β) en (17.10)
e jk (β) = Lkj (β) = δkj + βk βj [γ (β) − 1] = δjk + (−βj ) (−βk ) [γ (−β) − 1] = Ljk (−β)
L
β2 (−β)2
e j4 (β) = L4j (β) = −iβj γ = i (−βj ) γ = Lj4 (−β)
L
e 4k (β) = Lk4 (β) = iβk γ = −i (−βk ) γ = L4k (−β)
L ; e44 (β) = L44 (β) = γ (β) = γ (−β) = L44 (−β)
L
donde hemos usado el hecho de que γ (β) = γ (−β) lo cual es evidente de su definición. Tenemos por tanto
que
eµν (β) = Lµν (−β)
L
y como la traspuesta es la inversa llegamos a la propiedad esperada de que L −1 (v) = L (−v).
Notemos que la submatriz inferior 2×2 en (17.12) se asemeja a una rotación en un plano, la cual se
escribirı́a de la forma
cos φ sin φ
− sin φ cos φ
en este caso lo que tenemos es una rotación en los ejes x 3 x4 del espacio de Minkowski, pero en un ángulo φ
imaginario
cos φ = γ ; sin φ = iβγ (17.13)
podemos definir un ángulo real ψ en la forma φ ≡ iψ con lo cual
cosh ψ = γ ; sinh ψ = βγ
esta parametrización facilita muchas operaciones matriciales. Por ejemplo, si hacemos dos transformaciones
de Lorentz sucesivas en donde ambas poseen velocidades relativas a lo largo de x 3 la transformación matricial
solo es no trivial en el plano x3 x4 y se puede ver que simplemente se suman los ángulos φ y φ 0 correspondientes
como ocurre en una rotación en el plano, de modo que L 0 (φ0 ) L (φ) = L (φ + φ0 ). De las Ecs. (17.13) se tiene
que
tan φ + tan φ0
tan φ = iβ ; tan φ00 = tan φ + φ0 =
1 − tan φ tan φ0
iβ + iβ 0
⇒ iβ 00 =
1 − (iβ) (iβ 0 )
de modo que estas dos transformaciones de Lorentz sucesivas corresponden a una sola transformación de
Lorentz equivalente de la forma
β + β0
β 00 = (17.15)
1 + ββ 0
la Ec. (17.15) corresponde a la ley de adición de velocidades para velocidades paralelas. En esta ecuación se
vé que la velocidad equivalente no es simplemente la suma de las velocidades de las dos transformaciones en
virtud del factor de corrección ββ 0 en el denominador. Podemos ver además que incluso tomando valores de
β y β 0 cercanos a la unidad, se tiene que β 00 < 1. Esto indica que no se puede obtener una velocidad mayor
que c con transformaciones de Lorentz sucesivas. No hay manera de que una sistema de referencia vaya más
rápido que la luz con respecto a otro.
17.1. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 347
Aunque hemos visto que las transformaciones de Lorentz son ortogonales, no hemos demostrado que
éstas cubran todas la transformaciones ortogonales posibles en el espacio de Minkowski, de por sı́ esto
no es cierto como se puede demostrar con una transformación descrita por L 44 = 0, L4i = Li4 = 0 y los
nueve elementos restantes formando una submatriz 3×3 ortogonal en el espacio euclı́deo tridimensional. Esta
matriz es ortogonal en el espacio de Minkowski, pero no produce movimiento relativo entre los dos sistemas,
su efecto es una rotación de las coordenadas espaciales. Las rotaciones espaciales son un subconjunto
de las transformaciones ortogonales en el espacio de Minkowski. Similarmente, (17.5) no define la
transformación de coordenadas más general ante la cual deben permanecer invariantes las ecuaciones de la
Fı́sica, pues es claro que una redefinición de origen espacio temporal tampoco debe afectar a las leyes de la
Fı́sica. Debemos ver además si existen otro tipo de transformaciones ortogonales en el espacio de Minkowski.
La transformación más general en el espacio de Minkowski que mantiene invariante la velocidad de la luz es
x0 = Lx + a (17.16)
donde a representa una traslación del origen en el espacio de Minkowski (i.e. de espacio y tiempo) y L es una
matriz ortogonal. A las transformaciones del tipo (17.16) se les conoce como transformaciones de Poincaré o
transformaciones de Lorentz inhomogéneas. La condición de ortogonalidad
e = LL
LL e = 1 ; Lµν Lµρ = δνρ ó Lνµ Lρµ = δνρ (17.17)
representa diez ligaduras sobre los elementos de L (cuatro condiciones diagonales y seis no diagonales) de
modo que solo hay seis cantidades independientes en L. Por otro lado, vemos que las transformaciones de
Lorentz (17.10) involucran tres grados de libertad (las tres componentes de la velocidad) en tanto que las
rotaciones euclı́deas involucran otros tres grados de libertad (e.g. los ángulos de Euler). Esto parece indicarnos
que las transformaciones de Lorentz del tipo (17.10) junto con las rotaciones espaciales (o combinaciones de
ambas) forman el conjunto más general de transformaciones ortogonales en el espacio de Minkowski. Por
otro lado, para la transformación (17.16) existen cuatro grados de libertad adicionales con lo cual la cantidad
de elementos independientes será diez. En el presente estudio nos restringimos a las transformaciones de
Lorentz homogéneas de modo que requerimos manejar seis elementos independientes de L
x0 = Lx
(det L)2 = ±1
y ya hemos visto que si nos restringimos a las transformaciones contı́nuas debemos excluı́r las matrices de
determinante −1. Las matrices L de determinante +1 representan entonces transformaciones de Lorentz
propias. Sin embargo, no hay garantı́a de que todas las matrices de determinante +1 correspondan a
transformaciones contı́nuas. Efectivamente, en el caso de la inversión simultánea de todas las coordenadas
espacio temporales, el determinante sigue siendo +1. Necesitamos entonces un criterio para excluir las
transformaciones propias no contı́nuas. Examinemos el comportamiento de L 44 , usando las Ecs. (17.17) se
puede escribir con ν = ρ = 4
L4µ L4µ = δ44 ⇒ L244 + L4j L4j = 1 (17.18)
y como los elementos L4j conectan una coordenada espacial (real) con una temporal (imaginaria), estos
elementos deben ser imaginarios puros. En contraste L 44 debe ser real porque conecta al eje imaginario
consigo mismo, estas caracterı́sticas se pueden apreciar en (17.10). En consecuencia L 4j L4j debe ser negativo
y L244 debe ser positivo de modo que
La Ec. (17.19) plantea dos posibilidades: L 44 ≤ −1 que implica una inversión del tiempo y L 44 ≥ 1 que
implica una transformación contı́nua a partir de la identidad 2 . Las transformaciones de Lorentz con L 44 ≥ 1
se denominan ortócronas en tanto que las de L 44 ≤ −1 se denominan no ortócronas. Solamente las
transformaciones ortogonales propias ortócronas pueden evolucionar en forma contı́nua a partir de la
identidad. De las cuatro subclases solo las transformaciones propias ortócronas forman un grupo, las
otras tres subclases no. A las trasnformaciones de Lorentz propias ortócronas se les conoce como trans-
formaciones de Lorentz restringidas, solo ellas pueden generar rotaciones contı́nuas en el espacio y reducirse
a las transformaciones de Galileo en el lı́mite de bajas velocidades. En consecuencia, solo trabajaremos
transformaciones de Lorentz restringidas denominándolas simplemente transformaciones de Lorentz.
A las transformaciones de Lorentz restringidas que corresponden a dos sistemas de ejes paralelos que
se mueven uniformemente uno respecto al otro se les denomina transformaciones de Lorentz puras (o
boosts). La matriz descrita por (17.10) corresponde a una transformación de Lorentz pura. La intuición
nos indica que una transformación de Lorentz restringida puede descomponerse en una transformación de
Lorentz pura junto con una rotación espacial sin movimiento relativo (en uno u otro orden). Veamos como
se realizarı́a tal descomposición. Descompongamos la transformación de Lorentz en un boost seguido de una
rotación
L = RP (17.20)
Las coordenadas del sistema transformado x 0ν están relacionadas con las coordenadas no primadas por
e 0 ⇒ xµ = Lνµ x0
x0 = Lx ⇒ x = L−1 x0 ⇒ x = Lx (17.21)
ν
nos preguntamos ahora cual es la velocidad del origen de S 0 vista por un observador en S. En el origen de S 0
tenemos que x0j = 0 y las coordenadas del origen de S 0 vistas por el observador en S se obtienen aplicando
(17.21) con x0j = 0
xj = L4j x04 ; x4 = L44 x04 (17.22)
de las Ecs. (17.22) vemos que la velocidad relativa (normalizada a unidades de c) del origen de S 0 tiene
entonces las siguientes componentes
podemos ver que |βj | está entre cero y uno usando la primera desigualdad en (17.19) aplicada a (17.23)
2
iL4j 2 L4j L4j 2
|βj | =
≤ ≤1
L44 L44
construyendo entonces una transformación de Lorentz pura P (β) asociada al vector velocidad relativa del
origen de S 0 Ec. (17.23), vemos que la transformación inversa debe ser P (−β). Ahora teniendo en cuenta
(17.20) se encuentra entonces que la matriz R se puede despejar
L = RP (β) ⇒ LP (−β) = RP (β) P (−β)
⇒ R = LP (−β) (17.26)
se puede demostrar formalmente que este producto entre P (−β) y L corresponde a una rotación en el
espacio usando los elementos matriciales de P (−β) y la ortogonalidad de L. No obstante se puede ver
geométricamente que en la Ec. (17.20), el sistema intermedio de coordenadas definido por P (β) está en
reposo respecto al sistema final de ejes de modo que R solo puede girar las coordenadas. Esta descomposición
nos permite deducir que los parámetros independientes siempre serán las tres componentes de la velocidad
relativa entre los sistemas y los tres grados de libertad de la rotación espacial (por ejemplo los ángulos de
Euler).
Por otro lado, puede demostrarse que la composición de transformaciones de Lorentz puras no es en
general otra transformación de Lorentz pura a menos que sean paralelas las velocidades relativas de las
transformaciones sucesivas. El caso general es muy complejo y poco ilustrativo, veamos entonces un cálculo
sencillo que posee amplias aplicaciones en Fı́sica moderna dando origen al efecto llamado precesión de
Thomas.
