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Capítulo 4 Trabajo y Energía
Capítulo 4 Trabajo y Energía
Capítulo 4 Trabajo y Energía
Trabajo y energía
61
4.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN
130. La figura muestra, en línea llena, parte de la trayectoria de un carrito en una montaña rusa;
sus puntos inicial y final, A y B, están a la misma altura. Hay roce entre el carrito y la pista. En la
trayectoria mostrada los trabajos realizados por las fuerzas de gravedad y roce que actúan sobre el
carrito son respectivamente
B) cero y positivo.
B
C) cero y negativo.
A
D) no nulos y de signos opuestos.
131. Sobre una partícula que se mueve en el eje x actúa la fuerza F = (3x2 − 1) ûx donde x es la
posición de la partícula y todas las unidades pertenecen al SI. El trabajo, en Joules, realizado por
esta fuerza cuando la partícula se mueve desde el origen al punto x = 2 es
A) 6
B) 22
C) 8
D) 24
E) 11
C. Di Bartolo 63
4 T RABAJO Y ENERGÍA
132. La figura muestra una partícula que se mueve sobre un riel de radio R y centro c. Las líneas ca
y cb son perpendiculares. Sobre la partícula actúa una fuerza F constante de módulo F y paralela
a ca. El trabajo realizado por F cuando la partícula va de a hasta b es
A) −2 R F
B) −R F
R
C) 0 c a
√
D) − 2 R F
F
E) −π R F/4
b
133. Sobre una partícula que se mueve en el plano xy actúa la fuerza F = 3xy i donde (x, y) son las
coordenadas de la partícula (todas las unidades son del SI). El trabajo realizado por esta fuerza a
lo largo de la recta que va del origen al punto A de coordenadas (2,4) es
C) 72.
y(x) = 2x
D) 48.
x
0 2
E) ninguno de los anteriores.
134. Una partícula, en el origen y de masa 1 kg, parte del reposo mientras está sometida únicamente
a la fuerza F = F(x) ûx , donde F(x) es dada en la gráfica. La rapidez de la partícula en x = 2 m,
en m/s, es
A) 4
√ F (N)
B) 2 3 8
C) 2
1 2
D) 0 0 x (m)
√
E) 2 2 -4
64 C. Di Bartolo
4.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN
135. Una partícula de masa 2 kg inicialmente en reposo siente una fuerza neta dada por F = 6t ûx
donde t es el tiempo y todas las unidades pertenecen al Sistema Internacional. El trabajo, en Joules,
realizado por esta fuerza entre t = 0 y t = 2 seg es
A) 12
B) 9
C) 6
D) 24
E) 36
136. La figura muestra una pista inmersa en un fluido. Una partícula se mueve sobre la pista con
rapidez constante desde el punto A al B; la partícula está sometida a su peso, la normal con la pista
y a una fuerza amortiguadora debida al fluido. La fuerza neta sobre la partícula cumple que
A) es nula. A
137. La figura muestra 3 toboganes sin roce, todos de la misma altura. Desde la parte superior
de cada uno de ellos se deja caer un objeto, todos de distinto peso. Al llegar abajo, el objeto con
mayor rapidez será
E) el más pesado
C. Di Bartolo 65
4 T RABAJO Y ENERGÍA
A) el trabajo que realiza entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria que los
une.
139. Cierta fuerza F , que actúa sobre una partícula, es conservativa y U(r) es la energía potencial
correspondiente. Sean Γ1 y Γ2 dos trayectorias distintas que van desde un punto inicial rA a un
punto final rB y sean W1 y W2 los trabajos realizados por F cuando la partícula sigue dichas
trayectorias. Se puede afirmar que
A) U(rA ) = U(rB )
B) ( Energía cinética en rA ) = ( Energía cinética en rB )
C) W1 = U(rB ) −U(rA )
D) W1 = W2
E) Si la partícula sigue la trayectoria Γ1 y luego sigue la trayectoria Γ2 en sentido opuesto entonces
el trabajo neto realizado por F es cero
140. Dada una función de energía potencial U(x), la fuerza F (x) correspondiente irá en el sentido
positivo del eje x en las regiones de x donde
66 C. Di Bartolo
4.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN
141. Una partícula está sometida a varias fuerzas, conservativas y no conservativas. La variación
de su energía cinética es igual
142. La figura representa un péndulo de 9 m de longitud y masa M=3 kg. El punto X es el más alto
y Z el más bajo de la trayectoria. La rapidez de M, en m/s, en el punto Z es
√
A) 2 5.
√
B) 4 5.
√ 5m
C) 6 5.
X
D) 10.
