GESTIÓN DE LA CALIDAD Fecha: 11/01/2014

I.R.:0.2
TEMA 2.TECNOLOGÍA ESTADÍSTICA DE LA CALIDAD N.D.: 1 y 2
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3.1 Problemas

Problema 1. Se ha determinado el ajuste en una máquina automática para el

envasado de un tipo de producto, cuya anchura debe ser aproximadamente 0.500 cm. A
fin de establecer la gráfica de control por variables, que sirviera para controlar la calidad
durante la producción subsiguiente, se tomó cinco muestras cada hora, hasta un total de
veinticinco muestras. Los resultados se adjuntan en la siguiente tabla.
Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 0.498 0.504 0.500 0.499 0.505 0.503 0.503 0.502 0.502 0.504 0.503 0.500 0.504
Medi- 2 0.501 0.502 0.499 0.503 0.506 0.502 0.501 0.499 0.502 0.502 0.498 0.501 0.503
ción 3 0.504 0.505 0.501 0.502 0.506 0.500 0.504 0.502 0.504 0.501 0.501 0.499 0.503
4 0.502 0.503 0.502 0.503 0.502 0.501 0.501 0.503 0.502 0.503 0.501 0.498 0.499
5 0.503 0.500 0.504 0.502 0.506 0.501 0.500 0.503 0.500 0.503 0.502 0.501 0.498

Muestra 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 0.501 0.499 0.502 0.497 0.499 0.501 0.505 0.504 0.501 0.502 0.501 0.499
Medi- 2 0.502 0.503 0.500 0.499 0.500 0.500 0.505 0.502 0.502 0.501 0.499 0.503
ción 3 0.500 0.497 0.501 0.500 0.502 0.502 0.500 0.499 0.504 0.502 0.503 0.501
4 0.500 0.501 0.502 0.502 0.500 0.500 0.501 0.498 0.500 0.499 0.502 0.497
5 0.501 0.499 0.500 0.500 0.501 0.500 0.502 0.500 0.503 0.502 0.500 0.502

Construye la gráfica de control correspondiente. Comenta los resultados.

Problema 2. En una factoría de helados se decide comenzar un estudio del control

del proceso de producción. Para ello se extraen 24 muestras, una cada 10 minutos, cada
muestra está compuesta de cuatro tarrinas (2.0 dl). Las medidas de las pesadas en
gramos que reflejadas en la siguiente tabla.

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8. 9. 10 11 12
MEDIA 266.7 272.0 270.7 267.7 268.0 272.0 270.0 273.3 272.3 275.0 273.3 272.0
R 6.0 12.0 10.0 3.0 10.0 6.0 8.0 3.0 4.0 9.0 4.0 5.0
Muestra 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
MEDIA 273.0 276.0 275.0 264.0 279.0 268.0 271.0 273.3 273.7 276.0 272.3 272.3
R 6.0 11.0 16.0 17.0 18.0 19.0 13.0 10.0 9.0 7.0 9.0 8.0

Realiza los gráficos de control que creas convenientes e interpreta los resultados.

Problema 3. La corriente de entrada a un reactor para la fabricación de un colorante

alimentario está formada por dos compuestos A y B, que deben entrar en proporción
equimolecular. Para la construcción del gráfico de control se tomó una serie de
veinticinco muestras de siete alícuotas cada una, obteniéndose un valor de la gran media
para la fracción molar de A de 0.501, con un rango medio de 0.007. Calcula las líneas
de los gráficos de control. Se han representado los valores medios y el rango de
muestras tomadas semanas después, obteniéndose los gráficos que se muestra a
continuación. ¿Existen síntomas de que el proceso está fuera de control?.
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0.506

Valor medio (fracción molar)

0.505
0.504
0.503
0.502
0.501
0.5
0.499
0.498
0.497
0.496
0 5 10 15 20 25 30
Horas

0.016
0.014
Rango (fraccíon molar)

0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0.000
0 10 20 30 40 50 60
Horas

Problema 4. En el proceso del problema 1, las especificaciones fijadas por nuestro

cliente indican que no deben exceder el tamaño de 0.51 cm, ni ser inferiores a 0.485 cm.
Determina el índice de capacidad. ¿Sería interesante incluir una inspección por
muestreo para el producto final?.

Problema 5. En un proceso destinado a la obtención de ácido tartárico, se realiza el

control del proceso realizando una toma de muestra cada cuatro horas (se toman cinco
alícuotas en cada muestra, una cada cinco minutos) y midiendo la pureza del mismo.
Los resultados de varios días presentan valores de la gran media de 99.68 % y un rango
medio de 0.25 %. Determina el índice de capacidad del proceso, teniendo en cuenta que
el cliente exige una pureza mínima del 99%. ¿Puede considerarse que nuestro proceso
cumpliría con dicha especificación, o piensas que es necesario establecer una inspección
final por muestreo?. Admítase que la desviación típica de la población se puede calcular
como σR/d2.