Tomaremos tres sistemas inerciales con orı́genes O 1 , O2 , O3 . El sistema O1 es el laboratorio y O2 tiene
velocidad β relativa a O1 . O3 se mueve con velocidad β 0 relativa a O2 . Sin pérdida de generalidad se puede
tomar a β en la dirección de x3 de O1 y a β 0 lo podemos tomar sobre el plano x2 x3 de O2 de modo que β y
β 0 definen el plano x2 − x3 de O2 . Supondremos que las componentes de β 0 son muy pequeñas de modo que
solo las conservamos hasta el menor grado no nulo. Con esto, γ 0 para la transformación entre O2 y O3 se
puede sustituı́r por la unidad. Con base en lo anterior la matriz L que nos lleva de O 1 a O2 tiene la forma
dada por (17.12) y la matriz que nos lleva de O 2 a O3 se escribe usando la aproximación γ 0 ∼ = 1 en (17.10)
L0jk = δjk ; L0j4 = iβj0 ; L04k = −iβk0 ; L044 = 1
y recordando que por construcción β 10 = 0, explı́citamente queda
1 0 0 0
0 1 0 iβ20
L0 = 0
0 1 iβ30
0
0 −iβ2 −iβ3 1 0
siendo β20 , β30 las componentes de β 0 . La matriz producto con la misma aproximación está dada por
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 iβ 0 0 1 0 0 βγβ20 iγβ20
L00 = L0 L = 2 = 0 1
0 0 1 iβ30 0 0 γ iβγ 0 0 γ + βγβ30 iβγ + iγβ3
0
0
0 −iβ2 −iβ3 10 0 0 −iβγ γ 0 −iβ20 −iβγ − iγβ30 γ + βγβ30
1 0 0 0
0 1 ββ2 γ iβ20 γ
0
L00 = L0 L ∼
= 0
(17.27)
0 γ iβγ
0
0 −iβ2 −iβγ γ
donde se ha despreciado β30 frente a β por considerar a β 0 pequeña. Se puede ver que (17.27) no representa
una transformación de Lorentz pura ya que por ejemplo los elementos L 00ij de las coordenadas espaciales no
son simétricos como lo demandan las Ecs. (17.10) para transformaciones de Lorentz puras. Usando la Ec.
(17.23), podemos ver que las componentes de la velocidad relativa entre O 1 y O3 se escriben en la forma
iL0042 β20
β200 = = ; β300 = β ; β100 = 0 (17.28)
L0044 γ
350 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
dado que (β 00 )2 = (β200 )2 + (β300 )2 ' β 2 y por tanto γ 00 ' γ, podemos aproximar la transformación de Lorentz
pura asociada a la velocidad relativa β 00 reemplazando estas aproximaciones en (17.10)
y combinando las Ecs. (17.28, 17.29) podemos construı́r P (β). Escribiremos P (−β) que es el que nos interesa
1 0 0 0
β20
00
0 1 βγ (γ − 1) −iβ2
0
P −β = 0
β2
0 βγ (γ − 1) γ −iβγ
0 iβ20 iβγ γ
y usando la Ec. (17.26) podemos encontrar la matriz de rotación correspondiente de los ejes de O 3 con
respecto a O1 . Suprimiendo los términos de orden superior en β 0 se obtiene
1 0 0 0
β20
00 00
0 1
βγ (γ − 1) 0
R = L P −β = 0 (17.30)
0 − β2 (γ − 1) 1 0
βγ
0 0 0 1
como esta rotación es a primer orden en β 20 se puede comparar con una rotación infinitesimal 4 . Comparando
entonces la submatriz 3×3 superior izquierda (17.30) con la matriz infinitesimal (??) se obtiene que (17.30)
está asociada a una rotación alrededor del eje x 1 con un ángulo (pequeño) dado por
β20 (γ − 1)
∆Ω1 = (γ − 1) = β200 β
βγ β2
este es entonces un ejemplo concreto de dos transformaciones de Lorentz a ejes paralelos sucesivas (boosts
de Lorentz) que dan como resultado la combinación de un boost con una rotación. Esta paradoja tiene
imporantes aplicaciones especialmente en Fı́sica atómica como veremos a continuación.
Consideremos una partı́cula que se mueve en el laboratorio con una velocidad v no constante, el sistema
en el cual esta partı́cula está en reposo no es inercial y por tanto no es aplicable el formalismo anterior.
Para obviar esta dificultad, consideraremos un conjunto de sistemas inerciales todos coincidentes con el
original en t = 0 y que viajan a diferentes valores de velocidad relativa (todos los valores de velocidad que
se requieran). En consecuencia, la partı́cula estará en reposo instantáneo con respecto a alguno de estos
sistemas de referencia en cualquier instante de tiempo.
Pensemos que O1 es el sistema del laboratorio y que O2 y O3 son sistemas en los cuales la partı́cula
está en reposo instantáneo en dos tiempos t 2 y t3 respectivamente. De acuerdo con las Ecs. (17.28), el
observador O1 verá en el tiempo ∆t = t3 − t2 una variación ∆v en la velocidad de la partı́cula que solo tiene
componente x2 de valor β200 c.
β 00 c v (γ − 1) (γ − 1)
∆Ω1 = 2 = (∆v) v
c c v 2 /c2 v2
Dado que el eje x3 se ha tomado a lo largo de v, y que ∆v va alo largo de x 2 , la ecuación anterior se puede
escribir en forma vectorial. El vector asociado a la rotación (pequeña) durante este tiempo se puede escribir
v × ∆v
∆Ω = − (γ − 1)
v2
4
Las ecuaciones desarrolladas en la sección (??) son válidas para matrices infinitesimales pero también son aproximadamente
válidas para rotaciones finitas suficientemente pequeñas como para permitir mantener solo términos de primer orden.
17.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ USANDO ESPACIOS DE RIEMANN DE CUATRO DIMENSION
de modo que si la partı́cula tiene alguna dirección especı́fica asociada a ella (como un vector de espı́n), el
sistema del laboratorio observará que esta dirección experimenta una precesión de velocidad angular
v×a
ω = − (γ − 1) (17.31)
v2
siendo a la aceleración de la partı́cula vista desde O 1 . La Ec. (17.31) aparece con frecuencia en la literatura
en la forma que posee cuando se toma el lı́mite de velocidad pequeña que permite aproximar a γ
1
ω= (a × v)
2c2
ω es la frecuencia de precesión de Thomas.
donde los ı́ndices 1230 representan las tres coordenadas espaciales y la coordenada temporal. El módulo al
cuadrado de un vector en tal espacio viene dado por
eGx = xi xi − x20 = xi xi − c2 t2
x (17.33)
que nos representa al invariante que queremos. Una transformación de Lorentz homogénea es una transfor-
mación lineal en este espacio real que mantiene invariante este módulo de los vectores. Es evidente que la
matriz asociada a estas transformaciones debe ser real en este espacio, de modo que la denotaremos por
Λ. La condición de invarianza del módulo de los vectores ante una transformación de Lorentz se escribe
matricialmente en la forma
y como esto es válido para un vector arbitrario en este espacio, la condición para las transformaciones de
Lorentz resulta
e
ΛGΛ =G (17.34)
La Ec. (17.34) es una transformación de congruencia que deja invariante al tensor métrico. Haciendo la
analogı́a con las matrices ortogonales del espacio euclı́deo (donde el tensor métrico cartesiano es 1), podemos
decir que (17.34) es la condición de ortogonalidad de Λ en el espacio real de Riemann con tensor métrico
G5 .
5
Es claro que esta condición se reduce a la ortogonalidad usual cuando G = 1.
352 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
La relación entre las fórmulas expresadas en el espacio de Minkowski y las expresadas en el espacio real
de Riemann se logra con las siguientes asociaciones simples
en tanto que los demás elementos no varı́an, lo cual es de esperarse ya que ambos contienen al subespacio
R3 dotado de la misma estructura. A manera de ejemplo, la transformación de Lorentz pura con velocidad
relativa a lo largo de x3 correspondiente a la Ec. (17.12), tiene la siguiente representación matricial real en
este espacio de Riemann
1 0 0 0
0 1 0 0
Λ= 0 0
γ −βγ
0 0 −βγ γ
el producto escalar se escribe usando el tensor métrico
(x, y) ≡ x
eGy =e
yGx = (y, x)
eGy = xµ gµν yν
x
donde la igualdad entre (x, y) y (y, x) viene dada por el carácter real de este producto interno. La condición
de ortogonalidad de la Ec. (17.34) garantiza la invarianza del producto escalar ante una transformación de
Lorentz Λ.
Es usual escrbir estas fórmulas de manera mas compacta mediante un conveniente cambio de notación.
Supongamos que formamos un vector en el espacio de Riemann con los elementos de coordenadas dx µ y
estudiemos su comportamiento ante una trasnformación general de coordenadas del tipo
yν = fν (x1 , x2 , ...)
∂fν ∂yν
dyν = dxµ = dxµ (17.36)
∂xµ ∂xµ
las derivadas son los elementos de la matriz jacobiana de la trasnforamción entre (x) e (y). Cuando la
trasnformación A es lineal, serı́an simplemente los elementos matriciales A νµ . Por otro lado, las componentes
de un vector gradiente se transforman de acuerdo con al ecuación
∂ ∂xµ ∂
= (17.37)
∂yν ∂yν ∂xµ
nótese que en (17.37) los coeficientes corresponden a los elementos de la matriz jacobiana de la transformación
inversa de (y) hacia (x). Los vectores que se transforman de acuerdo con la regla dada por la Ec. (17.36) se
denominan vectores contravariantes y se denotan con supraı́ndices
∂yν µ
D 0ν = D
∂xµ
en contraste, los vectores que transforman de la manera prescrita por la Ec. (17.37) se denominan covariantes
y se denotan con subı́ndices
∂xµ
Fν0 = Fµ
∂yν
El producto de las matrices jacobianas correspondientes a una transformación y a su inversa debe ser la
matriz unidad ya que corresponde a pasar de (x) a (y) y volver de nuevo a (x). De aquı́ se desprende
17.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ USANDO ESPACIOS DE RIEMANN DE CUATRO DIMENSION
que el poducto interno entre un vector contravariante y un vector covariante queda invariante ante la
trasnformación,
∂yν ∂xρ µ
D 0ν Fν0 = D Fρ = δµρ D µ Fρ = D µ Fµ
∂xµ ∂yν
en el caso de espacios cartesianos, no hay diferencia entre vectores covariantes y contravariantes ante transfor-
maciones lineales ortogonales. Si la matriz A describe la transformación, un vector contravariante transforma
segú la prescripción
D 0ν = Aνµ D µ
en tanto que un vector covariante transforma en la siguiente forma
Fν0 = A−1 µν Fµ = A e Fµ = Aνµ Fµ
µν
de modo que no es necesario distinguir hasta ahora entre los dos tipos de comportamiento ante la transfor-
mación.
De la misma manera en que definimos tensores cartesianos según la prescripción (??) heredada de la
transformación de los vectores, uno define las propiedades de transformación de tensores de cualquier rango
en espacios no euclı́deos. Por tanto, un tensor covariante G de segundo ordense transforma con la prescripción
∂xρ ∂xλ
G0µν = Gρλ
∂yµ ∂yν
y se puede demostrar que la contracción de un tensor de segundo rango covariante con un tensor de segundo
rango contravariante (o con dos vectores contravariantes) es invariante ante la transformación. Similarmente,
la contracción de un tensor de segundo rango covariante con un vector contravariante transforma como un
vector covariante
Gµν H µν = s1 Gµν Rµ M ν = s2 ; Gµν D µ = Fν
donde s1 y s2 son invariantes ante la transformación (escalares) y F ν es un vector covariante. Veamos la
demostración de la tercera ecuación
∂xρ ∂xλ ∂yν τ ∂xρ ∂xρ
Fµ0 = G0µν D 0ν = Gρλ D = Gρλ δλτ D τ = Gρλ Dλ
∂yµ ∂yν ∂xτ ∂yµ ∂yµ
∂xρ
Fµ0 = Fρ
∂yµ
donde hemos tenido en cuenta el carácter covariante del tensor métrico para obtener el vector covariante
Aν .En particular, el cuadrado del módulo del vector posición en el cuadriespacio real se puede escribir en la
forma
xn xn
354 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
de esta forma los productos internos se pueden construir sin alución directa al tensor métrico, teniendo en
cuenta que un facto del producto escalar se sustituye por el vector covariante que se obtiene al contaer con
el tensor métrico como se vé en (17.38). Si nos interesa el producto escalar de dos vectores covariantes,
debemos “subir” el ı́ndice por contracción con el inverso del tensor métrico, el cual se puede demostrar que
es contravariante. En el caso del cuadriespacio real donde el tensor métrico es diagonal con elementos ±1
son sus propios inversos y no hay diferencias entre tensores métricos covariantes y contravariantes.