3 kg 4m
E) diferente de las otras 4 opciones. Z
143. Si la energía potencial gravitatoria de una partícula aumenta podemos asegurar que
C. Di Bartolo 67
4 T RABAJO Y ENERGÍA
144. Una piedra de masa M se arroja verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial v0 . Suponga
que la fuerza de roce con el aire es constante y de módulo nMg (con n una constante positiva). La
altura máxima h que alcanza la piedra es
v20
A) h =
2g(1 − n)
v20
B) h = 2gn
v2
C) h = 2g0
v2
D) h = 2g0 − n
v20
E) h=
2g(1 + n)
145. Una partícula se mueve en una dimensión, y la fuerza neta que actúa sobre ella tiene asociada
la energía potencial U(x) = −x3 /3 + 2x (en unidades del Sistema Internacional). ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones relacionadas con el movimiento de la partícula es correcta?
146. La figura es la gráfica de la energía potencial U(x) asociada a la fuerza neta que actúa sobre
una partícula obligada a moverse sobre el eje x con energía mecánica E. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones referidas al movimiento de la partícula es falsa?
68 C. Di Bartolo
4.B P ROBLEMAS DE DESARROLLO
C. Di Bartolo 69
4 T RABAJO Y ENERGÍA
151. Sobre una semiesfera lisa y de radio R resbala una partícula de masa m. La partícula parte del
punto más alto de la semiesfera con una rapidez angular w0 .
a. Cuando la línea entre el centro c de la esfera y la
m
partícula forma un ángulo θ con la vertical (ver figura) θ
halle: la rapidez angular w y el módulo N de la normal.
b. ¿Para qué valor de cos(θ ) la partícula abandona la R
semiesfera? c
c. Ahora se quiere que la partícula salga disparada horizontalmente desde el punto mas alto de la
semiesfera sin que tenga oportunidad de resbalar. ¿Cuál es la menor velocidad angular w0 que debe
tener?
152. Cierta pista lisa comienza con una rampa, continúa con un rizo circular y de radio R, y finaliza
en un tramo recto. Toda la pista está contenida en un plano vertical. Una partícula de masa m se
suelta del reposo desde el punto 1 a una altura desconocida h medida desde la base del rizo (ver
figura). La partícula completa el rizo (pasa por los puntos 2 y 3) y luego continúa por el tramo
recto (punto 4). El punto 3 es el más alto del rizo. Suponga que h es la mínima altura permitida
para que la partícula complete una vuelta en el rizo.
1
a. Calcule la energía de la partícula tomando nivel m
cero de energía gravitacional en la base del rizo. j
i
b. Encuentre el valor de h. 3
c. Halle el vector velocidad en el punto 2. h
d. Encuentre la aceleración angular θ̈ en el punto 2
2.
R θ
4
70 C. Di Bartolo
4.B P ROBLEMAS DE DESARROLLO
153. La figura muestra una pista compuesta de dos tramos y que se encuentra en un plano vertical.
El tramo ab es recto y horizontal y el tramo bc tiene forma de 1/4 de circunferencia de radio R = 5
m y centro en el punto d. La pista es lisa a excepción de un trozo en el tramo recto de longitud L
desconocida, siendo μ = 7/10 el coeficiente de roce dinámico. En un extremo de la pista hay un
resorte de constante elástica k = 800 N/m, el punto e es el punto de equilibrio del resorte.
Una partícula de masa m = 2 kg parte del re- d c
poso en el punto 1 donde se encuentra comprim- e R
iendo el resorte una longitud de x1 = 4/10 m. La
60◦ 2
partícula no está unida al resorte, llega hasta el k 1 L
punto 2 y luego regresa.
a x1 μ b
a. Halle el módulo de la fuerza normal debida a la pista en el punto 2.
b. Halle la longitud L.
c. Al regreso la partícula comprime nuevamente el resorte. Halle la nueva compresión máxima del
resorte.
154. En la parte inferior de un plano inclinado α = 30◦ se encuentra un resorte de constante elástica
k = 200 N/m. De un punto 1 a una distancia d del extremo libre√ del resorte (señalado como e en los
dibujos) se suelta un bloque de masa M = 4 kg, siendo μD = 3/6 el coeficiente de roce dinámico
entre el plano y el bloque. El bloque comprime el resorte una longitud x = 1/2 m (punto 2) y luego
se regresa deteniéndose en un punto 3 a una distancia d del extremo libre del resorte.
M
d M
d
1 x
k M 3
e μD e e
2
α α α
155. Cierta partícula está obligada a moverse sobre el eje x mientras está sometida a una fuerza
neta cuya energía potencial U(x) se muestra en la gráfica. La energía E de la partícula coincide
con el máximo local de U(x) en x = c. En el intervalo [a, b] la energía potencial es constante.
C. Di Bartolo 71
4 T RABAJO Y ENERGÍA
156. La figura abajo a la izquierda muestra una partícula de masa m que, atada a una cuerda de
longitud R, describe una trayectoria circular sobre un plano inclinado un ángulo β respecto a la
horizontal. El punto a es el más bajo de la trayectoria y el b el más alto. La figura a la derecha
muestra un corte del plano inclinado. El coeficiente de roce dinámico entre el plano y la partícula
es μ .
b Vertical b
R β
a β
m
θ
a Vertical
a. Halle los módulos de la normal y de la fuerza de roce dinámica cuando el eje que va del centro
del círculo a la partícula forma un ángulo θ con el eje ab.
b. Tome nivel cero de energía potencial gravitacional en el punto a y halle la energía potencial de
la partícula en el punto b. Determine también el trabajo realizado por el roce cuando la partícula
va desde a hasta b.
c. Si la partícula parte del punto a con una rapidez va halle su rapidez cuando pasa por primera vez
por el punto b.
