Complementaria Fı́sica 1: Solución Taller 9

1. (7,2 *) ¿A qué altura podemos saltar? La altura máxima que un humano puede
saltar, a partir de una posición en cuclillas es de aproximadamente 60cm. ¿En cuánto se
incrementa la energı́a potencial gravitacional de una persona de 72kg por este salto? ¿De
dónde proviene esta energı́a?

Solución:

La energı́a potencial gravitacional viene dada por:

 
m
U = mgh = (72kg) 9, 8 2 (0, 6m) ≈ 4, 2 × 102 J
s

La energı́a potencial proviene de la altura que se alcanza con respecto al suelo, esto se debe
a la energı́a elástica almacenada en los músculos la cual se libera para transformarse en
energı́a cinética y posteriormente en la energı́a potencial gravitacional calculada.

2. (7,12 **) Tarzán y Jane Tarzán, se encuentra en un árbol y ve a Jane en otro árbol.
Él toma el extremo de una liana de 20m que forma un ángulo de 45◦ con la vertical, se
deja caer de la rama del árbol y describe un arco hacia abajo para llegar a los brazos de
Jane. En este punto, su liana forma un ángulo de 30◦ con la vertical. Calcule la rapidez de
Tarzán justo antes de llegar a donde está Jane para determinar si la abrazará tiernamente
o la tirará de la rama. Ignore la resistencia del aire y la masa de la liana.

Solución:

Por conservación de la energı́a se tiene:

Eo = Ef
Ko + Uo = Kf + Uf
m 2 m
v1 − mgy1 = v22 − mgy2
2  2

1
 p
v2 = 2g (y2 − y1 )

Sea l la longitud de la liana:

p
v2 = 2gl (cos 30 − cos 45)

Finalmente, reemplazando los valores numéricos.

s  
m
v2 = 2 9, 8 2 (20m) (cos 45 − cos 30)
s
m
v2 ≈ 7, 9
s
Falta saber si la atrapa tiernamente
3. (7,16 *) Tendones Los tendones, como una aproximación razonable que cumple con la
ley de Hooke, son fibras elásticas resistentes que sujetan los músculos a los huesos. En
pruebas de laboratorio sobre un tendón particular, se encontró que, cuando un objeto de
250g cuelga de él, el tendón se estira 1, 23cm.

(a) Calcule la constante de fuerza de este tendón en N/m.

Solución:
~|
|F
Dada la ley de Hooke |F~ | = k∆x → k = ∆x
. Para nuestro problema |F~ | = mg.

(0, 250kg) 9, 8 sm2

mg
k= =
∆x 1, 23 × 10−2 m
N
k ≈ 199
m

2
 Importante:La masa y las distancias se trabajaron en el S.I.
(b) Debido a su espesor, la tensión máxima que este tendón puede soportar sin romperse
es de 138N . ¿Cuánto puede estirarse el tendón sin romperse? y ¿Cuánta energı́a se
almacena en ese punto?

Solución:

ˆ Deformación:Dada la ley de Hooke pero despejando ∆x, se tiene:

|F~ | 138N
∆x = =
k 199 N
m

∆x ≈ 0, 693m
ˆ Energı́a almacena: Recordando que para un resorte su energı́a viene dada por:

k 199 N
U= (∆x)2 = m
(0, 693m)2
2 2

U ≈ 47, 8J

4. (7,29*) Un libro de 0, 60kg se desliza sobre una mesa horizontal. La fuerza de fricción
cinética que actúa sobre el libro tiene una magnitud de 1, 2N .

(a) ¿Cuánto trabajo realiza la fricción sobre el libro durante un desplazamiento de 3, 0m

a la izquierda?

Solución:

Dado que la fuerza de fricción cinética fr es constante y sabemos que fr va en sentido

contrario al movimiento relativo entre las superficies de contacto.

Wfr = −fr x = −(1, 2N )](3, 0m)

Wfr = −3, 6J
(b) Ahora el libro se desliza 3, 0m a la derecha, volviendo al punto inicial. Durante este
segundo desplazamiento de 3, 0m, ¿Qué trabajo efectúa la fricción sobre el libro?

Solución:

Haciendo uso de los mismo argumento que en el apartado a. Se tiene:

Wfr = −3, 6J

3
 (c) ¿Qué trabajo total efectúa la fricción sobre el libro durante el recorrido completo?