Es claro que esta no es la única forma de construı́r el tensor métrico, el cual fué diseñado para generar el
invariante (17.33) por medio del módulo al cuadrado del vector posición en tal espacio, podemos en cambio
consturı́r el invariante en la forma
es claro que bajo la métrica (17.39) se mantiene invariante la velocidad de la luz y las matrices Λ que
describen a las transformaciones de Lorentz no se modifican. Todo el formalismo permanece inalterado
excepto que el producto interno cambia de signo 6 . El tensor G tiene la signatura (+ + +−) en tanto que el
tensor G0 tiene la signatura (− − −+). También podemos identificarlos por sus trazas T rG = 2, T rG 0 = −2.
El uso del formalismo de Minkowski o de Riemann presenta cada uno sus ventajas y desventajas. En
teorı́a general de la relatividad será necesario usar la métrica de un esapcio curvo para lo cual es muy
adecuado el uso de espacios de Riemann, por otro lado en meca´nica cuántica donde la funciones de onda o
vectores de estado son complejos, el uso de una coordenada compleja complica la operación de conjugación
compleja. Por otro lado, cuando nos restringimos al marco de la relatividad especial, las operaciones en el
espacio de Minkowski suelen tener analogı́as muy cercanas al esapcio euclı́deo y no es necesaria la distinción
entre vectores covariantes y contravariantes, debido a la trivialidad del tensor métrico. En todo caso la
mayorı́a de fórmulas presentan el mismo aspecto en ambos casos o su transición de uno a otro esquema es
muy sencilla. Un aspecto común en ambos formalismos es la idea de que elemento de longitud de arco tiene
un carácter indefinido, pues (ds)2 puede ser positivo, negativo o cero.
requisito asegura de manera automática la invarianza de la forma de la ecuación ante una rotación de los
ejes espaciales. Por ejemplo una relación escalar tiene la forma general
a=b
y dado que los dos miembros de la igualdad por ser escalares euclidianos son invariantes ante rotaciones
espaciales de los ejes, es evidente que la relación será válida para todos los sistemas de coordenadas con
origen común. Una relación vectorial será de la forma
F=G
que se puede escribir en términos de tres relaciones numéricas entre las componentes 7
Fi = G i (17.40)
Claramente, estas componentes no son invariantes ante rotaciones espaciales. En general, se transforman a
nuevas componentes Fi0 , G0i que son las componentes de los vectores transformados (pasivamente) F 0 , G0 .
Pero como los dos miembros de las ecuaciones se transforman de igual manera, entre las componentes
transformadas se debe cumplir la misma relación
Fi0 = G0i
y por tanto la relación vectorial también se preserva con la rotación espacial; en el nuevo sistema coordenado
escribimos
F0 = G 0
Es importante enfatizar que la invarianza en la forma se debe a que ambos miembros de la ecuación son
vectores. Decimos que los términos de la ecuación son covariantes. Es necesario aclarar que el concepto de
covarianza empleado aquı́ tiene un significado muy distinto al de la covarianza de vectores en el espacio de
Riemann. La covarianza en espacios de Riemann se refiere a la propiedad según la cual algunos vectores
transforman bajo un cambio de coordenadas según la matriz jacobiana de la transformación, en este escenario
el término se usa por contraposición a los vectores (o tensores) contravariantes que transforman con el inverso
de la matriz jacobiana bajo el cambio de coordenadas. En el caso que nos ocupa ahora, la covarianza se define
para los términos de una ecuación que expresa alguna ley de la Fı́sica, para indicar que todos los términos
involucrados en la ecuación (escalares, vectores, tensores) transforman en la misma manera de modo que se
mantiene la forma de la ecuación.
La covarianza por supuesto se puede generalizar para ecuaciones que involucran tensores de orden ar-
bitrario, si tenemos una ecuación tensorial de la forma C = D los tensores transformados implicarán la
misma igualdad C0 = D0 siempre que los tensores de ambos miembros sean del mismo rango. Por
ejemplo, si una ecuación posee términos que son escalares, otros que son vectores etc, no se podrá mantener
invariante ante una transformación ortogonal tridimensional. Podemos concluir que la invarianza de una ley
Fı́sica ante una rotación del sistema de coordenadas espaciales, exige la covarianza de los términos de la
ecuación ante transformaciones ortogonales tridimensionales.
Vamos ahora al espacio extendido de Minkowski o espacio de universo. El manejo allı́ es idéntico una
vez que hemos caracterizado a las transformaciones ortogonales en este espacio y por ende la estructura
de sus tensores de cualquier rango. A los tensores en este espacio los llamamos tensores de Minkowski o
tensores de universo, genéricamente escalares de universo, vectores de universo (cuadrivectores), etc. En
consecuencia, la invarianza de una ley Fı́sica ante transformaciones de Lorentz será inmediata si se expresa
en forma cuadridimensional covariante, de modo que todos los términos son tensores de universo del mismo
rango. De lo anterior se deriva que una teorı́a Fı́sica en el marco de la relatividad especial solo tiene validez
si es covariante ante transformaciones de Lorentz (boosts y rotaciones espaciales).
7
Nótese que las Ecs. (17.40) son relaciones numéricas pero no son relaciones escalares.
356 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
Notemos por ejemplo que el producto de un número por un cuadrivector solo será otro cuadrivector si
el número es un escalar de universo. Supongamos que α es un número que no es escalar de universo, en un
sistema S el producto de este número por un cuadrivector es
αF = W
ante una transformación de Lorentz, F y W transforman como cuadrivectores con una cierta matriz M
de transformación, por otro lado α 0 transforma en la forma α0 = Nα siendo N un operador diferente a la
identidad (ya que no es escalar de universo). Tenemos entonces
y supongamos que Fµν , Tµν , Hµν no son tensores de universo pero que R µν sı́ lo es. En general esta ecuación
no será covariante, pero puede ocurrir que la suma de los tres términos no tensoriales sı́ transforme como
un tensor gracias a ciertos efectos de cancelación, ciertamente si estos términos no son tensores será mucho
más complejo demostrar la covarianza de la ecuación (si es que es covariante). Esta anotación es útil, porque
a menudo ocurre que se construye una teorı́a en forma manifiestamente covariante, pero luego para efectos
prácticos de cálculo se transforma a una estructura en donde la covarianza no es evidente.
El ejemplo más simple de cuadrivector de Lorentz es el vector de posición de un “punto” en el espacio
de Minkowski o de universo, donde sus componentes se denotan por (x 1 , x2 , x3 , x4 ). Las cuatro coordenadas
de un punto de universo nos dice cuando (tiempo) y donde (espacio) ha ocurrido un suceso, a todo punto
de este espacio se le llama entonces un suceso o un evento.
Cuando una partı́cula en el espacio ordinario sigue una determinada trayectoria, su punto representativo
en el espacio de Minkowski describe una trayectoria conocida como lı́nea de universo. El cuadrivector dx µ
representa la variación del cuadrivector posición para un movimiento diferencial a lo largo de la lı́nea de
universo. Este término multiplicado por sı́ mismo es un invariante de Lorentz de modo que representa un
escalar de universo denominado dτ
1
(dτ )2 = − 2 dxµ dxµ (17.41)
c
para elucidar el significado Fı́sico de dτ evaluaremos (17.41) en un sistema inercial en el cual la partı́cula
esté en reposo instantáneo. En este sistema el cuadrivector transformado dx 0µ asociado a esta partı́cula
está descrito por (0, 0, 0, icdt0 ) y el invariante dτ se escribe
1 0 0
0 2
(dτ )2 = − dx µ dx µ = dt
c2
con lo que se vé que dτ es el intervalo de tiempo medido por un reloj que se mueva con la partı́cula, que se
denomina el tiempo propio o tiempo de universo.
Ahora veamos la relación entre dτ y el intervalo de tiempo correspondiente a un cierto sistema inercial
dt, usando la Ec. (17.41)
1 h i 1 h i
(dτ )2 = − (dx 1 ) 2
+ (dx 2 ) 2
+ (dx 3 ) 2
+ (dx 4 ) 2
= − (dx 1 ) 2
+ (dx 2 ) 2
+ (dx 3 ) 2
− c 2
(dt) 2
c2 v c2
u "
u 2 2 2 #
1 dx1 dx2 dx3
dτ = (dt) t1 − 2 + +
c dt dt dt
17.3. FORMULACIONES COVARIANTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 357
Xµ Xµ = |r1 − r2 |2 − c2 (t1 − t2 )2
de modo que Xµ será del género espacial si los dos puntos de universo están separados de modo que
|r1 − r2 |2 = c2 (t1 − t2 )2
la condición para que el vector diferencia sea temporal equivale a decir que se puede cubrir la distancia entre
los dos eventos o sucesos mediante una señal luminosa (e incluso algunas señales más lentas que la luminosa),
en cuyo caso se habla de sucesos o eventos causalmente conectados. La condición de cuadrivector del género
espacial equivale a que estos eventos no podrán conectarse con ninguna onda luminosa o señal que viaje
a velocidad menor o igual que c, decimos que los eventos están causalmente desconectados. Finalmente, si
el cuadrivector diferencia es como de Luz, solo una señal que viaje a velocidad c podrá conectar a estos
sucesos (y no se pueden conectar con señales que viajen a velocidades menores), claramente estos son eventos
causalmente conectados.
358 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
Podemos elegir el eje x3 de modo que quede alineado con los ejes espaciales r 1 − r2 del cuadrivector
relativo. En tal caso se tiene que |r 1 − r2 | = x3(1) − x3(2) . Si realizamos una transformación de Lorentz
pura con velocidad v a lo largo de x3 podemos aplicar las transformaciones dadas en (17.1) para la cuarta
componente de Xµ
vx
vx
t1 − c3(1)
2 t2 − c3(2)
2
t01 = p ; t02 = p
1 − β2 1 − β2
vx
vx3(2)
vx3(1) −vx3(2)
t1 − c3(1)
2 t 2 − c2 t 1 − t 2 − c2
t01 − t02 = p − p = p
1 − β2 1 − β2 1 − β2
v
c (t1 − t2 ) − c x3(1) − x3(2)
c t01 − t02 = p (17.43)
1 − β2
si Xµ es del género espacial y los sucesos son tales que t 1 > t2 nos queda que
c (t1 − t2 ) < x3(1) − x3(2)
y será posible encontrar una velocidad v < c de modo que se anule la cuarta componente ic (t 01 − t02 ) ≡ X40 .