157. La figura muestra una cuenta de masa M que desliza sin roce en un alambre horizontal fijo
que la atraviesa. Dos resortes de longitud natural nula tienen un extremo atado a la cuenta y el otro
extremo atado a planchas horizontales fijas. Los resortes y el alambre se encuentran en el mismo
plano vertical y los puntos donde los resortes se sujetan a las planchas pertenecen a la misma
vertical. Se conocen las distancias de las planchas al alambre, L1 y L2 , y las constantes elásticas de
los resortes, k1 y k2 .
72 C. Di Bartolo
4.B P ROBLEMAS DE DESARROLLO
158. Las figura A muestra un resorte de constante elástica k y longitud l0 que cuelga verticalmente
atado del techo. En el extremo libre se ata al resorte un bloque de masa M y con él se le comprime
una longitud d (ver figura B). El bloque se suelta y comienza a oscilar. Determine la máxima
elongación h que alcanza el resorte (figura C).
k l0 − d
l0
M l0 + h
C. Di Bartolo 73
7 R ESPUESTAS
132 135
B E
116 C. Di Bartolo
7.H T RABAJO Y E NERGÍA (D ESARROLLO )
147.
W (0,t1 ) > 0 W (t1 ,t2 ) = 0 W (t2 ,t3 ) < 0 W (t3 ,t4 ) > 0
148.
a. √ √
Wpeso = 30 3 J , Wnormal = 0 , WS = −21 3 J .
b.
VB = 5 m/s , N = 73 N .
149.
a.
v = v20 − 2μ gRθ .
b.
v20 8
n= = ≈ 2, 5 .
4π μ gR π
150.
a.
v2 = Rg sen(θ ) , v2 = Rg sen(θ ) [−sen(θ )i + cos(θ )j] .
b.
3
E = mRg 1 + sen(θ ) .
2
c.
3 1
h3 = R 1 + sen(θ ) − sen (θ ) .
3
2 2
d.
v1 = Rg[2 + 3sen(θ )] .
C. Di Bartolo 117
7 R ESPUESTAS
151.
a.
2g
w= w20 + [1 − cos(θ )] , N = mg [3cos(θ ) − 2] − mRw20 .
R
b.
2 Rw20
cos(θ ) = + .
3 3g
c.
g
w0 = .
R
152.
a.
5
E= mgR .
2
b.
5
h= R.
2
c.
v2 = [3 + 2cos(θ )] gR [cos(θ )i + sen(θ )j] .
d.
g
θ̈ = − sen(θ ) .
R
153.
a.
N = 10 N .
b.
L = 1 m.
c.
3
xmax = m.
10
154.
a. √
N = 20 3 N , Froce D = 10 N .
b.
1
d = 2 m, d = m.
3
c.
4
Froce E = 80 N (tangente al plano inclinado apuntando hacia abajo) , μE ≥ √ .
3
118 C. Di Bartolo
7.H T RABAJO Y E NERGÍA (D ESARROLLO )
155. Las flechas entre dos puntos indicarán que el sentido del movimiento es del primer punto al
segundo.
a. En el trayecto b → a la partícula se mueve con veloci- U(x)
dad constante. En el a → p acelera, en p → q desacelera
y se detiene en q. En q la fuerza neta sobre la partícula E
la hace regresar. En el trayecto q → p acelera, desacelera
en p → a, se mueve con velocidad constante en a → b
y desacelera en el trayecto b → c, quedándose en reposo
permanente en el punto c debido a que allí tiene veloci-
dad nula y la fuerza neta es nula (se trata de un punto de
equilibrio inestable). 0 x
q p a b c
b. Si la energía es ligeramente menor no se detendrá en el punto c sino un poco antes, digamos en
x = c− ; luego permanecerá oscilando entre x = c− y un punto x = q+ . Si la energía es ligeramente
mayor no se detendrá en c y continuará su viaje hacia la derecha del eje x.
156.
a.
N = mg cos(β ) , FRoce = μ mg cos(β ) .
b.
Ub = 2mgR sen(β ) , WRoce = −π R μ mg cos(β ) .
c.
vb = v2a − 2gR [2 sen(β ) + π μ cos(β )] .
157.
a. Actúan la fuerza elástica de cada resorte, el peso de la cuenta y la fuerza de contacto con el
alambre que es perpendicular al mismo. Sólo realizan trabajo las fuerzas que aplican los resortes.
b.
1
λ = (k1 + k2 ) .
2
158.
2Mg
h=d+ .
k
C. Di Bartolo 119