Solución:

El trabajo total vendrá dado por la sumna de trabajos individuales:

WT = (−3, 6J) + (−3, 6J)

WT = −7, 2J
(d) Con base en su respuesta al inciso c), ¿Dirı́a que la fuerza de fricción es conservativa
o no conservativa? Explique su respuesta.

Solución:

Cuando se tiene una fuerza conservativa, el trabajo total cuando se parte de un punto
y se regresa al mismo punto debe ser 0. Dado lo anterior y observando el resultado
obtenido en c, se concluye que la fricción no es conservativa.

Como comentario extra: Si se tiene una fuerza cuya magnitud y dirección es constante
a lo largo de cualquier trayectoria, dicha fuerza será conservativa. Para el caso de la
fricción aunque su magnitud siempre es la misma, su dirección no lo es y por ello es
no conservativa.

5. (7,38 *) Una canica se mueve sobre el eje x. La función de energı́a potencial se muestra en
la figura.

4
(a) ¿En cuál de las coordenadas x marcadas es cero la fuerza sobre la canica?

Solución:

Recordando que la energı́a potencial con la fuerza por medio de una derivada, para
el problema de interés se tiene:

∂U
F~ = − î
∂x

Por lo tanto, la fuerza será nula donde su derivada sera cero, resultado que equivale
a que la recta tangente sera horizontal. Observando la figura 5a se puede ver dicha
condición se cumple para los puntos b y d.
(b) ¿Cuál de esas coordenadas es una posición de equilibrio estable?

Solución:

La posición de equilibrio estable corresponderá a un mı́nimo de la energı́a potencial.

De la figura 5a se puede ver que dicho punto corresponde a b.
(c) ¿Cuál de esas coordenadas es una posición de equilibrio inestable?

Solución:

La posición de equilibrio estable corresponderá a un máximo de la energı́a potencial.

De la figura 5a se puede ver que dicho punto corresponde a d.

5
6. (7,46 **) Recorrido por un rizo vertical El carrito de un juego en un parque de
diversiones rueda sin fricción por la vı́a de la figura, y parte del reposo en A a una altura
h arriba de la base del rizo. Trate el carrito como partı́cula.

(a) ¿Qué valor mı́nimo debe tener h (en términos de R) para que el carrito se desplace
por el rizo sin caer en la parte superior (el punto B)?

Solución:

Dado que en toda la trayectoria se tiene únicamente fuerzas conservativas, la energı́a

se debe conservar. Aplicando energı́as desde el punto A al punto B.

EA = EB
K
 A + UA = KB + VB

m 2
mgh = v + mg(2R)
2 B
Para hallar vB aplicamos la segunda ley de Newton, resaltando que se tendrá un
movimiento circular. En el punto B.
X
F~ = m~ac

    mv 2  
ˆ + mg -j
N -j ˆ = B ˆ
-j
R
mvB2
N + mg =
R

6
 La condición de mı́nima altura se consigue cuando N = 0.

mvB2 mgR mvB2

mg = → =
R 2 2
Reemplazando el resultado anterior en la ecuación de energı́a que se tenı́a:

mgR
mghmin = + mg(2R)
2
5
hmin = R
2
Concluimos que siempre que h > hmin el carrito dará la vuelta.
(b) Si h = 3, 50R y R = 20, 0m, calcule la rapidez, aceleración radial y aceleración
tangencial de los pasajeros cuando el carrito está en el punto C, en el extremo de un
diámetro horizontal. Elabore un diagrama a escala aproximada de las componentes
de la aceleración.

Solución:

ˆ Rapidez:Inicialmente, aplicando energı́as entre los puntos A y C.