Fı́sicamente la anulación de la componente temporal significa que es posible encontrar un sistema inercial
que viaje a velocidad v < c en el cual los dos sucesos sean simultáneos. Adicionalmente, también es posible
encontrar valores de v < c que haga que el miembro de la derecha en (17.43) se vuelva negativo lo cual
indicarı́a que t02 > t01 , de modo que encontramos un sistema de referencia inercial en el cual se invierte la
secuencia de los sucesos. El que pueda invertirse la secuencia de sucesos entre eventos del género espacial no
constituye una violación de la causalidad ya que estos eventos están causalmente desconectados y no hay
manera de que un suceso pueda influı́r en el otro. Por ejemplo, nada de lo que ocurra ahora en la tierra
puede afectar a la estrella alfa centauri dentro de los siguentes cuatro años en virtud de su distancia a la
tierra de unos cuatro años luz.
En contraste, para separaciones del género temporal entre sucesos, no es posible encontrar una trans-
formación de Lorentz que los haga simultáneos y menos aún que pueda invertir el orden temporal de los
sucesos. Ası́ debe ser puesto que estos eventos sı́ están causalmente conectados y pueden influı́r el uno sobre
el otro. Esto implica que el antes y el después, o la causa y el efecto, son conceptos invariantes de Lorentz
y se preserva la causalidad.
Es importante establecer la generalización relativista de las cantidades Newtonianas más importantes.
Por ejemplo la velocidad
dxi
vi =
dt
no puede extrapolarse de manera inmediata para construı́r un cuadrivector de Lorentz ya que la cantidad
vµ = dxµ /dt es el producto de un cuadrivector (dx µ ) con una cantidad que no es escalar (dt no es invariante
de Lorentz) de modo que el resultado no es un cuadrivector. El invariante más obvio asociado a dt es el
tiempo propio τ de modo que resulta natural definir la cuadrivelocidad u ν como la variación por unidad de
tiempo del vector de posición de una partı́cula (medida en un sistema S) con respecto al tiempo propio de
dicha partı́cula (invariante)
dxν dxν
uν = = p (17.44)
dτ dt 1 − β 2
cuyas componentes espacial y temporal son
dx vi dx4 ic
ui = p i =p ; u4 = p =p (17.45)
dt 1 − β 2 1−β 2 dt 1 − β 2 1 − β2
la cuadrivelocidad (o velocidad de universo) módulo cuadrado es invariante de Lorentz
v2 c2
uν uν = − = −c2 (17.46)
1 − β2 1 − β2
17.3. FORMULACIONES COVARIANTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 359
y es además del género temporal. Por supuesto, la cuadrivelocidad no tiene un significado Fı́sico directo ya
que para medir dxν y dτ se están usando en general sistemas de referencia diferentes. Sin embargo, la Ec.
(17.45) nos muestra que la cuadrivelocidad contiene toda la información sobre la velocidad Fı́sica y tiene la
ventaja de que si escribimos las expresiones en términos de la cuadrivelocidad, será más fácil chequear la
covarianza de las ecuaciones gracias a la naturaleza cuadrivectorial de u ν .
Otro cuadrivector de enorme importancia es el cuadrivector j µ formado con la corriente eléctrica j unida
con la cantidad icρ siendo ρ la densidad de corriente eléctrica. Para obtener esta forma cuadrivectorial
comenzamos con la ecuación de continuidad
∂ρ
∇·j+ =0
∂t
que me expresa la conservación de la carga, si asumimos que la conservación de la carga es válida en todos los
sistemas de referencia inerciales, entonces esta ecuación debe conservar su forma ante una transformación de
Lorentz. Dado que j está asociado en la ecuación de continuidad a derivadas en el tiempo es razonable pensar
que haga parte de las componentes espaciales de un cuadrivector, similarmente dado que ρ está asociado a
una derivada temporal resulta razonable pensar que hace parte de la componente temporal del cuadrivector.
Para escribir esta ecuación en forma manifiestamene covariante escribámosla en componentes
Dado que ∂µ es un cuadrivector, se tiene que jµ también debe serlo si la ecuación de continuidad ha de ser
covariante, es decir si la carga se ha de conservar en todos los sistemas inerciales. Por otro lado, se puede
ver a jµ como el cuadrivector ρ0 uµ siendo ρ0 la densidad de carga en el sistema en el cual las cargas están
en reposo, es decir es la densidad de carga propia.
Por otro lado, el operador cuadrigradiente se transforma en el espacio de Minkowski como un cuadrivec-
tor 8
∂ ∂xµ ∂ ∂ ∂
0
= 0
= L0µν = Lνµ
∂xν ∂xν ∂xµ ∂xµ ∂xµ
donde hemos usado la ortogonalidad de L. Vemos pues que la cantidad ∂ µ jµ es invariante ante una trans-
formación de Lorentz (escalar de universo) ya que es la contracción de dos cuadrivectores. Este ejemplo nos
muestra una forma de escribir una ley Fı́sica en una forma manifiestamente covariante.
Veamos otro ejemplo de cuadrivector muy importante en la Fı́sica. Es bien conocido de la teorı́a clásica
electromagnética que los potenciales escalar y vectorial obedecen ecuaciones de onda desacopladas
1 ∂2A 4π 1 ∂2φ
∇2 A − 2 2
=− j ; ∇2 φ − = −4πρ (17.48)
c ∂t c c2 ∂t2
siempre y cuando se imponga la condición de Lorentz.
1 ∂φ
∇·A+ =0 (17.49)
c ∂t
Nótese que la condición de Lorentz es semejante en estructura a la ecuación de continuidad, por ello usando
un argumento similar al usado para la ecuación de continuidad es natural pensar que A está asociado a
las componentes espaciales de un cuadrivector y φ a la componente temporal. Esta asociación parece estar
reforzada por las Ecs. (17.48) donde A tiene como fuente a j (que a vez forma parte de la componente espacial
8
Recordemos que en la formulación de espacios de Riemann, este operador se transforma covariantemente y la ecuación
(17.47) es el producto escalar de un vector covariante con un contravariante, esto se denota como ∂ µ j µ = 0. En general los
invariantes en el espacio de Riemann son combinaciones de tensores covariantes con tensores contravariantes, de modo que
deben escribirse con ı́ndice arriba contraı́do con ı́ndice abajo e.g. j µ kµ , kµν pµν .
360 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
del cuadrivector jµ ) en tanto que φ tiene como fuente a ρ (donde este último es parte de la componente
temporal de jµ ). Comencemos por la condición gauge Ec. (17.49) que se puede reescribir como
∂ (iφ) ∂ ∂
∂i Ai + = 0 ⇒ ∂µ = ∇, = ∇, ; Aµ ≡ (A, iφ) (17.50)
∂ (ict) ∂x4 ∂ict
⇒ ∂ µ Aµ = 0 (17.51)
∂2A 4π 1 ∂ 2 iφ 4π
∇2 A + =− j ; ∇2 iφ − = − icρ (17.52)
∂ (ict)2 c 2
c ∂t 2 c
1 ∂2 ∂
2 ≡ ∇ 2 − = ∇2 + = ∂ i ∂i + ∂ 4 ∂4
2
c ∂t 2
∂ (ict)2
∂2
2 ≡ ∂ µ ∂µ =
∂xµ ∂xµ
p
la cuadrivelocidad uν forman un vector espacialpv/ 1 − β 2 . Sin embargo, la v no hace parte de ningún
cuadrivector, para que lo sea debe dividirse por 1 − β 2 .
Primero buscaremos una generalización cuadrivectorial del miembro izquierdo en (17.54), es claro que la
cuadrivelocidad definida en (17.45) posee una parte espacial que se reduce a v cuando β → 0. Tomaremos
a m como un invariante que lo llamaremos la masa en reposo o masa propia de la partı́cula. En cuando al
tiempo t, este no es un invariante relativista pero sabemos que el tiempo propio τ sı́ es un invariante que
además se reduce a t cuando β → 0. Los argumentos anteriores sugieren que la generalización de la ley de
Newton (17.54) para una partı́cula tenga la forma
d
(muν ) = Kν (17.55)
dτ
donde Kν debe ser un cuadrivector llamado fuerza de Minkowski.
Nótese que en general las componentes espaciales de K ν no tienen que coincidir con las componentes
de la fuerza, salvo por supuesto en el lı́mite no relativista con β → 0. Podemos pensar por ejemplo que K i
se puede construı́r como el producto de F i con cierta función h (β) que se reduzca a la unidad en el lı́mite
no relativista. Para conocer la forma de h (β) debemos conocer el comportamiento de la fuerza ante una
transformación de Lorentz. Utilizaremos dos procedimientos.
En el primer procedimiento, tendremos en cuenta que las fuerzas fundamentales son solo cuatro: las
interacciones gravitacional, electromagnética, nuclear débil y nuclear fuerte. La idea serı́a expresar las leyes
que gobiernan a estas interacciones de manera covariante. No obstante, no se conoce teorı́as covariantes
para las fuerzas nucleares, entre otras cosas porque tales interacciones no se pueden modelar clásicamente
en forma satisfactoria (en la teorı́a cuántica la fuerza pierde su significado y es reemplazada por la energı́a
potencial). Sin embargo, en el caso electromagnético clásico es de esperarse que podamos construı́r una
expresión de la fuerza que nos proporcione una ecuación covariante, después de todo la teorı́a especial de
la relatividad fué construı́da justamente para que las ecuaciones de Maxwell fueran invariantes de Lorentz.
Afortunadamente, esta construcción será suficiente ya que las propiedades de transformación de las fuerzas
deben ser las mismas independientemente de su origen. Por ejemplo, el hecho de que una partı́cula esté en
equilibrio (suma de fuerzas cero) debe ser independiente del sistema de referencia inercial utilizado y esto
solo es posible si las fuerzas transforman todas igual, incluso si cada una es de diferente naturaleza.
Vimos que a partir de la expresión para la fuerza de Lorentz escrita en términos de potenciales en lugar
de campos, la fuerza electromagnética que se ejerce sobre una partı́cula cargada viene dada por
∂ 1 1 dAi
Fi = −q φ− v·A +
∂xi c c dt
este término es claramente un cuadrivector, pues el primer término es la derivada ∂ µ (operador cuadrivec-
torial) de un escalar de universo, el segundo término es el producto de un cuadrivector dA µ por un escalar
de universo (dτ )−1 . En consecuencia, la expresión en paréntesis cuadrados enp(17.56) está asociada a las
componentes espaciales de un cuadrivector. Por tanto, F i es el producto de 1 − β 2 por la componente
espacial de un cuadrivector, el cual identificamos como la fuerza de Minkowski K ν . Por tanto la relación
entre la fuerza ordinaria y la de Minkowski está dada por
p
Fi = K i 1 − β 2 (17.57)
esta relación debe ser general e independiente del origen de las fuerzas. Para el caso de partı́culas cargadas
sometidas a un campo electromagnético, la fuerza de Minkowski se obtiene de la extrapolación de la expresión
(17.56)
q ∂ dAµ
Kµ = (uν Aν ) − (17.58)
c ∂xµ dτ
En un segundo procedimiento, se define la fuerza como la variación del momento lineal por unidad de
tiempo, en todos los sistemas de Lorentz se tiene entonces que
dpi
Fi = (17.59)
dt
pero para ello será necesario redefinir el momento lineal p i de modo que en el lı́mite no relativista se reduzca
a mvi . Podemos hallar la forma que toma el momento y el significado de K µ haciendo que la Ec. (17.55)
se parezca en lo posible a (17.59). A partir de la relación entre τ y t y de la definición de cuadrivelocidad,
podemos escribir las componentes espaciales de (17.55) en la forma
!
d mvi p
p = Ki 1 − β 2 (17.60)
dt 1 − β2
y comparando (17.60) con (17.59) vemos que el teorema de conservación del momento lineal (reemplazante
más general que la tercera ley de Newton) será invariante de Lorentz si definimos la cantidad de movimiento
en la forma
mvi
pi = p (17.61)
1 − β2
y que Fi y Ki estén relacionadas como lo indica la ecuación (17.57). Nótese que la ecuación (17.61) se reduce
a mvi cuando β → 0 como se esperaba. Los dos procedimientos conducen entonces a los mismos resultados.