Problema 6.Un fabricante de botellas de PVC detecta que el número de botellas

producidas es inferior al que debía ser, dado el consumo de materia prima. Se sospecha
que la diferencia es debida a que se producen botellas con un peso superior al
especificado (33.0±0.4 g). Para comprobarlo se decide realizar un estudio pesando 56
botellas, obteniéndose un peso total (∑Xi) para las 56 botellas de 1857.0 g y una
desviación tipo (s) de 0.241 g, no encontrándose ninguna botella fuera del peso
especificado. Determina el índice de capacidad del proceso. ¿Se produce dentro de las
especificaciones?. ¿El excesivo consumo de PVC se debe a que las botellas pesan más
de lo establecido?.
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Problema 7. La Tabla adjunta muestra los resultados del ensayo e inspección final
durante un periodo de cinco meses de ciertos imanes permanentes utilizados en relés
eléctricos. A partir de esos datos se pretende construir el gráfico de control
correspondiente. ¿De qué tipo, y subtipo, de gráfico de control se trata?. Determina las
líneas características del gráfico de control del proceso. ¿Cuántos puntos aparecen fuera
de la zona control?
unidades unidades
Semana inspeccionadas no-conformes
1 715 52
2 748 44
3 716 73
4 760 55
5 727 67
6 734 64
7 752 71
8 739 50
9 756 50
10 739 62
11 750 68
12 748 69
13 748 45
14 724 67
15 731 57
16 765 44
17 728 85
18 732 89
19 748 87
Total 14060 1199

Problema 8. En una planta industrial se fabrica el sistema electrónico empleado en

instrumentos de control de una empresa del sector lácteo. Diariamente se toma una
muestra de producto (entre 200 y 500 unidades) y se comprueba si tienen alguna no-
conformidad que pueda provocar un defecto de uso de dicho sistema. Los resultados de
dicha inspección se resumen en la tabla adjunta. Construid el gráfico de control
correspondiente.

Día 1 2 3 4 5 6
Unidades Inspeccionadas 300 210 356 490 416 309
Unidades defectuosas 19 19 21 30 31 16

Día 7 8 9 10 11 12
Unidades Inspeccionadas 403 408 331 344 324 313
Unidades defectuosas 21 29 18 18 22 28

Día 13 14 15 16 17 18
Unidades Inspeccionadas 336 420 332 375 343 290
Unidades defectuosas 26 28 20 25 30 24

Día 19 20 21 22 23 24
Unidades Inspeccionadas 442 443 392 425 452 291
Unidades defectuosas 27 27 36 34 23 1
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Problema 10. Un fabricante de hornos para panaderías quiere controlar el número de

disconformidades en un área de montaje parcial que produce los sistemas de cierre de
los hornos. Los datos de 24 muestras de cuatro elementos (sistemas de cierre) cada una
aparecen en la siguiente tabla.

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8. 9. 10 11 12
Nº 2 4 3 1 1 2 1 7 2 1 3 4

Disconformidades

Muestra 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Nº 1 5 2 3 3 1 1 3 4 1 4 1

Disconformidades

Total Disconformidades = 60

a) Obtenga el gráfico de control de atributos más pertinente.

b) ¿Es un proceso bajo control estadístico?. Si no es así, suponga que se pueden
encontrar las causas atribuibles a los puntos fuera de control y determine los
parámetros revisados del gráfico de control. Suponed únicamente que fuera de
control es cuando los puntos están fuera de la zona de control.
c) ¿Es posible construir otro tipo de gráfico de control aplicable a este caso?.
¿Cuál?. Determine sus límites.

Problema 11. Determina la curva característica del plan de muestreo simple que admite
hasta 1 defectuosos en muestras de 24 unidades para lotes de 10 000 unidades. Con
dicho plan ¿qué probabilidad habría de rechazar un lote con un porcentaje de
defectuosos del 1.5 %? ¿Y qué probabilidad habría de aceptar un lote con un 10% de
defectuosos?

Problema 12. Un plan de muestreo simple se ha definido con un tamaño de muestra de

200 unidades y un número de rechazo de 5 ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote
con un 1% de defectuosos?. ¿Y la de aceptar un lote con un 4% de defectuosos?
Admítase que el tamaño del lote es muy superior al de la muestra. ¿En qué afectaría si el
tamaño del lote no fuese al menos 10 veces superior al de la muestra?

Problema 13. Indica al menos 4 planes de muestreo simples, que tengan un 5 % de

probabilidad de aceptar un lote con un 3 % de defectuosos. Admítase que el tamaño del
lote es muy superior al tamaño de la muestra.