EA = EC

K
 A + UA
= KC + UC
m 2
mgh = vC + mgR
2
p p p
vC = 2g(h − R) = 2g(3, 50R − R) = 5gR
Reemplazando los valores numéricos.
s  
m
vC = 5 9, 8 2 (20, 0m)
s
m
vC ≈ 31, 3
s
ˆ Aceleración radial/aceleración centrı́peta: Tomando el resultado de la rapidez y
recordando la ecuación para calcular la aceleración centrı́peta, se tiene:

2
vC2 31, 3 ms
ac = =
R 20, 0m
m
ac ≈ 49, 0 2
s
Agregando la dirección, dado que la aceleración es un vector.
m
~at = 49, 0 2 î
s

7
 ˆ Aceleración tangencial: La aceleración tangencial corresponderá a la aceleración
gravitacional.
m
at = g = 9, 8
s2
Agregando la dirección, dado que la aceleración es un vector.
m 
~at = 9, 8 2 −ĵ
s

La magnitud de la aceleración centrı́peta es 5 veces la magnitud de la aceleración

tangencial.

7. (7,70 **) Un bloque de 3, 00kg está unido a dos resortes ideales horizontales, cuyas constantes
de fuerza son k1 = 25, 0N/cm y k2 = 20, 0N/cm. El sistema está inicialmente en equilibrio
sobre una superficie horizontal sin fricción. Ahora el bloque se empuja 15, 0cm a la derecha
y se suelta del reposo.

(a) ¿Cuál es la rapidez máxima del bloque? ¿En qué parte del movimiento se registra la
rapidez máxima?

Solución:

Al desplazar el bloque hacia la derecha implica tener el resorte k1 estirado una

distancia ∆x1 y el resorte k2 comprimido una distancia ∆x2 . Ahora bien, podemos

8
 identificar del problema que ∆x1 = −∆x2 = 15, 0cm = 0, 15m.

Por conservación de la energı́a se tiene:

Eo = Ef
Ko + Uo
 = Kf + Uf
La máxima rapidez se alcanza cuando los resortes no esten deformados, por ende
Uf = 0

Uo = Kf

k1 k2 m
(∆x1 )2 + (∆x2 )2 = vf2
2 2 2
(∆x1 )2 m
(k1 + k2 ) = vf2
2 2
s
(∆x1 )2
vf = (k1 + k2 )
m
Finalmente, reemplazando los valores numéricos:
s
(0, 15m)2
 
N N
vf = 2500 + 2000
3, 00kg m cm
m
vf ≈ 5, 81
s
N N
Importante: Las constantes elásticas se llevaron de cm
→ m
.
(b) ¿Cuál es la compresión máxima del resorte 1?

Solución:

La compresión máxima se consigue cuando v = 0. Aplicando conservación de energı́a

pero tomando como punto inicial cuando los resortes no están comprimidos (Apartado
a).

Eo = Ef
Ko = 
 Kf + Uf

m 2 (k1 + k2 )
v = (∆x)2
2 2
r
m
|∆x| = v
k1 + k2
Finalmente, reemplazando los valores numéricos:

9
 s  
3, 00kg m
|∆x| = 5, 81
2500 N
m
+ 2000 N
m
s
|∆x| = 0, 15m
Concluimos que la máxima compresión es ∆x = −0, 15m = −15cm.

8. (7,72 **) Si un pez se sujeta a un resorte vertical y se baja suavemente a su posición de

equilibrio, el resorte se estira una distancia d. Si el mismo pez se sujeta al resorte no
estirado y se deja caer desde el reposo, ¿Cuánto llega a estirar el resorte? (Sugerencia:
Calcule la constante de fuerza del resorte en términos de d y la masa m del pez).

Solución:

Podemos dividir el problema en dos partes. La primera consiste en considerar que el resorte
se estira suavemente y la segunda cuando el resorte se estura rápidamente.

ˆ Caso 1: En la deformación máxima del resorte se tiene:

X
F~ = ~0

  
kd ĵ + mg −ĵ = ~0

mg
kd = mg → k =
d
ˆ Caso 2: Aplicando conservación de la energı́a cuando se suelta el pez y cuando el pez
se encuentra en la parte más baja (deformación máxima del resorte).

Eo = Ef
Ko + 
 Uo = 
Kf + Uf

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 0 = Uf
k
0 = −mg∆y + (∆y)2
2
 
k 2
0 = ∆y − mg + ∆y
2 k
Para que se cumpla la igualdad ∆y = 0 o
2
− mg + ∆y = 0
k
2
∆y = mg
k
Finalmente, reemplazando la expresión de k hallada en el caso 1.
mg
∆y = 2d 
mg

∆y = 2d

El resorte se llega a estirar una distancia 2d.

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