Comparando (17.61) con la definición (17.45) de la cuadrivelocidad vemos que p i es la parte espacial del
llamado cuadrivector momento energı́a
pν = muν (17.62)
la ecuación de movimiento generalizada para una partı́cula se escribe entonces
dpν
= Kν (17.63)
dτ
hasta ahora solo hemos estudiado la parte espacial de las ecuaciones cuadrivectoriales (17.55, 17.63). Para
obtener información de la parte temporal hagamos el producto interno de (17.55) por la cuadrivelocidad
d d m
uν (muν ) = uν uν = K ν uν
dτ dτ 2
de (17.46) vemos que uν uν = −c2 y como m es también constante, vemos que la expresión de la mitad se
anula. Luego
Kν uν ≡ K i ui + K 4 u4 = 0
17.4. FUERZA Y ENERGÍA EN RELATIVIDAD 363
i F·v
K4 = p (17.64)
c 1 − β2
recordemos ahora el escenario no relativista. En este escenario F · v corresponde al trabajo por unidad de
tiempo que se hace sobre la partı́cula dW/dt. Teniendo en cuenta además el teorema fundamental del trabajo
y la energı́a resulta dW = dT siendo T la energı́a cinética. De esto se concluye que
dW dT
F·v = = (lı́mite no relativista)
dt dt
Extrapolando esta definición al caso relativista tenemos que
dT
= F · v (escenario relativista) (17.66)
dt
Comparando (17.65) con (17.66) se obtiene la generalización relativista de la energı́a cinética
mc2
T =p (17.67)
1 − β2
Este valor no coincide con el lı́mite no relativista esperado. Sin embargo, el valor adicional pareciera a priori
ser irrelevante ya que se puede adicionar una constante a la derecha de (17.67) que no afectarı́a la validez
de la Ec. (17.65). Sin embargo, es preferible mantener este valor y conservar la cantidad T en la forma
dada por (17.67), hay dos buenas razones para mantener esta cantidad: (a) En algunos casos como veremos
más adelante mc2 puede cambiar gracias al cambio en la masa en reposo de las partı́culas, por ejemplo en
colisiones inelásticas. Esto nos indica que este tipo de energı́a se puede intercambiar o transferir y por tanto
es Fı́sicamente relevante y (b) al comparar (17.62) con (17.67) vemos que iT /c es la cuarta componente del
cuadrivector momento energı́a
mvi iT imc
pν = (p1 , p2 , p3 , p4 ) ; pi = p = mui ; p4 = =p = mu4
1 − β2 c 1 − β2
364 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
Sin embargo, para usar una terminologı́a consistente con la newtoniana es preferible definir la energı́a cinética
como la parte de esta energı́a que se reduce correctamente al valor no relativista
K ≡ T − mc2 = mc2 (γ − 1)
no existe una única designación para T . En ocasiones se le llama energı́a total (si bien esto solo serı́a apropiado
para partı́cula libre) y en otras simplemente energı́a. En todo caso T posee propiedades interesantes. Por
ejemplo se puede demostrar que la T dada por (17.67) se conserva siempre que se conserve el momento lineal
espacial. Para verificar este teorema, podemos tener en cuenta que la conservación del momento espacial
debe ser invariante ante una transformación de Lorentz, en realidad esta invarianza está implı́cita en la
definición de sistema inercial dada por Einstein. Las componentes transformadas p 0j serán funciones lineales
de las pi pero también de p4 i.e. de la energı́a T . En consecuencia, la conservación de p 0j para todos los
sistemas inerciales exige la conservación conjunta de todas las componentes de p ν . Es fácil calcular el valor
del invariante pν pν
pν pν = (muν ) (muν ) = m2 uν uν = −m2 c2
por otro lado
T2
pν pν = p 2 −
c2
de lo cual se obtiene la relación cinemática fundamental para la relatividad especial
T 2 = p 2 c2 + m 2 c4 (17.68)
modo que las dos masas quedan unidas y en reposo con respecto al laboratorio (como dos bolas de plastilina).
La energı́a total es la energı́a en reposo del sistema compuesto final, que tendrá una masa
M = 2m + ∆M
∆E = 2T − 2mc2 = (∆M ) c2
por lo tanto, el choque inelástico ha convertido toda la energı́a del movimiento inicial vista por el laboratorio
en un incremento en la masa en reposo del sistema. En esta clase de choque inelástico se suele decir que la
energı́a cinética perdida en el choque se convierte en calor. La relatividad restringida nos dice que la masa
en reposo o inercia del sistema aumenta en proporción al calor que se produce. Este incremento de masa
se podrı́a detectar poniendo al sistema en movimiento a través de una fuerza conocida, no obstante para
sistemas macroscópicos estos cambios de masa son muy difı́ciles de detectar ya que un joule de energı́a posee
un equivalente de masa de aproximadamente 1,1 × 10 −17 Kg. No es de extrañarse entonces que las evidencias
sobre los cambios de la masa en reposo se hayan visto en sistemas de escala atómica, nuclear o subnuclear.
En estos casos no podemos hablar de producción de calor sino de cambios en la energı́a interna del sistema.
A la escala subnuclear, estos cambios en la energı́a en reposo suelen ser suficientes para permitir la creación
de una o más partı́culas adicionales. Es de anotar además que estos cambios también pueden ocurrir en el
sentido opuesto: la energı́a en reposo se puede convertir en energı́a en movimiento, fenómeno particularmente
visible en las explosiones nucleares, por supuesto en estas explosiones el valor de T permanece constante
durante la explosión. A pesar de la enorme energı́a liberada en estas explosiones, la pérdida de masa suele
ser del orden del 0,1 % de la masa original.
en el hecho de que pi = mi vi relación que ya no es válida en relatividad restringida. Por lo tanto, elegiremos
el camino de tomar como punto de partida el principio de Hamilton
Z t2
δI = δ L dt = 0 (17.69)
t1
y obtener con base en las ecuaciones de Euler Lagrange ecuaciones de movimiento que concuerden con las
generalizaciones obtenidas para el formalismo Newtoniano Ec. (17.59). Estudiaremos el caso de una partı́cula
sometida a fuerzas conservativas que no dependen de la velocidad, en cuyo caso escribimos
p
L = −mc2 1 − β 2 − V (17.70)
siendo V un potencial que solo depende de la posición y β 2 = v 2 /c2 donde v es la velocidad de la partı́cula
en el sistema inercial particular que se toma. Veamos que este Lagrangiano nos conduce a las ecuaciones
correctas, partiendo de las ecuaciones de Lagrange
d ∂L ∂L
− =0
dt ∂vi ∂xi
∂L
pj = (17.72)
∂ q̇j
de modo que se mantiene la relación entre coordenadas cı́clicas y la conservación de los momentos asociados
a ellas. Adicionalmente, si el Lagrangiano no depende explı́citamente del tiempo se sigue manteniendo a la
función h como constante de movimiento
h = q̇j pj − L (17.73)
p
hay sin embargo, una diferencia importante con el caso no relativista: debido al factor 1 − β 2 en el
Lagrangiano (17.70), dicho Lagrangiano no es una función homogénea de la velocidad, de modo que la
demostración realizada en el caso no relativista para llegar a que h es la energı́a del sistema (en el caso de
potenciales dependientes de la posición y coordenadas que no dependen explı́citamente del tiempo) no es
válida en el caso relativista. Veremos sin embargo que para potenciales que solo dependen de la posición h
continúa siendo la energı́a total del sistema
mvi vi p
h = ẋi pi − L = p + mc2 1 − β 2 + V
1 − β2
p ! !
1 − β2 mvi mvi p
= p p + mc2 1 − β 2 + V
m 1 − β2 1 − β2
p hp p i
i i
h = 1 − β2 + mc2 + V (17.74)
m
17.5. FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE LA MECÁNICA RELATIVISTA 367
T2
pi pi = p 2 = − m 2 c2 (17.75)
c2
y reemplazando (17.75) en (17.74) resulta
p 2 p
2
T 2 2 2
T2
h = 1−β − mc + mc + V = 1 − β +V
mc2 mc2
p
1 − β2 2 1
h = 2
T +V = T2 + V
mc T
la función energı́a queda entonces
mc2
h= p +V =T +V =E (17.76)
1 − β2
de modo que para el caso de potenciales dependientes solo de la posición, h se conserva y es la energı́a del
sistema (naturalmente hemos usado coordenadas cartesianas de modo que la transformación de coordenadas
a las coordenadas generalizadas es trivial).
La introducción de potenciales dependientes de la velocidad no conlleva ninguna dificultad particular y se
puede efectuar en forma análoga al caso no relativista. De esta forma, para el caso de una partı́cula inmersa
en un campo electromagnético, el lagrangiano se obtiene reemplazando V por el potencial de Lorentz en
(17.70)
p q
L = −mc2 1 − β 2 − qφ + A · v (17.77)
c
puede verse que el momento canónico ya no es mu i hay términos adicionales debidos a la parte del potencial
que depende de la velocidad
q
pi = mui + Ai (17.78)
c
esta relación es análoga a la Ec. (??) obtenida para el caso no relativista. El Lagrangiano (17.77) no
es manifiestamente covariante. Sin embargo, en este caso se espera que estos resultados sean válidos en
cualquier sistema de referencia inercial en virtud de la covarianza relativista de la fuerza de Lorentz, de la
cual proviene el potencial dependiente de la velocidad que se usa en (17.77).
De lo anterior se desprende que muchas de las estrategias y propiedades desarrolladas para la mecánica
no relativista se pueden aplicar en un escenario relativista como veremos en los siguientes ejemplos
la Ec. (17.79) será útil para examinar el lı́mite no relativista, por el momento continuamos manipulando la
expresión
ẋ at + α at + α
⇒ =q ⇒ dx = c q dt
c
c2 + (at + α)2 c2 + (at + α)2
da la solución q
c p
2 2 2 2
x = x0 + c + (at + α) − c + α (17.80)
a
la velocidad quedarı́a en la forma
c aα + a2 t
ẋ = v = √ (17.81)
a 2atα + c2 + α2 + a2 t2
la Ec. (17.82) muestra que α está directamente relacionado con la velocidad inicial. Si la partı́cula parte del
reposo en el origen las condiciones iniciales quedan x 0 = v0 = α = 0, y la Ec. (17.80) se puede escribir en la
forma
q q
c 2 2 c2 c 2 2
x = c + (at) − c ⇒ x + = c + (at)
a a a
2 2
c2 c2 2 2 2
c2 c4
⇒ x+ = 2 c +a t ⇒ x+ − c 2 t2 = 2
a a a a
1
β = r 2
c
at+α +1
17.5. FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE LA MECÁNICA RELATIVISTA 369
y como el lı́mite no relativista corresponde a β → 0 se ve que esto es equivalente a la condición [c/ (at + α)] 2 >>
1, o lo que es lo mismo at + α << c. Reemplazando dicho lı́mite en (17.80) se obtiene la parábola tı́pica del
movimiento no relativista y además se llega a que α → v 0 .
