Teorema de Resistencia en Sistema Elástico

Teoremas de Energía en
Sistemas Elásticos
Mecánica de Materiales II
Mg. Ing. Chullo Llave Mario L.
5 y 6
3
RESULTADO DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD
Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de aplicar el método energético en

estructuras estáticamente determinados e indeterminadas.
TRABAJO DE UNA FUERZA
Energía Interna producto de carga axial Energía Externa
El trabajo total U efectuado por la carga cuando la En el caso de una deformación lineal y elástica, la porción
barra experimenta una deformación x1 es del diagrama carga-deformación incluido puede
representarse por una línea recta cuya ecuación es P = kx .
Sustituyendo para P en la ecuación
ENERGIA DE DEFORMACION ELASTICA PARA
DIFERENTES TIPOS DE CARGA
CARGA AXIAL CORTANTE
MOMENTO DE TORSION
MOMENTO FLEXIONANTE
EJEMPLOS:
Determine la energía de deformación en el ensamble
de barras. La porción AB es de acero, la parte BC es de
laton y CD es de aluminio, Eac = 200 Gpa, ELat = 101
Gpa, EAl = 73.1 Gpa, respectivamente.
EJEMPLOS:
Determine la energía de deformación flexionante Determine la energía de deformación torsionante

del eje de acero A36 si tiene un radio de 40mm.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y ENERGÍA DE
DEFORMACIÓN
El trabajo realizado en una estructura elástica en equilibrio por un sistema de fuerzas externas aplicado es igual al
trabajo realizado por las fuerzas internas, o energía de deformación almacenada en una estructura.
Energía de deformación en vigas

EJEMPLO
Determine la pendiente en el extremo B de la viga de acero A36, I = 80x 106 mm4.
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
Principio de desplazamientos virtuales para cuerpos rígidos:
Si un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo un sistema de fuerzas y si esta sujeto a un
pequeño desplazamiento virtual como cuerpo rígido, el trabajo virtual realizado por las fuerzas
externas es cero.
Principio de fuerzas virtuales para cuerpos deformables
Si una estructura deformable esta en equilibrio bajo un sistema de fuerzas virtuales (o pares de
fuerzas) y si esta sujeta a una pequeña deformación consistente con el apoyo y condiciones de
continuidad de la estructura, entonces el trabajo virtual externo realizado por las fuerzas virtuales
externas (y pares de fuerzas) que actúan por los desplazamientos externos virtuales (y rotaciones)
es igual al trabajo virtual interno realizado por las fuerzas internas virtuales (y pares de fuerzas) que
actúan por los desplazamientos internos reales (y rotaciones).
DEFLEXIONES EN VIGAS POR EL MÉTODO DEL
TRABAJO VIRTUAL
DEFLEXIONES EN ARMADURAS POR EL MÉTODO
DEL TRABAJO VIRTUAL
EJEMPLO 1
Utilice el método del trabajo virtual para calcular la deflexión en el nodo C de la viga
que se presenta.
EJEMPLO 2
Determine la deflexión en el punto C de la viga

EJEMPLO 3
Determine el desplazamiento vertical y la pendiente del punto B en la

siguiente viga.
EJEMPLO 3
Determine el desplazamiento vertical en el nudo C en la siguiente armadura.
VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
Realice el diagrama de corte y momento de la siguiente estructura

EJEMPLO 2
Determine las reacciones en los soportes A,B y

C, luego dibuje los diagramas de fuerza cortante
y de momento (EI es constante)
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y ENERGÍA DE
DEFORMACIÓN
La energía de una estructura se puede definir como su capacidad de realizar trabajo. El término
energía de deformación se atribuye a la energía que una estructura tiene debido a su
deformación. La relación entre el trabajo y la energía de deformación de una estructura se basa
en el principio de conservación de la energía, el cual se puede establecer como sigue:
El trabajo realizado en una estructura elástica en equilibrio por un sistema de fuerzas externas
aplicado es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas, o energía de deformación
almacenada en una estructura.
SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
Para estructuras elásticamente lineales, la derivada parcial de la energía de deformación respecto

de la fuerza aplicada (o par) es igual al desplazamiento de la fuerza a lo largo de su línea de acción.
Aplicación en vigas
Aplicación en armaduras
EJEMPLO 1
Determine la deflexion en el punto C de la viga que aparece en la Fig. 7.23(a) por el segundo teorema de Castigliano.
EJEMPLO 2
Para las condiciones mostradas de carga, determine el desplazamiento de B

EJEMPLO 3
Para las condiciones mostradas de la armadura , determine el desplazamiento de B

VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
Ejemplo 1
Para las condiciones mostradas de carga, determine las reacciones
EJEMPLO 2
Determine las reacciones en los soportes A,B y

C, luego dibuje los diagramas de fuerza cortante
y de momento (EI es constante)

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Teoremas de Energía en

Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de aplicar el método energético en

Energía Interna producto de carga axial Energía Externa

Determine la energía de deformación flexionante Determine la energía de deformación torsionante

Energía de deformación en vigas

Determine la deflexión en el punto C de la viga

Determine el desplazamiento vertical y la pendiente del punto B en la

Realice el diagrama de corte y momento de la siguiente estructura

Determine las reacciones en los soportes A,B y

Para estructuras elásticamente lineales, la derivada parcial de la energía de deformación respecto

Para las condiciones mostradas de carga, determine el desplazamiento de B

Para las condiciones mostradas de la armadura , determine el desplazamiento de B

Determine las reacciones en los soportes A,B y

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