Problema 14. La producción de tornillos en una línea de una planta tiene una fracción
media de defectuosos de 0.01, estando los tornillos agrupados en lotes de 1 000
unidades. Los tornillos son empleados en la construcción de reactores en la misma
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planta, de modo que por motivos económicos nos exigen un porcentaje máximo de
defectuosos tolerables inferior al 5% con un riesgo del comprador () del 10 %. Se
pretende someter a cribado los lotes rechazados. Determina el plan de muestreo que
minimice el número de unidades inspeccionadas. ¿Y si los lotes fuesen de 25 000
unidades?. Tras mejorar el proceso la fracción media de defectuosos descendió a 0.005,
para el mismo nivel de protección, ¿cuáles serán ahora los planes que minimicen el
número de unidades inspeccionadas?.

Problema 15. Decidimos adquirir los tornillos que fabrican en la planta del problema
anterior y fijamos como parámetros de calidad en la inspección en recepción, un nivel
de calidad aceptable de 1.2 %, con un riesgo para el vendedor () del 5%. Si decidimos
cribar los lotes rechazados, cual será el plan simple que utilice un número mínimo de
unidades inspeccionadas. Admitid como fracción media del proceso de 0.01

Problema 16. Determina y evalúa un plan de muestreo múltiple que tenga NCA de 1%
con riesgo del vendedor de 5% y PDTL = de 5% con riesgo del comprador del 10%.
Suponed que los lotes son de 500 unidades. ¿Si en la primera muestra se hallan cinco
unidades no conformes se acepta el lote, se rechaza el lote o se toma una segunda
muestra para decidir?. ¿Y en el caso de un plan doble?.

Problema 17. Determina y evalúa un plan de muestreo múltiple que tenga NCA de 1%
con riesgo del vendedor de 5% y PDTL = de 5% con riesgo del comprador del 10%.
¿Qué es lo que deberías hacer si en la primera muestra no encuentras ningún producto
defectuoso?. Con dicho plan, ¿Qué probabilidad hay de aceptar un lote con un 6% de
defectivos?.

Problema 18. En una inspección por recepción de materia prima, se decide utilizar un
plan de muestreo simple basado en las Tablas MIL-STD-105D. El tamaño del lote es de
5 000 unidades, el nivel de calidad aceptable es de 1% de defectuosos, e inspección
normal (nivel de inspección II). Determina el plan de muestreo. Con dicho plan, ¿qué
probabilidad existe de aceptar un lote con 5 % de defectuosos?, y ¿de rechazar un lote
con un 0.5 % de defectuosos?

Problema 19. Una empresa está utilizando para realizar el control de recepción un plan
con las siguientes características: N=20 000, inspección rigurosa y muestreo doble. El
NCA requerido es del 2.5%. En un momento dado la empresa se plantea pasar a un plan
simple ya que sus para sus empleados resulta complejo manejar un plan doble. Calcular,
en promedio cuantas piezas de más se tiene que muestrear en esta nueva situación si se
reciben lotes con un porcentaje de un 0.65% de piezas defectuosas.

Problema 20. Deseáis instaurar un proceso de inspección simple con cribado para un
proceso que históricamente produce una media de 2.25 % de no conformidades. Los
lotes de producto son de 10 000 unidades. Por cuestiones económicas deseamos para el
producto final los siguientes parámetros de calidad: PDTL =5%, LCMS=2.5%,
Beta=10%. ¿Qué sistema de muestreo (tipo de planes de muestreo) podías emplear para
determinar el tamaño de la muestra y el número máximo de defectuosos para aceptar el
lote. ¿Qué probabilidad hay de rechazar y someter a cribado un lote con un porcentaje
de defectuosos de un 1%?
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Problema 21. El espesor de las paredes de los tubos de acero de alta presión, se
considera la característica de la calidad crítica de los mismos. Se debe inspeccionar
dicha característica al recibir el material procedente de la planta vendedora,
asegurándonos que se cumple el límite inferior de la especificación (0.45 cm). En una
determinada partida de tubos con lotes de 750 unidades el valor medio del espesor de
dichos tubos fue de 0.5 cm. Habiéndose establecido el valor de 2.5 % para el NCA y un
nivel de inspección II e inspección normal, ¿qué tamaño de la muestra debo emplear?
¿Cuál es la máxima desviación estándar (o rango medio) aceptable en la muestra? ¿Y si
la inspección debe ser rigurosa y de nivel IV. Nota: emplear las tablas del MIL-STD-
414, para planes de variabilidad desconocida (Límite de especificación único forma 1).

Problema 22. Las especificaciones para unas resistencias eléctricas de un cierto

componente es de 620 a 680 ohmios. Un lote de 100 unidades es sometido a inspección,
nivel de inspección IV, inspección intensa, con NCA = 2.5%. Determina el tamaño de la
muestra y la constante de aceptación, para el sistema MIL-STD-414, variabilidad
desconocida, método de la desviación tipo, forma 2. ¿Se debe aceptar el lote si la media
de la muestra es 647 y la desviación tipo de la muestra es la desviación tipo 17.22
ohmios?