Este movimiento puede describir por ejemplo, la trayectoria de electrones que se aceleran con un campo
eléctrico constante y uniforme. Pues las velocidades tı́picas de los electrones son al menos del orden de la
velocidad de la luz en el vacı́o.
mc2 m2 c4 m2 c4 m2 c4
E=p + V ⇒ (E − V )2 = ⇒ 1 − β 2
= ⇒ β 2
= 1 −
1 − β2 1 − β2 (E − V )2 (E − V )2
2
1 dx m2 c4
=1− (17.83)
c2 dt (E − V )2
podemos generalizar un poco antes de entrar en el potencial del oscilador armónico. Sea un potencial tal
que V (x) = V (−x) y tal que V (0) es un mı́nimo local. Si la energı́a E está entre V (0) y el máximo de V
el movimiento será oscilatorio entre los lı́mites x = ±b donde b está determinado por
V (±b) = E
un periodo consistirá en ir y volver desde −b hasta b. Por simetrı́a esto se puede escribir como cuatro veces
la integral entre 0 y b
Z
4 b dx
τ= q (17.84)
c 0 1− m c 2
2 4
[E−V (x)]
cuando (17.84) se aplica al potencial de Hooke, se puede expresar en términos de integrales elı́pticas. No
obstante, será más ilustrativo examinar las correcciones relativistas de primer orden cuando V (x) << mc 2 .
Escribiremos la energı́a total E de la forma
E = mc2 (1 + E)
???????????????????
??????????????????
en (17.84) el periodo se escribe como
Z b
4 dx 3λ 2
τ∼
= p 1− b − x2 (17.85)
c 0 2λ (b2 − x2 ) 4
donde τ0 es el periodo en el caso no relativista. vemos entonces que las correcciones relativistas introducen
una dependencia con la amplitud, dada aproximadamente por
∆ν ∆τ ∼ 3 kb2 3
=− = 2
= E (17.86)
ν0 τ0 16 mc 8
La expresión (17.87) nos garantiza que la fuerza de Lorentz magnética no efectúa trabajo sobre la partı́cula
de modo que F · v = 0. Este hecho junto con las Ecs. (17.65, 17.66) nos dice que T permanece constante,
en tanto que la expresión (17.68) nos dice que p y γ también lo son. Adicionalmente, (17.87) nos indica
que F es perpendicular a B de modo que la componente del momento a lo largo de B se debe conservar.
Finalmente, la ortogonalidad entre F y v nos indica que la partı́cula no cambia su rapidez.
Por lo anterior será posible sin pérdida de generalidad asumir que x 3 es la dirección de B y que el
movimiento es en el plano x1 x2 . Descompondremos a p en la forma p = p 3 u3 + p⊥ . Con base en lo anterior
sabemos que p3 es constante ası́como el módulo de p. Por tanto, el módulo de p ⊥ es claramente constante
17.5. FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE LA MECÁNICA RELATIVISTA 371
de modo que p realiza una precesión alrededor de la dirección del campo magnético con una frecuencia dada
por
qB
Ω= (17.88)
mcγ
al ser γ constante se deduce que la proyección de la velocidad en el plano x 1 x2 tiene módulo constante y
gira con la misma frecuencia. La partı́cula se mueve entonces en un plano y describe una órbita circular
uniforme con velocidad angular Ω. De esto se obtiene el módulo de p ⊥
p⊥ = mγrΩ
siendo r el radio de la circunferencia. Si combinamos esta ecuación con (17.88) obtenemos el radio de la
circunferencia en función del momento lineal
p⊥
r= (17.89)
qB/c
el radio de curvatura solo depende de las propiedades de ésta a través del factor pc/q (= Br), que se conoce
como la rigidez magnética de la partı́cula. Se puede ver que aunque Ω presenta correcciones relativistas
contenidas en el factor γ, la relación entre radio y momento es la misma que en el caso no relativista
(justamente porque el momento a su vez se redefine con el mismo factor γ). Debe tenerse en cuenta que
aunque r solo depende de p⊥ , en el cálculo de γ debe usarse tanto la componente perpendicular como la
paralela a B a fin de calcular β.
372 CAPÍTULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
Capı́tulo 18
Electrodinámica y relatividad
Ya hemos discutido anteriormente que la ausencia de covarianza de las ecuaciones de Maxwell ante
transformaciones de Galileo fue el motivo central para la creación de los postulados de la relatividad especial.
Por tanto, es de máxima importancia chequear la covarianza de tales ecuaciones. Con el fin de ser consistentes
con la notación utilizada en la literatura, vamos a emplear en este caso la notación covariante y contravariante
proveniente del espacio real de Riemann, lo cual simplemente presupone escribir los invariantes tales como
Kµ Kµ en la forma Kµ K µ ó K µ Kµ . Ası́mismo las matrices de transformación complejas L serán sustituı́das
por las matrices de transformación Λ de acuerdo con la Ec. (17.35). El tensor métrico será usado con la
signatura g = (1, −1, −1, −1)
Comencemos definiendo el cuadrivector corriente como J ν = ρ0 uν , siendo ρ0 la densidad de carga propia
i.e. medida por un observador en reposo instantáneo respecto a ella. Es claro que J ν J ν = ρ20 uν uν = ρ20 c2 es
invariante por construcción. Podemos representar este cuadrivector de varias maneras ya que
vemos entonces que la definición de la cuadri corriente permite escribir la ecuación de continuidad de manera
manifiestamente covariante. De la misma forma podemos definir un cuadrivector con los potenciales escalar
y vectorial
Aν = (φ, A)
el gauge de Lorentz se expresa en la forma
∂ν Aν = 0 (18.3)
condición que también es claramente covariante. Veamos como se escribe en esta notación la relación entre
los campos electromagnéticos y los potenciales
1 ∂A ∂φ 1 ∂Ai ∂A0 ∂Ai ∂A0 ∂Ai
E = −∇φ − ⇒ Ei = − i − ⇒ Ei = − i − = − = ∂ i A0 − ∂ 0 Ai ≡ φi0
c ∂t ∂x c ∂t ∂x ∂x0 ∂xi ∂x0
donde hemos usado el hecho de que
Kν = K µ gµν ⇒ K i = −Ki , K 0 = K0
373
374 CAPÍTULO 18. ELECTRODINÁMICA Y RELATIVIDAD
análogamente
B2 = −∂ 3 A1 + ∂ 1 A3 ≡ −φ31 ; B3 = −∂ 1 A2 + ∂ 2 A1 ≡ −φ12
reuniendo todas las ecuaciones para las seis componentes E i y Bi resulta
Ei = φi0 , φij = −Bk (cı́clicamente)
que se puede condensar en la forma
φµν ≡ ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ; φµν = −φνµ
dado que ∂ µ y Aν son cuadrivectores contravariantes, es claro que φ µν es un tensor de segundo rango
contravariante. Solo 6 de sus 9 componentes son independientes en virtud de su antisimetrı́a. Efectivamente,
solo aparecen como componentes independientes las seis componentes E i , Bi . A φµν se le conoce como
tensor de campo electromagnético. Es fácil demostrar las siguientes propiedades de este tensor a partir
de su definición
φµν = −φνµ , φµ ν = −φν µ , φi0 = −φi0 = φ0i ; φ12 = φ12 = −φ21
podemos escribir φµν en forma matricial explı́cita
00
φ φ01 φ02 φ03 0 −Ex −Ey −Ez
φ 10 φ11 φ12 φ13 Ex 0 −Bz By
φµν =
φ20 φ21
=
φ22 φ 23 Ey Bz 0 −Bx
φ30 φ31 φ32 φ33 Ez −By Bx 0
d dW
mc2 γ = F · v = qE · v =
dt dt
con lo cual la cuadrifuerza queda en la forma
q q
Kν = γ E · v, qE + v × B
c c
y la generalización covariante de la fuerza de Lorentz vendrá dada por
q
K ν = φµν uµ (18.8)
c
puede verificarse que K ν uν = 0. Es de suma importancia enfatizar que esta ecuación solo es realmente
covariante si q es un escalar i.e. invariante de Lorentz, hecho que posee un fuerte sustento experimental.
Recordemos que para medios contı́nuos y en particular para examinar los principios de conservación, es
usualmente más útil escribir ecuaciones para densidades de fuerza y energı́a. Para encontrar la formulación
equivalente en términos de densidades, escribamos la expresión para un elemento diferencial de carga
dq µν dV0 νµ
dK ν = φ uµ = ρ 0 φ uµ ⇒
c c
dK ν ρ0 1
≡ Kν = φνµ uµ = φνµ Jµ
dV0 c c
tenemos que la ecuación para la densidad de cuadrifuerza es
1 νµ
Kν = φ Jµ (18.9)
c
naturalmente Kν se define directamente de (18.7) en la forma
ν 1 dW
K =γ ,f
c dt
1 dW
f = ρE + J × B ; =J·E
c dt
en concordancia con las Ecs. (13.1, 13.2).
376 CAPÍTULO 18. ELECTRODINÁMICA Y RELATIVIDAD
en estas ecuaciones está formalmente todo el contenido Fı́sico de la teorı́a electromagnética clásica, por tanto
todas las ecuaciones de campo vistas hasta ahora se pueden generar con estas ecuaciones. En particular se
puede observar que a partir de las ecuaciones (18.10) y (18.13) se puede generar la ecuación interna (18.11)
por simple derivación y cambio apropiado de ı́ndices. También se puede ver que la ecuación de continuidad
se obtiene por derivación de (18.10)
4π
∂ν ∂µ φµν = ∂ν J ν
c
usando la simetrı́a del tensor ∂µ ∂ν y la antisimetrı́a de φµν se observa que ∂ν ∂µ φµν = 0 de modo que ∂ν J ν = 0,
esto es de esperarse ya que la ecuación con fuentes (18.10) contiene la corriente de desplazamiento que se
introdujo justo para que se mantenga la ecuación de continuidad.
Por otro lado, reemplazando (18.13) en (18.10) se obtiene la ecuación de onda para A ν
4π ν 4π ν
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = J ⇒ ∂µ ∂ µ Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = J ⇒
c c
4π ν
Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = J (18.14)
c
si expresamos esta ecuación en componentes podemos ver que (18.14) reproduce correctamente las Ecs. de
onda (12.8) y (12.9) para los potenciales φ y A.
Se puede observar que φµν es invariante gauge1 . Las transformaciones gauge definidas por (12.7) se pueden
condensar en notación cuadrivectorial en la forma
A0µ = Aµ + ∂ µ ψ
∂µ Aµ = 0
4π µ ρ
(∂ J − ∂ ρ J µ ) + φρµ = 0
c
4π ρ µ
φρµ = (∂ J − ∂ µ J ρ )
c
Es útil definir el tensor de Hertz Πσν de seis componentes independientes en la forma
(el)
Π0i ≡ Πi vector de hertz eléctrico
(mag)
Π12 ≡ −Π3 vector de hertz magnético
σν νσ
Π = −Π
18.4.1. Invariantes
Los dos únicos invariantes bilineales que se pueden formar con φ µν son
φµν φµν ∼ E2 − B2
εµνσρ φµν φσρ ∼ E · B
E · B = E 0 · B0 ; E2 − B2 = E02 − B02
donde las cantidades se refieren a sistemas de referencia inerciales S y S 0 . Esto trae consecuencias Fı́sicas
interesantes
378 CAPÍTULO 18. ELECTRODINÁMICA Y RELATIVIDAD
1. Si en S se anula alguno de los campos entonces E · B = 0 de modo que en cualquier otro sistema
inercial S 0 se tiene que E0 · B0 = 0 i.e. los campos son perpendiculares. Un ejemplo simple es una carga
puntual en reposo con respecto a S. En este caso B = 0. En un sistema S 0 la carga tiene movimiento
uniforme y se puede verificar que E0 · B0 = 0 y que E 0 > B 0 .
se tiene
1 1 1
φσµ ∂ σ φνµ = φσµ (∂ σ φνµ − ∂ µ φνσ ) = φσµ (∂ σ φνµ + ∂ µ φσν ) = φσµ ∂ ν φσµ
2 2 2
1 ν σµ 1 ν ρµ
= ∂ (φ φσµ ) = ∂ (φ φρµ )
4 4
en la última ecuación hemos definido el Tensor momento energı́a que en notación totalmente contravari-
ante se escribe
νσ σν 1 νµ σ 1 νσ ρµ
τ =τ ≡ φ φµ + g φ φρµ
4π 4
y puesto que dicho tensor es simétrico, solo 10 de sus 16 componentes son independientes. Evaluemos la
traza de este tensor la cual es un invariante de Lorentz
τ σ σ = τ 00 + τ 11 + τ 22 + τ 33
18.5. CONSERVACIÓN DE MOMENTO Y ENERGÍA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO: TENSOR MOM
ν 1 νµ 1 ν ρµ
τ σ = φ φµσ + δ σ φ φρµ ⇒
4π 4
1 1 σ ρµ
τ σσ = σµ
φ φµσ + δ σ φ φρµ
4π 4
1
τ σσ = (−φσµ φσµ + φρµ φρµ ) = 0
4π
τ σσ = 0
con ν = i, σ = j
ij 1 1 2 2
τ =− Ei Ej + Bi Bj − δij E + B ≡ −τij
4π 2
siendo τij el tensor de tensiones de Maxwell Ec. (13.9). En notación de diadas ver Ec. (13.8)
1 1 2 2
T≡ EE + BB − I E + B
4π 2
con ν = i, σ = 0 se obtiene
1 Si
τ i0 = τ 0i = (E × B)i =
4π c
siendo Si la componente i−ésima del vector de Poynting.
1
Finalmente τ 00 = 8π E2 + B2 = ε que se identifica con la densidad de energı́a asociada al campo
Ec. (13.4).
Vemos entonces que este tensor contiene todos los observables que dan cuenta de la conservación del
momento lineal y de la energı́a como se vé en las secciones 13.1 y 13.2. Matricialmente podemos escribir este
tensor en la forma
τ 00 τ 01 τ 02 τ 03
τ 10 τ 11 τ 12 τ 13 ε S/c
νσ
τ = =
τ 20 τ 21 τ 22 τ 23 e
S/c −T
τ 30 τ 31 τ 32 τ 33
volvamos ahora a la relación (18.17) reescrita en la forma K ν ≡ −∂σ τ σν . Tomando las componentes ν = i
se obtiene
∂g
∇ · (−T) + = −f
∂t
es decir se reproduce la Ec. (13.6) que da cuenta de la conservación del momento. Ahora con ν = 0 resulta
∂ε
∇·S+ = −J · E
∂t
que reproduce el teorema de Poynting Ec. (13.3) el cual nos da cuenta de la conservación de la energı́a.
Debemos recordar que la energı́a y el momento del campo no se conservan cuando hay cargas presentes,
ya que estas últimas pueden intercambiar energı́a y momento con el campo, ver detalles en las secciones 13.1
y 13.2.
380 CAPÍTULO 18. ELECTRODINÁMICA Y RELATIVIDAD
τ σµ ∂σ xν − τ σν ∂σ xµ = τ σµ δσ ν − τ σν δσ µ = τ νµ − τ µν = τ µν − τ µν = 0
es natural definir entonces a Mσνµ como el tensor densidad de momento angular. En ausencia de cargas
∂σ = Mσνµ = 0. Puede verse que esta ecuación contiene la conservación del momento angular del campo
más otra expresión que describe el movimiento del centro de energı́a del campo (la cual es una generalización
del centro de masa). El centro de energı́a se mueve inercialmente.
Puede demostrarse que el tensor densidad de momento angular posee 24 componentes independientes.
Adicionalmente sus componentes está caracterizadas por
Mij0 = c xj gi + tTij
h i
M0jk = c xj gk − xk g j
M00i = −tSi + xi ε
Mijk = xj Tik − xk Tij
siendo gk componentes del vector densidad de momento, S i componentes del vector de Poynting, T ij com-
ponentes del tensor de tensiones de Maxwell, y t la coordenada temporal.
V 0ν = aν µ V µ
la trasnformación inversa se obtiene con el simple cambio β → −β. Por tanto, es necesario encontrar la com-
ponente B 0 que convierta al campo magnético en cuadrivector para encontrar sus reglas de transformación.
Los cuadripotenciales fueron construı́dos como cuadrivectores de modo que su regla de trasnformación
ante transformaciones de Lorentz es inmediata.
18.7. APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 381
T0 = ΛTΛ
su inversa es de la forma
e 0 gA
T = AgT
el lector puede ver que a través de la transformación de φ µν se puede obtener la transformación de los
campos
γ2
E0 = γ (E + β × B) − β (β · E)
γ +1
γ2
B0 = γ (B − β × E) − β (β · B)
γ +1
E10 = E1 ; B10 = B1
E20 = γ (E2 − βB3 ) ; B20 = γ (B2 + βE3 )
E30 = γ (E3 + βB2 ) ; B30 = γ (B3 − βE2 )
382 CAPÍTULO 18. ELECTRODINÁMICA Y RELATIVIDAD
Apéndice A
Además del teorema de unicidad asociado a las condiciones de Dirichlet o Neumann, existen múltiples
teoremas de unicidad. Uno de los mas importantes es el siguiente: dada una región equipotencial cerrada S,
dentro de la cual hay un conjunto de n conductores, el campo eléctrico está unı́vocamente determinado en
la región comprendida entre los conductores y la región encerrada por S (que llamaremos V p ), si se conocen
(a) la carga total de cada conductor Q i , i = 1, ..., n (b) la densidad de carga ρ p en el interior de Vp .
Demostración: llamemos Vp el volumen comprendido entre los conductores y el interior de la superficie
equipotencial S (S podrı́a ser el infinito). Asumamos que se conoce la distribución de carga en el interior
de Vp y la carga total de cada uno de los conductores. Asumamos además que existen dos soluciones para
el campo eléctrico E1 , E2 en el interior de Vp
∇ · E1 = 4πKc ρ ; ∇ · E2 = 4πKc ρ
tomemos para cada conductor, una superficie S i que lo encierre completamente1 pero de tal manera que
la diferencia entre el volumen Vi y el volumen del conductor sea infinitesimal. Esto nos garantiza que la
carga volumétrica en la región exterior al conductor e interior a S i es infinitesimal y solo contribuye la carga
superficial del conductor. Para cada una de estas superficies se puede escribir
I I
E1 · dSi = E2 · dSi = 4πKc Qi
Si
Si
de la misma forma, se calcula la integral de superficie sobre una superficie S 0 que está incluı́da en S pero
que se acerca arbitrariamente a S 2 .
I I
E1 · dS0 = E2 · dS0 = 4πKc Qtot
S0 S0
donde Qtot es la suma de las cargas en Vp mas las cargas en los conductores3 . Si sumamos las integrales de
superficie consideradas anteriormente obtenemos la superficie total que delimita al volumen V p .
I n I
X I Xn I
E1 · dS0 + E1 · dSi = E2 · dS0 + E2 · dSi
S0 i=1 Si S0 i=1 Si
1
Colocar una superficie gaussiana justo sobre la superficie del conductor nos conducirı́a a un conflicto al usar la ley de gauss,
dado que la carga es precisamente superficial.
2
Si la superficie equipotencial S es precisamente un conductor que encierra a los demás, evitamos un posible uso inadecuado
de la ley de Gauss haciendo que la superficie S 0 esté incluı́da en S. De esta forma evitamos incluı́r las posible cargas superficiales
del conductor en S.
3
Además de las cargas superficiales en los conductores, también podrı́an haber cargas volumétricas en las cavidades de los
conductores. Para este caso podemos considerar a las cavidades como parte del interior del conductor.
383
384 APÉNDICE A. TEOREMAS DE UNICIDAD DE LA ECUACI ÓN DE POISSON
∇ · (φ3 E3 ) = φ3 (∇ · E3 ) + E3 · (∇φ3 )
dado que φ3 es constante en la superficie, su gradiente no puede tener componentes tangenciales a la superficie
y solo debe tener componente normal a ésta. En realidad ∇φ 3 = −E3 , y teniendo en cuenta (A.1), resulta
∇ · (φ3 E3 ) = −E23
y teniendo en cuenta la primera de las Ecs. (A.1) y el hecho de que φ 3 es constante sobre Sp
I Z I
2
φ3 E3 · dSp = − E3 dVp = φ3 E3 · dSp = 0
Vp
Sp Sp
y como el integrando es no negativo, la integral es cero solo si el campo es cero en todo el volumen V p .
Una prueba alternativa consiste en usar la primera identidad de Green, Ec. (1.20), aplicada a V p y Sp
Z I
2
φ∇ ψ + ∇ψ · ∇φ dV = [φ∇ψ] · dS
y se llega de nuevo a la Ec. (A.2). Esta demostración muestra las ventajas del uso de las identidades de
Green.
La superficie equipotencial S podrı́a ser por ejemplo la superficie de un conductor que circunda a los
otros conductores, o podrı́a ser una superficie en el infinito. Nótese que la prueba de unicidad no requiere
conocer la forma en que la carga se distribuye en las superficies conductoras, solo es necesario conocer la
385
carga neta en cada conductor. Adicionalmente, aunque se requiere que la superficie S sea equipotencial, no
es necesario conocer el valor de dicho potencial, ni tampoco necesitamos conocer el valor de la densidad
correspondiente a una eventual distribución superficial de carga sobre S.
Comparando con el criterio de unicidad de Neumann, vemos que dicho criterio requiere en el caso de
conductores, conocer la densidad superficial de carga, ya que en un conductor |σ| = 1/ (4πK c ) |∂φ/∂n1 | Ec.
(1.31). El presente criterio de unicidad requiere un información fı́sicamente mas accesible como es la carga
neta sobre cada conductor. Aunque por otro lado, el criterio de Neumann no requiere que las superficies
sean equipotenciales(cuando no tenemos conductores).
386 APÉNDICE A. TEOREMAS DE UNICIDAD DE LA ECUACI ÓN DE POISSON
Apéndice B
Coeficientes de capacitancia
Ahora usando nuevamente (3.6), se puede obtener la carga del conductor externo
N
X +1
Qext = CN +1,j ϕj
j=1
y por lo tanto
Qext = −Qint (B.2)
propiedad que se puede obtener también por ley de Gauss [5, 6]. Es necesario aclarar que Q ext no es
necesariamente la carga total del conductor externo, sino solo la carga total acumulada en la superficie de
la cavidad que encierra a los otros conductores. Por ejemplo, si el conductor es una esfera con una cavidad
concéntrica, puede haber también carga acumulada en la superficie esférica de radio mayor. Efectivamente,
a lo largo de todo el tratamiento el valor de la carga se ha calculado con la integral de superficie (3.2) la
cual para los conductores interiores toma toda la superficie pero para el conductor externo solo toma la
superficie de la cavidad.
Una prueba adicional de consistencia se obtiene al emplear las Ecs. (B.1) y (3.6), para calcular Q int
N
X +1 I N
X +1
Qint = − CN +1,j ϕj = ε0 ∇ fj ϕj · nN +1 dS
j=1 SN +1 j=1
relación claramente correcta teniendo en cuenta que n N +1 apunta hacia el interior del volumen V ST .
387
388 APÉNDICE B. COEFICIENTES DE CAPACITANCIA
N
X +1 N
X +1 I
Cij = −ε0 ∇fj · ni dS
i=1 i=1 S
i
I Z
= −ε0 ∇fj · ni dS = ε0 ∇2 fj dV
VS T
ST
donde hemos usado el teorema de Gauss teniendo en cuenta que las normales n i apuntan hacia adentro del
volumen VST (ver Fig. 3.2). Recordando que los factores f j obedecen a la ecuación de Laplace en el volumen
VST se llega a la identidad
N
X +1
Cij = 0
i=1
Multipolos eléctricos
Kc p b
Edip (r, θ) = 2 cos θ b
r + sin θ θ (C.1)
r3
escribamos los vectores unitarios esféricos en términos de los vectores unitarios cartesianos
b
r = sin θ cos ϕ ux + sin θ sin ϕ uy + cos θ uz (C.2)
θb = cos θ cos ϕ ux + cos θ sin ϕ uy − sin θ uz (C.3)
y desarrollemos el término que está entre paréntesis en (C.1)
r + sin θ θb = 2 cos θ (sin θ cos ϕ ux + sin θ sin ϕ uy + cos θ uz )
2 cos θ b
+ sin θ (cos θ cos ϕ ux + cos θ sin ϕ uy − sin θ uz )
= 3 sin θ cos θ cos ϕ ux + 3 sin θ cos θ sin ϕ uy + 2 cos2 θ − sin2 θ uz
= 3 cos θ (sin θ cos ϕ ux + 3 sin θ sin ϕ uy ) + 3 cos2 θ − 1 uz
= 3 cos θ (sin θ cos ϕ ux + 3 sin θ sin ϕ uy + cos θ uz ) − uz
r − uz
= 3 cos θ b
389
390 APÉNDICE C. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
Kc p Kc
Edip (r, θ) = (3 cos θ br − uz ) = 3 (3p cos θ b
r − puz )
r3 r
Kc
3 [3 (p · r) r − p]
= p b b
(r · r)
esta relación ya es netamente vectorial de modo que no está sujeta a la condición especial de que Z esté a
lo largo de p. Si queremos además que el dipolo no esté en el origen sino en un punto arbitrario r 0 basta
con hacer la reasignación r → r − r0 en este caso tenemos que
√ p
r·r → (r − r0 ) · (r − r0 ) = |r − r0 |
r r − r0
r = √
b → ≡n
r·r |r − r0 |
y la expresión para el campo eléctrico generado por un dipolo puntual p, ubicado en la posición r 0 estará dada
por
Kc r − r0
Edip (r) = 3 [3 (p · n) n − p] ; n≡
|r − r0 |
|r − r0 |
que coincide con (8.11).
esto se puede convertir en una integral de superficie sobre la esfera usando la identidad vectorial
Z Z
∇ψ dV = ψ dS
V S
r r
3 iϕ −iϕ
3
Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) = − sin θ e − e = −2i sin θ sin ϕ ⇒
8π 8π
r
∗ ∗ 3
−Y1,−1 (θ, ϕ) − Y11 (θ, ϕ) = −i sin θ sin ϕ ⇒
2π
r
2π ∗ ∗
sin θ sin ϕ = −i Y1,−1 (θ, ϕ) + Y11 (θ, ϕ) (C.6)
3
r r
3 3
Y11 (θ, ϕ) − Y1,−1 (θ, ϕ) = − sin θ eiϕ + e−iϕ = −2 sin θ cos ϕ ⇒
8π 8π
r r
∗ ∗ 3 3
−Y1,−1 (θ, ϕ) + Y11 (θ, ϕ) = −2 sin θ cos ϕ = − sin θ cos ϕ ⇒
8π 2π
r
2π ∗ ∗
sin θ cos ϕ = Y1,−1 (θ, ϕ) − Y11 (θ, ϕ) (C.7)
3
r
∗ 3
Y10 (θ, ϕ) = Y10=(θ, ϕ)cos θ
4π
r
4π ∗
⇒ cos θ = Y (θ, ϕ) (C.8)
3 10
r ("Z ∞ X l
#
2π X Y lm (θ, ϕ) Y ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l
r
∗ ∗ lm <
4π Y1,−1 (θ, ϕ) − Y11 (θ, ϕ) l+1
dΩ ux
3 r=R 2l + 1 r >
l=0 m=−l
"Z ∞ X l
#
∗ X Y lm (θ, ϕ) Y ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l
r
∗ lm <
− i Y1,−1 (θ, ϕ) + Y11 (θ, ϕ) l+1
dΩ uy
r=R 2l + 1 r >
l=0 m=−l
"Z ∞ X l
# )
√ ∗ X Ylm (θ, ϕ) Ylm ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l
r<
+ 2Y10 (θ, ϕ) l+1
dΩ uz
r=R 2l + 1 r>
l=0 m=−l
392 APÉNDICE C. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
esta integral solo barre los ángulos ya que r = R, usando la ortonormalidad de los armónicos esféricos este
resultado se simplifica
Z r (" #
b Ylm∗ (θ 0 , ϕ0 ) l
r 2π r<
0
dΩ = 4π [δl1 δm,−1 − δl1 δm1 ] l+1
ux
r=R |r − r | 3 2l + 1 r>
r=R
" #
∗ (θ 0 , ϕ0 ) l
Ylm r<
− i [δl1 δm,−1 + δl1 δm1 ] l+1
uy
2l + 1 r>
r=R
" # )
√ ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l
Ylm r<
+ 2δl1 δm0 l+1
uz
2l + 1 r>
r=R
∗
Y1,−1 θ 0 , ϕ0 − Y11
∗
θ 0 , ϕ0 = −Y11 θ 0 , ϕ0 − Y11 ∗
θ 0 , ϕ0 = −2Re Y11 θ 0 , ϕ0
" r # r
3 0 iϕ0 3
= −2Re − sin θ e = sin θ 0 cos ϕ0
8π 2π
similarmente
∗
Y1,−1 θ 0 , ϕ0 + Y11
∗
θ 0 , ϕ0 = −Y11 θ 0 , ϕ0 + Y11∗
θ 0 , ϕ0 = −2iIm Y11 θ 0 , ϕ0
" r # r
3 0 3
= −2iIm − sin θ 0 eiϕ = i sin θ 0 sin ϕ0
8π 2π
p
∗ (θ 0 , ϕ0 ) = Y (θ 0 , ϕ0 ) =
y teniendo en cuenta que Y10 3/4π cos θ 0 la Ec. (C.10) queda
10
Z r (" r ! #
b
r 2π 3 1 r <
dΩ = 4π sin θ 0 cos ϕ0 2 ux
r=R |r − r0 | 3 2π 3 r>
r=R
" r ! # "√ r ! # )
3 0 0 1 r< 2 3 r<
− i i sin θ sin ϕ 2 uy + cos θ 0 2 uz (C.11)
2π 3 r> 3 4π r>
r=R r=R
C.2. INTEGRAL VOLUMÉTRICA DEL CAMPO SOBRE UNA ESFERA 393
Z
b
r 4π r<
0
dΩ = 2 sin θ 0 cos ϕ0 ux + sin θ 0 sin ϕ0 uy + cos θ 0 uz (C.12)
r=R |r − r | 3 r> r=R
y teneiendo en cuenta (C.2) tenemos que
Z
b
r 4π r<
dΩ = 2
b
r
r=R |r − r0 | 3 r> r=R
recordemos que r< denota el menor entre r y r 0 . Pero como r = R en esta integral, podemos quitar esta
condición simplemente redefiniendo a r < como el menor entre R y r 0 . Similarmente hacemos con r> . Con
esta redefinición la condición se simplifica a
Z
b
r 4π r<
0|
dΩ = b
2 r (C.13)
r=R |r − r 3 r>
siendo r< el menor entre R y r 0 . Similarmente para r> . Esta expresión coincide con (8.12)
394 APÉNDICE C. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
Apéndice D
Ondas planas
y como solo nos interesan las amplitudes en virtud de (15.21) se tiene que
Dado que ya demostramos que los otros vectores de onda también yacen en el plano de incidencia, y
teniendo en cuenta que kI = kR , θI = θR y la ley de Snell Ec. (15.27) se tiene
las ondas reflejada y transmitida siguen teniendo polarización perpendicular al plano de incidencia.
n1 n1 h i
BR (z, t) = kR × ER = − [kI sin θI ux + kI cos θI uz ] × (E0R )y ei(kR ·r−ωt) uy
kR kI
BR (z, t) = −n1 (E0R )y [sin θI uz − cos θI ux ] ei(kR ·r−ωt)
395
396 APÉNDICE D. ONDAS PLANAS
con los valores de estos coeficientes se procede a aplicar las condiciones de frontera (15.28)
[B0I + B0R ]z = [B0T ]z ⇒ −n1 (E0I )y sin θI − n1 (E0R )y sin θI = −n1 sin θI (E0T )y
⇒ − (E0I )y − (E0R )y = − (E0T )y
y la siguiente se escribe
[E0I + E0R ]x,y = [E0T ]x,y
pero solo hay componente a lo largo de y de modo que solo una de estas ecuaciones es no trivial
[1] Edward M. Purcell, “Electricity and Magnetism” Berkeley Physics Course Vol. 2, 2nd Ed., McGraw-Hill
International Editions (1985).
[2] Mituo Uehara, “Green’s functions and coefficients of capacitance” Am. J. Phys. 54, 184 (1986).
[3] Vicente Lorenzo and Basilio Carrascal “Green’s functions and symmetry of the coefficients of a capaci-
tance matrix ” Am. J. Phys. 56, 565 (1988).
[4] C. Donolato “Approximate evaluation of capacitances by means of Green’s reciprocal theorem” Am. J.
Phys. 64, 1049 (1996).
[5] W. Taussig Scott, “The Physics of Electricity and Magnetism” 2nd Ed., John Wiley & Sons, Inc. (1966);
Gaylord P. Harnwell, “Principles of Electricity and Electromagnetism” McGraw-Hill Book Company Inc.
(1949); Leigh Page, Norman I. Adams Jr. “Principles of Electricity” 3rd Ed., D. Van Nostrand Company,
Inc. (1958).
[6] J. D. Jackson “Classical Electrodynamics” 3rd Ed., John Wiley & Sons (1998).
[7] David J. Griffiths “Introduction to Electrodynamics” 3rd Ed., Prentice Hall (1999).
397